Théorie sur le sujet d'intérêt. Résoudre des problèmes impliquant des pourcentages en préparation à l'OGE et à l'USE en mathématiques

La capacité de résoudre correctement et rapidement des problèmes de mots impliquant des pourcentages est nécessaire non seulement pour les élèves qui veulent réussir l'examen d'État unifié en mathématiques de base ou niveau de profil, mais aussi à tous les adultes, puisque de telles tâches sont constamment rencontrées dans la vie quotidienne. L'augmentation des prix, la planification d'un budget familial, l'investissement rentable des fonds et bien d'autres problèmes ne peuvent être résolus sans ces compétences. Lors de la préparation au test de certification, vous devez répéter comment résoudre des problèmes impliquant des pourcentages : dans l'examen d'État unifié de mathématiques, on les retrouve aussi bien au niveau de base qu'au niveau spécialisé.

Il faut se souvenir

Un pourcentage est une partie \(\frac(1)(100)\) d’un nombre. Désigne une part de quelque chose par rapport au tout. Le symbole écrit est \(\%\) . Lors de la préparation de l'examen d'État unifié sur le thème « Pourcentage », les écoliers de Moscou et d'autres régions de la Fédération de Russie doivent se rappeler de la formule suivante :

Comment l'appliquer ?

Afin de résoudre un problème simple avec des pourcentages à l'examen d'État unifié en mathématiques, vous avez besoin de :

1. Divisez le nombre donné par \(100\) .
2. Multipliez la valeur obtenue par la quantité de \(\%\) à trouver.

Par exemple, pour calculer \(10\%\) du nombre \(300\) , vous devez trouver le pourcentage \(1\) en divisant \(300:100=3\) . Et le nombre obtenu à partir de l’action précédente est \(3\cdot10=30\) . Réponse : \(30\).

Ce sont les tâches les plus simples. Les élèves de 11e année de l'examen d'État unifié sont confrontés à la nécessité de résoudre des problèmes complexes impliquant des pourcentages. En règle générale, ils font référence à des dépôts ou à des paiements bancaires. Vous pouvez vous familiariser avec les formules et les règles de leur application en vous rendant dans la rubrique « Informations théoriques ». Ici, vous pouvez non seulement répéter les définitions de base, mais également vous familiariser avec les options permettant de résoudre des problèmes complexes impliquant les intérêts d'un prêt bancaire, ainsi que des exercices d'autres sections de l'algèbre, par exemple,

Voir aussi la vidéo "Problèmes de texte à l'examen d'État unifié de mathématiques".
Un problème de mots n’est pas seulement une tâche de mouvement et de travail. Il y a aussi des tâches sur les pourcentages, sur les solutions, les alliages et les mélanges, sur le déplacement en cercle et la recherche de la vitesse moyenne. Nous vous en parlerons.

Commençons par les problèmes impliquant des pourcentages. Nous avons déjà abordé ce sujet dans la tâche 1. Ils ont notamment formulé règle importante: nous prenons comme valeur avec laquelle nous comparons.

Nous avons également dérivé des formules utiles :

si nous augmentons la valeur de pour cent, nous obtenons .
si la valeur est réduite de pour cent, nous obtenons .
si la valeur est augmentée de pour cent puis diminuée de , nous obtenons .

si nous augmentons la valeur de deux pour cent, nous obtenons
si la valeur est réduite de deux pour cent, nous obtenons

Utilisons-les pour résoudre des problèmes.

Il y avait des gens vivant dans le pâté de maisons chaque année. Au cours de l'année, à la suite de la construction de nouvelles maisons, le nombre d'habitants a augmenté de, et au cours de l'année, de par rapport à l'année. Combien de personnes ont commencé à vivre dans le quartier par an ?

Selon la condition, en un an, le nombre d'habitants a augmenté de , c'est-à-dire qu'il est devenu égal au nombre de personnes.

Et au cours de l'année, le nombre d'habitants a augmenté de , par rapport à l'année actuelle. Nous comprenons qu'en un an, davantage de résidents vivaient dans le quartier.

Le problème suivant a été proposé à essai Examen d'État unifié en mathématiques en décembre. C'est simple, mais peu de gens le maîtrisent.

Lundi, le prix des actions de la société a augmenté d'un certain pourcentage et mardi, leur prix a chuté du même pourcentage. En conséquence, ils sont devenus moins chers qu’à l’ouverture des marchés lundi. De quel pourcentage le cours des actions de la société a-t-il augmenté lundi ?

À première vue, il semble y avoir une erreur dans l’état et le cours de l’action ne devrait pas changer du tout. Après tout, leur prix a augmenté et baissé du même pourcentage ! Mais ne nous précipitons pas. Supposons qu'à l'ouverture des marchés lundi, les actions valaient des roubles. Lundi soir, leur prix avait augmenté et commençait à coûter cher. Maintenant, cette valeur est prise comme , et mardi soir, le prix des actions a chuté de cette valeur. Rassemblons les données dans un tableau :

Selon la condition, le prix des actions a finalement chuté de .

Nous obtenons cela

Divisons les deux côtés de l'équation par (après tout, ce n'est pas égal à zéro) et appliquez la formule de multiplication abrégée sur le côté gauche.

Selon le sens du problème, la valeur est positive.
Nous comprenons cela.

Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue chaque année du même pourcentage par rapport au prix précédent. Déterminez de quel pourcentage le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, deux ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.

Ce problème est également résolu à l'aide de l'une des formules données au début de l'article. Le réfrigérateur coûte des roubles. Son prix a diminué de moitié et il est désormais égal à

Quatre chemises coûtent moins cher qu'une veste de . Quel pourcentage de cinq chemises coûtent-elles plus cher qu’une veste ?

Que le coût de la chemise soit égal au coût de la veste. Comme toujours, nous prenons à cent pour cent la valeur avec laquelle nous comparons, c'est-à-dire le prix de la veste. Alors le coût de quatre chemises est égal au prix de la veste, c'est-à-dire
.

Le coût d'une chemise est plusieurs fois inférieur :
,
et le coût de cinq chemises :

Nous avons obtenu cinq chemises plus chères que la veste.

Répondre: .

La famille est composée d'un mari, d'une femme et de leur fille étudiante. Si le salaire du mari doublait, le revenu familial total augmenterait de . Si la bourse de la fille était réduite de moitié, le revenu total de la famille serait réduit de . Quel pourcentage du revenu familial total représente le salaire de la femme ?

