Niveau d'entrée

Cercle circonscrit. Guide visuel (2019)

La première question qui peut se poser est : qu’est-ce qui est décrit – autour de quoi ?

Bon, en fait, parfois ça arrive autour de n'importe quoi, mais on parlera d'un cercle circonscrit autour (parfois on dit aussi « à propos ») d'un triangle. Qu'est-ce que c'est?

Et imaginez, un fait étonnant se produit :

Pourquoi ce fait est-il surprenant ?

Mais les triangles sont différents !

Et pour chacun il y a un cercle qui passera par sur les trois sommets, c'est-à-dire le cercle circonscrit.

Preuve de cela fait étonnant vous pouvez le trouver dans les niveaux suivants de la théorie, mais ici nous notons seulement que si nous prenons, par exemple, un quadrilatère, alors pour tout le monde il n'y aura pas de cercle passant par les quatre sommets. Par exemple, un parallélogramme est un excellent quadrilatère, mais il n’existe pas de cercle passant par ses quatre sommets !

Et il n'y a que pour un rectangle :

Voici, et chaque triangle a toujours son cercle circonscrit ! Et c’est même toujours assez simple de retrouver le centre de ce cercle.

Savez-vous ce que c'est médiatrice?

Voyons maintenant ce qui se passe si l’on considère jusqu’à trois médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Il s’avère (et c’est précisément ce qu’il faut prouver, même si nous ne le ferons pas) que les trois perpendiculaires se coupent en un point. Regardez l'image : les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un point.

Pensez-vous que le centre du cercle circonscrit se trouve toujours à l’intérieur du triangle ? Imaginez - pas toujours !

Mais si à angle aigu, puis - à l'intérieur :

Que faire avec un triangle rectangle ?

Et avec un bonus supplémentaire :

Puisque nous parlons du rayon du cercle circonscrit : à quoi est-il égal triangle arbitraire? Et il y a une réponse à cette question : la soi-disant .

À savoir:

Et bien sûr,

1. Existence et centre du cercle circonscrit

Ici, la question se pose : un tel cercle existe-t-il pour chaque triangle ? Il s’avère que oui, pour tout le monde. Et de plus, nous allons maintenant formuler un théorème qui répond également à la question de savoir où se trouve le centre du cercle circonscrit.

Regardez, comme ceci :

Soyons courageux et démontrons ce théorème. Si vous avez déjà lu le sujet "" et compris pourquoi trois bissectrices se coupent en un point, alors ce sera plus facile pour vous, mais si vous ne l'avez pas lu, ne vous inquiétez pas : maintenant nous allons le découvrir.

Nous réaliserons la preuve en utilisant la notion de lieu des points (GLP).

Eh bien, par exemple, le jeu de balles... " lieu» des objets ronds ? Non, bien sûr, car il existe des pastèques rondes. Est-ce un ensemble de personnes, un « lieu géométrique », qui peut parler ? Non non plus, car il y a des bébés qui ne peuvent pas parler. Dans la vie, il est généralement difficile de trouver un exemple de véritable « localisation géométrique de points ». C'est plus facile en géométrie. Voici par exemple exactement ce dont nous avons besoin :

Ici, l'ensemble est la médiatrice perpendiculaire et la propriété « » est « d'être équidistant (un point) des extrémités du segment ».

Devons-nous vérifier ? Vous devez donc vous assurer de deux choses :

1. Tout point équidistant des extrémités d’un segment est situé sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

Relions c et c. Ensuite, la ligne est la médiane et la hauteur b. Cela signifie - isocèle - nous nous sommes assurés que tout point situé sur la médiatrice perpendiculaire est à égale distance des points et.

Prenons le milieu et connectons et. Le résultat est la médiane. Mais selon la condition, non seulement la médiane est isocèle, mais aussi la hauteur, c'est-à-dire la médiatrice. Cela signifie que le point se trouve exactement sur la médiatrice.

Tous! Nous avons pleinement vérifié le fait que La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités du segment.

Tout cela est bien beau, mais a-t-on oublié le cercle circonscrit ? Pas du tout, nous venons de nous préparer un « tremplin d’attaque ».

Considérons un triangle. Traçons deux perpendiculaires bisectorales et, disons, aux segments et. Ils se croiseront à un moment donné, que nous nommerons.

