Plan

Primitive d'une fonction et intégrale indéfinie. Propriétés de base de l'intégrale indéfinie. Tableau des intégrales indéfinies de base. Méthodes d'intégration de base : intégration directe, méthode de substitution, intégration par parties.

Fractions rationnelles. Intégrer le plus simple fractions rationnelles. Intégration de fractions rationnelles.

L'intégration fonctions trigonométriques. Intégrer certains fonctions irrationnelles. Intégrales qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires.

Intégrale définie. Propriétés de base d'une intégrale définie. Intégrale avec variable limite supérieure. Formule de Newton-Leibniz. Méthodes de base pour calculer une intégrale définie (changement de variable, intégration par parties).

Applications géométriques Intégrale définie. Quelques applications de l'intégrale définie en économie.

Intégrales incorrectes(intégrales avec limites infinies intégrations, intégrales de fonctions illimitées).

Primitive d'une fonction et intégrale indéfinie

En calcul intégral, la tâche principale est de trouver la fonction oui=F(X) par son dérivé connu.

Définition 1. Fonction F(X) est appelé primitive les fonctions F(X) sur l'intervalle ( un B), le cas échéant l'égalité est valable : ou .

Théorème 1. Toute ligne continue sur l'intervalle [ un, b] fonction F(X) a une primitive sur ce segment F(X).

Dans ce qui suit, nous considérerons des fonctions continues sur un intervalle.

Théorème 2. Si la fonction F(X) est la primitive de la fonction F(X) sur l'intervalle ( un B), alors l'ensemble de toutes les primitives est donné par la formule F(X)+AVEC, Où AVEC -nombre constant.

Preuve.

Fonction F(X)+AVEC est la primitive de la fonction F(X), parce que .

Laisser F(X) – un autre, différent de F(X) fonction primitive F(X), c'est à dire. . Alors nous avons

ce qui signifie que

,

Où AVEC– nombre constant. Ainsi,

Définition 2. L'ensemble de toutes les fonctions primitives F(X)+AVEC pour la fonction F(X) est appelé Pas Intégrale définie de la fonction F(X) et est indiqué par le symbole .

Ainsi, par définition

(1)

Dans la formule (1) F(X) est appelé fonction intégrande, F(X)dx – intégrande, X– variable d'intégration, signe de l'intégrale indéfinie.

L'opération consistant à trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction est appelée l'intégration cette fonction.

Une intégrale géométriquement indéfinie est une famille de courbes (pour chaque valeur numérique AVEC correspond à une certaine courbe de la famille). Le graphique de chaque primitive (courbe) est appelé courbe intégrale. Ils ne se croisent ni ne se touchent. Une seule courbe intégrale passe par chaque point du plan. Toutes les courbes intégrales sont obtenues les unes des autres transfert parallèle le long de l'axe Oh.

Propriétés de base de l'intégrale indéfinie

Considérons les propriétés de l'intégrale indéfinie qui découlent de sa définition.

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, la différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à intégrande :

Preuve.

Laisser Alors

2. Intégrale indéfinie du différentiel d'une fonction égal à la somme cette fonction et une constante arbitraire :

Preuve.

Vraiment, .

3. Facteur constant a() peut être retiré comme signe de l'intégrale indéfinie :

4. Intégrale indéfinie d'une somme algébrique nombre fini les fonctions sont égales somme algébrique intégrales de ces fonctions:

5. Si F(X) – fonction primitive f(X), Que

Preuve.

Vraiment,

6 (invariance des formules d'intégration). Toute formule d'intégration conserve sa forme si variable d'intégration remplacer par n'importe quelle fonction différentiable avec cette variable:

où es-tu– fonction différentiable.

Tableau des intégrales indéfinies de base

Puisque l’intégration est l’action inverse de la différenciation, la plupart des formules données peuvent être obtenues en inversant formules correspondantes différenciation. Autrement dit, le tableau formules de base l'intégration est obtenue à partir de la table des dérivées fonctions élémentaires en le lisant à l’envers (de droite à gauche).

