Définition 1. Axe des nombres (droite numérique, droite de coordonnées) Ox est la droite sur laquelle le point O est sélectionné origine (origine des coordonnées)(Fig. 1), direction

Ô → x

répertorié comme direction positive et un segment est marqué, dont la longueur est considérée comme étant unité de longueur.

Définition 2. Un segment dont la longueur est prise comme unité de longueur est appelé échelle.

Chaque point sur l'axe des nombres a une coordonnée, qui est nombre réel. La coordonnée du point O est nulle. La coordonnée d'un point arbitraire A situé sur le rayon Ox est égale à la longueur du segment OA.

La coordonnée d'un point arbitraire A de l'axe numérique qui ne se trouve pas sur le rayon Ox est négative, et en valeur absolue est égale à la longueur du segment OA. Définition 3. Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy sur le plan appelez-en deux mutuellement perpendiculaire axes numériques Ox et Oy avec la même échelle Et début commun compte à rebours au point O, et telle que la rotation du rayon Ox sous un angle de 90° vers le rayon Oy s'effectue dans la direction dans le sens inverse des aiguilles d'une montre

(Fig.2). Note. Le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy, représenté sur la figure 2, est appelé système de coordonnées droit , contrairement à systèmes de coordonnées gauche , dans lequel la rotation du faisceau Ox selon un angle de 90° par rapport au faisceau Oy s'effectue dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans ce guide, nous nous considérons uniquement les systèmes de coordonnées droitiers

, sans le préciser spécifiquement. Si nous introduisons un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy sur le plan, alors chaque point du plan acquerra – deux coordonnées la même échelle abscisse ordonnée , qui sont calculés comme suit. Soit A un point arbitraire du plan. Déposons les perpendiculaires du point A Les AA , qui sont calculés comme suit. Soit A un point arbitraire du plan. Déposons les perpendiculaires du point A 1 et

2 aux droites Ox et Oy, respectivement (Fig. 3). Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point UN Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point 1 sur l'axe des nombres Ox, l'ordonnée du point A est la coordonnée du point

2 sur l’axe des nombres Oy. Désignation Coordonnées (abscisse et ordonnée) du point Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(x;A dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy (Fig. 4) est généralement noté) oui Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point = (x; ou).

oui Note. Point O, appelé, a des coordonnées Ô(0 ; 0) .

Définition 5. Dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy axe des nombres Ox est appelé axe des abscisses et l'axe numérique Oy est appelé axe des ordonnées (Fig. 5).

Définition 6. Chacun est rectangulaire système cartésien coordonnées divise le plan en 4 quarts (quadrants), dont la numérotation est illustrée à la figure 5.

Définition 7. Le plan sur lequel un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires est donné est appelé plan de coordonnées.

Note. L’axe des abscisses est fixé à plan de coordonnéeséquation ou= 0, l'axe des ordonnées est donné sur le plan de coordonnées par l'équation x = 0.

Déclaration 1. Distance entre deux points plan de coordonnées

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point 1 (x 1 ;A dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy (Fig. 4) est généralement noté 1) la même échelle Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point 2 (x 2 ;A dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy (Fig. 4) est généralement noté 2)

calculé selon la formule

Preuve . Considérez la figure 6.

Ainsi,

Q.E.D.

Équation d'un cercle sur le plan de coordonnées

Considérons sur le plan de coordonnées Oxy (Fig. 7) un cercle de rayon R de centre au point Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point 0 (x 0 ;A dans le système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxy (Fig. 4) est généralement noté 0) .

Instructions

Écrire opérations mathématiques sous forme de texte et saisissez-les dans le champ de requête de recherche à l'adresse page d'accueil Site Google si vous ne pouvez pas utiliser la calculatrice, mais avez accès à Internet. Ce moteur de recherche dispose d’une calculatrice multifonctionnelle intégrée, beaucoup plus facile à utiliser que n’importe quelle autre. Il n'y a pas d'interface avec des boutons - toutes les données doivent être saisies sous forme de texte dans un seul champ. Par exemple, si on sait coordonnées points extrêmes segment dans un système de coordonnées tridimensionnelles A(51,34 17,2 13,02) et A(-11,82 7,46 33,5), alors coordonnées point médian segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). En saisissant (51.34-11.82)/2 dans le champ de requête de recherche, puis (17.2+7.46)/2 et (13.02+33.5)/2, vous pouvez utiliser Google pour obtenir coordonnées C(19,76 12,33 23,26).

Équation standard le cercle permet d'en découvrir plusieurs informations importantes sur cette figure, par exemple, les coordonnées de son centre, la longueur du rayon. Dans certains problèmes, au contraire, paramètres donnés vous devez créer une équation.

Instructions

Déterminez les informations dont vous disposez sur le cercle en fonction de la tâche qui vous est confiée. Rappelez-vous que but ultime est la nécessité de déterminer les coordonnées du centre, ainsi que le diamètre. Toutes vos actions doivent viser à atteindre ce résultat particulier.

Utilisez des données sur la présence de points d'intersection avec des lignes de coordonnées ou d'autres lignes. Attention, si le cercle passe par l'axe des abscisses, le deuxième aura la coordonnée 0, et s'il passe par l'axe des ordonnées, alors le premier. Ces coordonnées vous permettront de trouver les coordonnées du centre du cercle et également de calculer le rayon.

N'oubliez pas les propriétés de base des sécantes et des tangentes. En particulier, le théorème le plus utile est qu’au point de contact, le rayon et la tangente forment un angle droit. Mais attention, il peut vous être demandé de prouver tous les théorèmes utilisés au cours du cours.

Résolvez les types les plus standards pour apprendre à voir immédiatement comment utiliser certaines données pour l'équation d'un cercle. Ainsi, en plus des tâches déjà mentionnées avec directement coordonnées données et ceux dans lesquels des informations sur la présence de points d'intersection sont données, pour compiler l'équation d'un cercle, vous pouvez utiliser les connaissances sur le centre du cercle, la longueur de la corde et sur laquelle repose cette corde.

