Logarithme népérien, fonction ln x. Le chiffre e signifie la croissance

prend souvent un numéro e = 2,718281828 . Les logarithmes basés sur cette base sont appelés naturel. Lors de calculs avec des logarithmes naturels, il est courant d'opérer avec le signe jen, pas enregistrer; tandis que le numéro 2,718281828 , définissant la base, ne sont pas indiqués.

En d’autres termes, la formulation ressemblera à : logarithme népérien Nombres X- c'est un exposant auquel un nombre doit être élevé e obtenir x.

Donc, ln(7 389...)= 2, puisque e 2 =7,389... . Logarithme naturel du nombre lui-même e= 1 parce que e 1 =e, et le logarithme népérien de l'unité est nul, puisque e 0 = 1.

Le numéro lui-même e définit la limite d'une séquence délimitée monotone

on calcule que e = 2,7182818284... .

Très souvent, afin de fixer un numéro en mémoire, les chiffres du numéro requis sont associés à une date exceptionnelle. Vitesse de mémorisation des neuf premiers chiffres d'un nombre e après la virgule, la virgule augmentera si vous remarquez que 1828 est l'année de naissance de Léon Tolstoï !

Aujourd'hui, il y en a assez tableaux complets logarithmes naturels.

Graphique du logarithme népérien(fonctions y =dans x) est une conséquence du graphe exponentiel image miroir relativement droit y = x et a la forme :

Le logarithme népérien peut être trouvé pour chaque positif nombre réel un comme l'aire sous la courbe oui = 1/x depuis 1 à un.

Le caractère élémentaire de cette formulation, qui est cohérent avec de nombreuses autres formules dans lesquelles le logarithme népérien est impliqué, a été à l'origine de la formation du nom « naturel ».

Si vous analysez logarithme népérien, en fonction réelle d'une variable réelle, alors il s'agit fonction inverseà une fonction exponentielle, qui se réduit aux identités :

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Par analogie avec tous les logarithmes, le logarithme népérien convertit la multiplication en addition, la division en soustraction :

dans(xy) = dans(x) + dans(oui)

dans(x/y)= lnx - lny

Le logarithme peut être trouvé pour chaque base positive qui n'est pas égale à un, pas seulement pour e, mais les logarithmes des autres bases diffèrent uniquement du logarithme népérien multiplicateur constant, et sont généralement définis en termes de logarithme népérien.

Après avoir analysé graphique du logarithme naturel, nous constatons qu'il existe pour valeurs positives variable x. Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition.

À x → 0 la limite du logarithme népérien est moins l'infini ( -∞ ).À x → +∞ la limite du logarithme népérien est plus l'infini ( + ∞ ). En liberté x Le logarithme augmente assez lentement. Toute fonction de puissance xa avec un exposant positif un augmente plus vite que le logarithme. Logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, elle n’a donc pas d’extrema.

Usage logarithmes naturels très rationnel lors du passage mathématiques supérieures. Ainsi, l’utilisation du logarithme est pratique pour trouver la réponse à des équations dans lesquelles des inconnues apparaissent comme exposants. L'utilisation de logarithmes naturels dans les calculs permet de simplifier grandement grand nombre formules mathématiques. Logarithmes à la base e sont présents lors de la résolution d’un nombre significatif problèmes physiques et entre naturellement dans description mathématique processus chimiques, biologiques et autres individuels. Ainsi, les logarithmes sont utilisés pour calculer la constante de désintégration pour une demi-vie connue, ou pour calculer le temps de désintégration lors de la résolution de problèmes de radioactivité. Ils jouent dans rôle principal dans de nombreuses branches des mathématiques et sciences pratiques, on y a recours dans le domaine de la finance pour résoudre grand nombre tâches, y compris les calculs intérêts composés.

Les propriétés de base du logarithme népérien, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en série de puissance et représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes.

Définition

Logarithme népérien est la fonction y = dans x, inverse de exponentiel, x = e y , et est logarithme basé sur le nombre e : ln x = log e x.

Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.

Basé sur définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graphique de la fonction y = dans x.

Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir de graphiques exponentiels réflexion miroir par rapport à la droite y = x.

Le logarithme népérien est défini pour les valeurs positives de la variable x.

Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition. 0 À x →

la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞). Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. N'importe lequel fonction de puissance

x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.

Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.

valeurs ln x

ln 1 = 0

Formules de base pour les logarithmes naturels

Formules issues de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :

Les preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est exposant.

Si, alors

Si, alors.

Dérivée ln x

Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

L'intégrale est calculée intégration par parties :
.
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Littérature utilisée :
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Pas mal du tout, non ? Pendant que les mathématiciens recherchent des mots pour vous donner une définition longue et déroutante, examinons de plus près cette définition simple et claire.

Le chiffre e signifie la croissance

Le chiffre e signifie une croissance continue. Comme nous l'avons vu dans l'exemple précédent, e x permet de lier intérêts et temps : 3 ans à 100 % de croissance équivaut à 1 an à 300 %, en supposant des « intérêts composés ».

Vous pouvez remplacer n'importe quelle valeur de pourcentage et de temps (50 % pendant 4 ans), mais il est préférable de définir le pourcentage sur 100 % pour plus de commodité (il s'avère que 100 % pendant 2 ans). En passant à 100%, on peut se concentrer uniquement sur la composante temps :

e x = e pourcentage * temps = e 1,0 * temps = e temps

Évidemment, e x signifie :

• de combien ma contribution augmentera-t-elle après x unités de temps (en supposant une croissance continue de 100 %).
• par exemple, après 3 intervalles de temps, je recevrai e 3 = 20,08 fois plus de « choses ».

e x est un facteur d'échelle qui montre à quel niveau nous atteindrons dans x laps de temps.

Le logarithme naturel signifie le temps

Le logarithme népérien est l'inverse de e, un terme sophistiqué pour le contraire. En parlant de bizarreries ; en latin, on l'appelle logarithmus naturali, d'où l'abréviation ln.

Et que signifie cette inversion ou contraire ?

• e x nous permet de remplacer le temps et d'obtenir de la croissance.
• ln(x) nous permet de prendre la croissance ou le revenu et de connaître le temps qu'il faut pour le générer.

Par exemple:

• e 3 est égal à 20,08. Après trois périodes, nous aurons 20,08 fois de plus où nous avons commencé.
• ln(08/20) serait d'environ 3. Si vous êtes intéressé par une croissance de 20,08 fois, vous aurez besoin de 3 périodes (encore une fois, en supposant une croissance continue de 100 %).

Vous lisez toujours ? Le logarithme népérien indique le temps nécessaire pour atteindre le niveau souhaité.

Ce décompte logarithmique non standard

Avez-vous étudié les logarithmes ? créatures étranges. Comment ont-ils réussi à transformer la multiplication en addition ? Qu’en est-il de la division en soustraction ? Voyons.

À quoi est égal ln(1) ? Intuitivement, la question est : combien de temps dois-je attendre pour obtenir 1 fois plus que ce que j’ai ?

Zéro. Zéro. Pas du tout. Vous l'avez déjà eu une fois. Il ne faut pas longtemps pour passer du niveau 1 au niveau 1.

• journal(1) = 0

D'accord, qu'en est-il valeur fractionnaire? Combien de temps faudra-t-il pour qu’il nous reste la moitié de la quantité disponible ? Nous savons qu'avec une croissance continue de 100 %, ln(2) signifie le temps qu'il faut pour doubler. Si nous remontons le temps(c'est-à-dire attendre un temps négatif), nous obtiendrons alors la moitié de ce que nous avons.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logique, non ? Si l'on remonte (le temps en arrière) à 0,693 seconde, on retrouvera la moitié de la quantité disponible. En général, vous pouvez retourner la fraction et prendre valeur négative: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Cela signifie que si nous remontons le temps jusqu’à 1,09 fois, nous ne retrouverons qu’un tiers du nombre actuel.

D'accord, qu'en est-il du logarithme d'un nombre négatif ? Combien de temps faut-il pour « faire croître » une colonie de bactéries de 1 à -3 ?

C'est impossible ! Vous ne pouvez pas obtenir un nombre de bactéries négatif, n’est-ce pas ? Vous pouvez obtenir un maximum (euh... minimum) de zéro, mais il n'y a aucun moyen d'obtenir un nombre négatif de ces petites créatures. Un nombre négatif de bactéries n’a tout simplement aucun sens.

• ln (nombre négatif) = non défini

« Indéfini » signifie qu'il n'y a pas de temps à attendre pour obtenir une valeur négative.