Voici un tableau des principales intégrales indéfinies. (Notez qu'ici, comme dans le calcul différentiel, la lettre toi peut signifier à la fois la variable indépendante ( toi=X), et une fonction de la variable indépendante ( toi=toi(X)).)

Les intégrales 1 à 12 sont appelées tabulaire.

Certaines des formules ci-dessus dans le tableau des intégrales, qui n'ont pas d'analogue dans le tableau des dérivées, sont vérifiées en différenciant leurs membres droits.

CALCUL INTÉGRAL- branche des mathématiques dans laquelle les intégrales sont étudiées divers types, tels que l'intégrale définie, l'intégrale indéfinie, l'intégrale de ligne, l'intégrale de surface, double intégrale, triple intégrale etc., leurs propriétés, méthodes de calcul, ainsi que les applications de ces intégrales à divers problèmes des sciences naturelles.

La formule centrale de I. et. est la formule de Newton-Leibniz (voir Formule de Newton-Leibniz), reliant les fonctions intégrales définies et indéfinies (voir Intégrale définie, Intégrale indéfinie) - quantités définies en termes complètement différents les uns des autres.

C'est cette formule qui dit que

dans les conditions et notations suivantes :

Segment de ligne axe des nombres, - fonction continue, - partition d'un segment par points , - segment , - point d'un segment , , c'est-à-dire le maximum des longueurs des segments , est une fonction primitive pour , c'est-à-dire telle que . La limite du côté gauche existe dans le cas fonction continue, toute méthode d'affinement de la partition, dans laquelle , et tout choix de points.

Afficher les limites surviennent lors du calcul de nombreuses quantités associées à des concepts physiques, géométriques, etc. En même temps, en calculant la primitive de fonctions simples Elle est réalisée de manière assez efficace selon les règles de I. et. Ces règles sont basées sur les propriétés des fonctions différentiables étudiées en calcul différentiel, de sorte que I. et. et le calcul différentiel forment un objectif indissociable.

Lors du passage des fonctions d'une variable aux fonctions de plusieurs variables, le contenu de l'information et. devient beaucoup plus riche. Les notions de double, triple (et généralement n-fold), superficiel et intégrales curvilignes. Moi et. établit des règles de calcul de ces intégrales en les réduisant à des calculs plusieurs fois répétés de certaines intégrales.

Une section distincte de I. et. Les fonctions de plusieurs variables sont la théorie des champs (voir Théorie des champs), dont une partie essentielle est constituée de théorèmes établissant la connexion entre les intégrales sur un domaine et les intégrales sur la frontière d'un domaine (voir Formule d'Ostrogradsky, Formule de Green, Formule de Stokes).

Dans son développement ultérieur, I. et. a conduit à l'étude des intégrales de Stieltjes, Lebesgue et Denjoy, basées sur des idées plus générales que les intégrales discutées ci-dessus.

L'émergence de I. et. associés à des problèmes de calcul de surfaces et de volumes différents corps. Certains progrès dans cette direction ont eu lieu en La Grèce ancienne(Eudoxe de Kindsky, Archimède, etc.). Un regain d'intérêt pour des problèmes de ce type a eu lieu en Europe aux XVIe et XVIIe siècles. A cette époque, les mathématiciens européens ont eu l'occasion de se familiariser avec les travaux d'Archimède, traduits en langue latine. Mais la principale raison d'une telle attention est accordée à Et et. apparu développement industriel un certain nombre de pays européens, ce qui pose de nouveaux défis aux mathématiques. En ce moment, une grande contribution à I. et. contribution de I. Kepler, B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal, P. Fermat, X. Huygens.

Changement qualitatif dans I. et. les œuvres de I. Newton et G. Leibniz sont apparues, qui ont créé une série méthodes courantes trouver les limites des sommes intégrales. Importance avait un symbolisme pratique I. et. (encore utilisé), introduit par G. Leibniz. Après les travaux de I. Newton et G. Leibniz, de nombreux problèmes d'intelligence artificielle, qui nécessitaient auparavant des compétences importantes pour leur solution, ont été réduits à un niveau purement technique. Dans ce cas, les formules de différenciation étaient particulièrement importantes fonction complexe, la règle pour changer les variables dans les intégrales définies et indéfinies, et (surtout) la formule de Newton-Leibniz mentionnée ci-dessus.

