Transformations et recherche de valeurs d'expressions logarithmiques. Conversion d'expressions à l'aide des propriétés des logarithmes, des exemples et des solutions

Lors de la conversion d'expressions avec des logarithmes, les égalités répertoriées sont utilisées à la fois de droite à gauche et de gauche à droite.

Il est à noter qu'il n'est pas nécessaire de mémoriser les conséquences des propriétés : lors de la réalisation de transformations, on peut se débrouiller avec les propriétés de base des logarithmes et d'autres faits (par exemple, le fait que pour b≥0), d'où les conséquences correspondantes s’ensuivent. " Effet secondaire"Cette approche ne se manifeste que par le fait que la solution sera un peu plus longue. Par exemple, pour se passer de la conséquence, qui s'exprime par la formule , et en partant uniquement des propriétés de base des logarithmes, vous devrez effectuer une chaîne de transformations de la forme suivante : .

La même chose peut être dite à propos de la dernière propriété de la liste ci-dessus, à laquelle répond la formule , puisqu'il découle également des propriétés fondamentales des logarithmes. L'essentiel est de comprendre qu'il y a toujours une opportunité d'obtenir un diplôme nombre positif avec un logarithme dans l'exposant, échangez la base de la puissance et le nombre sous le signe du logarithme. Pour être juste, notons que les exemples impliquant la mise en œuvre de transformations de ce type sont rares dans la pratique. Nous donnerons quelques exemples ci-dessous dans le texte.

Conversion d'expressions numériques avec des logarithmes

Nous avons rappelé les propriétés des logarithmes, il est maintenant temps d’apprendre à les appliquer concrètement pour transformer des expressions. Il est naturel de commencer par convertir des expressions numériques plutôt que des expressions avec des variables, car elles sont plus pratiques et plus faciles à apprendre les bases. C'est ce que nous ferons, et nous commencerons par un très exemples simples, pour apprendre à choisir la propriété souhaitée du logarithme, mais nous complexifierons progressivement les exemples, jusqu'au point où, pour obtenir résultat final vous devrez appliquer plusieurs propriétés à la suite.

Sélection de la propriété souhaitée des logarithmes

Il existe de nombreuses propriétés des logarithmes, et il est clair que vous devez être capable de choisir celle qui convient, ce qui dans ce cas particulier conduira au résultat souhaité. Habituellement, cela n'est pas difficile à faire en comparant le type de logarithme ou d'expression converti avec les types de parties gauche et droite des formules exprimant les propriétés des logarithmes. Si le côté gauche ou droit de l'une des formules coïncide avec un logarithme ou une expression donné, alors, très probablement, c'est cette propriété qui doit être utilisée lors de la transformation. Les exemples suivants cela est clairement démontré.

Commençons par des exemples de transformation d'expressions utilisant la définition d'un logarithme, qui correspond à la formule a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Exemple.

Calculez, si possible : a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Solution.

Dans l'exemple sous la lettre a), la structure a log a b est clairement visible, où a=5, b=4. Ces nombres satisfont aux conditions a>0, a≠1, b>0, vous pouvez donc utiliser en toute sécurité l'égalité a log a b =b. Nous avons 5 log 5 4=4 .

b) Ici a=10, b=1+2·π, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies. Dans ce cas, l'égalité 10 log(1+2·π) =1+2·π a lieu.

c) Et dans cet exemple nous avons affaire à un degré de la forme a log a b, où et b=ln15. Donc .

Bien qu'appartenant au même type a log a b (ici a=2, b=−7), l'expression sous la lettre g) ne peut pas être convertie à l'aide de la formule a log a b =b. La raison en est qu’il n’a aucun sens car il contient un nombre négatif sous le signe du logarithme. De plus, le nombre b=−7 ne vérifie pas la condition b>0, ce qui rend impossible le recours à la formule a log a b =b, puisqu'elle nécessite la réalisation des conditions a>0, a≠1, b> 0. On ne peut donc pas parler de calculer la valeur de 2 log 2 (−7) . Dans ce cas, écrire 2 log 2 (−7) =−7 serait une erreur.

De même, dans l'exemple sous la lettre e), il est impossible de donner une solution de la forme , puisque l'expression originale n'a pas de sens.

Répondre:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) les expressions n’ont pas de sens.

Une transformation est souvent utile dans laquelle un nombre positif est représenté comme une puissance d'un nombre positif et non unité avec un logarithme dans l'exposant. Il est basé sur la même définition du logarithme a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, mais la formule s'applique de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme b=a log a b . Par exemple, 3=e ln3 ou 5=5 log 5 5 .

Passons à l'utilisation des propriétés des logarithmes pour transformer des expressions.

Exemple.

Trouvez la valeur de l'expression : a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Solution.

