Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, regardons ce que c'est séquence de nombres, puisque la progression arithmétique est cas particulier séquence de nombres.

La séquence de nombres est ensemble de numéros, dont chaque élément possède son propre numéro de série. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Le cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle du temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous la forme d'une formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Permettez-moi de noter encore une fois que dans l'ordre, contrairement à l'arbitraire fonction numérique, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents.

Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le ou les premiers membres de la séquence. ,

Par exemple, considérons la séquence On peut trouver les valeurs des membres de la séquence un par un

, à partir du troisième : Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent , depuis mot latin récurrent

- revenir. Maintenant nous pouvons définir progression arithmétique

. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres. Progression arithmétique

est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre. Le numéro est appelé différence de progression arithmétique

. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Si titre="d>0.

croissant

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; 11;... Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est.

décroissant

Par exemple, 2 ; -1 ; -4 ; -7;... Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est.

stationnaire

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons la photo.

Nous voyons que

, et en même temps

.

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

Nous voyons que

De plus, puisque

, Que

, et donc">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin Nous avons

formule du nième terme. IMPORTANT!

Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On obtient :

Donc, la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) Nous le voyons ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , c'est pourquoi

. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres. nommer une séquence de nombres (termes d'une progression)

Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un nouveau terme, également appelé différence de pas ou de progression.

Ainsi, en précisant l'étape de progression et son premier terme, vous pouvez retrouver n'importe lequel de ses éléments grâce à la formule

Propriétés d'une progression arithmétique

1) Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique des membres précédent et suivant de la progression

L’inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des termes impairs (pairs) adjacents d’une progression est égale au terme qui les sépare, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. En utilisant cette instruction, il est très facile de vérifier n’importe quelle séquence.

De plus, grâce à la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

Ceci est facile à vérifier si vous écrivez les termes à droite du signe égal

Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.

2) La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est calculée à l'aide de la formule

Rappelez-vous bien la formule de la somme d'une progression arithmétique ; elle est indispensable dans les calculs et se retrouve assez souvent dans des situations simples de la vie.

3) Si vous avez besoin de trouver non pas la somme entière, mais une partie de la suite à partir de son kème terme, alors la formule de somme suivante vous sera utile

4) Il est d'un intérêt pratique de trouver la somme de n termes d'une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Sur ce matériel théorique se termine et nous passons à la résolution des problèmes courants dans la pratique.

Exemple 1. Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4;7;...

Solution:

Selon la condition que nous avons

Déterminons l'étape de progression

Par formule bien connue trouver le quarantième terme de la progression

Exemple 2.

Solution:

Une progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième termes. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Écrivons les éléments donnés de la progression à l'aide des formules

On soustrait la première de la deuxième équation, on trouve ainsi le pas de progression

Nous substituons la valeur trouvée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

On calcule la somme des dix premiers termes de la progression Sans postuler calculs complexes

Nous avons trouvé toutes les quantités requises.

Solution:

Exemple 3. Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses termes. Trouver le premier terme de la progression, la somme de ses 50 termes à partir de 50 et la somme des 100 premiers.

Écrivons la formule du centième élément de la progression

et trouve le premier

A partir du premier, on retrouve le 50ème terme de la progression

Trouver la somme de la partie de la progression

et la somme des 100 premiers

Le montant de la progression est de 250.

Exemple 4.

Trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique si :

Solution:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Écrivons les équations en fonction du premier terme et du pas de progression et déterminons-les

Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de termes dans la somme

Nous effectuons des simplifications et décider

équation quadratique

Parmi les deux valeurs trouvées, seul le chiffre 8 correspond aux conditions problématiques. Ainsi, la somme des huit premiers termes de la progression est 111.

Exemple 5.

