Produit algébrique UN Et B désigné par AB et est défini comme ceci :

xE  AB ( X) =  UNE ( X)B ( X).

Somme algébrique de ces ensembles est noté et défini comme suit :

xE =  UNE ( X) +  B ( X) UNE ( X)B ( X).

Pour les opérations (, ), les propriétés suivantes sont satisfaites :

- commutativité ;

- l'associativité ;

A = , A = A, AE = A, A E = E

- Théorème de De Morgan.

Pas rempli:

Idempotence ;

- distributivité ;

et aussi A = , A = E.

Commentaire. Preuves des propriétés données des opérations sur ensembles flous nous laissons le soin au lecteur.

Par exemple, prouvons la propriété : . Notons  Un ( X) à travers un ,  B ( X) à travers b . Puis sur le côté gauche pour chaque élément X nous avons : 1- un B , et à droite : (1- un )+(1-b )-(1-un )(1-b ) = 1-un +1-b- 1+un +b-ab = 1-un B . 

Montrons que la propriété de distributivité n'est pas vraie, c'est-à-dire A(B C)  (AB) (AC). Pour le côté gauche nous avons : un (b +c-bc ) = un B +ac-abc ; pour la droite : un B +ca -(un B )(ca ) = un B +ca +un 2 avant JC . Cela signifie que la distributivité ne vaut pas pour uneune 2 . 

Commentaire.À partage opérations (, ,,), les propriétés suivantes sont satisfaites :

A(BC) = (AB)(AC);

A (BC) = (AB)(AC);

UNE (BC) = (UNE B)(UNE C);

UNE (BC)=(UNE B)(UNE C).

Continuons notre revue des opérations de base sur les ensembles flous.

Basé sur l'opération de produit algébrique (au moins pour les entiers)  cette base est évidente) l'opération est déterminée exponentiation  ensemble flou UN, Où  - nombre positif. Ensemble flou A déterminé par la fonction d'appartenance  UNE  =   UNE (x). Un cas particulier d'exponentiation est :

CON(A) = A2- opération concentration,

DIL(A) = A 0,5- opération entorses,

qui sont utilisés lorsque l’on travaille avec des incertitudes linguistiques.

Multiplier par un nombre. Si  - un nombre positif tel que   UNE ( X) 1, alors ensemble flou A a une fonction d’adhésion :

UNE( X) = UNE( X).

Combinaison convexe d'ensembles flous. Laisser UN 1 , UN 2 ,.., UN n - ensembles flous de l'ensemble universel E, UN  1 ,  2 , ..., n - nombres non négatifs, dont la somme est 1.

Combinaison convexe UN 1 , UN 2 ,.., UN n est appelé un ensemble flou UN avec fonction d'adhésion :

xE Un ( X 1 , X 1 ,..., X n) =  1  A1 ( X) +  2  A2 ( X) + ... +  n  Ai ( X).

Produit cartésien d'ensembles flous. Laisser UN 1 , UN 2 , ..., UN n - sous-ensembles flous d'ensembles universels E 1 , E 2 , ..., E n respectivement. produit cartésien UNE = UNE 1 UN 2  ... UN n est un sous-ensemble flou de l'ensemble E = E 1 E 2 ...  E n avec fonction d'adhésion :

 Un ( X 1 ,X 1 , ...,X n) = min(  A1 ( X 1),  A2 ( X 2) , ... ,  Ai ( X n) ).

Opérateur d'augmentation floue utilisé pour convertir des ensembles nets en ensembles flous et pour augmenter le flou d'un ensemble flou.

Laisser UN- ensemble flou, E- set universel pour tout le monde xE les ensembles flous sont définis K( X) . La totalité de tout K( X) appelé le noyau de l'opérateur flou croissant F. Le résultat de l'action de l'opérateur Fà un ensemble flou A est un ensemble flou de la forme :

Ф(A, K) =  UNE ( X)K( X),

Où  Un ( X)K( X) - le produit d'un nombre et d'un ensemble flou.

Exemple:

E = {1,2,3,4};

UN = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Ф(A,K) = UN(1) K(1) Un(2)K(2) Un(3)K(3)Un(4)K(4) =

0,8(1/1+0,4/2)  0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Ensemble croustillant de niveau  (ou niveau ) . L'ensemble de niveau  d'un ensemble flou UN ensemble universel E appelé clair sous-ensemble UN ensemble universel E, défini comme:

A ={X / UN(X )), où 1.

Exemple: UN= 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 ,

Alors Un 0,3 = {X 3 ,X 4 },

Un 0,7 = {X 4 }.

