"Signes d'égalité des triangles" - Types de triangles. Hauteur d'un triangle Signes d'égalité des triangles. Trisecteurs d'un angle. Tout triangle possède trois médianes. On retrouve la première mention du triangle et de ses propriétés dans les papyrus égyptiens. Propriétés des médianes, bissectrices et altitudes des triangles. Triangle équilatéral et isocèle.
« Feuille de papier » - En géométrie, le papier sert à : écrire, dessiner ; couper; plier. Tout le monde fait connu Le papier brûlant n’est pas utilisé en géométrie. Géométrie et feuille de papier. Pascal. Un triangle est découpé dans du papier. Feuille d'un cahier. Parmi les nombreux actions possibles Avec le papier, l’important est qu’il puisse être découpé.
"Histoire de la géométrie" - Egypte ancienne. Moyen-âge. "Principes" se compose de 13 livres. L'émergence et le développement de la géométrie. Dans la géométrie Lyubachevski, il y a des triangles avec des paires côtés parallèles. Grèce antique. La géométrie contient de nombreuses formules, figures, théorèmes, problèmes et axiomes. Thalès a introduit la notion de mouvement, notamment de tournage.
"Preuve du théorème de Pythagore" - La signification du théorème est que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être déduits ou avec son aide. Preuve algébrique. La signification du théorème de Pythagore. Et maintenant, le théorème de Pythagore est vrai, comme à son époque lointaine. Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus importants de la géométrie. Théorème de Pythagore. La preuve d'Euclide.
"Thalès de Milet" - THALES - penseur grec ancien, ancêtre philosophie ancienne et les sciences. Parfois, il est nécessaire de mesurer la distance jusqu'à un objet inaccessible. Déterminer la distance à l'aide d'une allumette. Thalès a découvert la longueur de l'année et l'a divisée en 365 jours. Thalès de Milet. Thalès a prédit éclipse solaire 28 mai 585 avant JC
« Polyèdres réguliers » - L'icosaèdre est le plus épuré. Modèle système solaire I. Kepler. Polyèdres réguliers trouvé dans la nature vivante. La "Coupe Cosmique" de Kepler. Dodécaèdre régulier gauche de douze pentagones réguliers. La somme des angles plans de l'icosaèdre à chaque sommet est de 300 ?. Icosaèdre régulier.
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Le cercle, ses parties, leurs tailles et leurs relations sont des choses auxquelles un bijoutier est constamment confronté. Bagues, bracelets, castes, tubes, boules, spirales - il faut fabriquer beaucoup de choses rondes. Comment calculer tout cela, surtout si vous avez eu la chance de sauter les cours de géométrie à l'école ?
Voyons d'abord quelles sont les parties d'un cercle et comment elles s'appellent.
- Un cercle est une ligne qui entoure un cercle.
- Un arc est une partie d'un cercle.
- Le rayon est un segment reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point du cercle.
- Une corde est un segment reliant deux points sur un cercle.
- Un segment est une partie d'un cercle délimité par une corde et un arc.
- Un secteur est une partie d'un cercle délimité par deux rayons et un arc.
Les quantités qui nous intéressent et leurs désignations :
Voyons maintenant quels problèmes liés aux parties d'un cercle doivent être résolus.
- Trouvez la longueur de développement de n'importe quelle partie de la bague (bracelet). Le diamètre et la corde sont précisés (option : diamètre et angle central), trouvez la longueur de l’arc.
- Il y a un dessin sur un plan, il faut connaître sa taille en projection après l'avoir plié en arc de cercle. Étant donné la longueur et le diamètre de l'arc, trouvez la longueur de la corde.
- Découvrez la hauteur de la pièce obtenue en pliant une pièce plate en arc de cercle. Options de données sources : longueur et diamètre de l'arc, longueur de l'arc et corde ; trouver la hauteur du segment.
La vie vous donnera d'autres exemples, mais je ne les ai donnés que pour montrer la nécessité de définir deux paramètres pour trouver tous les autres. C'est ce que nous ferons. A savoir, nous prenons cinq paramètres du segment : D, L, X, φ et H. Ensuite, en choisissant parmi eux toutes les paires possibles, nous les considérerons comme données initiales et par brainstorming retrouvez tous les autres.
