Intégrale curviligne des exemples du 1er type. MA

Problème de masse de courbe. Supposons qu'en chaque point d'une courbe de matériau lisse par morceaux L : (AB) sa densité soit spécifiée. Déterminez la masse de la courbe.

Procédons de la même manière que pour déterminer la masse d'une région plane ( double intégrale) et un corps spatial (triple intégrale).

1. On organise la partition de l'aire-arc L en éléments - arcs élémentaires afin que ces éléments n'aient pas de point commun points internes Et
(état A )

2. Marquons les « points marqués » M i sur les éléments de la partition et calculons les valeurs de la fonction qu'ils contiennent

3. Construisons la somme intégrale
, Où - longueur de l'arc (généralement les mêmes notations sont introduites pour l'arc et sa longueur). Il s'agit d'une valeur approximative de la masse de la courbe. La simplification est que nous avons supposé que la densité de l’arc était constante pour chaque élément et pris un nombre fini d’éléments.

Passer à la limite prévue
(état B ), on obtient une intégrale curviligne de première espèce comme limite des sommes intégrales :

.

Théorème d'existence 10 .

Laissez la fonction
est continue sur un arc lisse par morceaux L 11. Alors une intégrale linéaire du premier type existe comme limite des sommes intégrales.

Commentaire. Cette limite ne dépend pas

méthode de choix d'une partition, pour autant que la condition A soit satisfaite

sélectionner des « points marqués » sur les éléments de cloison,

méthode d'affinement de la partition, tant que la condition B est satisfaite

Propriétés d'une intégrale curviligne de première espèce.

1. Linéarité a) propriété de superposition

b) propriété d'homogénéité
.

Preuve. Écrivons les sommes intégrales des intégrales des côtés gauches des égalités. Puisque la somme intégrale a un nombre fini de termes, on passe aux sommes intégrales pour les membres droits des égalités. Puis on passe à la limite, en utilisant le théorème de passage à la limite en égalité, on obtient le résultat souhaité.

2. Additivité. Si
, Que
=
+

Preuve. Choisissons une partition de la région L de telle sorte qu'aucun des éléments de la partition (initialement et lors de l'affinement de la partition) ne contienne à la fois des éléments L 1 et des éléments L 2. Cela peut être fait en utilisant le théorème d'existence (remarque au théorème). Ensuite, la preuve s'effectue par sommes intégrales, comme au paragraphe 1.

3.
.Ici - longueur de l'arc .

4. Si sur un arc l'inégalité est satisfaite, alors

Preuve. Écrivons l'inégalité pour les sommes intégrales et passons à la limite.

A noter qu'il est notamment possible

5. Théorème d'estimation.

Si des constantes existent
, quelque chose

Preuve. Intégrer les inégalités
(propriété 4), on obtient
. Par propriété 1 de la constante
peut être retiré sous les intégrales. En utilisant la propriété 3, nous obtenons le résultat souhaité.

6. Théorème de la valeur moyenne(la valeur de l'intégrale).

Il y a un point
, Quoi

Preuve. Puisque la fonction
continu sur un fermé ensemble limité, alors son minimum existe
et bord supérieur
. L'inégalité est satisfaite. En divisant les deux côtés par L, on obtient
. Mais le numéro
enfermé entre le fond et bord supérieur les fonctions. Puisque la fonction
est continue sur un ensemble fermé et borné L, puis à un moment donné
la fonction doit accepter cette valeur. Ainsi,
.

Conférence 5 Intégrales curvilignes Types 1 et 2, leurs propriétés..

Problème de masse de courbe. Intégrale curviligne de 1ère espèce.

Problème de masse de courbe. Supposons qu'en chaque point d'une courbe de matériau lisse par morceaux L : (AB) sa densité soit spécifiée. Déterminez la masse de la courbe.

Procédons de la même manière que pour déterminer la masse d'une région plane (intégrale double) et d'un corps spatial (intégrale triple).

1. On organise la partition de la région d'arc L en éléments - arcs élémentaires afin que ces éléments n'aient pas de points internes communs et( état A )

3. Construisez la somme intégrale , où est la longueur de l'arc (généralement la même notation est introduite pour l'arc et sa longueur). Ce - valeur approximative courbe de masse. La simplification est que nous avons supposé que la densité de l’arc était constante pour chaque élément et avons pris un nombre fini d’éléments.

Passer à la limite prévue (état B ), on obtient une intégrale curviligne de première espèce comme limite des sommes intégrales :

.

Théorème de l'existence.

Soit la fonction continue sur un arc lisse par morceaux L. Alors une intégrale de ligne du premier type existe comme limite des sommes intégrales.

Commentaire. Cette limite ne dépend pas

Propriétés d'une intégrale curviligne de première espèce.

