Pi est calculé. Calculer la valeur de pi

Si vous comparez des cercles de différentes tailles, vous remarquerez ce qui suit : les tailles des différents cercles sont proportionnelles. Cela signifie que lorsque le diamètre d'un cercle augmente d'un certain nombre de fois, la longueur de ce cercle augmente également du même nombre de fois. Mathématiquement, cela peut s'écrire ainsi :

où C1 et C2 sont les longueurs de deux cercles différents, et d1 et d2 sont leurs diamètres.
Cette relation fonctionne en présence d'un coefficient de proportionnalité - la constante π, qui nous est déjà familière. De la relation (1) on peut conclure : la longueur d'un cercle C est égale au produit du diamètre de ce cercle et d'un coefficient de proportionnalité π indépendant du cercle :

C = π ré.

Cette formule peut également s'écrire sous une autre forme, exprimant le diamètre d passant par le rayon R d'un cercle donné :

C = 2π R.

Cette formule est précisément le guide du monde des cercles pour les élèves de septième.

Depuis l’Antiquité, les hommes tentent d’établir la valeur de cette constante. Par exemple, les habitants de la Mésopotamie calculaient l'aire d'un cercle à l'aide de la formule :

D’où vient π = 3 ?

DANS Egypte ancienne la valeur de π était plus précise. En 2000-1700 avant JC, un scribe appelé Ahmes rédigea un papyrus dans lequel on trouve des recettes pour résoudre divers problèmes. problèmes pratiques. Ainsi, par exemple, pour trouver l'aire d'un cercle, il utilise la formule :

Pour quelles raisons est-il arrivé à cette formule ? - Inconnu. Probablement basé sur ses observations, cependant, comme l’ont fait d’autres philosophes anciens.

Sur les traces d'Archimède

Lequel des deux nombres est supérieur à 22/7 ou 3,14 ?
- Ils sont égaux.
- Pourquoi?
- Chacun d'eux est égal à π.
A.A. Vlasov. De la carte d'examen.

Certaines personnes croient que la fraction 22/7 et le nombre π sont identiques. Mais c'est une idée fausse. En plus de la réponse incorrecte ci-dessus à l'examen (voir épigraphe), vous pouvez également ajouter un puzzle très amusant à ce groupe. La tâche se lit comme suit : « organisez une correspondance pour que l’égalité devienne vraie ».

La solution serait la suivante : vous devez former un « toit » pour les deux correspondances verticales de gauche, en utilisant l'une des correspondances verticales du dénominateur de droite. Vous obtiendrez une image visuelle de la lettre π.

Beaucoup de gens savent que l'approximation π = 22/7 a été déterminée par l'ancien mathématicien grec Archimède. En l’honneur de cela, cette approximation est souvent appelée le nombre « archimédien ». Archimède a réussi non seulement à établir une valeur approximative pour π, mais aussi à trouver la précision de cette approximation, à savoir trouver une valeur étroite intervalle numérique, à laquelle appartient la valeur π. Dans l'une de ses œuvres, Archimède prouve une chaîne d'inégalités, qui, d'une manière moderne, ressemblerait à ceci :

peut s'écrire plus simplement : 3,140 909< π < 3,1 428 265...

Comme le montrent les inégalités, Archimède a trouvé assez valeur exacte avec une précision de 0,002. Le plus surprenant, c'est qu'il a trouvé les deux premières décimales : 3,14... C'est la valeur que l'on utilise le plus souvent dans les calculs simples.

Application pratique

Deux personnes voyagent dans un train :
- Regarde, les rails sont droits, les roues sont rondes.
D'où vient le coup ?
- D'où ? Les roues sont rondes, mais la zone
cercle pilier carré, c'est le carré qui frappe !

En règle générale, ils se familiarisent avec ce nombre étonnant en 6e et en 7e année, mais l'étudient de manière plus approfondie à la fin de la 8e année. Dans cette partie de l'article, nous présenterons les principaux et les plus formules importantes, qui vous sera utile pour résoudre problèmes géométriques, pour commencer, convenons de prendre π égal à 3,14 pour faciliter le calcul.

Peut-être le plus formule célèbre chez les écoliers, dans lesquels π est utilisé, c'est la formule pour la longueur et l'aire d'un cercle. La première, la formule de l'aire d'un cercle, s'écrit comme suit :

où S est l'aire du cercle, R est son rayon, D est le diamètre du cercle.

La circonférence d'un cercle, ou, comme on l'appelle parfois, le périmètre d'un cercle, est calculée par la formule :

C = 2 π R = π ré,

où C est la circonférence, R est le rayon, d est le diamètre du cercle.

Il est clair que le diamètre d est égal à deux rayons R.

À partir de la formule de circonférence, vous pouvez facilement trouver le rayon du cercle :

où D est le diamètre, C est la circonférence, R est le rayon du cercle.