Afin de ne pas alourdir le lecteur en vain, solutions détaillées Je ne donnerai pas, mais je donnerai uniquement des résultats sous forme de formules (les cas où il n'y a pas décision formelle, j'en parlerai au fur et à mesure).
Et encore une remarque : à propos des unités de mesure. Toutes les grandeurs, à l'exception de l'angle central, sont mesurées dans les mêmes unités abstraites. Cela signifie que si, par exemple, vous spécifiez une valeur en millimètres, l'autre n'a pas besoin d'être spécifiée en centimètres et les valeurs résultantes seront mesurées dans les mêmes millimètres (et les surfaces en millimètres carrés). La même chose peut être dite pour les pouces, les pieds et les milles marins.
Et seul l’angle au centre est dans tous les cas mesuré en degrés et rien d’autre. Parce que, en règle générale, les personnes qui conçoivent quelque chose de rond n’ont pas tendance à mesurer les angles en radians. L'expression « angle pi de quatre » en confond beaucoup, tandis que « angle de quarante-cinq degrés » est compréhensible pour tout le monde, puisqu'il n'est que de cinq degrés plus élevé que la normale. Cependant, dans toutes les formules, il y aura un angle supplémentaire - α - présent comme valeur intermédiaire. En termes de sens, il s'agit de la moitié de l'angle central, mesuré en radians, mais vous ne pouvez pas approfondir cette signification en toute sécurité.
1. Étant donné le diamètre D et la longueur de l'arc L
; longueur de corde 
;
hauteur des segments 
; angle central 
.
2. Étant donné le diamètre D et la longueur de corde X
; longueur de l'arc ;
hauteur des segments ; angle central 
.
Puisque la corde divise le cercle en deux segments, ce problème n’a pas une, mais deux solutions. Pour obtenir le second, vous devez remplacer l'angle α dans les formules ci-dessus par l'angle .
3. Étant donné le diamètre D et l'angle au centre φ
; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; hauteur des segments .
4. Étant donné le diamètre D et la hauteur du segment H
; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; angle central .
6. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de l'angle au centre φ
; diamètre ;
longueur de corde ; hauteur des segments .
8. Étant donné la longueur de corde X et l'angle au centre φ
; longueur de l'arc 
;
diamètre ; hauteur des segments .
9. Étant donné la longueur de la corde X et la hauteur du segment H
; longueur de l'arc ;
diamètre ; angle central .
10. Étant donné l'angle au centre φ et la hauteur du segment H
; diamètre 
;
longueur de l'arc ; longueur de corde .
Le lecteur attentif n'a pu s'empêcher de remarquer que j'ai raté deux options :
5. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de la longueur de la corde X
7. Étant donné la longueur de l'arc L et la hauteur du segment H
Ce ne sont que ces deux-là incident désagréable, lorsque le problème n’a pas de solution qui pourrait s’écrire sous la forme d’une formule. Et la tâche n’est pas si rare. Par exemple, vous avez un morceau plat de longueur L et vous souhaitez le plier pour que sa longueur devienne X (ou que sa hauteur devienne H). Quel diamètre dois-je prendre le mandrin (crossbar) ?
Ce problème revient à résoudre les équations : 
; - dans l'option 5
; - dans l'option 7
et bien qu’ils ne puissent pas être résolus analytiquement, ils peuvent être facilement résolus par programmation. Et je sais même où se procurer un tel programme : sur ce même site, sous le nom . Tout ce que je vous raconte ici en détail, elle le fait en microsecondes.
Pour compléter le tableau, ajoutons aux résultats de nos calculs la circonférence et trois valeurs d'aire - cercle, secteur et segment. (Les surfaces nous aideront beaucoup lors du calcul de la masse de toutes les pièces rondes et semi-circulaires, mais nous en parlerons plus à ce sujet dans un article séparé.) Toutes ces quantités sont calculées à l'aide des mêmes formules :
circonférence;
aire d'un cercle 
;
zone sectorielle ;
zone de segmentation 
;
Et en conclusion, permettez-moi de vous rappeler encore une fois l'existence d'absolument programme gratuit, qui effectue tous les calculs ci-dessus, vous évitant ainsi d'avoir à vous rappeler ce qu'est une arctangente et où la chercher.
