Mesure en degrés de l'angle. Mesure radian de l'angle. Conversion de degrés en radians et vice versa.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Dans la leçon précédente, nous avons appris à mesurer des angles sur un cercle trigonométrique. J'ai appris à compter le positif et angles négatifs. Nous avons appris à tracer un angle supérieur à 360 degrés. Il est temps de comprendre comment mesurer les angles. Surtout avec le nombre "Pi", qui s'efforce de nous confondre dans des tâches délicates, oui...

Les problèmes standards de trigonométrie avec le nombre « Pi » sont bien résolus. Mémoire visuelle aide. Mais tout écart par rapport au modèle est un désastre ! Pour éviter de tomber - comprendre nécessaire. C'est ce que nous allons faire maintenant avec succès. Je veux dire, nous comprendrons tout !

Donc, quoi les angles comptent-ils ? DANS cours scolaire la trigonométrie utilise deux mesures : degré mesure d'un angle Et mesure d'angle radian. Examinons ces mesures. Sans cela, il n'y a nulle part en trigonométrie.

Mesure en degrés de l'angle.

Nous nous sommes en quelque sorte habitués aux diplômes. Au moins nous avons réussi la géométrie... Et dans la vie, nous rencontrons souvent l'expression « tourné à 180 degrés », par exemple. Bref, un diplôme, c'est une chose simple...

Oui? Réponds-moi alors qu'est-ce qu'un diplôme ? Quoi, ça ne marche pas tout de suite ? C'est ça...

Les diplômes ont été inventés dans l’ancienne Babylone. C'était il y a bien longtemps... il y a 40 siècles... Et ils ont eu une idée simple. Ils prirent et divisèrent le cercle en 360 parties égales. 1 degré équivaut à 1/360 de cercle. C'est tout. Ils auraient pu le briser en 100 morceaux. Ou 1000. Mais ils l'ont divisé en 360. Au fait, pourquoi exactement 360 ? En quoi 360 vaut-il mieux que 100 ? 100 semble être en quelque sorte plus fluide... Essayez de répondre à cette question. Ou faiblement contre Babylone antique?

Quelque part au même moment, dans L'Egypte ancienneétaient tourmentés par une autre question. Combien de fois la longueur d’un cercle est-elle supérieure à la longueur de son diamètre ? Et ils l'ont mesuré de cette façon, et de cette façon... Tout s'est avéré être un peu plus de trois. Mais d'une manière ou d'une autre, cela s'est avéré hirsute, inégal... Mais eux, les Égyptiens, ne sont pas à blâmer. Après eux, ils souffrirent encore 35 siècles. Jusqu'à ce qu'ils prouvent enfin que peu importe la finesse avec laquelle vous coupez un cercle en morceaux égaux, vous pouvez fabriquer à partir de ces morceaux lisse la longueur du diamètre est impossible... En principe, c'est impossible. Eh bien, combien de fois la circonférence est supérieure au diamètre établi, bien sûr. Environ. 3,1415926... fois.

C'est le nombre "Pi". Si hirsute, si hirsute. Après la virgule décimale, il y a un nombre infini de nombres sans aucun ordre... De tels nombres sont appelés irrationnels. Cela signifie d'ailleurs qu'à partir de morceaux égaux d'un cercle, le diamètre lisse ne pliez pas. Jamais.

Pour application pratique Il est d'usage de ne mémoriser que deux chiffres après la virgule. Souviens-toi:

Puisque nous comprenons que la circonférence d'un cercle est supérieure à son diamètre par « Pi », il est logique de rappeler la formule de la circonférence d'un cercle :

Où L- circonférence, et d- son diamètre.

Utile en géométrie.

Pour enseignement général J'ajouterai que le nombre « Pi » ne se retrouve pas qu'en géométrie... Dans diverses branches des mathématiques, et notamment en théorie des probabilités, ce nombre apparaît constamment ! Par lui-même. Au-delà de nos envies. Comme ça.

Mais revenons aux degrés. Avez-vous compris pourquoi dans l’ancienne Babylone le cercle était divisé en 360 parties égales ? Et pas par 100, par exemple ? Non? D'ACCORD. Je vais vous donner une version. Vous ne pouvez pas demander aux anciens Babyloniens... Pour la construction ou, disons, l'astronomie, il est pratique de diviser un cercle en parties égales. Maintenant, déterminez par quels nombres il est divisible complètement 100, et lesquels - 360 ? Et dans quelle version de ces diviseurs complètement- plus? Cette division est très pratique pour les gens. Mais...