Ce formules de base, que tout étudiant devrait connaître. De plus, il est parfois nécessaire de calculer l'aire non pas de tout le cercle, mais seulement de sa partie - le secteur. Par conséquent, nous vous la présentons - une formule pour calculer l'aire d'un secteur de cercle. Elle ressemble à ça :

où S est l'aire du secteur, R est le rayon du cercle, α est angle central en degrés.

Si mystérieux 3.14

En effet, c'est mystérieux. Parce qu'en l'honneur de ces nombres magiques, ils organisent des vacances, réalisent des films, organisent des événements publics, écrivent des poèmes et bien plus encore.

Par exemple, en 1998, un film du réalisateur américain Darren Aronofsky intitulé « Pi » est sorti. Le film a reçu de nombreuses récompenses.

Chaque année, le 14 mars à 1 h 59 min 26 s, les personnes intéressées par les mathématiques célèbrent le « Pi Day ». Pour les vacances, les gens préparent un gâteau rond, s'assoient pour table ronde et discutez de Pi et résolvez des problèmes et des énigmes liés à Pi.

Les poètes ont également prêté attention à ce nombre étonnant. Un inconnu a écrit :
Il vous suffit d'essayer de vous souvenir de tout tel qu'il est : trois, quatorze, quinze, quatre-vingt-douze et six.

Amusons-nous!

Nous vous proposons des puzzles intéressants avec le nombre Pi. Démêlez les mots cryptés ci-dessous.

1. π r

2. π L

3. π k

Réponses : 1. Fête ; 2. Fichier ; 3. Grincement.

(), et il est devenu généralement accepté après les travaux d'Euler. Cette désignation vient de lettre initiale Mots grecs περιφέρεια - cercle, périphérie et περίμετρος - périmètre.

Notes

• 510 décimales : π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 12 8 75 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 8 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Propriétés

Rapports

Il existe de nombreuses formules connues avec le nombre π :

• Formule valainaise :

• L'identité d'Euler :

• T.n. "Intégrale de Poisson" ou "Intégrale de Gauss"

Transcendance et irrationalité

Problèmes non résolus

• On ne sait pas si les nombres π et e algébriquement indépendant.
• On ne sait pas si les nombres π + e , π − e , π e , π / e , π e , π π , e e transcendantal.
• Jusqu'à présent, on ne sait rien de la normalité du nombre π ; on ne sait même pas lesquels des chiffres 0 à 9 se trouvent dans la représentation décimale du nombre π nombre infini une fois.

Historique des calculs

et Chudnovski

Règles mnémoniques

Pour ne pas faire d'erreurs, il faut lire correctement : Trois, quatorze, quinze, quatre-vingt-douze et six. Il suffit d'essayer de se souvenir de tout tel qu'il est : trois, quatorze, quinze, quatre-vingt-douze et six. Trois, quatorze, quinze, neuf, deux, six, cinq, trois, cinq.

2. Comptez le nombre de lettres dans chaque mot dans les phrases ci-dessous ( à l'exclusion des signes de ponctuation) et notez ces chiffres d'affilée - sans oublier point décimal après le premier chiffre « 3 », bien sûr. Le résultat sera un nombre approximatif de Pi.

Je le sais et je m'en souviens parfaitement : mais de nombreux signes me sont inutiles, en vain.

Celui qui, en plaisantant et rapidement, souhaite que Pi connaisse le numéro, le sait déjà !

Alors Misha et Anyuta sont venus en courant et ont voulu connaître le numéro.

(Le deuxième mnémonique est correct (avec arrondi du dernier chiffre) seulement lors de l'utilisation de l'orthographe d'avant la réforme : pour compter le nombre de lettres dans les mots, il faut prendre en compte les signes durs !)

Autre version de cette notation mnémonique :

Ceci, je le sais et je m'en souviens parfaitement :
Et de nombreux signes me sont inutiles, en vain.
Faisons confiance à nos énormes connaissances
Ceux qui comptaient les effectifs de l’armada.

Si vous vous conformez mètre poétique, on se souvient assez vite :

Trois, quatorze, quinze, neuf deux, six cinq, trois cinq
Huit neuf, sept et neuf, trois deux, trois huit, quarante six
Deux six quatre, trois trois huit, trois deux sept neuf, cinq zéro deux
Huit huit et quatre, dix-neuf, sept, un

Faits amusants

Remarques

Voyez ce qu'est « Pi » dans d'autres dictionnaires :

nombre- Source de réception : GOST 111 90 : Verre à feuilles. Caractéristiques document original Voir aussi les termes associés : 109. Le nombre d'oscillations bêtatroniques... Dictionnaire-ouvrage de référence des termes de la documentation normative et technique

