Système équations linéairesà deux inconnues - ce sont deux ou plusieurs équations linéaires pour lesquelles il faut toutes les trouver solutions générales. Nous considérerons des systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Forme générale un système de deux équations linéaires à deux inconnues est présenté dans la figure ci-dessous :

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Ici x et y sont des variables inconnues, a1,a2,b1,b2,c1,c2 en sont quelques-unes nombres réels. Une solution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues est une paire de nombres (x, y) telle que si l'on substitue ces nombres dans les équations du système, alors chacune des équations du système se transforme en une véritable égalité. Il existe plusieurs façons de résoudre un système d'équations linéaires. Considérons l'une des façons de résoudre un système d'équations linéaires, à savoir la méthode d'addition.

Algorithme de résolution par méthode d'addition

Un algorithme pour résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues en utilisant la méthode d'addition.

1. Si nécessaire, par transformations équivalenteségaliser les coefficients de l’une des variables inconnues dans les deux équations.

2. En ajoutant ou en soustrayant les équations résultantes, obtenez une équation linéaire à une inconnue

3. Résolvez l'équation résultante à une inconnue et trouvez l'une des variables.

4. Remplacez l'expression résultante par l'une des deux équations du système et résolvez cette équation, obtenant ainsi la deuxième variable.

5. Vérifiez la solution.

Un exemple de solution utilisant la méthode d'addition

Pour plus de clarté, résolvons en utilisant la méthode d'addition le système suivantéquations linéaires à deux inconnues :

(3*x + 2*y = 10 ;
(5*x + 3*y = 12 ;

Puisqu'aucune des variables n'a de coefficients identiques, on égalise les coefficients de la variable y. Pour ce faire, multipliez la première équation par trois et la deuxième équation par deux.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

On a le système d'équations suivant :

(9*x+6*y = 30 ;
(10*x+6*y=24 ;

Maintenant, nous soustrayons la première de la deuxième équation. Nous présentons termes similaires et résolvez l’équation linéaire résultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30 ; x=-6 ;

Nous substituons la valeur résultante dans la première équation de notre système d'origine et résolvons l'équation résultante.

(3*(-6) + 2*y =10 ;
(2*y=28 ; y=14 ;

Le résultat est une paire de nombres x=6 et y=14. Nous sommes en train de vérifier. Faisons une substitution.

(3*x + 2*y = 10 ;
(5*x + 3*y = 12 ;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Comme vous pouvez le voir, nous avons deux vraies égalités, nous avons donc trouvé la bonne décision.

Utiliser ceci programme de mathématiques Vous pouvez résoudre un système de deux équations linéaires à deux variables en utilisant la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais donne également solution détaillée avec des explications des étapes de solution de deux manières : la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Ce programme peut être utile pour les lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

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Règles de saisie des équations
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Lors de la saisie d'équations tu peux utiliser des parenthèses
. Dans ce cas, les équations sont d'abord simplifiées.

Les équations après simplifications doivent être linéaires, c'est-à-dire de la forme ax+by+c=0 avec la précision de l’ordre des éléments. Par exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2 Vous pouvez utiliser non seulement des nombres entiers dans les équations, mais aussi

nombres fractionnaires
sous forme de décimales et de fractions ordinaires. Règles de saisie des fractions décimales. Entier et fraction V
décimales

peut être séparé par un point ou une virgule.
Par exemple : 2,1n + 3,5m = 55
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction. Le dénominateur ne peut pas être négatif. En entrant /
fraction numérique Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &

Partie entière
séparé de la fraction par une esperluette :
Exemples.

Exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2
Résoudre un système d'équations
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Un peu de théorie.

Résolution de systèmes d'équations linéaires. Méthode de substitution

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution :
1) exprimer une variable d'une équation du système en termes d'une autre ;
2) substituer l'expression résultante dans une autre équation du système au lieu de cette variable ;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Exprimons y en fonction de x à partir de la première équation : y = 7-3x. En substituant l'expression 7-3x dans la deuxième équation au lieu de y, nous obtenons le système :
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Il est facile de montrer que le premier et le deuxième système ont les mêmes solutions. Dans le deuxième système, la deuxième équation ne contient qu'une seule variable. Résolvons cette équation :
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

En substituant le nombre 1 au lieu de x dans l'égalité y=7-3x, nous trouvons la valeur correspondante de y :
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paire (1;4) - solution du système

Les systèmes d'équations à deux variables qui ont les mêmes solutions sont appelés équivalent. Les systèmes qui n'ont pas de solutions sont également considérés comme équivalents.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par addition

Considérons une autre façon de résoudre des systèmes d'équations linéaires : la méthode d'addition. Lors de la résolution de systèmes de cette manière, ainsi que lors de la résolution par substitution, nous passons de ce système à un autre système équivalent, dans lequel l'une des équations ne contient qu'une seule variable.