Pour résoudre, construire triangle isocèle, dont la base sera accord donné, UN côtés égaux– les rayons. Compilez à partir duquel vous pouvez facilement trouver les données nécessaires. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule pour trouver la longueur d'un segment dans un plan.

Vidéo sur le sujet

Un cercle est compris comme une figure composée de plusieurs points sur un plan équidistant de son centre. Distance du centre aux points cercle appelé rayon.

Coordonnées polaires

Le numéro est appelé rayon polaire des points ou première coordonnée polaire. La distance ne peut pas être négative, donc le rayon polaire de n'importe quel point est . La première coordonnée polaire est également notée lettre grecque(« ro »), mais je suis habitué à la version latine et je l'utiliserai à l'avenir.

Le numéro est appelé angle polaire point donné ou deuxième coordonnée polaire. L'angle polaire varie généralement à l'intérieur (ce qu'on appelle valeurs d'angle principales). Cependant, il est tout à fait acceptable d'utiliser la plage et, dans certains cas, il est directement nécessaire de prendre en compte toutes les valeurs d'angle de zéro à « plus l'infini ». D'ailleurs, je vous recommande de vous habituer à la mesure en radian d'un angle, puisqu'on opère avec des degrés en mathématiques supérieures n’est pas considéré comme comme il faut.

Le couple s'appelle coordonnées polaires points Ils sont faciles à trouver et valeurs spécifiques. Tangente angle aigu triangle rectangle - il existe une relation côté opposéà la jambe adjacente : donc l'angle lui-même : . D'après le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse égal à la somme carrés de pattes : donc le rayon polaire :

Ainsi, .

Un pingouin c'est bien, mais un troupeau c'est mieux :


Coins orientés négativement Je l'ai marqué de flèches au cas où, au cas où certains lecteurs ne connaîtraient pas encore cette orientation. Si vous le souhaitez, vous pouvez « visser » 1 tour (rad. ou 360 degrés) à chacun d'eux et vous mettre d'ailleurs à l'aise valeurs du tableau:

Mais l’inconvénient de ces angles orientés « traditionnellement » est qu’ils sont trop « tordus » (plus de 180 degrés) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. J'anticipe la question : « pourquoi y a-t-il une pénurie et pourquoi y a-t-il des angles négatifs? En mathématiques, le plus court et des moyens rationnels. Eh bien, du point de vue de la physique, le sens de rotation est souvent d'une importance fondamentale - chacun de nous a essayé d'ouvrir la porte en tirant la poignée dans le mauvais sens =)

L'ordre et la technique de construction des points en coordonnées polaires

De belles images sont beaux, mais les construire dans le système de coordonnées polaires est une tâche plutôt laborieuse. Il n'y a aucune difficulté avec les points dont les angles polaires sont , dans notre exemple ce sont des points ; Les valeurs multiples de 45 degrés ne posent pas non plus beaucoup de problèmes : . Mais comment construire correctement et avec compétence, disons, un point ?

Vous aurez besoin d'une feuille de papier à carreaux, d'un crayon et des éléments suivants outils de dessin: règle, boussole, rapporteur. DANS en dernier recours, vous pouvez vous en sortir avec une seule règle, ou même... sans elle du tout ! Continuez à lire et vous obtiendrez une autre preuve que ce pays est invincible =)

Exemple 1

Construisez un point dans le système de coordonnées polaires.

Tout d'abord, vous devez découvrir mesure de degré angle Si le coin ne vous est pas familier ou si vous avez des doutes, il est toujours préférable d'utiliser tableau ou une formule générale pour convertir les radians en degrés. Notre angle est donc (ou).

Dessinons un système de coordonnées polaires (voir le début de la leçon) et prenons un rapporteur. Les propriétaires d'un instrument rond n'auront aucune difficulté à marquer 240 degrés, mais avec forte probabilité Vous aurez entre vos mains une version semi-circulaire de l'appareil. Problème absence totale rapporteur si vous avez une imprimante et des ciseaux résolu par l'artisanat.

Il y a deux manières : retourner la feuille et marquer 120 degrés, ou « visser » un demi-tour et examiner coin opposé. Choisissons la méthode adulte et faisons une marque de 60 degrés :


Soit un rapporteur lilliputien, soit une cage géante =) Cependant, pour mesurer un angle, l'échelle n'a pas d'importance.

A l'aide d'un crayon, tracez une fine ligne droite passant par le poteau et le repère réalisé :


Nous avons réglé l'angle, maintenant le rayon polaire vient ensuite. Prenez une boussole et le long de la ligne nous fixons sa solution à 3 unités, le plus souvent il s'agit bien sûr de centimètres :

Maintenant, placez soigneusement l'aiguille sur le poteau et mouvement de rotation Nous faisons un petit empattement (couleur rouge). Le point requis a été construit :


Vous pouvez vous passer de boussole en appliquant la règle directement sur la ligne droite construite et en mesurant 3 centimètres. Mais comme nous le verrons plus tard, dans des problèmes de construction dans un système de coordonnées polaires une situation typique est celle où vous devez marquer deux ou plus points avec le même rayon polaire, il est donc plus efficace de durcir le métal. En particulier, sur notre dessin, en tournant le pied du compas de 180 degrés, il est facile de faire une deuxième encoche et de construire un point symétrique par rapport au pôle. Utilisons-le pour parcourir le matériel du paragraphe suivant :

Relation entre les systèmes de coordonnées rectangulaires et polaires

Évidemment ajoutons au système de coordonnées polaires, une grille de coordonnées « régulière » et tracez un point dans le dessin :

Il est toujours utile de garder cette connexion à l’esprit lors du tracé des coordonnées polaires. Même si, bon gré mal gré, cela se suggère sans aucune autre allusion.

