La logique floue est l'une des méthodes les plus intéressantes et les plus actives zones en développement théories intelligence artificielle. La différence entre la théorie des ensembles flous et théorie classique les ensembles clairs sont que si pour les ensembles clairs le résultat du calcul de la fonction d'appartenance ne peut être que de deux valeurs - zéro ou un, alors pour les ensembles flous, ce nombre est infini, mais limité à la plage de zéro à un. et des exemples d'accessoires de détermination de valeurs de fonction, à savoir l'analyse de fréquence, la méthode de normalisation experte et la méthode de comparaison par paire, les fonctions L-R. Les méthodes considérées sont faciles à utiliser. Les matériaux contenus dans cet article ont une valeur méthodologique et pratique pour les enseignants et les étudiants intéressés par la modélisation floue et l'analyse des données.

Mots-clés : logique floue

fonction d'adhésion

1. Kurzaeva L.V., Novikova T.B., Laktionova Yu.S., Petelak V.E. Application de la méthode des comparaisons par paires pour déterminer la fonction d'appartenance d'une variable floue dans des problèmes de gestion sociale systèmes économiques// Revue scientifique et pratique « Notes d'un scientifique ». - 2015 - N°5. - P.87-90

2. Kurzaeva L.V. Logique floue et les réseaux de neurones. – Magnitogorsk : Maison d'édition Magnitogorsk, technique d'État. Université nommée d'après G.I.Nosova, 2016.

4. Kurzaeva L.V. Introduction à la théorie des systèmes et l'analyse du système: cahier de texte allocation/L.V. Kurzaeva. -Magnitogorsk : MaSU, 2015. -211 p.

5. Kurzaeva L.V. Introduction aux méthodes et moyens d'obtention et de traitement de l'information pour les tâches de gestion des systèmes sociaux et économiques : manuel. allocation / L.V. Kurzaeva, I.G. Ovchinnikova, G.N. Chusavitine. -Magnitogorsk : Magnitogorsk. État technologie. Université nommée d'après G.I. Nosova, 2016. -118 p.

Toutes les méthodes permettant de déterminer les valeurs des fonctions d'appartenance peuvent être divisées dans les groupes suivants : méthodes directes, méthodes indirectes,L-R‐ les fonctions.

Le premier groupe de méthodes comprend une analyse de fréquence basée sur les résultats d'enquêtes d'experts.

Exemple. Sur la base des résultats des enquêtes auprès des répondants concernant les prévisions du prix d'un litre de lait en 2016, les résultats suivants ont été obtenus (tableau 1).

Le deuxième groupe de méthodes comprend méthodes expertes(par exemple, la méthode de normalisation par questionnaire, ainsi que la méthode de comparaisons appariées).

La méthode de normalisation est la suivante. Il est demandé à l'expert d'évaluer le degré d'appartenance à l'ensemble A de chaque élément de Ux1 & dash; x, en corrélant votre opinion avec les valeurs sur une échelle présélectionnée (par exemple, de 0 à 100 %, ou valeurs relatives de 0 à 1, ou tout autre).

Les résultats d'une enquête auprès de plusieurs experts sont résumés dans une matrice d'enquête (tableau 2).

Ensuite, la séquence d'actions suivante est effectuée :

Tableau 1

Données d'une enquête d'experts sur le prix prévu du lait en 2016

Matrice d'enquête multi-experts

Exemple. Dans le tableau La figure 3 montre les résultats d'une enquête menée auprès de quatre experts sur le degré d'appartenance aux trois éléments & dash; les voitures « Chevrolet iva », « JeepGra dCherokee », « CheryTiggo F » et de nombreux « SUV », notés sur une échelle de 100 points.