La multiplication logarithmique est tout simplement hilarante

Combien de temps faudra-t-il pour quadrupler ? Bien sûr, vous pouvez simplement prendre ln(4). Mais c'est trop simple, nous irons dans l'autre sens.

Vous pouvez considérer la croissance quadruple comme un doublement (nécessitant ln(2) unités de temps), puis un doublement à nouveau (nécessitant encore ln(2) unités de temps) :

• Il est temps de croître 4 fois = ln(4) = Il est temps de doubler puis de doubler à nouveau = ln(2) + ln(2)

Intéressant. Tout taux de croissance, disons 20, peut être considéré comme un doublement juste après une augmentation de 10x. Ou une croissance de 4 fois, puis de 5 fois. Ou tripler puis augmenter de 6,666 fois. Vous voyez le modèle ?

• ln(une*b) = ln(une) + ln(b)

Le logarithme de A fois B est log(A) + log(B). Cette relation prend tout de suite du sens en termes de croissance.

Si vous êtes intéressé par une croissance 30x, vous pouvez attendre ln(30) en une seule fois, ou attendre ln(3) pour tripler, puis un autre ln(10) pour 10x. Résultat final la même chose, donc bien sûr le temps doit rester constant (et reste).

Et la division ? Plus précisément, ln(5/3) signifie : combien de temps faudra-t-il pour croître 5 fois et en obtenir ensuite 1/3 ?

Génial, une croissance de 5 fois est ln(5). Une augmentation de 1/3 fois prendra -ln(3) unités de temps. Donc,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Cela signifie : laissez-le croître 5 fois, puis « remontez le temps » jusqu'au point où il ne reste plus qu'un tiers de ce montant, vous obtenez donc une croissance de 5/3. En général, il s'avère

• ln(une/b) = ln(une) – ln(b)

J'espère que l'étrange arithmétique des logarithmes commence à avoir un sens pour vous : multiplier les taux de croissance devient une addition d'unités de temps de croissance, et diviser devient une soustraction d'unités de temps. Pas besoin de mémoriser les règles, essayez de les comprendre.

Utiliser le logarithme népérien pour une croissance arbitraire

Eh bien, bien sûr, dites-vous, tout va bien si la croissance est de 100 %, mais qu’en est-il des 5 % que j’obtiens ?

Aucun problème. Le "temps" que nous calculons avec ln() est en fait une combinaison de taux d'intérêt et de temps, le même X de l'équation e x. Nous avons simplement décidé de fixer le pourcentage à 100 % pour plus de simplicité, mais nous sommes libres d'utiliser n'importe quel nombre.

Disons que nous voulons atteindre une croissance de 30 x : prenez ln(30) et obtenez 3,4. Cela signifie :

• e x = hauteur
• e 3,4 = 30

Évidemment, cette équation signifie « un rendement de 100 % sur 3,4 ans donne une croissance 30x ». Nous pouvons écrire cette équation comme suit :

• e x = e taux*temps
• e 100 % * 3,4 ans = 30

On peut changer les valeurs de « pari » et « temps », tant que le temps de pari* reste 3,4. Par exemple, si nous souhaitons une croissance 30x, combien de temps devrons-nous attendre avec un taux d’intérêt de 5 % ?

• ln(30) = 3,4
• taux * temps = 3,4
• 0,05 * temps = 3,4
• temps = 3,4 / 0,05 = 68 ans

Je raisonne comme ceci : "ln(30) = 3,4, donc à 100% de croissance cela prendra 3,4 ans. Si je double le taux de croissance, temps requis sera réduit de moitié. »

• 100 % pendant 3,4 ans = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % en 1,7 ans = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % pendant 6,8 ans = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % sur 68 ans = 0,05 * 68 = 3,4.

Super, non ? Le logarithme népérien peut être utilisé avec n’importe quel taux d’intérêt et n’importe quelle période car leur produit reste constant. Vous pouvez déplacer les valeurs des variables autant que vous le souhaitez.

Exemple sympa : la règle de soixante-douze

La règle de soixante-douze est une technique mathématique qui vous permet d’estimer combien de temps il faudra pour que votre argent double. Nous allons maintenant le déduire (oui !), et de plus, nous allons essayer d'en comprendre l'essence.

Combien de temps faudra-t-il pour doubler votre argent avec un intérêt de 100 % composé annuellement ?