Établissons la relation entre les coordonnées polaires et cartésiennes à l'aide d'un exemple point précis. Considérons triangle rectangle, dans laquelle l'hypoténuse est égale au rayon polaire : , et les branches sont égales aux coordonnées « X » et « Y » du point dans le système de coordonnées cartésiennes : .

Le sinus d'un angle aigu est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Le cosinus d'un angle aigu est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Dans le même temps, nous avons répété les définitions du sinus, du cosinus (et un peu plus tôt de la tangente) du programme de 9e année d'une école polyvalente.

Veuillez ajouter des formules de travail dans votre ouvrage de référence qui expriment les coordonnées cartésiennes d'un point à travers ses coordonnées polaires - nous devrons les traiter plus d'une fois, et la prochaine fois maintenant =)

Trouvons les coordonnées d'un point dans un système de coordonnées rectangulaires :

Ainsi:

Les formules résultantes ouvrent une autre faille dans le problème de construction, quand on peut se passer du tout de rapporteur : on trouve d'abord les coordonnées cartésiennes du point (bien sûr, dans le brouillon), puis mentalement on trouve l'endroit souhaité sur le dessin et marquez ce point. Sur étape finale tracez une fine ligne droite qui passe par le point construit et le pôle. En conséquence, il s'avère que l'angle aurait été mesuré avec un rapporteur.

C'est drôle que des étudiants très désespérés puissent même se passer de règle, en utilisant à la place le bord lisse d'un manuel, d'un cahier ou d'un carnet de notes– après tout, les fabricants d'ordinateurs portables se sont occupés des mesures, 1 cellule = 5 millimètres.

Tout cela m'a rappelé une blague bien connue dans laquelle des pilotes ingénieux traçaient un parcours le long d'une meute de Belomor =) Bien que, blague à part, la blague ne soit pas si loin de la réalité, je me souviens que sur l'un des vols intérieurs en Russie Fédération, tous les instruments de navigation de l'avion de ligne sont tombés en panne et l'équipage a réussi à faire atterrir l'avion en utilisant un verre d'eau ordinaire, qui montrait l'angle de l'avion par rapport au sol. Et la piste d'atterrissage - la voici, visible depuis le pare-brise.

En utilisant le théorème de Pythagore cité au début de la leçon, il est facile d’obtenir formules inverses: , ainsi:

L'angle « phi » lui-même est généralement exprimé par l'arctangente - absolument le même que argument de nombre complexe avec tous ses ennuis.

Il est également conseillé de placer le deuxième groupe de formules dans votre bagage de référence.

Après analyse détaillée vols avec points individuels, passons à la suite naturelle du sujet :

Équation d'une droite en coordonnées polaires

Essentiellement, l'équation d'une ligne dans un système de coordonnées polaires est fonction du rayon polaire à partir de l'angle polaire (argument). Dans ce cas, l'angle polaire est pris en compte en radians(!) Et en continu prend les valeurs de à (parfois il faut le considérer à l'infini, ou dans un certain nombre de problèmes pour plus de commodité de à). Chaque valeur de l’angle « phi » incluse dans domaine de définition fonction, correspond à une valeur unique du rayon polaire.

La fonction polaire peut être comparée à une sorte de radar - lorsqu'un faisceau de lumière émanant d'un pôle tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et « détecte » (trace) une ligne.

Un exemple standard de courbe polaire est Spirale d'Archimède. La photo suivante la montre premier tour– lorsque le rayon polaire suivant l'angle polaire prend des valeurs de 0 à :

De plus, en traversant l'axe polaire au point , la spirale continuera à se dérouler, s'éloignant infiniment du pôle. Mais cas similaires en pratique, ils sont assez rares ; plus situation typique, lors de tous les tours ultérieurs, nous « marchons le long de la même ligne » qui a été obtenue dans la plage.

Dans le premier exemple, nous rencontrons le concept domaine de définition fonction polaire : le rayon polaire étant non négatif, les angles négatifs ne peuvent pas être considérés ici.

! Note : dans certains cas, il est d'usage d'utiliser coordonnées polaires généralisées, où le rayon peut être négatif, et nous étudierons brièvement cette approche un peu plus tard

En plus de la spirale d'Archimède, il existe de nombreuses autres courbes célèbres, mais, comme on dit, on ne se lasse pas de l'art, j'ai donc sélectionné des exemples que l'on retrouve très souvent dans de véritables tâches pratiques.

Tout d’abord, les équations les plus simples et les lignes les plus simples :

Une équation de la forme précise celle émanant du pôle faisceau. En effet, réfléchissez-y, si la valeur de l'angle Toujours(quel que soit le « euh ») constamment, alors de quelle ligne s'agit-il ?

Note : dans le système de coordonnées polaires généralisé équation donnée définit une droite passant par le pôle

Une équation de la forme détermine... devinez du premier coup - si pour n'importe qui Le rayon de l'angle "phi" reste constant ? En fait c'est la définition cercle centré au pôle de rayon .

Par exemple, . Pour plus de clarté, trouvons l'équation de cette droite dans un système de coordonnées rectangulaires. A l'aide de la formule obtenue au paragraphe précédent, on effectue le remplacement :

Mettons au carré les deux côtés :

– équation d'un cercle avec centre à l'origine du rayon 2, ce qu'il fallait vérifier.

Depuis la création et la sortie de l'article à propos de la dépendance linéaire et de l'indépendance linéaire des vecteurs J'ai reçu plusieurs lettres de visiteurs du site qui posaient une question dans l'esprit de : « il existe un système de coordonnées rectangulaires simple et pratique, pourquoi avons-nous besoin d'un autre système de coordonnées obliques ? cas affine?. La réponse est simple : les mathématiques s’efforcent d’embrasser tout et tout le monde ! De plus, dans une situation donnée, la commodité est importante - comme vous pouvez le constater, il est beaucoup plus rentable de travailler avec un cercle en coordonnées polaires en raison de l'extrême simplicité de l'équation.

