Rayon du cercle inscrit dans une formule quadrilatère régulière. Comment trouver le rayon d'un cercle : pour aider les écoliers

Le cercle est considéré comme inscrit dans les limites polygone régulier, au cas où il se trouverait à l'intérieur, touchant les lignes droites qui traversent tous les côtés. Voyons comment trouver le centre et le rayon d'un cercle. Le centre du cercle sera le point d'intersection des bissectrices des coins du polygone. Le rayon est calculé : R=S/P ; S est l'aire du polygone, P est le demi-périmètre du cercle.

Dans un triangle

DANS triangle régulier inscrivez un seul cercle dont le centre est appelé incenter ; elle est située à la même distance de tous les côtés et constitue l'intersection des bissectrices.

Dans un quadrilatère

Souvent, vous devez décider comment trouver le rayon du cercle inscrit dans ce figure géométrique. Il doit être convexe (s'il n'y a pas d'auto-intersections). Un cercle ne peut y être inscrit que si les sommes sont égales côtés opposés: AB+CD=BC+AD.

Dans ce cas, le centre du cercle inscrit, les milieux des diagonales, sont situés sur une ligne droite (selon le théorème de Newton). Un segment dont les extrémités sont situées à l'intersection des côtés opposés d'un quadrilatère régulier se trouve sur la même ligne droite, appelée ligne droite de Gauss. Le centre du cercle sera le point d’intersection des altitudes du triangle avec les sommets et les diagonales (selon le théorème de Brocard).

Dans un diamant

Il est considéré comme un parallélogramme dont les côtés sont de même longueur. Le rayon du cercle qui y est inscrit peut être calculé de plusieurs manières.

Pour le faire correctement, trouvez le rayon du cercle inscrit du losange, si l'aire du losange et la longueur de son côté sont connues. La formule r=S/(2Xa) est utilisée. Par exemple, si l'aire d'un losange est de 200 mm carré, la longueur du côté est de 20 mm, alors R = 200/(2X20), soit 5 mm.
L'angle aigu de l'un des sommets est connu. Ensuite, vous devez utiliser la formule r=v(S*sin(α)/4). Par exemple, avec une superficie de 150 mm et charbon connuà 25 degrés, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
Tous les angles d'un losange sont égaux. Dans cette situation, le rayon d'un cercle inscrit dans un losange sera égal à la moitié la longueur d'un côté d'une figure donnée. Si l'on raisonne selon Euclide, qui affirme que la somme des angles de tout quadrilatère est de 360 degrés, alors un angle sera égal à 90 degrés ; ceux. ce sera un carré.

Cercle inscrit dans un triangle

Existence d'un cercle inscrit dans un triangle

Rappelons la définition bissectrices d'angle .

Définition 1 .Bissectrice d'angle appelé rayon divisant un angle en deux parties égales.

Théorème 1 (Propriété de base d'une bissectrice) . Chaque point de la bissectrice de l'angle est à la même distance des côtés de l'angle (Fig. 1).

Riz. 1

Preuve D , posé sur la bissectrice de l'angleBAC , Et DE Et DF sur les côtés du coin (Fig. 1).Triangles rectangles FAD Et ADE égal , puisqu'ils ont des angles aigus égauxDAF Et DAE , et l'hypoténuse ANNONCE - général. Ainsi,

DF = DE,

Q.E.D.

Théorème 2 ( théorème inverse au théorème 1) . S'il y en a, alors il se situe sur la bissectrice de l'angle (Fig. 2).

Riz. 2

Preuve . Considérons un point arbitraireD , situé à l'intérieur de l'angleBAC et situé à la même distance des côtés de l'angle. Laissons tomber le sujetD perpendiculaires DE Et DF sur les côtés du coin (Fig. 2).Triangles rectangles FAD Et ADE égal , puisqu'ils ont les jambes égalesDF Et DE , et l'hypoténuse ANNONCE - général. Ainsi,

Q.E.D.

Définition 2 . Le cercle s'appelle cercle inscrit dans un angle , si ce sont les côtés de cet angle.