Maintenant, faites attention !

Le point se trouve sur la médiatrice ;
le point se trouve sur la médiatrice.
Et cela signifie, et.

Plusieurs choses en découlent :

Premièrement, le point doit se situer sur la troisième bissectrice perpendiculaire au segment.

Autrement dit, la médiatrice doit également passer par le point et les trois médiatrices se coupent en un point.

Deuxièmement : si nous dessinons un cercle avec un centre en un point et un rayon, alors ce cercle passera également par le point et le point, c'est-à-dire que ce sera un cercle circonscrit. Cela signifie qu'il existe déjà une intersection de trois médiatrices perpendiculaires- le centre du cercle circonscrit pour tout triangle.

Et la dernière chose : à propos de l'unicité. Il est clair (presque) que le point peut être obtenu de manière unique, donc le cercle est unique. Bon, on laisse « presque » à votre réflexion. Nous avons donc prouvé le théorème. Vous pouvez crier « Hourra ! »

Et si le problème demande « trouver le rayon du cercle circonscrit » ? Ou vice versa, le rayon est donné, mais il faut trouver autre chose ? Existe-t-il une formule reliant le rayon du cercle circonscrit aux autres éléments du triangle ?

Attention : le théorème des sinus stipule que pour trouver le rayon du cercle circonscrit, il vous faut un côté (n'importe lequel !) et l'angle qui lui est opposé. C'est tout !

3. Centre du cercle - intérieur ou extérieur

Maintenant la question est : le centre du cercle circonscrit peut-il se trouver à l’extérieur du triangle ?
Réponse : autant que possible. De plus, cela se produit toujours dans un triangle obtus.

Et en général :

CERCLE CIRCULAIRE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Cercle circonscrit à un triangle

C'est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

2. Existence et centre du cercle circonscrit

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour réussir réussir l'examen d'État unifié, pour l'admission à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, à vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu bonne éducation, gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l’ont pas reçu. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce qu'il y a beaucoup plus d'ouverture devant eux plus de possibilités et la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.

Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.

Vous aurez besoin résoudre des problèmes contre le temps.

Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.

C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.

Retrouvez la collection où vous voulez, nécessairement avec des solutions, analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !

Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

Afin de mieux utiliser nos tâches, vous devez contribuer à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.

Comment? Il existe deux options :

1. Débloquez toutes les tâches cachées dans cet article - 299 roubles.
2. Débloquez l'accès à toutes les tâches cachées dans les 99 articles du manuel - 999 roubles.

Oui, nous avons 99 articles de ce type dans notre manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'elles contiennent peut être ouvert immédiatement.

Dans le deuxième cas nous vous donnerons simulateur « 6000 problèmes avec solutions et réponses, pour chaque sujet, à tous les niveaux de complexité. » Ce sera certainement suffisant pour mettre la main sur la résolution de problèmes sur n'importe quel sujet.

En fait, il s’agit bien plus qu’un simple simulateur : tout un programme de formation. Si nécessaire, vous pouvez également l'utiliser GRATUITEMENT.

L’accès à tous les textes et programmes est assuré pendant TOUTE la durée d’existence du site.

Et en conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !

Un cercle circonscrit par un triangle rectangle. Dans cette publication, nous examinerons la preuve d'un " fait mathématique", qui est largement utilisé pour résoudre des problèmes de géométrie. Dans certaines sources, ce fait est désigné comme un théorème, dans d'autres comme une propriété ; il existe différentes formulations, mais leur essence est la même :

Tout triangle construit sur le diamètre d'un cercle dont le troisième sommet se trouve sur ce cercle est rectangulaire !

Autrement dit, le motif de ce motif géométrique est que partout où vous placez le sommet du triangle, l'angle à ce sommet sera toujours droit :

Il y a beaucoup de tâches dans l'examen de mathématiques, au cours des solutions desquelles cette propriété est utilisée.

Je trouve la preuve standard très confuse et surchargée symboles mathématiques, vous le trouverez dans le manuel. Nous considérerons le simple et l'intuitif. Je l'ai découvert dans un merveilleux essai intitulé " Le cri du mathématicien", je recommande la lecture aux enseignants et aux étudiants.