Plus loin développement historique Moi et. associé aux noms de I. Bernoulli, L. Euler, O. Cauchy et des mathématiciens russes M. V. Ostrogradsky, V. Ya Bunyakovsky, P. L. Chebyshev.

Moi et. ensemble avec calculs différentiels c’est encore aujourd’hui l’un des principaux outils mathématiques de nombreuses sciences physiques et techniques.

Introduction

Le symbole intégral a été introduit en 1675 et les questions de calcul intégral sont étudiées depuis 1696. Bien que l'intégrale soit étudiée principalement par les mathématiciens, les physiciens ont également apporté leur contribution à cette science. Presque aucune formule de physique ne peut se passer du calcul différentiel et intégral. Par conséquent, j'ai décidé d'explorer l'intégrale et son application.

Histoire du calcul intégral

L'histoire du concept d'intégrale est étroitement liée aux problèmes de recherche de quadratures. Les mathématiciens de la Grèce antique et de Rome appelaient des problèmes sur la quadrature de l'une ou l'autre figure plate pour calculer des aires. mot latin quadratura est traduit par « donner forme carree" La nécessité d'un terme spécial s'explique par le fait que dans les temps anciens (et plus tard, jusqu'au XVIIIe siècle), les idées sur nombres réels. Les mathématiciens opéraient avec leurs analogues géométriques ou Quantités scalaires, qui ne peut pas être multiplié. Par conséquent, les problèmes pour trouver des aires devaient être formulés, par exemple, comme ceci : « Construisez un carré de superficie égale ce cercle" (Ce problème classique« Sur la quadrature du cercle » d'un cercle » ne peut pas, comme on le sait, être résolu à l'aide d'un compas et d'une règle.)

Le symbole t a été introduit par Leibniz (1675). Ce signe est un changement Lettre latine S (la première lettre du mot somme a) Le mot intégral lui-même a été inventé par J. Bernoulli (1690). Il vient probablement du latin integro, qui se traduit par ramener à un état antérieur, restaurer. (En effet, l'opération d'intégration « restaure » la fonction en différenciant l'intégrande obtenu.) Peut-être que l'origine du terme intégrale est différente : le mot entier signifie entier.

Au cours de la correspondance, I. Bernoulli et G. Leibniz ont souscrit à la proposition de J. Bernoulli. Dans le même temps, en 1696, apparaît le nom d'une nouvelle branche des mathématiques : le calcul intégral (calculus intégralis), introduit par I. Bernoulli.

Autres termes connus liés à calcul intégral, est apparu bien plus tard. Le nom de « fonction primitive », aujourd’hui utilisé, a remplacé l’ancienne « fonction primitive », introduite par Lagrange (1797). Le mot latin primitivus est traduit par « initial » : F(x) = m f(x)dx - initiale (ou originale, ou primitive) pour f (x), qui est obtenue à partir de F(x) par différenciation.

DANS littérature moderne l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) est également appelé intégrale indéfinie. Ce concept a été mis en avant par Leibniz, qui a noté que tout fonctions primitives diffèrent par une constante arbitraire b, on les appelle intégrales définies (la désignation a été introduite par C. Fourier (1768-1830), mais les limites de l'intégration étaient déjà indiquées par Euler).

De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution des problèmes de recherche de quadratures (c'est-à-dire le calcul des aires) chiffres plats, ainsi que la cubature (calcul des volumes) des corps sont associés à l'utilisation de la méthode d'épuisement proposée par Eudoxe de Cnide (vers 408 - vers 355 avant JC). En utilisant cette méthode, Eudoxe a prouvé, par exemple, que les aires de deux cercles sont liées comme les carrés de leurs diamètres, et que le volume d'un cône est égal à 1/3 du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

La méthode d'Eudoxe a été améliorée par Archimède. Les principales étapes caractérisant la méthode d'Archimède : 1) il est prouvé que l'aire d'un cercle moins de superficie tout ce qui a été décrit à son sujet polygone régulier, Mais plus de superficie tout inscrit; 2) il est prouvé qu'avec un doublement illimité du nombre de côtés, la différence des aires de ces polygones tend vers zéro ; 3) pour calculer l'aire d'un cercle, il reste à trouver la valeur vers laquelle tend le rapport de l'aire d'un polygone régulier lorsque le nombre de ses côtés est doublé de manière illimitée.