Résoudre l'équation

1+3+5+...+x=307. Solution: Cette équation

Oui, oui : la progression arithmétique n'est pas un jouet pour vous :)

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : SOOOOO !) savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$ Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir:.

chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le deuxième cas, la différence entre la série est déjà égal à cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, il y a complètement des racines. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que ordonné séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà progression sans fin. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : dernier exemple peut paraître trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout dépend ici uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire numéros identiques: (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Cela ressemblera à ceci :

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme on le voit, dans tout trois cas la différence s’est en fait révélée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est ça! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est comme ça qu'il est facile de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de la progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est ça! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir : jusqu'à quand (c'est-à-dire jusqu'à quoi nombre naturel$n$) la négativité des termes est préservée :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

Solution entière minimale de cette inégalité- numéro 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à inégalité stricte, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et écrivons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Qu’est-ce que cela signifie pour nous ? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Jetez un oeil :

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Parce que numéros spécifiés sont membres de la progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : élément central$x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Le résultat est une équation quadratique classique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse : 1 ; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

Dans l'ensemble, décider dernières tâches, nous en avons croisé un autre fait intéressant, qu'il faut également rappeler :

Si trois nombres sont tels que le deuxième est le milieu l'arithmétique d'abord et enfin, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l'avenir, comprendre cette affirmation nous permettra littéralement de « concevoir » progressions nécessaires, en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple :

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à passer de ces éléments à côtés opposés(l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), puis les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Compréhension ce fait nous permettra de résoudre les problèmes de manière fondamentalement plus haut niveau difficultés que celles que nous avons évoquées ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : je l'ai sorti multiplicateur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches vers le haut :

calendrier fonction quadratique- parabole

Veuillez noter: valeur minimale cette parabole prend $((d)_(0))$ en son sommet en abscisse. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L’abscisse est donc égale à la moyenne nombres arithmétiques−66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend plus petite valeur(d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre représente la différence par rapport à la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si à partir des nombres $x$ et $z$ nous sommes dans à l'heure actuelle on ne peut pas obtenir $y$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Encore plus tâche difficile, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais considérer quelques points relativement tâches simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tout est pareil :

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que des points importants et très conséquences utiles d'elle.

Somme d'une progression arithmétique.

La somme d’une progression arithmétique est une chose simple. Tant dans le sens que dans la formule. Mais il existe toutes sortes de tâches sur ce sujet. Du basique au assez solide.

Tout d'abord, comprenons la signification et la formule du montant. Et puis nous déciderons. Pour votre propre plaisir.) La signification du montant est aussi simple qu'un meuglement. Pour trouver la somme d’une progression arithmétique, il suffit d’additionner soigneusement tous ses termes. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez les ajouter sans aucune formule. Mais s'il y en a beaucoup, ou beaucoup... l'addition est gênante.) Dans ce cas, la formule vient à la rescousse.

La formule du montant est simple :

Voyons quels types de lettres sont inclus dans la formule. Cela clarifiera beaucoup les choses.

S n - la somme d'une progression arithmétique. Résultat de l'addition tout le monde membres, avec d'abord Par dernier. C'est important. Ils s'additionnent exactement Tous membres d'affilée, sans sauter ni sauter. Et précisément, à partir de d'abord. Dans des problèmes comme trouver la somme des troisième et huitième termes, ou la somme des termes du cinquième au vingtième - application directe les formules vous décevront.)

un 1 - d'abord membre de la progression. Tout est clair ici, c'est simple d'abord numéro de ligne.

un- dernier membre de la progression. Dernier numéro rangée. Ce n’est pas un nom très familier, mais appliqué au montant, il convient très bien. Ensuite, vous verrez par vous-même.

n - numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre coïncide avec le nombre de termes ajoutés.

Définissons le concept dernier membre un. Question délicate : quel membre le dernier si donné sans fin progression arithmétique ?)

Pour répondre avec assurance, vous devez comprendre le sens élémentaire d'une progression arithmétique et... lire attentivement la tâche !)