Dans les exemples sous les lettres a), b) et c) sont données les expressions log −2 1, log 1 1, log 0 1, qui n'ont pas de sens, puisque la base du logarithme ne doit pas contenir de nombre négatif, zéro ou un, car nous avons défini le logarithme uniquement pour une base positive et différente de l'unité. Par conséquent, dans les exemples a) à c), il ne peut être question de trouver le sens de l'expression.

Dans toutes les autres tâches, évidemment, les bases des logarithmes contiennent respectivement des nombres positifs et non unitaires 7, e, 10, 3,75 et 5·π 7, et sous les signes des logarithmes il y a des unités partout. Et nous connaissons la propriété du logarithme de l'unité : log a 1=0 pour tout a>0, a≠1. Ainsi, les valeurs des expressions b) – e) sont égales à zéro.

Répondre:

a), b), c) les expressions n'ont pas de sens, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Exemple.

Calculer : a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Solution.

Il est clair qu'il faut utiliser la propriété du logarithme de la base, qui correspond à la formule log a a=1 pour a>0, a≠1. En effet, dans les tâches sous toutes les lettres, le nombre sous le signe du logarithme coïncide avec sa base. Ainsi, je voudrais immédiatement dire que la valeur de chacune des expressions données est 1. Cependant, il ne faut pas se précipiter pour tirer des conclusions : dans les tâches sous les lettres a) - d) les valeurs des expressions sont vraiment égales à un, et dans les tâches e) et f) les expressions originales n'ont pas de sens, donc il On ne peut pas dire que les valeurs de ces expressions soient égales à 1.

Répondre:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) les expressions n’ont pas de sens.

Exemple.

Trouvez la valeur : a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Solution.

Évidemment, sous les signes des logarithmes se trouvent certaines puissances de la base. Sur cette base, nous comprenons qu'ici nous aurons besoin de la propriété du degré de la base : log a a p =p, où a>0, a≠1 et p est quelconque nombre réel. En tenant compte de cela, nous avons les résultats suivants : a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Est-il possible d'écrire une égalité similaire pour l'exemple sous la lettre d) de la forme log −10 (−10) 6 =6 ? Non, vous ne pouvez pas, car l'expression log −10 (−10) 6 n'a aucun sens.

Répondre:

a) journal 3 3 11 =11, b) , V) , d) l'expression n'a pas de sens.

Exemple.

Présentez l’expression comme une somme ou une différence de logarithmes en utilisant la même base : a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Solution.

a) Sous le signe du logarithme il y a un produit, et on connaît la propriété du logarithme du produit log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Dans notre cas, le nombre dans la base du logarithme et les nombres dans le produit sont positifs, c'est-à-dire qu'ils satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée, nous pouvons donc l'appliquer en toute sécurité : .

b) Nous utiliserons ici la propriété du logarithme quotient, où a>0, a≠1, x>0, y>0. Dans notre cas, la base du logarithme est un nombre positif e, le numérateur et le dénominateur π sont positifs, ce qui signifie qu'ils satisfont aux conditions de la propriété, nous avons donc le droit d'utiliser la formule choisie : .

c) Tout d'abord, notons que l'expression log((−5)·(−12)) a du sens. Mais en même temps, pour cela nous n'avons pas le droit d'appliquer la formule du logarithme du produit log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, puisque les nombres sont −5 et −12 – négatifs et ne satisfont pas aux conditions x>0, y>0. Autrement dit, vous ne pouvez pas effectuer une telle transformation : log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Alors que devons-nous faire ? Dans de tels cas, l’expression originale nécessite une transformation préalable pour éviter les nombres négatifs. À propos cas similaires Nous aborderons en détail la transformation des expressions avec des nombres négatifs sous le signe du logarithme dans une des pages, mais pour l'instant nous donnerons une solution à cet exemple, clair d'avance et sans explication : log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Répondre:

UN) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Exemple.

Simplifiez l'expression : a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Solution.

Ici, nous serons aidés par toutes les mêmes propriétés du logarithme du produit et du logarithme du quotient que nous avons utilisées dans les exemples précédents, seulement maintenant nous les appliquerons de droite à gauche. Autrement dit, nous transformons la somme des logarithmes en logarithme du produit et la différence des logarithmes en logarithme du quotient. Nous avons
UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Répondre:

UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemple.

Débarrassez-vous du degré sous le signe du logarithme : a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Solution.