Comme il s’est avéré bien plus tard que l’ancienne Babylone, tout le monde n’aime pas les diplômes. Les mathématiques supérieures ne les aiment pas... Mathématiques supérieures- une dame sérieuse, organisée selon les lois de la nature. Et cette dame déclare : « Aujourd'hui, vous avez divisé le cercle en 360 parties, demain vous le diviserez en 100, après-demain en 245... Et que dois-je faire ? Non, vraiment... » Il fallait que j'écoute. On ne peut pas tromper la nature...

Il fallait introduire une mesure d’angle qui ne dépende pas des inventions humaines. Rencontrer - radian!

Mesure radian de l'angle.

Qu'est-ce qu'un radian ? La définition d'un radian repose toujours sur un cercle. Un angle de 1 radian est un angle qui coupe un arc d'un cercle dont la longueur est ( L) est égale à la longueur du rayon ( R.). Regardons les photos.

Un si petit angle, c'est quasiment inexistant... On passe le curseur sur l'image (ou on touche l'image sur la tablette) et on voit environ un radian. L = R

Sentez-vous la différence ?

Un radian équivaut à bien plus d’un degré. Combien de fois?

Regardons la photo suivante. Sur lequel j'ai dessiné un demi-cercle. L'angle déplié est bien entendu de 180°.

Maintenant, je vais couper ce demi-cercle en radians ! Nous passons le curseur sur l'image et voyons que 180° correspond à 3 radians et demi.

Qui peut deviner à quoi correspond cette queue !?

Oui! Cette queue est 0.1415926.... Bonjour, numéro "Pi", on ne vous a pas encore oublié !

En effet, 180° degrés contiennent 3,1415926... radians. Comme vous le comprenez vous-même, écrire 3.1415926 tout le temps... n'est pas pratique. Donc au lieu nombre infiniécrivez toujours simplement :

Mais sur Internet le numéro

Ce n'est pas pratique d'écrire... C'est pourquoi j'écris son nom dans le texte - "Pi". Ne vous y trompez pas, d'accord ?...

Nous pouvons maintenant écrire une égalité approximative d’une manière tout à fait significative :

Ou égalité exacte :

Déterminons combien de degrés il y a dans un radian. Comment? Facilement! S’il y a 180° degrés dans 3,14 radians, alors il y en a 3,14 fois moins dans 1 radian ! Autrement dit, nous divisons la première équation (la formule est aussi une équation !) par 3,14 :

Ce rapport est utile à retenir. Un radian équivaut à environ 60°. En trigonométrie, il faut souvent estimer et évaluer la situation. C’est là que cette connaissance aide beaucoup.

Mais la compétence principale de ce sujet est convertir les degrés en radians et vice versa.

Si l'angle est donné en radians avec le chiffre « Pi », tout est très simple. On sait que "Pi" radians = 180°. On remplace donc « Pi » par des radians - 180°. Nous obtenons l'angle en degrés. On réduit ce qui est réduit, et la réponse est prête. Par exemple, nous devons savoir combien degrés dans l'angle "Pi"/2 radian? Nous écrivons donc :

Ou, une expression plus exotique :

Facile, non ?

La traduction inverse est un peu plus compliquée. Mais pas beaucoup. Si l’angle est donné en degrés, nous devons déterminer à quoi équivaut un degré en radians et multiplier ce nombre par le nombre de degrés. A quoi correspond 1° en radians ?

Nous regardons la formule et réalisons que si 180° = « Pi » radians, alors 1° est 180 fois plus petit. Ou, en d'autres termes, on divise l'équation (une formule est aussi une équation !) par 180. Il n'est pas nécessaire de représenter « Pi » par 3.14, de toute façon, il s'écrit toujours avec une lettre. On constate qu’un degré est égal à :

C'est tout. Nous multiplions le nombre de degrés par cette valeur et obtenons l'angle en radians. Par exemple:

Ou, de façon similaire :

Comme vous pouvez le constater, lors d'une conversation tranquille avec digressions lyriques Il s'est avéré que les radians sont très simples. Et la traduction ne pose aucun problème... Et « Pi » est une chose tout à fait tolérable... Alors d'où vient cette confusion !?

