Les deux côtés d’un triangle rectangle qui forment un angle droit sont appelés jambes. Opposé angle droit Le côté le plus long du triangle s’appelle l’hypoténuse. Afin de détecter l'hypoténuse, il faut connaître la longueur des jambes.
Instructions
1. Les longueurs des jambes et de l'hypoténuse sont liées par une relation décrite par le théorème de Pythagore. Formulation algébrique : « Dans triangle rectangle carré de la longueur de l'hypoténuse égal à la somme carrés des longueurs des jambes. » La formule de Pythagore ressemble à ceci : c2 = a2 + b2, où c est la longueur de l’hypoténuse, a et b sont les longueurs des jambes.
2. Connaissant les longueurs des jambes, selon le théorème de Pythagore, il est possible de trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle : c = ?(a2 + b2).
3. Exemple. La longueur de l'une des pattes est de 3 cm, la longueur de l'autre est de 4 cm. La somme de leurs carrés est de 25 cm ? : 9 cm ? + 16 cm ? = 25 cm ?.La longueur de l'hypoténuse dans notre cas est égale à la racine carrée de 25 cm ? – 5 cm. La longueur de l’hypoténuse est donc de 5 cm.
L'hypoténuse est le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle de 90 degrés. Pour calculer sa longueur, il suffit de connaître la longueur d'une des branches et la taille d'un des angles aigus du triangle.
Instructions
1. Avec la fameuse jambe et l'angle aigu d'un triangle rectangle, la taille de l'hypoténuse peut être égal au rapport jambe au cosinus/sinus de cet angle, si angle donné est opposé/adjacent à lui : h = C1 (ou C2)/sin?; h = C1 (ou C2)/cos? Exemple : Soit un rectangulaire. triangle ABC avec l'hypoténuse AB et l'angle droit C. Soit l'angle B de 60 degrés et l'angle A de 30 degrés. La longueur de la jambe BC est de 8 cm. Nous devons trouver la longueur de l'hypoténuse AB. Pour ce faire, vous pouvez utiliser l'une des méthodes proposées ci-dessus : AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.
L'hypoténuse est le côté le plus long d'un rectangle Triangle. Il est situé à l'opposé de l'angle droit. Méthode pour trouver l'hypoténuse d'un rectangle Triangle cela dépend des données initiales dont vous disposez.
Instructions
1. Si nous avons des jambes rectangulaires Triangle, puis la longueur de l'hypoténuse du rectangle Triangle peut être découvert à l'aide du théorème de Pythagore - le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes : c2 = a2 + b2, où a et b sont les longueurs des jambes d'un rectangle Triangle .
2. Si nous dessinons l'une des jambes et un angle aigu, alors la formule pour trouver l'hypoténuse dépendra de l'angle par rapport à la jambe entraînée - adjacent (situé près de la jambe) ou opposé (situé en face d'elle. Dans le cas d'un angle adjacent, l'hypoténuse est égale au rapport de la jambe par le cosinus de cet angle : c = a/cos ? ; E est l'angle opposé, l'hypoténuse est égale au rapport de la jambe au sinus de l'angle : c = a/péché ?.
Vidéo sur le sujet
L'hypoténuse est le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit. Il se trouve qu'elle est le plus grand côté triangle rectangle. Il peut être calculé à l'aide du théorème de Pythagore ou à l'aide des formules de fonctions trigonométriques.
Instructions
1. Les côtés d’un triangle rectangle adjacents à un angle droit sont appelés jambes. Sur la figure, les jambes sont désignées AB et BC. Laissez les longueurs des deux jambes être données. Notons-les |AB| et |C.-B.|. Afin de trouver la longueur de l’hypoténuse |AC|, nous utilisons le théorème de Pythagore. D'après ce théorème, la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, c'est-à-dire dans la notation de notre figure |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. À partir de la formule, nous constatons que la longueur de l’hypoténuse AC est égale à |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .
2. Regardons un exemple. Soit donnée la longueur des jambes |AB|. = 13, |BC| = 21. Par le théorème de Pythagore, nous trouvons que |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Afin d'obtenir la longueur de l'hypoténuse, nous devons extraire Racine carrée de la somme des carrés des jambes, c'est-à-dire du numéro 610 : |AC| =?610. En utilisant le tableau des carrés d’entiers, nous découvrons que le nombre 610 n’est le carré parfait d’aucun entier. Afin d'obtenir la valeur finale de la longueur de l'hypoténuse, nous allons essayer de transférer un carré parfait sous le signe racine. Pour ce faire, factorisons le nombre 610. 610 = 2 * 5 * 61. En regardant le tableau des nombres primitifs, on voit que 61 est un nombre primitif. Par conséquent, la réduction ultérieure du nombre de 610 est irréaliste. On obtient le résultat final |AC| = ?610. Si le carré de l'hypoténuse était égal, par exemple, à 675, alors ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Si un casting similaire est autorisé, faites contre-vérification– mettez le total au carré et comparez avec la valeur initiale.
3. Faites-nous connaître l'une des pattes et l'angle qui lui est adjacent. Pour être précis, que ce soit le côté |AB| et l'angle ?. Ensuite, nous pouvons utiliser la formule de la fonction trigonométrique cosinus - le cosinus d'un angle est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Ceux. dans notre notation cos ? = |AB| / |AC|. De là, nous obtenons la longueur de l'hypoténuse |AC| = |AB| / cos ?.Si nous connaissons le côté |BC| et angle ?, alors nous utiliserons la formule pour calculer le sinus d'un angle - le sinus d'un angle est égal au rapport le côté opposéà l'hypoténuse : péché ? = |BC| / |AC|. Nous constatons que la longueur de l'hypoténuse est |AC| = |BC| /cos?.
4. Pour plus de clarté, regardons un exemple. Soit la longueur de la jambe |AB|. = 15. Et l'angle ? = 60°. On obtient |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Voyons comment vérifier votre résultat à l'aide du théorème de Pythagore. Pour ce faire, nous devons calculer la longueur de la deuxième étape |BC|. En utilisant la formule de la tangente de l'angle tg ? = |BC| / |AC|, on obtient |BC| = |AB| *tg ? = 15 * beige 60° = 15 * ?3. Ensuite, nous appliquons le théorème de Pythagore, nous obtenons 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. La vérification est terminée.
Conseil utile
Après avoir calculé l'hypoténuse, vérifiez si la valeur obtenue satisfait au théorème de Pythagore.
Traduit de langue grecque, hypoténuse signifie « serré ». Pour compréhension correcte imaginez une corde d'arc reliant les deux extrémités d'un bâton flexible. De même, dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l’hypoténuse, située à l’opposé de l’angle droit. Il agit comme un connecteur avec les deux autres côtés, appelés pattes. Pour connaître la longueur de cette « corde », il faut connaître la longueur des pattes, soit la taille de deux angles aigus. En combinant ces données, vous pouvez calculer la valeur souhaitée à l'aide de formules.
Comment trouver l'hypoténuse par les jambes
La façon la plus simple de calculer est de connaître la taille de deux jambes (notons l'une par A, l'autre par B). Pythagore lui-même vient à la rescousse et son monde théorème célèbre. Elle nous dit que si nous mettons au carré la longueur des jambes et additionnons les valeurs calculées, nous connaîtrons alors la valeur au carré de la longueur de l'hypoténuse. De ce qui précède, nous concluons : pour trouver la valeur de l'hypoténuse, il faut extraire la racine carrée de la somme totale des carrés des pattes C = √ (A² + B²). Exemple : côté A=10 cm, côté B=20 cm. L'hypoténuse est égale à 22,36 cm. Le calcul est le suivant : √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.