Il est facile de voir que nous avons affaire à des expressions de la forme log a b p . La propriété correspondante du logarithme a la forme log a b p =p·log a b, où a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, si les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies, à partir du logarithme de la puissance log a b p nous pouvons passer au produit p·log a b. Réalisons cette transformation avec les expressions données.

a) Dans ce cas a=0,7, b=5 et p=11. Donc log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Ici, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont satisfaites. C'est pourquoi

c) L'expression log 3 (−5) 6 a la même structure log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mais pour b la condition b>0 n'est pas satisfaite, ce qui rend impossible l'utilisation de la formule log a b p =p·log a b . Et alors, vous n’arrivez pas à faire face à la tâche ? C'est possible, mais une transformation préalable de l'expression est nécessaire, dont nous parlerons en détail ci-dessous dans le paragraphe sous le titre. La solution sera la suivante : log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Répondre:

une) journal 0,7 5 11 =11 journal 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

Bien souvent, lors de transformations, il faut appliquer la formule du logarithme d'une puissance de droite à gauche sous la forme p·log a b=log a b p (les mêmes conditions doivent être remplies pour a, b et p). Par exemple, 3·ln5=ln5 3 et log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Exemple.

a) Calculez la valeur de log 2 5 si l'on sait que log2≈0,3010 et log5≈0,6990. b) Exprime la fraction sous forme de logarithme en base 3.

Solution.

a) La formule de transition vers une nouvelle base de logarithme permet de représenter ce logarithme sous forme de rapport logarithmes décimaux, dont les significations nous sont connues : . Il ne reste plus qu'à effectuer les calculs, il nous reste .

b) Ici, il suffit d'utiliser la formule de déplacement vers une nouvelle base et de l'appliquer de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme . Nous obtenons .

Répondre:

une) journal 2 5≈2,3223, b) .

A ce stade, nous avons soigneusement étudié la transformation des éléments les plus expressions simples en utilisant les propriétés de base des logarithmes et la définition d'un logarithme. Dans ces exemples, nous devions appliquer une propriété et rien de plus. Maintenant avec bonne conscience vous pouvez passer à des exemples dont la transformation nécessite l'utilisation de plusieurs propriétés de logarithmes et autres transformations supplémentaires. Nous les traiterons dans le paragraphe suivant. Mais avant cela, examinons brièvement des exemples d’application des conséquences des propriétés fondamentales des logarithmes.

Exemple.

a) Débarrassez-vous de la racine sous le signe du logarithme. b) Convertissez la fraction en logarithme base 5. c) Libérez-vous des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base. d) Calculer la valeur de l'expression . e) Remplacez l’expression par une puissance de base 3.

Solution.

a) Si l'on rappelle le corollaire de la propriété du logarithme du degré , alors vous pouvez immédiatement donner la réponse : .

b) Ici, nous utilisons la formule de droite à gauche, nous avons .

c)B dans ce cas le résultat est donné par la formule . Nous obtenons .

d) Et ici il suffit d'appliquer le corollaire auquel correspond la formule . Donc .

e) Propriété du logarithme nous permet d’atteindre le résultat souhaité : .

Répondre:

UN) . b) . V) . g) . d) .

Appliquer consécutivement plusieurs propriétés

Les tâches réelles de transformation d'expressions utilisant les propriétés des logarithmes sont généralement plus compliquées que celles que nous avons traitées dans le paragraphe précédent. En règle générale, le résultat n'est pas obtenu en une seule étape, mais la solution consiste déjà en l'application séquentielle d'une propriété après l'autre, ainsi que des transformations identiques supplémentaires, telles que l'ouverture de parenthèses, la conversion termes similaires, fractions réductrices, etc. Rapprochons-nous donc de tels exemples. Il n'y a rien de compliqué à cela, l'essentiel est d'agir avec prudence et cohérence, en respectant l'ordre des actions.

Exemple.

Calculer la valeur d'une expression (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Solution.

La différence entre les logarithmes entre parenthèses, selon la propriété du logarithme quotient, peut être remplacée par le logarithme log 3 (15:5), puis calculer sa valeur log 3 (15:5)=log 3 3=1. Et la valeur de l'expression 7 log 7 5 par définition d'un logarithme est égale à 5. En substituant ces résultats dans l'expression originale, nous obtenons (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Voici une solution sans explication :
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Répondre:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemple.

Quelle est la valeur de l’expression numérique log 3 log 2 2 3 −1 ?

Solution.

On transforme d'abord le logarithme sous le signe du logarithme en utilisant la formule du logarithme de la puissance : log 2 2 3 =3. Ainsi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 puis log 3 3=1. Donc log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Répondre:

journal 3 journal 2 2 3 −1=0 .

Exemple.

Simplifiez l'expression.

Solution.

La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet de représenter le rapport des logarithmes à une base sous la forme log 3 5. Dans ce cas, l'expression originale prendra la forme . Par définition du logarithme 3 log 3 5 =5, soit , et la valeur de l'expression résultante, en vertu de la même définition du logarithme, est égale à deux.

Ici version courte solutions, qui sont généralement données : .