Oups. Nous avons utilisé le logarithme népérien dans le cas d’une croissance continue, et maintenant vous parlez de composition annuelle ? Cette formule ne deviendrait-elle pas inadaptée à un tel cas ? Oui, ce sera le cas, mais pour des taux d’intérêt réels comme 5 %, 6 % ou même 15 %, la différence entre la composition annuelle et la croissance continue sera faible. Donc l'estimation approximative fonctionne, euh, à peu près, donc nous allons prétendre que nous avons une accumulation complètement continue.

La question est désormais simple : à quelle vitesse pouvez-vous doubler avec une croissance de 100 % ? ln(2) = 0,693. Il faut 0,693 unités de temps (des années dans notre cas) pour doubler notre montant avec une augmentation continue de 100 %.

Alors, que se passe-t-il si le taux d’intérêt n’est pas de 100 %, mais disons de 5 % ou 10 % ?

Facilement! Puisque pari * temps = 0,693, nous doublerons le montant :

• taux * temps = 0,693
• temps = 0,693 / pari

Il s’avère que si la croissance est de 10 %, il faudra 0,693 / 0,10 = 6,93 ans pour doubler.

Pour simplifier les calculs, multiplions les deux côtés par 100, nous pourrons alors dire « 10 » plutôt que « 0,10 » :

• temps pour doubler = 69,3 / pari, où la mise est exprimée en pourcentage.

Il est désormais temps de doubler au taux de 5%, 69,3/5 = 13,86 ans. Cependant, 69,3 n’est pas le dividende le plus pratique. Choisissons un nombre proche, 72, qu'il est pratique de diviser par 2, 3, 4, 6, 8 et d'autres nombres.

• temps pour doubler = 72 / pari

ce qui est la règle de soixante-douze. Tout est couvert.

Si vous avez besoin de trouver le temps de tripler, vous pouvez utiliser ln(3) ~ 109,8 et obtenir

• temps pour tripler = 110 / pari

Qu'est-ce qu'un autre règle utile. La « règle des 72 » s’applique à la croissance des taux d’intérêt, à la croissance démographique, aux cultures bactériennes et à tout ce qui croît de façon exponentielle.

Quelle est la prochaine étape ?

J'espère que le logarithme népérien a maintenant un sens pour vous : il montre le temps qu'il faut à un nombre pour croître à croissance exponentielle. Je pense que cela est appelé naturel parce que e est une mesure universelle de la croissance, donc ln peut être considéré de manière universelle déterminer combien de temps il faut pour grandir.

Chaque fois que vous voyez ln(x), rappelez-vous "le temps qu'il faut pour croître X fois". Dans un prochain article, je décrirai e et ln conjointement afin que le parfum frais des mathématiques remplisse l'air.

Addendum : Logarithme népérien de e

Quiz rapide : qu'est-ce que ln(e) ?

• un robot mathématique dira : puisqu'ils sont définis comme l'inverse l'un de l'autre, il est évident que ln(e) = 1.
• personne compréhensive : ln(e) est le nombre de fois qu'il faut pour augmenter "e" fois (environ 2,718). Cependant, le nombre e lui-même est une mesure de la croissance par un facteur 1, donc ln(e) = 1.

Pensez clairement.

Logarithme numéro donné est appelé l'exposant auquel un autre nombre doit être élevé, appelé base logarithme pour obtenir ce nombre. Par exemple, le logarithme en base 10 de 100 est 2. En d’autres termes, 10 doit être au carré pour obtenir 100 (10 2 = 100). Si n– un numéro donné, b– le socle et je– logarithme, alors b l = n. Nombre négalement appelé antilogarithme de base b Nombres je. Par exemple, l'antilogarithme de 2 en base 10 est égal à 100. Cela peut s'écrire sous la forme du journal des relations bn = je et antilog b l = n.

Propriétés de base des logarithmes :