Une propriété assez évidente : si  1  2, alors UN 1  UN 2 .

Théorème de décomposition. Tout ensemble flou UN peut être décomposé en ses ensembles de niveaux sous la forme :

UN = A , Où A - produit d'un nombre  pour beaucoup UN, Et  "parcourt" la plage de valeurs M. fonctions d'appartenance à un ensemble flou UN.

Exemple:UN = 0,1/X 1 + 0/X 2 + 0,7/X 3 + 1/X 4 peut être représenté par :

UN = 0,1(1,0,1,1)  0,7(0,0,1,1,)  1(0,0,0,1)=

= (0,1/x 1 + 0/x 2 + 0,1/x 3 + 0,1/x 4) (0/x 1 + 0/x 2 + 0,7/x 3 + 0,7 /x 4)

(0/x 1 + 0/x 2 + 0/x 3 + 1/x 4) = 0,1/x 1 +0/x 2 +0,7/x 3 +1/x 4.

Si le domaine de la fonction d'appartenance est constitué de n gradations  1   2   3  ...  n , alors UN(avec des valeurs fixes de gradations) peut être représenté comme :

UN =  je UN je,

ceux. est déterminé par une collection d'ensembles ordinaires ( UN 1 , UN 2 , ..., UNi ), où UN1  UN2  , ...,  UNje.

7. Variables linguistiques. Exemples de variables linguistiques. Le concept de terma. Déterminer le nombre de termes

Variable linguistique- dans la théorie des ensembles flous, variable qui peut prendre le sens d'expressions naturelles ou langage artificiel. Par exemple, la variable linguistique « vitesse » peut avoir les valeurs « élevée », « moyenne », « très faible », etc. Les phrases dont la variable prend la valeur sont, à leur tour, des noms de variables floues et sont décrites par un ensemble flou.

Exemple : âge flou

Considérons une variable linguistique décrivant l'âge d'une personne, alors :

x : « âge » ;

X : ensemble d'entiers de l'intervalle ;

T(x) : signifie « jeune », « mature », « vieux ». définir T(x) - un ensemble de variables floues, pour chaque valeur : « jeune », « mature », « vieux », il est nécessaire de définir une fonction d'appartenance, qui précise des informations sur l'âge auquel les personnes doivent être considérées comme jeunes, matures , vieux;

G : « très », « pas très ». De tels ajouts permettent la formation de nouveaux sens : « très jeune », « pas très vieux », etc.

M : règle mathématique, qui détermine le type de fonction d'appartenance pour chaque valeur formée à l'aide de la règle G.

Terme- expression langue formelle(système), est le nom formel d'un objet ou le nom d'un formulaire. Concept terme déterminé de manière inductive. Un terme est une expression symbolique : t(X1, X2, …, Xn), où t est le nom du terme, appelé foncteur ou « lettre fonctionnelle », et X1, X2, …, Xn sont des termes, structurés ou simples. .

8. Relations floues et leurs propriétés

L’un des concepts fondamentaux de la théorie des ensembles flous est le concept de relation floue. Ces relations permettent de formaliser des affirmations imprécises comme « presque égal à » ou « bien plus que ». Donnons une définition d'une relation floue et d'une combinaison de relations floues.

Nous appellerons une relation floue entre deux ensembles non vides (crisp) un ensemble flou défini sur un produit cartésien

L'inférence floue est le processus permettant d'obtenir des conclusions floues basées sur des conditions ou des prémisses floues.

En ce qui concerne un système de contrôle d'objet flou, l'inférence logique floue est le processus d'obtention de conclusions floues sur le contrôle requis d'un objet sur la base de conditions ou de prémisses floues, qui représentent des informations sur l'état actuel de l'objet.

L'inférence logique s'effectue par étapes.

La fuzzification (introduction du flou) est l'établissement d'une correspondance entre la valeur numérique de la variable d'entrée d'un système d'inférence floue et la valeur de la fonction d'appartenance du terme correspondant de la variable linguistique. Au stade de fuzzification, les valeurs de toutes les entrées variables système les sorties floues obtenues d'une manière externe au système d'inférence floue, par exemple à l'aide de données statistiques, sont mises en correspondance valeurs spécifiques fonctions d'appartenance des termes linguistiques correspondants qui sont utilisés dans les conditions (antécédents) des noyaux des règles de production floues qui constituent la base des règles de production floues du système d'inférence floue. La fuzzification est considérée comme terminée si les degrés de vérité (a) de tous les éléments élémentaires déclarations logiques de la forme « IS », incluse dans les antécédents des règles de production floues, où est un certain terme avec fonction connue appartenance µ(x), - effacer valeur numérique, appartenant à l'univers d'une variable linguistique.