Dans la tâche consistant à trouver la somme d'une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Dans le cas contraire, un montant définitif et précis n'existe tout simplement pas. Pour la solution, peu importe que la progression soit donnée : finie ou infinie. Peu importe comment cela est donné : une série de nombres ou une formule pour le nième terme.

Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier terme de la progression jusqu'au terme avec numéro n. En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci : la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, soit n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans une tâche, toutes ces informations précieuses sont souvent cryptées, oui... Mais qu'à cela ne tienne, dans les exemples ci-dessous nous vous révélons ces secrets.)

Exemples de tâches sur la somme d'une progression arithmétique.

Tout d'abord, informations utiles:

La principale difficulté des tâches impliquant la somme d’une progression arithmétique est définition correcteéléments de la formule.

Les rédacteurs des tâches chiffrent ces mêmes éléments avec une imagination sans limites.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprendre l'essence des éléments, il suffit simplement de les déchiffrer. Examinons quelques exemples en détail. Commençons par une tâche basée sur un véritable GIA.

1. La progression arithmétique est donnée par la condition : a n = 2n-3,5. Trouvez la somme de ses 10 premiers termes.

Bon travail. Facile.) Pour déterminer le montant à l’aide de la formule, que devons-nous savoir ? Premier membre un 1, dernier trimestre un, oui le numéro du dernier membre n.

Où puis-je obtenir le numéro du dernier membre ? n? Oui, sur place, sous condition ! Il dit : trouvez la somme 10 premiers membres. Eh bien, avec quel numéro sera-t-il ? dernier, dixième membre ?) Vous ne le croirez pas, son numéro est le dixième !) Par conséquent, au lieu de un Nous substituerons dans la formule un 10, et à la place n- dix. Je le répète, le numéro du dernier membre coïncide avec le nombre de membres.

Reste à déterminer un 1 Et un 10. Ceci est facilement calculé à l’aide de la formule du nième terme, donnée dans l’énoncé du problème. Vous ne savez pas comment faire cela ? Assistez à la leçon précédente, sans cela, il n'y a aucun moyen.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule de la somme d'une progression arithmétique. Il ne reste plus qu'à les substituer et à compter :

C'est ça. Réponse : 75.

Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué :

2. Étant donné une progression arithmétique (a n) dont la différence est de 3,7 ; une 1 =2,3. Trouvez la somme de ses 15 premiers termes.

On écrit immédiatement la formule de somme :

Cette formule nous permet de trouver la valeur de n'importe quel terme par son numéro. Nous recherchons une substitution simple :

une 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Il ne reste plus qu'à substituer tous les éléments dans la formule de la somme d'une progression arithmétique et à calculer la réponse :

Réponse : 423.

À propos, si dans la formule de somme au lieu de un On substitue simplement la formule au nième terme et on obtient :

Apportons-en des similaires, nous obtenons nouvelle formule sommes des termes d'une progression arithmétique :

Comme vous pouvez le voir, ce n'est pas obligatoire ici nième mandat un. Dans certains problèmes, cette formule aide beaucoup, oui... Vous vous souvenez de cette formule. Est-ce possible dans bon moment c'est facile de l'afficher, comme ici. Après tout, vous devez toujours vous rappeler la formule de la somme et la formule du nième terme.)

Maintenant, la tâche sous la forme d'un court cryptage) :

3. Trouvez la somme de tous les positifs nombres à deux chiffres, multiples de trois.

Ouah! Ni votre premier membre, ni votre dernier, ni progression du tout... Comment vivre !?

Vous devrez réfléchir avec votre tête et extraire tous les éléments de la somme de la progression arithmétique de la condition. Nous savons ce que sont les nombres à deux chiffres. Ils se composent de deux nombres.) Quel sera le nombre à deux chiffres d'abord? 10, vraisemblablement.) Un dernier numéro à deux chiffres ? 99, bien sûr ! Ceux à trois chiffres le suivront...

