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MBOU "École secondaire Mordovsko-Paevskaya" du district Insarsky de la République de Moldavie
Complété par : Pantileikina Nadezhda,
élève de 11ème année
Responsable : Kadyshkina N.V.,
professeur de mathématiques
Table des matières
Introduction……………………………………………………………………………………….
Chapitre I. À propos des équations trigonométriques…………………………………..…5
1) Types de base d'équations trigonométriques et méthodes pour les résoudre :
1. Équations réduites au plus simple. ……………………………..5
2. Équations se réduisant au quadratique……………………………….5
3. Équations homogènes acosx + b péché x = 0……………………………...6
4. Équations de la forme acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7
5. Équations résolues par factorisation…………………...….7
6. Équations non standard………………………………………………….8
Chapitre II. Concepts de base et formules de trigonométrie…………………….8-10
Chapitre II JE. Les équations proposées sur Examens d'État unifiés du passé ans…………...……10-14
Conclusion………………………………………………………………………………….14
Annexe………………………………………………………..……………………….15-17
Littérature………………………………………………………………………………………..18
Introduction
« La seule façon conduire à la connaissance est une activité… »
Bernard Shaw
Pertinence du travail.
Dans quelques mois, je termine mes études.
Pour qu'il n'y ait aucun problème avec un choix supplémentaire chemin de vie, nécessaire obtenir un certificat de scolarité, et pour obtenir un certificat de scolarité, vous devez réussir deux examen obligatoire V Formulaire d'examen d'État unifié- et l'un d'euxmathématiques. Que puis-je dire ? examens finaux- une période cruciale dans la vie de tout écolier, dont dépend non seulement note finale dans le certificat, mais aussi son avenir professionnel, ses revenus et sa carrière.
Célibataire Examen d'État- C'est un test important avant de passer à nouvelle vie et l'admission dans une université ou un collège. Il est particulièrement important de le transmettre bons scores. L'examen d'État unifié de mathématiques est un test sérieux et sans de bonnes bases, un étudiant ne pourra pas prétendre à un résultat décent.
Comment éviter d’échouer à l’examen et obtenir de bons résultats ? Pour ce faire, vous devez bien résoudre les tâches. je ne fais pas semblant note maximale Cependant, je me prépare assidûment. Et j'ai remarqué que même sur la première tâche de la partie C, à savoir la résolution d'équations trigonométriques et de leurs systèmes, je fais des erreurs.À première vue, la tâche C1 est relativement équation simple ou un système d'équations pouvant contenir des fonctions trigonométriques,L'une des principales approches pour les résoudre est de les simplifier séquentiellement afin de les réduire à un ou plusieurs plus simples.Alors pourquoi ai-je tort ?
Pertinence du sujet est déterminé par le fait que les étudiants doivent comprendre certaines méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
Je me suis donc fixé ce qui suitcible:
Systématiser et développer les connaissances et les compétences liées à l'utilisation de méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
Objet d'étude est l'étude des équations trigonométriques dans les tâches de l'examen d'État unifié.
Sujet de recherche- est la solution des équations trigonométriques
Ainsi, objectif principalécrire ceci travail de cours est l'étude des équations trigonométriques et de leurs systèmes, des méthodes pour les résoudre.
Conformément aux buts, à l'objet et au sujet de l'étude, sont définis : tâches :
1). Étudiez toutes les tâches liées à la résolution d'équations trigonométriques proposées à Travaux d'examen d'État unifié les années précédentes et lors de l'exécution travail de diagnostic;
2) Étudier les méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
3). Identifiez les principaux erreurs possibles lors de la résolution de telles équations ;
4). Découvrez la raison de ces erreurs.
6). Tirez des conclusions.
Dans mon travail, je vais résoudre plusieurs équations trigonométriques, montrer les erreurs possibles lors de leur résolution et essayer de répondre aux questions suivantes questions :
1). Est-il possible d’éviter les erreurs lors de l’exécution de tâches de type C1 ?
2) Si je m'entraîne à résoudre des équations de ce type, alors je peux
Est-il possible d’effectuer de telles tâches sans erreurs ?