Dessinons un tableau. Nous appellerons les situations évoquées dans le problème (« si le salaire du mari augmentait, si la bourse de la fille diminuait... ») « situation » et « situation ».

Il reste à écrire le système d'équations.

Mais que voit-on ? Deux équations et trois inconnues ! Nous ne pourrons pas les trouver séparément. C’est vrai, nous n’en avons pas besoin. Il est préférable de prendre la première équation et de soustraire la somme de ses deux côtés. On obtient :

Cela signifie que le salaire du mari fait partie du revenu familial total.

Dans la deuxième équation, nous soustrayons également l'expression des deux côtés, simplifions et obtenons cela

Cela signifie que la bourse de la fille est basée sur le revenu familial total. Le salaire de la femme constitue alors le revenu total.

Répondre: .

Type suivant problèmes - problèmes sur les solutions, mélanges et alliages. On les retrouve non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie. Nous vous parlerons du d'une manière simple leurs décisions.

Dans un récipient contenant des litres de -pourcentage solution aqueuse une substance, ajouté des litres d'eau. Quel pourcentage est la concentration de la solution obtenue ?

Dans la décision tâches similaires la photo aide. Représentons schématiquement un récipient avec une solution - comme si la substance et l'eau qu'il contient n'étaient pas mélangées les unes aux autres, mais séparées les unes des autres, comme dans un cocktail. Et notons combien de litres contiennent les récipients et quel pourcentage de la substance ils contiennent. Notons la concentration de la solution résultante.

Le premier récipient contenait des litres de cette substance. Le deuxième récipient ne contenait que de l'eau. Cela signifie que le troisième récipient contient le même nombre de litres de substance que le premier :

.

Nous avons mélangé une certaine quantité d’une solution à -pourcentage d’une certaine substance avec la même quantité d’une solution à -pourcentage de cette substance. Quel pourcentage est la concentration de la solution obtenue ?

Soit la masse de la première solution égale à . La masse du second est la même. En conséquence, nous avons obtenu une solution de masse . Faisons un dessin.

On obtient :

Répondre: .

Les raisins contiennent de l'humidité et les raisins secs contiennent de l'humidité. Combien de kilogrammes de raisins faut-il pour produire des kilogrammes de raisins secs ?

Attention! Si vous rencontrez un problème « concernant les produits », c'est-à-dire où les raisins secs sont fabriqués à partir de raisins, les abricots à partir d'abricots, les craquelins à partir de pain ou le fromage cottage à partir de lait, sachez qu'il s'agit en fait d'un problème de solutions. Nous pouvons également décrire grossièrement les raisins comme une solution. Il contient de l'eau et de la « matière sèche ». La « matière sèche » a un complexe composition chimique, et par son goût, sa couleur et son odeur on pourrait comprendre qu'il s'agit de raisins et non de pommes de terre. Les raisins secs sont produits lorsque l'eau s'évapore des raisins. Dans le même temps, la quantité de « matière sèche » reste constante. Les raisins contenaient de l’eau, ce qui signifie qu’il y avait de la « matière sèche ». Les raisins secs contiennent de l’eau et de la « matière sèche ». Laissez un kg de raisins produire un kg de raisins secs. Alors

De à partir de

Faisons une équation :

et nous le trouverons.

Répondre: .

Il existe deux alliages. Le premier alliage contient du nickel, le second du nickel. A partir de ces deux alliages, un troisième alliage pesant 1 kg contenant du nickel a été obtenu. De combien de kilogrammes la masse du premier alliage est-elle inférieure à la masse du second ?

Soit la masse du premier alliage x et la masse du deuxième alliage y. Le résultat était un alliage d'une masse de .

Écrivons-le système simpleéquations :

La première équation est la masse de l'alliage résultant, la seconde est la masse du nickel.

En résolvant, nous obtenons cela.

Répondre: .

En mélangeant des solutions à -pourcentage et -pourcentage d'acide et en ajoutant kg eau propre, nous avons obtenu une solution à -pourcentage d'acide. Si au lieu d’un kg d’eau on ajoutait une solution à un kg pour cent du même acide, nous obtiendrions une solution à un pour cent de l’acide. Combien de kilogrammes de solution à pourcentage ont été utilisés pour obtenir le mélange ?

Soit la masse de la première solution , la masse de la seconde est égale à . La masse de la solution résultante est égale à . Écrivons deux équations pour la quantité d'acide.

Nous résolvons le système résultant. Multiplions immédiatement les deux côtés des équations par , car il est plus pratique de travailler avec des coefficients entiers qu'avec des coefficients fractionnaires. Ouvrons les parenthèses.

Répondre: .

Les problèmes de mouvement circulaire se sont également révélés difficiles pour de nombreux étudiants. Ils sont résolus presque de la même manière que tâches ordinaires pour le mouvement. Ils utilisent également la formule. Mais il y a une astuce dont nous allons vous parler.

Du point piste circulaire Un cycliste est sorti, et quelques minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Quelques minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et quelques minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de km. Donnez votre réponse en km/h.

Tout d'abord, convertissons les minutes en heures, puisque la vitesse doit être trouvée en km/h. Nous désignons les vitesses des participants comme et . Pour la première fois, un motocycliste a dépassé un cycliste quelques minutes plus tard, soit une heure après le départ. Jusqu’à présent, le cycliste était sur la route depuis quelques minutes, soit une heure.

Écrivons ces données dans un tableau :

Bien entendu, les deux ont parcouru les mêmes distances.

Le motocycliste a ensuite doublé le cycliste une seconde fois. Cela s'est produit quelques minutes, c'est-à-dire une heure après le premier dépassement.

Dessinons le deuxième tableau.

Quelles distances ont-ils parcourues ? Un motocycliste a dépassé un cycliste. Cela signifie qu'il a fait un tour de plus. C'est le secret de cette tâche. Un tour correspond à la longueur de la piste, il est égal à km. On obtient la deuxième équation :

Résolvons le système résultant.

Nous comprenons cela. En réponse, nous notons la vitesse du motocycliste.

Répondre: .

Une horloge avec des aiguilles indique les heures et les minutes. Dans combien de minutes aiguille des minutes sera-t-il aligné avec l'horloge pour la quatrième fois ?