Multiples de trois... Hm... Ce sont des nombres divisibles par trois, ici ! Dix n'est pas divisible par trois, 11 n'est pas divisible... 12... est divisible ! Alors, quelque chose est en train d’émerger. Vous pouvez déjà écrire une série selon les conditions du problème :

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Cette série sera-t-elle une progression arithmétique ? Certainement! Chaque terme diffère du précédent par strictement trois. Si vous ajoutez 2 ou 4 à un terme, disons, le résultat, c'est-à-dire le nouveau nombre n'est plus divisible par 3. Vous pouvez immédiatement déterminer la différence de la progression arithmétique : d = 3. Cela sera utile !)

Ainsi, nous pouvons noter en toute sécurité quelques paramètres de progression :

Quel sera le numéro ? n dernier membre ? Quiconque pense que 99 se trompe fatalement... Les chiffres s'enchaînent toujours, mais nos membres dépassent trois. Ils ne correspondent pas.

Il y a deux solutions ici. Une solution est pour les super travailleurs. Vous pouvez noter la progression, toute la série de nombres et compter le nombre de membres avec votre doigt.) La deuxième façon est destinée aux réfléchis. Vous devez vous rappeler la formule du nième terme. Si nous appliquons la formule à notre problème, nous constatons que 99 est le trentième terme de la progression. Ceux. n = 30.

Regardons la formule de la somme d'une progression arithmétique :

Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons extrait de l'énoncé du problème tout le nécessaire pour calculer le montant :

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Il ne reste plus que l'arithmétique élémentaire. Nous substituons les nombres dans la formule et calculons :

Réponse : 1665

Un autre type de puzzle populaire :

4. Étant donné une progression arithmétique :

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trouvez la somme des termes du vingtième à trente-quatre.

On regarde la formule du montant et... on s'énerve.) La formule, je vous le rappelle, calcule le montant dès le premier membre. Et dans le problème, vous devez calculer la somme depuis le vingtième... La formule ne fonctionnera pas.

Vous pouvez bien sûr écrire toute la progression dans une série et ajouter des termes de 20 à 34. Mais... c'est en quelque sorte stupide et prend beaucoup de temps, non ?)

Il y a plus solution élégante. Divisons notre série en deux parties. La première partie sera du premier mandat au dix-neuvième. Deuxième partie - de vingt à trente-quatre heures. Il est clair que si l'on calcule la somme des termes de la première partie S1-19, ajoutons-le avec la somme des termes de la deuxième partie S20-34, on obtient la somme de la progression du premier mandat au trente-quatrième S1-34. Comme ça:

S1-19 + S20-34 = S1-34

De là, nous pouvons voir que trouver la somme S20-34 peut être fait par simple soustraction

S20-34 = S1-34 - S1-19

Les deux montants du côté droit sont pris en compte dès le premier membre, c'est-à-dire tout à fait applicable à eux formule standard montants. Commençons ?

Nous extrayons les paramètres de progression de l'énoncé du problème :

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Pour calculer les sommes des 19 premiers et des 34 premiers termes, nous aurons besoin des 19e et 34e termes. On les calcule à l'aide de la formule du nième terme, comme dans le problème 2 :

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Il ne reste plus rien. De la somme de 34 termes soustrayez la somme de 19 termes :

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Réponse : 262,5

Un remarque importante! Il existe une astuce très utile pour résoudre ce problème. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34), nous avons compté quelque chose qui ne semble pas nécessaire - S 1-19. Et puis ils ont déterminé S20-34, en supprimant l'inutile du résultat complet. Ce genre de « feinte avec les oreilles » vous évite souvent de graves problèmes.)

Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour lesquels il suffit de comprendre la signification de la somme d'une progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)

Conseils pratiques:

Lors de la résolution d'un problème impliquant la somme d'une progression arithmétique, je recommande d'écrire immédiatement les deux formules principales de ce sujet.