Nom, s., utilisé. très souvent Morphologie : (non) quoi ? des chiffres, quoi ? numéro, (voir) quoi ? numéro, quoi ? numéro, à propos de quoi ? à propos du nombre ; pl. Quoi? des chiffres, (non) quoi ? des chiffres, pourquoi ? des chiffres, (voir) quoi ? des chiffres, quoi ? des chiffres, à propos de quoi ? à propos des nombres mathématiques 1. Par nombre... ... Dictionnaire Dmitrieva

NOMBRE, nombres, pluriel. des nombres, des nombres, des nombres, cf. 1.Concept, expressif quantité, celle par laquelle les objets et les phénomènes sont comptés (mat.). Entier. Nombre fractionnaire. Numéro nommé. Nombre premier. (voir valeur simple 1 en 1).… … Dictionnaire explicatif d'Ouchakov

Un résumé, dépourvu de désignation de contenu spécial d'un membre d'une certaine série, dans lequel ce membre est précédé ou suivi d'un autre. membre spécifique; abstrait trait individuel, distinguant un ensemble de... ... Encyclopédie philosophique

Nombre- Nombre catégorie grammaticale, exprimant les caractéristiques quantitatives des objets de pensée. Numéro grammatical l'une des manifestations de la catégorie linguistique plus générale de quantité (voir Catégorie linguistique) avec la manifestation lexicale (« lexicale ... ... Dictionnaire encyclopédique linguistique

Un nombre approximativement égal à 2,718, que l'on retrouve souvent en mathématiques et sciences naturelles. Par exemple, lors de l'effondrement substance radioactive après le temps t, une partie de la quantité initiale de substance reste égale à e kt, où k est un nombre,... ... Encyclopédie de Collier

UN; pl. chiffres, assis, claqué; Épouser 1. Une unité de compte exprimant une quantité particulière. Heures fractionnaires, entières, premières. Heures paires et impaires Comptez en nombres ronds (en comptant approximativement en unités entières ou en dizaines). H naturel (entier positif... Dictionnaire encyclopédique

Épouser. quantité, en nombre, à la question : combien ? et le signe même exprimant la quantité, le nombre. Sans numéro ; il n'y a pas de nombre, sans compter, beaucoup, beaucoup. Disposez les couverts en fonction du nombre de convives. Numéros romains, arabes ou d'église. Entier, opposé. fraction... ... Dictionnaire explicatif de Dahl

Le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre est le même pour tous les cercles. Cette relation est généralement notée lettre grecque(« pi » est la lettre initiale mot grec , qui signifiait « cercle »).

Archimède, dans son ouvrage « Mesure d'un cercle », a calculé le rapport entre la circonférence et le diamètre (nombre) et a constaté qu'il était compris entre 3 10/71 et 3 1/7.

Pendant longtemps, le nombre 22/7 a été utilisé comme valeur approximative, bien que déjà au 5ème siècle en Chine l'approximation 355/113 = 3,1415929... ait été trouvée, qui n'a été redécouverte en Europe qu'au 16ème siècle.

DANS Inde ancienne considéré égal à = 3,1622….

Le mathématicien français F. Viète calculait en 1579 avec 9 chiffres.

Le mathématicien néerlandais Ludolf Van Zeijlen a publié en 1596 le résultat de ses dix années de travail : un nombre calculé avec 32 chiffres.

Mais toutes ces clarifications de la valeur du nombre ont été réalisées selon les méthodes indiquées par Archimède : le cercle a été remplacé par un polygone avec tout un grand nombre côtés Le périmètre du polygone inscrit était inférieur à la circonférence du cercle et le périmètre du polygone circonscrit était plus grand. Mais en même temps, on ne savait pas si le nombre était rationnel, c'est-à-dire le rapport de deux nombres entiers, ou irrationnel.

Ce n'est qu'en 1767 que le mathématicien allemand I.G. Lambert a prouvé que ce nombre est irrationnel.

Et après encore cent secondes années supplémentaires en 1882, un autre mathématicien allemand, F. Lindemann, prouva sa transcendance, c'est-à-dire l'impossibilité de construire un carré de taille égale à un cercle donné à l'aide d'un compas et d'une règle.

Dessinez un cercle de diamètre sur du carton épais d(=15 cm), découpez le cercle obtenu et enroulez un fil fin autour de lui. Mesurer la longueur je(=46,5cm) un tour complet fils, diviser je par diamètre longueur d cercles. Le quotient résultant sera une valeur approximative du nombre, c'est-à-dire = je/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Cette méthode assez grossière donne, dans des conditions normales, une valeur approximative du nombre avec une précision de 1.

Dessinez un carré sur une feuille de carton. Écrivons un cercle dedans. Découpons un carré. Déterminons la masse d'un carré de carton à l'aide d'une balance scolaire. Découpons un cercle dans le carré. Pesons-le aussi. Connaître les masses de la place m² (=10g) et le cercle qui y est inscrit m cr (=7,8g) utilisons les formules

où p et h– respectivement la densité et l'épaisseur du carton, S– aire de la figure. Considérons les égalités :

Naturellement, dans dans ce cas la valeur approximative dépend de la précision du pesage. Si les chiffres en carton pesés sont assez grands, alors même sur des balances ordinaires, il est possible d'obtenir de telles valeurs de masse qui garantiront l'approximation du nombre avec une précision de 0,1.