Comment trouver l'hypoténuse sous un angle
Il est un peu plus difficile de calculer la longueur de l'hypoténuse à travers angle spécifié. Si vous connaissez la taille de l'une des deux pattes (notée A) et la taille de l'angle (noté α) qui lui fait face, alors la taille de l'hypoténuse est trouvée à l'aide de la trigonométrie, et plus précisément du sinus. Tout ce que vous avez à faire est de diviser la valeur de la jambe connue par le sinus de l'angle. C=A/péché(α). Exemple : la longueur de la jambe A = 30 cm, l'angle qui lui fait face est de 45°, l'hypoténuse sera de 42,25 cm. Le calcul est le suivant : 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Une autre façon consiste à trouver la taille de l’hypoténuse à l’aide du cosinus. Il est utilisé si vous connaissez la taille de la jambe (notée B) et angle aigu(noté α), qui lui est adjacent. Tout ce que vous avez à faire est de diviser la valeur de la jambe par le sinus de l’angle. С=В/ cos(α). Exemple : la longueur de la jambe B = 30 cm, l'angle qui lui fait face est de 45°, l'hypoténuse sera de 42,25 cm. Le calcul est le suivant : 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle
Tout écolier qui se respecte sait qu'un triangle est isocèle, à condition que deux des trois côtés soient égaux entre eux. Ces côtés sont appelés latéraux et celui qui reste est appelé base. Si l’un des angles est de 90°, alors vous avez un triangle rectangle isocèle.
Trouver l'hypoténuse dans un tel triangle est simple, car elle possède plusieurs propriétés qui vous aideront. Les charbons adjacents à la base sont de valeur égale, montant total les valeurs d'angle sont de 180°. Cela signifie que l'angle droit se trouve à l'opposé de la base, ce qui signifie que la base est l'hypoténuse et que les côtés sont les jambes.
Après avoir étudié un sujet sur les triangles rectangles, les élèves oublient souvent toutes les informations les concernant. Y compris comment trouver l’hypoténuse, sans oublier de quoi il s’agit.
Et en vain. Parce qu'à l'avenir, la diagonale du rectangle s'avère être cette même hypoténuse, et il faut la trouver. Ou bien le diamètre d'un cercle coïncide avec le plus grand côté d'un triangle dont l'un des angles est droit. Et il est impossible de le trouver sans cette connaissance.
Il existe plusieurs options pour trouver l'hypoténuse d'un triangle. Le choix de la méthode dépend des données initiales posées dans le problème des quantités.
Méthode numéro 1 : les deux côtés sont donnés
C’est la méthode la plus mémorable car elle utilise le théorème de Pythagore. Parfois seulement, les élèves oublient que cette formule est utilisée pour trouver le carré de l'hypoténuse. Cela signifie que pour trouver le côté lui-même, vous devrez prendre la racine carrée. Par conséquent, la formule de l'hypoténuse, qui est généralement désignée par la lettre « c », ressemblera à ceci :
c = √ (une 2 + b 2), où les lettres « a » et « b » représentent les deux branches d’un triangle rectangle.
Méthode numéro 2 : la jambe et l'angle qui lui est adjacent sont connus
Afin de savoir comment trouver l'hypoténuse, vous devrez vous rappeler fonctions trigonométriques. À savoir le cosinus. Pour plus de commodité, nous supposerons que la branche « a » et l’angle α qui lui est adjacent sont donnés.
Nous devons maintenant nous rappeler que le cosinus de l’angle d’un triangle rectangle est égal au rapport des deux côtés. Le numérateur contiendra la valeur de la jambe et le dénominateur contiendra l'hypoténuse. Il en résulte que cette dernière peut être calculée à l'aide de la formule :
c = a / cos α.
Méthode numéro 3 : étant donné une jambe et un angle qui lui fait face
Afin de ne pas nous tromper dans les formules, introduisons la désignation de cet angle - β, et laissons le côté le même "a". Dans ce cas, vous aurez besoin d'une autre fonction trigonométrique - le sinus.
Comme dans l’exemple précédent, le sinus est égal au rapport de la jambe à l’hypoténuse. La formule de cette méthode ressemble à ceci :
c = a / péché β.
Afin de ne pas vous tromper dans les fonctions trigonométriques, vous pouvez retenir un mnémonique simple : si dans un problème nous parlons de o pr Ô angle opposé, alors vous devez l'utiliser avec Et eh bien, si - oh pr Et allongé, puis à Ô sinus. Faites attention aux premières voyelles de mots clés. Ils forment des couples o-je ou Et à propos.