Pour cela, j'ai étudié toutes les démos et tâches de formation passé avec nous, Matériel d'examen d'État unifié années précédentes;
sources de référence étudiées ;
tâches résolues de manière indépendante à partir d'Internet ;
consultait son professeur en cas de difficulté ;
J'ai appris à analyser et formater correctement les résultats.
Chapitre JE. À propos des équations trigonométriques.
1) Définition 1. Une équation trigonométrique est une équation contenant une variable sous le signe fonctions trigonométriques.
Les équations trigonométriques les plus simples sont les équations tapez péché x = une,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
Dans de telles équations, la variable est sous le signe de la fonction trigonométrique et est le nombre donné.
La résolution d'une équation trigonométrique comprend deux étapes : transformer l'équation pour obtenir sa forme la plus simple et résoudre l'équation trigonométrique la plus simple qui en résulte.
2) Types de base d'équations trigonométriques.
Des équations réduites au plus simple.
Résoudre l'équation
Solution:
Répondre:
Équations se réduisant au quadratique.
1) Résolvez l’équation 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Répondre:
Équations homogènes : asinx + bcosx = 0
un péché 2 x + b sinxcosx + c parce que 2 x = 0.
Résolvez l’équation 2sinx – 3cosx = 0
Solution : Soit cosx = 0, alors 2sinx = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec
que sin 2 x + cos 2 x = 1. Cela signifie cosx ≠ 0 et nous pouvons diviser l'équation par cosx.
Nous obtenons
Répondre:
Exemple: Résoudre l'équation
Solution: 
Répondre:
Équations résolues par factorisation.
Premier : Résolvez l’équation sin2x – sinx = 0.
Solution : En utilisant la formule sin2x = 2sinxcosx, on obtient
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx (2cosx – 1) = 0.
Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro.
Répondre:
Équations non standard.
Résolvez l'équation cosx = X 2 + 1.
Solution:
Regardons les fonctions
Chapitre II. Concepts de base et formules de trigonométrie.
Équations trigonométriques - sujet obligatoire n'importe quel examen de mathématiques.
À PROPOSx, quelle agonie l'apprentissage de la trigonométrie cause aux étudiants.
Certaines difficultés surviennent même s'il y a un professeur à proximitéen mathématiques et explique chaque petit détail. C'est compréhensible, seulement formules de base il y en a plus d'une vingtaine. Et si on compte leurs dérivées... L'élève se perd dans les calculs et ne se souvient plus des mécanismes par lesquels ces formules permettent de trouver, par exemple, .
Vous connaissez les formules, c'est facile pour vous de décider. Si vous ne savez pas, vous ne comprendrez pas, même si on vous donne la formule.Vous n'avez pas seulement besoin de connaître la formule, mais vous devez savoir où elle peut être appliquée, comment l'ouvrir et quelle est l'essence de la formule, et pour cela, vous devez résoudre des exemples spécifiquement pour les problèmes qui sont difficile à résoudre.
Au début, il me semblaitla trigonométrie est un ensemble ennuyeux de formules et de graphiques. Cependant, au fur et à mesure que je me suis familiarisé avec de nouveaux concepts de trigonométrie et des méthodes de résolution d'équations trigonométriques, je suis devenu à chaque fois convaincu de l'intérêt et de la fascination du monde de la trigonométrie.
Premièrement, pour réussir à résoudre des équations trigonométriques, vous devez bien connaître formules trigonométriques, non seulement les principaux, mais aussi les supplémentaires (conversion de la somme des fonctions trigonométriques en produit et des produits en somme, formules de réduction des degrés, et autres),depuis utilisation sur Aide-mémoire pour l'examen d'État unifié Et téléphones portables interdit
(Annexe 1)
Deuxièmement , nous devons savoir clairement formules standards racines des équations trigonométriques les plus simples (utiles à retenir ou à pouvoir obtenir en utilisant cercle trigonométrique formules simplifiées pour les racines des équations)
Chacune de ces équations est résolue à l’aide de formules que vous devez connaître. Voici les formules :
a) Fonctionoui= péchéx. La fonction est limitée : elle est comprise dans [-1 ; 1]. Cela signifie que lors de la résolution d'équations commepéché=2 oupéchépéché
1) sinx = une,x= (-1) n arcpéché a +n,n 
Z
2) péchéx = - une,x= (-1) n+1 arcpéché a +n,n Z
Aussi, il faut connaître les cas particuliers : 1)
péché =- 1, 
2)péché =0,
3)péché =
un,
Vous devez également être capable de résoudresous forme de deux séries de racines
2. Fonction oui = parce que x . La fonction est limitée : elle est comprise dans [-1 ; 1]. Cela signifie que lors de la résolution d'équations commeparce quex=2 ouparce quex=-5 la réponse s'avère être : pas de racines. Formules pour la fonction y=parce quex:
1. cosx = une, X=± arccos a+2n,n Z
2.cosx=-une, X=±( - arccos a)+2n,n Z
Cas particuliers : 1.