En utilisant la méthode d'épuisement et un certain nombre d'autres considérations ingénieuses (y compris l'utilisation de modèles mécaniques), Archimède a résolu de nombreux problèmes. Il a donné une estimation du nombre p (3.10/71

Archimède a anticipé de nombreuses idées du calcul intégral. (Nous ajoutons qu'en pratique, c'est lui qui a prouvé les premiers théorèmes sur les limites.) Mais il a fallu plus de mille cinq cents ans avant que ces idées ne trouvent une expression claire et soient portées au niveau du calcul.

Les mathématiciens du XVIIe siècle, qui ont obtenu de nombreux résultats nouveaux, ont appris des travaux d'Archimède. Une autre méthode a également été activement utilisée - la méthode des indivisibles, également originaire de la Grèce antique (elle est principalement associée aux vues atomistiques de Démocrite). Par exemple, ils ont imaginé un trapèze courbe (Fig. 1, a) composé de segments verticaux de longueur f(x), auxquels ils ont néanmoins attribué une aire égale à la valeur infinitésimale f(x)dx. Conformément à cette entente, la superficie requise a été considérée comme égale à la somme

un nombre infiniment grand de zones infiniment petites. Parfois, on soulignait même que les termes individuels de cette somme sont des zéros, mais des zéros d'une espèce particulière, qui, ajoutés à un nombre infini, donnent une somme positive bien définie.

Sur une base apparemment pour le moins douteuse, J. Kepler (1571-1630) dans ses écrits « Nouvelle Astronomie ».

1609 et « Stéréométrie des tonneaux de vin » (1615) calculaient correctement un certain nombre d'aires (par exemple, l'aire d'une figure délimitée par une ellipse) et de volumes (le corps était découpé en 6 plaques finement minces). Ces études furent poursuivies par les mathématiciens italiens B. Cavalieri (1598-1647) et E. Torricelli (1608-1647). Le principe formulé par B. Cavalieri, introduit par lui sous quelques hypothèses supplémentaires, conserve sa signification à notre époque.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'aire de la figure représentée sur la figure 1, b, où les courbes limitant la figure d'en haut et d'en bas ont les équations

y = f(x) et y=f(x)+c.

En imaginant une figure composée de colonnes « indivisibles », selon la terminologie de Cavalieri, infiniment fines, on remarque qu’elles ont toutes une longueur totale c. En les déplaçant dans le sens vertical, nous pouvons les former en un rectangle de base b-a et de hauteur c. Par conséquent, l'aire requise est égale à l'aire du rectangle résultant, c'est-à-dire

S = S1 = c (b - une).

Le principe général de Cavalieri pour les aires des figures planes est formulé comme suit : Laissez les lignes d'un certain crayon parallèle couper les figures Ф1 et Ф2 le long de segments d'égale longueur (Fig. 1, c). Alors les aires des figures F1 et F2 sont égales.

Un principe similaire fonctionne en stéréométrie et est utile pour trouver des volumes.

Au 17ème siècle De nombreuses découvertes liées au calcul intégral ont été faites. Ainsi, P. Fermat a déjà résolu en 1629 le problème de la quadrature de toute courbe y = xn, où n est un nombre entier (c'est-à-dire qu'il a essentiellement dérivé la formule m xndx = (1/n+1)xn+1), et sur cette base, nous avons résolu une série de problèmes pour trouver les centres de gravité. I. Kepler, en déduisant ses célèbres lois du mouvement planétaire, s'est en réalité appuyé sur l'idée d'intégration approximative. I. Barrow (1630-1677), le professeur de Newton, fut sur le point de comprendre le lien entre intégration et différenciation. Les travaux sur la représentation des fonctions sous forme de séries entières ont été d'une grande importance.