Méthode numéro 4 : le long du rayon du cercle circonscrit
Maintenant, pour savoir comment trouver l’hypoténuse, vous devrez vous rappeler la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle. Il se lit comme suit. Le centre du cercle coïncide avec le milieu de l'hypoténuse. Autrement dit, le côté le plus long d’un triangle rectangle est égal à la diagonale du cercle. C'est-à-dire doubler le rayon. La formule de ce problème ressemblera à ceci :
c = 2 * r, où la lettre r désigne le rayon connu.
C'est tout moyens possibles comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Utiliser dans chaque tâche spécifique vous avez besoin de la méthode la plus adaptée à l’ensemble de données.
Exemple de tâche n°1
Condition : dans un triangle rectangle, les médianes sont tracées des deux côtés. La longueur de celui vers lequel on tire côté plus grand, est égal à √52. L'autre médiane a une longueur de √73. Vous devez calculer l'hypoténuse.
Puisque les médianes sont dessinées en triangle, elles divisent les jambes en deux égal au segment. Pour faciliter le raisonnement et rechercher comment trouver l'hypoténuse, vous devez introduire plusieurs notations. Que les deux moitiés de la plus grande jambe soient désignées par la lettre « x » et l'autre par « y ».
Nous devons maintenant considérer deux triangles rectangles dont les hypoténuses sont les médianes connues. Pour eux, vous devez écrire deux fois la formule du théorème de Pythagore :
(2y) 2 + x 2 = (√52) 2
(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.
Ces deux équations forment un système à deux inconnues. Après les avoir résolus, il sera facile de retrouver les jambes du triangle d'origine et à partir d'elles son hypoténuse.
Vous devez d’abord tout élever à la puissance seconde. Il s'avère:
4 ans 2 + x 2 = 52
oui 2 + 4x 2 = 73.
D'après la deuxième équation, il est clair que y 2 = 73 - 4x 2. Cette expression doit être substituée à la première et calculer « x » :
4(73 - 4x2) + x2 = 52.
Après transformation :
292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ou 15x 2 = 240.
D'après la dernière expression x = √16 = 4.
Vous pouvez maintenant calculer "y" :
y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.
Selon les conditions, il s'avère que les membres du triangle d'origine sont égaux à 6 et 8. Cela signifie que vous pouvez utiliser la formule de la première méthode et trouver l'hypoténuse :
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Répondre: l'hypoténuse est égale à 10.
Exemple de tâche n°2
Condition : calculer la diagonale tracée dans un rectangle dont le côté le plus court est égal à 41. Si l'on sait qu'elle divise l'angle en ceux qui sont liés comme 2 à 1.
Dans ce problème, la diagonale d’un rectangle est le côté le plus long d’un triangle de 90º. Tout se résume donc à la façon de trouver l’hypoténuse.
Le problème concerne les angles. Cela signifie que vous devrez utiliser l'une des formules contenant des fonctions trigonométriques. Vous devez d’abord déterminer la taille de l’un des angles aigus.
Soit le plus petit des angles discutés dans la condition soit désigné α. Alors l’angle droit divisé par la diagonale sera égal à 3α. Notation mathématiqueça ressemble à ça :
A partir de cette équation, il est facile de déterminer α. Ce sera égal à 30º. De plus, il se trouvera en face du petit côté du rectangle. Par conséquent, vous aurez besoin de la formule décrite dans la méthode n°3.
L'hypoténuse est égale au rapport de la jambe au sinus de l'angle opposé, soit :
41 / péché 30º = 41 / (0,5) = 82.
Réponse : L'hypoténuse est 82.