Le concept d'algorithme flou, introduit pour la première fois par L.A. Zadeh est un outil important pour l'analyse approximative systèmes complexes et les processus de prise de décision. Un algorithme flou est compris comme un ensemble ordonné d'instructions floues (règles), dont la formulation contient des instructions floues (termes).

La transition de l’ensemble flou résultant à une seule valeur claire ()o, qui est ensuite reconnue comme une solution au problème, est appelée défuzzification.

11. L'algorithme Mamdani a trouvé une application dans le premier systèmes flous contrôle automatique. Il a été proposé en 1975 par le mathématicien anglais E. Mamdani pour contrôler une machine à vapeur.

La formation de la base de règles du système d'inférence floue est réalisée sous la forme d'une liste ordonnée et convenue de règles de production floue sous la forme « SI A ALORS B », où les antécédents des noyaux des règles de production floue sont construits en utilisant les connecteurs logiques « ET », et les conséquences des noyaux des règles de production floues sont simples.

La fuzzification des variables d'entrée est effectuée de la manière décrite ci-dessus, de la même manière que dans cas général construction d'un système d'inférence floue.

L'agrégation des sous-conditions des règles de production floues est réalisée à l'aide de l'opération logique floue classique « ET » de deux énoncés élémentaires A, B : T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .

L'activation des sous-conclusions des règles de production floues est réalisée par la méthode d'activation min μ (y) = min(c; μ (x) ) , où μ (x) et c sont respectivement les fonctions d'appartenance de termes de variables linguistiques et le degré de vérité des déclarations floues formant les conséquences correspondantes (conséquents) des noyaux des règles de production floues.

L'accumulation de sous-conclusions de règles de production floues est réalisée en utilisant la méthode classique logique floue union maximale des fonctions d'appartenance ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ) .

La défuzzification est réalisée selon la méthode du centre de gravité ou du centre de surface.

12 Pour mettre en œuvre des systèmes basés sur des règles floues, de nombreux algorithmes d'inférence floue ont été développés. Les algorithmes d'inférence floue diffèrent principalement par le type de règles utilisées, les opérations logiques et le type de méthode de défuzzification. Des modèles d'inférence floue Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto ont été développés.

Par exemple, les règles d'inférence floue sont données comme suit :

P1 : si x est A, alors w est D, P2 : si y est B, alors w est E, P3 : si z est C, alors w est F,

où x, y, z – noms des variables d'entrée (format clair) ;

w – nom de la variable de sortie ;

A B C D E F - fonctions spécifiées accessoires.

Théorème FAT B. Kosko : Toutes les mathématiques classiques peuvent être approchées au moyen des mathématiques floues. Ceux. Il est possible de construire un système flou qui se rapproche le plus possible de la fonction de fluctuation du taux de change d’une certaine monnaie.

Les principaux avantages du système d'explications en ES.

1) Les explications aident l'utilisateur à utiliser le système pour résoudre ses problèmes,

2) Les ES étant utilisés dans des domaines peu formalisés où il n'existe pas d'algorithmes clairs, les explications permettent à l'utilisateur d'être convaincu de l'exactitude des résultats obtenus et augmentent son degré de confiance dans l'ES,

3) Servir à la formation des utilisateurs,

4) Servir au débogage de la base de connaissances ES

Les principaux inconvénients du système d'explications en ES.

1) Les demandes d’explications ne sont interprétées que d’une seule manière au sens étroit(les questions POURQUOI et COMMENT sont interprétées uniquement en termes d'objectifs et de règles),

2) Toutes les actions du système ne peuvent pas être expliquées (par exemple, pourquoi une hypothèse a été testée en premier, et ensuite un autre),

3) Les explications sont en fait basées sur la piste d'exécution du programme, donc lors du changement d'interprète, il est nécessaire de changer le système d'explication.

Une considération minutieuse et une prise en compte des risques sont devenues une partie intégrante et un élément important du succès de chaque entreprise. Cependant, les entreprises doivent de plus en plus prendre des décisions dans des conditions d’incertitude, ce qui peut entraîner des conséquences imprévues et, par conséquent, des résultats et des pertes indésirables. Des conséquences particulièrement graves peuvent être mauvaises décisions concernant les investissements à long terme, qui sont généralement impliqués lors de l'évaluation des projets d'investissement. Par conséquent, une identification rapide ainsi qu’une évaluation adéquate et la plus précise des risques constituent l’une des priorités. problèmes urgents analyse moderne des investissements.