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition :
1) multiplier les équations du système terme par terme, en sélectionnant les facteurs pour que les coefficients de l'une des variables deviennent des nombres opposés ;
2) ajouter les côtés gauche et droit des équations système terme par terme ;
3) résoudre l'équation résultante avec une variable ;
4) trouver la valeur correspondante de la deuxième variable.

Exemple. Résolvons le système d'équations :
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dans les équations de ce système, les coefficients de y sont des nombres opposés. En additionnant les côtés gauche et droit des équations terme par terme, on obtient une équation à une variable 3x=33. Remplaçons une des équations du système, par exemple la première, par l'équation 3x=33. Prenons le système
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

À partir de l’équation 3x=33, nous trouvons que x=11. En substituant cette valeur x dans l'équation \(x-3y=38\), nous obtenons une équation avec la variable y : \(11-3y=38\). Résolvons cette équation :
\(-3y=27 \Flèche droite y=-9 \)

Ainsi, nous avons trouvé une solution au système d'équations par addition : \(x=11; y=-9\) ou \((11;-9)\)

Profitant du fait que dans les équations du système les coefficients de y sont des nombres opposés, nous avons réduit sa solution à la solution d'un système équivalent (en sommant les deux côtés de chacune des équations du système d'origine), dans lequel on des équations ne contient qu’une seule variable.

1. Méthode de substitution: à partir de n'importe quelle équation du système, nous exprimons une inconnue par une autre et la substituons dans la deuxième équation du système.

Tâche. Résolvez le système d'équations :

Solution. A partir de la première équation du système on exprime àà travers X et remplacez-le dans la deuxième équation du système. Prenons le système équivalent à celui d'origine.

Après avoir apporté membres similaires le système prendra la forme :

De la deuxième équation on trouve : . Remplacer cette valeur dans l'équation à = 2 - 2X, on a à= 3. Par conséquent, la solution de ce système est une paire de nombres.

2. Méthode addition algébrique : En ajoutant deux équations, vous obtenez une équation à une variable.

Tâche. Résolvez l’équation du système :

Solution. En multipliant les deux côtés de la deuxième équation par 2, on obtient le système équivalent à celui d'origine. En additionnant les deux équations de ce système, on arrive au système

Après avoir ramené des termes similaires, ce système prendra la forme : A partir de la deuxième équation, nous trouvons . Remplacer cette valeur dans l'équation 3 X + 4à= 5, on obtient , où . La solution de ce système est donc une paire de nombres.

3. Méthode d'introduction de nouvelles variables: nous recherchons des expressions répétitives dans le système, que nous désignerons par de nouvelles variables, simplifiant ainsi l'apparence du système.

Tâche. Résolvez le système d'équations :

Solution.Écrivons-le ce système sinon:

Laisser x + y = toi, xy = v. Ensuite, nous obtenons le système

Résolvons-le en utilisant la méthode de substitution. A partir de la première équation du système on exprime toià travers v et remplacez-le dans la deuxième équation du système. Prenons le système ceux.

De la deuxième équation du système on trouve v 1 = 2, v 2 = 3.

Substitution de ces valeurs dans l'équation toi = 5 - v, on a toi 1 = 3,
toi 2 = 2. Alors nous avons deux systèmes

En résolvant le premier système, nous obtenons deux paires de nombres (1 ; 2), (2 ; 1). Le deuxième système n'a pas de solutions.

Exercices pour le travail indépendant

1. Résolvez des systèmes d'équations en utilisant la méthode de substitution.

Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.

Méthode de substitution

Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme développé en 7e année est tout à fait adapté pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème de numéro à deux chiffres conduit à modèle mathématique, qui est un système d’équations. Nous avons résolu ce système d'équations ci-dessus en utilisant la méthode de substitution (voir exemple 1 du § 4).

