Progression arithmétique. Progressions arithmétiques et géométriques

Tâches pour progression arithmétique existait déjà dans l'Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution parce qu’ils avaient un besoin pratique.

Ainsi, dans l'un des papyrus Egypte ancienne ayant contenu mathématique, - le papyrus Rhind (19ème siècle avant JC) - contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain entre dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de la mesure.

Et dans les travaux mathématiques des Grecs anciens, il existe des théorèmes élégants liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsiclès d'Alexandrie (IIe siècle, qui représentait beaucoup tâches intéressantes et qui ajouta le quatorzième livre aux Éléments d’Euclide, formula la pensée : « Dans une progression arithmétique, qui a nombre pair termes, la somme des termes de la 2ème moitié est supérieure à la somme des termes de la 1ère du carré de la moitié du nombre de termes.

La séquence est désignée par un. Les numéros d'une séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent le numéro d'ordre de ce membre (a1, a2, a3... lire : « un 1er », « un 2e », « un 3e » et ainsi de suite ).

La séquence peut être infinie ou finie.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Nous entendons par là celui obtenu en ajoutant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.

Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors cette progression est considérée comme croissante.

Une progression arithmétique est dite finie si seuls ses premiers termes sont pris en compte. À très grandes quantités membres, c'est déjà fait progression sans fin.

Toute progression arithmétique est définie par la formule suivante :

an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.

L'affirmation inverse est absolument vraie : si une suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique qui a les propriétés :

1. Chaque terme de la progression est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant.
2. Inverse : si, à partir du 2ème, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, soit si la condition est remplie, alors cette séquence est une progression arithmétique. Cette égalité est aussi un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle habituellement propriété caractéristique progression.
   De la même manière, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un des termes de la suite, en commençant par le 2ème.

La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al, si n + m = k + l (m, n, k sont des nombres de progression).

Dans une progression arithmétique, tout (Nième) terme nécessaire peut être trouvé en utilisant la formule suivante:

Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et égal à trois, et la différence (d) est égale à quatre. Il vous faut trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177

La formule an = ak + d(n - k) permet de déterminer nième mandat une progression arithmétique à travers l'un de ses kèmes termes, à condition qu'elle soit connue.

La somme des termes d'une progression arithmétique (c'est-à-dire les n premiers termes progression finie) est calculé comme suit :

Sn = (a1+an)n/2.

Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule convient pour le calcul :

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somme d'une progression arithmétique contenant n termes est calculée comme suit :

Le choix des formules de calcul dépend des conditions des problèmes et des données initiales.

Série naturelle de nombres quelconques, tels que 1,2,3,...,n,...- exemple le plus simple progression arithmétique.

En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique qui a ses propres propriétés et caractéristiques.

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : TELLEMENT !) vouloir savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le deuxième cas, la différence entre la série numéros debout est déjà égal à cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, il n’y a aucune racine. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que ordonné séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : dernier exemple peut paraître trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout dépend ici uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire numéros identiques: (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Cela ressemblera à ceci :

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme on le voit, dans tout trois cas la différence s’est en fait avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est ça! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est aussi simple que de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est ça! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, nous essaierons d'exprimer le cinquième terme en fonction du premier et de la différence de formule standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

Solution entière minimale de cette inégalité- numéro 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à inégalité stricte, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et écrivons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Qu’est-ce que cela signifie pour nous ? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Jetez un oeil :

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Depuis numéros spécifiés sont membres de la progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : élément central$x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Il s'est avéré classique équation quadratique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse : 1 ; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

Dans l'ensemble, décider dernières tâches, nous en avons croisé un autre fait intéressant, qu'il faut également rappeler :

Si trois nombres sont tels que le deuxième est le milieu l'arithmétique d'abord et enfin, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l'avenir, comprendre cette affirmation nous permettra littéralement de « concevoir » progressions nécessaires, en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple :

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à passer de ces éléments à côtés opposés(l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), puis les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Compréhension ce fait nous permettra de résoudre les problèmes de manière fondamentalement plus haut niveau difficultés que celles que nous avons évoquées ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : je l'ai sorti multiplicateur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est un nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches ascendantes :

calendrier fonction quadratique- parabole

Veuillez noter: valeur minimale cette parabole prend $((d)_(0))$ en son sommet en abscisse. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L’abscisse est donc égale à la moyenne nombres arithmétiques−66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend plus petite valeur(d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si à partir des nombres $x$ et $z$ nous sommes dans à l'heure actuelle on ne peut pas obtenir $y$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Un problème encore plus complexe, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais considérer quelques points relativement tâches simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tout est pareil :

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que des points importants et très conséquences utiles d'elle.