Somme des aires de rectangles inscrits dans un demi-cercle

Figure 1

Soit A (a; 0), B (b; 0). Décrivons le demi-cercle sur AB comme un diamètre. Divisez le segment AB en n parties égales par les points x 1, x 2, ..., x n-1 et restituez les perpendiculaires à partir d'eux jusqu'à l'intersection avec le demi-cercle. La longueur de chacune de ces perpendiculaires est la valeur de la fonction f(x)=. D'après la figure 1, il est clair que l'aire S d'un demi-cercle peut être calculée à l'aide de la formule

Dans notre cas b=1, a=-1. Alors = 2S.

Plus il y a de points de division sur le segment AB, plus les valeurs seront précises. Pour faciliter le travail informatique monotone, un ordinateur sera utile, pour lequel le programme 1, compilé en BASIC, est donné ci-dessous.

Programme 1

REM "Calcul Pi"
REM "Méthode du rectangle"
INPUT "Entrez le nombre de rectangles", n
dx = 1/n
POUR je = 0 À n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
une = une + f
SUIVANT je
p = 4 * dx * a
PRINT "La valeur de pi est ", p
FIN

Le programme a été tapé et lancé avec différentes valeurs de paramètres n. Les valeurs numériques résultantes sont écrites dans le tableau :

Il s'agit en fait d'une méthode de test statistique. Il tire son nom exotique de la ville de Monte Carlo dans la Principauté de Monaco, célèbre pour ses maisons de jeux. Le fait est que la méthode nécessite l’utilisation de nombres aléatoires, et l’un des appareils les plus simples générant des nombres aléatoires est la roulette. Cependant, vous pouvez obtenir des nombres aléatoires en utilisant... la pluie.

Pour l'expérience, préparons un morceau de carton, dessinons un carré dessus et inscrivons un quart de cercle dans le carré. Si un tel dessin est conservé sous la pluie pendant un certain temps, des traces de gouttes resteront à sa surface. Comptons le nombre de pistes à l'intérieur du carré et à l'intérieur du quart de cercle. Évidemment, leur rapport sera approximativement égal au rapport des aires de ces figures, puisque les gouttes tomberont à différents endroits du dessin avec une probabilité égale. Laisser N cr– nombre de gouttes dans un cercle, N carré est le nombre de gouttes au carré, alors

Figure 2

La pluie peut être remplacée par un tableau de nombres aléatoires, compilé à l'aide d'un ordinateur à l'aide d'un programme spécial. Attribuons deux nombres aléatoires à chaque trace d'une goutte, caractérisant sa position le long des axes Oh Et Oh. Des nombres aléatoires peuvent être sélectionnés dans le tableau dans n'importe quel ordre, par exemple dans une rangée. Laissez le premier nombre à quatre chiffres du tableau 3265 . À partir de là, vous pouvez préparer une paire de nombres, dont chacun supérieur à zéro et moins d'un : x=0,32, y=0,65. Nous considérerons ces nombres comme les coordonnées de la goutte, c'est-à-dire que la goutte semble avoir atteint le point (0,32 ; 0,65). Nous faisons de même avec tous les nombres aléatoires sélectionnés. S'il s'avère que pour le moment (x;y) Si l’inégalité est vraie, alors elle se situe en dehors du cercle. Si x + y = 1, alors le point se trouve à l’intérieur du cercle.

Pour calculer la valeur, nous utilisons à nouveau la formule (1). L'erreur de calcul utilisant cette méthode est généralement proportionnelle à , où D est une constante et N est le nombre de tests. Dans notre cas N = N carré. Il ressort clairement de cette formule : pour réduire l'erreur de 10 fois (en d'autres termes, pour obtenir une autre décimale correcte dans la réponse), vous devez augmenter N, c'est-à-dire la quantité de travail, de 100 fois. Il est clair que l’utilisation de la méthode Monte Carlo n’a été rendue possible que grâce aux ordinateurs. Le programme 2 implémente la méthode décrite sur un ordinateur.

Programme 2

REM "Calcul Pi"
REM "Méthode Monte Carlo"
INPUT "Entrez le nombre de gouttes", n
m = 0
POUR je = 1 À n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
SI x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
SUIVANT je
p=4*h/n

FIN

Le programme a été tapé et lancé avec différentes valeurs du paramètre n. Les valeurs numériques résultantes sont écrites dans le tableau :

Prenons une aiguille à coudre ordinaire et une feuille de papier. Nous tracerons plusieurs lignes parallèles sur la feuille afin que les distances entre elles soient égales et dépassent la longueur de l'aiguille. Le dessin doit être suffisamment grand pour qu'une aiguille lancée accidentellement ne tombe pas en dehors de ses limites. Introduisons la notation suivante : UN- distance entre les lignes, je– la longueur de l'aiguille.