Théorème 3 . Si un cercle est inscrit dans un angle, alors les distances entre le sommet de l'angle et les points de contact du cercle avec les côtés de l'angle sont égales.

Preuve . Laissons le point D – centre d’un cercle inscrit dans un angleBAC , et les points E Et F – les points de contact du cercle avec les côtés de l'angle (Fig. 3).

Figure 3

un , b , c - les côtés du triangle,  S -carré,

r – rayon du cercle inscrit,  p – demi-périmètre

Afficher le résultat de la formule

un – côté triangle isocèle ,   b - base, r – rayon du cercle inscrit

un r – rayon du cercle inscrit

Afficher le résultat de la formule

Où

alors, dans le cas d'un triangle isocèle, lorsque

on a

c'est ce qui était requis.

Théorème 7 . Pour l'égalité

Où un - côté d'un triangle équilatéral,r – rayon du cercle inscrit (Fig. 8).

Riz. 8

Preuve .

alors, dans le cas d'un triangle équilatéral, lorsque

b = une,

on a

c'est ce qui était requis.

Commentaire . Je recommande de dériver comme exercice la formule du rayon d'un cercle inscrit dans triangle équilatéral, directement, c'est-à-dire sans utilisation formules générales pour les rayons de cercles inscrits dans triangle arbitraire ou dans un triangle isocèle.

Théorème 8 . Pour un triangle rectangle, l’égalité suivante est vraie :

Où un , b – les jambes d'un triangle rectangle, c – hypoténuse , r – rayon du cercle inscrit.

Preuve . Considérez la figure 9.

Riz. 9

Depuis le quadrilatèreCDOF est , qui a des côtés adjacentsFAIRE Et DE sont égaux, alors ce rectangle est . Ainsi,

CB = CF = r,

En vertu du théorème 3, les égalités suivantes sont vraies :

Donc, en tenant également compte de , on obtient

c'est ce qui était requis.

Une sélection de problèmes sur le thème « Un cercle inscrit dans un triangle ».

Un cercle inscrit dans un triangle isocèle divise l'un des côtés latéraux au point de contact en deux segments dont les longueurs sont 5 et 3, en comptant à partir du sommet opposé à la base. Trouvez le périmètre du triangle.

DANS triangle ABC AC=4, BC=3, l'angle C est de 90º. Trouvez le rayon du cercle inscrit.

Les jambes d'un triangle rectangle isocèle mesurent 2+. Trouvez le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle isocèle est 2. Trouvez l'hypoténuse c de ce triangle. Veuillez indiquer c(–1) dans votre réponse.

Nous présentons un certain nombre de problèmes de l'examen d'État unifié avec des solutions.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle isocèle est égal à . Trouvez l'hypoténuse de ce triangle. Veuillez l'indiquer dans votre réponse.

Le triangle est rectangulaire et isocèle. Cela signifie que ses pattes sont les mêmes. Que chaque jambe soit égale. Alors l'hypoténuse est égale.

Écrivons la zone triangle ABC deux façons:

En égalisant ces expressions, on obtient que. Parce que le, on comprend ça. Alors.

Nous écrirons la réponse.

Répondre:.

Tâche 2.

1. En libre, il y a deux côtés de 10 cm et 6 cm (AB et BC). Trouver les rayons des cercles circonscrits et inscrits
Le problème est résolu indépendamment avec des commentaires.

Solution:

DANS.

1) Rechercher :
2) Prouver :et trouve CK
3) Trouver : rayons des cercles circonscrits et inscrits

Solution:

Tâche 6.

R. le rayon d'un cercle inscrit dans un carré est. Trouvez le rayon du cercle circonscrit à ce carré.Donné :

Trouver: Système d'exploitation=?
Solution:V dans ce cas le problème peut être résolu en utilisant soit le théorème de Pythagore, soit la formule de R. Le deuxième cas sera plus simple, puisque la formule de R est dérivée du théorème.

Tâche 7.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle isocèle est 2. Trouvez l'hypoténuseAvec ce triangle. Veuillez indiquer dans votre réponse.