Rappelons d’abord quelques points théoriques :

Signe de parallélogramme. Un parallélogramme a des côtés opposés égaux. Autrement dit, si un quadrilatère a deux paires de côtés opposés égaux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Panneau rectangulaire. Un rectangle est un parallélogramme et ses diagonales sont égales. Autrement dit, si un parallélogramme a des diagonales égales, alors c'est un rectangle.

*Un rectangle est un parallélogramme ; c'est son cas particulier.

Alors commençons :

Prenons un triangle et faisons-le pivoter de 180 0 par rapport au centre du cercle (retournez-le). On obtient un quadrilatère inscrit dans un cercle :

Puisque nous avons simplement fait pivoter le triangle, les côtés opposés du quadrilatère sont égaux, ce qui signifie que c'est un parallélogramme. Puisque le triangle pivote d’exactement 180 degrés, son sommet est diamétralement opposé au sommet du triangle « original ».

Il s’avère que les diagonales du quadrilatère sont égales, ce sont donc des diamètres. Nous avons un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et les diagonales sont égales, c'est donc un rectangle et tous ses angles sont droits.

C'est toute la preuve !

Vous pouvez également considérer ceci, également simple et compréhensible :

Voir une autre preuve =>>

A partir du point C nous construirons un segment passant par le centre du cercle dont l'autre extrémité se situera sur le point opposé du cercle (point D). Connectez le point D aux sommets A et B :Nous avons un quadrilatère. Triangle AOD égal à un triangle CHOUETTE sur deux côtés et l'angle entre eux :

De l'égalité des triangles il résulte que AD = CB.

De même, AC = DB.

On peut conclure que le quadrilatère est un parallélogramme. De plus, ses diagonales sont égales - AB est initialement donné comme diamètre, CD est aussi un diamètre (passe par le point O).

Ainsi, ACBD est un rectangle, ce qui signifie que tous ses angles sont droits. Éprouvé!

Encore une approche remarquable, qui nous dit clairement et « magnifiquement » que l’angle en question est toujours le bon.

Regardez et mémorisez les informations sur. Regardez maintenant le croquis :

L'angle AOB n'est rien de plus que l'angle au centre basé sur l'arc ADB et il est égal à 180 degrés. Oui, AB est le diamètre d'un cercle, mais rien n'empêche de compter AOB angle central(c'est un angle droit). L'angle ACB lui est inscrit ; il repose également sur le même arc sur ADB ;

Et nous savons que l'angle inscrit égal à la moitié central, c'est-à-dire que peu importe la façon dont on place le point C sur le cercle, l'angle ACB sera toujours égal à 90 degrés, ce qui signifie qu'il est droit.

Quelles conclusions peut-on tirer par rapport à la résolution de problèmes, notamment ceux inclus dans l'examen ?

Si la condition concerne un triangle inscrit dans un cercle et construit sur le diamètre de ce cercle, alors ce triangle est bien un triangle rectangle.

Si l'on dit qu'un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, cela signifie que son hypoténuse coïncide avec son diamètre (égal à celui-ci) et que le centre de l'hypoténuse coïncide avec le centre du cercle.

C'est tout. Bonne chance à vous !

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

Bissectrice perpendiculaire à un segment de droite

Définition 1. Médiatrice perpendiculaire à un segment appelée ligne droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu (Fig. 1).

Théorème 1. Chaque point de la médiatrice d'un segment est situé à la même distance des extrémités ce segment.

Preuve . Considérons point arbitraire D, situé sur la médiatrice du segment AB (Fig. 2), et prouver que les triangles ADC et BDC sont égaux.

En effet, ces triangles sont des triangles rectangles dans lesquels les branches AC et BC sont égales, et la branche DC est commune. L'égalité des triangles ADC et BDC implique l'égalité des segments AD et DB. Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2 (Converse du théorème 1). Si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Preuve . Démontrons le théorème 2 par contradiction. Pour cela, supposons qu'un point E soit à la même distance des extrémités du segment, mais ne se trouve pas sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment. Amenons cette hypothèse à une contradiction. Considérons d'abord le cas où les points E et A se situent le long différents côtés de la perpendiculaire médiane (Fig. 3). Dans ce cas, le segment EA coupe la médiatrice en un certain point, que nous désignerons par la lettre D.

Montrons que le segment AE est plus long que le segment EB. Vraiment,

Ainsi, dans le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice, nous avons une contradiction.