Figure 3

La position d'une aiguille lancée au hasard sur le dessin (voir Fig. 3) est déterminée par la distance X de son milieu à la ligne droite la plus proche et l'angle j que fait l'aiguille avec la perpendiculaire abaissée du milieu de l'aiguille vers le ligne droite la plus proche (voir Fig. 4). C'est clair que

Figure 4

Sur la fig. 5 représentons graphiquement la fonction y=0,5cos. Tous les emplacements d'aiguille possibles sont caractérisés par des points avec des coordonnées (; oui ), situé sur la section ABCD. La zone ombrée de l'AED correspond aux points qui correspondent au cas où l'aiguille coupe une ligne droite. Probabilité de l'événement un– « l’aiguille a franchi une ligne droite » – est calculé à l’aide de la formule :

Figure 5

Probabilité Pennsylvanie) peut être déterminé approximativement en jetant l'aiguille à plusieurs reprises. Que l'aiguille soit jetée sur le dessin c une fois et p puisqu'il est tombé en franchissant une des lignes droites, alors avec un impact suffisamment grand c nous avons p(a) = p/c. D'ici = 2 l s / a k.

Commentaire. La méthode présentée est une variante de la méthode de test statistique. C'est intéressant d'un point de vue didactique, car cela permet de combiner une expérience simple avec la création d'un modèle mathématique assez complexe.

Calcul à l'aide de la série de Taylor

Passons à la considération d'une fonction arbitraire f(x). Supposons que pour elle au moment x0 il existe des dérivés de tous ordres jusqu'à n e inclus. Ensuite pour la fonction f(x) on peut écrire la série de Taylor :

Les calculs utilisant cette série seront d’autant plus précis que le nombre de membres de la série sera élevé. Il est bien entendu préférable de mettre en œuvre cette méthode sur un ordinateur, pour lequel vous pouvez utiliser le programme 3.

Programme 3

REM "Calcul Pi"
REM "Extension de la série Taylor"
ENTRÉE n
une = 1
POUR je = 1 À n
d = 1 / (je + 2)
f = (-1)^i * d
une = une + f
SUIVANT je
p = 4 * une
PRINT "la valeur de pi est égale à" ; p
FIN

Le programme a été tapé et exécuté avec différentes valeurs du paramètre n. Les valeurs numériques résultantes sont écrites dans le tableau :

***

Quel est le point commun entre une roue d'une Lada Priora ? bague de mariage et la soucoupe de ton chat ? Bien sûr, vous direz beauté et style, mais j'ose discuter avec vous. Numéro Pi ! C’est un nombre qui rassemble tous les cercles, cercles et rondeurs, qui incluent notamment la bague de ma mère, la roue de la voiture préférée de mon père, et même la soucoupe de mon chat préféré Murzik. Je suis prêt à parier que dans le classement des constantes physiques et mathématiques les plus populaires, Pi occupera sans aucun doute la première place. Mais que se cache-t-il derrière tout cela ? Peut-être de terribles jurons de la part de mathématiciens ? Essayons de comprendre ce problème.

Quel est le nombre « Pi » et d'où vient-il ?

Désignation de numéro moderne π (Pi) apparu grâce au mathématicien anglais Johnson en 1706. C'est la première lettre du mot grec περιφέρεια (périphérie ou cercle). Pour ceux qui ont pris les mathématiques il y a longtemps, et d'ailleurs, en aucun cas, rappelons que le nombre Pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. La valeur est une constante, c'est-à-dire constante pour n'importe quel cercle, quel que soit son rayon. Les gens le savaient dans les temps anciens. Ainsi, dans l'Egypte ancienne, le nombre Pi était pris égal au rapport 256/81, et dans les textes védiques, la valeur est donnée à 339/108, tandis qu'Archimède proposait un rapport de 22/7. Mais ni celles-ci ni bien d’autres façons d’exprimer le nombre Pi n’ont donné un résultat précis.

Il s'est avéré que le nombre Pi est transcendantal et, par conséquent, irrationnel. Cela signifie qu’il ne peut pas être représenté comme une simple fraction. Si nous l'exprimons en termes décimaux, alors la séquence de chiffres après la virgule décimale se précipitera vers l'infini et, de plus, sans se répéter périodiquement. Qu’est-ce que tout cela signifie ? Très simple. Voulez-vous connaître le numéro de téléphone de la fille que vous aimez? On le trouve probablement dans la séquence de chiffres après la virgule décimale de Pi.

Vous pouvez voir le numéro de téléphone ici ↓

Numéro Pi précis à 10 000 chiffres.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Vous ne l'avez pas trouvé ? Alors jetez un oeil.