1. Linéarité
a) propriété de superposition

b) propriété d'homogénéité .

Preuve. Écrivons les sommes intégrales des intégrales des côtés gauches des égalités. Puisque la somme intégrale a un nombre fini de termes, on passe aux sommes intégrales pour les membres droits des égalités. Puis on passe à la limite, en utilisant le théorème de passage à la limite en égalité, on obtient le résultat souhaité.

2. Additivité.
Si , Que = +

3. Voici la longueur de l'arc.

4. Si l'inégalité est satisfaite sur l'arc, alors

Preuve. Écrivons l'inégalité pour les sommes intégrales et passons à la limite.

A noter qu'il est notamment possible

5. Théorème d'estimation.

S'il y a des constantes, alors

Preuve. Intégrer les inégalités (propriété 4), on obtient . Par la propriété 1, les constantes peuvent être supprimées des intégrales. En utilisant la propriété 3, nous obtenons le résultat souhaité.

6. Théorème de la valeur moyenne(la valeur de l'intégrale).

Il y a un point , Quoi

Preuve. Puisque la fonction est continue sur un ensemble fermé et borné, alors son minimum existe et bord supérieur . L'inégalité est satisfaite. En divisant les deux côtés par L, on obtient . Mais le numéro compris entre les limites inférieure et supérieure de la fonction. Puisque la fonction est continue sur un ensemble fermé et borné L, alors à un moment donné, la fonction doit prendre cette valeur. Ainsi, .

Calcul d'une intégrale curviligne de première espèce.

Paramétrons l'arc L : AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Soit t 0 correspond au point A, et t 1 correspond au point B. Alors l'intégrale droite de première espèce se réduit à une intégrale définie ( - formule connue dès le 1er semestre pour calculer le différentiel de longueur d'arc) :

Exemple. Calculer la masse d'un tour d'une hélice homogène (densité égale à k) : .

Intégrale curviligne de 2e espèce.

Le problème du travail de la force.

1. On organise la division de la région-arc AB en éléments - arcs élémentaires afin que ces éléments n'aient pas de points internes communs et( état A )

2. Marquons les « points marqués » M i sur les éléments de la partition et calculons les valeurs de la fonction qu'ils contiennent

3. Construisons la somme intégrale , où est le vecteur dirigé le long de la corde sous-tendant l' -arc .

4. Aller jusqu'à la limite prévue (état B ), on obtient une intégrale curviligne de seconde espèce comme limite des sommes intégrales (et du travail de la force) :

. Souvent désigné

Théorème de l'existence.

Soit la fonction vectorielle continue sur un arc lisse par morceaux L. Alors une intégrale curviligne du deuxième type existe comme limite des sommes intégrales.

.

Commentaire. Cette limite ne dépend pas

Méthode de choix d'une partition, sous réserve que la condition A soit remplie

Sélection de « points marqués » sur les éléments de cloison,

Une méthode pour affiner la partition, tant que la condition B est satisfaite

Propriétés d'une intégrale curviligne de 2ème espèce.

1. Linéarité
a) propriété de superposition

b) propriété d'homogénéité .

Preuve. Écrivons les sommes intégrales des intégrales des côtés gauches des égalités. Puisque dans la somme intégrale le nombre de termes est fini, en utilisant la propriété produit scalaire, passons aux sommes intégrales des membres droits des égalités. Puis on passe à la limite, en utilisant le théorème de passage à la limite en égalité, on obtient le résultat souhaité.

2. Additivité.
Si , Que = + .

Preuve. Choisissons une partition de la région L telle qu'aucun des éléments de la partition (initialement et lors de l'affinement de la partition) ne contienne simultanément à la fois des éléments L 1 et des éléments L 2 . Cela peut être fait en utilisant le théorème d'existence (remarque au théorème). Ensuite, la preuve s'effectue par sommes intégrales, comme au paragraphe 1.

3. Orientabilité.

= -

Preuve. Intégrale sur l'arc –L, c'est-à-dire V sens négatif le parcours de l'arc est la limite des sommes intégrales aux termes desquelles il y a (). En retirant le « moins » du produit scalaire et de la somme d’un nombre fini de termes et en passant à la limite, on obtient le résultat recherché.