Répondre:

Pour passer en douceur aux informations du paragraphe suivant, examinons les expressions 5 2+log 5 3 et log0.01 . Leur structure ne correspond à aucune des propriétés des logarithmes. Alors que se passe-t-il, ils ne peuvent pas être convertis en utilisant les propriétés des logarithmes ? C'est possible si vous effectuez des transformations préliminaires qui préparent ces expressions à l'application des propriétés des logarithmes. Donc 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, et log0,01=log10 −2 =−2. Nous verrons ensuite en détail comment cette préparation d’expression est effectuée.

Préparation d'expressions pour utiliser les propriétés des logarithmes

Les logarithmes dans l'expression convertie diffèrent très souvent par la structure de la notation des parties gauche et droite des formules correspondant aux propriétés des logarithmes. Mais non moins souvent, la transformation de ces expressions implique l'utilisation des propriétés des logarithmes : pour les utiliser, il suffit préparation préliminaire. Et cette préparation consiste à réaliser certaines transformations identitaires, apportant aux logarithmes une forme pratique pour appliquer les propriétés.

Pour être juste, notons que presque toutes les transformations d'expressions peuvent agir comme des transformations préliminaires, depuis la réduction banale de termes similaires jusqu'à l'application formules trigonométriques. Cela est compréhensible, puisque les expressions converties peuvent contenir n'importe quel objet mathématique : parenthèses, modules, fractions, racines, puissances, etc. Ainsi, il faut être prêt à effectuer toute transformation nécessaire afin de pouvoir profiter davantage des propriétés des logarithmes.

Disons d'emblée qu'à ce stade nous ne nous fixons pas pour tâche de classer et d'analyser toutes les transformations préliminaires imaginables qui permettraient d'appliquer ultérieurement les propriétés des logarithmes ou la définition d'un logarithme. Nous nous concentrerons ici sur quatre d’entre eux, qui sont les plus typiques et les plus souvent rencontrés dans la pratique.

Et maintenant sur chacun d'eux en détail, après quoi, dans le cadre de notre sujet, il ne reste plus qu'à comprendre la transformation des expressions à variables sous les signes des logarithmes.

Identification des puissances sous le signe du logarithme et à sa base

Commençons tout de suite par un exemple. Ayons un logarithme. Évidemment, sous cette forme, sa structure n’est pas propice à l’utilisation des propriétés des logarithmes. Est-il possible de convertir d'une manière ou d'une autre cette expression pour le simplifier, ou mieux encore, calculer sa valeur ? Pour répondre à cette question, regardons de plus près les nombres 81 et 1/9 dans le contexte de notre exemple. Ici, il est facile de remarquer que ces nombres peuvent être représentés comme une puissance de 3, en effet 81 = 3 4 et 1/9 = 3 −2. Dans ce cas, le logarithme original est présenté sous la forme et il devient possible d'appliquer la formule . Donc, .

L'analyse de l'exemple analysé donne lieu à la réflexion suivante : si possible, on peut essayer d'isoler le degré sous le signe du logarithme et dans sa base afin d'appliquer la propriété du logarithme du degré ou ses conséquences. Il ne reste plus qu'à comprendre comment distinguer ces diplômes. Donnons quelques recommandations sur cette question.

Parfois, il est tout à fait évident que le nombre sous le signe du logarithme et/ou dans sa base représente une puissance entière, comme dans l’exemple évoqué ci-dessus. Nous sommes presque constamment confrontés à des puissances de deux, qui nous sont bien familières : 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512=2 9, 1024=2 10. On peut en dire autant des puissances de trois : 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... En général, ça ne fera pas de mal si vous avez sous les yeux table des degrés nombres naturels dans une douzaine. Il n’est pas non plus difficile de travailler avec des puissances entières de dix, cent, mille, etc.

Exemple.

Calculez la valeur ou simplifiez l'expression : a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Solution.

a) Évidemment, 216=6 3, donc log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Le tableau des puissances des nombres naturels permet de représenter les nombres 343 et 1/243 comme des puissances 7 3 et 3 −4, respectivement. La transformation suivante d’un logarithme donné est donc possible :

c) Puisque 0,000001=10 −6 et 0,001=10 −3, alors log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Répondre:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

En plus cas difficiles pour distinguer les puissances des nombres, il faut recourir à .

Exemple.

Convertir l'expression en plus vue simple journal 3 648 journal 2 3 .

Solution.