N'importe lequel nombre positif, à l'exception de l'unité, peut servir de base aux logarithmes, mais, malheureusement, il s'avère que si b Et n sont des nombres rationnels, alors dans de rares cas, il existe un tel nombre rationnel je, Quoi b l = n. Il est cependant possible de déterminer nombre irrationnel je, par exemple, tel que 10 je= 2 ; c'est un nombre irrationnel je peut être approximé avec toute précision requise nombres rationnels. Il s'avère que dans l'exemple donné je est approximativement égal à 0,3010, et cette approximation du logarithme en base 10 de 2 peut être trouvée dans des tableaux à quatre chiffres logarithmes décimaux. Les logarithmes en base 10 (ou logarithmes en base 10) sont si couramment utilisés dans les calculs qu'ils sont appelés ordinaire logarithmes et écrit sous la forme log2 = 0,3010 ou log2 = 0,3010, en omettant l'indication explicite de la base du logarithme. Logarithmes à la base e, nombre transcendantal, approximativement égal à 2,71828, sont appelés naturel logarithmes. On les retrouve principalement dans les travaux sur analyse mathématique et ses applications à diverses sciences. Les logarithmes naturels s'écrivent également sans indiquer explicitement la base, mais en utilisant la notation spéciale ln : par exemple, ln2 = 0,6931, car e 0,6931 = 2.

Utiliser des tableaux de logarithmes ordinaires.

Le logarithme régulier d'un nombre est un exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir un nombre donné. Puisque 10 0 = 1, 10 1 = 10 et 10 2 = 100, on obtient immédiatement que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. pour des puissances entières croissantes 10. De même, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 et donc log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. pour tous les entiers pouvoirs négatifs 10. Les logarithmes habituels des nombres restants sont contenus entre les logarithmes des puissances entières les plus proches du nombre 10 ; log2 doit être compris entre 0 et 1, log20 doit être compris entre 1 et 2 et log0.2 doit être compris entre -1 et 0. Ainsi, le logarithme se compose de deux parties, un entier et décimal, compris entre 0 et 1. La partie entière est appelée caractéristiques logarithme et est déterminé par le nombre lui-même, partie fractionnaire appelé mantisse et peuvent être trouvés dans les tableaux. De plus, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Le logarithme de 2 est 0,3010, donc log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De même, log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Après soustraction, nous obtenons log0,2 = – 0,6990. Cependant, il est plus pratique de représenter log0,2 par 0,3010 – 1 ou par 9,3010 – 10 ; peut être formulé et règle générale: tous les nombres obtenus à partir d'un nombre donné par multiplication par une puissance de 10 ont la même mantisse, égale à la mantisse numéro donné. La plupart des tableaux montrent les mantisses des nombres compris entre 1 et 10, puisque les mantisses de tous les autres nombres peuvent être obtenues à partir de celles données dans le tableau.

Dans la plupart des tableaux, les logarithmes sont indiqués avec quatre ou cinq décimales, bien qu'il existe des tableaux à sept chiffres et des tableaux avec un nombre encore plus grand de caractères. Le moyen le plus simple d’apprendre à utiliser de tels tableaux consiste à utiliser des exemples. Pour trouver log3,59, on remarque tout d'abord que le nombre 3,59 est compris entre 10 0 et 10 1, donc sa caractéristique est 0. On retrouve le nombre 35 (à gauche) dans le tableau et on se déplace le long de la ligne jusqu'à la colonne qui porte le chiffre 9 en haut ; l'intersection de cette colonne et de la ligne 35 est 5551, donc log3,59 = 0,5551. Trouver la mantisse d'un nombre avec quatre chiffres significatifs, il faut recourir à l'interpolation. Dans certains tableaux, l'interpolation est facilitée par les proportions données dans les neuf dernières colonnes du côté droit de chaque page des tableaux. Trouvons maintenant log736.4 ; le nombre 736,4 est compris entre 10 2 et 10 3, donc la caractéristique de son logarithme est 2. Dans le tableau on trouve une ligne à gauche de laquelle se trouve 73 et la colonne 6. A l'intersection de cette ligne et de cette colonne il y a le nombre 8669. Parmi les parties linéaires on trouve la colonne 4 . A l'intersection de la ligne 73 et de la colonne 4 se trouve le nombre 2. En ajoutant 2 à 8669, on obtient la mantisse - elle est égale à 8671. Ainsi, log736.4 = 2,8671.

Logarithmes naturels.