Un algorithme pour utiliser la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations avec deux variables x, y.

1. Exprimez y en fonction de x à partir d’une équation du système.
2. Remplacez l'expression résultante au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résolvez l’équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x par l'expression y par x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous la forme de paires de valeurs (x; y), qui ont été trouvées respectivement aux troisième et quatrième étapes.

4) Remplacez une par une chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3. Si donc
5) Paires (2 ; 1) et solutions à un système d'équations donné.

Réponse : (2 ; 1) ;

Méthode d'addition algébrique

Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Multiplions tous les termes de la première équation du système par 3 et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustrayez la deuxième équation du système de sa première équation :

À la suite de l'addition algébrique de deux équations du système d'origine, une équation a été obtenue, plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple nous avons le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :

Ce système peut être résolu en utilisant la méthode de substitution. À partir de la deuxième équation, nous trouvons qu'en substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons.

Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule

Si x = 2 alors

Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :

Méthode d'introduction de nouvelles variables

Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite en une forme plus. sous forme simple: Résolvons cette équation pour la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc des racines équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à en quelque sorte « stratifier » la première équation du système, assez complexe en apparence, en deux équations plus simples :

x = 2 oui ; oui - 2x.

Et après? Et puis chacun des deux reçut équations simples doivent être considérés un par un dans un système avec l'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :

Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. On a

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. On a

Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Introduisons deux nouvelles variables :

Prenons en compte cela alors

Cela vous permettra de réécrire système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais des variables relativement nouvelles a et b :

Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2 on trouve : 1 + 6 = 2 ; 6=1. Ainsi, concernant les variables a et b, nous avons une solution :

En revenant aux variables x et y, on obtient un système d'équations

Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :

Depuis lors à partir de l’équation 2x + y = 3 on trouve :
Ainsi, concernant les variables x et y, nous avons une solution :

Concluons ce paragraphe par une conversation théorique brève mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution différentes équations: linéaire, carré, rationnel, irrationnel. Vous savez que l'idée principale pour résoudre une équation est de passer progressivement d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la notion d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.

Définition.

Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.

Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) dont nous avons parlé dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. Autrement dit, grâce à ces méthodes, on remplace un système d’équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d’origine.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations de manière aussi courante et fiable que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. Autrement dit, répétons ce que vous savez méthode graphique solutions.

Méthode de résolution de systèmes d'équations graphiquement représente la construction d'un graphique pour chacun des équations spécifiques, qui sont inclus dans ce système et sont en un seul avion coordonné, et aussi où il faut trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations, il faut les coordonnées de ce point (x; y).

Il faut rappeler que pour système graphique les équations ont tendance à avoir soit une solution correcte unique, soit ensemble infini solutions, voire pas de solution du tout.

Examinons maintenant chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, le système d’équations peut avoir seule décision au cas où les lignes qui sont des graphiques des équations du système se croisent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d’équations n’a absolument aucune solution. Si les graphiques directs des équations du système coïncident, alors un tel système permet de trouver de nombreuses solutions.

Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations à 2 inconnues à l'aide d'une méthode graphique :

Tout d'abord, nous construisons d'abord un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consistera à construire un graphique relatif à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d’intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.

Examinons cette méthode plus en détail à l'aide d'un exemple. On nous donne un système d'équations qu'il faut résoudre :

Résoudre des équations

1. Tout d’abord, nous allons construire un graphique de cette équation : x2+y2=9.

Mais il faut noter que ce graphique des équations sera un cercle avec un centre à l'origine, et son rayon sera égal à trois.

2. Notre prochaine étape consistera à tracer un graphique d'une équation telle que : y = x – 3.

Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0;−3) et (3;0).

3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en deux de ses points A et B.

Nous recherchons maintenant les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3;0) correspondent au point A, et les coordonnées (0;−3) correspondent au point B.

Et qu’obtient-on en conséquence ?

Les nombres (3;0) et (0;−3) obtenus lorsque la droite coupe le cercle sont précisément les solutions des deux équations du système. Et il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions à ce système d'équations.

Autrement dit, la réponse à cette solution est constituée des nombres : (3;0) et (0;−3).