Et parfois modèle mathématique anticipe découvertes scientifiques. Ainsi, à une époque, le recteur de l'Université de Kazan, N.I. Lobatchevski strictement prouvé, à travers point arbitraire les avions peuvent être dessinés une infinité de lignes droites, parallèle à celui-ci. En conséquence, il a été diffamé par tout monde scientifique, mais... réfuter ce fait personne ne le pouvait. Seulement un bon siècle plus tard, les astronomes ont découvert que la lumière dans l’espace se déplace le long de trajectoires courbes, là où la géométrie non euclidienne de Lobatchevsky, formellement développée par lui bien avant cette découverte, commence à fonctionner. On suppose qu'il s'agit d'une propriété de l'espace lui-même, dont la courbure nous est invisible en raison des petites distances (selon les normes astronomiques).

Considérons des tâches de construction plus significatives :

Exemple 2

Construire une ligne

Solution: Tout d'abord, trouvons domaine de définition. Puisque le rayon polaire n’est pas négatif, l’inégalité doit être maintenue. Vous vous souvenez des règles scolaires pour résoudre les inégalités trigonométriques, mais dans cas simples comme celui-ci, je recommande plus vite et méthode visuelle solution :

Imaginez un graphique cosinus. S'il n'est pas encore enregistré dans votre mémoire, retrouvez-le sur la page Graphiques de fonctions élémentaires. Que nous disent les inégalités ? Cela nous indique que le graphe cosinus doit être situé pas plus bas axe des abscisses. Et cela se produit sur le segment. Et, par conséquent, l’intervalle ne convient pas.

Ainsi, le domaine de définition de notre fonction est : , c'est-à-dire que le graphe est situé à droite du pôle (dans la terminologie du système cartésien - dans le demi-plan droit).

En coordonnées polaires, il y a souvent une vague idée de quelle droite définit une équation particulière, donc pour la construire, vous devez trouver les points qui lui appartiennent - et plus il y en a, mieux c'est. Ils sont généralement limités à une douzaine ou deux (voire moins). Le moyen le plus simple, bien sûr, est de prendre valeurs d'angle de table. Pour plus de clarté, valeurs négatives Je vais « visser » d'un tour :

En raison de la parité du cosinus pertinent valeurs positives vous n'avez pas besoin de compter à nouveau :

Représentons un système de coordonnées polaires et traçons les points trouvés, tandis que mêmes valeurs Il est pratique de reporter le « euh » à la fois, en faisant des encoches appariées avec une boussole en utilisant la technologie évoquée ci-dessus :

En principe, la ligne est clairement tracée, mais afin de confirmer complètement l'hypothèse, trouvons son équation dans le système de coordonnées cartésiennes. Vous pouvez appliquer les formules récemment dérivées , mais je vais vous parler d'une astuce plus astucieuse. Nous multiplions artificiellement les deux côtés de l'équation par « er » : et utilisons des formules de transition plus compactes :

Mise en évidence carré parfait, nous apportons l'équation de la droite sous une forme reconnaissable :

– équation d'un cercle de centre au point , rayon 2.

Puisque selon la condition il fallait simplement réaliser la construction et c'est tout, on relie en douceur les points trouvés par une ligne :

Prêt. Ce n'est pas grave si cela s'avère un peu inégal, vous n'aviez pas besoin de savoir que c'était un cercle ;-)

Pourquoi n'avons-nous pas pris en compte les valeurs d'angle en dehors de l'intervalle ? La réponse est simple : cela ne sert à rien. En raison de la périodicité de la fonction, nous sommes confrontés à une course sans fin le long du cercle construit.

Il est facile d'effectuer une analyse simple et de conclure qu'une équation de la forme spécifie un cercle de diamètre avec un centre en un point . Au sens figuré, tous ces cercles « reposent » sur l'axe polaire et passent nécessairement par le pôle. Si alors entreprise amusante migrera vers la gauche - vers le prolongement de l'axe polaire (réfléchissez à pourquoi).

Tâche similaire pour décision indépendante:

Exemple 3

Construisez une ligne et trouvez son équation dans un système de coordonnées rectangulaires.

Systématisons la procédure de résolution du problème :

Tout d’abord, on trouve le domaine de définition de la fonction ; pour cela il convient de regarder sinusoïde pour comprendre immédiatement où le sinus est non négatif.

Dans la deuxième étape, nous calculons les coordonnées polaires des points en utilisant valeurs d'angle de table; Analyser s'il est possible de réduire le nombre de calculs ?

Dans la troisième étape, nous traçons les points dans le système de coordonnées polaires et les connectons soigneusement par une ligne.

Et enfin, on retrouve l'équation de la droite dans le repère cartésien.

Échantillon approximatif solutions à la fin de la leçon.

Algorithme général et nous détaillons la technique de construction en coordonnées polaires
et accélère considérablement dans la deuxième partie du cours, mais avant cela, nous ferons connaissance avec une autre ligne commune :

Rose polaire

C'est vrai, nous parlons d'une fleur avec des pétales :

Exemple 4

Construire des lignes données par des équations en coordonnées polaires

Il existe deux approches pour construire une rose polaire. Tout d'abord, suivons la piste moletée, en supposant que le rayon polaire ne peut pas être négatif :

Solution:

a) Trouvons le domaine de définition de la fonction :

Ce inégalité trigonométrique Ce n'est pas non plus difficile à résoudre graphiquement : à partir des matériaux de l'article Transformations géométriques des graphiques on sait que si l'argument d'une fonction est doublé, alors son graphique se rétrécira de 2 fois jusqu'à l'axe des ordonnées. Veuillez retrouver le graphique de la fonction dans le premier exemple la leçon spécifiée. Où se trouve cette sinusoïde au-dessus de l’axe des x ? À intervalles . Par conséquent, l'inégalité est satisfaite par les segments correspondants, et domaine de définition notre fonction : .

D’une manière générale, la solution aux inégalités considérées est le syndicat nombre infini segments, mais, encore une fois, nous ne nous intéressons qu’à une seule période.