cosx =-1,
X =
+2
n,
n Z
2.
cosx =0,
3. cosx =1, X= 2n,n Z
3. Fonctionoui= tgx.
Il n'existe qu'une seule formule, sans cas particulier :tgx = ± un .
X = ±
arctan a+n,n Z
Troisièmement, vous devez connaître les valeurs des fonctions trigonométriques ;
(Annexe 2)
Quatrièmement, Si dans une équation la fonction trigonométrique est sous le signe radical, alors une telle équation trigonométrique sera irrationnelle. Dans de telles équations, vous devez suivre toutes les règles utilisées lors de la résolution d'équations ordinaires. équations irrationnelles(zone prise en compte valeurs acceptablesà la fois l'équation elle-même et lorsqu'elle est libérée d'une racine de degré pair).
V. Équations proposées à l'examen d'État unifié des années précédentes.
"Une méthode de résolution est bonne si nous pouvons prévoir dès le début - et ensuite le confirmer - qu'en suivant cette méthode, nous atteindrons l'objectif."
Leibniz
1. Équations qui se réduisent au quadratique.
C1. Résolvez l'équation : 
Solution : En utilisant l'identité trigonométrique de base,on réécrit l'équation sous la forme
Remplacementparce que=
tl'équation se réduit à quadratique :2t 2
+ 9
t-5 =0, qui a des racinest 1
= ½ ett 2
= -5. En revenant à la variable x, on obtient 
,
La deuxième équation n'a pas de racines puisque |cosx |≥1, et de la première x =± 
+6k, k Z
Réponse : =± +6k, k Z
Conclusion: Lors de l'introduction d'une nouvelle variable, vous devez tenir compte du fait que les valeurs de sin x et cos x sont limitées par le segment 
, sinon des racines étrangères apparaîtront.
2. Équations résolues par factorisation
Tâche C1 (2011)
a) Résoudre l'équation
b) Indiquer les racines de l'équation appartenant au segment 
Solution : a) résoudre en factorisant le côté gauche :
en groupe et à emporter multiplicateur commun au-delà des parenthèses, on obtient
L'équation 1) n'a pas de solutions.
La deuxième équation est homogène, peut être résolue en divisant terme par terme par cosx ≠0, on obtient 
, où 
b) 
Réponse : a) 
b) 
Conclusion:
1. Lors de la résolution d'une équation de ce type, vous devez d'abord savoir que |sin x|≤1 et |cosx |≤1, et que l'équation sinx =-2 n'a pas de solutions ;
2. Deuxièmement, justifier la division par cosx ≠о (car si cosx = 0, alors sin x = 0, mais c'est impossible ;
troisièmement, il est raisonnable de sélectionner des racines appartenant à un intervalle donné
3
.Équation d'application des formules de réduction
C1 (2010) Étant donné l’équation
a) résoudre l'équation ;
b 
) Indiquer les racines appartenant au segment
Solution : En utilisant les formules de réduction, on obtient :
péché 2 x – cos x =0,
2 sinx cosx- cosx =0,
Avec osx (2 sinx -1)=0, d'où cosx= 0 ou sinx =½,
b) Trouver les valeurs de k auxquelles appartiendront les racines
l'intervalle spécifié. Pour sélectionner les racines. appartenant à un intervalle donné, nous présentons la solution sous la forme :
b 
) Trouvons les valeurs de k auxquelles les racines appartiendront à l'intervalle spécifié.