Les tableaux et propriétés des logarithmes naturels sont similaires aux tableaux et propriétés des logarithmes ordinaires. La principale différence entre les deux est que la partie entière du logarithme naturel n'est pas significative pour déterminer la position. point décimal, et donc la différence entre la mantisse et la caractéristique ne joue pas de rôle particulier. Logarithmes naturels des nombres 5,432 ; 54,32 et 543,2 sont respectivement égaux à 1,6923 ; 3.9949 et 6.2975. La relation entre ces logarithmes deviendra évidente si l'on considère les différences entre eux : log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026 ; dernier numéro n'est rien de plus que le logarithme népérien du nombre 10 (écrit ainsi : ln10) ; log543,2 – log5,432 = 4,6052 ; le dernier nombre est 2ln10. Mais 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Ainsi, par le logarithme naturel d'un nombre donné un vous pouvez trouver des logarithmes naturels de nombres, égal aux produits Nombres un pour n'importe quel diplôme n nombres 10 si à ln un ajouter ln10 multiplié par n, c'est-à-dire ln( unґ10n) = journal un + n ln10 = ln un + 2,3026n. Par exemple, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Par conséquent, les tableaux de logarithmes naturels, comme les tableaux de logarithmes ordinaires, ne contiennent généralement que des logarithmes de nombres de 1 à 10. Dans le système des logarithmes naturels, on peut parler d'antilogarithmes, mais le plus souvent ils parlent d'une fonction exponentielle ou d'un exposant. Si x= journal oui, Que oui = ex, Et oui appelé l'exposant de x(pour des raisons de commodité typographique, ils écrivent souvent oui= exp x). L'exposant joue le rôle de l'antilogarithme du nombre x.

À l'aide de tableaux de logarithmes décimaux et naturels, vous pouvez créer des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle base autre que 10 et e. Si journal b un = x, Que bx = un, et donc journaliser c b x=journal c un ou x enregistrer cb=journal c un, ou x=journal c un/enregistrer cb=journal b un. Par conséquent, en utilisant cette formule d'inversion de la table du logarithme de base c vous pouvez construire des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle autre base b. Multiplicateur 1/log cb appelé module de transition de la base cà la base b. Rien n'empêche, par exemple, d'utiliser la formule d'inversion ou de passage d'un système de logarithmes à un autre, de retrouver des logarithmes naturels à partir du tableau des logarithmes ordinaires ou d'effectuer la transition inverse. Par exemple, log105.432 = journal e 5,432/journal e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Le nombre 0,4343, par lequel le logarithme népérien d'un nombre donné doit être multiplié pour obtenir un logarithme ordinaire, est le module de transition vers le système des logarithmes ordinaires.

Tableaux spéciaux.

Les logarithmes ont été inventés à l'origine pour qu'en utilisant leurs propriétés, ils enregistrent ab=journal un+journal b et connectez-vous un/b=journal un-enregistrer b, transformez les produits en sommes et les quotients en différences. En d'autres termes, si le journal un et connectez-vous b sont connus, alors en utilisant l'addition et la soustraction, nous pouvons facilement trouver le logarithme du produit et le quotient. Mais en astronomie, il est souvent valeurs données enregistrer un et connectez-vous b besoin de trouver le journal ( un + b) ou journal( un – b). Bien sûr, on pourrait d'abord trouver à partir de tables de logarithmes un Et b, puis effectuez l'addition ou la soustraction indiquée et, en vous référant à nouveau aux tableaux, trouvez les logarithmes requis, mais une telle procédure nécessiterait de se référer aux tableaux trois fois. Z. Leonelli a publié en 1802 des tableaux de ce qu'on appelle. Logarithmes gaussiens– des logarithmes pour additionner des sommes et des différences – qui permettaient de se limiter à un seul accès aux tableaux.

En 1624, I. Kepler propose des tableaux logarithmes proportionnels, c'est-à-dire logarithmes de nombres un/x, Où un– du positif constante. Ces tables sont principalement utilisées par les astronomes et les navigateurs.

Logarithmes proportionnels à un= 1 sont appelés cologarithmes et sont utilisés dans les calculs lorsqu'il faut traiter des produits et des quotients. Cologarithme d'un nombre n égal au logarithme numéro réciproque; ceux. Cologne n= journal1/ n= – journal n. Si log2 = 0,3010, alors colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. L'avantage d'utiliser des cologarithmes est que lors du calcul de la valeur du logarithme d'expressions comme pq/r log triple somme de décimales positives p+journal q+colog r est plus facile à trouver que le journal de la somme et de la différence mélangées p+journal q-enregistrer r.

Histoire.