C'est peut-être le plus tâche difficile depuis Options d'examen d'État unifié. Bien sûr, il existe une solution simple : prenez une montre avec des aiguilles et assurez-vous que les aiguilles s'alignent pour la quatrième fois en une heure, exactement à ..
Et si tu as montre électronique et vous ne pouvez pas résoudre le problème expérimentalement ?

En une heure, l’aiguille des minutes parcourt un cercle et l’aiguille des heures parcourt un cercle. Soit leurs vitesses (cercles par heure) et (cercles par heure). Début - à .. Trouvons l'heure pendant laquelle l'aiguille des minutes rattrapera pour la première fois l'aiguille des heures.

L’aiguille des minutes parcourra un cercle supplémentaire, donc l’équation sera :

Après l'avoir résolu, nous obtenons cette heure. Ainsi, pour la première fois, les aiguilles s’aligneront en une heure. Laissez-les devenir égaux une deuxième fois après un certain temps. Aiguille des minutes je tiendrai la distance, l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes parcourront un cercle supplémentaire. Écrivons l'équation :

Après l'avoir résolu, nous obtenons cette heure. Ainsi, dans une heure, les aiguilles s’aligneront pour la deuxième fois, après une autre heure pour la troisième fois et après une autre heure pour la quatrième fois.

Cela signifie que si le départ était à ., alors pour la quatrième fois les flèches s'aligneront sur
heures.

La réponse est tout à fait conforme à la solution « expérimentale » ! :-)

Lors de votre examen de mathématiques, on vous demandera peut-être également de trouver la vitesse moyenne. N'oubliez pas que la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses. On le trouve à l'aide d'une formule spéciale :

,
où est la vitesse moyenne, - chemin commun, - temps total.

S'il y avait deux sections du chemin, alors

Le voyageur a traversé la mer sur un yacht à une vitesse moyenne de km/h. Il est revenu à bord d'un avion de sport à une vitesse de km/h. Trouvez la vitesse moyenne du voyageur tout au long du trajet. Donnez votre réponse en km/h.

Nous ne savons pas quelle distance a parcouru le voyageur. On sait seulement que cette distance était la même à l'aller et au retour. Pour simplifier, prenons cette distance comme (une mer). Le temps pendant lequel le voyageur a navigué sur le yacht est alors égal à , et le temps passé en vol est égal à . Durée totale est égal à .
Vitesse moyenneégal à km/h.

Répondre: .

Montrons une autre technique efficace qui vous aide à résoudre rapidement le système d'équations du problème 13.

Andrey et Pacha peignent la clôture en une heure. Pacha et Volodia peignent la même clôture en une heure, et Volodia et Andrey - en une heure. Combien d’heures faudra-t-il aux garçons pour peindre la clôture, en travaillant ensemble ?

Nous avons déjà résolu les problèmes de travail et de productivité. Les règles sont les mêmes. La seule différence est qu'il y a trois personnes qui travaillent ici et qu'il y aura également trois variables. Que ce soit la productivité d’Andreï, la productivité de Pacha et la productivité de Volodia. Nous prendrons la clôture, c'est-à-dire la quantité de travail, car - après tout, nous ne pouvons rien dire sur sa taille.

Andrey et Pacha ont peint la clôture en quelques heures. On se souvient de ça quand travailler ensemble les performances s’additionnent. Écrivons l'équation :

De même,

Alors


.

Vous pouvez rechercher , et séparément, mais il est préférable d’ajouter simplement les trois équations. Nous obtenons cela

Cela signifie qu'en travaillant ensemble, Andreï, Pacha et Volodia peignent un huitième de la clôture en une heure. Ils peindront toute la clôture en quelques heures.

"Simple et intérêts composés »

Pertinence du sujet.

Comprendre les pourcentages et être capable de faire des calculs de pourcentages sont actuellement nécessaires à chaque personne : valeur appliquée Ce sujet est très vaste et touche les aspects financiers, démographiques, environnementaux, sociologiques et autres de nos vies.

Le matériel est pertinent pour tous ceux qui sont en 11e année cette année.

Lorsque Yashchenko, directement impliqué dans la compilation des CIM en mathématiques, est venu à notre séminaire en octobre, il a déclaré que tous les prototypes de la tâche 19 seraient publiés dans pot ouvert, puisque la tâche est nouvelle.

La tâche est en train d'être résolue pour ma classe pas très forte, et il serait possible de s'y entraîner.

Un peu de théorie...

"Intérêt".

Tâche1

a) Comment s’appelle l’intérêt ? (Un pourcentage est un centième d'un nombre.)

b) Qu'est-ce qu'indiqué 1% ? ( 1%? = 0,01 )

c) Comment appelle-t-on 1 % d’un quintal ? ( kg. ) Compteur ? (voir) Hectare ? (ar ou centième)

d) Ce qu'on appelle 1% d'intérêt numéro donné UN? (Le pourcentage d'un nombre donné a est le nombre 0,01 a, c'est-à-dire 1% (a) = 0,01*a)

e) Comment déterminer p% d'un nombre a donné ? (trouver le nombre 0,01 p a, c'est-à-dire p% = 0,01*р*а)

f) Comment convertir une fraction décimale en pourcentage ? ( multiplier par 100 ). Qu'en est-il des pourcentages en décimales ? (diviser par cent, c'est-à-dire multiplier par 0,01)

g) Comment trouver le pourcentage d'un nombre ? (Pour trouver une pièceà partir du nombre x en pourcentage, vous devez diviser cette partie par le nombre et multiplier par 100, c'est-à-dire a(%)=(w/x)*100)

e) Comment trouve-t-on un nombre par son pourcentage ?(Si l'on sait que a% de x est égal à b, alors x peut être trouvé en utilisant la formule x = (v/a)*100)

Tâche 2

Présentez ces fractions décimales sous forme de pourcentages :

A)1 ; 0,5 ; 0,763 ; 1,7 ; 256.

b) Exprimer les pourcentages en fractions décimales : 2 % ; 12 % ; 12,5% ; 0,1 % ; 200%.

Tâche 3

Trouvez le % du nombre :

c) 0,1% du nombre 1200 ?(1,2)

d) 15 % du nombre 2 ? (0,30)

Tâche 4

Trouver un nombre par son pourcentage :

e) Combien de centièmes pèse le sac ? Sucre en poudre, si 13% font 6,5 kg.?(50 kg.= 0,5 c.)

c) Quel pourcentage de 10 fait 9 ?