2)
En résolvant cette inégalité, l'ensemble
nous n'obtiendrons pas les valeurs de k.
Réponse : a)
b) 
Conclusion:
Lors de la résolution d'une équation de ce type, il est nécessaire de connaître les formules de l'équation donnée et de l'appliquer correctement ; être capable de présenter une solution 
en deux séries de racines ; choisissez les bonnes racines appartenant à un segment donné.
4. Systèmes d'équations trigonométriques
C1 (2010).
Résoudre un système d'équations 
Solution : O.D.Z 
Une fraction est égale à zéro si le numérateur est 0 et le dénominateur n'est pas 0.
A partir de l'équation 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, résolue en introduisant une nouvelle variable, on trouve
ou péché x = 1.
1) Laissez , Alors 
et y = cos x = 
›0 (en utilisant la base identité trigonométrique)
ou 
Et 
- pas de solution.
2) Laissez sinx = 1, alors y = cos x = 0 – il n'y a pas de solution.
Répondre: et y =
Conclusion : 1) il faut prendre en compte les limites de la trigonométrique
fonctions
2) Enregistrer et prendre en compte O.D.Z.
5. C1 (USE 2011) Résoudre l'équation :
O.D.Z. – cos x ≥ 0, péché x ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 ou cos x =0
péchéx = t 
4 t 2 + 12 t + 5=0, d'où t 1 = -½, t 2 = -
péché = -½ péché=- - n'a pas de solution
X = 
X = 
en tenant compte de l'O.D.Z. X =
Réponse : x =
Conclusion : Notez la réponse en tenant compte de l'O.D.Z.
CONCLUSION
Dans le travail que j'ai effectué, j'ai étudié les solutions aux équations trigonométriques, examiné les recommandations pour résoudre les équations trigonométriques, les méthodes de résolution des équations trigonométriques et examiné les erreurs possibles lors de leur résolution.
je suis venu à les conclusions suivantes:
1. Les tâches de type C1 testent la capacité à résoudre des équations trigonométriques. Ces tâches sont en effet simples, ce qui donne un excès de confiance en soi et apaise l'attention. La seule difficulté de ces tâches est que, après avoir résolu une équation ou un système d'équations, il faut éliminer les racines superflues.
2.
La tâche C1 est la plus tâche simple groupe C. Lors de sa résolution, des transformations lourdes et calculs complexes. S'ils apparaissent, vous devez immédiatement vous arrêter, vérifier la solution et essayer de comprendre ce qui ne va pas ici.
3. Finalement,La principale exigence est que la solution doit être mathématiquement compétente et que le déroulement du raisonnement doit en ressortir clairement.Vous devez essayer d'écrire votre décision de manière brève et claire, mais surtout - correctement !
4. Et surtout, pour apprendre à résoudre des équations sans erreurs, il faut les résoudre ! Après tout, comme l'a dit Polya, "Si vous voulez apprendre à nager, n'hésitez pas à plonger dans l'eau, et si vous voulez apprendre à résoudre des problèmes, vous devez les résoudre !"
Annexe 1 ( formules de base trigonométrie)
1) identité trigonométrique de basepéché 2 α + parce que 2 α= 1,
En divisant cette équation par le carré du cosinus et du sinus, respectivement, nous avons
2) formules à double argumentpéché2α =2péchéα parce que α,
parce que 2α =cos 2 α -péché 2 α ,
Cos 2α = 1- 2sin 2 α,
3) formules de réduction du diplôme : 
4) formules pour la somme et la différence de deux arguments :
péché(α+ β )= péchéα parce queβ + parce que α péchéβ
péché(α- β )= péchéα parce que β - parce que α péché β
parce que(α+ β )= parce queα parce que β + péché α péché β
parce que(α- β )= péchéα parce que β + péchéα péché β
5) Formules de réduction
Les formules de réduction sont des formules de la forme suivante :
Sommes et différences d'équations trigonométriques
Parité
Cosinus-paire, sinus, tangente et cotangente, c'est-à-dire:
Continuité
Sinus et cosinus -
. Tangente et a
,cotangente 0; ±π ; ±2π;…
Périodicité
Fonctionsoui = parce quex, oui = péchéx -
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