નક્કી કરતી વખતે ઘણી વાર ભૌમિતિક સમસ્યાઓતમારે સહાયક આકૃતિઓ સાથે ક્રિયાઓ કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, અંકિત અથવા પરિમાણિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવી, વગેરે. આ લેખ તમને બતાવશે કે ત્રિકોણ વડે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી. અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વર્તુળની ત્રિજ્યા જેમાં ત્રિકોણ અંકિત છે.

ત્રિકોણ વિશે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી - સામાન્ય સૂત્ર

સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), જ્યાં R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, p એ 2 વડે વિભાજિત ત્રિકોણની પરિમિતિ છે. (અર્ધ પરિમિતિ). a, b, c – ત્રિકોણની બાજુઓ.

ત્રિકોણની પરિક્રમા શોધો જો a = 3, b = 6, c = 7 હોય.

આમ, ઉપરોક્ત સૂત્રના આધારે, અમે અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

અમે મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

જવાબ: R = 126/16√5

સમભુજ ત્રિકોણની પરિક્રમા કરતા વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી

સમભુજ ત્રિકોણને ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવા માટે, ત્યાં ઘણા બધા છે સરળ સૂત્ર: R = a/√3, જ્યાં a તેની બાજુનું કદ છે.

ઉદાહરણ: સમભુજ ત્રિકોણની બાજુ 5 છે. ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

સમભુજ ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી, સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તમારે ફક્ત તેનું મૂલ્ય સૂત્રમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. આપણને મળે છે: R = 5/√3.

જવાબ: R = 5/√3.

કાટખૂણ ત્રિકોણની પરિક્રમા કરતા વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી

સૂત્ર નીચે મુજબ છે: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, જ્યાં a અને b એ પગ છે અને c એ કર્ણ છે. જો તમે કાટકોણ ત્રિકોણમાં પગના ચોરસ ઉમેરો છો, તો તમને કર્ણનો વર્ગ મળશે. જેમ સૂત્રમાંથી જોઈ શકાય છે, આ અભિવ્યક્તિ મૂળ હેઠળ છે. કર્ણોના વર્ગના મૂળની ગણતરી કરીને, આપણે લંબાઈ પોતે મેળવીએ છીએ. પરિણામી અભિવ્યક્તિને 1/2 વડે ગુણાકાર કરવાથી આખરે આપણને 1/2 × c = c/2 અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે.

ઉદાહરણ: જો ત્રિકોણના પગ 3 અને 4 હોય તો ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો. મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલો. આપણને મળે છે: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

IN આપેલ અભિવ્યક્તિ 5 - કર્ણની લંબાઈ.

જવાબ: R = 2.5.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિક્રમા કરતા વર્તુળની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી

સૂત્ર નીચે મુજબ છે: R = a²/√(4a² – b²), જ્યાં a એ ત્રિકોણની જાંઘની લંબાઈ છે અને b એ પાયાની લંબાઈ છે.

ઉદાહરણ: વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો જો તેનો હિપ = 7 અને આધાર = 8 હોય.

ઉકેલ: આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલો અને મેળવો: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. જવાબ સીધો આ રીતે લખી શકાય.

જવાબ: R = 49/√132

વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી માટે ઑનલાઇન સંસાધનો

આ બધા સૂત્રોમાં મૂંઝવણમાં આવવું ખૂબ જ સરળ હોઈ શકે છે. તેથી, જો જરૂરી હોય તો, તમે ઉપયોગ કરી શકો છો ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર, જે તમને ત્રિજ્યા શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ કરશે. આવા મીની-પ્રોગ્રામ્સના સંચાલન સિદ્ધાંત ખૂબ જ સરળ છે. બાજુની કિંમતને યોગ્ય ક્ષેત્રમાં બદલો અને તૈયાર જવાબ મેળવો. તમે તમારા જવાબને ગોળાકાર બનાવવા માટે ઘણા વિકલ્પો પસંદ કરી શકો છો: દશાંશ, સો, હજારમા, વગેરે.

પ્રવેશ સ્તર

પરિક્રમા કરેલ વર્તુળ. વિઝ્યુઅલ માર્ગદર્શિકા (2019)

પ્રથમ પ્રશ્ન જે ઉદ્દભવી શકે છે: શું વર્ણવેલ છે - શું આસપાસ?