Je vais révéler le secret. Le fait est que dans les fonctions trigonométriques, le symbole des degrés est écrit. Toujours. Par exemple, sin35°. C'est le sinus 35 degrés . Et l'icône en radian ( content) - pas écrit ! C'est implicite. Soit les mathématiciens étaient accablés par la paresse, soit autre chose... Mais ils ont décidé de ne pas écrire. S’il n’y a aucun symbole à l’intérieur de la sinuso-cotangente, alors l’angle est en radians ! Par exemple, cos3 est cosinus de trois radians .

Cela prête à confusion... Une personne voit « Pi » et croit qu'il fait 180°. N'importe quand et n'importe où. D'ailleurs, cela fonctionne. Pour l’instant, les exemples sont standards. Mais « Pi » est un nombre ! Le nombre est 3,14, mais pas les degrés ! C'est "Pi" radians = 180° !

Encore une fois : « Pi » est un nombre ! 3.14. Irrationnel, mais un nombre. Identique à 5 ou 8. Vous pouvez, par exemple, faire environ les étapes "Pi". Trois étapes et un peu plus. Ou achetez des kilos de bonbons « Pi ». Si un vendeur instruit tombe sur...

"Pi" est un nombre ! Quoi, je t'ai ennuyé avec cette phrase ? Avez-vous déjà tout compris il y a longtemps ? D'ACCORD. Allons vérifier. Dites-moi, quel nombre est le plus grand ?

Ou qu'est-ce qui est moins ?

C'est un peu une série questions non standards, ce qui peut vous plonger dans la stupeur...

Si vous aussi êtes tombé dans la stupeur, souvenez-vous du sortilège : « Pi » est un nombre ! 3.14. Dans le tout premier sinus, il est clairement indiqué que l'angle est en degrés! Impossible donc de remplacer « Pi » par 180° ! Les degrés « Pi » sont d’environ 3,14°. On peut donc écrire :

Il n'y a pas de notations dans le deuxième sinus. Donc là - radians! C’est là que remplacer « Pi » par 180° fonctionnera très bien. En convertissant les radians en degrés, comme écrit ci-dessus, nous obtenons :

Reste à comparer ces deux sinus. Quoi. oublié comment ? En utilisant un cercle trigonométrique, bien sûr ! Tracez un cercle, tracez des angles approximatifs de 60° et 1,05°. Voyons quels sinus ont ces angles. Bref, tout est décrit comme à la fin du sujet sur le cercle trigonométrique. Sur un cercle (même tordu !) il sera clairement visible que péché60° nettement plus que péché1,05°.

Nous ferons exactement la même chose avec les cosinus. Sur le cercle nous tracerons des angles d'environ 4 degrés et 4 radian(Avez-vous oublié à quoi équivaut approximativement 1 radian ?). Le cercle dira tout ! Bien entendu, cos4 est inférieur à cos4°.

Pratiquons-nous à utiliser les mesures d'angle.

Convertissez ces angles de degrés en radians :

360° ; 30°; 90° ; 270° ; 45°; 0°; 180° ; 60°

Vous devriez obtenir ces valeurs en radians (dans un ordre différent !)

0

D'ailleurs, j'ai spécifiquement souligné les réponses en deux lignes. Eh bien, voyons quels sont les coins de la première ligne ? Au moins en degrés, au moins en radians ?

Oui! Ce sont les axes du système de coordonnées ! Si vous regardez un cercle trigonométrique, alors le côté mobile de l'angle avec ces valeurs s'adapte exactement aux axes. Ces valeurs doivent être connues. Et j’ai noté l’angle de 0 degré (0 radian) pour cause. Et puis certaines personnes ne trouvent tout simplement pas cet angle sur un cercle... Et, par conséquent, ils se confondent dans les fonctions trigonométriques de zéro... Une autre chose est que la position du côté mobile à zéro degré coïncide avec la position à 360°, donc il y a toujours des coïncidences sur le cercle proche.