Avec cette vidéo je commence une série de leçons dédiées aux systèmes d'équations. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de systèmes d'équations linéaires méthode d'addition- c'est l'un des plus des moyens simples, mais en même temps l'un des plus efficaces.

La méthode d'addition consiste à trois simples pas:

1. Regardez le système et choisissez une variable qui a des coefficients identiques (ou opposés) dans chaque équation ;
2. Exécuter soustraction algébrique(Pour nombres opposés- addition) d'équations les unes aux autres, puis amener des termes similaires ;
3. Résolvez la nouvelle équation obtenue après la deuxième étape.

Si tout est fait correctement, alors en sortie nous obtiendrons une seule équation avec une variable— il ne sera pas difficile de le résoudre. Il ne reste plus qu'à remplacer la racine trouvée dans le système d'origine et à obtenir la réponse finale.

Cependant, dans la pratique, tout n'est pas si simple. Il y a plusieurs raisons à cela:

• La résolution d'équations à l'aide de la méthode d'addition implique que toutes les lignes doivent contenir des variables avec des coefficients égaux/opposés. Que faire si cette condition n’est pas remplie ?
• Pas toujours, après avoir ajouté/soustrait des équations de la manière indiquée, nous obtenons une belle construction qui peut être facilement résolue. Est-il possible d'une manière ou d'une autre de simplifier les calculs et d'accélérer les calculs ?

Pour obtenir la réponse à ces questions, et en même temps comprendre quelques subtilités supplémentaires sur lesquelles de nombreux étudiants échouent, regardez ma leçon vidéo :

Avec cette leçon, nous commençons une série de cours consacrés aux systèmes d'équations. Et nous partirons du plus simple d’entre eux, à savoir ceux qui contiennent deux équations et deux variables. Chacun d'eux sera linéaire.

Les systèmes sont du matériel de 7e année, mais cette leçon sera également utile aux élèves du secondaire qui souhaitent parfaire leurs connaissances sur ce sujet.

En général, il existe deux méthodes pour résoudre de tels systèmes :

1. Méthode d'addition ;
2. Une méthode pour exprimer une variable en fonction d’une autre.

Aujourd'hui, nous traiterons de la première méthode - nous utiliserons la méthode de soustraction et d'addition. Mais pour ce faire, vous devez comprendre le fait suivant : une fois que vous avez deux équations ou plus, vous pouvez en prendre deux et les additionner les unes aux autres. Ils sont ajoutés membre par membre, c'est-à-dire Les « X » sont ajoutés aux « X » et les similaires sont donnés, les « Y » avec les « Y » sont à nouveau similaires, et ce qui est à droite du signe égal est également ajouté les uns aux autres, et des similaires y sont également donnés. .

Les résultats de telles machinations seront une nouvelle équation qui, si elle a des racines, sera certainement parmi les racines. équation originale. Par conséquent, notre tâche est d'effectuer la soustraction ou l'addition de telle manière que $x$ ou $y$ disparaissent.

Comment y parvenir et quel outil utiliser pour cela - nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant l'addition

Ainsi, nous apprenons à utiliser la méthode d'addition en utilisant l'exemple de deux expressions simples.

Tâche n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Notez que $y$ a un coefficient de $-4$ dans la première équation, et $+4$ dans la seconde. Ils sont mutuellement opposés, il est donc logique de supposer que si nous les additionnons, alors dans la somme résultante, les « jeux » seront mutuellement détruits. Additionnez-le et obtenez :

Résolvons la construction la plus simple :

Super, nous avons trouvé le "x". Que devrions-nous en faire maintenant ? Nous avons le droit de le substituer dans n’importe quelle équation. Remplaçons par le premier :

\[-4y=12\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(2;-3 \right)$.

Problème n°2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situation ici est complètement similaire, sauf avec les « X ». Additionnons-les :

Nous avons l'équation linéaire la plus simple, résolvons-la :

Trouvons maintenant $x$ :

Réponse : $\left(-3;3 \right)$.