Réponses : a) 9 %, b) 0,09 %, c) 90 % ;

d) 900 % ?.

Intérêts simples et composés

Ces termes se retrouvent le plus souvent dans le domaine bancaire, dans les tâches financières.

Les banques attirent des fonds (dépôts) à certains taux d'intérêt. En fonction du taux d'intérêt, des revenus sont calculés.

Dans la pratique, deux approches sont utilisées pour évaluer les revenus d'intérêts : les intérêts simples et composés.

Lors de l'application d'intérêts simples, les revenus sont calculés à partir du montant initial des fonds investis, quelle que soit la durée d'investissement. Dans les transactions financières, les intérêts simples sont principalement utilisés pour les transactions financières à court terme. Laissez une certaine quantité être sujette à un changement graduel. De plus, chaque fois que son changement est certain nombrepour cent de la valeur que cette valeur avait sur étape initiale. C'est ainsi qu'ils sont calculés

intérêts simples.Lors de l'application des intérêts composés, le montant des intérêts accumulés est ajouté au dépôt à la fin de la période d'accumulation suivante. De plus, chaque fois que sa variation représente un certain nombre de pour cent de la valeur qu'avait cette valeurà l'étape précédente. Dans ce cas, nous avons affaire à «intérêts composés

» (c'est-à-dire que les calculs « intérêts sur intérêts » sont utilisés)

Le montant initial et les intérêts reçus sont collectivement appelés le montant accumulé (accumulé).

Tableau 1. Montant accumulé en utilisant les intérêts simples et composés.

Formules pour intérêts simples et composés.

I. Laissez une certaine valeur A augmenter n fois (n an) et à chaque fois de p%.

On introduit la notation : A 0 – valeur initiale de la quantité A ;

r – quantité constante pour cent;

un taux d'intérêt; a=р/100 = 0,01*р

Un – montant accumulé n fois (avant la fin de la nième année) - selon la formule d'intérêt simple ;

S n - le montant accumulé n fois (avant la fin de la nième année) - selon la formule des intérêts composés.

Alors sa valeur A 1 pour les intérêts simples après la première augmentation (avant la fin de la première année) est calculé par la formule : A 1 = A 0 + A 0 * (0,01p) = A 0 (1 + (0,01p) = A 0 (1 + p)

A la fin de la deuxième étape A 2 = A 1 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).

A la fin de la troisième étape A 3 = A 2 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).

Alors pour les intérêts simples le montant au fil des années est égal à :

A n = A 0 (1 + 0,01р*n) ou A n = A 0 (1 + ?* n) (1)

Pour les intérêts composés, la situation est différente :

Soit une quantité S 0 augmente n fois (n an) et à chaque fois de p%.

Alors sa signification S1 les intérêts composés après la première augmentation (avant la fin de la première année) sont calculés à l'aide de la formule :

S1 = S0 + S0 (0,01r) = S0 * (1 + 0,01r) = S0 * (1 + ?).

A la fin de la deuxième étape S 2 = S 1 + S 1 (0,01р) = S 1 * (1 + 0,01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.

A la fin de la troisième étape S 3 = S 2 + S 2 (0,01r) = S 2 * (1 +0,01r) = S 0 (1 +0,01r) 2 *(1 +0,01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + une) 3.

Ensuite pour les intérêts composés le montant au fil des années est égal à :

S n = S 0 (1 + 0,01р) n ou S n = S 0 (1 + a ) n (2)

Exemple 1.

La banque a ouvert un dépôt à terme d'un montant de 50 000 roubles. 12% pendant 3 ans. Calculez le montant accumulé si les intérêts :

a) simples ; b) complexe.

Solution 1.

Utiliser la formule d’intérêt simple

Sn=(1+3*0,12)*50 000 = 68 000 frotter. (rés. 68 000 roubles.)

Utiliser la formule d’intérêt simple

Sn=(1+0,12) 3 *50 000 = 70 246 roubles. (rés. 70246 frotter.)

La formule des intérêts composés relie quatre quantités : le dépôt initial, le montant accumulé ( valeur future dépôt), taux d’intérêt annuel et durée en années. Par conséquent, connaissant trois quantités, vous pouvez toujours trouver la quatrième :

S n = S 0 * (1+0,01р) n

Pour déterminer le nombre de pour cent p il faut :

р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)

L'opération de recherche du dépôt initial S 0 , si l'on sait que dans n années il devrait s'élever à la somme S n , est appelé escompte :

S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)

Combien d'années dure la cotisation S 0 doit rester en banque à p% par an pour atteindre la valeur S n.

n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2,3)

Dans la pratique bancaire, les intérêts peuvent être accumulés plus d'une fois par an. Dans ce cas, le taux d’escompte est généralement fixé en termes annuels. La formule des intérêts composés ressemblera à :

S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)

où t est le nombre de réinvestissements d’intérêts par an.

Exemple 2.

La banque a ouvert un dépôt à terme d'un montant de 50 000 roubles. 12% pendant 3 ans. Calculez le montant accumulé si les intérêts sont calculés trimestriellement.

Solution 2.

n=3

t = 4 (par an – 4 trimestres)

Utiliser la formule des intérêts composés

S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50000 = 1,03 12 *50 000 = 71 288 roubles. représentant 71 288 RUB

Comme il ressort des exemples 1 et 2, le montant accumulé augmentera plus rapidement, plus les intérêts seront accumulés.

Présentons une généralisation de la formule (2), lorsque l'augmentation de la valeur de S à chaque étape est différente. Soit SÔ , la valeur initiale de S, à la fin de la première étape subit un changement de p 1 %, à la fin de la seconde sur p 2 %, et à la fin de la troisième étape sur p 3 %, etc. A la fin de la nième étape, la valeur de S est déterminée par la formule

S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )...(1 + 0,01р n ) (4)

Exemple 3.

La base commerciale a acheté un lot de marchandises auprès du fabricant et l'a livré au magasin au prix de gros, soit 30 % plus de prix fabricant. Le magasin a fixé le prix de détail du produit à 20 % plus élevé que le prix de gros. Lors des soldes, le magasin a réduit ce prix de 10 %. Combien de roubles de plus l’acheteur a-t-il payé par rapport au prix du fabricant s’il achetait un article lors d’une vente à 140 roubles ? 40 kopecks

Solution 3.