Une courbe AB définie par des équations paramétriques est dite lisse si les fonctions et ont des dérivées continues sur le segment et, de plus, Si dans nombre fini points du segment, ces dérivées n'existent pas ou disparaissent simultanément, alors j'appelle la courbe lisse par morceaux. Soit AB une courbe plate, lisse ou lisse par morceaux. Soit f(M) une fonction définie sur la courbe AB ou dans un domaine D contenant cette courbe. Considérons la division de la courbe A B en parties par points (Fig. 1). Sur chacun des arcs on choisit A^At+i point arbitraire Mk et faites une somme où Alt est la longueur de l'arc et appelez-la la somme intégrale de la fonction f(M) sur la longueur de l'arc de la courbe. Soit D / la plus grande des longueurs d'arcs partiels, c'est-à-dire Propriétés des intégrales curvilignes du 1er type pour les courbes spatiales Intégrales curvilignes du 2ème type Calcul d'une intégrale curviligne Propriétés Relation entre définitions. Si à la somme intégrale (I) a limite finale , qui ne dépend ni de la méthode de partitionnement de la courbe AB en parties, ni du choix des points sur chacun des arcs de partition, alors cette limite est appelée intégrale curviligne du \ième type de la fonction f( M) le long de la courbe AB (intégrale sur la longueur de l'arc de courbe) et est noté symbole Dans ce cas, la fonction /(M) est dite intégrable le long de la courbe ABU ; la courbe A B est appelée le contour de ; l'intégration, A est le point initial, B est le point final de l'intégration. Ainsi, par définition, exemple 1. Supposons qu'une masse à densité linéaire variable J(M) soit distribuée le long d'une courbe lisse L. Trouvez la masse m de la courbe L. (2) Divisons la courbe L en n parties arbitraires) et calculons approximativement la masse de chaque partie, en supposant que sur chaque partie la densité est constante et égale à la densité en n'importe lequel de ses points. , par exemple, au point extrême gauche /(Af*). Alors la somme ksh où D/d est la longueur de la Dième partie, sera une valeur approximative de la masse m. Il est clair que plus la partition de la courbe L est petite, plus l'erreur que nous obtenons est petite. la masse de toute la courbe L, c'est-à-dire Mais la limite à droite est une intégrale curviligne de 1ère espèce. Donc 1.1. Existence d'une intégrale curviligne de 1ère espèce Prenons comme paramètre sur la courbe AB la longueur de l'arc I, mesurée à partir du point de départ A (Fig. 2). Ensuite, la courbe AB peut être décrite par les équations (3) où L est la longueur de la courbe AB. Les équations (3) sont appelées équations naturelles de la courbe AB. En passant aux équations naturelles, la fonction f(x) y), définie sur la courbe AB, sera réduite à une fonction de la variable I : / (x(1)) y(1)). Après avoir noté la valeur du paramètre I correspondant au point Mky, on réécrit la somme intégrale (I) sous la forme C'est la somme intégrale correspondant à une certaine intégrale Puisque les sommes intégrales (1) et (4) sont égales. les uns aux autres, alors les intégrales qui leur correspondent sont égales. Ainsi, (5) Théorème 1. Si la fonction /(M) est continue le long d'une courbe lisse AB, alors il existe une intégrale curviligne (puisque dans ces conditions il existe une intégrale définie à droite dans l'égalité (5). 1.2. Propriétés des intégrales curvilignes du 1er type 1. De la forme de la somme intégrale (1), il s'ensuit que c'est-à-dire la valeur d'une intégrale curviligne de 1ère espèce ne dépend pas du sens d'intégration. 2. Linéarité. Si pour chacune des fonctions /() il existe une intégrale curviligne le long de la courbe ABt, alors pour la fonction a/, où a et /3 sont des constantes quelconques, il existe également une intégrale curviligne le long de la courbe AB> et 3. Additivité . Si la courbe AB est constituée de deux morceaux et pour la fonction /(M) il existe une intégrale curviligne sur ABU, alors il y a des intégrales où 4. Si 0 est sur la courbe AB, alors 5. Si la fonction est intégrable sur la courbe AB, alors la fonction || est également intégrable sur A B, et en même temps b. Formule moyenne. Si la fonction / est continue le long de la courbe AB, alors sur cette courbe il y a un point Mc tel que où L est la longueur de la courbe AB. 1.3. Calcul d'une intégrale curviligne de 1ère espèce Soit la courbe AB donnée par des équations paramétriques, avec le point A correspondant à la valeur t = to, et le point B à la valeur. Nous supposerons que les fonctions) sont continues avec leurs dérivées et que l'inégalité est satisfaite. Ensuite, la différentielle de l'arc de courbe est calculée par la formule En particulier, si la courbe AB est donnée par une équation explicite est continue. différentiable sur [a, b] et