L'intégration fonction rationnelle fractionnaire.
Méthode coefficients incertains

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, en un sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

Curieusement, nous ne nous intéresserons plus tant à la recherche d'intégrales, mais... à la résolution de systèmes équations linéaires. À cet égard instamment Je recommande d'assister au cours. À savoir, vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « l'école » et la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations système).

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En mots simples, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article Intégrer certaines fractions.

Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée

Immédiatement un exemple et algorithme standard solutions à l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire.

Exemple 1

Étape 1. La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution de l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de découvrir question suivante: la fraction est-elle correcte ? Cette étape se fait oralement, et maintenant je vais vous expliquer comment :

Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons diplôme supérieur polynôme:

La puissance principale du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons diplôme supérieur dénominateur. La manière la plus évidente consiste à ouvrir les supports et à amener termes similaires, mais vous pouvez le faire plus facilement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur sera abordé à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Décidons équation quadratique:

Discriminant Au dessus de zéro, ce qui signifie que le trinôme peut réellement être factorisé :

Règle générale : TOUT dans le dénominateur PEUT être pris en compte - pris en compte

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d'une manière ou d'une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien d'avoir notre grande fraction se transformer en plusieurs petits. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, le théorème correspondant analyse mathematique affirme - C'EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, il y a de fortes chances que Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps, nous répétons la règle scolaire de multiplication des polynômes. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue explication claire Il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne fais jamais ça pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite vous pouvez toujours attribuer zéro à ce même carré : S'il n'y a pas de variables à droite et/ou Membre gratuit, puis on met des zéros sur les membres droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh,... d'une manière ou d'une autre, je plaisantais. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long d'une droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais en dans ce cas il est avantageux d'exprimer précisément à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe. Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité intégrale indéfinie et intégrer. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons « gratuit » fonction complexe, j'ai parlé des caractéristiques de son intégration en classe Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

Étape 1. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Trinôme carré ne se décompose pas en œuvre pour les raisons évoquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons une fonction fractionnaire-rationnelle comme une somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a plusieurs multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire fonction linéaireà coefficients incertains (dans notre cas à coefficients incertains et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Étape 1. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme ne peut pas être factorisé (vérifier que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. Intégrer certaines fractions.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler un carré parfait(avant-dernier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

Travaux de test sur l'intégration de fonctions, notamment fractions rationnelles demandé aux étudiants de 1ère et 2ème années. Les exemples d’intégrales intéresseront principalement les mathématiciens, les économistes et les statisticiens. Ces exemples ont été demandés sur travail d'essaià LNU nommé d'après. I. Franck. Conditions exemples suivants«Trouver l'intégrale» ou «Calculer l'intégrale», donc pour gagner de la place et du temps, ils n'ont pas été écrits.

Exemple 15. Nous sommes arrivés à l'intégration de fonctions fractionnaires-rationnelles. Ils occupent endroit spécial parmi les intégrales, car elles nécessitent beaucoup de temps pour être calculées et aident les enseignants à tester vos connaissances non seulement en matière d'intégration. Pour simplifier la fonction sous l'intégrale, on ajoute et soustrait une expression au numérateur qui nous permettra de diviser la fonction sous l'intégrale en deux simples

En conséquence, nous trouvons une intégrale assez rapidement, dans la seconde nous devons développer la fraction en une somme de fractions élémentaires

Lorsqu'on les ramène à un dénominateur commun, on obtient les chiffres suivants

Ensuite, ouvrez les parenthèses et le groupe

Nous assimilons la valeur à degrés égaux"X" à droite et à gauche. En conséquence, nous arrivons à un système de trois équations linéaires (SLAE) à trois inconnues.

Comment résoudre des systèmes d'équations est décrit dans d'autres articles du site. A la fin, vous recevrez solution suivante SLAU
A = 4 ; B=-9/2 ; C=-7/2.
Nous substituons des constantes dans le développement des fractions aux plus simples et effectuons l'intégration


Ceci conclut l’exemple.

Exemple 16. Encore une fois, nous devons trouver l'intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire. Commencer équation cubique, qui est contenu dans le dénominateur de la fraction, nous allons le décomposer en facteurs simples

Ensuite, nous décomposons la fraction sous ses formes les plus simples

Rassemblons-le côté droit au dénominateur commun et ouvrez les parenthèses au numérateur.


