Construction d'équations trigonométriques. Équations trigonométriques

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Équations trigonométriques. Dans le cadre de l'examen de mathématiques de la première partie, il y a une tâche liée à la résolution d'une équation - celle-ci équations simples, qui sont résolus en quelques minutes, de nombreux types peuvent être résolus oralement. Comprend : les équations linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.

Dans cet article, nous examinerons les équations trigonométriques. Leur solution diffère tant par le volume des calculs que par la complexité des autres problèmes de cette partie. Ne vous inquiétez pas, le mot « difficulté » fait référence à leur difficulté relative par rapport à d’autres tâches.

En plus de trouver les racines de l'équation elles-mêmes, il est nécessaire de déterminer le plus grand négatif ou le plus petit racine positive. La probabilité que vous obteniez une équation trigonométrique à l’examen est bien entendu faible.

Ils sont moins de 7 % dans cette partie de l'examen d'État unifié. Mais cela ne veut pas dire qu’il faut les ignorer. Dans la partie C, vous devez également résoudre une équation trigonométrique, une bonne compréhension de la technique de résolution et une bonne compréhension de la théorie sont donc simplement nécessaires.

Comprendre la section trigonométrie des mathématiques déterminera grandement votre réussite dans la résolution de nombreux problèmes. Je vous rappelle que la réponse est un entier ou un nombre fini décimal. Après avoir obtenu les racines de l’équation, ASSUREZ-VOUS de vérifier. Cela ne prendra pas beaucoup de temps et vous évitera de commettre des erreurs.

Nous examinerons également d’autres équations à l’avenir, ne les manquez pas ! Rappelons les formules racines équations trigonométriques, il faut les connaître :

La connaissance de ces valeurs est nécessaire ; c'est « l'ABC », sans lequel il sera impossible d'accomplir de nombreuses tâches. Génial, si votre mémoire est bonne, vous avez facilement appris et mémorisé ces valeurs. Que faire si vous ne pouvez pas faire cela, s'il y a de la confusion dans votre tête, mais que vous êtes simplement confus en passant l'examen. Ce serait dommage de perdre un point parce que vous avez noté une mauvaise valeur dans vos calculs.

Ces valeurs sont simples, elles sont également données dans la théorie que vous avez reçue dans la deuxième lettre après votre inscription à la newsletter. Si vous n'êtes pas encore abonné, faites-le ! À l'avenir, nous examinerons également comment ces valeurs peuvent être déterminées par cercle trigonométrique. Ce n’est pas pour rien qu’on l’appelle le « Cœur d’Or de la Trigonométrie ».

Permettez-moi d'expliquer immédiatement, afin d'éviter toute confusion, que dans les équations considérées ci-dessous, les définitions de l'arc sinus, arc cosinus, arc tangente utilisant l'angle sont données X pour les équations correspondantes : cosx=a, sinx=a, tgx=a, où X peut aussi être une expression. Dans les exemples ci-dessous, notre argument est donné précisément par une expression.

Considérons donc les tâches suivantes :

Trouvez la racine de l'équation :

Notez la plus grande racine négative de votre réponse.

La solution de l'équation cos x = a est constituée de deux racines :

Définition : Que le nombre a en module ne dépasse pas un. L'arc cosinus d'un nombre est l'angle x compris entre 0 et Pi dont le cosinus est égal à a.

Moyens

Exprimons x:

Trouvons la plus grande racine négative. Comment faire cela ? Remplaçons différentes significations n dans les racines résultantes, calculez et sélectionnez la plus grande négative.

On calcule :

Avec n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Avec n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Avec n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

Avec n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

Avec n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Nous avons constaté que la plus grande racine négative est –1,5

Réponse : –1,5

Décidez vous-même :

Résolvez l'équation :

La solution de l'équation sin x = a est constituée de deux racines :

Soit (il combine les deux ci-dessus) :

Définition : Que le nombre a en module ne dépasse pas un. L'arc sinus d'un nombre est l'angle x compris entre – 90° et 90°, dont le sinus est égal à a.

Moyens

Exprimez x (multipliez les deux côtés de l’équation par 4 et divisez par Pi) :

Trouvons la plus petite racine positive. Ici, il est immédiatement clair qu'en remplaçant valeurs négatives n nous obtiendrons racines négatives. Par conséquent, nous remplacerons n = 0,1,2...

Lorsque n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Quand n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Avec n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Vérifions avec n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

La plus petite racine positive est donc 4.

Réponse : 4

Décidez vous-même :

Résolvez l'équation :

Écrivez la plus petite racine positive dans votre réponse.

Vous pouvez commander solution détaillée votre tâche !!!

L'égalité contenant l'inconnu sous le signe fonction trigonométrique(`sin x, cos x, tan x` ou `ctg x`) est appelé une équation trigonométrique, et ce sont leurs formules que nous examinerons plus en détail.

Les équations les plus simples sont appelées « sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a », où « x » est l'angle à trouver, « a » est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racines de chacun d'eux.

1. Équation `sin x=a`.

Pour `|a|>1`, il n'a pas de solutions.