Malheureusement, les méthodes actuelles de comptabilité et d'évaluation des risques ne sont pas dénuées de subjectivité et de conditions préalables importantes, conduisant à des évaluations incorrectes des risques du projet. La théorie de la logique floue est une nouvelle approche dynamique de l’évaluation des risques. DANS Dernièrement la modélisation floue est l'un des domaines les plus actifs et les plus prometteurs la recherche appliquée en gestion et prise de décision.

Cet ouvrage présente :

Définition du risque et de l'incertitude,

justification de la nécessité d'utiliser de nouvelles approches d'analyse des risques,

brève description méthode de logique floue,

exemples d'application de logique floue

Les problèmes résolus par les réseaux de neurones sont très divers. Il n'est pas surprenant que cette méthode ait trouvé des applications dans des domaines tels que la médecine, la gestion financière et les sciences politiques. En général, nous pouvons réduire l’essentiel des problèmes résolus à l’aide des ANN à plusieurs catégories de problèmes.

Classification. La tâche du réseau de neurones est de répartir les objets en plusieurs classes préétablies qui ne se chevauchent pas.

DANS science politique La méthode des réseaux de neurones est utilisée pour résoudre des problèmes de classification, notamment en analyse d'événements. La classe de séquences d’événements conflictuels conduisant à un règlement pacifique et la classe de séquences d’événements conflictuels conduisant à une confrontation militaire sont déterminées à l’avance.

Un neurone artificiel (neurone mathématique de McCulloch-Pitts, neurone formel) est un nœud d'un réseau de neurones artificiels, qui est modèle simplifié neurone naturel. Mathématiquement, un neurone artificiel est généralement représenté comme une fonction non linéaire d'un seul argument - une combinaison linéaire de tous les signaux d'entrée. Cette fonction est appelée fonction d'activation ou fonction de déclenchement, fonction de transfert. Le résultat résultant est envoyé vers une seule sortie. Tel neurones artificiels s'unir en réseaux - connecter les sorties de certains neurones aux entrées des autres. Les neurones et réseaux artificiels sont les principaux éléments d'un neuroordinateur idéal

18. Fonction d'activation (fonction d'activation, fonction d'excitation) – une fonction qui calcule le signal de sortie d'un neurone artificiel. Comme argument, il prend le signal Y reçu en sortie de l'additionneur d'entrée Sigma. Le plus couramment utilisé fonctions suivantes Activation.

1. Fonction de saut simple ou de seuil dur

Une simple fonction linéaire par morceaux. Si la valeur d'entrée est inférieure au seuil, alors la valeur de la fonction d'activation est égale au minimum admissible, sinon elle est égale au maximum admissible.

Fonction d'activation. Fonction de seuil dur

2. Seuil linéaire ou hystérésis

Une simple fonction linéaire par morceaux. Il comporte deux sections linéaires, où la fonction d'activation est identiquement égale au minimum autorisé et au maximum valeur acceptable et il y a une section où la fonction augmente de manière strictement monotone.

Fonction d'activation. Seuil linéaire

3. Fonction sigmoïde ou sigmoïde

Fonction non linéaire en forme de S différentiable augmentant de manière monotone partout avec saturation. Sigmoïde vous permet d'amplifier les signaux faibles et de ne pas être saturé par des signaux forts. Grossberg (1973) a découvert qu’une telle fonction d’activation non linéaire résolvait son dilemme de saturation du bruit.

Le réseau de neurones artificiels (ANN) est un modèle mathématique, ainsi que sa mise en œuvre logicielle ou matérielle, construit sur le principe d'organisation et de fonctionnement des réseaux de neurones biologiques - réseaux cellules nerveuses Organisme vivant. Ce concept est né en étudiant les processus se produisant dans le cerveau et en essayant de modéliser ces processus. La première tentative de ce type a été celle des réseaux de neurones de W. McCulloch et W. Pitts. Après le développement d'algorithmes d'apprentissage, les modèles résultants ont commencé à être utilisés dans objectifs pratiques: dans les problèmes de prévision, pour la reconnaissance de formes, dans les problèmes de contrôle, etc.