Formule pour le nième terme :

Ces formules vous diront immédiatement quoi rechercher et dans quelle direction penser pour résoudre le problème. Aide.

Et maintenant les tâches pour une solution indépendante.

5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas divisibles par trois.

Cool ?) L'indice est caché dans la note du problème 4. Eh bien, le problème 3 vous aidera.

6. La progression arithmétique est donnée par la condition : a 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez la somme de ses 24 premiers termes.

Inhabituel ?) C’est une formule récurrente. Vous pouvez en lire davantage dans la leçon précédente. N’ignorez pas le lien, de tels problèmes se retrouvent souvent à l’Académie nationale des sciences.

7. Vasya a économisé de l'argent pour les vacances. Jusqu'à 4550 roubles ! Et j'ai décidé d'offrir à ma personne préférée (moi-même) quelques jours de bonheur). Vivez magnifiquement sans rien vous priver. Dépensez 500 roubles le premier jour et chaque jour suivant, dépensez 50 roubles de plus que le précédent ! Jusqu'à ce que l'argent soit épuisé. Combien de jours de bonheur Vasya a-t-il eu ?

Est-ce difficile ?) La formule supplémentaire de la tâche 2 vous aidera.

Réponses (en désarroi) : 7, 3240, 6.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Les problèmes de progression arithmétique existaient déjà dans l’Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution parce qu’ils avaient un besoin pratique.

Ainsi, dans l'un des papyrus Egypte ancienne ayant contenu mathématique, - le papyrus Rhind (19ème siècle avant JC) - contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain entre dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de la mesure.

Et dans les travaux mathématiques des Grecs anciens, il existe des théorèmes élégants liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsiclès d'Alexandrie (IIe siècle, qui représentait beaucoup tâches intéressantes et qui ajouta le quatorzième livre aux Éléments d’Euclide, formula la pensée : « Dans une progression arithmétique, qui a nombre pair termes, la somme des termes de la 2ème moitié est supérieure à la somme des termes de la 1ère moitié du carré de la moitié du nombre de termes.

La séquence est désignée par un. Les numéros d'une séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent le numéro d'ordre de ce membre (a1, a2, a3... lire : « un 1er », « un 2e », « un 3e » et ainsi de suite ).

La séquence peut être infinie ou finie.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Nous entendons par là celui obtenu en ajoutant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.

Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors cette progression est considérée comme croissante.

Une progression arithmétique est dite finie si seuls ses premiers termes sont pris en compte. À très grandes quantités membres est déjà une progression sans fin.

Toute progression arithmétique est définie par la formule suivante :

an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.

L'affirmation inverse est absolument vraie : si une suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique qui a les propriétés :

1. Chaque terme de la progression est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant.
2. Inverse : si, à partir du 2ème, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, soit si la condition est remplie, alors cette séquence est une progression arithmétique. Cette égalité est aussi un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle habituellement propriété caractéristique progression.
   De la même manière, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un des termes de la suite, en commençant par le 2ème.

La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al, si n + m = k + l (m, n, k sont des nombres de progression).

Dans une progression arithmétique, tout (Nième) terme nécessaire peut être trouvé en utilisant la formule suivante:

Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et égal à trois, et la différence (d) est égale à quatre. Il vous faut trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177

La formule an = ak + d(n - k) permet de déterminer le nième terme d'une progression arithmétique par n'importe lequel de ses kièmes termes, à condition qu'il soit connu.

La somme des termes d'une progression arithmétique (c'est-à-dire les n premiers termes progression finie) est calculé comme suit :

Sn = (a1+an)n/2.

Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule convient pour le calcul :

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somme d'une progression arithmétique contenant n termes est calculée comme suit :

Le choix des formules de calcul dépend des conditions des problèmes et des données initiales.

Série naturelle de nombres quelconques, tels que 1,2,3,...,n,...- exemple le plus simple progression arithmétique.

En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique qui a ses propres propriétés et caractéristiques.