Construire des traces du plan donné par ∆BCD et déterminer la distance du point A à avion donné méthode triangle rectangle (pour les coordonnées des points A, B, C et D, voir le tableau 1 de la section Tâches) ;

1.2. Exemple de tâche n°1

La première tâche présente un ensemble de tâches sur les sujets suivants :

1. Projection orthogonale, Diagramme de Monge, point, droite, plan: par coordonnées connues de trois points B, C, D construire des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD;

2. Traces d'une droite, traces d'un plan, propriétés d'appartenance à un plan droit: construire des traces du plan donné par ∆ BCD;

3. Plans généraux et particuliers, intersection d'une droite et d'un plan, perpendiculaire d'une droite et d'un plan, intersection de plans, méthode du triangle rectangle: déterminer la distance à partir d'un point UN planer ∆ BCD.

1.2.1. Basé sur les coordonnées connues de trois points B, C, D construisons des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD(Figure 1.1), pour lequel il faut construire des projections horizontales et frontales des sommets ∆ BCD, puis connectez les projections des sommets du même nom.

On sait que suivre l'avion est une droite obtenue à la suite de l'intersection d'un plan donné avec le plan de projection .

Dans l'avion position générale 3 tracés : horizontal, frontal et profil.

Pour construire des traces d'un plan, il suffit de construire des traces (horizontales et frontales) de deux droites quelconques situées dans ce plan et de les relier entre elles. Ainsi, la trace du plan (horizontal ou frontal) sera déterminée de manière unique, puisque par deux points du plan (en dans ce cas ces points seront des traces de lignes droites) vous pouvez tracer une ligne droite, et une seule.

La base de cette construction est propriété d'appartenir à un plan droit: si une droite appartient à un plan donné, alors ses traces reposent sur des traces similaires de ce plan .

Le tracé d'une droite est le point d'intersection de cette droite avec le plan de projection. .

La trace horizontale d'une ligne droite se situe dans plan horizontal projections, frontales – en plan frontal projections.

Considérons la construction trace horizontale direct D.B., pour lequel il vous faut :

1. Continuez la projection frontale tout droit D.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection M2 est projection frontale trace horizontale ;

2. D'un point de vue M2 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection horizontale de la ligne droite D.B. M1 et sera une projection horizontale de la trace horizontale (Figure 1.1), qui coïncide avec la trace elle-même M.

La trace horizontale du segment est construite de la même manière NE droit : pointe M'.

Pour construire trace frontale segment C.B. direct, il vous faut :

1. Continuez la projection horizontale de la ligne droite C.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection N°1 est une projection horizontale de la trace frontale ;

2. D'un point de vue N°1 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection frontale de la ligne droite C.B. ou sa suite. Point d'intersection N 2 et sera une projection frontale de la trace frontale, qui coïncide avec la trace elle-même N.

Relier les points M'1 Et M1 segment de droite, on obtient trace horizontale plan απ 1. Point α x d'intersection de απ 1 avec l'axe X appelé point de fuite . Pour construire la trace frontale du plan απ 2, il faut relier la trace frontale N 2 avec le point de fuite des traces α x

Figure 1.1 — Construction de traces planes

L'algorithme pour résoudre ce problème peut être présenté comme suit :

1. (D 2 B 2 ∩ BŒUF) = M 2 ;
2. (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
3. (C 2 B 2 ∩ BŒUF) = M' 2 ;
4. (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
5. (CB∩ π 2) = N 2 = N;
6. (MM′) ≡ απ 1 ;
7. (αx N) ≡απ 2 .

1.2.2. Pour résoudre la deuxième partie de la première tâche, vous devez savoir que :

• distance du point UN planer ∆ BCD déterminé par la longueur de la perpendiculaire restituée de ce point au plan ;
• toute droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans ce plan ;
• sur le schéma, les projections d'une droite perpendiculaire au plan sont perpendiculaires aux projections inclinées de l'horizontale et frontale de ce plan ou aux traces du même nom du plan (Fig. 1.2) (voir le Théorème sur la perpendiculaire à l'avion pendant les cours).

Pour trouver la base d'une perpendiculaire, il faut résoudre le problème de l'intersection d'une droite (dans ce problème, une telle droite est une perpendiculaire à un plan) avec un plan :

1. Enfermer la perpendiculaire dans un plan auxiliaire, qui doit être pris comme plan de position particulière (se projetant horizontalement ou se projetant frontalement ; dans l'exemple, γ se projetant horizontalement est pris comme plan auxiliaire, c'est-à-dire perpendiculaire à π 1, son la trace horizontale γ 1 coïncide avec une projection horizontale d'une perpendiculaire) ;

2. Trouver la ligne d'intersection du plan donné ∆ BCD avec auxiliaire γ ( MN sur la fig. 1.2);

3. Trouver le point d'intersection de la ligne d'intersection des plans MN avec une perpendiculaire (point À sur la fig. 1.2).