En général, il peut s'agir non seulement d'un numéro de téléphone, mais de toute information codée à l'aide de chiffres. Par exemple, si vous imaginez toutes les œuvres d'Alexandre Sergueïevitch Pouchkine sous forme numérique, elles étaient alors stockées dans le nombre Pi avant même qu'il ne les écrive, avant même sa naissance. En principe, ils y sont toujours stockés. À propos, les malédictions des mathématiciens π sont également présents, et pas seulement des mathématiciens. En un mot, le nombre Pi contient tout, même les pensées qui visiteront votre tête brillante demain, après-demain, dans un an, ou peut-être dans deux. C'est très difficile à croire, mais même si nous imaginons y croire, il sera encore plus difficile d'en obtenir des informations et de les déchiffrer. Alors, au lieu de fouiller dans ces chiffres, peut-être est-il plus facile d'approcher la fille que vous aimez et de lui demander son numéro ?.. Mais pour ceux qui ne recherchent pas de solutions faciles, ou simplement intéressés par ce qu'est le nombre Pi, je propose plusieurs façons calculs. Considérez cela comme sain.

À quoi est égal Pi ? Modalités de calcul :

1. Méthode expérimentale. Si Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, alors la première façon, peut-être la plus évidente, de trouver notre mystérieuse constante sera d'effectuer manuellement toutes les mesures et de calculer Pi en utilisant la formule π=l/d. Où l est la circonférence du cercle et d est son diamètre. Tout est très simple, il suffit de s'armer d'un fil pour déterminer la circonférence, d'une règle pour trouver le diamètre, et, en fait, de la longueur du fil lui-même, et d'une calculatrice si vous avez des problèmes de division longue. Le rôle de l'échantillon à mesurer peut être une casserole ou un pot de concombres, peu importe, l'essentiel est ? pour qu'il y ait un cercle à la base.

La méthode de calcul considérée est la plus simple, mais elle présente malheureusement deux inconvénients importants qui affectent la précision du nombre Pi résultant. Premièrement, l'erreur des instruments de mesure (dans notre cas, il s'agit d'une règle avec un fil), et deuxièmement, rien ne garantit que le cercle que nous mesurons aura forme correcte. Il n’est donc pas surprenant que les mathématiques nous aient donné de nombreuses autres méthodes de calcul de π, pour lesquelles il n’est pas nécessaire d’effectuer des mesures précises.

2. Série Leibniz. Il existe plusieurs séries infinies qui permettent de calculer avec précision Pi jusqu'à grande quantité décimales. L'une des séries les plus simples est la série de Leibniz. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
C'est simple : nous prenons des fractions avec 4 au numérateur (c'est ce qui est en haut) et un nombre de la séquence de nombres impairs au dénominateur (c'est ce qui est en dessous), les additionnons et les soustrayons séquentiellement les unes avec les autres et obtenons le nombre Pi. . Plus il y a d’itérations ou de répétitions de nos actions simples, plus le résultat est précis. Simple, mais pas efficace d'ailleurs, il faut 500 000 itérations pour obtenir la valeur exacte de Pi à dix décimales. Autrement dit, nous devrons diviser les quatre malheureux jusqu'à 500 000 fois, et en plus de cela, nous devrons soustraire et additionner les résultats obtenus 500 000 fois. Voulez-vous l'essayer?

3. Série Nilakanta. Vous n'avez pas le temps de bricoler la série Leibniz ? Il existe une alternative. La série Nilakanta, même si elle est un peu plus compliquée, permet d'obtenir rapidement le résultat souhaité. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Je pense que si vous regardez attentivement ce qui précède fragment initial série, tout devient clair et les commentaires sont inutiles. Passons à autre chose.

4. Méthode de Monte Carlo Une méthode assez intéressante pour calculer Pi est la méthode de Monte Carlo. Elle a reçu un nom si extravagant en l'honneur de la ville du même nom dans le royaume de Monaco. Et la raison en est une coïncidence. Non, il n'a pas été nommé par hasard, la méthode est simplement basée sur des nombres aléatoires, et qu'est-ce que cela pourrait être ? plus aléatoire que les nombres qui apparaissent sur les tables de roulette du casino de Monte Carlo ? Le calcul de Pi n’est pas la seule application de cette méthode ; dans les années cinquante, elle était utilisée dans les calculs ; bombe à hydrogène. Mais ne nous laissons pas distraire.

Prenons un carré de côté égal à 2r, et inscrivez un cercle de rayon r. Maintenant, si vous placez des points dans un carré au hasard, alors la probabilité P. Le fait qu’un point tombe dans un cercle est le rapport des aires du cercle et du carré. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Exprimons maintenant le nombre Pi à partir d'ici π=4P. Il ne reste plus qu'à obtenir des données expérimentales et trouver la probabilité P comme le rapport des coups dans le cercle N cr aller sur la place N carré. DANS vue générale formule de calcul ressemblera à ceci : π=4N cr / N carré.