Dans la deuxième ligne, il y a aussi des angles spéciaux... Ce sont 30°, 45° et 60°. Et qu’ont-ils de si spécial ? Rien de spécial. La seule différence entre ces angles et tous les autres est que vous devez connaître ces angles. Tous. Et où ils se trouvent et quelles fonctions trigonométriques ont ces angles. Disons la valeur péché100° vous n'êtes pas obligé de savoir. UN péché45°- aurais-tu la gentillesse! C'est un savoir obligatoire, sans lequel il n'y a rien à faire en trigonométrie... Mais nous en reparlerons dans la prochaine leçon.

En attendant, continuons l'entraînement. Convertissez ces angles de radian en degrés :

Vous devriez obtenir des résultats comme celui-ci (en désordre) :

210°; 150° ; 135°; 120° ; 330° ; 315°; 300° ; 240° ; 225°.

Arrivé? On peut alors supposer que convertir des degrés en radians et inversement- ce n'est plus votre problème.) Mais traduire les angles est la première étape pour comprendre la trigonométrie. Là, vous devez également travailler avec les sinus et les cosinus. Et avec des tangentes et des cotangentes aussi...

La deuxième étape puissante est capacité à déterminer la position de n'importe quel angle sur cercle trigonométrique. En degrés et en radians. Je vais vous donner des indices ennuyeux sur cette compétence tout au long de la trigonométrie, oui...) Si vous savez tout (ou pensez tout savoir) sur le cercle trigonométrique et la mesure des angles sur le cercle trigonométrique, vous pouvez le vérifier. Résolvez ces tâches simples :

1. Dans quel quartier tombent les angles :

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Facilement? Nous allons continuer:

2. Dans quel quartier tombent les coins :

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000° ?

Pas de problème aussi ? Eh bien, regarde...)

3. Vous pouvez placer les coins en quarts :

Pourrais-tu? Eh bien, tu le donnes..)

4. Sur quels axes tombera le coin :

et coin :

Est-ce facile aussi ? Hum...)

5. Dans quel quartier tombent les coins :

Et ça a marché !? Eh bien, je ne sais vraiment pas...)

6. Déterminez dans quel quartier se situent les coins :

1, 2, 3 et 20 radians.

Je ne répondrai qu'à la dernière question (c'est un peu délicat) de la dernière tâche. Un angle de 20 radians tombera au premier quart.

Je ne donnerai pas le reste des réponses, pas par cupidité.) Simplement, si vous je n'ai pas décidé quelque chose tu en doutes en conséquence, ou dépensé pour la tâche n°4 plus de 10 secondes, vous êtes mal orienté en cercle. Ce sera votre problème dans toute la trigonométrie. Il vaut mieux s’en débarrasser (le problème, pas la trigonométrie !) immédiatement. Cela peut être fait dans le sujet : Travaux pratiques avec le cercle trigonométrique dans la section 555.

Il vous explique comment résoudre ces tâches simplement et correctement. Eh bien, ces tâches ont bien sûr été résolues. Et la quatrième tâche a été résolue en 10 secondes. Oui, il a été décidé que tout le monde pouvait le faire !

Si vous êtes absolument sûr de vos réponses et que les méthodes simples et sans problème de travailler avec les radians ne vous intéressent pas, vous n'êtes pas obligé de visiter le 555. Je n'insiste pas.)

Une bonne compréhension suffit bonne raison aller de l'avant!)

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Fonctions trigonométriques sont des fonctions élémentaires dont l'argument est coin. En utilisant fonctions trigonométriques décrit les relations entre les côtés et les angles aigus dans un triangle rectangle. Les domaines d'application des fonctions trigonométriques sont extrêmement divers. Par exemple, tout processus périodique peut être représenté comme une somme de fonctions trigonométriques (série de Fourier). Ces fonctions apparaissent souvent lors de la résolution d'équations différentielles et fonctionnelles.

Les fonctions trigonométriques comprennent les 6 fonctions suivantes : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante Et cosécante. Pour chaque fonctions spécifiées il existe une fonction trigonométrique inverse.

La définition géométrique des fonctions trigonométriques peut être facilement introduite en utilisant cercle unitaire. La figure ci-dessous montre un cercle de rayon r= 1. Il y a un point sur le cercle M(x,y). Angle entre le rayon vecteur OM et direction d'axe positive Bœuféquivaut à α .