Tableau 3

Matrice d'enquête

La somme des poids donnés est calculée i-ième expert tous les éléments :

Tableau 4

Le poids relatif du j-ème élément est calculé sur la base de l'appréciation du i-ème expert :

Tableau 5

Matrice d'enquête avec éléments de calcul

Le poids résultant du j-ième élément est calculé :

Tableau 6

Ainsi, selon les données collectées et la méthode de calcul, l'ensemble « SUV » = (0,43/ « JeepGra dCherokee » ; 0,29/ « Chevrolet iva » ; 0,28/ « CheryTiggo F »)

La méthode des comparaisons par paires est qu'un seul expert, sur la base de son opinion subjective, évalue l'appartenance d'un élément à un ensemble donné par rapport à un autre élément. Pour effectuer des comparaisons subjectives par paires, T. Saaty a développé une échelle d'importance relative ; sa modification est donnée dans le tableau. 7:

Tableau 7

Matrice d'enquête avec éléments de calcul et résultats

Les résultats de la comparaison par paire d'éléments sont entrés dans une matrice de comparaison de dimension n×n, où n est le nombre d'éléments comparés. Un élément de la matrice spécifiée exprime le résultat de la comparaison des éléments i et j. Si, lors de la comparaison des éléments i et j, a(i,j)=b est obtenu, alors le résultat de la comparaison des éléments jet i devrait être a(j,i)=1/b. Évidemment, les éléments diagonaux de la matrice sont égaux à 1.

T. Saaty a proposé une procédure simplifiée pour calculer le vecteur w. Laissez v‐ vecteur de lignes de moyenne géométrique d'une matrice de comparaison :

Alors le vecteur w sera défini comme suit :

Exemple. Sur la base de l'évaluation par l'expert du degré d'appartenance des trois éléments & dash; valeurs de température en degrés Celsius, déterminez le réglage « Froid ».

Les vecteurs de priorités locales correspondant aux matrices de comparaison se retrouvent comme suit :

Riz. 1. Exemples de gauche à droite-les fonctions

Ainsi, d'après les calculs, « Froid » = (0,747/ -25 ; 0,134/ -10 ; 0,119/-5).

Le troisième groupe comprend des méthodes basées sur l'utilisation de ce que l'on appelle L-R & dash; les fonctions ( formulaires standards courbes fig. 1) spécifier des fonctions d'appartenance avec raffinement de leurs paramètres par approximation de données réelles.

Exemple. Si l'on évalue qualitativement un paramètre, par exemple en disant : « Cette valeur du paramètre est la moyenne », il faut introduire une déclaration de clarification comme « La valeur moyenne est approximativement de a à b », qui fait l'objet expertise(classification floue), puis la fonction trapézoïdale peut être utilisée pour la modélisation.

Si nous voulons exprimer « approximativement égal à α », alors nous pouvons utiliser des fonctions triangulaires.

Lien bibliographique

Définition introduite ensemble flou(2.1) n’impose pas de restrictions sur le choix de la fonction d’appartenance. Cependant, en pratique, il est conseillé d'utiliser une représentation analytique de la fonction d'appartenance μ A x d'un ensemble flou A avec des éléments x qui possèdent de manière floue la propriété définissant l'ensemble R. Typification des fonctions d'appartenance dans le contexte du problème technique posé résolu simplifie considérablement les calculs analytiques et numériques correspondants lors de l’application des méthodes de la théorie des ensembles flous. On distingue les fonctions d'adhésion typiques suivantes :

Fonctions d'appartenance triangulaire permettant de préciser des incertitudes du type : « approximativement égale », « valeur moyenne », « située dans l'intervalle », « similaire à un objet », « similaire à un objet », etc. :

• fonctions triangulaires et trapézoïdales

Trimf x,a,b,c = 0 , x ≤ a ;

X - une b - une , une ≤ x ≤ b ; c - x c - b, b ≤ x ≤ c ; 0 , c ≤ x ; trapmf x,a,b,c,d = 0 , x ≤ a ; X - une b - une , une ≤ x ≤ b ;

• 1, b ≤ x ≤ c;

ré - x ré - c , c ≤ x ≤ ré ;< x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 0 , b ≤ x ; zm f 2 x,a,b = 1 , x < a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b ; 0 , x >b ;

• Fonctions Z-sigmoïde et Z-linéaire

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a< 0 ; zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ < x ≤ c ; d - x b - c , c < x ≤ d ; 0 , x >d ;

Fonctions d'appartenance en forme de S utilisées pour définir des incertitudes telles que : " un grand nombre de", "grande valeur", "valeur significative", " haut niveau X - une b - une , une ≤ x ≤ b ;

