Passons maintenant à la dérivation de l'équation principale théorie cinétique gaz - l'équation qui détermine la fonction de distribution.

Si les collisions de molécules pouvaient être complètement négligées, alors chaque molécule de gaz représenterait un sous-système fermé et le théorème de Liouville serait valable pour la fonction de distribution des molécules, selon lequel

(voir V, § 3). La dérivée totale signifie ici la différenciation le long de la trajectoire de phase de la molécule, déterminée par ses équations de mouvement. Rappelons que le théorème de Liouville est valable pour la fonction de distribution définie précisément comme la densité en espace des phases(c'est-à-dire dans l'espace des variables qui sont canoniquement conjuguées coordonnées et impulsions généralisées).

Cette circonstance n'interfère pas. Bien sûr, le fait que la fonction f elle-même puisse alors être exprimée à travers n'importe quelle autre variable.

En l'absence de champ externe les quantités Γ d'une molécule en mouvement libre restent constantes et seules ses coordonnées changent ; où

Si le gaz se trouve, par exemple, dans un champ externe agissant sur les coordonnées du centre d'inertie de la molécule (disons, dans le champ gravitationnel), alors

où est la force agissant sur la molécule à partir du champ.

La prise en compte des collisions viole l'égalité (3.1) ; la fonction de distribution cesse d'être constante le long de trajectoires de phases. Au lieu de (3.1) il faut écrire

où le symbole signifie le taux de changement de la fonction de distribution dû aux collisions : il y a un changement par unité de temps dû aux collisions du nombre de molécules dans la phase volume Écrit sous la forme

l'équation (3.4) (de (3.2)) détermine la variation totale de la fonction de distribution dans point donné espace des phases ; le terme est une diminution (en 1 s) du nombre de molécules dans un élément donné de l'espace des phases, associée à leur libre mouvement.

La quantité est appelée intégrale de collision et les équations de la forme (3.4) sont généralement appelées équations cinétiques. Bien sûr équation cinétique acquiert vrai sens seulement après avoir établi la forme de l’intégrale de collision. Nous allons maintenant aborder cette question.

Lorsque deux molécules entrent en collision, les valeurs de leurs valeurs Γ changent. Par conséquent, chaque collision subie par une molécule la fait sortir d’un intervalle donné ; de telles collisions sont qualifiées d’actes de fuite.

Numéro complet collisions avec transitions avec tout le monde valeurs possibles; pour un Γ donné apparaissant par unité de temps dans un volume dV est égal à l'intégrale

Cependant, de telles collisions («arrivée») se produisent également, à la suite desquelles des molécules qui avaient initialement des valeurs de Γ situées en dehors de l'intervalle donné tombent dans cet intervalle. Ce sont des collisions avec des transitions encore une fois avec tous les possibles pour un G donné. Le nombre total de telles collisions (par unité de temps en volume dV) est égal à

En soustrayant le nombre d'actes de départ du nombre d'actes d'arrivée, on constate qu'à la suite de toutes collisions, le nombre de molécules en question augmente de 1 s

où par souci de brièveté nous désignons

Ainsi, on trouve l’expression suivante pour l’intégrale de collision :

Dans le deuxième terme de l'intégrande, l'intégration sur s'applique uniquement à la fonction w ; les facteurs ne dépendent pas de ces variables. Par conséquent, cette partie de l’intégrale peut être transformée en utilisant la relation d’unité (2.9). En conséquence, l’intégrale de collision prend la forme

dans lequel les deux termes entrent avec le même coefficient.

Après avoir établi la forme de l'intégrale de collision, nous avons ainsi eu l'opportunité d'écrire l'équation cinétique

Cette équation intégro-différentielle est également appelée équation de Boltzmann. Elle a été établie pour la première fois par le fondateur de la théorie cinétique, Ludwig Boltzmann, en 1872.