Sinus angle α oui points M(x,y) en rayon r: péché α = oui/r. Parce que le r= 1, alors le sinus est égal à l'ordonnée du point M(x,y).

Cosinus angle α X points M(x,y) en rayon r:cos α = X/r = X

Tangente angle α appelé le rapport des ordonnées oui points M(x,y) en abscisse X:bronzer α = oui/X, X ≠ 0

Cotangente angle α appelé rapport des abscisses X points M(x,y) à son ordonnée oui:lit bébé α = X/oui, oui ≠ 0

Sécante angle α − est le rapport du rayon r en abscisse X points M(x,y):seconde α = r/X = 1/X, X ≠ 0

Cosécante angle α − est le rapport du rayon rà l'ordonnée oui points M(x,y) : cosec α = r/oui = 1/oui, oui ≠ 0

Dans le cercle unité de projection X, oui points M(x,y) et rayon r former un triangle rectangle dans lequel x, y sont des jambes, et r− hypoténuse. Par conséquent, les définitions ci-dessus des fonctions trigonométriques appliquées à un triangle rectangle sont formulées comme suit : Sinus angle α s'appelle le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Cosinus angle α appelé le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Tangente angle α appelé le côté opposé au côté adjacent. Cotangente angle α appelé jambe adjacenteà l'opposé.

Graphique de la fonction sinus oui= péché X, domaine: X ∈ ℜ , plage : −1 ≤ sin X ≤ 1

Graphique de la fonction cosinus oui=cos X, domaine: X ∈ ℜ , plage : −1 ≤ cos X ≤ 1

Graphique de la fonction tangente oui= ttg X, domaine: X ∈ ℜ , X ≠ (2k + 1)π /2, plage : −∞< tg X < ∞

Graphique de la fonction cotangente oui=ctg X, domaine: X ∈ ℜ , X ≠ kπ, plage : −∞< ctg X < ∞

Regardons la photo. Le vecteur \(AB\) a « tourné » par rapport au point \(A\) d’une certaine quantité. Voilà donc la mesure de cette rotation par rapport à position initiale et effectuera angle \(\alpha\).

Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Eh bien, les unités d'angle, bien sûr !

L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

Un angle de \(1()^\circ \) (un degré) est appelé angle central dans un cercle, reposant sur un arc de cercle égal à \(\dfrac(1)(360)\) partie du cercle.

Ainsi, le cercle entier est constitué de \(360\) "morceaux" d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est \(360()^\circ \) .

Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle \(\beta \) égal à \(50()^\circ \), c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle mesurant \(\dfrac(50)(360) \ ) la circonférence.

Un angle en \(1\) radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle.

Ainsi, la figure montre un angle \(\gamma \) égal à \(1 \) radians, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur \( AB \) est égal à la longueur \(BB" \) ou au rayon \(r\) égal à la longueur arcs \(l\) ). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

\(l=\theta \cdot r\) , où \(\theta \) est l'angle central en radians.

Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

\(L=2\pi \cdot r\)

Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l'angle décrit par le cercle est égal à \(2\pi \) . Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous constatons que \(2\pi =360()^\circ \) . En conséquence, \(\pi =180()^\circ \) . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.