le point A correspond à la valeur x = a, et le point B - valeur x = 6, alors, en prenant x comme paramètre, on obtient 1,4. Intégrales curvilignes du 1er type pour les courbes spatiales La définition d'une intégrale curviligne du 1er type, formulée ci-dessus pour une courbe plane, est littéralement reportée au cas où la fonction f(M) est donnée le long d'une courbe spatiale AB. Soit la courbe AB donnée par des équations paramétriques Propriétés des intégrales curvilignes du 1er type pour les courbes spatiales Intégrales curvilignes du 2ème type Calcul d'une intégrale curviligne Propriétés Relation entre Alors l'intégrale curviligne prise le long de cette courbe peut être réduite à une intégrale définie en utilisant la formule suivante : Exemple 2. Calculez l'intégrale curviligne où L est le contour d'un triangle dont les sommets sont en un point* (Fig. 3). Par la propriété d'additivité nous avons Calculons chacune des intégrales séparément. Puisque sur le segment OA on a : , alors sur le segment AN on a, où et puis Fig. Enfin, notez donc. Lors du calcul des intégrales, nous avons utilisé la propriété 1, selon laquelle. Intégrales curvilignes de 2e espèce Soit A B une courbe orientée lisse ou lisse par morceaux sur le plan xOy et soit une fonction vectorielle définie dans un domaine D contenant la courbe AB. Divisons la courbe AB en parties avec des points dont nous désignons respectivement les coordonnées (Fig. 4). Sur chacun des arcs élémentaires AkAk+\ on prend un point arbitraire et on fait une somme. Soit D/ la longueur du plus grand des arcs Définition. Si à la somme (1) a une limite finie qui ne dépend ni de la méthode de partitionnement de la courbe AB ni du choix des points rjk) sur les arcs élémentaires, alors cette limite est appelée l'intégrale curviligne de la 2-ville du vecteur fonction le long de la courbe AB et est désignée par le symbole So par définition Théorème 2. Si dans un domaine D contenant la courbe AB les fonctions sont continues, alors l'intégrale curviligne de la 2-ville existe. Soit le rayon vecteur du point M(x, y). Ensuite, l'intégrande dans la formule (2) peut être représenté comme un produit scalaire des vecteurs F(M) et dr. Ainsi l'intégrale de 2ème sorte d'une fonction vectorielle le long de la courbe AB peut s'écrire brièvement comme suit : 2.1. Calcul d'une intégrale curviligne de 2ème espèce Soit la courbe AB définie par des équations paramétriques, où les fonctions sont continues avec les dérivées sur le segment, et un changement du paramètre t de t0 à t\ correspond au mouvement de a point le long de la courbe AB du point A au point B. Si dans une région D, contenant la courbe AB, les fonctions sont continues, alors l'intégrale curviligne de 2e espèce se réduit à l'intégrale définie suivante : Ainsi, le calcul de la l'intégrale curviligne de 2ème espèce peut aussi se réduire au calcul de l'intégrale définie. O) Exemple 1. Calculer l'intégrale le long d'un segment de droite reliant les points 2) le long d'une parabole reliant les mêmes points) Équation d'un paramètre de droite, d'où So 2) Équation de la droite AB : D'où donc L'exemple considéré oint que la valeur d'une intégrale courbe de 2ème espèce dépend, d'une manière générale, de la forme du chemin d'intégration. 2.2. Propriétés d'une intégrale curviligne de 2e espèce 1. Linéarité. S'il y a des Propriétés des intégrales curvilignes du 1er type pour les courbes spatiales Intégrales curvilignes du 2ème type Calcul de l'intégrale curviligne Propriétés La connexion entre alors pour tout réel a et /5 il y a une intégrale où 2. Additenost. Si la courbe AB est divisée en parties AC et SB et qu'une intégrale curviligne existe, alors des intégrales existent également. La dernière propriété de l'interprétation physique d'une intégrale curviligne du 2ème type fonctionne. champ de force F le long d'un certain chemin : lorsque la direction du mouvement le long d'une courbe change, le travail du champ de force le long de cette courbe change de signe opposé. 2.3. Relation entre intégrales curvilignes de 1ère et 2ème espèce Considérons une intégrale curviligne de 2ème espèce où la courbe orientée AB (A -. point de départ, DANS - point final) est donnée par l'équation vectorielle (ici I est la longueur de la courbe, mesurée dans le sens dans lequel la courbe AB est orientée) (Fig. 6). Alors dr ou où r = m(1) - vecteur unitaire tangente à la courbe AB au point M(1). Notez alors que la dernière intégrale de cette formule est une intégrale curviligne de 1ère espèce. Lorsque l'orientation de la courbe AB change, le vecteur unitaire de la tangente r est remplacé par le vecteur opposé (-r), ce qui entraîne un changement du signe de son intégral et, donc, du signe de l'intégrale elle-même.