Peut-être que certains lecteurs trouveront cela plus facile méthode analytique trouvant le domaine de définition, je l’appellerai conditionnellement « trancher une tarte ronde ». Nous allons couper en parts égales et, tout d'abord, trouver les limites du premier morceau. Nous raisonnons ainsi : le sinus n'est pas négatif, Quand son argument varie de 0 à rad. compris. Dans notre exemple : . En divisant toutes les parties de la double inégalité par 2, on obtient l'intervalle requis :

Maintenant, nous commençons à « couper des morceaux égaux de 90 degrés » séquentiellement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

– le segment trouvé est bien entendu inclus dans le domaine de définition ;

– intervalle suivant – non inclus ;

– segment suivant – ​​inclus ;

– et enfin, l’intervalle – n’est pas inclus.

Tout comme une marguerite - "aime, n'aime pas, aime, n'aime pas" =) À la différence qu'il n'y a pas de divination ici. Oui, c’est juste une sorte d’amour à la chinoise….

Donc, et la ligne représente une rose à deux pétales identiques. Il est tout à fait acceptable de dessiner le dessin schématiquement, mais il est fortement conseillé de trouver et de marquer correctement sommets des pétales. Les sommets correspondent à points médians des segments du domaine de définition, qui dans dans cet exemple avoir des coordonnées angulaires évidentes . En même temps longueurs des pétales sont:

Voici le résultat naturel d’un jardinier attentionné :

Il convient de noter que la longueur du pétale peut être facilement vue à partir de l'équation - puisque le sinus est limité : , alors valeur maximale« euh » ne dépassera certainement pas deux.

b) Construisons une ligne, donné par l'équation. Évidemment, la longueur du pétale de cette rose est également de deux, mais, tout d'abord, nous nous intéressons au domaine de la définition. En vigueur méthode analytique"coupes": le sinus est non négatif lorsque son argument est compris entre zéro et « pi » inclus, en dans ce cas: . On divise toutes les parties de l'inégalité par 3 et on obtient le premier intervalle :

Ensuite, nous commençons à « couper la tarte en morceaux » par rad. (60 degrés) :
– le segment entrera dans le domaine de définition ;
– intervalle – ne sera pas inclus ;
– segment – ​​​​s'adaptera ;
– intervalle – ne sera pas inclus ;
– segment – ​​​​s'adaptera ;
– intervalle – ne sera pas inclus.

Le processus est complété avec succès à 360 degrés.

Ainsi, la portée de la définition est la suivante : .

Les actions réalisées en totalité ou en partie sont faciles à réaliser mentalement.

Construction. Si dans le paragraphe précédent tout s'est bien passé avec des angles droits et des angles de 45 degrés, alors ici vous devrez bricoler un peu. Trouvons sommets des pétales. Leur longueur était visible dès le début de la tâche ; il ne reste plus qu'à calculer les coordonnées angulaires, qui sont égales aux milieux des segments du domaine de définition :

Veuillez noter qu'il doit y avoir des espaces égaux entre les sommets des pétales, dans ce cas 120 degrés.

Il est conseillé de délimiter le dessin en secteurs de 60 degrés (délimités lignes vertes) et tracez les directions des sommets des pétales (lignes grises). Il est pratique de marquer les sommets eux-mêmes à l'aide d'une boussole - mesurez une fois une distance de 2 unités et faites trois encoches dans les directions tracées de 30, 150 et 270 degrés :

Prêt. Je comprends que c'est une tâche fastidieuse, mais si vous voulez tout organiser judicieusement, vous devrez y consacrer du temps.

Formulons formule générale : une équation de la forme , est un nombre naturel), définit une rose à pétales polaires dont la longueur des pétales est égale à .

Par exemple, l'équation spécifie un quadrilobe avec une longueur de pétale de 5 unités, l'équation spécifie une rose à 5 pétales avec une longueur de pétale de 3 unités. etc.

Un système ordonné de deux ou trois axes sécants perpendiculaires les uns aux autres avec une origine commune (origine des coordonnées) et une unité de longueur commune est appelé système de coordonnées cartésiennes rectangulaires .

Système de coordonnées cartésiennes général (système de coordonnées affines) ne comprend pas nécessairement des axes perpendiculaires. En l'honneur mathématicien français René Descartes (1596-1662) a nommé un tel système de coordonnées dans lequel une unité de longueur commune est mesurée sur tous les axes et les axes sont droits.

Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan a deux axes et système de coordonnées cartésiennes rectangulaires dans l'espace - trois axes. Chaque point sur un plan ou dans l'espace est défini par un ensemble ordonné de coordonnées - des nombres correspondant à l'unité de longueur du système de coordonnées.

A noter que, comme il ressort de la définition, il existe un système de coordonnées cartésiennes sur une ligne droite, c'est-à-dire à une dimension. L'introduction de coordonnées cartésiennes sur une ligne est l'une des façons par lesquelles tout point d'une ligne est associé à un nombre réel bien défini, c'est-à-dire une coordonnée.

La méthode des coordonnées, née dans les travaux de René Descartes, a marqué une restructuration révolutionnaire de toutes les mathématiques. Il est devenu possible d'interpréter équations algébriques(ou inégalités) sous forme d'images géométriques (graphiques) et, à l'inverse, chercher une solution problèmes géométriques en utilisant des formules analytiques et des systèmes d'équations. Oui, les inégalités z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy et situé au-dessus de ce plan de 3 unités.

En utilisant le système de coordonnées cartésiennes, l'appartenance d'un point sur une courbe donnée correspond au fait que les nombres x la même échelle ou satisfaire une équation. Ainsi, les coordonnées d'un point sur un cercle de centre en un point donné ( un; b) satisfont l'équation (x - un)² + ( ou - b)² = R.² .

Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan

Deux axes perpendiculaires sur un plan avec une origine commune et la même forme d'unité d'échelle cartésien système rectangulaire coordonnées dans l'avion . L'un de ces axes est appelé l'axe Bœuf, ou axe x , l'autre - l'axe Oy, ou axe y . Ces axes sont également appelés axes de coordonnées. Notons par Mx Et Moui respectivement, la projection d'un point arbitraire M sur l'axe Bœuf Et Oy. Comment obtenir des projections ? Passons en revue le point M Bœuf. Cette droite coupe l'axe Bœuf au point Mx. Passons en revue le point M droite perpendiculaire à l'axe Oy. Cette droite coupe l'axe Oy au point Moui. Ceci est montré dans l’image ci-dessous.

x Et ou points M nous appellerons les valeurs des segments dirigés en conséquence OMx Et OMoui. Les valeurs de ces segments orientés sont calculées en conséquence comme x = x0 - 0 Et ou = ou0 - 0 . Coordonnées cartésiennes x Et ou points M abscisse la même échelle ordonnée . Le fait que le point M a des coordonnées x Et ou, est noté comme suit : M(x, ou) .

Les axes de coordonnées divisent le plan en quatre quadrant , dont la numérotation est indiquée dans la figure ci-dessous. Il montre également la disposition des signes pour les coordonnées des points en fonction de leur emplacement dans un quadrant particulier.

En plus des coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan, le système de coordonnées polaires est également souvent pris en compte. A propos de la méthode de transition d'un système de coordonnées à un autre - dans la leçon système de coordonnées polaires .

Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires dans l'espace

Les coordonnées cartésiennes dans l'espace sont introduites en complète analogie avec les coordonnées cartésiennes dans le plan.

Trois axes mutuellement perpendiculaires dans l'espace ( axes de coordonnées) avec un début commun Ô et avec la même unité d'échelle, ils forment Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans l'espace .

L'un de ces axes est appelé axe Bœuf, ou axe x , l'autre - l'axe Oy, ou axe y , le troisième axe Oz, ou application de l'axe . Laisser Mx, Moui Mz- projections d'un point arbitraire M espace sur l'axe Bœuf , Oy Et Oz respectivement.

Passons en revue le point M BœufBœuf au point Mx. Passons en revue le point M plan perpendiculaire à l'axe Oy. Ce plan coupe l'axe Oy au point Moui. Passons en revue le point M plan perpendiculaire à l'axe Oz. Ce plan coupe l'axe Oz au point Mz.

cartésien coordonnées rectangulaires x , ou Et z points M nous appellerons les valeurs des segments dirigés en conséquence OMx, OMoui la même échelle OMz. Les valeurs de ces segments orientés sont calculées en conséquence comme x = x0 - 0 , ou = ou0 - 0 Et z = z0 - 0 .

Coordonnées cartésiennes x , ou Et z points M sont appelés en conséquence abscisse , ordonnée la même échelle postuler .

Les axes de coordonnées pris par paires sont situés dans des plans de coordonnées xOy , yOz Et zox .

Problèmes concernant les points dans un système de coordonnées cartésiennes

Exemple 1.

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Trouvez les coordonnées des projections de ces points sur l'axe des abscisses.

Solution. Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des abscisses se situe sur l'axe des abscisses lui-même, c'est-à-dire l'axe Bœuf, et a donc une abscisse égale à l'abscisse du point lui-même, et une ordonnée (coordonnée sur l'axe Oy, que l'axe des x coupe au point 0), égal à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes de ces points sur l'axe des x :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointx(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5 ; 0).

Exemple 2. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Trouvez les coordonnées des projections de ces points sur l'axe des ordonnées.

Solution. Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des ordonnées se situe sur l'axe des ordonnées lui-même, c'est-à-dire l'axe Oy, et a donc une ordonnée égale à l'ordonnée du point lui-même, et une abscisse (coordonnée sur l'axe Bœuf, que l'axe des ordonnées coupe au point 0), qui est égal à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes de ces points sur l'axe des ordonnées :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointy(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Exemple 3. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bœuf .

Bœuf Bœuf Bœuf, aura la même abscisse que point donné, et d'ordonnée égale à valeur absolue ordonnée d'un point donné, et son signe opposé. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Bœuf :

UN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Résolvez vous-même les problèmes en utilisant le système de coordonnées cartésiennes, puis examinez les solutions

Exemple 4. Déterminer dans quels quadrants (quarts, dessin avec quadrants - à la fin du paragraphe « Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan ») un point peut être localisé M(x; ou) , Si

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − ou = 0 ;

4) x + ou = 0 ;

5) x + ou > 0 ;

6) x + ou < 0 ;

7) x − ou > 0 ;

8) x − ou < 0 .

Exemple 5. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(un; b) .

Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy .

Continuons à résoudre les problèmes ensemble

Exemple 6. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy .

Solution. Rotation de 180 degrés autour de l'axe Oy segment directionnel à partir de l'axe Oy jusqu'à présent. Sur la figure, où sont indiqués les quadrants du plan, on voit que le point symétrique à celui donné par rapport à l'axe Oy, aura la même ordonnée que le point donné, et une abscisse égale en valeur absolue à l'abscisse du point donné et opposée en signe. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy :

UN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Exemple 7. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Trouvez les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'origine.

Solution. Nous faisons pivoter le segment dirigé allant de l'origine au point donné de 180 degrés autour de l'origine. Sur la figure, où sont indiqués les quadrants du plan, on voit qu'un point symétrique au point donné par rapport à l'origine des coordonnées aura une abscisse et une ordonnée égales en valeur absolue à l'abscisse et à l'ordonnée du point donné, mais signe opposé. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'origine :

UN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Exemple 8.

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Trouvez les coordonnées des projections de ces points :

1) dans un avion Oxy ;

2) dans un avion Oxz ;

3) à l'avion Oyz ;

4) sur l'axe des abscisses ;

5) sur l'axe des ordonnées ;

6) sur l'axe d'application.