ઠીક છે, વાસ્તવમાં, કેટલીકવાર તે કોઈ પણ વસ્તુની આસપાસ થાય છે, પરંતુ આપણે ત્રિકોણ (ક્યારેક તેઓ "વિશે" પણ કહે છે) આસપાસના વર્તુળ વિશે વાત કરીશું. આ શું છે?

અને જરા કલ્પના કરો, એક અદ્ભુત હકીકત થાય છે:

આ હકીકત શા માટે આશ્ચર્યજનક છે?

પરંતુ ત્રિકોણ અલગ છે!

અને દરેક માટે એક વર્તુળ છે જેમાંથી પસાર થશે ત્રણેય શિખરો દ્વારા, એટલે કે, ઘેરાયેલું વર્તુળ.

આનો પુરાવો અદ્ભુત હકીકતતમે થિયરીના નીચેના સ્તરોમાં શોધી શકો છો, પરંતુ અહીં આપણે ફક્ત નોંધ લઈએ છીએ કે જો આપણે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુષ્કોણ લઈએ, તો દરેક માટે ચાર શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ હશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતર ચતુષ્કોણ એક ઉત્તમ ચતુષ્કોણ છે, પરંતુ તેના ચારેય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું કોઈ વર્તુળ નથી!

અને ત્યાં ફક્ત એક લંબચોરસ માટે છે:

અહીં તમે જાઓ, અને દરેક ત્રિકોણ પાસે હંમેશા તેનું પોતાનું વર્તુળ હોય છે!અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધવાનું હંમેશા ખૂબ સરળ છે.

શું તમે જાણો છો કે તે શું છે લંબ દ્વિભાજક?

હવે ચાલો જોઈએ કે જો આપણે ત્રિકોણની બાજુઓના ત્રણ જેટલા લંબ દ્વિભાજકોને ધ્યાનમાં લઈએ તો શું થાય છે.

તે તારણ આપે છે (અને આ તે જ છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે, જો કે આપણે નહીં કરીએ) ત્રણેય લંબ એક બિંદુ પર છેદે છે.ચિત્ર જુઓ - ત્રણેય લંબ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

શું તમને લાગે છે કે ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર હંમેશા ત્રિકોણની અંદર રહેલું છે? કલ્પના કરો - હંમેશા નહીં!

પરંતુ જો તીવ્ર કોણીય, પછી - અંદર:

કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે શું કરવું?

અને વધારાના બોનસ સાથે:

કારણ કે આપણે ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ: તે શું સમાન છે મનસ્વી ત્રિકોણ? અને આ પ્રશ્નનો જવાબ છે: કહેવાતા .

જેમ કે:

અને, અલબત્ત,

1. અસ્તિત્વ અને વર્તુળનું કેન્દ્ર

અહીં પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું દરેક ત્રિકોણ માટે આવા વર્તુળ અસ્તિત્વમાં છે? તે તારણ આપે છે કે હા, દરેક માટે. અને વધુમાં, હવે આપણે એક પ્રમેય ઘડીશું જે પરિક્રમિત વર્તુળનું કેન્દ્ર ક્યાં સ્થિત છે તે પ્રશ્નનો પણ જવાબ આપે છે.

જુઓ, આના જેવું:

ચાલો બહાદુર બનીએ અને આ પ્રમેય સાબિત કરીએ. જો તમે "" વિષય પહેલેથી જ વાંચી લીધો હોય અને સમજાયું હોય કે શા માટે ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે, તો તે તમારા માટે સરળ રહેશે, પરંતુ જો તમે તે વાંચ્યું નથી, તો ચિંતા કરશો નહીં: હવે અમે તેને શોધી કાઢીશું.

અમે લોકસ ઓફ પોઈન્ટ્સ (GMT) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી હાથ ધરીશું.

સારું, ઉદાહરણ તરીકે, બોલનો સમૂહ છે - “ લોકસ» ગોળ વસ્તુઓ? ના, અલબત્ત, કારણ કે ત્યાં ગોળાકાર... તરબૂચ છે. શું તે લોકોનો સમૂહ છે, "ભૌમિતિક સ્થળ", જે બોલી શકે છે? ના, કાં તો, કારણ કે એવા બાળકો છે જે બોલી શકતા નથી. જીવનમાં, વાસ્તવિક "બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાન" નું ઉદાહરણ શોધવાનું સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ છે. ભૂમિતિમાં તે સરળ છે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, આપણને જે જોઈએ છે તે બરાબર છે:

અહીં સમૂહ કાટખૂણે દ્વિભાજક છે, અને ગુણધર્મ "" એ "સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતર (બિંદુ) હોવું" છે.