• Splines en S quadratiques et harmoniques

Sm f 1 x,a,b = 0 , x ≤ a ;< x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 1 , b ≤ x ; sm f 2 x,a,b = 0 , x < a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ; 1 , x >2 x - une b - une 2 , une

• b ;

Fonctions S-sigmoïde et S-linéaire< x ≤ b ; 1 , x >b ;

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a > 0 ;

• slinemf x,a,b = 0 , x ≤ a ;

x - une b - une , une

Fonctions d'appartenance en U permettant de préciser des incertitudes du type : « approximativement compris entre et jusqu'à », « approximativement égale », « environ », etc. : fonctions de cloche et gaussiennes Gbellmf x,a,b,c = 1 1 + x - c a 2b ;

gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2σ 2 Il existe de nombreuses autres fonctions d'appartenance à un ensemble flou définies comme des compositions des éléments ci-dessus. les fonctions de base (double gaussienne, double sigmoïde, etc.), ou sous forme de combinaisons de sections croissantes et décroissantes (sigmoïde-gaussienne, spline-triangulaire, etc.). La fonction d'appartenance μ A x est une mesure subjective non probabiliste du flou, déterminée à la suite d'une enquête auprès d'experts sur le degré de correspondance de l'élément x avec le concept formalisé par l'ensemble flou A. Contrairement à une mesure de probabilité, qui est une estimation de l'incertitude stochastique, traitant de l'ambiguïté de l'occurrence d'un événement dans

divers moments temps, la mesure floue est une évaluation numérique de l'incertitude linguistique associée à l'ambiguïté et au flou des catégories de la pensée humaine. Lors de la construction de la fonction d'appartenance μ A x, chaque ensemble flou A est associé à une certaine propriété, signe ou attribut R, qui caractérise un certain ensemble d'objets X. Que dans dans une plus grande mesure un objet particulier x ∈ X a cette propriété R, plus il est proche de la valeur correspondante μ A x. Si un élément x ∈ X a définitivement cette propriété R, alors μ A x = 1, mais si x ∈ X n'a ​​certainement pas cette propriété R, alors μ A x = 0. Il existe des méthodes directes et indirectes pour construire des fonctions d'appartenance - .), il est conseillé de l'utiliser pour des propriétés, signes et attributs mesurables, tels que la vitesse, le temps, la température, la pression, etc. Lors de l'utilisation de méthodes directes, une spécification point par point absolument précise de μ A x n'est souvent pas requise. En règle générale, il suffit de fixer le type de fonction d'appartenance et les points caractéristiques par lesquels la représentation discrète de la fonction d'appartenance est approximée par un analogue continu - la fonction d'appartenance standard la plus appropriée.

Méthodes indirectes(plus connu méthode de comparaison par paires) sont utilisés dans les cas où il n'y a pas de propriétés mesurables des objets dans le Domaine. En raison de la nature spécifique des problèmes considérés, lors de la construction de systèmes de contrôle automatique flous, des méthodes directes sont généralement utilisées. À leur tour, en fonction du nombre d'experts impliqués dans l'enquête, les méthodes directes et indirectes sont divisées en méthodes simples et en groupe. L'estimation la plus grossière des points caractéristiques de la fonction d'appartenance peut être obtenue en interrogeant un expert, qui fixe simplement pour chaque valeur x ∈ X la valeur correspondante μ A x .

Exemple. Considérons un ensemble flou A, correspondant au concept"La consommation de liquide de refroidissement est faible." Objet x – débit de liquide de refroidissement, X 0 ; x max – ensemble physique valeurs possibles taux de changement de température. L'expert est présenté différentes significations

débit de liquide de refroidissement x et la question est posée : avec quel degré de confiance 0 ≤ μ A x ≤ 1 l'expert estime-t-il que ce débit de liquide de refroidissement x est petit. Lorsque μ A x = 0, l'expert est absolument sûr que le débit de liquide de refroidissement x est faible. Lorsque μ A x = 1, l'expert est absolument sûr que le débit de liquide de refroidissement x ne peut pas être classé comme petit. Méthode de fréquence relative.