Pour le cas où le domaine d'intégration est un segment d'une certaine courbe située dans un plan. La notation générale d'une intégrale de ligne est la suivante :

Où F(X, oui) est fonction de deux variables, et L- courbe, le long d'un segment UN B quelle intégration a lieu. Si l'intégrande est égale à un, alors l'intégrale de droite égal à la longueur arcAB .

Comme toujours dans calcul intégral, une intégrale curviligne est comprise comme la limite des sommes intégrales de certaines très petites parties de quelque chose de très grand. Que se résume-t-il dans le cas des intégrales curvilignes ?

Qu'il y ait un segment dans l'avion UN B une courbe L, et une fonction de deux variables F(X, oui) défini aux points de la courbe L. Effectuons l'algorithme suivant avec ce segment de courbe.

1. Courbe divisée UN B en parties avec des points (images ci-dessous).
2. Sélectionnez librement un point dans chaque partie M.
3. Trouvez la valeur de la fonction aux points sélectionnés.
4. Les valeurs de fonction se multiplient par
   • longueurs de pièces au cas où intégrale curviligne du premier type ;
   • projections de pièces sur l'axe de coordonnées dans le cas intégrale curviligne du deuxième type .
5. Trouvez la somme de tous les produits.
6. Trouvez la limite de la somme intégrale trouvée à condition que la longueur de la partie la plus longue de la courbe tende vers zéro.

Si la limite mentionnée existe, alors ceci la limite de la somme intégrale et est appelée l'intégrale curviligne de la fonction F(X, oui) le long de la courbe UN B .

premier type

Cas d'une intégrale curviligne
deuxième espèce

Introduisons la notation suivante.

Mje ( ζ je; η je)- un point avec des coordonnées sélectionnées sur chaque site.

Fje ( ζ je; η je)- valeur de la fonction F(X, oui) au point choisi.

Δ sje- longueur d'une partie d'un segment de courbe (dans le cas d'une intégrale curviligne de première espèce).

Δ Xje- projection d'une partie du segment de courbe sur l'axe Bœuf(dans le cas d'une intégrale curviligne de seconde espèce).

d= maxΔ s je- la longueur de la partie la plus longue du segment de courbe.

Intégrales curvilignes du premier type

Sur la base de ce qui précède concernant la limite des sommes intégrales, une intégrale linéaire du premier type s'écrit comme suit :

.

Une intégrale linéaire de première espèce possède toutes les propriétés qu’elle possède Intégrale définie. Il existe cependant une différence importante. U Intégrale définie Lorsque les limites d’intégration sont inversées, le signe change à l’opposé :

Dans le cas d'une intégrale curviligne de première espèce, peu importe le point de la courbe UN B (UN ou B) est considéré comme le début du segment, et lequel est la fin, c'est-à-dire

.

Intégrales curvilignes du deuxième type

D'après ce qui a été dit sur la limite des sommes intégrales, une intégrale curviligne de seconde espèce s'écrit comme suit :

.

Dans le cas d'une intégrale curviligne de seconde espèce, lorsque le début et la fin d'un segment de courbe sont intervertis, le signe de l'intégrale change :

.

Lors de la compilation de la somme intégrale d'une intégrale curviligne de seconde espèce, les valeurs de la fonction Fje ( ζ je; η je) peut également être multiplié par la projection de parties d'un segment de courbe sur l'axe Oy. On obtient alors l'intégrale

.

En pratique, on utilise généralement l'union d'intégrales curvilignes du deuxième type, c'est-à-dire deux fonctions F = P.(X, oui) Et F = Q(X, oui) et intégrales

,

et la somme de ces intégrales

appelé intégrale curviligne générale du deuxième type .

Calcul des intégrales curvilignes du premier type

Le calcul des intégrales curvilignes de première espèce se réduit au calcul des intégrales définies. Considérons deux cas.

Soit une courbe sur le plan oui = oui(X) et un segment de courbe UN B correspond à un changement de variable X depuis un avant b. Puis aux points de la courbe la fonction intégrande F(X, oui) = F(X, oui(X)) ("Y" doit être exprimé par "X"), et le différentiel de l'arc et l'intégrale de ligne peut être calculée à l'aide de la formule

.

Si l’intégrale est plus facile à intégrer sur oui, alors à partir de l'équation de la courbe nous devons exprimer X = X(oui) (« x » à « y »), où nous calculons l'intégrale en utilisant la formule

.

Exemple 1.

Où UN B- segment de droite entre les points UN(1 ; −1) et B(2; 1) .

Solution. Faisons l'équation d'une droite UN B, en utilisant la formule (équation d'une droite passant par deux points donnés UN(X1 ; oui 1 ) Et B(X2 ; oui 2 ) ):

À partir de l’équation de la droite, nous exprimons ouià travers X :

Hier et aujourd’hui, nous pouvons calculer l’intégrale, puisqu’il ne nous reste que des « X » :

Soit une courbe dans l'espace

Puis aux points de la courbe la fonction doit être exprimée à travers le paramètre t() et différentiel d'arc , donc l'intégrale curviligne peut être calculée à l'aide de la formule

De même, si une courbe est donnée sur le plan

,

alors l'intégrale curviligne est calculée par la formule

.