ANN (Artificial Neural Network) peut être considéré comme un graphe orienté avec des connexions pondérées, dans lequel les neurones artificiels sont des nœuds. En fonction de l'architecture des connexions, les ANN peuvent être regroupés en deux classes : les réseaux à action directe, dans lesquels les graphiques ne comportent pas de boucles, et les réseaux récurrents, ou réseaux avec connexions de rétroaction. Dans la famille la plus courante de réseaux de première classe, appelés perceptrons multicouches, les neurones sont disposés en couches et ont des connexions unidirectionnelles entre les couches. La figure montre les réseaux typiques de chaque classe. Les réseaux Feedforward sont statiques dans le sens où, pour une entrée donnée, ils produisent un ensemble de valeurs de sortie indépendantes de l'état précédent du réseau. Les réseaux récurrents sont dynamiques car, en raison de retour les entrées des neurones y sont modifiées, ce qui entraîne un changement de l'état du réseau. 22

23. perceptron - un modèle mathématique du processus de perception (Voir Perception). Face à de nouveaux phénomènes ou objets, une personne les reconnaît, c'est-à-dire les relie à l'un ou l'autre concept (classe). Ainsi, nous reconnaissons facilement nos connaissances, même si elles ont changé de coiffure ou de vêtements, nous pouvons lire des manuscrits, même si chaque écriture a ses propres caractéristiques, nous reconnaissons une mélodie dans un arrangement différent, etc. Cette capacité humaine s’appelle le phénomène de perception. Une personne est capable, sur la base de son expérience, de développer de nouveaux concepts et d'apprendre nouveau système classements. Par exemple, lorsqu'il apprend à distinguer les signes manuscrits, on montre à l'élève des signes manuscrits et on lui indique à quelles lettres ils correspondent, c'est-à-dire à quelles classes appartiennent ces signes ; En conséquence, il développe la capacité de classer correctement les signes.

Chaque cellule individuelle est appelée nœud ou perceptron :

réseau neuronal, constitué d'une couche de nœuds entre l'entrée et la sortie, est un perceptron monocouche : et un réseau constitué de plusieurs couches est un perceptron multicouche :

Il est vrai qu’un perceptron multicouche est plus efficace qu’un perceptron monocouche

La formation est un processus dans lequel les paramètres libres d'un réseau neuronal sont ajustés en simulant l'environnement dans lequel le réseau est intégré. Le type de formation est déterminé par la manière dont ces paramètres sont ajustés.

Cette définition du processus d'apprentissage du réseau neuronal suppose la séquence d'événements suivante :

Le réseau neuronal reçoit des stimuli de l'environnement extérieur.

En conséquence du premier point, les paramètres libres du réseau neuronal sont modifiés.

Après changement structure interne le réseau neuronal répond à la stimulation de manière différente.

La liste ci-dessus de règles claires pour résoudre le problème de la formation d'un réseau neuronal est appelée algorithme d'apprentissage. Il est facile de deviner qu’il n’existe pas d’algorithme d’apprentissage universel adapté à toutes les architectures de réseaux neuronaux. Il n'existe qu'un ensemble d'outils représentés par une variété d'algorithmes d'apprentissage, chacun ayant ses propres avantages. Les algorithmes d’apprentissage diffèrent les uns des autres dans la manière dont ils ajustent le poids synaptique des neurones. Un de plus caractéristique distinctive est un moyen de connecter un réseau neuronal formé au monde extérieur. Dans ce contexte, nous parlons d'un paradigme d'apprentissage associé au modèle de l'environnement dans lequel évolue un réseau de neurones donné.

La formation supervisée d'un réseau neuronal suppose que pour chaque vecteur d'entrée de l'ensemble de formation, il existe une valeur requise du vecteur de sortie, appelée cible. Ces vecteurs forment une paire d'entraînement. Les poids de réseau sont modifiés jusqu'à ce qu'un niveau acceptable d'écart du vecteur de sortie par rapport à la cible soit obtenu pour chaque vecteur d'entrée.

L'apprentissage non supervisé d'un réseau de neurones est un modèle d'apprentissage beaucoup plus plausible en termes de racines biologiques réseaux de neurones artificiels. L'ensemble de formation se compose uniquement de vecteurs d'entrée. L'algorithme de formation du réseau neuronal ajuste les pondérations du réseau afin que des vecteurs de sortie cohérents soient obtenus, c'est-à-dire de sorte que la présentation de vecteurs d'entrée suffisamment proches donne des sorties identiques.

Soit un réseau de neurones qui effectue une transformation F:X®Y des vecteurs X de l'espace de caractéristiques des entrées X en vecteurs Y de l'espace de sortie Y. Le réseau est dans l'état W à partir de l'espace d'état W. Alors soit un échantillon d'apprentissage (Xa,Ya), a = 1 ..p. Considérons l'erreur totale E commise par le réseau dans l'état W.