Exemple. Considérons l'ensemble flou A correspondant au concept de « taux de variation de température moyen positif ». Objet x – taux de changement de température, X - x max ;

x max est l'ensemble des valeurs physiquement possibles du taux de changement de température. Les experts se voient présenter différentes valeurs du taux de changement de température x et chacun d'eux se voit poser la question : l'expert pense-t-il que ce taux de changement de température x est une moyenne positive. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau 2.1. Pour présentation continue Pour une variable floue, nous utilisons l'une des fonctions d'appartenance en forme de U, par exemple Gaussienne. A partir de l'ensemble des fonctions gaussiennes gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 passant par les points caractéristiques de la fonction d'appartenance : point de transition μ A 3 = 0,5 et maximum μ A 5 = 1 ; passe par une fonction de paramètres σ = 1,7, c = 5. Comme méthode alternative de transition de série discrète

indique une affectation continue de la fonction d'appartenance, nous pouvons suggérer de rechercher les paramètres de la fonction d'appartenance gaussienne, qui se rapproche le plus possible de la série discrète selon le critère de l'écart type (Fig. 2.4). Figure 2.4. Approximation d'une série discrète () par une fonction d'appartenance gaussienne continue (– par points caractéristiques

, – – selon l’écart type) Flou Boîte à outils logique

• comprend 11 fonctions accessoires intégrées qui utilisent les fonctions de base suivantes :
• linéaire par morceaux ;
• Distribution gaussienne;
• courbe sigmoïde ;

courbes quadratiques et cubiques. Pour plus de commodité, les noms de toutes les fonctions d'adhésion intégrées se terminent par mf.

La fonction d'appartenance est appelée comme suit :

nommf(x, paramètres), Où nommf
– nom de la fonction d'adhésion ; X
– vecteur pour les coordonnées duquel il faut calculer les valeurs de la fonction d'appartenance ; paramètres

– vecteur de paramètres de la fonction d'appartenance. Les fonctions d'appartenance les plus simples sont triangulaires ( trimf ) et trapézoïdale ( piègemf

) est formé en utilisant une approximation linéaire par morceaux. La fonction d'appartenance trapézoïdale est une généralisation de la fonction triangulaire ; elle permet de spécifier le noyau d'un ensemble flou sous la forme d'un intervalle. Dans le cas d'une fonction d'appartenance trapézoïdale, l'interprétation commode suivante est possible : le noyau d'un ensemble flou est une estimation optimiste ; le porteur d’un ensemble flou est une évaluation pessimiste. Deux fonctions d'appartenance – gaussienne symétrique ( gaussmf Deux fonctions d'appartenance – gaussienne symétrique () et gaussienne bilatérale ( Deux fonctions d'appartenance – gaussienne symétrique ( vous permet de spécifier des fonctions d’appartenance asymétriques. Fonction d'appartenance généralisée en forme de cloche ( gbellmf ) ont une forme similaire aux gaussiennes. Ces fonctions d'appartenance sont souvent utilisées dans systèmes flous

, puisque dans tout le domaine de définition, ils sont lisses et prennent des valeurs non nulles. Fonctions d'adhésion,sigmf, dsigmf psigmf

sont basés sur l’utilisation d’une courbe sigmoïde. Ces fonctions permettent de générer des fonctions d'appartenance dont les valeurs à partir d'une certaine valeur d'argument et jusqu'à + (-) sont égales à 1. De telles fonctions sont pratiques pour spécifier des termes linguistiques de type « élevé » ou « faible ». L'approximation polynomiale est utilisée lors de la génération de fonctions zmf, pimf Et, smf images graphiques Fonctions d'adhésion,qui sont similaires aux fonctions, dsigmf dsigmf

, respectivement. Les informations de base sur les fonctions d'adhésion intégrées sont résumées dans le tableau. 6.1. En figue. 6.1 montre des représentations graphiques des fonctions d'appartenance obtenues à l'aide du script de démonstration mfdémo