Exemple 2. Calculer l'intégrale de ligne

Où L- partie d'une ligne de cercle

situé dans le premier octant.

Solution. Cette courbe est un quart de cercle situé dans le plan z= 3 . Il correspond aux valeurs des paramètres. Parce que

puis le différentiel d'arc

Exprimons la fonction intégrale à travers le paramètre t :

Maintenant que tout est exprimé via un paramètre t, on peut réduire le calcul de cette intégrale curviligne à une intégrale définie :

Calcul des intégrales curvilignes du deuxième type

Tout comme dans le cas des intégrales curvilignes de première espèce, le calcul des intégrales de seconde espèce se réduit au calcul d'intégrales définies.

La courbe est donnée en coordonnées rectangulaires cartésiennes

Soit une courbe sur un plan donnée par l'équation de la fonction « Y », exprimée par « X » : oui = oui(X) et l'arc de la courbe UN B correspond au changement X depuis un avant b. Ensuite, nous substituons l'expression du « y » par « x » dans l'intégrande et déterminons la différentielle de cette expression du « y » par rapport à « x » : . Maintenant que tout est exprimé en termes de « x », l’intégrale linéaire de seconde espèce est calculée comme une intégrale définie :

Une intégrale curviligne de seconde espèce se calcule de la même manière lorsque la courbe est donnée par l'équation de la fonction « x » exprimée par le « y » : X = X(oui) , . Dans ce cas, la formule de calcul de l'intégrale est la suivante :

Exemple 3. Calculer l'intégrale de ligne

, Si

UN) L- segment droit O.A., Où À PROPOS(0; 0) , UN(1; −1) ;

b) L- arc de parabole oui = X² à partir de À PROPOS(0 ; 0) à UN(1; −1) .

a) Calculons l'intégrale curviligne sur un segment de droite (bleu sur la figure). Écrivons l’équation de la droite et exprimons « Y » par « X » :

.

On a mourir = dx. On résout cette intégrale curviligne :

b) si L- arc de parabole oui = X² , on obtient mourir = 2XDX. On calcule l'intégrale :

Dans l’exemple que nous venons de résoudre, nous obtenons le même résultat dans deux cas. Et ce n’est pas une coïncidence, mais le résultat d’un schéma, puisque cette intégrale satisfait aux conditions du théorème suivant.

Théorème. Si les fonctions P.(X,oui) , Q(X,oui) et leurs dérivées partielles sont continues dans la région D fonctions et en des points de cette région les dérivées partielles sont égales, alors l'intégrale curviligne ne dépend pas du chemin d'intégration le long de la ligne L situé dans la zone D .

La courbe est donnée sous forme paramétrique

Soit une courbe dans l'espace

.

et dans les intégrandes que nous substituons

exprimer ces fonctions via un paramètre t. On obtient la formule de calcul de l'intégrale curviligne :

Exemple 4. Calculer l'intégrale de ligne

,

Si L- une partie d'une ellipse

remplissant la condition oui ≥ 0 .

Solution. Cette courbe est la partie de l'ellipse située dans le plan z= 2 . Cela correspond à la valeur du paramètre.

on peut représenter l'intégrale curviligne sous la forme d'une intégrale définie et la calculer :

Si une intégrale de courbe est donnée et L est une ligne fermée, alors une telle intégrale est appelée intégrale en boucle fermée et est plus facile à calculer en utilisant La formule de Green .

Plus d'exemples de calcul d'intégrales de ligne

Exemple 5. Calculer l'intégrale de ligne

Où L- un segment de droite entre les points de son intersection avec les axes de coordonnées.

Solution. Déterminons les points d'intersection de la droite avec les axes de coordonnées. Remplacer une ligne droite dans l'équation oui= 0, on obtient ,. Remplacement X= 0, on obtient ,. Ainsi, le point d'intersection avec l'axe Bœuf - UN(2 ; 0) , avec axe Oy - B(0; −3) .

À partir de l’équation de la droite, nous exprimons oui :

.

, .

Nous pouvons maintenant représenter l’intégrale de droite comme une intégrale définie et commencer à la calculer :

DANS intégrande sélectionnez le facteur, retirez-le du signe intégral. Dans l’intégrande résultante, nous utilisons souscrire au signe différentiel et finalement nous comprenons.