Convertisseur de longueur et de distance Convertisseur de masse Convertisseur de volume de vrac et de nourriture Convertisseur de surface Convertisseur de volume et d'unités en recettes culinaires Convertisseur de température Convertisseur de pression, contrainte mécanique, module d'Young Convertisseur d'énergie et de travail Convertisseur de puissance Convertisseur de force Convertisseur de temps Convertisseur vitesse linéaire Convertisseur de nombres de convertisseur d'efficacité thermique et d'efficacité énergétique à angle plat en divers systèmes notations Convertisseur d'unités de mesure de quantité d'information Taux de change Tailles de vêtements et chaussures pour femmes Tailles Vêtements pour hommes et convertisseur de chaussures vitesse angulaire et vitesse de rotation Convertisseur d'accélération Convertisseur accélération angulaire Convertisseur de densité Convertisseur de volume spécifique Convertisseur de moment d'inertie Convertisseur de moment de force Convertisseur de couple Convertisseur chaleur spécifique combustion (en masse) Convertisseur de densité énergétique et de chaleur spécifique de combustion (en volume) Convertisseur de différence de température Convertisseur de coefficient dilatation thermique Convertisseur de résistance thermique Convertisseur conductivité thermique Convertisseur la capacité thermique spécifique Convertisseur de puissance d'exposition à l'énergie et de rayonnement thermique Convertisseur de densité flux de chaleur Convertisseur de coefficient de transfert de chaleur Convertisseur de débit volumique Convertisseur de débit massique Convertisseur de débit molaire Convertisseur de densité de débit massique Convertisseur concentration molaire Convertisseur concentration de masse en solution Convertisseur de viscosité dynamique (absolue) Convertisseur de viscosité cinématique Convertisseur tension superficielle Convertisseur de perméabilité à la vapeur Convertisseur de perméabilité à la vapeur et de taux de transfert de vapeur Convertisseur de niveau sonore Convertisseur de sensibilité du microphone Convertisseur de niveau de pression acoustique (SPL) Convertisseur de niveau de pression sonore avec pression de référence sélectionnable Convertisseur de luminosité Convertisseur d'intensité lumineuse Convertisseur d'éclairement Convertisseur de résolution infographie Convertisseur de fréquence et de longueur d'onde Puissance optique en dioptries et distance focale Puissance optique en dioptries et grossissement de l'objectif (×) Convertisseur charge électrique Convertisseur de densité de charge linéaire Convertisseur densité superficielle Convertisseur de charges densité apparente Convertisseur de charges courant électrique Convertisseur de densité de courant linéaire Convertisseur de densité de courant de surface Convertisseur d'intensité de champ électrique Convertisseur potentiel électrostatique et convertisseur de tension résistance électrique Convertisseur de résistivité électrique Convertisseur conductivité électrique Convertisseur de conductivité électrique Capacité électrique Convertisseur d'inductance Convertisseur de calibre de fil américain Niveaux en dBm (dBm ou dBmW), dBV (dBV), watts et autres unités Convertisseur force magnétomotrice Convertisseur de tension champ magnétique Convertisseur Flux magnétique Convertisseur d'induction magnétique Rayonnement. Convertisseur de débit de dose absorbée rayonnement ionisant Radioactivité. Convertisseur désintégration radioactive Radiation. Convertisseur de dose d'exposition Rayonnement. Convertisseur de dose absorbée Convertisseur de préfixe décimal Transfert de données Convertisseur d'unités de typographie et de traitement d'image Calcul du convertisseur d'unités de volume de bois masse molaire Tableau périodique éléments chimiques D. I. Mendeleïev

1 radian [rad] = 57,2957795130823 degrés [°]

Valeur initiale

Valeur convertie

degré radian grad gon minute seconde secteur zodiacal millième révolution cercle quadrant de révolution angle droit sextant

En savoir plus sur les angles

informations générales

Un angle plan est une figure géométrique formée de deux lignes qui se croisent. Un angle plan est constitué de deux rayons avec début commun, et ce point est appelé le sommet du rayon. Les rayons sont appelés côtés de l’angle. Il y a beaucoup de coins propriétés intéressantes, par exemple, la somme de tous les angles dans un parallélogramme est de 360° et dans un triangle de 180°.

Types d'angles

Direct les angles sont de 90°, épicé- inférieur à 90°, et stupide- au contraire, plus de 90°. Les angles égaux à 180° sont appelés déployé, les angles de 360° sont appelés complet, et les angles supérieurs à plein mais inférieurs à plein sont appelés non convexe. Lorsque la somme de deux angles est de 90°, c'est-à-dire qu'un angle complète l'autre à 90°, on les appelle supplémentaire adjacent, et si jusqu'à 360° - alors conjugué

Lorsque la somme de deux angles est de 90°, c'est-à-dire qu'un angle complète l'autre à 90°, on les appelle supplémentaire. S'ils se complètent jusqu'à 180°, on les appelle adjacent, et si jusqu'à 360° - alors conjugué. Dans les polygones, les angles à l'intérieur du polygone sont appelés internes et ceux qui leur sont conjugués sont appelés externes.

Deux angles formés par l’intersection de deux droites non adjacentes sont appelés verticale. Ils sont égaux.