. Comme le montre la figure, les fonctions d'appartenance intégrées vous permettent de spécifier une variété d'ensembles flous. DANS Boîte à outils de logique floue il est possible à l'utilisateur de créer propre fonction accessoires. Pour ce faire, vous devez créer m accessoires. Pour ce faire, vous devez créer-fonction contenant deux arguments d'entrée - un vecteur pour les coordonnées duquel il faut calculer les valeurs de la fonction d'appartenance et un vecteur de paramètres de la fonction d'appartenance. L'argument de sortie de la fonction doit être un vecteur de degrés d'appartenance. Ci-dessous se trouve :

-fonction qui implémente la fonction d'adhésion en forme de cloche
fonction mu=bellmf(x, paramètres)
%bellmf – fonction d'adhésion à Bell ;
%x – vecteur d'entrée ;
%params(1) – coefficient de concentration (>0) ;
%params(2) – coordonnée de maximuma.
a=paramètres(1);
b=paramètres(2);

mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Graphique 6.1. Fonctions d'adhésion intégrées

– porteur d'un ensemble flou ;- Ensemble flou concept clé logique floue. Laisser E - ensemble universel, X - élément E, un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) ensemble universel - élément dont les éléments satisfont à la propriété R est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(– nom de la fonction d'adhésion ;) / – nom de la fonction d'adhésion ;},

Où µA (x) —fonction caractéristique, prenant la valeur 1 si - ensemble universel, satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Le sous-ensemble flou est différent de sujets réguliers, qui concerne les éléments - ensemble universel, depuis Laisser il n’y a pas de réponse claire par oui ou par non concernant la propriété R. À cet égard, le sous-ensemble flou un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) ensemble universel Laisser est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(– nom de la fonction d'adhésion ;) / – nom de la fonction d'adhésion ;},

Où µA (x) — fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M(Par exemple, M = ).

La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément - ensemble universel, sous-ensemble UN. Un tas de M appelé un ensemble d'accessoires. Si M= (0, 1), alors le sous-ensemble flou un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

logique floue. Laisser = {– nom de la fonction d'adhésion ; 1 , – nom de la fonction d'adhésion ; 2 , xz,– nom de la fonction d'adhésion ; 4 , x5), M = ; un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) est un ensemble flou pour lequel μ A ( – nom de la fonction d'adhésion ; 1 )= 0,3 ; μUNE ( x2)= 0; μUNE ( - ensemble universel, 3) = 1 ; µA (x 4) = 0,5 ; μUNE ( x5)= 0,9.

Alors un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) peut être représenté sous la forme

UNE ={0,3/– nom de la fonction d'adhésion ; 1 ; 0/- ensemble universel, 2 ; 1/- ensemble universel, 3 ; 0,5/- ensemble universel, 4 ; 0,9/- ensemble universel, 5 } ,

ou

un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement)={0,3/– nom de la fonction d'adhésion ; 1 +0/- ensemble universel, 2 +1/- ensemble universel, 3 +0,5/- ensemble universel, 4 +0,9/- ensemble universel, 5 },

ou

Commentaire. Ici, le signe « + » ne désigne pas l’opération d’addition, mais a le sens d’union.

Caractéristiques de base des ensembles flous

logique floue. M= et un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement)- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel Laisser et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est bon si sa hauteur est 1, c'est-à-dire limite supérieure sa fonction d'appartenance est 1 (= 1). À< 1нечеткое множество называется subnormal.

Ensemble flou vide si ∀ – nom de la fonction d'adhésion ;ϵE μ UN ( – nom de la fonction d'adhésion ;) = 0. Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé à l'aide de la formule

Ensemble flou unimodal, Si μ UN ( – nom de la fonction d'adhésion ;) = 1 sur un seul - ensemble universel, depuis E.

. Transporteur ensemble flou un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) est un sous-ensemble ordinaire avec la propriété μ UN ( – nom de la fonction d'adhésion ;)>0, c'est-à-dire transporteur A = {– nom de la fonction d'adhésion ;/x ϵE, μ UN ( – nom de la fonction d'adhésion ;)>0}.

Éléments – nom de la fonction d'adhésion ;ϵE, Pour qui μ UN ( – nom de la fonction d'adhésion ;) = 0,5 , sont appelés points de transition ensembles UN.