Minimum théorique

Curviligne et intégrales de surface on le retrouve souvent en physique. Il en existe deux types, dont le premier est abordé ici. Ce
le type des intégrales est construit selon régime général, par lequel certain, double et intégrales triples. Rappelons brièvement ce schéma.
Il existe un objet sur lequel l'intégration est effectuée (unidimensionnelle, bidimensionnelle ou tridimensionnelle). Cet objet est brisé en petits morceaux,
un point est sélectionné dans chaque partie. En chacun de ces points, la valeur de l'intégrande est calculée et multipliée par la mesure de la partie qui
fait parti point donné(longueur d'un segment, surface ou volume d'une région partielle). Ensuite, tous ces produits sont additionnés et la limite est satisfaite
transition vers la division de l'objet en parties infinitésimales. La limite résultante est appelée l’intégrale.

1. Définition d'une intégrale curviligne de première espèce

Considérons une fonction définie sur une courbe. La courbe est supposée rectifiable. Rappelons ce que cela signifie, grosso modo,
qu'une ligne brisée avec des maillons arbitrairement petits peut s'inscrire dans une courbe, et à la limite elle est infinie grand nombre liens, la longueur de la ligne brisée doit rester
final. La courbe est divisée en arcs partiels de longueur et un point est sélectionné sur chacun des arcs. Une œuvre est en cours de compilation
la sommation est effectuée sur tous les arcs partiels . Puis le passage à la limite s'effectue avec la tendance de la longueur du plus grand
des arcs partiels à zéro. La limite est une intégrale curviligne de première espèce
.
Une caractéristique importante de cette intégrale, qui découle directement de sa définition, est son indépendance par rapport à la direction de l'intégration, c'est-à-dire
.

2. Définition de l'intégrale de surface du premier type

Considérons une fonction définie sur une surface lisse ou lisse par morceaux. La surface est divisée en zones partielles
avec des zones, un point est sélectionné dans chacune de ces zones. Une œuvre est en cours de compilation , la sommation est effectuée
sur toutes les zones partielles . Puis le passage à la limite s'effectue avec la tendance du diamètre du plus grand de tous les partiels
zones à zéro. La limite est une intégrale de surface du premier type
.

3. Calcul d'une intégrale curviligne de première espèce

La méthode de calcul d'une intégrale curviligne du premier type peut déjà être vue à partir de sa notation formelle, mais découle en fait directement de
définitions. L'intégrale se réduit à une intégrale définie ; il suffit de noter la différentielle de l'arc de courbe le long de laquelle s'effectue l'intégration.
Commençons avec cas simple intégration le long d’une courbe plane donnée par une équation explicite. Dans ce cas, le différentiel d'arc
.
Puis un changement de variable est effectué dans l'intégrande, et l'intégrale prend la forme
,
où le segment correspond à l'évolution de la variable le long de la partie de la courbe le long de laquelle l'intégration est effectuée.

Très souvent, la courbe est spécifiée paramétriquement, c'est-à-dire équations de la forme Puis le différentiel d'arc
.
Cette formule se justifie très simplement. Il s’agit essentiellement du théorème de Pythagore. Le différentiel d’arc est en fait la longueur de la partie infinitésimale de la courbe.
Si la courbe est lisse, alors sa partie infinitésimale peut être considérée comme rectiligne. Pour une droite on a la relation
.
Pour qu'elle soit réalisée sur un petit arc de courbe, il faut passer des incréments finis aux différentiels :
.
Si la courbe est spécifiée paramétriquement, alors les différentiels sont simplement calculés :
etc.
En conséquence, après avoir modifié les variables de l'intégrande, l'intégrale de la courbe est calculée comme suit :
,
où la partie de la courbe le long de laquelle l'intégration est effectuée correspond au segment du changement de paramètre.

La situation est un peu plus compliquée dans le cas où la courbe est spécifiée en coordonnées curvilignes. Cette question est généralement discutée dans le cadre d'études différentielles
géométrie. Donnons une formule pour calculer l'intégrale le long de la courbe donnée dans coordonnées polaireséquation:
.
Donnons une justification à la différentielle de l'arc en coordonnées polaires. Discussion détaillée sur la construction du réseau système polaire coordonnées
cm. . Sélectionnons un petit arc de courbe situé par rapport aux lignes de coordonnées comme le montre la Fig. 1. En raison de la petitesse de tous ceux présentés
De nouveau, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore et écrire :
.
De là découle l’expression souhaitée pour la différentielle de l’arc.

Avec du pur point théorique D'un point de vue visuel, il suffit de comprendre simplement qu'une intégrale curviligne de première espèce doit être réduite à son cas particulier -
à une intégrale définie. En effet, en effectuant le changement dicté par le paramétrage de la courbe le long de laquelle l'intégrale est calculée, on établit
mappage un à un entre une partie d’une courbe donnée et un segment de changement de paramètre. Et c'est une réduction à l'intégrale
le long d'une ligne droite coïncidant avec axe de coordonnées- une intégrale définie.