Le principe qui sous-tend tout système de logarithmes est connu depuis très longtemps et remonte aux anciennes mathématiques babyloniennes (environ 2000 avant JC). A cette époque, l'interpolation entre valeurs du tableau entier degrés positifs des nombres entiers ont été utilisés pour calculer les intérêts composés. Bien plus tard, Archimède (287-212 av. J.-C.) utilisa les pouvoirs de 10 8 pour trouver limite supérieure le nombre de grains de sable nécessaires pour remplir complètement l’Univers alors connu. Archimède a attiré l'attention sur la propriété des exposants qui est à la base de l'efficacité des logarithmes : le produit des puissances correspond à la somme des exposants. À la fin du Moyen Âge et au début de l’ère moderne, les mathématiciens se sont de plus en plus intéressés à la relation entre les progressions géométriques et arithmétiques. M. Stiefel dans son essai Arithmétique entière(1544) a donné un tableau des puissances positives et négatives du nombre 2 :

Stiefel a remarqué que la somme des deux nombres de la première rangée (la rangée des exposants) est égale à l'exposant de deux correspondant au produit des deux nombres correspondants de la rangée du bas (la rangée des exposants). En relation avec ce tableau, Stiefel a formulé quatre règles équivalentes à quatre règles modernes opérations sur les exposants ou quatre règles pour les opérations sur les logarithmes : la somme de la ligne du haut correspond au produit de la ligne du bas ; la soustraction sur la ligne du haut correspond à la division sur la ligne du bas ; la multiplication sur la ligne du haut correspond à l'exponentiation sur la ligne du bas ; la division sur la ligne du haut correspond à l'enracinement sur la ligne du bas.

Apparemment, des règles similaires à celles de Stiefel ont conduit J. Naper à introduire formellement le premier système de logarithmes dans son travail. Description de l'étonnante table des logarithmes, publié en 1614. Mais les pensées de Napier étaient occupées par le problème de la conversion des produits en sommes depuis que, plus de dix ans avant la publication de son ouvrage, Napier reçut du Danemark des nouvelles selon lesquelles, à l'Observatoire Tycho Brahe, ses assistants disposaient d'une méthode qui permettait de il est possible de convertir des produits en sommes. La méthode discutée dans le message reçu par Napier était basée sur l'utilisation de formules trigonométriques comme

donc les tableaux de Naper étaient principalement constitués de logarithmes fonctions trigonométriques. Bien que la notion de base n'ait pas été explicitement incluse dans la définition proposée par Napier, le rôle équivalent à la base du système de logarithmes dans son système était joué par le nombre (1 – 10 –7)ґ10 7, approximativement égal à 1/ e.

Indépendamment de Naper et presque simultanément avec lui, un système de logarithmes, de type assez similaire, fut inventé et publié par J. Bürgi à Prague, publié en 1620. Tableaux de progression arithmétique et géométrique. Il s'agissait de tableaux d'antilogarithmes à la base (1 + 10 –4) ґ10 4, une assez bonne approximation du nombre e.

Dans le système Naper, le logarithme du nombre 10 7 était considéré comme nul et, à mesure que les nombres diminuaient, les logarithmes augmentaient. Lorsque G. Briggs (1561-1631) visita Napier, tous deux s'accordèrent sur le fait qu'il serait plus pratique d'utiliser le nombre 10 comme base et de prendre le logarithme de un. égal à zéro. Ensuite, à mesure que les nombres augmentaient, leurs logarithmes augmentaient. Nous avons donc système moderne logarithmes décimaux, dont Briggs a publié un tableau dans son ouvrage Arithmétique logarithmique(1620). Logarithmes à la base e, bien que pas exactement ceux introduits par Naper, sont souvent appelés Naper. Les termes « caractéristique » et « mantisse » ont été proposés par Briggs.

Premiers logarithmes en vigueur raisons historiques utilisé des approximations des nombres 1/ e Et e. Un peu plus tard, l'idée des logarithmes naturels a commencé à être associée à l'étude des aires sous une hyperbole xy= 1 (Fig.1). Au 17ème siècle il a été montré que l'aire délimitée par cette courbe, l'axe x et les ordonnées x= 1 et x = un(sur la figure 1, cette zone est couverte de points plus épais et clairsemés) augmente en progression arithmétique, Quand un augmente dans progression géométrique. C'est précisément cette dépendance qui apparaît dans les règles d'opérations avec exposants et logarithmes. Cela a donné lieu à l’appellation de logarithmes napériens de « logarithmes hyperboliques ».

Fonction logarithmique.