Exemples d'ensembles flous

1. Laissez Laisser = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Ensemble flou« Plusieurs » peut être défini comme suit :

« Plusieurs » = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8 ; ses caractéristiques :hauteur = 1, transporteur = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, points de transition — {3, 8}.

2. Laissez Laisser = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). L’ensemble flou « Petit » peut être défini :

3. Laissez Laisser= (1, 2, 3,..., 100) et correspond au concept « Âge », alors l'ensemble flou « Jeune » peut être défini à l'aide de

Ensemble flou « Young » sur le plateau universel E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) est spécifié à l'aide de la fonction d'appartenance μ Jeune ( – nom de la fonction d'adhésion ;) sur E =(1, 2, 3, ..., 100) (âge), appelé en relation avec E" fonction de compatibilité, avec :

Où - ensemble universel,— L’âge de SIDOROV.

4. Laissez Laisser= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un ensemble de marques de voitures, et E"= est l'ensemble universel « Coût », puis sur E" on peut définir des ensembles flous du type :

Riz. 1.1. Exemples de fonctions d'adhésion

« Pour les pauvres », « Pour les classes moyennes », « Prestigieux », avec des fonctions d'affiliation comme la Fig. 1.1.

Avoir ces fonctions et connaître le coût des voitures de Laisser V ce moment temps, nous déterminerons ainsi E" ensembles flous portant les mêmes noms.

Ainsi, par exemple, l'ensemble flou « Pour les pauvres », défini sur l'ensemble universel E =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), se présente comme indiqué sur la Fig. 1.2.

Riz. 1.2. Un exemple de spécification d'un ensemble flou

De même, vous pouvez définir l'ensemble flou « High-speed », « Medium », « Slow-speed », etc.

5. Laissez Laisser- ensemble d'entiers :

Laisser= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Alors le sous-ensemble flou des nombres, selon valeur absolue proche de zéro peut être défini, par exemple, comme ceci :

UNE ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsqu'un expert définit simplement pour chaque - ensemble universel, ϵ Laisser signification μA (x), ou définit une fonction de compatibilité. En règle générale, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont distinguées.

Dans de nombreux problèmes, lors de la caractérisation d'un objet, il est possible de sélectionner un ensemble de caractéristiques et pour chacune d'elles de déterminer des valeurs polaires correspondant aux valeurs de la fonction d'appartenance, 0 ou 1.

Par exemple, dans la tâche de reconnaissance faciale, on peut distinguer les échelles données dans le tableau. 1.1.

Tableau 1.1. Échelles dans la tâche de reconnaissance faciale

Pour une personne spécifiqueun R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement)l'expert, en fonction de l'échelle donnée, fixeμ UN(x)ϵ, formant la fonction d'appartenance vectorielle (μ UN(x1) , μ UN(x2),…, μ UN(x9)}.

Avec les méthodes directes, les méthodes directes de groupe sont également utilisées, lorsque, par exemple, un groupe d'experts se voit présenter une personne spécifique et que chacun doit donner l'une des deux réponses suivantes : « cette personne est chauve » ou « cette personne n'est pas chauve », puis le nombre de réponses affirmatives réparties sur nombre total experts, donne du sens μ chauve ( de cette personne). (Dans cet exemple, vous pouvez agir via la fonction de compatibilité, mais vous devrez alors compter le nombre de cheveux sur la tête de chaque personne présentée à l'expert.)

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. En règle générale, il s’agit de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, μ UN(X-je) = ωje , je= 1, 2, ..., n, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement)= ( une ij ), où un ij= ωje/ j(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement), dans ce cas on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale a ij = 1/a ij , c'est-à-dire si un élément est évalué à α fois plus fort que l’autre, alors ce dernier doit être 1/α fois plus fort que le premier. DANS cas général le problème se réduit à trouver un vecteur ω qui satisfait une équation de la forme Oh= λmax w, où λ max est la plus grande valeur propre de la matrice un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement). Puisque la matrice un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) est positif par construction, une solution à ce problème existe et est positive.

Deux autres approches peuvent être notées :

• utilisation de formulaires standards courbes de spécification des fonctions d'appartenance (sous forme de type (L-R) - voir ci-dessous) avec clarification de leurs paramètres conformément aux données expérimentales ;
• utilisation de fréquences relativesselon l'expérience comme valeurs d'adhésion.