Notons deux propriétés de l'erreur complète. Premièrement, l’erreur E=E(W) est fonction de l’état W défini sur l’espace des états. Par définition, il prend des valeurs non négatives. Deuxièmement, dans un état entraîné W*, dans lequel le réseau ne fait pas d'erreurs sur l'ensemble d'apprentissage, cette fonction prend une valeur nulle. Par conséquent, les états entraînés sont les points minimaux de la fonction introduite E(W).

Voici quelques-unes des opérations de base pouvant être effectuées sur des ensembles flous.

1. Ajout ensemble flou UN est indiqué par le symbole et est défini comme suit :

(5.15)

L'opération d'addition correspond à la négation logique. Par exemple, si UN est le nom de l’ensemble flou, alors "pas A" s'entend comme (voir exemple ci-dessous).

2. Association ensembles flous UN Et DANS désigné par A+B(ou AÈB) et est déterminé :

(5.16)

L'union correspond au connecteur logique " ou" Par exemple, si UN Et DANS– les noms des ensembles flous, puis l’entrée « A ou B"est compris comme A+B.

toi plus depuis .

Commentaire: Il convient de garder à l'esprit que le lien logique Ú dans ce contexte, signifie par définition max (c'est-à-dire) ; Ù signifie min (c'est-à-dire ).

3. Intersection A Et DANS sont désignés ACB et est défini comme suit :

(5.17)

L'intersection correspond au connecteur logique " toi", c'est à dire. .

A et B=AÇB(5.18)

Lors de la détermination du degré d'appartenance des éléments toi nouvel ensemble flou, choisissez plus petit de (voir note ci-dessus).

4. Produit A Et DANS désigné par UN B et est déterminé par la formule

(5.19)

Si (5.20)

Exemple 5.5. Si

U=1+2+…+10

A=0,8/3+1/5+0,6/6 (5.21)

B=0,7/3+1/4+0,5/6,

Que ØА=1/1+1/2+0,2/3+1/4+0,4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

A+B=0,8/3+1/4+1/5+0,6/6

AÇB=0,7/3+0,5/6 (min est pris à partir de deux valeurs de m)(5.22)

AB=0,56/3+0,3/6

0,4A=0,32/3+0,4/5+0,24/6

5. produit cartésien ensembles flous A 1, …, A n ensembles universels U 1 ,…, U n noté en conséquence A 1 ´…´A n et est défini comme un sous-ensemble flou de l'ensemble U 1 ´…´U n avec une fonction d’adhésion.

Exemple 5.6. Si

U1 =U2 =3+5+7

A1 =0,5/3+1/5+0,6/7

A 2 =1/3+0,6/5, alors

A1 ´A2 =0,5/3,3+1/5,3+0,6/7,6+0,5/3,5+0,6/5,5+0,6/7,5

Des relations floues.

Attitude floue R.: X®Y représente un ensemble flou de produit cartésien X´Y. R. est décrit comme suit en utilisant la fonction d'appartenance de deux variables :

(5.25)

Une relation floue sur l'ensemble X´Y est une collection de paires

(5.26)

Où - fonction d'appartenance à une relation floue R., qui a la même signification que la fonction d’appartenance d’un ensemble flou.

Du tout n- une relation aire est un sous-ensemble flou du produit cartésien X 1 ´X 2 ´…´Xn, et

(5.27)

Exemples de relations floues :

« X approximativement égal Oui»,

« X beaucoup plus grand Oui»,

« UN nettement préférable DANS».

Exemple 5.7. Faisons comme si X=(Yuri, Sergueï), Y=(Maxim, Mikhaïl).

Alors la relation floue binaire de « similarité » entre les éléments des ensembles X et Y peut s’écrire sous la forme

similarité=0,8/(Yuri, Maxim)+0,6/(Yuri, Mikhail)+0,2/(Sergei, Maxim)+0,9/(Sergei, Mikhail).

En plus, cette attitude peut être représenté sous la forme matrices de relations.

(5.28)

Où (je, j)- le ème élément est égal à la valeur de la fonction pour je-ème valeur X et la jème valeur oui.

Si R.- attitude X®Y(ou, ce qui revient au même, la relation dans X´Y), UN S- attitude Y®Z, alors la composition R. Et S est une relation floue X®Z, noté R°S et défini par la formule

où ° est le signe de composition, les signes Ú Et Ù désigner en conséquence maximum Et min, V y – bord supérieur par plage de valeurs à.

Voici (5.29) composition des relations.

L'expression (5.29) détermine le produit maxmin R. Et S.

Oui pour nombres réels UN Et b:

(5.30)

(5.31)

Si X, Y, Z – ensembles finis, alors la matrice de relation R°S est le produit maxmin des matrices de relations R. Et S. Dans le produit maxmin des matrices, au lieu de l'opération d'addition et de multiplication, les opérations sont utilisées Ú Et Ù respectivement.