4. Pour déterminer la vraie distance d'un point UNà un plan donné ∆ BCD devrait être utilisé méthode du triangle rectangle: la vraie taille d'un segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont une branche est l'une des projections du segment, et l'autre est la différence des distances entre ses extrémités et le plan de projection dans lequel la construction est réalisée dehors.

5. Déterminez la visibilité des sections perpendiculaires à l'aide de la méthode des points concurrents. Par exemple - points N Et 3 pour déterminer la visibilité sur π 1, les points 4 , 5 - déterminer la visibilité sur π 2.

Figure 1.2 - Construction d'une perpendiculaire au plan

Figure 1.3 — Exemple de conception tâche de contrôle №1

Exemple vidéo de réalisation de la tâche n°1

1.3. Options de tâche 1

Instructions

Pour connaître la distance de pointsà avion en utilisant des méthodes descriptives : sélectionnez sur avion point arbitraire; tracez deux lignes droites à travers lui (situées dans ce avion); rétablir la perpendiculaire à avion passant par ce point (construire une ligne perpendiculaire aux deux lignes sécantes en même temps) ; tracer une droite parallèle à la perpendiculaire construite passant par un point donné ; trouver la distance entre le point d'intersection de cette ligne avec le plan et point donné.

Si le poste points donnée par ses coordonnées tridimensionnelles, et la position avion – équation linéaire, puis pour trouver la distance de avionà points, utilisez les méthodes géométrie analytique: indiquez les coordonnées points passant par x, y, z, respectivement (x – abscisse, y – ordonnée, z – applicable) ; notons A, B, C, D les équations avion(A – paramètre en abscisse, B – en , C – en application, D – terme libre) ; calculer la distance de pointsà avion selon la formule :s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,où s est la distance entre le point et le plan,|| - valeur absolue(ou module).

Exemple : Trouver la distance entre le point A de coordonnées (2, 3, -1) et le plan, donné par l'équation: 7x-6y-6z+20=0. Des conditions il résulte que : x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. . Remplacez ces valeurs par celles ci-dessus. Vous obtenez : s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Réponse : Distance depuis pointsà avion est égal à 2 (unités arbitraires).

Astuce 2 : Comment déterminer la distance d'un point à un plan

Détermination de la distance de pointsà avion- une des tâches courantes planimétrie scolaire. Comme on le sait, le plus petit distance depuis pointsà avion il y aura une perpendiculaire tirée de ceci pointsà ceci avion. Par conséquent, la longueur de cette perpendiculaire est considérée comme la distance de pointsà avion.

Vous aurez besoin

• équation plane

Instructions

Soit le premier du parallèle f1 donné par l'équation y=kx+b1. Traduire l’expression en vue générale, vous obtenez kx-y+b1=0, c'est-à-dire A=k, B=-1. La normale sera n=(k, -1).
Suit maintenant une abscisse arbitraire du point x1 sur f1. Alors son ordonnée est y1=kx1+b1.
Soit l'équation de la deuxième des droites parallèles f2 de la forme :
y=kx+b2 (1),
où k est le même pour les deux droites, en raison de leur parallélisme.

Ensuite, vous devez créer équation canonique une ligne perpendiculaire à f2 et f1 contenant le point M (x1, y1). Dans ce cas, on suppose que x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). En conséquence, vous devriez obtenir l’égalité suivante :
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Après avoir résolu le système d'équations constitué des expressions (1) et (2), vous trouverez le deuxième point qui détermine la distance requise entre les parallèles N(x2, y2). La distance requise elle-même sera égale à d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Exemple. Soit les équations de droites parallèles données sur le plan f1 – y=2x +1 (1) ;
f2 – y=2x+5 (2). Prenons un point arbitraire x1=1 sur f1. Alors y1=3. Le premier point aura donc pour coordonnées M (1,3). Équation perpendiculaire générale (3) :
(x-1)/2 = -y+3 ou y=-(1/2)x+5/2.
En substituant cette valeur y dans (1), vous obtenez :
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
La deuxième base de la perpendiculaire est au point de coordonnées N (-1, 3). La distance entre les lignes parallèles sera :
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Sources :

• Développement pulmonaire l'athlétisme en Russie

Dessus de tout plat ou volumétrique figure géométrique uniquement déterminé par ses coordonnées dans l’espace. De la même manière, n'importe quel point arbitraire dans le même repère, ce qui permet de calculer la distance entre ce point arbitraire et le sommet de la figure.

Vous aurez besoin

• - papier;
• - un stylo ou un crayon ;
• - calculatrice.