Je tiens à préciser que pour mettre en œuvre cette méthode, il n'est pas nécessaire d'aller dans un casino ; il suffit d'utiliser n'importe quel langage de programmation plus ou moins décent. Eh bien, la précision des résultats obtenus dépendra du nombre de points placés, par conséquent, plus ils seront précis. Je te souhaite bonne chance 😉

Numéro Tau (Au lieu d'une conclusion).

Les gens qui sont loin des mathématiques ne le savent probablement pas, mais il se trouve que le nombre Pi a un frère qui fait deux fois sa taille. C'est le nombre Tau(τ), et si Pi est le rapport de la circonférence au diamètre, alors Tau est le rapport de cette longueur au rayon. Et aujourd'hui, certains mathématiciens proposent d'abandonner le nombre Pi et de le remplacer par Tau, car cela est à bien des égards plus pratique. Mais pour l’instant, ce ne sont que des propositions, et comme le disait Lev Davidovich Landau : « Nouvelle théorie commence à dominer lorsque les partisans des vieux disparaissent.

Les passionnés de mathématiques du monde entier mangent une part de tarte chaque année le 14 mars. Après tout, c'est le jour de Pi, le nombre irrationnel le plus célèbre. Cette date est directement liée au numéro dont les premiers chiffres sont 3.14. Pi est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Comme c’est irrationnel, il est impossible de l’écrire sous forme de fraction. C'est un nombre infiniment long. Il a été découvert il y a des milliers d’années et a été constamment étudié depuis, mais Pi a-t-il encore des secrets ? Depuis origine ancienne En attendant un avenir incertain, voici quelques-uns des faits les plus intéressants sur Pi.

Mémoriser Pi

Le record de mémorisation de nombres décimaux appartient à Rajvir Meena d'Inde, qui a réussi à mémoriser 70 000 chiffres - il a établi le record le 21 mars 2015. Auparavant, le détenteur du record était Chao Lu de Chine, qui avait réussi à mémoriser 67 890 chiffres - ce record a été établi en 2005. Le détenteur officieux du record est Akira Haraguchi, qui s'est enregistré sur vidéo en répétant 100 000 chiffres en 2005 et a récemment publié une vidéo dans laquelle il parvient à mémoriser 117 000 chiffres. Le record ne deviendrait officiel que si cette vidéo était enregistrée en présence d'un représentant du Livre Guinness des Records, et sans confirmation, cela ne reste qu'un fait impressionnant, mais n'est pas considéré comme un exploit. Les passionnés de mathématiques adorent mémoriser le nombre Pi. De nombreuses personnes utilisent diverses techniques mnémotechniques, par exemple la poésie, où le nombre de lettres de chaque mot correspond aux chiffres de Pi. Chaque langue a ses propres variantes phrases similaires, qui vous aident à mémoriser à la fois les premiers chiffres et la centaine entière.

Il existe un langage Pi

Des mathématiciens passionnés de littérature ont inventé un dialecte dans lequel le nombre de lettres de tous les mots correspond aux chiffres de Pi dans un ordre exact. L'écrivain Mike Keith a même écrit un livre, Not a Wake, entièrement écrit en Pi. Les amateurs d'une telle créativité écrivent leurs œuvres en totale conformité avec le nombre de lettres et la signification des chiffres. Cela n'a aucune application pratique, mais c'est assez courant et phénomène connu dans les cercles de scientifiques enthousiastes.

Croissance exponentielle

Pi est nombre infini, donc les gens, par définition, ne pourront jamais établir les chiffres exacts de ce nombre. Cependant, le nombre de décimales a considérablement augmenté depuis la première utilisation de Pi. Les Babyloniens l'utilisaient également, mais une fraction de trois entiers et un huitième leur suffisaient. Chinois et créateurs Ancien Testament et étaient complètement limités à trois. En 1665, Sir Isaac Newton avait calculé les 16 chiffres de Pi. Vers 1719 mathématicien français Tom Fante de Lagny a calculé 127 chiffres. L’avènement des ordinateurs a radicalement amélioré la connaissance humaine de Pi. De 1949 à 1967 le nombre connu de l'homme Les chiffres sont montés en flèche, passant de 2037 à 500 000. Il n'y a pas si longtemps, Peter Trueb, un scientifique suisse, a pu calculer 2,24 billions de chiffres de Pi ! Cela a pris 105 jours. Bien entendu, ce n’est pas la limite. Il est probable qu'avec le développement de la technologie, il sera possible d'installer encore plus de chiffre exact- puisque Pi est infini, il n'y a tout simplement aucune limite à la précision, et elle ne peut être que limitée caractéristiques techniques technologie informatique.