Angles de mesure

Les angles sont mesurés à l'aide d'un rapporteur ou calculés à l'aide d'une formule en mesurant les côtés de l'angle allant du sommet à l'arc, ainsi que la longueur de l'arc qui limite ces côtés. Les angles sont généralement mesurés en radians et en degrés, bien qu'il existe d'autres unités.

Vous pouvez mesurer les deux angles formés entre deux lignes droites et entre des lignes courbes. Pour mesurer entre les courbes, les tangentes sont utilisées au point d'intersection des courbes, c'est-à-dire au sommet de l'angle.

Rapporteur

Un rapporteur est un outil pour mesurer des angles. La plupart des rapporteurs ont la forme d'un demi-cercle ou d'un cercle et peuvent mesurer des angles allant respectivement jusqu'à 180° et 360°. Certains rapporteurs sont dotés d'une règle rotative supplémentaire intégrée pour faciliter la mesure. Les échelles des rapporteurs sont souvent écrites en degrés, même si elles sont parfois également en radians. Les rapporteurs sont le plus souvent utilisés dans les cours de géométrie à l'école, mais ils sont également utilisés en architecture et en ingénierie, notamment dans la fabrication d'outils.

Utilisation des angles dans l'architecture et l'art

Les artistes, designers, artisans et architectes utilisent depuis longtemps les angles pour créer des illusions, des accents et d’autres effets. Alternance d'angles aigus et obtus ou de motifs géométriques de coins pointus souvent utilisé dans l'architecture, les mosaïques et les vitraux, comme dans les cathédrales gothiques et les mosaïques islamiques.

L’une des formes célèbres des beaux-arts islamiques est la décoration utilisant des motifs géométriques en forme de girih. Ce motif est utilisé dans les mosaïques, les sculptures sur métal et bois, sur papier et tissu. Le dessin est créé en alternant des formes géométriques. Traditionnellement, cinq chiffres sont utilisés avec stricte certains anglesà partir de combinaisons de 72°, 108°, 144° et 216°. Tous ces angles sont divisibles par 36°. Chaque figure est divisée par des lignes en plusieurs plus petites figures symétriques pour créer un motif plus fin. Initialement, ces figures ou pièces de mosaïque elles-mêmes étaient appelées girikh, d'où le nom de l'ensemble du style. Au Maroc, il existe un style géométrique similaire de mosaïque, de zullage ou de zilij. La forme des carreaux en terre cuite à partir desquels cette mosaïque est fabriquée n'est pas observée aussi strictement qu'à girikha, et les carreaux ont souvent une forme plus bizarre que les formes strictes. figures géométriquesà Giriha. Malgré cela, les artistes zullyaj utilisent également des angles pour créer des motifs contrastés et complexes.

En islamique beaux-Arts et en architecture, on utilise souvent le rub al-hizb - un symbole sous la forme d'un carré superposé à un autre selon un angle de 45°, comme dans les illustrations. Il peut être représenté comme silhouette solide, ou sous forme de lignes - dans ce cas ce symbole est appelé l'étoile d'Al-Quds (al Quds). Le Rub al-Hizb est parfois décoré de petits cercles à l'intersection des carrés. Ce symbole est utilisé dans les armoiries et sur les drapeaux des pays musulmans, par exemple sur les armoiries de l'Ouzbékistan et sur le drapeau de l'Azerbaïdjan. Les bases des tours jumelles les plus hautes du monde au moment de la rédaction (printemps 2013), les tours Petronas, sont construites en forme de rub al-hizb. Ces tours sont situées à Kuala Lumpur en Malaisie et le Premier ministre du pays a participé à leur conception.

Les angles vifs sont souvent utilisés en architecture comme éléments décoratifs. Ils confèrent au bâtiment une élégance stricte. Les angles obtus, au contraire, confèrent aux bâtiments un aspect cosy. Par exemple, nous admirons les cathédrales et les châteaux gothiques, mais ils ont l'air un peu tristes et même effrayants. Mais nous choisirons très probablement une maison avec un toit angles obtus entre les pistes. Les coins en architecture sont également utilisés pour renforcer Différents composants bâtiment. Les architectes conçoivent la forme, la taille et l'angle d'inclinaison en fonction de la charge exercée sur les murs à renforcer. Ce principe de renforcement par basculement est utilisé depuis l’Antiquité. Par exemple, les constructeurs anciens ont appris à construire des arcs sans ciment ni autres matériaux liants, en posant les pierres selon un certain angle.