S – aire du triangle

Nous ne connaissons ni les côtés du triangle ni son aire. Notons les jambes par x, alors l'hypoténuse sera égale à :

Et l'aire du triangle sera de 0,5x 2 .

Moyens

Ainsi, l'hypoténuse sera égale à :

Dans votre réponse, vous devez écrire :

Réponse : 4

Tâche 8.

Dans le triangle ABC AC = 4, BC = 3, angle C est égal à 90 0. Trouvez le rayon du cercle inscrit.

Utilisons la formule du rayon d'un cercle inscrit dans un triangle :

où a, b, c sont les côtés du triangle

S – aire du triangle

Deux côtés sont connus (ce sont des jambes), on peut calculer le troisième (hypoténuse), et on peut aussi calculer l'aire.

D'après le théorème de Pythagore :

Trouvons la zone :

Ainsi:

Réponse 1

Tâche 9.

Côtés d'un triangle isocèle sont égaux à 5, la base est égale à 6. Trouvez le rayon du cercle inscrit.

Utilisons la formule du rayon d'un cercle inscrit dans un triangle :

où a, b, c sont les côtés du triangle

S – aire du triangle

Tous les côtés sont connus, calculons l'aire. On peut le trouver en utilisant la formule de Heron :

Alors

Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux. Il hérite donc de toutes les propriétés d’un parallélogramme. À savoir:

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles.
Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles intérieurs.

Un cercle peut être inscrit dans un quadrilatère si et seulement si les sommes des côtés opposés sont égales.
Par conséquent, un cercle peut être inscrit dans n’importe quel losange. Le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre d'intersection des diagonales du losange.
Le rayon du cercle inscrit dans un losange peut être exprimé de plusieurs manières

1 façon. Rayon du cercle inscrit dans un losange passant par la hauteur

La hauteur d'un losange est égale au diamètre du cercle inscrit. Cela découle de la propriété d'un rectangle, qui est formé par le diamètre du cercle inscrit et la hauteur du losange - les côtés opposés d'un rectangle sont égaux.

Par conséquent, la formule du rayon d'un cercle inscrit dans un losange en termes de hauteur :

Méthode 2. Rayon du cercle inscrit dans un losange passant par les diagonales

L'aire d'un losange peut être exprimée en termes de rayon du cercle inscrit
, Où R.– périmètre d'un losange. Sachant que le périmètre est la somme de tous les côtés du quadrilatère, on a P= 4×une. Alors
Mais l'aire d'un losange est aussi égale à la moitié du produit de ses diagonales
En égalisant les membres droits des formules d'aire, nous avons l'égalité suivante
En conséquence, nous obtenons une formule qui nous permet de calculer le rayon du cercle inscrit dans un losange passant par les diagonales

Un exemple de calcul du rayon d'un cercle inscrit dans un losange si les diagonales sont connues
Trouver le rayon d'un cercle inscrit dans un losange si l'on sait que les longueurs des diagonales sont de 30 cm et 40 cm
Laisser A B C D-losange, alors A.C. Et BD ses diagonales. CA= 30 cm ,BD=40cm
Laissons le point À PROPOS- c'est le centre de l'inscrit dans un losange A B C D cercle, alors ce sera aussi le point d'intersection de ses diagonales, les divisant en deux.

puisque les diagonales d'un losange se coupent à angle droit, alors le triangle AOB rectangulaire. Alors, d'après le théorème de Pythagore
, remplacez les valeurs obtenues précédemment dans la formule

UN B= 25 cm
En appliquant la formule dérivée précédemment pour le rayon du cercle circonscrit dans un losange, on obtient

3 voies. Rayon du cercle inscrit dans un losange passant par les segments m et n

Point F– le point de contact du cercle avec le côté du losange, qui le divise en segments UN F. Et B.F.. Laisser AF=m, BF=n.
Point Ô– le centre d'intersection des diagonales d'un losange et le centre du cercle qui y est inscrit.
Triangle AOB– rectangulaire, puisque les diagonales d'un losange se coupent à angle droit.
, parce que est le rayon tracé au point tangent du cercle. Ainsi DE– hauteur du triangle AOBà l'hypoténuse. Alors UN F. Et petit ami projections des jambes sur l'hypoténuse.
Hauteur en triangle rectangle, abaissée jusqu'à l'hypoténuse est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse.