Équilibre distribution statistique doit satisfaire l’équation cinétique de manière identique. Cette condition est effectivement remplie. La distribution d'équilibre est stationnaire et (en l'absence de champ extérieur) homogène ; C'est pourquoi côté gauche l’équation (3.8) disparaît à l’identique. Égal à zéro aussi l'intégrale de collision : du fait de l'égalité (2.5), elle disparaît intégrande. Bien entendu, la distribution à l’équilibre d’un gaz dans un champ externe satisfait également à l’équation cinétique. Il suffit de rappeler que le membre gauche de l'équation cinétique est la dérivée totale df/dt, qui s'annule à l'identique pour toute fonction dépendant uniquement des intégrales du mouvement ; la distribution d'équilibre s'exprime uniquement à travers l'intégrale du mouvement - plein d'énergie molécules

Dans le calcul de l'équation cinétique présentée, les collisions de molécules ont été considérées essentiellement comme des événements instantanés se produisant en un point de l'espace. Il est donc clair que l'équation cinétique permet, en principe, de suivre l'évolution de la fonction de distribution uniquement sur des intervalles de temps grands par rapport à la durée des collisions, et à des distances grandes par rapport à la taille de la région de collision. . Le dernier ordre de grandeur du rayon d'action forces moléculaires d (pour les molécules neutres correspondant à leurs tailles) ; le temps de collision est de l'ordre de grandeur. Ces valeurs fixent la limite inférieure des distances et des durées dont la prise en compte est permise par l'équation cinétique (nous reviendrons sur l'origine de ces restrictions au § 16). Mais en réalité, il n’y a généralement pas de besoin (ni même de possibilité) d’un tel Description détaillée comportement du système ; cela nécessiterait notamment de préciser les conditions initiales (répartition spatiale des molécules de gaz) avec la même précision, ce qui est pratiquement impossible. En vrai problèmes physiques il existe des paramètres caractéristiques de longueur L et de temps T imposés au système par les conditions du problème (longueurs caractéristiques des gradients de quantités macroscopiques de gaz, longueurs et périodes de propagation dans celui-ci les ondes sonores et ainsi de suite.). Dans de tels problèmes, il suffit de surveiller le comportement du système à des distances et des temps qui ne sont petits qu'en comparaison avec ces L et T. En d'autres termes, les éléments physiquement infinitésimaux de volume et de temps ne devraient être petits qu'en comparaison avec L et T. La moyenne de ces éléments est donnée et conditions initiales Tâches.

Pour un gaz monoatomique, les quantités Γ sont réduites à trois composantes de l'impulsion atomique , et d'après (2.8) la fonction w dans l'intégrale de collision peut être remplacée par la fonction

Après avoir ensuite exprimé cette fonction à travers la section efficace différentielle de collision selon (2.2)), nous obtenons

Sa fonction et la section efficace déterminée selon (2.2) contiennent des facteurs fonctionnels exprimant les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie, grâce auxquelles les variables (pour un ) ne sont en fait pas indépendantes. Mais une fois que l’intégrale de collision est exprimée sous la forme (3.9), nous pouvons supposer que ces fonctions ont déjà été éliminées par les intégrations correspondantes ; alors sera la section efficace de diffusion habituelle, dépendant (pour un ir donné) uniquement de l'angle de diffusion.

Qui décrit des systèmes éloignés de l’équilibre thermodynamique, par exemple en présence de gradients de température et de champs électriques). L'équation de Boltzmann est utilisée pour étudier le transport de chaleur et de charge électrique dans les liquides et les gaz, et on en dérive des propriétés de transport telles que la conductivité électrique, l'effet Hall, la viscosité et la conductivité thermique. L'équation est applicable aux systèmes raréfiés, où le temps d'interaction entre les particules est court (hypothèse du chaos moléculaire).

Formulation

L'équation de Boltzmann décrit l'évolution dans le temps ( t) fonctions de distribution de densité F(X, p, t) dans l'espace des phases à particule unique, où X Et p- coordination et élan, respectivement. La distribution est définie de telle sorte que

proportionnel au nombre de particules dans le volume de la phase d³x d³pà un moment donné t. Équation de Boltzmann

Ici F(X, t) est le champ de forces agissant sur les particules dans un liquide ou un gaz, et m- masse de particules. Un terme du côté droit de l’équation est ajouté pour tenir compte des collisions entre particules. S’il est nul, alors les particules n’entrent pas en collision du tout. Ce cas est souvent appelé l'équation de Liouville. Si le champ de forces F(X, t) remplacer par un champ auto-cohérent approprié en fonction de la fonction de distribution F, nous obtenons alors l'équation de Vlasov, qui décrit la dynamique des particules de plasma chargées dans un champ auto-cohérent. L'équation classique de Boltzmann est utilisée en physique des plasmas, ainsi qu'en physique des semi-conducteurs et des métaux (pour décrire phénomènes cinétiques, c'est à dire. charge ou transfert de chaleur, dans e-liquide).