Quand `|a| \leq 1` a nombre infini décisions.

Formule racine : `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Équation `cos x=a`

Pour `|a|>1` - comme dans le cas du sinus, les solutions parmi nombres réels n'a pas.

Quand `|a| \leq 1` a ensemble infini décisions.

Formule racine : `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphiques.

3. Équation `tg x=a`

Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Équation `ctg x=a`

Possède également un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formules pour les racines des équations trigonométriques dans le tableau

Pour le sinus :
Pour le cosinus :
Pour la tangente et la cotangente :
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses :

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

La résolution de toute équation trigonométrique comprend deux étapes :

avec l'aide de le transformer au plus simple ;
résolvez l'équation la plus simple obtenue en utilisant les formules de racine et les tableaux écrits ci-dessus.

Examinons les principales méthodes de solution à l'aide d'exemples.

Méthode algébrique.

Cette méthode consiste à remplacer une variable et à la substituer par une égalité.

Exemple. Résolvez l'équation : `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faites un remplacement : `cos(x+\frac \pi 6)=y`, puis `2y^2-3y+1=0`,

on retrouve les racines : `y_1=1, y_2=1/2`, d'où découlent deux cas :

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Réponse : `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorisation.

Exemple. Résolvez l'équation : `sin x+cos x=1`.

Solution. Déplaçons tous les termes de l'égalité vers la gauche : `sin x+cos x-1=0`. En utilisant , nous transformons et factorisons le membre de gauche :

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réponse : `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réduction à une équation homogène

Tout d’abord, vous devez réduire cette équation trigonométrique à l’une des deux formes suivantes :

`un péché x+b cos x=0` ( équation homogène premier degré) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (équation homogène du deuxième degré).

Divisez ensuite les deux parties par `cos x \ne 0` - pour le premier cas, et par `cos^2 x \ne 0` - pour le second. Nous obtenons des équations pour `tg x` : `a tg x+b=0` et `a tg^2 x + b tg x +c =0`, qui doivent être résolues à l'aide de méthodes connues.

Exemple. Résolvez l'équation : `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solution. Écrivons-le côté droit comme `1=sin^2 x+cos^2 x` :

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Il s'agit d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré, on divise ses côtés gauche et droit par `cos^2 x \ne 0`, on obtient :

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2x+tgx — 2=0`. Introduisons le remplacement `tg x=t`, résultant en `t^2 + t - 2=0`. Les racines de cette équation sont « t_1=-2 » et « t_2=1 ». Alors:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Passer au demi-angle

Exemple. Résolvez l'équation : « 11 sin x - 2 cos x = 10 ».

Solution. Appliquons les formules double angle, ce qui donne : `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Appliquer ce qui précède méthode algébrique, on obtient :

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduction de l'angle auxiliaire

Dans l'équation trigonométrique « a sin x + b cos x = c », où a,b,c sont des coefficients et x est une variable, divisez les deux côtés par « sqrt (a^2+b^2) » :

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir la somme de leurs carrés est égale à 1 et leurs modules ne sont pas supérieurs à 1. Notons-les ainsi : `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, alors :

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Regardons de plus près l'exemple suivant :

Exemple. Résolvez l'équation : `3 sin x+4 cos x=2`.

Solution. Divisez les deux côtés de l'égalité par `sqrt (3^2+4^2)`, nous obtenons :

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 péché x+4/5 cos x=2/5`.

Notons `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Puisque `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, alors comme angle auxiliaire prenons `\varphi=arcsin 4/5`. Ensuite nous écrivons notre égalité sous la forme :

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, on écrit notre égalité sous la forme suivante :

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Équations trigonométriques rationnelles fractionnaires

Ce sont des égalités avec des fractions dont les numérateurs et dénominateurs contiennent des fonctions trigonométriques.

Exemple. Résolvez l’équation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solution. Multipliez et divisez le côté droit de l'égalité par « (1+cos x) ». En conséquence nous obtenons :

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considérant que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, on obtient `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Assumons le numérateur de la fraction à zéro : `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Alors `sin x=0` ou `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Étant donné que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, les solutions sont `x=2\pi n, n \in Z` et `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Répondre. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. L'étude commence en 10e année, il y a toujours des tâches pour l'examen d'État unifié, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules des équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles !

Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est d'en comprendre l'essence et de pouvoir la dériver. Ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.

Résoudre des équations trigonométriques simples.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point sur cercle unitaire, correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Direction positive du mouvement le long cercle trigonométrique Un mouvement dans le sens antihoraire est pris en compte. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Réalisons ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'il croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :

Si on, en quittant le point correspondant à l'angle de rotation en radians, faire le tour cercle complet, on arrivera alors à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons faire ces révolutions à la fois positives et négatives sens négatif, (ou ) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point en abscisse sur l'axe :

Réalisons ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur le cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en se déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons angle négatif rotation:

Écrivons deux séries de solutions :

(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la droite cotangente :

Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors solution générale On peut écrire cette équation comme ceci :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, si du côté droit de l’équation il n’y a pas valeur du tableau, puis nous substituons la valeur dans la solution générale de l'équation :