La formule du rayon d'un cercle inscrit dans un losange passant par des segments est égale à la racine carrée du produit de ces segments dans lequel le point de tangence du cercle divise le côté du losange

Comment trouver le rayon d'un cercle ? Cette question est toujours d'actualité pour les écoliers qui étudient la planimétrie. Ci-dessous, nous examinerons plusieurs exemples de la façon dont vous pouvez faire face à cette tâche.

Selon les conditions du problème, vous pouvez trouver le rayon du cercle comme ceci.

Formule 1 : R = L / 2π, où L est et π est une constante égale à 3,141...

Formule 2 : R = √(S / π), où S est l'aire du cercle.

Formule 1 : R = B/2, où B est l'hypoténuse.

Formule 2 : R = M*B, où B est l'hypoténuse et M est la médiane qui y est attirée.

Comment trouver le rayon d'un cercle s'il est circonscrit autour d'un polygone régulier

Formule : R = A / (2 * sin (360/(2*n))), où A est la longueur d'un des côtés de la figure et n est le nombre de côtés de cette figure géométrique.

Comment trouver le rayon d'un cercle inscrit

Un cercle inscrit est appelé lorsqu'il touche tous les côtés du polygone. Regardons quelques exemples.

Formule 1 : R = S / (P/2), où - S et P sont respectivement l'aire et le périmètre de la figure.

Formule 2 : R = (P/2 - A) * tg (a/2), où P est le périmètre, A est la longueur d'un des côtés, et est l'angle opposé à ce côté.

Comment trouver le rayon d'un cercle s'il est inscrit dans un triangle rectangle

Formule 1:

Le rayon d'un cercle inscrit dans un losange

Un cercle peut être inscrit dans n'importe quel losange, qu'il soit équilatéral ou inégal.

Formule 1 : R = 2 * H, où H est la hauteur de la figure géométrique.

Formule 2 : R = S / (A*2), où S est et A est la longueur de son côté.

Formule 3 : R = √((S * sin A)/4), où S est l'aire du losange et sin A est le sinus angle aigu de cette figure géométrique.

Formule 4 : R = B*G/(√(B² + G²), où B et G sont les longueurs des diagonales de la figure géométrique.

Formule 5 : R = B*sin (A/2), où B est la diagonale du losange et A est l'angle aux sommets reliant la diagonale.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle

Si dans l'énoncé du problème on vous donne les longueurs de tous les côtés de la figure, calculez d'abord (P) puis le demi-périmètre (p) :

P = A+B+C, où A, B, C sont les longueurs des côtés de la figure géométrique.

Formule 1 : R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Et si, connaissant tout de même trois côtés, on vous en donne également un, alors vous pouvez calculer le rayon requis comme suit.

Formule 2 : R = S * 2(A + B + C)

Formule 3 : R = S/n = S / (A+B+B)/2), où - n est le demi-périmètre de la figure géométrique.

Formule 4 : R = (n - A) * tan (A/2), où n est le demi-périmètre du triangle, A est l'un de ses côtés et tan (A/2) est la tangente de la moitié de l'angle en face de ce côté.

Et la formule ci-dessous vous aidera à trouver le rayon du cercle inscrit dans

Formule 5 : R = A * √3/6.

Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle

Si le problème donne les longueurs des jambes, ainsi que l'hypoténuse, alors le rayon du cercle inscrit est déterminé comme suit.

Formule 1 : R = (A+B-C)/2, où A, B sont les jambes, C est l'hypoténuse.

Dans le cas où l’on ne vous donne que deux jambes, il est temps de rappeler le théorème de Pythagore afin de trouver l’hypoténuse et d’utiliser la formule ci-dessus.

C = √(A²+B²).