Cependant, malgré l’importance des résultats obtenus par de nombreux mathématiciens extrêmement inventifs du XVIIe siècle, le calcul n’existait pas encore. Il a fallu mettre en évidence les idées générales qui sous-tendent la solution de nombreux problèmes particuliers, ainsi qu'établir un lien entre les opérations de différenciation et d'intégration, ce qui donne un algorithme assez général. Cela a été fait par Newton et Leibniz, qui ont découvert indépendamment un fait connu sous le nom de formule de Newton-Leibniz. Ainsi, la méthode générale fut finalement formée. Il lui restait encore à apprendre à trouver les primitives de nombreuses fonctions, à donner de nouveaux calculs logiques, etc. Mais l'essentiel a déjà été fait : le calcul différentiel et intégral a été créé.

Les méthodes d'analyse mathématique se sont activement développées au siècle suivant (il faut tout d'abord mentionner les noms de L. Euler, qui a réalisé une étude systématique de l'intégration des fonctions élémentaires, et I. Bernoulli). Les mathématiciens russes M.V. ont participé au développement du calcul intégral. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bouniakovski (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894). Les résultats de Chebyshev, qui ont prouvé qu'il existe des intégrales qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires, ont été particulièrement importants.

Une présentation rigoureuse de la théorie intégrale n’est apparue qu’au siècle dernier. La solution à ce problème est associée aux noms d'O. Cauchy, l'un des plus grands mathématiciens, du scientifique allemand B. Riemann (1826-1866) et du mathématicien français G. Darboux (1842-1917).

Des réponses à de nombreuses questions liées à l'existence d'aires et de volumes de figures ont été obtenues avec la création de la théorie de la mesure par C. Jordan (1838-1922).

Diverses généralisations du concept d'intégrale déjà au début de notre siècle ont été proposées par les mathématiciens français A. Lebesgue (1875-1941) et A. Denjoy (188 4-1974), le mathématicien soviétique A.Ya. Khinchinchine (1894-1959).

THÉORÈMES LIMITES DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS

L'inégalité de Chebyshev et sa signification. Théorème de Chebyshev. Théorème de Bernoulli. Le théorème central limite de la théorie des probabilités (théorème de Lyapunov) et son utilisation en statistique mathématique.

La théorie des probabilités étudie les modèles inhérents aux phénomènes aléatoires de masse. Les théorèmes limites de la théorie des probabilités établissent la relation entre hasard et nécessité. L’étude des modèles se manifestant dans des phénomènes aléatoires de masse nous permet de prédire scientifiquement les résultats des futurs tests.

Les théorèmes limites de la théorie des probabilités sont divisés en deux groupes, dont l'un est appelé loi des grands nombres, et l'autre - .

Ce chapitre traite des théorèmes suivants liés à la loi des grands nombres : l'inégalité de Chebyshev, les théorèmes de Chebyshev et les théorèmes de Bernoulli.

La loi des grands nombres se compose de plusieurs théorèmes qui prouvent l'approximation des caractéristiques moyennes, sous certaines conditions, à certaines valeurs constantes.

1. L’inégalité de Chebyshev.

Si une variable aléatoire a une espérance et une variance finies, alors pour tout nombre positif, l'inégalité suivante est vraie :

, (9.1)

c'est-à-dire la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue ne dépasse pas la différence entre l'unité et le rapport de la variance de cette variable aléatoire au carré.

Écrivons maintenant la probabilité de l'événement , c'est-à-dire l'événement opposé à l'événement . Il est évident que

. (9.2)

L'inégalité de Chebyshev est valable pour toute loi de distribution d'une variable aléatoire et s'applique aux variables aléatoires positives et négatives. L'inégalité (9.2) limite par le haut la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance mathématique d'un montant supérieur à. De cette inégalité, il résulte qu'à mesure que la dispersion diminue, la limite supérieure de la probabilité diminue également et la valeur d'une variable aléatoire avec une faible dispersion se concentre autour de son espérance mathématique.