Les points importants

Nous venons donc de résoudre deux systèmes simples d’équations linéaires en utilisant la méthode d’addition. Encore des points clés :

1. S'il existe des coefficients opposés pour l'une des variables, alors il est nécessaire d'ajouter toutes les variables de l'équation. Dans ce cas, l’un d’eux sera détruit.
2. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des équations du système pour trouver la seconde.
3. Le dossier de réponse final peut être présenté de différentes manières. Par exemple, comme ceci - $x=...,y=...$, ou sous forme de coordonnées de points - $\left(...;... \right)$. La deuxième option est préférable. La principale chose à retenir est que la première coordonnée est $x$ et la seconde est $y$.
4. La règle consistant à écrire la réponse sous forme de coordonnées de points n'est pas toujours applicable. Par exemple, il ne peut pas être utilisé lorsque les variables ne sont pas $x$ et $y$, mais, par exemple, $a$ et $b$.

Dans les problèmes suivants nous considérerons la technique de soustraction lorsque les coefficients ne sont pas opposés.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode de soustraction

Tâche n°1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Notez qu'il n'y a pas ici de coefficients opposés, mais il y en a des identiques. Par conséquent, nous soustrayons la seconde de la première équation :

Maintenant, nous remplaçons la valeur $x$ dans l'une des équations du système. Commençons par :

Réponse : $\left(2;5\right)$.

Problème n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nous voyons à nouveau le même coefficient de 5$ pour $x$ dans la première et la deuxième équations. Par conséquent, il est logique de supposer que vous devez soustraire la seconde de la première équation :

Nous avons calculé une variable. Trouvons maintenant la seconde, par exemple, en substituant la valeur $y$ dans la deuxième construction :

Réponse : $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances de la solution

Alors que voit-on ? Fondamentalement, le schéma n’est pas différent de la solution des systèmes précédents. La seule différence est que nous n’ajoutons pas d’équations, mais les soustrayons. Nous faisons une soustraction algébrique.

En d’autres termes, dès que vous voyez un système composé de deux équations à deux inconnues, la première chose que vous devez examiner, ce sont les coefficients. Si elles sont identiques quelque part, les équations sont soustraites, et si elles sont opposées, la méthode d'addition est utilisée. Ceci est toujours fait pour que l'un d'eux disparaisse, et dans l'équation finale, qui reste après soustraction, il ne reste qu'une seule variable.

Bien sûr, ce n'est pas tout. Nous allons maintenant considérer des systèmes dans lesquels les équations sont généralement incohérentes. Ceux. Il n’y a pas de variables identiques ou opposées. Dans ce cas, pour résoudre de tels systèmes, on utilise dose supplémentaire, à savoir multiplier chacune des équations par un coefficient spécial. Comment le trouver et comment résoudre de tels systèmes en général, nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes en multipliant par un coefficient

Exemple 1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

On voit que ni pour $x$ ni pour $y$ les coefficients ne sont non seulement opposés entre eux, mais aussi nullement corrélés avec l'autre équation. Ces coefficients ne disparaîtront en aucun cas, même si l'on ajoute ou soustrait les équations les unes aux autres. Il est donc nécessaire d’appliquer la multiplication. Essayons de nous débarrasser de la variable $y$. Pour ce faire, on multiplie la première équation par le coefficient de $y$ de la deuxième équation, et la deuxième équation par le coefficient de $y$ de la première équation, sans toucher au signe. On multiplie et obtient un nouveau système :

\[\gauche\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Regardons ça : à $y$ les coefficients sont opposés. Dans une telle situation, il est nécessaire d’utiliser la méthode de l’addition. Ajoutons :

Nous devons maintenant trouver $y$. Pour ce faire, remplacez $x$ dans la première expression :

\[-9y=18\gauche| :\gauche(-9 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(4;-2 \right)$.

Exemple n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Encore une fois, les coefficients d’aucune des variables ne sont cohérents. Multiplions par les coefficients de $y$ :

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\gauche\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Notre nouveau système est équivalent au précédent, mais les coefficients de $y$ sont mutuellement opposés, et il est donc facile d'appliquer ici la méthode d'addition :

Trouvons maintenant $y$ en substituant $x$ dans la première équation :

Réponse : $\left(-2;1 \right)$.