4. Calcul de l'intégrale de surface de première espèce

Après le point précédent, il devrait être clair que l’une des parties principales du calcul d’une intégrale de surface du premier type consiste à écrire l’élément de surface,
sur lequel l'intégration est effectuée. Encore une fois, commençons par le cas simple d'une surface définie par une équation explicite. Alors
.
Une substitution est faite dans l'intégrande, et l'intégrale de surface est réduite à un double :
,
où est la région du plan dans laquelle est projetée la partie de la surface sur laquelle l'intégration est effectuée.

Cependant, il est souvent impossible de définir une surface par une équation explicite, et elle est alors définie paramétriquement, c'est-à-dire équations de la forme
.
L'élément de surface dans ce cas s'écrit plus compliqué :
.
L’intégrale de surface peut s’écrire ainsi :
,
où est l'aire de changement de paramètres correspondant à la partie de la surface sur laquelle l'intégration est réalisée.

5. Signification physique des intégrales curvilignes et surfaciques du premier type

Les intégrales discutées ont une forme très simple et claire signification physique. Soit une courbe dont la densité linéaire n'est pas
constante, et est fonction du point . Trouvons la masse de cette courbe. Décomposons la courbe en plusieurs petits éléments,
à l'intérieur duquel sa densité peut être approximativement considérée comme constante. Si la longueur d’un petit morceau de courbe est égale à , alors sa masse
, où est n'importe quel point de la partie sélectionnée de la courbe (n'importe lequel, puisque la densité est comprise entre
cette pièce est approximativement supposée constante). En conséquence, la masse de la courbe entière est obtenue en additionnant les masses de ses parties individuelles :
.
Pour que l'égalité devienne exacte, il faut aller jusqu'à diviser la courbe en parties infinitésimales, mais c'est une intégrale curviligne de première espèce.

La question de la charge totale de la courbe se résout de la même manière si la densité de charge linéaire est connue .

Ces arguments peuvent facilement être transférés au cas d’une surface chargée de manière non uniforme avec densité superficielle charge . Alors
la charge de surface est une intégrale de surface du premier type
.

Note. Une formule lourde pour un élément de surface défini paramétriquement n'est pas pratique à retenir. Une autre expression est obtenue en géométrie différentielle,
il utilise ce qu'on appelle d'abord forme quadratique surfaces.

Exemples de calcul d'intégrales curvilignes du premier type

Exemple 1. Intégrale le long d'une ligne.
Calculer l'intégrale

le long d'un segment de droite passant par les points et .

Tout d'abord, nous écrivons l'équation de la droite le long de laquelle l'intégration est effectuée : . Trouvons une expression pour :
.
On calcule l'intégrale :

Exemple 2. Intégrale le long d'une courbe dans un plan.
Calculer l'intégrale

le long d'un arc de parabole d'un point à un autre.

Définir des points et permettent d'exprimer une variable de l'équation de la parabole : .

On calcule l'intégrale :
.

Cependant, il a été possible d'effectuer les calculs d'une autre manière, en profitant du fait que la courbe est donnée par une équation résolue par rapport à la variable.
Si on prend une variable comme paramètre, cela conduira à petite monnaie expressions pour l'arc différentiel :
.
En conséquence, l'intégrale changera légèrement :
.
Cette intégrale se calcule facilement en substituant la variable sous le différentiel. Le résultat est la même intégrale que dans la première méthode de calcul.

Exemple 3. Intégrale le long d'une courbe dans un plan (par paramétrisation).
Calculer l'intégrale

le long de la moitié supérieure du cercle .

Vous pouvez bien entendu exprimer l'une des variables à partir de l'équation d'un cercle, puis effectuer le reste des calculs de la manière standard. Mais vous pouvez aussi utiliser
spécification de courbe paramétrique. Comme vous le savez, un cercle peut être défini par des équations. Demi-cercle supérieur
correspond à un changement du paramètre au sein de . Calculons le différentiel d'arc :
.
Ainsi,

Exemple 4. Intégrale le long d'une courbe sur un plan spécifié en coordonnées polaires.
Calculer l'intégrale

le long du lobe droit de la lemniscate .

Le dessin ci-dessus montre une lemniscate. L'intégration doit être réalisée le long de son lobe droit. Trouvons le différentiel d'arc pour la courbe :
.
L'étape suivante consiste à déterminer les limites de l'intégration sur l'angle polaire. Il est clair que l'inégalité doit être satisfaite, et donc
.
On calcule l'intégrale :

Exemple 5. Intégrale le long d'une courbe dans l'espace.
Calculer l'intégrale

le long du tour de l'hélice correspondant aux limites de changement de paramètre