Soit le prix initial S frotter., alors selon la formule (4) nous avons :

S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S0 *1,3*1,2*0,9 = S0 *1,404 = 140,4

S 0 = 140,4 : 1,404 = 100 (frotter.)

Trouver la différence entre le dernier prix et le prix initial

140,4 – 100 = 40,4 Réponse. 40,4 roubles.

Exemples de problèmes avec solutions

Option 1

Tâche 1. Le propriétaire de la station-service a augmenté le prix de l'essence de 10 %. Constatant que le nombre de clients avait fortement diminué, il baissa le prix de 10 %. Comment le prix de départ de l’essence a-t-il changé par la suite ? (augmenté ou diminué et de combien de % ?)

Solution : Soit S 0 – prix de départ, S2 – prix final, x – nombre de pourcentage de changement souhaité, où x = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)

Alors d'après la formule S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )***(1 + 0,01р n ) (4), on obtient

S 2 = S 0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S 0 *1,1*0,9 = 0,99*S 0.

S 2 = 0,99*S 0 ; 0,99 = 99 %, valeur S 2 représente 99 % du coût initial, ce qui signifie 100 % de moins - 99 % = 1 %.

Ou en utilisant la formule (*) on obtient : x = (1 – 0,99)*100% = 1%.

Réponse : diminué de 1 %.

Tâche 2. Au cours de l'année, l'entreprise a augmenté sa production deux fois dans le même pourcentage. Trouvez ce numéro si l'on sait qu'au début de l'année, l'entreprise produisait 600 produits par mois et qu'à la fin de l'année, elle commençait à produire 726 produits par mois.

Solution : Soit S 0 – prix de départ, S2 – prix final, p – montant constant des intérêts.

D'après la formule (2.1) on obtient : p = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.

Réponse : 10 %

Tâche 3. Le prix du matériel informatique a été augmenté de 44 %. Ensuite, suite à deux réductions successives en pourcentages identiques, le prix des ordinateurs était inférieur de 19 % au prix initial. De quel pourcentage ont-ils réduit le prix à chaque fois ?

Solution : En utilisant la formule (4), nous composons l'équation

S 3 = S 0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01r)(1 - 0,01r) = S0 *1,44*(1 - 0,01r) 2 = S0 * (1-0,01*19). En résolvant l'équation, nous obtenons 2 racines : 175 et 25, où 175 ne convient pas aux conditions du problème. Donc p = 25%.

Réponse : 25 %

Tâche 4. Pour déterminer le régime optimal d'augmentation des prix, l'entreprise a décidé, à partir du 1er janvier, d'augmenter le prix du même produit dans deux magasins de deux manières. Dans un magasin - au début de chaque mois (à partir de février) de 2%, dans un autre - tous les deux mois, au début du troisième (à partir de mars) du même nombre de pour cent, et de telle sorte qu'après six mois (1er juillet) les prix sont redevenus les mêmes. De combien de pour cent le prix du produit doit-il être augmenté tous les deux mois dans le deuxième magasin ?

Solution : Soit S 0 – prix de départ,p – pourcentage constant.

Puis au bout de 6 mois (après six augmentations de 2%) dans le premier magasin le prix du produit sera égal à S 0 (1 + 0,01*2) 6 , et dans le deuxième magasin (après trois augmentations de p%), le prix du produit sera égal à S 0 (1 + 0,01r) 3 . On obtient l'équation S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01r) 3 . En le résolvant, nous obtenons

(1 + 0,01*2) 2 = (1 + 0,01r) ; 1,02 2 = (1 + 0,01r) ; p = 4,04

Réponse : 4,04 %

Option 2.

Tâche 1. Une voiture roulait sur une autoroute à une certaine vitesse. Sortir à route de campagne, il a réduit la vitesse de 20 %, puis dans une section de montée raide, il a réduit la vitesse de 30 %. Quel pourcentage cette nouvelle vitesse est-elle inférieure à l'originale ?

Solution : Soit V 0 – la vitesse initiale,V – nouvelle vitesse, obtenue après deux divers changements, p – le montant d’intérêt requis.

Ensuite, en utilisant la formule (4), on compose l'équation V 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0,01r). En le résolvant, nous obtenons V 0 *0,8*0,7 = V0 (1 - 0,01r) ; p = 44

Réponse : 44%

Tâche 2. Supposons qu'à température ambiante, l'eau s'évapore de 3 % par jour. Combien de litres d'eau restera-t-il après 2 jours sur 100 litres ? Quelle quantité d’eau va s’évaporer ?

Solution : n=2 ; p=3% ; S 0 = 100l. Alors, d’après la formule (2), on obtient

S 2 = S 0 (1 - 0,01p) 2 = 100*(1-0,01*3) 2 = 100*0,97 2 = 94,09 ; S0 – S2 = 100 - 94,09 = 5,91

Réponse : 94,09 l. ; 5,91l.

Tâche 3. Le dépôt déposé à la banque il y a 2 ans a atteint 11 449 roubles. Quelle était la cotisation initiale à 7% par an ? Quel est le bénéfice ?

Solution : n=2 ; p = 7 % ; S2 = 11449 ; S0 = ?

Dans la formule (2.2) S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n On substitue ces valeurs, on obtient :

S 0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07) 2 =11449/ 1,1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Réponse : 10 000 roubles ; 1449 roubles.

Tâche 4. Sberkassa accumule annuellement 3% du montant du dépôt. Dans combien d’années ce montant doublera-t-il ?

Solution : p=3% ; S 0 – le montant initial ; n=?

Faisons une équation : 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) n ; 2 = 1,03 n n=log 1,03 2 ; n ?23.

Travail indépendant

1er niveau. Après la reconstruction, l'usine a augmenté sa production de 10 % et après le remplacement des équipements de 30 % supplémentaires. De quel pourcentage la production initiale a-t-elle augmenté ?

(Réponse : 43%)

2ème niveau. Le nombre 50 a été augmenté trois fois du même nombre de pour cent, puis diminué du même nombre de pour cent. Le résultat était de 69,12. De quel pourcentage avez-vous augmenté puis diminué ce nombre ?