Nous égalisons les coefficients pour les mêmes degrés de la variable. Revenons au SLAE avec trois inconnues

Remplaçons valeurs A, B, C dans le développement et calculer l’intégrale

Les deux premiers termes donnent le logarithme, le dernier est également facile à trouver.

Exemple 17. Au dénominateur de la fonction rationnelle fractionnaire nous avons la différence des cubes. A l'aide des formules de multiplication abrégées, on le décompose en deux facteurs premiers

En outre reçu fonction fractionnaire notez le montant fractions simples et amène-les sous dénominateur commun

Au numérateur, nous obtenons l’expression suivante.

A partir de là, nous formons un système d'équations linéaires pour calculer 3 inconnues

A = 1/3 ; B=-1/3 ; C=1/3.
Nous substituons A, B, C dans la formule et effectuons l'intégration. En conséquence, nous arrivons à la réponse suivante :


Ici, le numérateur de la deuxième intégrale a été converti en logarithme, et le reste sous l'intégrale donne l'arctangente.
Exemples similaires Il y a beaucoup de choses sur Internet sur l’intégration de fractions rationnelles. Vous pouvez trouver des exemples similaires dans les documents ci-dessous.

« Un mathématicien, tout comme un artiste ou un poète, crée des motifs. Et si ses motifs sont plus stables, c'est uniquement parce qu'ils sont composés d'idées... Les motifs d'un mathématicien, tout comme ceux d'un artiste ou d'un poète, doivent être beaux ; Les idées, tout comme les couleurs ou les mots, doivent se correspondre. La beauté est la première exigence : il n’y a pas de place au monde pour les mathématiques laides».

G.H. Hardy

Dans le premier chapitre, il a été noté qu'il existe des primitives assez fonctions simples, qui ne peut plus s'exprimer à travers fonctions élémentaires. À cet égard, les classes de fonctions dont on peut dire avec précision que leurs primitives sont des fonctions élémentaires acquièrent une énorme importance pratique. Cette classe de fonctions comprend fonctions rationnelles, représentant le rapport de deux polynômes algébriques. De nombreux problèmes conduisent à l’intégration de fractions rationnelles. Il est donc très important de pouvoir intégrer de telles fonctions.

2.1.1. Fonctions rationnelles fractionnaires

Fraction rationnelle(ou fonction rationnelle fractionnaire) est la relation de deux polynômes algébriques :

où et sont des polynômes.

Rappelons que polynôme (polynôme, entier fonction rationnelle ) nème degré appelée fonction de la forme

Où – nombres réels. Par exemple,

– polynôme du premier degré ;

– polynôme du quatrième degré, etc.

La fraction rationnelle (2.1.1) s'appelle correct, si le diplôme est inférieur au diplôme , c'est-à-dire n<m, sinon la fraction s'appelle faux.

Toute fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme (la partie entière) et d'une fraction propre (la partie fractionnaire). La séparation des parties entières et fractionnaires d'une fraction impropre peut se faire selon la règle de division des polynômes par un « coin ».

Exemple 2.1.1. Identifiez les parties entières et fractionnaires des fractions rationnelles impropres suivantes :

UN) , b) .

Solution . a) En utilisant l’algorithme de division « coin », on obtient

Ainsi, nous obtenons

.

b) Ici, nous utilisons également l'algorithme de division « coin » :

En conséquence, nous obtenons

.

Résumons. Dans le cas général, l'intégrale indéfinie d'une fraction rationnelle peut être représentée comme la somme des intégrales du polynôme et de la fraction rationnelle propre. Trouver des primitives de polynômes n’est pas difficile. Par conséquent, dans ce qui suit, nous considérerons principalement les fractions rationnelles propres.

2.1.2. Les fractions rationnelles les plus simples et leur intégration

Parmi les fractions rationnelles propres, il existe quatre types, classés comme suit : les fractions rationnelles (élémentaires) les plus simples :

où est un entier, , c'est à dire. trinôme quadratique n'a pas de véritables racines.

L'intégration de fractions simples du 1er et du 2ème types ne présente pas de grandes difficultés :

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Considérons maintenant l'intégration de fractions simples du 3ème type, mais nous ne considérerons pas les fractions du 4ème type.

Commençons par les intégrales de la forme

.

Cette intégrale est généralement calculée en isolant le carré parfait du dénominateur. Le résultat est un tableau intégral de la forme suivante

ou .

Exemple 2.1.2. Trouvez les intégrales :

UN) , b) .