Voyons en quoi consiste la décomposition du nombre 648 facteurs premiers:

Autrement dit, 648=2 3 ·3 4. Ainsi, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Maintenant, nous convertissons le logarithme du produit en la somme des logarithmes, après quoi nous appliquons les propriétés du logarithme de la puissance :
journal 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

En vertu d'un corollaire de la propriété du logarithme de la puissance, qui correspond à la formule , le produit log32·log23 est le produit de , et, comme on le sait, il est égal à un. En tenant compte de cela, on obtient 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Répondre:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Très souvent, les expressions sous le signe du logarithme et dans sa base représentent des produits ou des rapports de racines et/ou des puissances de certains nombres, par exemple , . Expressions similaires peut être exprimé sous forme de diplôme. Pour ce faire, une transition est effectuée des racines vers les puissances, et et sont utilisées. Ces transformations permettent d'isoler les puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, puis d'appliquer les propriétés des logarithmes.

Exemple.

Calculer : a) , b) .

Solution.

a) L'expression dans la base du logarithme est le produit de puissances avec pour les mêmes raisons, Par propriété correspondante nous avons des diplômes 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Transformons maintenant la fraction sous le signe du logarithme : on passera de la racine à la puissance, après quoi on utilisera la propriété du rapport des puissances de mêmes bases : .

Il reste à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale, utiliser la formule et terminez la transformation :

b) Puisque 729 = 3 6 et 1/9 = 3 −2, l'expression originale peut être réécrite comme .

Ensuite, nous appliquons la propriété de la racine d'une puissance, passons de la racine à la puissance et utilisons la propriété du rapport des puissances pour convertir la base du logarithme en puissance : .

Considérant dernier résultat, nous avons .

Répondre:

UN) , b) .

Il est clair que dans cas général pour obtenir des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, diverses transformations peuvent être nécessaires diverses expressions. Donnons quelques exemples.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression : a) , b) .

Solution.

Nous notons en outre que l'expression donnée a la forme log A B p , où A=2, B=x+1 et p=4. Expressions numériques Nous avons transformé ce type selon la propriété du logarithme de la puissance log a b p =p·log a b , donc avec l'expression donnée je veux faire de même, et passer de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1) . Calculons maintenant la valeur de l'expression d'origine et de l'expression obtenue après la transformation, par exemple lorsque x=−2. On a log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , et 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- une expression dénuée de sens. Cela soulève une question logique : « Qu’avons-nous fait de mal ?

Et la raison est la suivante : nous avons effectué la transformation log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , basée sur la formule log a b p =p·log a b , mais cette formule nous n'avons le droit de postuler que si les conditions sont remplies : a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, la transformation que nous avons effectuée a lieu si x+1>0, ce qui équivaut à x>−1 (pour A et p, les conditions sont remplies). Cependant, dans notre cas, l'ODZ de la variable x pour l'expression originale est constitué non seulement de l'intervalle x>−1, mais aussi de l'intervalle x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

La nécessité de prendre en compte DL

Continuons à analyser la transformation de l'expression que nous avons choisie log 2 (x+1) 4 , et voyons maintenant ce qui arrive à l'ODZ en passant à l'expression 4 · log 2 (x+1) . Dans le paragraphe précédent, nous avons trouvé l'ODZ de l'expression originale - c'est l'ensemble (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Trouvons maintenant la plage de valeurs acceptables de la variable x pour l'expression 4·log 2 (x+1) . Il est déterminé par la condition x+1>0, qui correspond à l'ensemble (−1, +∞). Il est évident qu'en passant de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1), la plage des valeurs admissibles se rétrécit. Et nous avons convenu d'éviter les transformations qui conduisent à un rétrécissement du DL, car cela peut entraîner diverses conséquences négatives.

Ici, il convient de noter par vous-même qu'il est utile de contrôler l'OA à chaque étape de la transformation et d'éviter son rétrécissement. Et si soudainement, à un moment donné de la transformation, il y avait un rétrécissement du DL, alors il vaut la peine d'examiner très attentivement si cette transformation est autorisée et si nous avions le droit de la réaliser.

Pour être juste, disons qu'en pratique, nous devons généralement travailler avec des expressions dans lesquelles l'ODZ des variables est telle que, lors de la réalisation de transformations, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes sans restrictions sous la forme déjà connue, tant de de gauche à droite et de droite à gauche. On s'y habitue vite, et on commence à effectuer des transformations mécaniquement, sans se demander s'il était possible de les réaliser. Et à de tels moments, comme par hasard, des exemples plus complexes apparaissent dans lesquels une application imprudente des propriétés des logarithmes conduit à des erreurs. Il faut donc toujours être vigilant et s'assurer qu'il n'y a pas de rétrécissement de l'ODZ.