Le cercle est la figure principale de la géométrie dont les propriétés sont étudiées à l'école en 8e année. L'un des tâches typiques associé à un cercle est de trouver l'aire d'une partie de celui-ci, appelée secteur circulaire. L'article fournit des formules pour l'aire d'un secteur et la longueur de son arc, ainsi qu'un exemple de leur utilisation pour résoudre tâche spécifique.
Le concept de circonférence et de cercle
Avant de donner la formule de l’aire d’un secteur de cercle, considérons quel est le chiffre indiqué. Selon définition mathématique, un cercle est compris comme une figure sur un plan dont tous les points sont équidistants d'un point unique (centre).
Lorsqu'on considère un cercle, la terminologie suivante est utilisée :
- Le rayon est un segment tracé du point central à la courbe du cercle. Il est généralement désigné par la lettre R.
- Un diamètre est un segment de droite qui relie deux points sur un cercle, mais passe également par le centre de la figure. Il est généralement désigné par la lettre D.
- Un arc est une partie d'un cercle courbe. Elle est mesurée soit en unités de longueur, soit à l'aide d'angles.
Le cercle est une autre figure importante en géométrie ; c'est un ensemble de points délimité par la courbe d'un cercle.
Aire d'un cercle et circonférence
Les valeurs notées dans le titre de l'article sont calculées à l'aide de deux formules simples. Ils sont donnés ci-dessous :
- Circonférence : L = 2*pi*R.
- Aire d'un cercle : S = pi*R 2 .
Dans ces formules, pi est une certaine constante appelée nombre Pi. C’est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être exprimé avec précision sous la forme d’une simple fraction. La valeur approximative de Pi est 3,1416.
Comme le montrent les expressions ci-dessus, pour calculer l'aire et la longueur, il suffit de connaître uniquement le rayon du cercle.
Aire d'un secteur de cercle et longueur de son arc
Avant d'examiner les formules correspondantes, rappelons que les angles en géométrie sont généralement exprimés de deux manières principales :
- en degrés sexagésimaux, et tour complet autour de son axe est égal à 360 o ;
- en radians, qui sont exprimés en fractions du nombre pi et sont liés aux degrés par l'égalité suivante : 2*pi = 360 o.
Un secteur de cercle est une figure délimitée par trois lignes : un arc de cercle et deux rayons situés aux extrémités de cet arc. Un exemple de secteur circulaire est présenté sur la photo ci-dessous.
Ayant une idée de ce qu'est un secteur de cercle, il est facile de comprendre comment calculer son aire et la longueur de l'arc correspondant. De la figure ci-dessus, on peut voir que l'arc du secteur correspond à l'angle θ. Nous savons que cercle complet correspond à 2*pi radians, ce qui signifie que la formule de l'aire d'un secteur circulaire prendra la forme : S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 *θ/(2*pi ) = θ*R 2 /2. Ici l'angle θ est exprimé en radians. Une formule similaire pour l'aire du secteur si l'angle θ est mesuré en degrés ressemblera à : S 1 = pi*θ*R 2 /360.
La longueur de l'arc formant le secteur est calculée par la formule : L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Et si θ est connu en degrés, alors : L 1 = pi*θ*R/180.
Exemple de solution de problème
En utilisant un problème simple comme exemple, nous montrerons comment utiliser les formules pour l'aire d'un secteur de cercle et la longueur de son arc.
On sait que la roue comporte 12 rayons. Lorsque la roue fait un tour complet, elle parcourt une distance de 1,5 mètre. Quelle est la surface délimitée entre deux rayons adjacents de la roue et quelle est la longueur de l’arc qui les sépare ?