Solution . a) Sélectionnez un carré complet à partir d'un trinôme quadratique :

De là, nous trouvons

b) En isolant un carré complet d'un trinôme quadratique, on obtient :

Ainsi,

.

Pour trouver l'intégrale

vous pouvez isoler la dérivée du dénominateur au numérateur et développer l'intégrale en la somme de deux intégrales : la première d'entre elles par substitution ça se résume à l'apparence

,

et le second - à celui discuté ci-dessus.

Exemple 2.1.3. Trouvez les intégrales :

.

Solution . remarquerez que . Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur :

La première intégrale est calculée en utilisant la substitution :

Dans la deuxième intégrale, on sélectionne le carré parfait au dénominateur

Finalement, nous obtenons

2.1.3. Expansion rationnelle des fractions
pour la somme de fractions simples

Toute fraction rationnelle appropriée peut être représenté de manière unique comme une somme de fractions simples. Pour ce faire, le dénominateur doit être factorisé. De l'algèbre supérieure, on sait que tout polynôme à coefficients réels

SUJET : Intégration de fractions rationnelles.

Attention! Lorsqu'on étudie l'une des méthodes fondamentales d'intégration : l'intégration de fractions rationnelles, il est nécessaire de considérer des polynômes dans le domaine complexe pour réaliser des preuves rigoureuses. Il faut donc étudier à l'avance certaines propriétés des nombres complexes et opérations sur ceux-ci.

Intégration de fractions rationnelles simples.

Si P.(z) Et Q(z) sont des polynômes dans le domaine complexe, alors ce sont des fractions rationnelles. On l'appelle correct, si diplôme P.(z) moins de diplôme Q(z) , Et faux, si diplôme R. pas moins d'un diplôme Q.

Toute fraction impropre peut être représentée comme suit : ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

un R.(z) – un polynôme dont le degré est inférieur au degré Q(z).

Ainsi, l’intégration de fractions rationnelles se résume à l’intégration de polynômes, c’est-à-dire de fonctions puissance, et de fractions propres, puisqu’il s’agit d’une fraction propre.

Définition 5. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont les types de fractions suivants :

1) , 2) , 3) , 4) .

Découvrons comment ils s'intègrent.

3) (étudié plus tôt).

Théorème 5. Toute fraction propre peut être représentée comme une somme de fractions simples (sans preuve).

Corollaire 1. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines réelles simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 1er type :

Exemple 1.

Corollaire 2. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines réelles, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples des 1er et 2e types :

Exemple 2.

Corollaire 3. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines conjuguées complexes simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème type :

Exemple 3.

Corollaire 4. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines conjuguées complexes, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples, il n'y aura que des fractions simples du 3ème et du 4ème les types:

Pour déterminer les coefficients inconnus dans les expansions données, procédez comme suit. Les côtés gauche et droit du développement contenant des coefficients inconnus sont multipliés par L'égalité de deux polynômes est obtenue. À partir de là, les équations pour les coefficients requis sont obtenues en utilisant :

1. l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de X (méthode des valeurs partielles). Dans ce cas, un nombre quelconque d'équations sont obtenues, dont n'importe quel m permet de trouver les coefficients inconnus.

2. les coefficients coïncident pour les mêmes degrés de X (méthode des coefficients indéfinis). Dans ce cas, on obtient un système de m - équations à m - inconnues, à partir desquelles les coefficients inconnus sont trouvés.

3. méthode combinée.

Exemple 5. Développer une fraction au plus simple.

Solution:

Trouvons les coefficients A et B.

Méthode 1 - méthode de la valeur privée :

Méthode 2 – méthode des coefficients indéterminés :

Répondre:

Intégration de fractions rationnelles.

Théorème 6. L'intégrale indéfinie de toute fraction rationnelle sur tout intervalle sur lequel son dénominateur n'est pas égal à zéro existe et s'exprime à travers des fonctions élémentaires, à savoir les fractions rationnelles, les logarithmes et les arctangentes.

Preuve.

Imaginons une fraction rationnelle sous la forme : . Dans ce cas, le dernier terme est une fraction propre et, selon le théorème 5, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de fractions simples. Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle se réduit à l'intégration d'un polynôme S(X) et les fractions simples dont les primitives, comme on l'a montré, ont la forme indiquée dans le théorème.

Commentaire. La principale difficulté dans ce cas est la décomposition du dénominateur en facteurs, c'est-à-dire la recherche de toutes ses racines.

Exemple 1. Trouver l'intégrale