Exemple 1. Pour bien organiser l'assemblage d'une unité, il est nécessaire d'estimer la probabilité avec laquelle les dimensions des pièces ne s'écartent pas du milieu du champ de tolérance de . On sait que le milieu du champ de tolérance coïncide avec l'espérance mathématique des dimensions des pièces usinées et que l'écart type est égal.

Solution. Selon les conditions du problème nous avons : ,. Dans notre cas, la taille des pièces à traiter. En utilisant l'inégalité de Chebyshev, on obtient

2. Théorème de Chebyshev.

Avec un nombre suffisamment important de tests indépendants, il est possible, avec une probabilité proche de l'unité, d'affirmer que la différence entre la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire et l'espérance mathématique de cette valeur en valeur absolue sera être inférieur à un nombre arbitrairement petit, à condition que la variable aléatoire ait une dispersion finie, c'est-à-dire

où est un nombre positif proche de zéro.

En passant entre accolades à l’événement inverse, on obtient

.

Le théorème de Chebyshev permet de juger l'espérance mathématique en utilisant la moyenne arithmétique avec une précision suffisante, ou vice versa : en utilisant l'espérance mathématique pour prédire la valeur attendue de la moyenne. Ainsi, sur la base de ce théorème, on peut affirmer que si un nombre suffisamment grand de mesures d'un certain paramètre est effectué avec un appareil exempt d'erreur systématique, alors la moyenne arithmétique des résultats de ces mesures diffère le moins possible. à partir de la valeur réelle du paramètre mesuré.

Exemple 2. Pour déterminer les besoins en métal liquide et en matières premières, le poids moyen de la pièce moulée d'une chemise pour moteur d'automobile est déterminé de manière sélective, car le poids de la pièce moulée calculé à partir du modèle métallique diffère du poids réel. Combien de moulages doivent être prélevés pour qu'avec une probabilité supérieure à , on puisse affirmer que le poids moyen des moulages sélectionnés ne diffère pas de plus de 1 000 000 du poids calculé, accepté comme espérance mathématique kg? Il a été établi que l'écart type du poids est égal à kg .

Solution. Selon les conditions du problème que nous avons,, , où est le poids moyen des pièces moulées du revêtement. Si l’on applique l’inégalité de Chebyshev à une variable aléatoire, on obtient

,

et en tenant compte des égalités (4.4) et (4.5) -

.

En substituant ici ces problèmes, nous obtenons

,

on le trouve d'où ?

3. Théorème de Bernoulli.

Le théorème de Bernoulli établit un lien entre la fréquence d'apparition d'un événement et sa probabilité.

Avec un nombre suffisamment grand d'essais indépendants, il est possible d'affirmer, avec une probabilité proche de l'unité, que la différence entre la fréquence d'apparition d'un événement dans ces essais et sa probabilité dans un essai distinct en valeur absolue sera inférieure à un nombre arbitrairement petit, si la probabilité que cet événement se produise dans chaque essai est constante et égale à .

L’énoncé du théorème peut s’écrire sous la forme de l’inégalité suivante :

, (9.3)

où et sont des nombres positifs arbitrairement petits.

En utilisant la propriété d’espérance et de dispersion mathématiques, ainsi que l’inégalité de Chebyshev, la formule (9.3) peut s’écrire sous la forme

, (9.4)

Lors de la résolution de problèmes pratiques, il est parfois nécessaire d'estimer la probabilité du plus grand écart de la fréquence d'apparition d'un événement par rapport à sa valeur attendue. La variable aléatoire dans ce cas est le nombre d’occurrences de l’événement dans des essais indépendants. Nous avons:

,

.

En utilisant l’inégalité de Chebyshev, on obtient dans ce cas

.

Exemple 3. Parmi les produits envoyés à l'atelier de montage, des produits sélectionnés au hasard ont été examinés. Parmi eux, il y en avait des défectueux. En prenant la proportion de produits défectueux parmi ceux sélectionnés comme probabilité de produire un produit défectueux, estimez la probabilité que l'ensemble du lot de produits défectueux ne contienne pas plus de % et pas moins de %.