1) Projection d'un point sur un plan Oxy est situé sur ce plan lui-même, et a donc une abscisse et une ordonnée égales à l'abscisse et à l'ordonnée d'un point donné, et une applicative égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oxy :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointxy (4 ; 3 ; 0);

Bxy (-3 ; 2 ; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projection d'un point sur un plan Oxz est situé sur ce plan lui-même, et a donc une abscisse et une applicative égales à l'abscisse et une applicative d'un point donné, et une ordonnée égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oxz :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointxz (4 ; 0 ; 5);

Bxz (-3 ; 0 ; 1);

Cxz (2 ; 0 ; 0).

3) Projection d'un point sur un plan Oyz est situé sur ce plan lui-même, et a donc une ordonnée et une applicative égales à l'ordonnée et une applicative d'un point donné, et une abscisse égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oyz :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointyz(0 ; 3 ; 5);

Byz (0 ; 2 ; 1);

Cyz (0 ; -3 ; 0).

4) Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des abscisses se situe sur l'axe des abscisses lui-même, c'est-à-dire l'axe Bœuf, et a donc une abscisse égale à l'abscisse du point lui-même, et l'ordonnée et l'appliqué de la projection sont égaux à zéro (puisque les axes ordonnée et appliqué coupent l'abscisse au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe des abscisses :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointx (4 ; 0 ; 0);

Bx (-3 ; 0 ; 0);

Cx(2;0;0).

5) La projection d'un point sur l'axe des ordonnées est située sur l'axe des ordonnées lui-même, c'est-à-dire l'axe Oy, et a donc une ordonnée égale à l'ordonnée du point lui-même, et l'abscisse et l'appliqué de la projection sont égaux à zéro (puisque les axes des abscisses et appliqués coupent l'axe des ordonnées au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe des ordonnées :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointy(0 ; 3 ; 0);

Boui (0 ; 2 ; 0);

Cy(0;-3;0).

6) La projection d'un point sur l'axe applicatif est située sur l'axe applicatif lui-même, c'est-à-dire l'axe Oz, et a donc un applicatif égal à l'appliqué du point lui-même, et l'abscisse et l'ordonnée de la projection sont égales à zéro (puisque les axes des abscisses et des ordonnées coupent l'axe applicatif au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe appliqué :

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du pointz (0 ; 0 ; 5);

Bz (0 ; 0 ; 1);

Cz(0 ; 0 ; 0).

Exemple 9. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés dans l'espace

Définition 4. L'abscisse du point A est la coordonnée du point(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à :

1) avion Oxy ;

2) avions Oxz ;

3) avions Oyz ;

4) axes des abscisses ;

5) axes des ordonnées ;

6) appliquer les axes ;

7) origine des coordonnées.

1) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oxy Oxy, aura une abscisse et une ordonnée égales à l'abscisse et à l'ordonnée d'un point donné, et une applicative égale en grandeur à l'aplicate d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oxy :

UN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oxzà la même distance. A partir de la figure affichant l'espace de coordonnées, on voit qu'un point symétrique à un point donné par rapport à l'axe Oxz, aura une abscisse et une applicative égales à l'abscisse et une applicative d'un point donné, et une ordonnée égale en grandeur à l'ordonnée d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oxz :

UN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oyzà la même distance. A partir de la figure affichant l'espace de coordonnées, on voit qu'un point symétrique à un point donné par rapport à l'axe Oyz, aura une ordonnée et une aplicate égales à l'ordonnée et une aplicate d'un point donné, et une abscisse égale en valeur à l'abscisse d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oyz :

UN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Par analogie avec points symétriques sur le plan et les points de l'espace symétriques aux données relatives aux plans, on note qu'en cas de symétrie par rapport à un axe du système de coordonnées cartésiennes dans l'espace, la coordonnée sur l'axe par rapport auquel la symétrie est donnée conservera son signe, et les coordonnées sur les deux autres axes auront la même valeur absolue que les coordonnées d'un point donné, mais de signe opposé.

4) L'abscisse conservera son signe, mais l'ordonnée et l'appliquée changeront de signe. Ainsi, on obtient les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe des abscisses :

UN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) L'ordonnée conservera son signe, mais l'abscisse et l'appliqué changeront de signe. Ainsi, on obtient les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe des ordonnées :

UN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) L'appliqué conservera son signe, mais l'abscisse et l'ordonnée changeront de signe. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe appliqué :

UN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Par analogie avec la symétrie dans le cas de points sur un plan, dans le cas de symétrie par rapport à l'origine des coordonnées, toutes les coordonnées d'un point symétrique à un point donné seront égales en valeur absolue aux coordonnées d'un point donné, mais en face d'eux en signe. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives à l'origine.

Un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est formé de deux axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires X’X et Y’Y. Les axes de coordonnées se croisent au point O, appelé origine, une direction positive est sélectionnée sur chaque axe. La direction positive des axes (dans un système de coordonnées droitier) est choisie de telle sorte que lorsque l'axe X'X tourne. de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, sa direction positive coïncide avec la direction positive de l'axe Y'Y. Les quatre angles (I, II, III, IV) formés par les axes de coordonnées X'X et Y'Y sont appelés angles de coordonnées (voir Fig. 1).

La position du point A sur le plan est déterminée par deux coordonnées x et y. La coordonnée x est égale à la longueur du segment OB, la coordonnée y est égale à la longueur du segment OC dans les unités de mesure sélectionnées. Les segments OB et OC sont définis par des lignes tracées à partir du point A parallèlement aux axes Y'Y et X'X respectivement. La coordonnée x est appelée abscisse du point A, la coordonnée y est appelée ordonnée du point A. Elle s'écrit ainsi : A(x, y).

Si le point A se situe dans angle de coordonnées I, alors le point A a une abscisse et une ordonnée positives. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées II, alors le point A a une abscisse négative et une ordonnée positive. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées III, alors le point A a une abscisse et une ordonnée négatives. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées IV, alors le point A a une abscisse positive et une ordonnée négative.