Exemple de produit maxmin

(5.32)

Ici, le nombre de lignes doit être égal au nombre de colonnes. La ligne est multipliée par la colonne et prise valeur maximum depuis valeurs minimales vapeur.

Opérations logiques

Inclusion. Laisser UN Et DANS- ensembles flous sur l'ensemble universel E. Ils disent ça UN contenu dans DANS, Si

Désignation: UN⊂ DANS.

Parfois, le terme est utilisé dominance, ceux. au cas où UN⊂ DANS, ils disent ça DANS domine UN.

Égalité. A et B sont égaux si

Désignation: A = B.

Ajout. Laisser M. = , UN Et DANS– ensembles flous définis sur E.A. Et DANS se complètent si

Désignation:

Il est évident que (ajout défini pour M.= , mais il est évident qu'il peut être défini pour tout ordre M).

Intersection. UN⋂ DANS- le plus grand sous-ensemble flou contenu simultanément dans UN Et DANS:

Une association.UN∪DANS- le plus petit sous-ensemble flou, incluant les deux UN, ainsi et DANS, avec fonction d'adhésion :

Différence. avec fonction d'adhésion :

Somme disjonctive

UN ⊕ DANS = (UN B) ∪ (BA) = (UN ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅UNE ⋂B )

avec fonction d'adhésion :

Exemples. Laisser

Ici:

1) UNE ⊂ DANS, c'est-à-dire que A est contenu dans B ou B domine UN; AVEC incomparablement ni avec UN, ni avec DANS, ceux. paires ( A, C) Et ( A, C) - des paires d'ensembles flous non dominés.

2) UN≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 1/X 3 + 0/X 4 ; ̅B = 0,3/X 1 + 0,1/X 2 + 0,9/X 3 +0/X 4 .

4) UN⋂ B = 0,4/X 1 + 0,2/X 2 + 0/X 3 + 1 /X 4 .

5) UN∪ DANS= 0,7/ x1+ 0,9/X 2 + 0,1/X 3 + 1/X 4 .

6) UN B= UN⋂̅B = 0,3/X 1 + 0,l/ X 2 + 0/X 3 + 0/X 4 ;

DANS- UNE = ̅UNE⋂ DANS= 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,l/ X 3 + 0/X 4 .

7) UN⊕ B = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,1/X 3 + 0/X 4 .

Représentation visuelle des opérations logiques sur des ensembles flous. Pour les ensembles flous, il est possible de construire représentation visuelle. Considérons un système de coordonnées rectangulaires, sur l'axe des ordonnées dont sont tracées les valeurs μA (x), les éléments sont situés sur l'axe des abscisses dans un ordre aléatoire E(nous avons déjà utilisé cette représentation dans des exemples d'ensembles flous). Si E est de nature ordonnée, alors il est souhaitable de conserver cet ordre dans la disposition des éléments sur l'axe des x. Cette représentation rend claires les opérations logiques simples sur les ensembles flous (voir Fig. 1.3).

Riz. 1.3. Interprétation graphique des opérations logiques : α - ensemble flou UN; b- ensemble flou ̅A, dans - UN⋂UN; g- UN∪ UN

En figue. 1.3α la partie grisée correspond à l'ensemble flou UN et, pour être précis, représente la plage de valeurs UN et tous les ensembles flous contenus dans UN. En figue. 1.3 b, c, d sont donnés Un, un ⋂ ̅ UN, UN U UN.

Propriétés de l'opération ∪ Et ⋂

Laisser A, B, C- ensembles flous, alors les propriétés suivantes sont satisfaites :

Contrairement aux ensembles nets, pour les ensembles flous en général

cas:

UN⋂̅A ≠∅, A∪ ̅A ≠E

(ce qui est notamment illustré ci-dessus dans l'exemple d'une représentation visuelle d'ensembles flous).

Commentaire . Les opérations sur les ensembles flous présentées ci-dessus sont basées sur l'utilisation des opérations max et min. Dans la théorie des ensembles flous, se développent les problématiques de construction d'opérateurs d'intersection, d'union et d'addition généralisés et paramétrés, permettant de prendre en compte les différentes nuances sémantiques des connecteurs correspondants « et », « ou », « non ».

Une approche des opérateurs d’intersection et d’union consiste à les définir dans classe de normes et conormes triangulaires.

Norme triangulaire(t- la norme) est appelée fonction réelle à deux places T: x → , satisfaisant les conditions suivantes :

Exemples de normes triangulaires

min( µA, µB)

travail µA· µB

maximum(0, µA+ µB- 1 ).