Habituellement, les bâtiments sont construits verticalement, mais il y a parfois des exceptions. Certains bâtiments sont intentionnellement construits en pente et d’autres penchent à cause d’erreurs. Un exemple de bâtiment penché est le Taj Mahal en Inde. Les quatre minarets qui entourent le bâtiment principal ont été construits avec une inclinaison par rapport au centre, de sorte qu'en cas de tremblement de terre, ils ne tomberaient pas vers l'intérieur, sur le mausolée, mais dans l'autre sens, et n'endommageraient pas le bâtiment principal. Parfois, les bâtiments sont construits en biais par rapport au sol à des fins décoratives. Par exemple, la tour penchée d’Abu Dhabi ou Capital Gate est inclinée de 18° vers l’ouest. Et l'un des bâtiments du Puzzle World de Stuart Landsborough à Wanka, en Nouvelle-Zélande, est incliné de 53° par rapport au sol. Ce bâtiment est appelé la « Tour Penchée ».

Parfois, l'inclinaison d'un bâtiment est le résultat d'une erreur de conception, comme par exemple celle de la tour penchée de Pise. Les constructeurs n’ont pas tenu compte de la structure et de la qualité du sol sur lequel il a été construit. La tour était censée rester droite, mais les mauvaises fondations ne purent supporter son poids et le bâtiment s'enfonça, penché d'un côté. La tour a été restaurée à plusieurs reprises ; la restauration la plus récente au XXe siècle a stoppé son affaissement progressif et sa pente croissante. Nous avons réussi à le niveler de 5,5° à 4°. La tour de l'église de SuurHusen en Allemagne penche également parce que ses fondations en bois ont pourri d'un côté après que le sol marécageux sur lequel elle a été construite se soit asséché. Sur ce moment cette tour est plus inclinée que la tour penchée de Pise - d'environ 5°.

Trouvez-vous difficile de traduire des unités de mesure d’une langue à une autre ? Les collègues sont prêts à vous aider. Poster une question dans TCTerms et dans quelques minutes, vous recevrez une réponse.

Les angles sont mesurés en degrés ou en radians. Il est important de comprendre la relation entre ces unités de mesure. Comprendre cette relation vous permet d'opérer avec des angles et d'effectuer la transition des degrés aux radians et inversement. Dans cet article, nous dériverons une formule pour convertir les degrés en radians et les radians en degrés, et examinerons également plusieurs exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Relation entre degrés et radians

Pour établir le lien entre les degrés et les radians, il est nécessaire de connaître la mesure en degrés et en radians d’un angle. Par exemple, prenons l’angle au centre, qui est basé sur le diamètre d’un cercle de rayon r. Pour calculer la mesure en radians de cet angle, il faut diviser la longueur de l'arc par la longueur du rayon du cercle. L'angle considéré correspond à la longueur de l'arc, égal à la moitié circonférence π · r. Divisez la longueur de l'arc par le rayon et obtenez la mesure en radians de l'angle : π · r r = π rad.

L’angle en question est donc de π radians. En revanche, il s'agit d'un angle inversé égal à 180°. Donc 180° = π rad.

Relation entre degrés et radians

La relation entre les radians et les degrés est exprimée par la formule

π radian = 180°

Formules pour convertir des radians en degrés et vice versa

À partir de la formule obtenue ci-dessus, vous pouvez dériver d'autres formules pour convertir des angles de radians en degrés et de degrés en radians.

Exprimons un radian en degrés. Pour ce faire, divisez les côtés gauche et droit du rayon par pi.

1 r a d = 180 π ° - la mesure en degré d'un angle de 1 radian est égale à 180 π.

Vous pouvez également exprimer un degré en radians.

1° = π 180 r a d

Vous pouvez effectuer des calculs approximatifs des valeurs d'angle en radians et vice versa. Pour ce faire, prenez les valeurs du nombre π avec une précision au dix millième et remplacez-les dans les formules résultantes.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Il y a donc environ 57 degrés dans un radian

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Un degré contient 0,0175 radians.

Formule pour convertir les radians en degrés

x r a d = x 180 π °

Pour convertir un angle de radians en degrés, vous devez multiplier l'angle en radians par 180 et le diviser par pi.