Instructions

Réduisez le problème à trouver la longueur d'un segment entre deux points, si les coordonnées du point spécifié dans le problème et les sommets de la figure géométrique sont connus. Cette longueur peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore par rapport aux projections d'un segment sur l'axe de coordonnées - elle sera égale à racine carréeà partir de la somme des carrés des longueurs de toutes les projections. Par exemple, laissez entrer système tridimensionnel les coordonnées sont données par le point A(X₁;Y₁;Z₁) et le sommet C de toute figure géométrique de coordonnées (X₂;Y₂;Z₂). Alors les longueurs des projections du segment entre elles sur axes de coordonnées peut être comme X₁-X₂, Y₁-Y₂ et Z₁-Z₂, et la longueur du segment comme √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Par exemple, si les coordonnées du point sont A(5;9;1) et les sommets sont C(7;8;10), alors la distance entre eux sera égale à √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Calculez d’abord les coordonnées du sommet si elles ne sont pas explicitement présentées dans les conditions du problème. La méthode spécifique dépend du type de figure et des paramètres supplémentaires connus. Par exemple, si on sait Coordonnées 3D trois sommets A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) et C(X₃;Y₃;Z₃), puis les coordonnées de son quatrième sommet ( en face du sommet B) sera (X₃+X₂-X₁ ; Y₃+Y₂-Y₁ ; Z₃+Z₂-Z₁). Après avoir déterminé les coordonnées du sommet manquant, le calcul de la distance entre celui-ci et un point arbitraire sera à nouveau réduit à déterminer la longueur du segment entre ces deux points dans système donné coordonnées - procédez de la même manière que décrit à l'étape précédente. Par exemple, pour le sommet du parallélogramme décrit dans cette étape et le point E de coordonnées (X₄;Y₄;Z₄), la formule de calcul de la distance de l'étape précédente peut être la suivante : √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Pour des calculs pratiques, vous pouvez utiliser, par exemple, le moteur de recherche Google. Ainsi, pour calculer la valeur à l'aide de la formule obtenue à l'étape précédente, pour les points de coordonnées A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), saisissez la requête de recherche suivante : sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Le moteur de recherche calculera et affichera le résultat du calcul (5.19615242).

Vidéo sur le sujet

Récupération perpendiculaireÀ avion– l'un des tâches importantes en géométrie, il sous-tend de nombreux théorèmes et preuves. Pour construire une droite perpendiculaire avion, vous devez effectuer plusieurs étapes séquentiellement.

Vous aurez besoin

• - avion donné ;
• - le point à partir duquel on veut tracer une perpendiculaire ;
• - boussole;
• - règle;
• - crayon.

Calculateur en ligne.
Calculer la distance d'un point à un plan

Ce calculateur en ligne calcule les distances d'un point à un plan données sous la forme équation générale avion:
$$ Hache+Par+Cz+D=0 $$

Un calculateur en ligne permettant de calculer la distance d'un point à un avion donne non seulement la réponse au problème, mais aussi solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de résolution pour tester les connaissances en mathématiques et/ou en algèbre.

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Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie des chiffres
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires. De plus, nombres fractionnaires

peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales. En décimales partie fractionnaire
peut être séparé du tout par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

comme ça : 2.5 ou comme ça 1.3
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. En entrant fraction numérique /
Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division :
Entrée : -2/3

Résultat : \(-\frac(2)(3)\) Partie entière &
séparé de la fraction par une esperluette :
Entrée : -1&5/7

Calculer la distance d'un point à un plan
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Un peu de théorie.

Équation du plan normal. Distance d'un point à un plan. Qu'ils soient donnés système rectangulaire

Traçons une ligne droite passant par l'origine des coordonnées, perpendiculaire au plan\(\pi\). Disons que c'est normal. Notons P le point où la normale coupe le plan \(\pi\). Sur la normale, nous introduisons la direction du point O au point P. Si les points O et P coïncident, alors nous prenons l'une des deux directions sur la normale. Soit \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) les angles que fait la normale dirigée avec les axes de coordonnées ; p est la longueur du segment OP.

Dérivons l'équation de ce plan \(\pi \), en considérant numéros connus\(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) et p. Pour ce faire, nous introduisons vecteur unitaire n sur la normale dont la direction coïncide avec la direction positive de la normale. Puisque n est un vecteur unitaire, alors
\(\begin(array)(lr) \vec(n) = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end (tableau)\)

Soit M (x; y; z) un point arbitraire. Il se situe sur le plan \(\pi \) si et seulement si la projection du vecteur OM sur la normale est égale à p, c'est-à-dire
$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = p & (6) \end(array) $$

Notez maintenant que \(Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) \) et \(\vec(OM) = (x;\; y; \ ; z) \) Alors, en tenant compte de l'égalité (5)

$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end(array) $$

A partir des égalités (6) et (7) on obtient que le point M(x; y; z) se trouve sur le plan \(\pi \) si et seulement si ses coordonnées satisfont à l'équation