Le rayon d'un cercle inscrit dans un carré

Un cercle inscrit dans un carré divise ses 4 côtés exactement en deux aux points de contact.

Formule 1 : R = A/2, où A est la longueur du côté du carré.

Formule 2 : R = S / (P/2), où S et P sont respectivement l'aire et le périmètre du carré.

Dans cet article, nous parlerons de la façon d'exprimer l'aire d'un polygone dans laquelle un cercle peut s'inscrire, à travers le rayon de ce cercle. Il convient de noter d’emblée que tous les polygones ne peuvent pas correspondre à un cercle. Cependant, si cela est possible, la formule par laquelle l'aire d'un tel polygone est calculée devient très simple. Lisez cet article jusqu'à la fin ou regardez le didacticiel vidéo ci-joint et vous apprendrez à exprimer l'aire d'un polygone en termes de rayon du cercle qui y est inscrit.

Formule pour l'aire d'un polygone en termes de rayon du cercle inscrit

Dessinons un polygone UN 1 UN 2 UN 3 UN 4 UN 5, pas nécessairement correct, mais dans lequel un cercle peut s'inscrire. Permettez-moi de vous rappeler qu'un cercle inscrit est un cercle qui touche tous les côtés du polygone. Sur la photo c'est un cercle vert avec un centre au point Ô:

Nous avons pris le 5-gon comme exemple ici. Mais en fait, cela n'a pas d'importance significative, puisque la preuve supplémentaire est valable à la fois pour un gon 6 et un gon 8, et en général pour tout « gon » arbitraire.

Si vous reliez le centre du cercle inscrit à tous les sommets du polygone, alors il sera divisé en autant de triangles qu'il y a de sommets dans le polygone donné. Dans notre cas : pour 5 triangles. Si nous connectons le point Ô avec tous les points de tangence du cercle inscrit avec les côtés du polygone, alors vous obtenez 5 segments (dans la figure ci-dessous ce sont des segments OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 et OH 5), qui sont égaux au rayon du cercle et perpendiculaires aux côtés du polygone sur lequel ils sont dessinés. Ce dernier est vrai, puisque le rayon tracé jusqu'au point de contact est perpendiculaire à la tangente :

Comment trouver l'aire de notre polygone circonscrit ? La réponse est simple. Vous devez additionner les aires de tous les triangles résultants :

Considérons quelle est l'aire d'un triangle. Dans l'image ci-dessous, il est surligné en jaune :

Il est égal à la moitié du produit de la base UN 1 UN 2 à la hauteur OH 1 attiré vers cette base. Mais, comme nous l'avons déjà découvert, cette hauteur est égale au rayon du cercle inscrit. C'est-à-dire que la formule de l'aire d'un triangle prend la forme : , Où r— rayon du cercle inscrit. Les aires de tous les triangles restants se trouvent de la même manière. En conséquence, la surface requise du polygone est égale à :

On peut voir que dans tous les termes de cette somme il y a multiplicateur commun, qui peut être retiré des parenthèses. Le résultat sera l'expression suivante :

Autrement dit, ce qui reste entre parenthèses est simplement la somme de tous les côtés du polygone, c'est-à-dire son périmètre. P.. Le plus souvent dans cette formule l'expression est simplement remplacée par p et ils appellent cette lettre « demi-périmètre ». En conséquence, la formule finale prend la forme :

C'est-à-dire l'aire du polygone dans laquelle le cercle est inscrit rayon connu, est égal au produit de ce rayon et du demi-périmètre du polygone. C’est le résultat que nous visions.

Enfin, il remarquera qu'un cercle peut toujours s'inscrire dans un triangle, ce qui est un cas particulier de polygone. Par conséquent, pour un triangle, cette formule peut toujours être appliquée. Pour les autres polygones ayant plus de 3 côtés, vous devez d'abord vous assurer qu'un cercle peut y être inscrit. Si tel est le cas, vous pouvez l'utiliser en toute sécurité formule simple et utilisez-le pour trouver l'aire de ce polygone.

Matériel préparé par Sergey Valerievich