Considérons maintenant le cas où les points E et A se trouvent du même côté de la médiatrice (Fig. 4). Montrons que le segment EB est plus long que le segment AE. Vraiment,

La contradiction qui en résulte complète la preuve du théorème 2

Cercle circonscrit à un triangle

Définition 2. Un cercle circonscrit par un triangle, est appelé un cercle passant par les trois sommets du triangle (Fig. 5). Dans ce cas, le triangle s'appelle triangle inscrit dans un cercle ou triangle inscrit.

Propriétés du cercle circonscrit d'un triangle. Théorème des sinus

Chiffre	Dessin	Propriété
Médiatrices perpendiculaires sur les côtés du triangle		se croisent en un point .
Centre décrit à propos de triangle aigu cercle		Centre décrit à propos à angle aigu à l'intérieur triangle.
Centre cercle circonscrit à un triangle rectangle		Le centre a décrit environ rectangulaire milieu de l'hypoténuse .
Centre cercle circonscrit à un triangle obtus		Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors triangle.
		,
Carré triangle		S= 2R. 2 péché UN péché B péché C ,
Circonstance		Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

Médiatrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Toutes les médiatrices , dessiné sur les côtés d'un triangle arbitraire, se croisent en un point .

Cercle circonscrit à un triangle

N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point où se coupent toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle aigu

Centre décrit à propos à angle aigu Le cercle triangulaire se trouve à l'intérieur triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le centre a décrit environ rectangulaire le cercle triangulaire est milieu de l'hypoténuse .

Centre du cercle circonscrit d'un triangle obtus

Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors triangle.

Pour tout triangle, les égalités suivantes sont vraies (théorème des sinus) : , où a, b, c sont les côtés du triangle, A, B, C sont les angles du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Aire d'un triangle

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : S= 2R. 2 péché UN péché B péché C , où A, B, C sont les angles du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Circonstance

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : où a, b, c sont les côtés du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit à un triangle

Théorème 3. Toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés d’un triangle arbitraire se coupent en un point.

Preuve . Considérons deux médiatrices perpendiculaires tracées aux côtés AC et AB triangle ABC, et désignent le point de leur intersection avec la lettre O (Fig. 6).

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AC, alors en vertu du théorème 1 l'égalité est vraie :

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AB, alors en vertu du théorème 1 l'égalité suivante est vérifiée :

L’égalité est donc vraie :

d'où, en utilisant le théorème 2, nous concluons que le point O se trouve sur la médiatrice du segment BC.

Ainsi, les trois bissectrices perpendiculaires passent par le même point, comme cela doit être prouvé. N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point où se coupent toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Conséquence.

Lors de la démonstration du théorème 3, l’égalité suivante a été obtenue :

d'où il résulte qu'un cercle de centre au point O et de rayons OA, OB, OC passe par les trois sommets du triangle ABC, ce qui devait être prouvé.

Le triangle est le plus simple des plans plats. figures polygonales. Si la valeur d’un angle à ses sommets est de 90°, alors le triangle est appelé triangle rectangle. Il est possible de tracer un cercle autour d'un tel polygone de telle sorte que chacun des 3 sommets ait un point commun avec sa frontière (cercle). Ce cercle sera dit circonscrit, et la présence angle droit simplifie grandement la tâche de sa construction.

Vous aurez besoin

• Règle, boussole, calculatrice.

Instructions

1. Commencez par déterminer le rayon du cercle que vous devrez construire. S'il est possible de mesurer la longueur des côtés d'un triangle, faites attention à son hypoténuse - le côté opposé à l'angle droit. Mesurez-le et divisez la valeur obtenue en deux - ce sera le rayon du cercle décrit autour du triangle rectangle.

2. Si la longueur de l'hypoténuse est inconnue, mais qu'il existe des longueurs (a et b) des jambes (2 côtés adjacents à l'angle droit), alors trouvez le rayon (R) à l'aide du théorème de Pythagore. Il en résulte que ce paramètre sera égal à la moitié de la racine carrée extraite de la somme des carrés des longueurs des jambes : R=?*?(a?+b?).

3. Si la longueur d'une seule des branches (a) et la taille de l'angle aigu adjacent (?) sont connues, alors pour déterminer le rayon du cercle circonscrit (R), utilisez fonction trigonométrique– cosinus. Dans un triangle rectangle, il détermine le rapport des longueurs de l'hypoténuse et de cette jambe. Calculez la moitié du quotient de la longueur de la jambe divisé par le cosinus du fameux angle : R=?*a/cos(?).