Théorème
Si le point M* a les coordonnées x*, y*, z* et que le plan est donné par l'équation normale

Montrons maintenant comment réduire l'équation générale du plan à aspect normal. Laisser
\(\begin(array)(lr) Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end(array) \)
est l'équation générale d'un certain plan, et
\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end(array) \)
est son équation normale. Puisque les équations (11) et (12) définissent le même plan, alors, selon le théorème, les coefficients de ces équations sont proportionnels. Cela signifie qu'en multipliant tous les termes (11) par un certain facteur \(\mu\), nous obtenons l'équation
\(\mu Axe + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
coïncidant avec l'équation (12), c'est-à-dire nous avons
\(\begin(array)(lr) \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \ mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end(array) \)

Pour trouver le facteur \(\mu \), nous mettons au carré les trois premières égalités (13) et les additionnons ; alors nous obtenons
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
Mais côté droit la dernière égalité est égale à un. Ainsi,
$$ \mu = \pm \frac(1)( \sqrt(A^2+B^2+C^2)) $$

Le nombre \(\mu\), à l'aide duquel l'équation générale du plan est transformée en une équation normale, est appelé facteur de normalisation de cette équation. Le signe de \(\mu \) est déterminé par l'égalité \(\mu D = -p \), c'est-à-dire \(\mu \) a un signe, signe opposé membre gratuit

équation générale (11).

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• Objectifs:
• généralisation et systématisation des connaissances et des compétences des étudiants ;

développement de compétences pour analyser, comparer, tirer des conclusions.

• Équipement:
• projecteur multimédia;
• ordinateur;

feuilles avec des textes problématiques

PROGRÈS DE LA CLASSE

I. Moment organisationnel II. Étape de mise à jour des connaissances

(diapositive 2)

Nous répétons comment la distance d'un point à un plan est déterminée III. Conférence

(diapositives 3 à 15) En classe, nous verrons diverses manières

trouver la distance d'un point à un plan. Première méthode :

calcul étape par étape
Distance du point M au plan α :
– égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur une droite a, qui passe par le point M et est parallèle au plan α ;

– est égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur le plan β, qui passe par le point M et est parallèle au plan α.

№1. Nous allons résoudre les problèmes suivants :

Dans le cube A...D 1, trouvez la distance du point C 1 au plan AB 1 C.

№2. Il reste à calculer la valeur de la longueur du segment O 1 N.

Dans un prisme hexagonal régulier A...F 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance du point A au plan DEA 1.: méthode volumique.

Si le volume de la pyramide ABCM est égal à V, alors la distance du point M au plan α contenant ∆ABC est calculée par la formule ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons l'égalité des volumes d'un chiffre, exprimée de deux manières différentes.

Résolvons le problème suivant :

№3. L'arête AD de la pyramide DABC est perpendiculaire au plan de base ABC. Trouver la distance de A au plan passant par les milieux des arêtes AB, AC et AD, si.

Lors de la résolution de problèmes méthode de coordonnées la distance du point M au plan α peut être calculée à l'aide de la formule ρ(M; α) = , où M(x 0; y 0; z 0), et le plan est donné par l'équation ax + by + cz + d = 0

Résolvons le problème suivant :

№4. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point A 1 au plan BDC 1.

Introduisons un système de coordonnées avec l'origine au point A, l'axe y passera le long de l'arête AB, l'axe x le long de l'arête AD, l'axe z le long de l'arête AA 1. Puis les coordonnées des points B (0 ; 1 ; 0) D (1 ; 0 ; 0 ;) C 1 (1 ; 1 ; 1)
Créons une équation pour un plan passant par les points B, D, C 1.

Alors – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Donc ρ =

La méthode suivante peut être utilisée pour résoudre des problèmes de ce genre – méthode de prise en charge des problèmes.

Application cette méthode consiste à appliquer des problèmes de support connus, formulés sous forme de théorèmes.

Résolvons le problème suivant :

№5. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point D 1 au plan AB 1 C.

Considérons l'application méthode vectorielle.

№6. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point A 1 au plan BDC 1.

Nous avons donc examiné différentes méthodes pouvant être utilisées pour résoudre ce type de problème. Le choix d'une méthode ou d'une autre dépend de la tâche spécifique et de vos préférences.

IV. Travail de groupe

Essayez de résoudre le problème de différentes manières.

№1. L'arête du cube A...D 1 est égale à . Trouvez la distance entre le sommet C et le plan BDC 1.

№2. DANS tétraèdre régulier ABCD avec une arête, trouvez la distance du point A au plan BDC

№3. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1 dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan BCA 1.

№4. Dans une pyramide quadrilatère régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan SCD.

V. Résumé du cours, devoirs, réflexion