Classification des fonctions d'appartenance des ensembles flous normaux

Un ensemble flou est dit normal si sa fonction d'appartenance indique qu'il existe tel que .

s

Fonction d'appartenance à une classe s défini comme:

Fonction d'appartenance à une classe π

Fonction d'appartenance à une classe π défini via une fonction de classe s:

Fonction d'appartenance à une classe γ

Fonction d'appartenance à une classe γ défini comme:

Fonction d'appartenance à une classe t

Fonction d'appartenance à une classe t défini comme:

Fonction d'appartenance à une classe L

Fonction d'appartenance à une classe L défini comme:

Définissons une variable linguistique (LP) comme une variable dont la valeur est déterminée par un ensemble caractéristiques verbales une certaine propriété. Par exemple, le LP « age » peut avoir les valeurs

LP = MlV, DV, OV, SE, MV, SV, PV, SV,

désignant respectivement l'âge du nourrisson, de l'enfant, de l'adolescence, de la jeunesse, de la jeunesse, de la maturité, de la personne âgée et de la vieillesse. L'ensemble M est une échelle d'années vécues par une personne. La fonction d'appartenance détermine notre degré de confiance dans le fait que quantité donnée les années vécues peuvent être attribuées à valeur donnée LP. Supposons qu'un expert classe les personnes âgées de 20 ans avec un degré de confiance de 0,8, âgées de 25 ans avec un degré de confiance de 0,95, âgées de 30 ans avec un degré de confiance de 0,95 et âgées de 35 ans avec un degré de confiance .0,7. Donc:

µ(X 1 ) = 0,8 ; µ(X 2) = 0,95 ; µ(X 3) = 0,95 ; µ(X 4) = 0,7 ;

La valeur LP=MV peut s'écrire :

MV = μ(X 1) / X 1 + μ(X 2) / X 2 + μ(X 3) / X 3 + μ(X 4) / X 4 = = 0,8 / X 1 + 0,95 / X 2 + 0,95 / X 3 + 0,7 / X 4 .

Ainsi, les ensembles flous permettent de prendre en compte les avis subjectifs d’experts individuels. Pour plus de clarté, nous montrerons graphiquement l'ensemble des MV en utilisant la fonction d'appartenance (Fig. 2.7).

Riz. 2.7. Graphique de la fonction d'adhésion

Pour les opérations avec des ensembles flous, il existe diverses opérations, par exemple, l'opération « OU flou » (sinon) est spécifiée dans la logique Zadeh :

μ(x)=max(μ 1 (x), μ 2 (x))

et avec une approche probabiliste comme celle-ci :

μ(x)=μ 1 (x)+μ 2 (x)-μ 1 (x) · μ 2 (x).

Considérons ces opérations sous forme de schémas. Dans un premier article sur les ensembles flous, Zadeh a proposé un opérateur minimum pour l'intersection et un opérateur maximum pour l'union de deux ensembles flous. Il est facile de voir que ces opérateurs sont identiques à l’union claire et à l’intersection, si l’on considère uniquement l’appartenance de 0 et 1.

Pour clarifier cela, regardons quelques exemples. Disons que A est un intervalle flou entre 5 et 8 et que B est un nombre flou, environ 4. Le diagramme suivant montre l'ensemble flou entre 5 et 8 ET (ET - intersection) environ 4 (ligne bleue).

Un ensemble flou entre 5 et 8 OR (OR-union) d'environ 4 est représenté dans le diagramme suivant (encore une fois, ligne bleue).

Le diagramme suivant est un exemple de négation. La ligne bleue est la NÉGATION de l’ensemble flou A.

Il existe d'autres opérations sur les nombres flous, telles que les opérations arithmétiques binaires étendues (addition, multiplication, etc.) pour les nombres flous, définies par les opérations correspondantes pour les nombres nets utilisant le principe de généralisation, etc.

Baldwin J.F.. Logique floue et raisonnement flou. - Londres, Academic Press, 1981.

Pour définir la vérité floue, Baldwin a proposé les fonctions d'appartenance suivantes pour le « vrai » et le « faux » flous.