Somme d'une progression arithmétique.

La somme d’une progression arithmétique est une chose simple. Tant dans le sens que dans la formule. Mais il existe toutes sortes de tâches sur ce sujet. Du basique au assez solide.

Tout d'abord, comprenons la signification et la formule du montant. Et puis nous déciderons. Pour votre propre plaisir.) La signification du montant est aussi simple qu'un meuglement. Pour trouver la somme d’une progression arithmétique, il suffit d’additionner soigneusement tous ses termes. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez les ajouter sans aucune formule. Mais s'il y en a beaucoup, ou beaucoup... l'addition est gênante.) Dans ce cas, la formule vient à la rescousse.

La formule du montant est simple :

Voyons quels types de lettres sont inclus dans la formule. Cela clarifiera beaucoup les choses.

S n - la somme d'une progression arithmétique. Résultat de l'addition tout le monde membres, avec d'abord Par dernier. C'est important. Ils s'additionnent exactement Tous membres d'affilée, sans sauter ni sauter. Et précisément, à partir de d'abord. Dans des problèmes comme trouver la somme des troisième et huitième termes, ou la somme des termes du cinquième au vingtième - application directe les formules vous décevront.)

un 1 - d'abord membre de la progression. Tout est clair ici, c'est simple d'abord numéro de ligne.

un- dernier membre de la progression. Dernier numéro rangée. Ce n’est pas un nom très familier, mais appliqué au montant, il convient très bien. Ensuite, vous verrez par vous-même.

n - numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre coïncide avec le nombre de termes ajoutés.

Définissons le concept dernier membre un. Question délicate : quel membre sera le dernier si donné sans fin progression arithmétique ?)

Pour répondre avec assurance, vous devez comprendre le sens élémentaire d'une progression arithmétique et... lire attentivement la tâche !)

Dans la tâche consistant à trouver la somme d'une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Dans le cas contraire, un montant définitif et précis n'existe tout simplement pas. Pour la solution, peu importe que la progression soit donnée : finie ou infinie. Peu importe comment cela est donné : une série de nombres ou une formule pour le nième terme.

Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier terme de la progression jusqu'au terme avec numéro n. En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci : la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, soit n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans une tâche, toutes ces informations précieuses sont souvent cryptées, oui... Mais qu'à cela ne tienne, dans les exemples ci-dessous nous vous révélons ces secrets.)

Exemples de tâches sur la somme d'une progression arithmétique.

Tout d'abord, informations utiles:

La principale difficulté des tâches impliquant la somme d’une progression arithmétique est définition correcteéléments de la formule.

Les rédacteurs des tâches chiffrent ces mêmes éléments avec une imagination sans limites.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprendre l'essence des éléments, il suffit simplement de les déchiffrer. Examinons quelques exemples en détail. Commençons par une tâche basée sur un véritable GIA.

1. La progression arithmétique est donnée par la condition : a n = 2n-3,5. Trouvez la somme de ses 10 premiers termes.

Bon travail. Facile.) Pour déterminer le montant à l’aide de la formule, que devons-nous savoir ? Premier membre un 1, dernier trimestre un, oui le numéro du dernier membre n.

Où puis-je obtenir le numéro du dernier membre ? n? Oui, sur place, sous condition ! Il dit : trouvez la somme 10 premiers membres. Eh bien, avec quel numéro sera-t-il ? dernier, dixième membre ?) Vous ne le croirez pas, son numéro est le dixième !) Par conséquent, au lieu de un Nous substituerons dans la formule un 10, et à la place n- dix. Je le répète, le numéro du dernier membre coïncide avec le nombre de membres.

Reste à déterminer un 1 Et un 10. Ceci est facilement calculé à l’aide de la formule du nième terme, donnée dans l’énoncé du problème. Vous ne savez pas comment faire cela ? Assistez à la leçon précédente, sans cela, il n'y a aucun moyen.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule de la somme d'une progression arithmétique. Il ne reste plus qu'à les substituer et à compter :

C'est ça. Réponse : 75.

Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué :

2. Étant donné une progression arithmétique (a n) dont la différence est de 3,7 ; une 1 =2,3. Trouvez la somme de ses 15 premiers termes.

On écrit immédiatement la formule de somme :

Cette formule nous permet de trouver la valeur de n'importe quel terme par son numéro. Nous recherchons une substitution simple :

une 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Il ne reste plus qu'à substituer tous les éléments dans la formule de la somme d'une progression arithmétique et à calculer la réponse :

Réponse : 423.