Il ne ferait pas de mal de mettre en évidence séparément les principales transformations basées sur les propriétés des logarithmes, qui doivent être effectuées avec beaucoup de soin, ce qui peut conduire à un rétrécissement de la DO, et par conséquent, à des erreurs :

Certaines transformations d'expressions basées sur les propriétés des logarithmes peuvent également conduire à l'inverse : l'expansion de l'ODZ. Par exemple, la transition de 4·log 2 (x+1) à log 2 (x+1) 4 étend l'ODZ de l'ensemble (−1, +∞) à (−∞, −1)∪(−1, +∞) . De telles transformations ont lieu si l'on reste dans le cadre de l'ODZ pour l'expression originelle. Ainsi, la transformation que nous venons de mentionner 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 a lieu sur l'ODZ de la variable x pour l'expression originale 4·log 2 (x+1), c'est-à-dire pour x+1> 0, ce qui équivaut à (−1, +∞).

Maintenant que nous avons discuté des nuances auxquelles vous devez faire attention lors de la transformation d'expressions avec des variables en utilisant les propriétés des logarithmes, il reste à comprendre comment effectuer correctement ces transformations.

X+2>0 . Est-ce que ça marche dans notre cas ? Pour répondre à cette question, regardons l'ODZ de la variable x. Il est déterminé par le système d'inégalités , ce qui équivaut à la condition x+2>0 (si nécessaire, voir l'article résoudre des systèmes d’inégalités). Ainsi, nous pouvons appliquer en toute sécurité la propriété du logarithme de la puissance.

Nous avons
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Vous pouvez agir différemment, puisque l'ODZ vous permet de faire cela, par exemple comme ceci :

Répondre:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Mais que faire lorsque les conditions accompagnant les propriétés des logarithmes ne sont pas remplies sur l'ODZ ? Nous comprendrons cela avec des exemples.

Soit obligé de simplifier l'expression log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . La transformation de cette expression, contrairement à l'expression de l'exemple précédent, ne permet pas d'utiliser librement la propriété du logarithme de la puissance. Pourquoi? L'ODZ de la variable x dans ce cas est l'union de deux intervalles x>−2 et x<−2 . При x>−2 on peut facilement appliquer la propriété du logarithme d'une puissance et agir comme dans l'exemple ci-dessus : log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Mais l'ODZ contient un intervalle supplémentaire x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 et en outre en raison des propriétés du degré k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. L'expression résultante peut être transformée en utilisant la propriété du logarithme d'une puissance, puisque |x+2|>0 pour toute valeur de la variable. Nous avons journal|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Vous pouvez désormais vous libérer du module, puisqu'il a fait son travail. Puisque l'on effectue la transformation en x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Regardons un autre exemple pour que travailler avec des modules devienne familier. Concevons à partir de l'expression passez à la somme et à la différence des logarithmes des binômes linéaires x−1, x−2 et x−3. On trouve d’abord l’ODZ :

Sur l'intervalle (3, +∞) les valeurs des expressions x−1, x−2 et x−3 sont positives, on peut donc facilement appliquer les propriétés du logarithme de la somme et de la différence :

Et sur l'intervalle (1, 2) les valeurs de l'expression x−1 sont positives, et les valeurs des expressions x−2 et x−3 sont négatives. Par conséquent, sur l'intervalle considéré, nous représentons x−2 et x−3 en utilisant le module comme −|x−2|

et −|x−3|

Nous avons

respectivement. En même temps

En général, un raisonnement similaire permet, à partir des formules du logarithme du produit, du rapport et du degré, d'obtenir trois résultats pratiquement utiles, assez pratiques à utiliser :

Le logarithme du produit de deux expressions arbitraires X et Y de la forme log a (X·Y) peut être remplacé par la somme des logarithmes log a |X|+log a |Y| , une>0 , une≠1 .
Le logarithme d'une forme particulière log a (X:Y) peut être remplacé par la différence des logarithmes log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X et Y sont des expressions arbitraires.
Du logarithme d'une expression B à une puissance paire p de la forme log a B p on peut passer à l'expression p·log a |B| , où a>0, a≠1, p est un nombre pair et B est une expression arbitraire.

Des résultats similaires sont donnés, par exemple, dans les instructions pour résoudre les équations exponentielles et logarithmiques dans la collection de problèmes de mathématiques pour ceux qui entrent à l'université, éditée par M. I. Skanavi.

Exemple.

Simplifier l'expression .

Solution.

Il serait bon d'appliquer les propriétés du logarithme de la puissance, de la somme et de la différence. Mais pouvons-nous faire cela ici ? Pour répondre à cette question, nous devons connaître la DZ.

Définissons-le :

Il est bien évident que les expressions x+4, x−2 et (x+4) 13 dans la plage des valeurs admissibles de la variable x peuvent prendre à la fois des valeurs positives et négatives. Nous devrons donc agir à travers des modules.