(Réponse : 20%)

3ème niveau. La banque facture annuellement 7% du montant du dépôt. Trouver le plus petit nombre années, au cours desquelles la cotisation augmente de plus de 20 %.

(Réponse : 3 ans)

N°1. La caisse d'épargne accumule 5,5% par an sur les dépôts par an. Le déposant a déposé 150 000 roubles à la banque. Quel sera le montant de la caution après 2 ans ?

(Réponse : 166 953,75 RUB)

N°3. La banque propose deux options de dépôt

1) à 120 % avec intérêts courus en fin d’année ;

2) à 100% avec intérêts courus à la fin de chaque trimestre.

Déterminez une option plus rentable pour effectuer des dépôts pendant un an.

Solution.

L'option la plus rentable est considérée comme celle dans laquelle le montant augmenté au cours de l'année sera plus important. Pour évaluer les options, nous prendrons le montant initial égal à 100 roubles.

Selon la première option, le montant accumulé sera égal à (1+1,2)*100 roubles. = 220 roubles.

Dans la deuxième option, les intérêts sont courus trimestriellement. À la fin du premier trimestre, le montant accumulé est de (1+1,0/4)*100 roubles. = 125 roubles.

A la fin du 2ème quart-temps (1+1.0/4) 2 *100 frotter. = 156 roubles.

Le montant accumulé pour l'année est de (1+1,0/4) 4 *100 frotter. = 244 roubles.

Comme il ressort des calculs, la deuxième option est beaucoup plus rentable (244 > 220). C'est vrai, seulement si des intérêts composés sont utilisés.

Une sélection de prototypes pour la tâche n°19 de l'Examen d'État unifié de mathématiques 2015 au niveau profil.

19. Le 31 décembre 2012, Ekaterina a contracté 850 000 roubles à crédit auprès de la banque à 15 % par an. L'échéancier de remboursement du prêt est le suivant : 31 décembre de chaque l'année prochaine la banque facture des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire augmente la dette de 15 %), puis Ekaterina le transfère à la banque un certain montant paiement annuel. Quel devrait être le montant du versement annuel pour que Catherine puisse rembourser la dette en trois versements annuels égaux ?

19. Une banque accorde un prêt à une jeune famille à 20 % par an pour acheter un appartement.

Le schéma de remboursement du prêt est le suivant : exactement un an après l'octroi du prêt par la banque

facture des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire augmente la dette de 20 %),

alors cette famille transfère un certain montant à la banque au cours de l'année suivante

montant du paiement annuel (fixe). La famille Ivanov envisage de rembourser

prêt à versements égaux sur 4 ans. Combien d'argent peut-il leur donner ?

banque, si les Ivanov sont en mesure de rembourser le prêt 810 000 par an

des roubles ?

19. Un ballon de 8 litres contient un mélange d'azote et d'oxygène contenant 32 % d'oxygène. Une certaine quantité du mélange a été libérée du ballon et la même quantité d'azote a été ajoutée ; puis ils ont à nouveau libéré la même quantité de nouveau mélange que la première fois et ont ajouté la même quantité d'azote. En conséquence, le pourcentage d'oxygène dans le mélange était de 12,5 %. Combien de litres de mélange ont été libérés à chaque fois ?

19. Un dépôt a été effectué à la banque avec un intérêt bancaire de 10 %. Un an plus tard, le propriétaire du dépôt a retiré 2 000 roubles du compte et, un an plus tard, a déposé à nouveau 2 000 roubles. Cependant, à la suite de ces actions, trois ans après l'investissement initial du dépôt, il a reçu un montant inférieur à celui prévu (s'il n'y avait pas de transactions intermédiaires avec le dépôt). Combien de roubles de moins que le montant prévu l'investisseur a-t-il finalement reçu ?

19. Le premier jour ouvrable du mois, un certain nombre de tracteurs sont sortis des chaînes de montage de l'usine. Chaque jour ouvrable suivant, leur production augmentait de 3 tracteurs par jour, et le plan mensuel de 55 tracteurs était achevé plus tôt que prévu et en un nombre entier de jours. Après cela, 11 tracteurs ont été produits quotidiennement. Déterminez combien de tracteurs ont été produits le premier jour ouvrable et de quel pourcentage le plan mensuel a été dépassé, si l'on sait qu'il y a eu 26 jours ouvrables dans le mois et que les travaux prévus n'ont duré pas moins de 3 et pas plus de 10 jours.

19. Le 8 mars, Lenya Golubkov a retiré 53 680 roubles à la banque à crédit sur 4 ans à 20 % par an pour acheter un nouveau manteau de fourrure à sa femme Rita. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant : le matin du 8 mars de l'année suivante, la banque prélève des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 20 %), et le soir du même Le jour même, Lenya transfère un certain montant du paiement annuel à la banque (ce montant est le même pour les quatre années). Quel montant en plus des 53 680 roubles empruntés Lenya Golubkov devra-t-elle payer à la banque au cours de ces quatre années ?

19. Semyon Kuznetsov prévoyait d'investir toutes ses économies dans un compte d'épargne à la banque Navroda à 500 %, espérant gagner un rouble A dans un an. Cependant, l'effondrement de la Navrode Bank a modifié ses plans, empêchant un acte irréfléchi. En conséquence, M. Kuznetsov a déposé une partie de l'argent dans la Première banque municipale et le reste dans un pot de pâtes. Un an plus tard, First Municipal a augmenté le pourcentage de paiement de deux fois et demie et M. Kuznetsov a décidé de laisser le dépôt pour une autre année. En conséquence, le montant reçu à First Municipal étaitEt des roubles. Déterminez quels intérêts la Première Banque Municipale a accumulés pour la première année si Semyon "investissait" dans une boîte de pâtes Et des roubles.

19. La banque prévoit d'investir 30 % des fonds de ses clients dans des actions d'une usine d'extraction d'or pendant 1 an et les 70 % restants dans la construction d'un complexe commercial. Selon les circonstances, le premier projet peut rapporter à la banque un bénéfice de 32 à 37 % par an, et le deuxième projet, de 22 à 27 % par an. À la fin de l'année, la banque est obligée de restituer l'argent aux clients et de leur payer des intérêts à un taux prédéterminé, dont le niveau doit varier de 10 % à 20 % par an. Déterminez quel est le bénéfice net le plus petit et le plus important en pourcentage par an du total des investissements dans l'achat d'actions et la construction d'un complexe commercial que la banque peut recevoir.