Il fut un temps où les logarithmes étaient considérés uniquement comme un moyen de calcul, mais au XVIIIe siècle, principalement grâce aux travaux d'Euler, le concept s'est formé. fonction logarithmique. Graphique d'une telle fonction oui= journal x, dont les ordonnées augmentent selon une progression arithmétique, tandis que les abscisses augmentent selon une progression géométrique, est présentée sur la Fig. 2, UN. Graphique d'une fonction inverse ou exponentielle y = ex, dont les ordonnées augmentent en progression géométrique, et dont les abscisses augmentent en progression arithmétique, sont présentées respectivement sur la Fig. 2, b. (Courbes oui=journal x Et oui = 10x forme similaire aux courbes oui= journal x Et oui = ex.) Des définitions alternatives de la fonction logarithmique ont également été proposées, par ex.

kpi ; et, de même, les logarithmes naturels du nombre -1 sont nombres complexes types (2 k + 1)pi, Où k– un entier. Des déclarations similaires sont vraies pour les logarithmes généraux ou d’autres systèmes de logarithmes. De plus, la définition des logarithmes peut être généralisée en utilisant les identités d'Euler pour inclure les logarithmes complexes de nombres complexes.

Une définition alternative d'une fonction logarithmique est fournie par l'analyse fonctionnelle. Si f(x) – fonction continue nombre réel x, ayant les trois propriétés suivantes : f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (toi) + f (v), Que f(x) est défini comme le logarithme du nombre x basé sur b. Cette définition présente de nombreux avantages par rapport à la définition donnée au début de cet article.

Applications.

Les logarithmes étaient à l'origine utilisés uniquement pour simplifier les calculs, et cette application est toujours l'une des plus importantes. Le calcul des produits, des quotients, des puissances et des racines est facilité non seulement par la large disponibilité de tableaux de logarithmes publiés, mais également par l'utilisation de ce qu'on appelle. règle à calcul– un outil de calcul dont le principe de fonctionnement repose sur les propriétés des logarithmes. La règle est équipée d'échelles logarithmiques, c'est-à-dire distance du numéro 1 à n'importe quel numéro x choisi pour être égal à log x; En décalant une échelle par rapport à une autre, il est possible de tracer les sommes ou différences de logarithmes, ce qui permet de lire directement sur l'échelle les produits ou quotients des nombres correspondants. Profitez de la représentation des nombres dans forme logarithmique permet, etc. papier logarithmique pour tracer des graphiques (papier sur lequel sont imprimées des échelles logarithmiques sur les deux axes de coordonnées). Si une fonction satisfait une loi de puissance de la forme y = kxn, alors elle graphique logarithmique ressemble à une ligne droite, parce que enregistrer oui=journal k + n enregistrer x– équation linéaire par rapport au log oui et connectez-vous x. Au contraire, si le graphique logarithmique d’une dépendance fonctionnelle ressemble à une ligne droite, alors cette dépendance est une dépendance en puissance. Papier semilogarithmique (dans lequel l'axe des ordonnées a échelle logarithmique, et l'axe des abscisses est une échelle uniforme) est pratique dans les cas où il est nécessaire d'identifier des fonctions exponentielles. Équations de la forme y = kb rx survenir chaque fois qu'une certaine quantité, telle que la population, la quantité matière radioactive ou le solde bancaire, diminue ou augmente à un taux proportionnel aux fonds disponibles à l'heure actuelle nombre d'habitants, substance radioactive ou de l'argent. Si une telle dépendance est tracée sur du papier semi-logarithmique, le graphique ressemblera à une ligne droite.

La fonction logarithmique apparaît en relation avec une grande variété de formes naturelles. Les fleurs des inflorescences de tournesol sont disposées en spirales logarithmiques et les coquilles de mollusques sont tordues. Nautile, cornes de moutons de montagne et becs de perroquets. Toutes ces formes naturelles peuvent servir d'exemples d'une courbe connue sous le nom de spirale logarithmique car dans système polaire coordonnées, son équation a la forme r = aebq, ou ln r= journal un + bq. Une telle courbe est décrite par un point mobile dont la distance au pôle augmente en progression géométrique, et l'angle décrit par son rayon vecteur augmente en progression arithmétique. L'omniprésence d'une telle courbe, et donc de la fonction logarithmique, est bien illustrée par le fait qu'elle apparaît dans des directions aussi lointaines et complètement divers domaines, comme le contour d'une came excentrique et la trajectoire de quelques insectes volant vers la lumière.