4. Si, en plus de la longueur de l'une des branches (a), la valeur de l'angle aigu (?) situé en face d'elle est connue, alors pour calculer le rayon (R), utilisez une autre fonction trigonométrique - le sinus. A part remplacer la fonction et le côté, rien ne changera dans la formule - divisez la longueur de la jambe par le sinus de l'angle aigu connu, et divisez le résultat en deux : R=?*b/sin(?).

5. Après avoir trouvé le rayon par l'un des méthodes répertoriées déterminer le centre du cercle circonscrit. Pour ce faire, placez la valeur obtenue sur une boussole et réglez-la sur chaque sommet du triangle. Décrire cercle complet ce n'est pas nécessaire, marquez facilement l'endroit où il croise l'hypoténuse - ce point sera le centre du cercle. C'est la qualité d'un triangle rectangle : le centre du cercle qui l'entoure se trouve invariablement au milieu de son côté le plus long. Tracez un cercle du rayon indiqué sur la boussole avec le centre au point détecté. Cela terminera la construction.

Parfois environ polygone convexe Il est permis de tracer un cercle de manière à ce que les sommets de tous les angles se trouvent dessus. Un tel cercle par rapport au polygone doit être appelé circonscrit. Son centre ne doit pas nécessairement être situé à l'intérieur du périmètre de la figure inscrite, mais en utilisant les propriétés de la figure décrite cercle, découvrir ce point, comme d'habitude, n'est pas très difficile.

Vous aurez besoin

• Règle, crayon, rapporteur ou équerre, compas.

Instructions

1. Si le polygone autour duquel il faut décrire un cercle est dessiné sur papier, trouver centre et un cercle suffit avec une règle, un crayon et un rapporteur ou une équerre. Mesurez la longueur de chaque côté de la figure, déterminez son milieu et placez un point auxiliaire à cet endroit du dessin. À l'aide d'une équerre ou d'un rapporteur, tracez un segment à l'intérieur du polygone perpendiculairement à ce côté jusqu'à ce qu'il croise le côté opposé.

2. Faites la même opération avec tous les autres côtés du polygone. L'intersection de 2 segments construits sera le point souhaité. Cela découle de la propriété principale du décrit cercle- son centre dans un polygone convexe avec un nombre quelconque de côtés se trouve invariablement au point d'intersection des médiatrices perpendiculaires tracées à ces côtés.

3. Pour les polygones réguliers, la définition centre et inscrit cercle cela pourrait être beaucoup plus simple. Disons que s'il s'agit d'un carré, dessinez deux diagonales - leur intersection sera centre ohm inscrit cercle. Dans un polygone positif avec n'importe quel nombre pair de côtés, il suffit de combiner deux paires d'angles opposés avec des segments auxiliaires - centre décrit cercle doivent coïncider avec le point de leur intersection. Dans un triangle rectangle, pour résoudre le problème, déterminez facilement le milieu du côté le plus long de la figure - l'hypoténuse.

4. S'il ne ressort pas clairement des conditions s'il est permis dans la thèse de tracer un cercle circonscrit pour un polygone donné, après avoir déterminé la position du point centre et vous pouvez le découvrir en utilisant l'une des méthodes décrites. Marquez sur la boussole la distance entre le point détecté et chacun des sommets, réglez la boussole sur la valeur requise centre cercle et tracez un cercle - tout le sommet doit reposer dessus cercle. Si ce n’est pas le cas, cela signifie qu’une des propriétés de base n’est pas satisfaite et qu’il est impossible de décrire un cercle autour de ce polygone.

Selon la définition décrite cercle doit passer par tous les sommets des coins polygone donné. Dans ce cas, idéalement, peu importe de quel type de polygone il s'agit - un triangle, un carré, un rectangle, un trapèze ou autre chose. Peu importe également que le polygone soit vrai ou faux. Il suffit de considérer qu'il existe des polygones autour desquels cercle impossible à décrire. Il est toujours permis de décrire cercle autour du triangle. Quant aux quadrilatères, alors cercle Vous pouvez décrire un carré ou un rectangle ou un trapèze isocèle.