Un pourcentage est un centième de nombre.

Le pourcentage est indiqué par le symbole $%$.

Pour représenter des pourcentages sous la forme décimal, vous devez diviser la valeur par 100$.

$35%={35}/{100}=0.35$.

Pour trouver le pourcentage d'un nombre, il vous faut numéro donné divisez par 100$ et multipliez par le pourcentage.

$n%$ de $а=(а⋅n)/(100)$

Combien de degrés contient un angle s'il représente 5 % $ de l'angle droit ?

L'angle droit est de 180°$.

Trouvons $5%$ de $180°$, pour cela $(180°⋅5)/(100)=9°$.

Réponse : 9°$.

Pour trouver un nombre par son pourcentage spécifié, vous devez diviser le nombre donné par valeur spécifiée pour cent et multipliez le résultat par 100 $.

Trouvez un nombre dont 20%$ équivaut à 80$.

On trouve un nombre dont 20%$ vaut 80$ comme suit :

${80⋅100}/{20}=400$.

Réponse : 400$.

Tâches de remise

Une remise est une réduction du prix d’un produit ou d’un service. Le plus souvent, la remise est indiquée en pourcentage.

Pour connaître le prix d'un produit en tenant compte de la remise il faut :

1. Soustrayez le pourcentage de remise de 100 % $.
2. Trouvez le pourcentage obtenu du coût total du produit.

Une veste d'hiver coûte 4 500 roubles. Rabais saisonnier est de 20 %$. Combien dois-je payer pour une veste en tenant compte de la remise ?

Voyons quel pourcentage du coût initial sera le coût de la veste à prix réduit :

Calculons combien représentent 80 % de 4 500 $ de roubles. Pour trouver le pourcentage d'un nombre, vous devez diviser le nombre donné par 100$ et multiplier par la valeur en pourcentage.

$(4500·80)/(100)=$3600 - le coût de la veste en tenant compte de la remise.

Tâches pour les dépôts, les prêts, les majorations

Pour connaître le montant d'argent en tenant compte du taux annuel, il faut :

1. Ajoutez le pourcentage annuel du dépôt à 100 $.
2. Trouvez le pourcentage résultant du montant d’argent initial.

Le client a déposé 150 000 roubles à la banque au taux de 12 % par an. Combien d’argent peut-il retirer en un an ?

$100%+12%=112%$ est le pourcentage de l'argent du client après un an par rapport au montant initial.

Trouvons 112 %$ sur 150 000 $ de roubles :

$(112⋅150 000)/(100)=$168 000 roubles.

Réponse : 168 000$.

Dans certains problèmes de pourcentage, il est pratique d'utiliser la proportion, par exemple :

Un sac de pommes de terre coûte 200 roubles. Après l'augmentation des prix, il a commencé à coûter 250$ roubles. De quel pourcentage le prix d’un sac de pommes de terre a-t-il augmenté ?

Prenons le coût initial du produit à 100 %$ (puisque c'est à cela que nous comparerons le coût après l'augmentation du prix) :

Soit $x%$ le pourcentage du nouveau prix par rapport à l'ancien.

Avec ces données, nous composerons et résoudrons la proportion :

$(100%)/(x%)=(200)/(250)$.

Le produit des termes extrêmes d'une proportion est égal au produit des termes moyens de la proportion :

200 $⋅х=100⋅250$.

$х=(100⋅250)/(200)=125%$.

Le nouveau coût d'un sac de pommes de terre est de 125%$ par rapport au prix initial.

Le prix a augmenté de 125%-100%=25%$.

Réponse : 25$.

Le cahier de mathématiques coûte 65$ roubles. Combien de cahiers un étudiant peut-il acheter pour 450 $ de roubles avec une réduction de 8 % ?

Trouvons le pourcentage du coût du notebook en tenant compte de la remise :

Trouvons 92 % $ sur 65 $ de roubles et obtenons le prix d'un ordinateur portable à 1 $ à prix réduit :

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Nous ne pouvons pas acheter un nombre fractionnaire de cahiers ; il n’y a pas assez d’argent pour huit cahiers, donc l’étudiant ne pourra acheter que 7$ de cahiers.

Réponse : 7$.

Pour résoudre certains problèmes, vous devez vous familiariser avec le terme "intérêts composés", qui est souvent nécessaire pour résoudre des problèmes concernant les dépôts, les prêts, etc. En mots simples, les « intérêts composés » se produisent lorsque nous composons des intérêts sur des intérêts. Regardons cela avec un exemple.

Disons que nous avons déposé X$ roubles à la banque à raison de N$%$ par an. Et ils ont laissé l’argent à la banque non pas un, mais deux ans. Cela signifie qu'à la fin de la première année, nous pourrions prendre $X + X*(N/100) = X(1+(N/100))$ roubles, mais nous ne les prenons pas, mais les laissons pour le deuxième année. Et maintenant, pour ainsi dire, le montant de notre « nouvelle » contribution pour la deuxième année à $N%$ n'est plus $X$, mais $X(1+(N/100))$ roubles. C'est-à-dire qu'au cours de la deuxième année, des intérêts seront accumulés, y compris sur les intérêts accumulés au cours de la première année. Au total à la fin de la deuxième année nous pourrons prendre $X(1+(N/100)) + X(1+(N/100))*(N/100) = X(1+(N/ 100))(1+ (N/100)) = X(1+(N/100))^2$.
Si nous effectuions un dépôt non pas pour deux, mais pour $Y$ ans, alors à la fin nous recevrions $X(1+(N/100))^Y$ roubles.

« Un bon enseignant doit comprendre qu’aucune tâche ne peut être épuisée jusqu’au bout. Il devrait inculquer cette vision à ses étudiants.
D. Polya.

Introduction.

je fais particulièrement attention problèmes de mots sur des pourcentages que l’on retrouve souvent dans la pratique examens d'entrée V universités économiques, mais ne sont pas pleinement abordés à l’école. La capacité d’effectuer des calculs de pourcentages est certainement l’une des compétences mathématiques les plus nécessaires. Cependant, ceux qui ont terminé leurs études depuis longtemps ne sont pas les seuls à être timides à la vue de l'intérêt. Même à l'examen d'État unifié, la résolvabilité des problèmes impliquant des pourcentages ne dépasse pas 20 %. Cela suggère que ce type de problème devrait être résolu non seulement dans classes juniors où ce sujet est étudié, mais aussi tout au long de toutes les années de scolarité.