Comme on peut le voir de formules correspondantes Pour les utiliser, il faut connaître deux grandeurs : le rayon du cercle et l'angle de l'arc. Le rayon peut être calculé à partir de la connaissance de la circonférence de la roue, puisque la distance qu'elle parcourt en un tour lui correspond exactement. On a : 2*R*pi = 1,5, d'où : R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 mètres. L'angle entre les rayons les plus proches peut être déterminé en connaissant leur nombre. En supposant que les 12 rayons divisent également le cercle en secteurs égaux, nous obtenons 12 secteurs identiques. Ainsi, la mesure angulaire de l'arc entre les deux rayons est égale à : θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radians.
Nous avons trouvé toutes les quantités nécessaires, nous pouvons maintenant les substituer dans les formules et calculer les valeurs requises par la condition du problème. On obtient : S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, soit 149 cm 2 ; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m, soit 12,5 cm.
Il n'est pas nécessaire d'apprendre l'aire d'un secteur de cercle et l'aire d'un segment ! Chers amis!Vous avez probablement parcouru le répertoire plus d'une fois. formules mathématiques, et, bien sûr, la pensée s'est posée : « Est-il vraiment possible de tous les apprendre ? Je vais vous dire ce qui est possible, mais pourquoi ? Pourquoi se remplir la tête de tant de formules, les répéter sans cesse, être horrifié d'en avoir oublié certaines et les répéter encore ? Pas besoin!
En fait, il suffit de mémoriser un tiers de toutes les formules, formules de base voire moins. Ensuite, vous comprendrez de quoi nous parlons. Toutes les autres formules peuvent être rapidement déduites en connaissant les bases, en appliquant la logique et en se rappelant les principes à suivre.
Laissez-moi vous donner un exemple : il existe 32 formules de réduction ; les apprendre est un exercice inutile. Comment mémoriser rapidement l'un d'entre eux est décrit dans l'article « », jetez un œil.
Dans cet article, nous verrons comment restaurer rapidement en mémoire les formules de l'aire d'un secteur de cercle, de l'aire de son segment et de la longueur de l'arc de cercle. Ce sont ces formules qui seront nécessaires pour résoudre les séries en planimétrie, que nous analyserons dans le prochain article.Alors, les formules « de base », il faut les apprendre et les connaître !
Aire d'un cercle (formule) :
Formule de circonférence :
Représentons un secteur correspondant à un certain angle au centre n :
On raisonne logiquement : si l'aire d'un cercle est S= PR 2 , alors l'aire correspondant à un secteur d'un degré sera égale à 1/360 de l'aire du cercle (on sait que le cercle entier fait un angle de 360 degrés), c'est-à-dire
Il est clair en outre que l'aire du secteur correspondant à l'angle au centre de n degrés est égale au produit de un trois cent soixantième de l'aire du cercle et de l'angle au centre n (correspondant au secteur) , c'est
Voici la formule pour la zone du secteur.
Ou vous pouvez structurer votre raisonnement comme ceci :
Un secteur de 1 degré équivaut à 1/360 de cercle, respectivement, un secteur de n degrés équivaut à n/360 de cercle. C'est-à-dire que l'aire du secteur sera égale au produit de l'aire du cercle et de cette partie :
C'est simple. Il faut soustraire l'aire du triangle de l'aire du secteur (elle est désignée jaune). L'aire d'un triangle, comme on le sait, est égale à la moitié du produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare (il faut connaître cette formule, ce n'est pascomplexe). DANS dans ce cas Ce:
Moyens,
Voilà pour la zone de segment !
L'aire du segment où l'angle au centre est supérieur à 180 degrés est simplement :
De l'aire du cercle, soustrayez l'aire du segment obtenu :
L'angle 360 – n degrés est l'angle qui correspond au secteur représenté (jaune) :
Autrement dit, nous ajoutons l'aire du triangle à son aire et obtenons l'aire du segment spécifié.
De même, nous déterminons la longueur de l’arc de cercle. Comme déjà dit, la circonférence est égale à :
Cela signifie que la longueur de l'arc de cercle correspondant à un degré sera égale à un trois cent soixantième de 2πR, soit
On obtient la longueur de l'arc de cercle. Certainement, ces informations les professeurs donnent aux élèves, et vous n’avez rien appris d’aussi secret. Mais je suis sûr que l’article vous sera utile.