Dérivation de l'équation de Boltzmann

La dérivation microscopique de l'équation de Boltzmann à partir des premiers principes (basée sur l'équation exacte de Liouville pour toutes les particules du milieu) est réalisée en brisant la chaîne des équations de Bogolyubov au niveau de la fonction de corrélation de paires pour les classiques et systèmes quantiques. Comptabilisation des équations cinétiques dans la chaîne fonctions de corrélation plus ordre élevé permet de trouver des corrections à l'équation de Boltzmann.

Liens

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce qu’est « l’équation de Boltzmann » dans d’autres dictionnaires :Équation de Boltzmann - - [A.S. Goldberg. Dictionnaire de l'énergie anglais-russe. 2006] Thèmes énergétiques en général Équation EN Boltzmann ...

Guide du traducteur technique

Équation intégrodifférentielle, qui est satisfaite par les fonctions de distribution de particules uniques hors équilibre des systèmes de grand nombre hc, par ex. fonction de répartition f(v, r, t) des molécules de gaz sur des vitesses v et des coordonnées r, fonction de répartition des électrons dans... Encyclopédie physique

Intégrodifférentiel équation, en plus de laquelle les fonctions de distribution de particules uniques hors équilibre d'un système d'un grand nombre de particules sont satisfaites, par exemple, la fonction de distribution des molécules de gaz sur les vitesses et les coordonnées r, la fonction de distribution des électrons dans un métal,.. .. Encyclopédie physique

Équation pour la fonction de distribution f (ν, r, t) des molécules de gaz sur les vitesses ν et les coordonnées r (en fonction du temps t), décrivant les processus hors équilibre dans les gaz de faible densité. La fonction f détermine le nombre moyen de particules avec des vitesses... ... Grande Encyclopédie Soviétique

L'équation de Vlasov est un système d'équations qui décrivent la dynamique d'un plasma de particules chargées en tenant compte des effets à longue portée Forces coulombiennesà travers un champ auto-cohérent. Proposé pour la première fois par A. A. Vlasov dans un article, puis décrit... ... Wikipédia

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L'équation de Boltzmann, également connue sous le nom d'équation cinétique de Boltzmann, doit son nom à Ludwig Boltzmann, qui l'a étudiée pour la première fois. Il décrit la distribution statistique des particules dans un gaz ou un liquide et est l'un des plus importants... ... Wikipédia

DANS physique mathématique, le théorème de Liouville nommé d'après mathématicien français Joseph Liouville, est un théorème clé de la mécanique statistique et hamiltonienne. Il indique que la fonction de distribution dans l'espace des phases est constante... ... Wikipedia

INSTITUT DE L'ÉNERGIE DE MOSCOU

(Université technique)

FACULTÉ DE GÉNIE ÉLECTRONIQUE

RÉSUMÉ SUR LE SUJET

À ÉQUATION INETIQUE B OLTZMAN.

COMPLÉTÉ:

Korkin S.V.

PROFESSEUR

Sherkounov Yu.B.

La seconde moitié du travail est assez chargée mathématiques complexes . Auteur ( [email protégé], [email protégé])ne considère pas ce cours comme idéal, il ne peut servir que de point de départ pour rédiger un ouvrage plus parfait (et compréhensible). Le texte n'est pas une copie du livre. Voir la fin pour la documentation complémentaire.

Les cours ont été acceptés avec la note « Excellent ». (La version finale de l'ouvrage est un peu perdue. Je propose d'utiliser l'avant-dernière « version »).

Introduction…………………………………………………………………………………3

Légende………………………………………………………………. 4

§1 Fonction de distribution.

§2 Collision de particules.

§3 Détermination de la forme de l'intégrale de collision

et les équations de Boltzmann.

§4. Équation cinétique pour un gaz faiblement inhomogène.

Conductivité thermique du gaz.

Quelques conventions :

n - concentration de particules ;

d est la distance moyenne entre les particules ;

V est un certain volume du système ;

P est la probabilité d'un événement ;

f - fonction de distribution ;

Introduction.