Nuances de la solution

La règle clé ici est la suivante : nous multiplions toujours uniquement par nombres positifs- cela vous évitera des erreurs stupides et offensantes liées au changement de panneaux. En général, le schéma de solution est assez simple :

1. Nous examinons le système et analysons chaque équation.
2. Si on voit que ni $y$ ni $x$ les coefficients ne sont cohérents, c'est-à-dire ils ne sont ni égaux ni opposés, alors on fait ce qui suit : on sélectionne la variable dont on doit se débarrasser, puis on regarde les coefficients de ces équations. Si nous multiplions la première équation par le coefficient de la seconde et que la seconde, en conséquence, multiplions par le coefficient de la première, nous obtiendrons finalement un système complètement équivalent au précédent, et les coefficients de $ y$ sera cohérent. Toutes nos actions ou transformations visent uniquement à obtenir une variable dans une équation.
3. Nous trouvons une variable.
4. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des deux équations du système et trouvons la seconde.
5. On écrit la réponse sous forme de coordonnées de points si on a les variables $x$ et $y$.

Mais même un algorithme aussi simple a ses propres subtilités, par exemple, les coefficients de $x$ ou $y$ peuvent être des fractions et d'autres nombres « laids ». Nous allons maintenant considérer ces cas séparément, car vous pouvez y agir un peu différemment que selon l'algorithme standard.

Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple 1

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Tout d’abord, notez que la deuxième équation contient des fractions. Mais notez que vous pouvez diviser 4$ par 0,8$. Nous recevrons 5$. Multiplions la deuxième équation par 5$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

On soustrait les équations les unes des autres :

Nous avons trouvé $n$, comptons maintenant $m$ :

Réponse : $n=-4;m=5$

Exemple n°2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ droite.\]

Ici, comme dans le système précédent, il y a cotes fractionnaires, cependant, pour aucun des coefficients variables ne s'emboîtent pas un nombre entier de fois. Nous utilisons donc l’algorithme standard. Débarrassez-vous de $p$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Nous utilisons la méthode de soustraction :

Trouvons $p$ en substituant $k$ dans la deuxième construction :

Réponse : $p=-4;k=-2$.

Nuances de la solution

C'est toute l'optimisation. Dans la première équation, nous n'avons pas multiplié par quoi que ce soit, mais nous avons multiplié la deuxième équation par 5$. En conséquence, nous avons obtenu une équation cohérente et même identique pour la première variable. Dans le deuxième système, nous avons suivi un algorithme standard.

Mais comment trouver les nombres par lesquels multiplier les équations ? Après tout, si nous multiplions par des fractions, nous obtenons de nouvelles fractions. Par conséquent, les fractions doivent être multipliées par un nombre qui donnerait un nouvel entier, puis les variables doivent être multipliées par des coefficients, en suivant l'algorithme standard.

En conclusion, j'aimerais attirer votre attention sur le format d'enregistrement de la réponse. Comme je l'ai déjà dit, puisque ici nous n'avons pas $x$ et $y$, mais d'autres valeurs, nous utilisons une notation non standard de la forme :

Résolution de systèmes d'équations complexes

Pour conclure le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, examinons quelques-uns des systèmes complexes. Leur complexité résidera dans le fait qu’ils auront des variables à gauche et à droite. Par conséquent, pour les résoudre, nous devrons appliquer un prétraitement.

Système n°1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Chaque équation comporte une certaine complexité. Par conséquent, traitons chaque expression comme une construction linéaire régulière.

Au total, nous obtenons le système final, qui est équivalent à celui d'origine :

\[\gauche\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Regardons les coefficients de $y$ : $3$ rentre deux fois dans $6$, multiplions donc la première équation par $2$ :

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Les coefficients de $y$ sont maintenant égaux, on soustrait donc la seconde de la première équation : $$

Trouvons maintenant $y$ :

Réponse : $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Système n°2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformons la première expression :

Passons au deuxième :

\[-3\gauche(b-2a \droite)-12=2\gauche(a-5 \droite)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Au total, notre système initial prendra la forme suivante :

\[\gauche\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

En regardant les coefficients de $a$, nous voyons que la première équation doit être multipliée par $2$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Soustrayez la seconde de la première construction :

Trouvons maintenant $a$ :

Réponse : $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

C'est tout. J'espère que ce didacticiel vidéo vous aidera à comprendre ce sujet difficile, à savoir la résolution de systèmes d'équations linéaires simples. Il y aura de nombreuses autres leçons sur ce sujet : nous examinerons davantage exemples complexes, où il y aura plus de variables, et les équations elles-mêmes seront déjà non linéaires. À la prochaine!