Les propriétés du module vous permettent de le réécrire sous la forme , donc

Aussi, rien ne vous empêche d'utiliser la propriété du logarithme d'une puissance, et d'ensuite amener des termes similaires :

Une autre séquence de transformations conduit au même résultat :

et puisque sur l'ODZ l'expression x−2 peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, alors en plaçant un exposant pair 14

Tâches dont la solution est transformation expressions logarithmiques , que l'on retrouve assez souvent à l'examen d'État unifié.

Pour y faire face avec succès avec un minimum d'investissement de temps en plus des principaux identités logarithmiques, vous devez connaître et utiliser correctement quelques formules supplémentaires.

C'est : a log a b = b, où a, b > 0, a ≠ 1 (Cela découle directement de la définition du logarithme).

log a b = log c b / log c a ou log a b = 1/log b a
où a, b, c > 0 ; une, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
où a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

un journal c b = b journal c a
où a, b, c > 0 et a, b, c ≠ 1

Pour montrer la validité de la quatrième égalité, prenons le logarithme de gauche et côté droit basé sur un. Nous obtenons log a (a log avec b) = log a (b log avec a) ou log avec b = log avec a · log a b ; log c b = log c a · (log c b / log c a); log avec b = log avec b.

Nous avons prouvé l'égalité des logarithmes, ce qui signifie que les expressions sous les logarithmes sont également égales. La Formule 4 a fait ses preuves.

Exemple 1.

Calculez 81 log 27 5 log 5 4 .

Solution.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Par conséquent,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Alors 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Vous pouvez effectuer la tâche suivante vous-même.

Calculer (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

A titre indicatif, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; journal 0,2 5 = -1.

Réponse : 5.

Exemple 2.

Calculer (√11) enregistrer √3 9- journal 121 81 .

Solution.

Changeons les expressions : 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (la formule 3 a été utilisée).

Alors (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 journal 11 3) = 121/3.

Exemple 3.

Calculez log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Solution.

On remplace les logarithmes contenus dans l'exemple par des logarithmes en base 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3) ;

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3) ;

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3) ;

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Puis log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + journal 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Après avoir ouvert les parenthèses et ramené des termes similaires, on obtient le nombre 3. (En simplifiant l'expression, on peut noter log 2 3 par n et simplifier l'expression

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Réponse : 3.

Vous pouvez effectuer vous-même la tâche suivante :

Calculer (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Il faut ici passer aux logarithmes en base 3 et à la factorisation des grands nombres en facteurs premiers.

Réponse : 1/2

Exemple 4.

Étant donné trois nombres A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Disposez-les par ordre croissant.

Solution.

Transformons les nombres A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3 ; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Comparons-les

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 et log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ou -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Répondre. Par conséquent, l’ordre de placement des nombres est : C ; UN; DANS.

Exemple 5.

Combien d'entiers y a-t-il dans l'intervalle (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Solution.

Déterminons entre quelles puissances du nombre 3 se situe le nombre 1/16. On obtient 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Puisque la fonction y = log 3 x est croissante, alors log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Comparons le log 6 (4/3) et 1/5. Et pour cela on compare les nombres 4/3 et 6 1/5. Élevons les deux nombres à la puissance 5. On obtient (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

journal 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Par conséquent, l'intervalle (log 3 1 / 16 ; log 6 48) inclut l'intervalle [-2 ; 4] et les entiers -2 y sont placés ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.

Réponse : 7 entiers.

Exemple 6.

Calculez 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Solution.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Puis 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Réponse : -1.

Exemple 7.

On sait que log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Trouvez log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Solution.

Nombres (√3 + 1) et (√3 – 1) ; (√6 – 2) et (√6 + 2) sont conjugués.

Effectuons la transformation d'expressions suivante

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1) ;

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Alors log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Réponse : 2 – A.

Exemple 8.

Simplifiez et trouvez la valeur approximative de l'expression (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Solution.

Nous réduisons tous les logarithmes à terrain d'entente 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (La valeur approximative de lg 2 peut être trouvée à l'aide du tableau, règle à calcul ou une calculatrice).

Réponse : 0,3010.

Exemple 9.

Calculez log a 2 b 3 √(a 11 b -3) si log √ a b 3 = 1. (Dans cet exemple, a 2 b 3 est la base du logarithme).

Solution.

Si log √ a b 3 = 1, alors 3/(0,5 log a b = 1. Et log a b = 1/6.

Puis log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Considérant que ce log a b = 1/ 6 nous obtenons (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Réponse : 2.1.

Vous pouvez effectuer vous-même la tâche suivante :

Calculez log √3 6 √2,1 si log 0,7 27 = a.

Réponse : (3 + a) / (3a).

Exemple 10.

Calculez 6,5 4/log 3 169 · 3 1/log 4 13 + log125.

Solution.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formule 4))

On obtient 9 + 6 = 15.

Réponse : 15.