Les branches de la physique thermodynamique, physique statistique et étude de la cinétique physique processus physiques, présent dans les systèmes macroscopiques - corps constitués d'un grand nombre de microparticules. Selon le type de système, ces microparticules peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, des photons ou d'autres particules. Aujourd'hui, il existe deux méthodes principales pour étudier les états des systèmes macroscopiques : la thermodynamique, qui caractérise l'état du système grâce à des paramètres macroscopiques facilement mesurables (par exemple, la pression, le volume, la température, le nombre de moles ou la concentration d'une substance) et, en fait, ne prend pas en compte structure atomique-moléculaire substances, et une méthode statistique basée sur le modèle atomique-moléculaire du système considéré. La méthode thermodynamique ne sera pas abordée dans ce travail. Sur la base des lois connues de comportement des particules du système, la méthode statistique permet d'établir les lois de comportement de l'ensemble du macrosystème dans son ensemble. Afin de simplifier le problème à résoudre, l'approche statistique fait un certain nombre d'hypothèses (hypothèses) sur le comportement des microparticules et, par conséquent, les résultats obtenus par la méthode statistique ne sont valables que dans les limites des hypothèses émises. Méthode statistique utilise une approche probabiliste pour résoudre les problèmes ; pour utiliser cette méthode, le système doit contenir suffisamment un grand nombre de particules. L'un des problèmes résolus par la méthode statistique est la dérivation de l'équation d'état d'un système macroscopique. L’état du système peut être constant dans le temps (système d’équilibre) ou changer dans le temps (système hors équilibre). La cinétique physique est l'étude des états de non-équilibre des systèmes et des processus se produisant dans ces systèmes.

L'équation d'état d'un système évoluant dans le temps est une équation cinétique dont la solution détermine l'état du système à tout instant. L'intérêt pour les équations cinétiques est associé à la possibilité de leur application dans divers domaines physique : en théorie cinétique des gaz, en astrophysique, physique des plasmas, mécanique des fluides. Cet article examine l'équation cinétique dérivée par l'un des fondateurs physique statistique Et cinétique physique Physicien autrichien Ludwig Boltzmann en 1872 et portant son nom.

§1 Fonction de distribution.

Les particules de gaz sont indiscernables (identiques) ;

Les particules n'entrent en collision que par paires (nous négligeons la collision de trois particules ou plus simultanément) ;

Immédiatement avant la collision, les particules se déplacent en ligne droite les unes vers les autres ;

La collision de molécules est un impact élastique central direct ;

Et. Notons par

Le mouvement de translation d'une particule classique est décrit par les coordonnées

Équation de Boltzmann

Ludwig Boltzmann, physicien théoricien autrichien, membre de l'Académie autrichienne des sciences, l'un des fondateurs de la théorie cinétique classique.

Prenons maintenant en compte que deux gaz chauffés différemment et ayant des températures T 1 et T 2 se comportent de manière similaire lorsqu'ils entrent en contact. > T1 . L'un d'eux se réchauffe, l'autre se refroidit et après un certain temps, leurs températures deviennent égales (T). Les gaz arrivent à un état équilibre thermique et l'échange thermique s'arrête. Illustrons cela avec un schéma.

Donc, W Et T se comportent exactement de la même manière : lorsque des gaz entrent en contact, ces deux caractéristiques évoluent de la même manière et sont ensuite comparées, ce qui correspond à des états d'équilibre énergétique ou thermique. Comme le montrent des calculs rigoureux, ces caractéristiques sont interconnectées dépendance proportionnelle: T ~ W.

Il serait même possible de mesurer la température d'un gaz par l'énergie cinétique de ses molécules. Cependant, cela serait gênant, car il faudrait alors mesurer la température en joules, ce qui, d'une part, est inhabituel et, d'autre part, exprimerait la température en très petits nombres. Par exemple, la température de fonte de la glace égale à 273 K serait exprimée par 5,7 10 -21 L. Pour maintenir la température au Kelvin habituel (ou °C), le plus pratique à accepter

où est le facteur dimensionnel k ([k] - J/K) fournit une mesure de température en unités K, et coefficient numérique 2/3 est introduit car il se situe à W à dans l'équation de Clausius. La température ainsi mesurée sera notée T et appelle température thermodynamique :

De la dernière expression il résulte Équation de Boltzmann :

Où k = 1,38 10 -23 J/K - Constante de Boltzmann(son valeur numérique plus tard, nous l'obtiendrons théoriquement). De l'équation de Boltzmann il résulte signification physique température thermodynamique nulle (0 K) : à T= 0 sera W k = 0, ceux. à zéro Kelvin, le mouvement des molécules s'arrête (c'est-à-dire le mouvement thermique).

La description statistique d'un gaz est réalisée par la fonction de répartition des molécules de gaz dans leur espace des phases, où est l'ensemble des coordonnées généralisées de la molécule, est l'ensemble des impulsions généralisées correspondant aux coordonnées, est le temps (la fonction de répartition dépend à l'heure dans un état non stationnaire). Assez souvent, le symbole Г désigne l'ensemble de toutes les variables dont dépend la fonction de distribution, à l'exception des coordonnées de la molécule et du temps. Les quantités ont propriété importante: Ce sont des mouvements qui restent constants pour chaque molécule lors de son mouvement libre.