Solution. Déterminons la probabilité de produire un produit défectueux :

.

Le plus grand écart de la fréquence d'apparition de produits défectueux par rapport à la probabilité en valeur absolue est égal à ; nombre d'essais. A l'aide de la formule (9.4), on trouve la probabilité souhaitée :

,

.

4. Théorème de Lyapunov.

Les théorèmes considérés de la loi des grands nombres concernent les problématiques d'approximation de certaines variables aléatoires à certaines valeurs limites, quelle que soit leur loi de distribution. En théorie des probabilités, il existe un autre groupe de théorèmes concernant les lois limites de distribution d'une somme de variables aléatoires. Ce groupe de théorèmes porte le nom général théorème central limite. Les différentes formes du théorème central limite diffèrent les unes des autres par les conditions imposées à la somme des variables aléatoires constitutives.

La loi de distribution de la somme des variables aléatoires indépendantes ( ) se rapproche de la loi de répartition normale avec augmentation illimitée si les conditions suivantes sont remplies :

1) toutes les quantités ont des attentes et des variances mathématiques finies :

; ;,

Où , ;

2) aucune des quantités ne diffère fortement en valeur de toutes les autres :

.

Lors de la résolution de nombreux problèmes pratiques, la formulation suivante du théorème de Lyapunov est utilisée pour la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire, qui est également une variable aléatoire (les conditions énumérées ci-dessus sont remplies) :

si une variable aléatoire a une espérance mathématique et une variance finies, alors la distribution de la moyenne arithmétique , calculé à partir des valeurs observées d'une variable aléatoire dans des tests indépendants, se rapproche de la loi normale avec des attentes mathématiques de dispersion, c'est-à-dire.

.

Par conséquent, la probabilité de ce qui est contenu dans l'intervalle peut être calculée à l'aide de la formule

(9.5)

À l'aide de la fonction de Laplace (voir annexe 2), la formule (9.5) peut être écrite sous la forme suivante, pratique pour les calculs :

; .

Il convient de noter que le théorème central limite est valable non seulement pour les variables aléatoires continues, mais également pour les variables aléatoires discrètes. La signification pratique du théorème de Lyapunov est énorme. L'expérience montre que la loi de distribution de la somme des variables aléatoires indépendantes comparables dans leur dispersion se rapproche rapidement de la normale. Déjà avec un nombre de termes de l'ordre de dix, la loi de répartition de la somme peut être remplacée par une loi normale.

Un cas particulier du théorème central limite est le théorème de Laplace (voir chapitre 3, paragraphe 5). Il considère le cas où les variables aléatoires ,, sont discrètes, identiquement distribuées et ne prennent que deux valeurs possibles : et. Pour l'application de ce théorème en statistique mathématique, voir le paragraphe 6 du chapitre 3.

QUESTIONS D'AUTO-TEST

1. Qu'appelle-t-on la loi des grands nombres ? Quelle est la signification de ce nom ?

2. Formulez l’inégalité de Chebyshev et le théorème de Chebyshev.

3. Quel est le rôle des théorèmes limites dans la théorie des probabilités ?

4. Laquelle des lois de distribution apparaît comme une loi limitante ?

5. Quel est le théorème central limite de Lyapunov ?

6. Comment le théorème de Laplace peut-il être interprété comme un théorème limite en théorie des probabilités ?

TÂCHES POUR UNE SOLUTION INDÉPENDANTE.

1. La longueur des produits fabriqués représente une variable aléatoire dont la valeur moyenne (espérance mathématique) est égale à cm. La variance de cette quantité est . À l'aide de l'inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que : a) l'écart de la longueur du produit fabriqué par rapport à sa valeur moyenne en valeur absolue ne dépasse pas ; b) la longueur du produit sera exprimée par le nombre compris entre et cm.

Réponse : a) ; b).

2. L'appareil se compose d'éléments fonctionnant indépendamment. La probabilité de défaillance de chaque élément dans le temps est égale. À l’aide de l’inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que la valeur absolue de la différence entre le nombre d’éléments défaillants et le nombre moyen (espérance mathématique) de défaillances au fil du temps soit inférieure.