Calculer Pi à la main

Si vous souhaitez trouver le numéro vous-même, vous pouvez utiliser la technique à l'ancienne : vous aurez besoin d'une règle, d'un pot et d'une ficelle, ou vous pouvez utiliser un rapporteur et un crayon. L'inconvénient de l'utilisation d'une canette est qu'elle doit être ronde et la précision sera déterminée par la capacité d'une personne à enrouler la corde autour d'elle. Vous pouvez dessiner un cercle avec un rapporteur, mais cela demande également de l'habileté et de la précision, car un cercle inégal peut sérieusement fausser vos mesures. Une méthode plus précise consiste à utiliser la géométrie. Divisez un cercle en plusieurs segments, comme une pizza en tranches, puis calculez la longueur d'une ligne droite qui transformerait chaque segment en triangle isocèle. La somme des côtés donnera le nombre approximatif Pi. Plus vous utilisez de segments, plus le nombre sera précis. Bien entendu, dans vos calculs vous ne pourrez pas vous rapprocher des résultats d'un ordinateur, néanmoins ces expériences simples vous permettent de comprendre plus en détail ce qu'est réellement le nombre Pi et comment il est utilisé en mathématiques.

Découverte de Pi

Les anciens Babyloniens connaissaient déjà l’existence du nombre Pi il y a quatre mille ans. Les tablettes babyloniennes calculent Pi comme 3,125, et un papyrus mathématique égyptien indique le nombre 3,1605. Dans la Bible, le nombre Pi est donné dans une longueur obsolète - en coudées, et le mathématicien grec Archimède a utilisé le théorème de Pythagore pour décrire Pi, relation géométrique les longueurs des côtés du triangle et l'aire des figures à l'intérieur et à l'extérieur des cercles. Ainsi, nous pouvons affirmer avec certitude que Pi est l'un des plus anciens concepts mathématiques, au moins le nom exact numéro donné et est apparu relativement récemment.

Nouveau regard sur Pi

Même avant que le nombre Pi ne commence à être corrélé aux cercles, les mathématiciens disposaient déjà de nombreuses façons de nommer ce nombre. Par exemple, dans les anciens manuels de mathématiques, on peut trouver une expression latine qui peut être grossièrement traduite par « la quantité qui indique la longueur lorsque le diamètre est multiplié par celle-ci ». Le nombre irrationnel est devenu célèbre lorsque le scientifique suisse Leonhard Euler l'a utilisé dans ses travaux sur la trigonométrie en 1737. Cependant, le symbole grec pour Pi n'était toujours pas utilisé - cela ne s'est produit que dans le livre moins. mathématicien célèbre William Jones. Il l'utilisa déjà en 1706, mais il resta longtemps inaperçu. Au fil du temps, les scientifiques ont adopté ce nom, et c'est aujourd'hui le nom le plus utilisé. version connue noms, bien qu'auparavant on l'appelait aussi le numéro Ludolf.

Pi est-il un nombre normal ?

Le nombre Pi est certes étrange, mais dans quelle mesure obéit-il aux nombres normaux ? lois mathématiques? Les scientifiques ont déjà résolu de nombreuses questions à ce sujet nombre irrationnel, mais certains mystères demeurent. Par exemple, on ne sait pas à quelle fréquence tous les nombres sont utilisés – les nombres de 0 à 9 doivent être utilisés dans des proportions égales. Cependant, les statistiques peuvent être retracées à partir des premiers milliards de chiffres, mais étant donné que le nombre est infini, il est impossible de prouver quoi que ce soit avec certitude. Il existe d’autres problèmes qui échappent encore aux scientifiques. Il est fort possible que développement ultérieur la science aidera à les éclairer, mais à l'heure actuelle cela reste au-delà de l’intellect humain.

Pi a l'air divin

Les scientifiques ne peuvent pas répondre à certaines questions sur le nombre Pi, cependant, chaque année, ils comprennent de mieux en mieux son essence. Au XVIIIe siècle déjà, l’irrationalité de ce chiffre était prouvée. De plus, il s’est avéré que ce nombre est transcendantal. Cela veut dire non une certaine formule, ce qui nous permettrait de calculer Pi en utilisant des nombres rationnels.

Insatisfaction à l'égard du nombre Pi

De nombreux mathématiciens sont simplement amoureux de Pi, mais il y a aussi ceux qui pensent que ces chiffres ne sont pas particulièrement significatifs. De plus, ils affirment que Tau, qui est deux fois plus grand que Pi, est plus pratique à utiliser comme nombre irrationnel. Tau montre la relation entre la circonférence et le rayon, qui, selon certains, représente une méthode de calcul plus logique. Cependant, pour déterminer sans ambiguïté quelque chose dans ce problème impossible, et l'un et l'autre nombre auront toujours des partisans, les deux méthodes ont droit à la vie, donc c'est simple fait intéressant, et ce n’est pas une raison de penser que vous ne devriez pas utiliser Pi.