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Type de cours : leçon de généralisation et de systématisation des connaissances

Objectifs:

mettre à jour les connaissances des étudiants sur les logarithmes et leurs propriétés dans le cadre du redoublement général et de la préparation à l'examen d'État unifié ;
favoriser le développement de l’activité mentale et des compétences d’application des étudiants connaissances théoriques en faisant des exercices ;
promouvoir le développement qualités personnellesétudiants, compétences de maîtrise de soi et auto-évaluation de leurs activités ; cultivez le travail acharné, la patience, la persévérance et l’indépendance.

Équipement: ordinateur, projecteur, présentation (Annexe 1), des fiches avec les devoirs (vous pouvez joindre un fichier avec le devoir dans l'agenda électronique).

Progression de la leçon

JE. Moment d'organisation. Salutations, préparez-vous pour la leçon.

II. Discussion des devoirs.

III. Énoncez le sujet et le but de la leçon. Motivation.(Diapositive 1) Présentation.

Nous poursuivons notre révision générale du cours de mathématiques en préparation à l'examen d'État unifié. Et aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des logarithmes et de leurs propriétés.

Les tâches de calcul de logarithmes et de conversion d'expressions logarithmiques sont nécessairement présentes dans les matériels de contrôle et de mesure des produits de base et niveau de profil. Par conséquent, le but de notre leçon est de restaurer les idées sur le sens du concept « logarithme » et de mettre à jour les compétences de conversion d'expressions logarithmiques. Notez le sujet de la leçon dans vos cahiers.

IV. Actualisation des connaissances.

1. /Oralement/ Rappelons d’abord ce qu’on appelle un logarithme. (Diapositive 2)

(Le logarithme d'un nombre positif b en base a (où a > 0, a?1) est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre b)

Journal a b = n<->une n = b, (une> 0, une 1, b> 0)

Ainsi, «LOGARITHME» est un «EXPONSEUR»!

(Diapositive 3) Alors a n = b peut être réécrit sous la forme = b – identité logarithmique de base.

Si la base a = 10, alors le logarithme est dit décimal et est noté lgb.

Si a = e, alors le logarithme est dit naturel et noté lnb.

2. /Par écrit/ (Diapositive 4) Remplissez les espaces pour obtenir les bonnes équations :

Enregistrer? x + Enregistrer un ? =Journal ? (?y)

Connectez-vous un? - Enregistrer? y = Journal ? (x/?)

Enregistrer un x ? = pLog? (?)

Examen:

1 ; 1 ; une,y,x ; x, une, une, y ; p, a, x.

Ce sont des propriétés des logarithmes. Et un autre groupe de propriétés : (Diapositive 5)

Examen:

une,1,n,x ; n,x,p,a; x,b,a,y; une,x,b; une,1,b.

V. Travail oral

(Diapositive 6) N°1. Calculer:

a) b) c) d) ; d) .

Réponses : a) 4; b) – 2 ; c) 2 ; d) 7 ; d) 27.

(Diapositive 7) N°2. Trouver X :

UN) ; b) (Réponses : a) 1/4 ; b)9).

N°3. Est-il judicieux de considérer un tel logarithme :

UN) ; b) ; V) ? (Non)

VI. Travail indépendant en groupe, étudiants forts - consultants. (Diapositive 8)

N ° 1. Calculez: .

#2 : Simplifier :

N ° 3. Trouvez la valeur de l'expression si

N° 4. Simplifiez l'expression :

N ° 5. Calculez:

N° 6. Calculer :

N ° 7. Calculez:

N° 8. Calculer :

Une fois terminé, vérifiez et discutez à l'aide de la solution préparée ou à l'aide d'une caméra documentaire.

VII. Résoudre une tâche d’une complexité accrue(élève fort au tableau, le reste dans les cahiers) (Diapositive 9)

Trouvez le sens de l’expression :

VIII. Devoirs(sur cartes) différencié.(Diapositive 10)

N°1. Calculer:

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Tâches dont la solution est conversion d'expressions logarithmiques, que l'on retrouve assez souvent à l'examen d'État unifié.

Afin de réussir à y faire face en un minimum de temps, en plus des identités logarithmiques de base, vous devez connaître et utiliser correctement quelques formules supplémentaires.

C'est : a log a b = b, où a, b > 0, a ≠ 1 (Cela découle directement de la définition du logarithme).

log a b = log c b / log c a ou log a b = 1/log b a
où a, b, c > 0 ; une, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
où a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

un journal c b = b journal c a
où a, b, c > 0 et a, b, c ≠ 1

Pour montrer la validité de la quatrième égalité, prenons le logarithme des côtés gauche et droit en base a. Nous obtenons log a (a log avec b) = log a (b log avec a) ou log avec b = log avec a · log a b ; log c b = log c a · (log c b / log c a); log avec b = log avec b.