Je répète que le plus important est de connaître les formules de l'aire d'un cercle et de la circonférence, et alors seule la logique fonctionne.
Je suggère de regarder une leçon supplémentaire de Dmiry Tarasov sur ce sujet. Des formules pour la longueur d'un arc de cercle et l'aire d'un secteur sont prises en compte, où l'angle central est donné en mesure de radian.
C'est tout. Bonne chance à toi !!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
ET cercle - formes géométriques, interconnectés. il y a une frontière ligne brisée(courbe) cercle,
Définition. Un cercle est une courbe fermée dont chaque point est équidistant d’un point appelé centre du cercle.
Pour construire un cercle, un point arbitraire O est sélectionné, pris comme centre du cercle, et une ligne fermée est tracée à l'aide d'un compas.
Si le point O du centre du cercle est relié à points arbitraires sur un cercle, alors tous les segments résultants seront égaux les uns aux autres, et ces segments sont appelés rayons, abrégés en latin petit ou lettre majuscule"euh" ( r ou R.). Vous pouvez tracer autant de rayons dans un cercle qu’il y a de points dans la circonférence.
Un segment reliant deux points d'un cercle et passant par son centre est appelé diamètre. Diamètre se compose de deux rayons, couché sur la même ligne droite. Le diamètre est indiqué par la lettre latine minuscule ou majuscule « de » ( d ou D).
Règle. Diamètre un cercle est égal à deux de ses rayons.
d = 2r
D=2R
La circonférence d'un cercle est calculée par la formule et dépend du rayon (diamètre) du cercle. La formule contient le nombre ¶, qui indique combien de fois la circonférence est supérieure à son diamètre. Le nombre ¶ a nombre infini décimales. Pour les calculs, ¶ = 3,14 a été pris.
La circonférence d'un cercle est désignée par la lettre majuscule latine « tse » ( C). La circonférence d'un cercle est proportionnelle à son diamètre. Formules pour calculer la circonférence d'un cercle en fonction de son rayon et de son diamètre :
C = ¶d
C = 2¶r
- Exemples
- Étant donné : d = 100 cm.
- Circonférence : C=3,14*100 cm=314 cm
- Étant donné : d = 25 mm.
- Circonférence : C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm
Circulaire sécante et arc de cercle
Chaque sécante (ligne droite) coupe un cercle en deux points et le divise en deux arcs. La taille de l'arc de cercle dépend de la distance entre le centre et la sécante et se mesure le long d'une courbe fermée depuis le premier point d'intersection de la sécante avec le cercle jusqu'au second.
Arcs les cercles sont divisés sécante en majeur et mineur, si la sécante ne coïncide pas avec le diamètre, et en deux arcs égaux, si la sécante passe le long du diamètre du cercle.
Si une sécante passe par le centre d'un cercle, alors son segment situé entre les points d'intersection avec le cercle est le diamètre du cercle, ou la plus grande corde du cercle.
Plus la sécante est éloignée du centre du cercle, moins mesure de degré un arc de cercle plus petit et un arc de cercle plus grand, et un segment sécant appelé accord, diminue à mesure que la sécante s'éloigne du centre du cercle.
Définition. Un cercle est une partie d'un plan situé à l'intérieur d'un cercle.
Le centre, le rayon et le diamètre d'un cercle sont simultanément le centre, le rayon et le diamètre du cercle correspondant.
Puisqu’un cercle fait partie d’un plan, l’un de ses paramètres est l’aire.
Règle. Aire d'un cercle ( S) est égal au produit du carré du rayon ( r2) au nombre ¶.
- Exemples
- Étant donné : r = 100 cm
- Zone du cercle :
- S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
- Étant donné : d = 50 mm
- Zone du cercle :
- S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2
Si vous dessinez deux rayons dans un cercle différents points cercle, alors deux parties du cercle sont formées, appelées secteurs. Si vous dessinez une corde dans un cercle, alors la partie du plan entre l'arc et la corde s'appelle segment de cercle.