Conorma triangulaire(t-conorma) est appelée fonction réelle à deux places S: x → avec propriétés :

Exemplest-conorme

maximum( µA, µB)

µA+ µB- µA· µB

min(1, µA+ µB).

Opérations algébriques sur les ensembles flous

Produit algébrique A Et DANS désigné par UN· DANS et est défini comme ceci :

Somme algébrique de ces ensembles est noté A+B et est défini comme ceci :

Pour les opérations (-, +), les propriétés suivantes sont satisfaites :

Pas rempli:

Commentaire. Lorsque les opérations (U, ⋂, +, ) sont utilisées ensemble, les propriétés suivantes sont satisfaites :

Basé sur l'opération de produit algébrique, l'opération est définie exponentiation α ensemble flou UN, Où α - nombre positif. Ensemble flou Un α est déterminé par la fonction d'appartenance μ α A = μ α A ( X). Un cas particulier d'exponentiation est :

1) CON( UN) = Un 2- opération concentration (scellés);

2) DIL( UN) = Un 0,5- opération les entorses,

qui sont utilisés lorsque l'on travaille avec des incertitudes linguistiques (Fig. 1.4).

Riz. 1.4. Illustration du concept des opérations de concentration (compactage) et d'étirement

Multiplier par un nombre. Si α - un nombre positif tel que, alors l'ensemble flouαAa une fonction d’adhésion :

μ αA (x) = αμUN(X).

Combinaison convexe d'ensembles flous. Laisser UN 1 , Un 2 ,..., UNn- ensembles flous de l'ensemble universel E, un ω 1, ω 2, …, ωn- des nombres non négatifs dont la somme est égale à 1.

Combinaison convexe UN 1 , UN 2 , ..., UNn appelé un ensemble flou UN avec fonction d'adhésion :

cartésien(direct) produit d’ensembles flous. Laisser UN 1 , UN 2 , ..., UNn- sous-ensembles flous d'ensembles universels E1, E2,…, En respectivement. Cartésien, ou produit direct UN = Un 1 X Un 2 x...x UNn est un sous-ensemble flou de l'ensemble E = E1 X E2 x...x En avec fonction d'adhésion :

Opérateur d'augmentation floue utilisé pour convertir des ensembles nets en ensembles flous et pour augmenter le flou d'un ensemble flou.

Laisser UN- ensemble flou, E- set universel pour tout le monde Xϵ E les ensembles flous sont définis K(x). La totalité de tout K(x) est appelé noyau de l'opérateur de flou croissant Ф. Le résultat de l'action de l'opérateur Ф sur un ensemble flou. UN est un ensemble flou de la forme

Où μA (x) K (x)- le produit d'un nombre et d'un ensemble flou.

Exemple . Laisser

E =(1,2,3,4); A = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4 ; À(1)= 1/1 + 0,4/2;

À(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; À(3) = 1/3 + 0,5/4; À(4)= 1/4.

Alors

Ensemble croustillant de niveau α(ou niveau α). L'ensemble de niveau α d'un ensemble flou UN ensemble universel E appelé clair sous-ensemble Un α ensemble universel E, défini comme

Un α ={ X/μ UN(X) ≥ α },

Où α ≤ 1.

Exemple. Laisser A = 0,2/X 1 + 0/X 2 + 0,5/X 3 + 1/X 4 alors UN 0,3 = { X 3 , X 4 } , UN 0,7 = {x4} .

Une propriété assez évidente : si α1≥ 2, alors Un α1≤ Et α2.

Le terme « logique floue »

Fondateur

Exemple

Exemples d'application de logique floue :

Ensemble flou

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

Exemple d'ensemble flou

Caractéristiques de base des ensembles flous

Variable linguistique "Âge"

Caractéristiques des ensembles flous

Méthodes de détermination de la fonction d'appartenance

Nombres flous L-R

Opérations sur les ensembles flous

Exemple

Renforcement ou affaiblissement des concepts linguistiques

Exemple

Normes et conormes triangulaires

Un exemple d'application de normes et conormes triangulaires

Des relations floues.

Exemple de relation floue

Exemple de représentation 1

Exemple de représentation 2

Modèle marché-produit

Opérations sur les relations floues

Opérations sur les relations floues

Un exemple de combinaison de relations floues

Exemple d'intersection de relations floues

Exemples de chansons

Exemples de chansons

Composition de deux relations floues

Sélection des candidats à la formation

Variables floues et linguistiques. Chiffres flous

Définition de variable floue