Vous aurez besoin

• Polygone spécifié
• Règle
• Carré
• Crayon
• Boussole
• Rapporteur
• Tableaux sinus et cosinus
• Représentations et formules mathématiques
• Théorème de Pythagore
• Théorème des sinus
• Théorème du cosinus
• Signes de similitude des triangles

Instructions

1. Construire un polygone avec paramètres donnés et déterminer s'il est permis de décrire autour de lui cercle. Si on vous donne un quadrilatère, calculez ses sommes coins opposés. Chacun d'eux doit être égal à 180°.

2. Afin de décrire cercle, vous devez calculer son rayon. Rappelez-vous où se trouve le centre du cercle circonscrit dans différents polygones. Dans un triangle, il est situé au point d'intersection de toutes les hauteurs triangle donné. Dans un carré et des rectangles - au point d'intersection des diagonales, pour un trapèze - au point d'intersection de l'axe de symétrie avec la ligne reliant les milieux des côtés latéraux, et pour tout autre polygone convexe - au point d'intersection des perpendiculaires médianes aux côtés.

3. Calculez le diamètre d'un cercle circonscrit à un carré et un rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. Ce sera égal racine carrée de la somme des carrés des côtés du rectangle. Pour un carré dont tous les côtés sont égaux, la diagonale est égale à la racine carrée de deux fois le carré du côté. En divisant le diamètre par 2, vous obtenez le rayon.

4. Calculez le rayon circonscrit du triangle. Puisque les paramètres du triangle sont donnés dans les conditions, calculez le rayon en utilisant la formule R = a/(2·sinA), où a est l'un des côtés du triangle, ? - l'angle qui lui est opposé. Au lieu de ce côté, vous pouvez prendre n’importe quel autre côté et l’angle opposé.

5. Calculez le rayon du cercle circonscrit au trapèze. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Dans cette formule, a et b sont les bases du trapèze, h est la hauteur, d est la diagonale, p = 1 /2*(a+d+c) . Calculez les valeurs manquantes. La hauteur peut être calculée à l'aide du théorème des sinus ou des cosinus, puisque les longueurs des côtés du trapèze et les angles sont précisés dans les conditions du problème. Connaissant la hauteur et considérant les signes de similitude des triangles, calculez la diagonale. Après cela, il ne reste plus qu'à calculer le rayon à l'aide de la formule ci-dessus.

Vidéo sur le sujet

Conseils utiles
Pour calculer le rayon d'un cercle circonscrit à un autre polygone, effectuez la série constructions supplémentaires. Obtenez des figures plus primitives dont vous connaissez les paramètres.

Astuce 4 : Comment dessiner un triangle rectangle en utilisant un angle aigu et une hypoténuse

Un triangle est appelé triangle rectangle si l’angle à l’un de ses sommets est de 90°. Le côté opposé à cet angle s’appelle l’hypoténuse, et les côtés opposés aux deux angles aigus du triangle s’appellent les jambes. Si la longueur de l'hypoténuse et la grandeur de l'un des coins pointus, alors ces données sont suffisantes pour construire un triangle en utilisant au moins deux méthodes.

Vous aurez besoin

• Une feuille de papier, un crayon, une règle, un compas, une calculatrice.

Instructions

1. La 1ère méthode nécessite, en plus d'un crayon et du papier, une règle, un rapporteur et une équerre. Tout d'abord, dessinez le côté qui est l'hypoténuse - placez le point A, mettez de côté la longueur connue de l'hypoténuse, placez le point C et combinez les points.

2. Fixez le rapporteur au segment dessiné de manière à ce que le repère zéro coïncide avec le point A, mesurez la valeur de l'angle aigu connu et placez un point auxiliaire. Tracez une ligne qui commencera au point A et passera par le point auxiliaire.

3. Attachez le carré au segment AC de manière à ce que l'angle droit parte du point C. Marquez le point où le carré coupe la ligne tracée à l'étape précédente avec la lettre B et combinez-le avec le point C. Ceci termine la construction de un triangle rectangle avec la fameuse longueur de côté AC (hypoténuse) et un angle aigu au sommet A sera complété.

4. Une autre méthode, en plus du crayon et du papier, nécessitera une règle, un compas et une calculatrice. Commencez par calculer la longueur des jambes - connaître la taille d'un angle aigu et la longueur de l'hypoténuse est absolument suffisant pour cela.