À propos, si dans la formule de somme au lieu de un On substitue simplement la formule au nième terme et on obtient :

Apportons-en des similaires, nous obtenons nouvelle formule sommes des termes d'une progression arithmétique :

Comme vous pouvez le voir, le nième terme n'est pas obligatoire ici un. Dans certains problèmes, cette formule aide beaucoup, oui... Vous vous souvenez de cette formule. Est-ce possible dans bon moment c'est facile de l'afficher, comme ici. Après tout, vous devez toujours vous rappeler la formule de la somme et la formule du nième terme.)

Maintenant, la tâche sous la forme d'un court cryptage) :

3. Trouvez la somme de tous les positifs nombres à deux chiffres, multiples de trois.

Ouah! Ni votre premier membre, ni votre dernier, ni progression du tout... Comment vivre !?

Vous devrez réfléchir avec votre tête et extraire tous les éléments de la somme de la progression arithmétique de la condition. Nous savons ce que sont les nombres à deux chiffres. Ils se composent de deux nombres.) Quel sera le nombre à deux chiffres d'abord? 10, vraisemblablement.) Un dernier numéro à deux chiffres ? 99, bien sûr ! Ceux à trois chiffres le suivront...

Multiples de trois... Hm... Ce sont des nombres divisibles par trois, ici ! Dix n'est pas divisible par trois, 11 n'est pas divisible... 12... est divisible ! Alors, quelque chose est en train d’émerger. Vous pouvez déjà écrire une série selon les conditions du problème :

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Cette série sera-t-elle une progression arithmétique ? Certainement! Chaque terme diffère du précédent par strictement trois. Si vous ajoutez 2 ou 4 à un terme, disons, le résultat, c'est-à-dire le nouveau nombre n'est plus divisible par 3. Vous pouvez immédiatement déterminer la différence de la progression arithmétique : d = 3. Cela sera utile !)

Ainsi, nous pouvons noter en toute sécurité quelques paramètres de progression :

Quel sera le numéro ? n dernier membre ? Quiconque pense que 99 se trompe fatalement... Les chiffres s'enchaînent toujours, mais nos membres dépassent trois. Ils ne correspondent pas.

Il y a deux solutions ici. Une solution est pour les super travailleurs. Vous pouvez noter la progression, toute la série de nombres et compter le nombre de membres avec votre doigt.) La deuxième façon est destinée aux réfléchis. Vous devez vous rappeler la formule du nième terme. Si nous appliquons la formule à notre problème, nous constatons que 99 est le trentième terme de la progression. Ceux. n = 30.

Regardons la formule de la somme d'une progression arithmétique :

Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons extrait de l'énoncé du problème tout le nécessaire pour calculer le montant :

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Il ne reste plus que l'arithmétique élémentaire. Nous remplaçons les nombres dans la formule et calculons :

Réponse : 1665

Un autre type de puzzle populaire :

4. Étant donné une progression arithmétique :

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trouvez la somme des termes du vingtième à trente-quatre.

On regarde la formule du montant et... on s'énerve.) La formule, je vous le rappelle, calcule le montant dès le premier membre. Et dans le problème, vous devez calculer la somme depuis le vingtième... La formule ne fonctionnera pas.

Vous pouvez bien sûr écrire toute la progression dans une série et ajouter des termes de 20 à 34. Mais... c'est en quelque sorte stupide et prend beaucoup de temps, non ?)

Il y a plus solution élégante. Divisons notre série en deux parties. La première partie sera du premier mandat au dix-neuvième. Deuxième partie - de vingt à trente-quatre heures. Il est clair que si l'on calcule la somme des termes de la première partie S1-19, ajoutons-le avec la somme des termes de la deuxième partie S20-34, on obtient la somme de la progression du premier mandat au trente-quatrième S1-34. Comme ça:

S1-19 + S20-34 = S1-34

De là, nous pouvons voir que trouver la somme S20-34 peut être fait par simple soustraction

S20-34 = S1-34 - S1-19

Les deux montants du côté droit sont pris en compte dès le premier membre, c'est-à-dire la formule de somme standard leur est tout à fait applicable. Commençons ?

Nous extrayons les paramètres de progression de l'énoncé du problème :

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Pour calculer les sommes des 19 premiers et des 34 premiers termes, nous aurons besoin des 19e et 34e termes. On les calcule à l'aide de la formule du nième terme, comme dans le problème 2 :

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Il ne reste plus rien. De la somme de 34 termes soustrayez la somme de 19 termes :

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Réponse : 262,5

Un remarque importante! Il existe une astuce très utile pour résoudre ce problème. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34), nous avons compté quelque chose qui ne semble pas nécessaire - S 1-19. Et puis ils ont déterminé S20-34, en supprimant l'inutile du résultat complet. Ce genre de « feinte avec vos oreilles » vous évite souvent de graves problèmes.)

Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour lesquels il suffit de comprendre le sens de la somme d'une progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)

Conseils pratiques:

Lors de la résolution d'un problème impliquant la somme d'une progression arithmétique, je recommande d'écrire immédiatement les deux formules principales de ce sujet.

Formule pour le nième terme :

Ces formules vous diront immédiatement quoi rechercher et dans quelle direction penser pour résoudre le problème. Aide.

Et maintenant les tâches pour une solution indépendante.

5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas divisibles par trois.

Cool ?) L'indice est caché dans la note du problème 4. Eh bien, le problème 3 vous aidera.

6. La progression arithmétique est donnée par la condition : a 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez la somme de ses 24 premiers termes.

Inhabituel ?) C’est une formule récurrente. Vous pouvez en lire davantage dans la leçon précédente. N’ignorez pas le lien, de tels problèmes se retrouvent souvent à l’Académie nationale des sciences.

7. Vasya a économisé de l'argent pour les vacances. Jusqu'à 4550 roubles ! Et j'ai décidé d'offrir à ma personne préférée (moi-même) quelques jours de bonheur). Vivez magnifiquement sans rien vous priver. Dépensez 500 roubles le premier jour et chaque jour suivant, dépensez 50 roubles de plus que le précédent ! Jusqu'à ce que l'argent soit épuisé. Combien de jours de bonheur Vasya a-t-il eu ?

Difficile ?) Une formule supplémentaire de la tâche 2 vous aidera.

Réponses (en désarroi) : 7, 3240, 6.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans cours scolaire algèbre. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

De quel genre de progression s’agit-il ?

Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.

Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent est appelée une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :

Ici i est le numéro de série de l'élément de la ligne a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :

un n = un 1 + d * (n - 1).

Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.

Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule

Avant de donner la formule pour le montant spécifié, il convient de considérer une simple cas particulier. La progression est donnée nombres naturels de 1 à 10, il faut trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Une chose à considérer chose intéressante: puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paires du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.

Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'affilée ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n , ainsi que nombre total n termes.

On pense que Gauss fut le premier à penser à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème donné. professeur d'école tâche : additionner les 100 premiers entiers.

Somme des éléments de m à n : formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire cela ?

La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer exemple suivant: qu'il soit nécessaire de trouver la somme des termes du m-ième au n-ième. Pour résoudre le problème, vous devez représenter le segment donné de m à n de la progression comme un nouveau série de nombres. Dans ce m-ième représentation le terme a m sera le premier, et a n sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemple d'utilisation de formules

Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.

Ci-dessous est donné séquence de nombres, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :

Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère :

une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;

une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Connaître les valeurs des nombres aux extrémités de ce qui est donné progression algébrique, et connaissant également quels numéros de la ligne ils occupent, vous pouvez utiliser la formule pour le montant obtenu dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments à l'aide de la formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments à l'aide de la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.

Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées croissant.

Cependant, \(d\) peut aussi être nombre négatif. Par exemple, en progression arithmétique \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression sont appelés membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre qu'une progression arithmétique, mais avec un index numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes de progression arithmétique

En principe, les informations présentées ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Recherchez \(b_5\).
Solution:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62; 49; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression..
Solution:

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Étant donné plusieurs éléments consécutifs d'une progression arithmétique : \(…5; x; 10; 12.5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Solution:

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est donnée les conditions suivantes: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Solution:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes pour la progression arithmétique

Comme vous pouvez le constater, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (le différence de progression).

Cependant, il arrive parfois que prendre une décision « frontale » soit très gênant. Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Devons-nous ajouter quatre \(385\) fois ? Ou imaginez que dans l’avant-dernier exemple, vous deviez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous en aurez marre de compter...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas les problèmes de manière frontale, mais utilisent des formules spéciales dérivées de la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme des \(n\) premiers termes.

Formule du \(n\)ème terme : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) – terme de la progression de numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement même le trois centième ou le millionième élément, en ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Recherchez \(b_(246)\).
Solution:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) – le dernier terme additionné ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(a_n=3.4n-0.6\). Trouver la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) remplacez-le par la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On obtient :

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise des premiers éléments \(n\) ;
\(a_1\) – le premier terme additionné ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) – nombre d’éléments au total.

Exemple. Trouver la somme des premiers termes \(33\)-ex de la progression arithmétique : \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solution:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Maintenant tu as tout informations nécessaires pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels il faut non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\) ; \(-19\); \(-18,7\)…
Solution:

Répondre: \(S_(65)=-630,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ème à l'élément \(42\) inclus.
Solution:

Répondre: \(S=1683\).

Pour la progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.