"Et ils nous disent que la jambe est plus courte que l'hypoténuse..." Ces lignes sont tirées d'une chanson célèbre qui sonnait dans long métrage Les Aventures de l'électronique sont en effet fidèles à la géométrie d'Euclide. Après tout, les jambes sont deux côtés qui forment un angle, mesure de degré ce qui est égal à 90 degrés. Et l’hypoténuse est le côté « étiré » le plus long qui relie deux jambes perpendiculaires l’une à l’autre et se situe à l’opposé de l’angle droit. C'est pourquoi il est possible de trouver l'hypoténuse par jambes uniquement dans un triangle rectangle, et si la jambe était plus longue que l'hypoténuse, alors un tel triangle n'existerait pas.
Comment trouver l'hypoténuse à l'aide du théorème de Pythagore si les deux côtés sont connus
Le théorème stipule que le carré de l'hypoténuse n'est rien de plus que la somme des carrés des jambes : x^2+y^2=z^2, où :
- x – match aller ;
- y – match retour ;
- z – hypoténuse.
Mais il suffit de trouver l'hypoténuse, et non son carré. Pour ce faire, extrayez la racine.
Algorithme pour trouver l'hypoténuse à l'aide de deux côtés bien connus:
- Indiquez vous-même où se trouvent les jambes et où se trouve l'hypoténuse.
- Carrez la première jambe.
- Carrez la deuxième jambe.
- Additionnez les valeurs résultantes.
- Extrayez la racine du nombre obtenu à l’étape 4.
Comment trouver l'hypoténuse par le sinus si la jambe et l'angle aigu opposé sont connus
Le rapport d'une jambe connue à un angle aigu qui lui fait face est égal à la valeur de l'hypoténuse : a/sin A = c. C'est une conséquence de la définition du sinus :
Le rapport du côté opposé à l'hypoténuse : sin A = a/c, où :
- a – match aller ;
- A – angle aigu opposé à la jambe ;
- c- hypoténuse.
Algorithme pour trouver l'hypoténuse à l'aide du théorème des sinus :
- Indiquez vous-même une jambe connue et l'angle opposé à celle-ci.
- Divisez la jambe dans le coin opposé.
- Obtenez l'hypoténuse.
Comment trouver l'hypoténuse à travers le cosinus si la jambe et l'angle aigu qui lui est adjacent sont connus
Le rapport du côté connu au côté aigu coin adjacentégale à la valeur de l'hypoténuse a/cos B = c. C'est une conséquence de la définition du cosinus : le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse : cos B= a/c, où :
- a – match retour ;
- B – angle aigu adjacent à la deuxième jambe ;
- c- hypoténuse.
Algorithme pour trouver l'hypoténuse à l'aide du théorème du cosinus :
- Indiquez-vous une jambe connue et un angle adjacent.
- Divisez la jambe par l'angle adjacent.
- Obtenez l'hypoténuse.
Comment trouver l'hypoténuse à l'aide du triangle égyptien
Le « triangle égyptien » est un trio de nombres, sachant que vous pouvez gagner du temps pour trouver l'hypoténuse ou même une autre jambe inconnue. Le triangle porte ce nom car en Égypte, certains chiffres symbolisaient les dieux et constituaient la base de la construction de pyramides et d'autres structures diverses.
- Trois premiers chiffres : 3-4-5. Les jambes ici sont égales à 3 et 4. Alors l'hypoténuse sera certainement égale à 5. Vérifiez : (9+16=25).
- Deuxième triplet de nombres : 5-12-13. Ici aussi, les jambes sont égales à 5 et 12. L'hypoténuse sera donc égale à 13. Vérifiez : (25+144=169).
De tels nombres sont utiles même lorsqu'ils sont divisés ou multipliés par un nombre quelconque. Si les jambes sont 3 et 4, alors l'hypoténuse sera égale à 5. Si vous multipliez ces nombres par 2, alors l'hypoténuse sera également multipliée par 2. Par exemple, le triple des nombres 6-8-10 conviendra également le théorème de Pythagore et vous n'avez pas besoin de calculer l'hypoténuse si vous vous souvenez de ces triples de nombres. 