5. Calculez la longueur de cette jambe (AB), celle qui se trouve à l'opposé de l'angle de la quantité connue (β) - ce sera égal au produit la longueur de l'hypoténuse (AC) par le sinus du fameux angle AB=AC*sin(β).

6. Déterminez la longueur de l'autre jambe (BC) - elle sera égale au produit de la longueur de l'hypoténuse et du cosinus de l'angle donné BC=AC*cos(β).

7. Placez le point A, mesurez la longueur de l'hypoténuse à partir de celui-ci, placez le point C et tracez une ligne entre eux.

8. Mettez de côté la longueur de la jambe AB sur la boussole, calculée à la cinquième étape, et tracez un demi-cercle auxiliaire dont le centre est au point A.

9. Mettez de côté la longueur de la jambe BC, calculée à la sixième étape, sur la boussole et tracez un demi-cercle auxiliaire dont le centre est au point C.

10. Marquez le point d'intersection des 2 demi-cercles avec la lettre B et tracez des segments entre les points A et B, C et B. Cela terminera la construction du triangle rectangle.

Astuce 5 : Quels sont les noms des côtés d’un triangle rectangle

Les gens se sont intéressés aux propriétés étonnantes des triangles rectangles dès l’Antiquité. Beaucoup de ces propriétés ont été décrites par l’ancien scientifique grec Pythagore. Dans la Grèce antique, les noms des côtés d’un triangle rectangle apparaissaient également.

Quel triangle s'appelle un triangle rectangle ?

Il existe plusieurs types de triangles. Certains ont tous des angles aigus, d'autres en ont un obtus et deux aigus, et d'autres encore en ont deux aigus et un droit. D'après ce signe, tout type de ceux-ci formes géométriques et a reçu le nom : à angle aigu, à angle obtus et rectangulaire. Autrement dit, un triangle dont l’un des angles est de 90° est appelé triangle rectangle. Il existe une autre définition similaire à la première. Un triangle dont les deux côtés sont perpendiculaires est appelé triangle rectangle.

Hypoténuse et jambes

L'angle aigu et triangles obtus les segments reliant les sommets des coins sont appelés primitivement côtés. Au triangle côté rectangulaire Ils ont aussi d'autres noms. Ceux adjacents à l’angle droit sont appelés jambes. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. Traduit de mot grec« hypoténuse » signifie « serré » et « jambe » signifie « perpendiculaire ».

Relations entre l'hypoténuse et les jambes

Les côtés d’un triangle rectangle sont reliés par certaines relations qui facilitent grandement les calculs. Par exemple, connaissant les dimensions des jambes, vous pouvez calculer la longueur de l'hypoténuse. Cette relation, du nom du mathématicien qui l'a découverte, s'appelle le théorème de Pythagore et ressemble à ceci : c2 = a2 + b2, où c est l'hypoténuse, a et b sont les jambes. C'est-à-dire que l'hypoténuse sera égale à la racine carrée de la somme des carrés des jambes. Pour découvrir chacune des jambes, il suffit de soustraire le carré de l'autre jambe du carré de l'hypoténuse et d'extraire la racine carrée de la différence obtenue.

Jambe adjacente et opposée

Dessinez un triangle rectangle DIA. La lettre C désigne généralement le sommet d'un angle droit, A et B - les sommets des angles aigus. Il convient d'appeler les côtés opposés tout l'angle a, b et c, selon les noms des angles qui leur font face. Regardez l'angle A. La jambe a sera opposée, la jambe b sera adjacente. Le rapport du côté opposé à l’hypoténuse est appelé sinus. Cette fonction trigonométrique peut être calculée à l'aide de la formule : sinA=a/c. Le rapport entre la jambe adjacente et l’hypoténuse est appelé cosinus. Il est calculé selon la formule : cosA=b/c. Ainsi, connaissant l'angle et l'un des côtés, il est possible de calculer l'autre côté à l'aide de ces formules. Relations trigonométriques Les deux côtés sont également connectés. Le rapport de l’opposé à l’adjacent est appelé tangente, et le rapport de l’adjacent à l’opposé est appelé cotangente. Ces relations peuvent être exprimées par les formules tgA=a/b ou ctgA=b/a.