Ainsi, pour un gaz monoatomique, les quantités sont les trois composants de l'atome. Pour molécule diatomique comprend l'impulsion et le couple.

Équation cinétique de base

L'équation de base de la théorie cinétique des gaz (ou équation cinétique) est l'équation définissant la fonction de distribution.

L'équation:

où est l'intégrale de collision, l'équation (1) est appelée équation cinétique. Le symbole signifie le taux de changement de la fonction de distribution dû aux collisions de molécules. L'équation cinétique n'acquiert une véritable signification qu'une fois l'intégrale de collision établie. L'équation cinétique prend alors la forme (2). Cette équation intégro-différentielle est aussi appelée équation de Boltzmann :

Il est nécessaire d'expliquer ce que c'est partie droiteéquation (2).

Lorsque deux molécules entrent en collision, leurs valeurs changent. Par conséquent, chaque collision subie par une molécule la fait sortir de l’intervalle d donné. Nombre total de collisions avec des transitions avec toutes les valeurs possibles pour un G donné, apparaissant par unité de temps dans un volume dV, est égale à l'intégrale :

(particules sortantes)

Certaines molécules, en raison de collisions, tombent dans l'intervalle dG (collisions avec transitions ). Le nombre total de telles collisions (par unité de temps en volume dV) est égal à :

(particules entrantes).

Si l'on soustrait le nombre d'actes de départ du nombre d'actes d'arrivée, il apparaît clairement qu'à la suite de toutes collisions, le nombre de molécules en question augmente de 1c

Pour une considération qualitative des phénomènes cinétiques dans un gaz, une estimation grossière de l'intégrale de collision est utilisée en utilisant la notion de libre parcours moyen l (une certaine distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives). Le rapport est appelé temps d’exécution libre. Pour une estimation approximative de l’intégrale de collision, on suppose :

La différence au numérateur (3) tient compte du fait que l'intégrale de collision devient 0 pour la fonction de distribution d'équilibre. Le signe moins exprime le fait que les collisions sont un mécanisme permettant d’établir un équilibre statistique.

Équation cinétique de Boltzmann

L'équation cinétique de Boltzmann donne une description microscopique de l'évolution de l'état d'un petit gaz. L'équation cinétique est une équation du premier ordre dans le temps ; elle décrit la transition irréversible du système d'un état initial de non-équilibre avec une fonction de distribution à l'état final. état d'équilibre avec la fonction de distribution la plus probable.

Résoudre l'équation cinétique est très difficile avec point mathématique vision. Les difficultés pour le résoudre sont dues à la multidimensionnalité de la fonction, qui dépend de sept variables scalaires, et aspect complexe le côté droit de l’équation.

Si la fonction de distribution dépend uniquement de la coordonnée x et de la composante de vitesse, l'équation cinétique de Boltzmann a la forme :

où et sont les fonctions de distribution des molécules avant et après la collision ; – vitesse des molécules ; est la section efficace de diffusion différentielle effective par angle solide dW, en fonction de l'interaction des molécules. — modification de la fonction de distribution à la suite de collisions. -changement de densité numérique des particules. est la force agissant sur la particule.

Si le gaz est constitué de particules du même type, l’équation cinétique peut s’écrire :

Où – le nombre moyen de particules dans un élément du volume de phase près du point ( - changement de la densité du nombre de particules près du point ( au temps t par unité de temps.

L'équation de Boltzmann est valide si :

Si le système est dans un état d’équilibre statistique, alors l’intégrale de collision disparaît et la solution de l’équation de Boltzmann est la distribution. La résolution de l'équation de Boltzmann pour les conditions appropriées nous permet de calculer les coefficients cinétiques et d'obtenir des équations macroscopiques pour divers processus transfert ( , viscosité, ). Dans le champ gravitationnel de la Terre, la solution de l’équation de Boltzmann est la formule barométrique bien connue.

Sur la base des solutions de l'équation de Boltzmann, le comportement macroscopique du gaz, le calcul des coefficients de viscosité et de conductivité thermique sont expliqués.

L'équation cinématique est l'équation de base de la dynamique des gaz raréfiés et est utilisée pour les calculs aérodynamiques. avion sur hautes altitudes vol.

Exemples de résolution de problèmes

EXEMPLE 1