Système de coordonnées rectangulaires dans l'espace est formé de trois axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires OX, OY et OZ. Les axes de coordonnées se coupent au point O, appelé origine, sur chaque axe une direction positive est sélectionnée, indiquée par des flèches, et une unité de mesure pour les segments sur les axes. Les unités de mesure sont les mêmes pour tous les axes. OX - axe des abscisses, OY - axe des ordonnées, OZ - axe appliqué. Le sens positif des axes est choisi de telle sorte que lorsque l'axe OX tourne de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, son sens positif coïncide avec le sens positif de l'axe OY, si cette rotation est observée depuis le sens positif de l'axe OZ. Un tel système de coordonnées est dit droitier. Si pouce main droite prenez la direction X comme direction X, celle de l'index comme direction Y et celle du milieu comme direction Z, puis un système de coordonnées droitier est formé. Des doigts similaires de la main gauche forment le système de coordonnées gauche. Il est impossible de combiner les systèmes de coordonnées droite et gauche pour que les axes correspondants coïncident (voir Fig. 2).

La position du point A dans l'espace est déterminée par trois coordonnées x, y et z. La coordonnée x est égale à la longueur du segment OB, la coordonnée y est la longueur du segment OC, la coordonnée z est la longueur du segment OD dans les unités de mesure sélectionnées. Les segments OB, OC et OD sont définis par des plans tirés du point A parallèles aux plans YOZ, XOZ et XOY, respectivement. La coordonnée x est appelée l'abscisse du point A, la coordonnée y est appelée l'ordonnée du point A, la coordonnée z est appelée l'appliquée du point A. Elle s'écrit comme suit : A(a, b, c).

Orty

Un système de coordonnées rectangulaires (de n'importe quelle dimension) est également décrit par un ensemble de vecteurs unitaires alignés avec les axes de coordonnées. Le nombre de vecteurs unitaires est égal à la dimension du système de coordonnées et ils sont tous perpendiculaires les uns aux autres.

Dans le cas tridimensionnel, ces vecteurs unitaires sont généralement notés je j k oui e x e oui e z. De plus, au cas où bon système les coordonnées sont valides formules suivantes avec le produit vectoriel des vecteurs :

• [je j]=k ;
• [j k]=je ;
• [k je]=j .

Histoire

Le système de coordonnées rectangulaires a été introduit pour la première fois par René Descartes dans son ouvrage « Discours sur la méthode » en 1637. Par conséquent, le système de coordonnées rectangulaires est également appelé - Système de coordonnées cartésiennes. La méthode des coordonnées pour décrire les objets géométriques a jeté les bases géométrie analytique. Pierre Fermat a également contribué au développement de la méthode des coordonnées, mais ses travaux ont été publiés pour la première fois après sa mort. Descartes et Fermat ont utilisé la méthode des coordonnées uniquement sur le plan.

Méthode de coordonnées pour espace tridimensionnel a été utilisé pour la première fois par Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Voir aussi

Links

Fondation Wikimédia.

• 2010.
• Système de coordonnées cartésiennes

Diplôme cartésien

Voyez ce que sont les « coordonnées cartésiennes » dans d’autres dictionnaires : COORDONNEES CARTESINES - (système de coordonnées cartésiennes) un système de coordonnées sur un plan ou dans l'espace, généralement avec des axes mutuellement perpendiculaires et des échelles égales le long des axes cartésiens rectangulaires ; Nommé d'après R. Descartes...

Grand dictionnaire encyclopédique Coordonnées cartésiennes - Un système de coordonnées composé de deux axes perpendiculaires. La position d'un point dans un tel système est formée à l'aide de deux nombres qui déterminent la distance du centre de coordonnées le long de chacun des axes.

Grand dictionnaire encyclopédique Sujets d'information... ... Guide du traducteur technique

Grand dictionnaire encyclopédique- (système de coordonnées cartésiennes), un système de coordonnées sur un plan ou dans l'espace, généralement avec des axes mutuellement perpendiculaires et des échelles égales le long des axes cartésiens rectangulaires ; Nommé d'après R. Descartes... Dictionnaire encyclopédique

Grand dictionnaire encyclopédique- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys : engl. Coordonnées cartésiennes vok. coordonnées kartesische, f…

Voyez ce que sont les « coordonnées cartésiennes » dans d’autres dictionnaires : Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas - Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Coordonnées cartésiennes ; coordonnées de la grille vok. kartesische Koordinan, f rus. Coordonnées cartésiennes, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

Voyez ce que sont les « coordonnées cartésiennes » dans d’autres dictionnaires :- une méthode de détermination de la position de points sur un plan par leurs distances à deux axes droits perpendiculaires fixes. Ce concept est déjà visible dans Archimède et Appologie de Perge il y a plus de deux mille ans et même chez les anciens Égyptiens. Pour la première fois, ça... ... Encyclopédie mathématique

Voyez ce que sont les « coordonnées cartésiennes » dans d’autres dictionnaires :- (Système de coordonnées cartésiennes), un système de coordonnées sur un plan ou dans l'espace, généralement avec des axes mutuellement perpendiculaires et des échelles égales le long des axes rectangulaires. Nommé d'après R. Descartes... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Voyez ce que sont les « coordonnées cartésiennes » dans d’autres dictionnaires :- Le système de positionnement de tout point présent sur les os par rapport à deux axes se coupant à angle droit. Développé par René Descartes, ce système est devenu la base de méthodes standards représentation graphique données. Ligne horizontale… … Dictionnaire en psychologie

Coordonnées- Coordonnées. Dans l'avion (à gauche) et dans l'espace (à droite). COORDONNEES (du latin co ensemble et ordinatus ordonné), nombres qui déterminent la position d'un point sur une droite, un plan, une surface, dans l'espace. Les coordonnées sont des distances... Dictionnaire encyclopédique illustré