Ainsi, il existe 4 façons de retrouver l'hypoténuse en utilisant les pattes connues. La meilleure option est le théorème de Pythagore, mais cela ne ferait pas de mal non plus de se souvenir des triplets de nombres qui composent " Triangle égyptien», car vous pouvez gagner beaucoup de temps si vous rencontrez de telles valeurs.
Géométrie - non science simple. Elle s'exige attention particulière et connaissance des formules exactes. Ce type de mathématiques nous est venu de La Grèce ancienne et même après plusieurs milliers d'années, il ne perd pas sa pertinence. Ne pense pas en vain que c'est objet inutile, remplissant la tête des étudiants et des écoliers. En fait, la géométrie est applicable dans de nombreux domaines de la vie. Sans cela, aucune connaissance en géométrie ne peut se construire structure architecturale, les voitures ne sont pas créées, vaisseaux spatiaux et les avions. Jonctions et ornières routières complexes et peu complexes - tout cela nécessite des calculs géométriques. Oui, même parfois, vous ne pouvez pas effectuer de réparations dans votre chambre sans en avoir connaissance. formules élémentaires. Ne sous-estimez donc pas l’importance de ce sujet. Nous étudions les formules les plus courantes que nous devons utiliser dans de nombreuses solutions à l'école. L’un d’eux consiste à trouver l’hypoténuse dans un triangle rectangle. Pour comprendre cela, lisez ci-dessous.
Avant de commencer à pratiquer, commençons par les bases et définissons ce qu'est l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
L'hypoténuse est l'un des côtés d'un triangle rectangle opposé à l'angle de 90 degrés (angle droit) et est toujours le plus long.
Il existe plusieurs façons de trouver la longueur de l’hypoténuse souhaitée dans un triangle rectangle donné.
Dans le cas où les jambes nous sont déjà connues, on utilise le théorème de Pythagore, où l'on additionne la somme des carrés de deux jambes, qui sera égale au carré de l'hypoténuse.
a et b sont les jambes, c est l'hypoténuse.
Dans notre cas, pour un triangle rectangle, la formule sera donc la suivante :
Si on remplace numéros connus jambes a et b, soit a=3 et b=4, puis c=√32+42, alors nous obtenons c=√25, c=5
Lorsqu’on connaît la longueur d’une seule jambe, la formule peut être transformée pour trouver la longueur de la seconde. Cela ressemble à ceci :
Dans le cas où, selon les conditions du problème, on connaît la jambe A et l'hypoténuse C, alors on peut calculer l'angle droit du triangle, appelons-le α.
Pour ce faire, nous utilisons la formule :
Soit β le deuxième angle que nous devons calculer. Sachant que l’on connaît la somme des angles d’un triangle, qui est 180°, alors : β= 180°-90°-α
Dans le cas où l'on connaît les valeurs des pattes, on peut utiliser la formule pour trouver la valeur de l'angle aigu du triangle :
Selon les valeurs connues généralement acceptées, les côtés d'un rectangle peuvent être trouvés à partir de divers différentes formules. En voici quelques uns:
Lors de la résolution de problèmes impliquant la recherche d'inconnues dans un triangle rectangle, il est très important de se concentrer sur les valeurs que vous connaissez déjà et, sur cette base, de les remplacer par la formule requise. Il sera difficile de s'en souvenir tout de suite, nous vous conseillons donc de faire un petit indice manuscrit et de le coller dans votre cahier.
Comme vous pouvez le constater, si vous approfondissez toutes les subtilités de cette formule, vous pourrez facilement la comprendre. Nous vous recommandons d'essayer de résoudre plusieurs problèmes basés sur cette formule. Après avoir vu votre résultat, vous saurez clairement si vous avez compris ce sujet ou non. Essayez de ne pas mémoriser, mais d'approfondir la matière, ce sera beaucoup plus utile. Le matériel mémorisé est oublié après le premier test, et vous rencontrerez cette formule assez souvent, alors comprenez-la d'abord, puis mémorisez-la. Si ces recommandations ne sont pas données effet positif, c'est-à-dire le sens dans cours supplémentaires ce sujet. Et rappelez-vous : l’enseignement est lumière, et non l’enseignement est obscurité !