1. Lors de la résolution de problèmes impliquant des pourcentages, les formules de base suivantes sont utilisées :

1% de a est égal à a.

p% du nombre a est égal à a.

Si l'on sait qu'un certain nombre a est p% de x, alors x peut être trouvé à partir de la proportion

UN− р%

X − 100%,

d'où x=a.

Soient les nombres a, b et a

Le nombre b est 100 % supérieur au nombre a.

Le nombre a est 100 % inférieur au nombre b.

2. Formule d’intérêt composé.

Si le dépôt contient un montant d'une unité monétaire, la banque facture p% par an, puis après n ans, le montant du dépôt sera de

un unités monétaires

3. Problèmes impliquant des pourcentages.

Tâche 1.

Il y a 45 % de personnes intelligentes en moins que de belles personnes ; 36 % des personnes intelligentes ont une belle apparence. Quel est le pourcentage de personnes intelligentes parmi les belles personnes ?

Solution: soit x le nombre de belles personnes, puis le nombre de personnes intelligentes :

x − 0,45x = 0,55x.

Parmi les personnes intelligentes, 36 % sont de belles personnes, donc le nombre de personnes intelligentes et en même temps belles est :

0,36 ·0,55x= 0,198x.

Faisons une proportion :

De là, nous obtenons :

Répondre: 19,8%

Les étudiants souhaitent résoudre des problèmes de mots impliquant des pourcentages plus proches de la vie réelle. Un « plaisir » particulier est la présentation des problèmes non pas à partir d'un livre de problèmes, mais directement à partir d'une page de journal. Ici, il n’y a aucune réflexion sur l’inutilité des mathématiques. Et le « journalisme d’intérêt » fleurit littéralement dans les pages des journaux à l’occasion du déclenchement de la crise économique.

Tâche 2.

Les prix des circuits ont déjà augmenté : par exemple, les circuits en France - de 20 %. Est-il possible de dire combien de pour cent auparavant un voyage en France était moins cher ?

Solution: soit x l'ancien prix et n le nouveau prix.

1) Faisons la première proportion :

On obtient n = 1,2x.

2) Faisons la deuxième proportion :

x − (100-a%)

(100-a) 1,2x = 100x

Après avoir résolu l'équation, on obtient : a ≈17%.

Répondre: 17%.

4. En utilisant la formule des intérêts composés.

Tâche 3.

10 000 roubles ont été déposés sur le compte bancaire. Après que l'argent ait traîné pendant un an, 1 000 roubles ont été retirés du compte. Un an plus tard, le compte contenait 11 000 roubles. Déterminez le pourcentage annuel des frais bancaires.

Solution: Laissez la banque facturer p% par an.

1) Le montant de 10 000 roubles déposé sur un compte bancaire à p% par an augmentera dans un an jusqu'au montant

2) Lorsque 1 000 roubles seront retirés du compte, ils y resteront 9000+100rub frotter.

3) Dans une autre année, cette dernière valeur, en raison de l'accumulation des intérêts, augmentera jusqu'à la valeur

Par condition, cette valeur est égale à 11000 :

En résolvant cette équation, nous obtenons : =10, =−200 - une racine négative ne convient pas.

Répondre: 10%

Tâche 4. (Examen d'État unifié-2015)

La banque a accepté un certain montant à un certain pourcentage. Un an plus tard, un quart du montant accumulé a été retiré du compte. Mais la banque a augmenté le taux d'intérêt chaque année de 40%. D'ici la fin de l'année prochaine, le montant accumulé 1,44 fois dépassé l’investissement initial. Quel est le nouveau pourcentage TAEG ?

Solution: La situation ne changera pas en fonction du montant du dépôt. Mettons-le à la banque 4 rouble (divisé en 4 ). Dans un an, le montant du compte augmentera exactement p fois et deviendra égal (4p) roubles

Divisons-le par 4 pièces, nous les ramènerons à la maison (p) roubles, nous le laisserons à la banque (3p) roubles

On sait qu'à la fin de l'année prochaine, la banque contenait 4 1,44 = 5,76 roubles Donc le numéro (3p) transformé en numéro (5,76) . Combien de fois a-t-il augmenté ?

Ainsi, le deuxième coefficient croissant a été trouvé k pot.

Il est intéressant de noter que le produit des deux coefficients est égal à 1,92 :

Il résulte de la condition que le deuxième coefficient sur 0,4 plus que le premier.

Après nous être débarrassés des virgules, faisons un remplacement t = 10r:

A partir d’une telle équation, il est assez facile d’obtenir 12.

Donc p = 1,2, k = 1,6.

Le montant du dépôt a augmenté de 1,2 fois la première fois et de 1,6 fois la deuxième fois.

C'était 100 %, c'est devenu 160 %. Le nouveau pourcentage annuel est de 160 %-100 % = 60 %.

Répondre: 60%.

Tâche 5. (Examen d'État unifié-2015)

Montant déposé à la banque 3900 mille roubles sous 50% par an. A la fin de chacune des quatre premières années de stockage, après calcul des intérêts, le déposant effectuait un dépôt supplémentaire du même montant fixe sur le compte. À la fin de la cinquième année, après calcul des intérêts, il s'est avéré que

La taille du dépôt a augmenté par rapport au dépôt initial de 725% .

Quel montant l’investisseur a-t-il ajouté au dépôt chaque année ?

Solution: Supposons que x roubles soient ajoutés chaque année par l'investisseur au dépôt.

50% par an signifie que chaque année, le montant sur le compte du déposant augmente de 1,5 fois. Si l'investisseur n'ajoutait rien au montant initial, après un an, il y aurait 3900·1,5, deux ans plus tard - 3900·1.52 et ainsi de suite.

Calculons le revenu généré par les quatre suppléments.

x∙1,5 4 + x∙1,5 3 + x∙1,5 2 + x∙1,5

Pour ce faire, retirons X en dehors de la parenthèse et calculer la somme de la progression géométrique dans laquelle b = 1,5 Et q = 1,5.

On sait que la taille du dépôt a augmenté par rapport au dépôt initial de 725% .