શું આપણે તપાસ કરીશું? તેથી, તમારે બે બાબતોની ખાતરી કરવાની જરૂર છે:

કોઈપણ બિંદુ કે જે સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે તે તેના પર લંબરૂપ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે.

ચાલો c અને c ને જોડીએ. પછી રેખા મધ્ય અને ઊંચાઈ b છે. આનો અર્થ છે - સમદ્વિબાજુ - અમે ખાતરી કરી છે કે લંબ દ્વિભાજક પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ બિંદુઓથી સમાન રીતે દૂર છે અને.

ચાલો મધ્યમ લઈએ અને કનેક્ટ કરીએ અને. પરિણામ મધ્ય છે. પરંતુ શરત મુજબ, માત્ર મધ્ય સમદ્વિબાજુ નથી, પણ ઊંચાઈ પણ છે, એટલે કે લંબ દ્વિભાજક. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ બરાબર લંબ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે.

બધા! અમે એ હકીકતની સંપૂર્ણ ચકાસણી કરી છે કે સેગમેન્ટનો લંબ દ્વિભાજક એ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

આ બધું સારું અને સારું છે, પરંતુ શું આપણે સર્કાઈબ્ડ વર્તુળ વિશે ભૂલી ગયા છીએ? બિલકુલ નહીં, અમે ફક્ત "હુમલા માટે સ્પ્રિંગબોર્ડ" તૈયાર કર્યું છે.

ત્રિકોણનો વિચાર કરો. ચાલો બે દ્વિભાજીય કાટખૂણે દોરીએ અને, કહો, સેગમેન્ટ્સ અને. તેઓ અમુક બિંદુએ છેદશે, જેને અમે નામ આપીશું.

હવે, ધ્યાન આપો!

બિંદુ કાટખૂણે દ્વિભાજક પર આવેલું છે;
બિંદુ કાટખૂણે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.
અને તેનો અર્થ છે, અને.

આમાંથી કેટલીક બાબતો અનુસરે છે:

સૌપ્રથમ, બિંદુ સેગમેન્ટના લંબરૂપ ત્રીજા દ્વિભાજક પર આવેલો હોવો જોઈએ.

એટલે કે, કાટખૂણે દ્વિભાજક પણ બિંદુમાંથી પસાર થવું જોઈએ, અને ત્રણેય લંબ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

બીજું: જો આપણે એક બિંદુ અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ દોરીએ, તો આ વર્તુળ પણ બિંદુ અને બિંદુ બંનેમાંથી પસાર થશે, એટલે કે, તે એક ઘેરાયેલું વર્તુળ હશે. આનો અર્થ એ છે કે તે પહેલાથી જ અસ્તિત્વમાં છે કે ત્રણ કાટખૂણે દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ કોઈપણ ત્રિકોણ માટે પરિક્રમિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

અને છેલ્લી વસ્તુ: વિશિષ્ટતા વિશે. તે સ્પષ્ટ છે (લગભગ) બિંદુ અનન્ય રીતે મેળવી શકાય છે, તેથી વર્તુળ અનન્ય છે. સારું, અમે તમારા પ્રતિબિંબ માટે "લગભગ" છોડીશું. તેથી અમે પ્રમેય સાબિત કર્યો. તમે બૂમો પાડી શકો છો "હુરે!"

જો સમસ્યા પૂછે છે કે "પરિવર્તિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો"? અથવા ઊલટું, ત્રિજ્યા આપવામાં આવે છે, પરંતુ તમારે બીજું કંઈક શોધવાની જરૂર છે? શું ત્યાં કોઈ સૂત્ર છે જે પરિપત્રની ત્રિજ્યાને ત્રિકોણના અન્ય ઘટકો સાથે સંબંધિત છે?

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: સાઈન પ્રમેય જણાવે છે કે ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવા માટે, તમારે એક બાજુ (કોઈપણ!) અને તેની સામેના ખૂણાની જરૂર છે.. બસ એટલું જ!

3. વર્તુળનું કેન્દ્ર - અંદર અથવા બહાર

હવે પ્રશ્ન એ છે કે: શું પરિક્રમિત વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણની બહાર હોઈ શકે છે?
જવાબ: શક્ય તેટલું. તદુપરાંત, આ હંમેશા સ્થૂળ ત્રિકોણમાં થાય છે.

અને સામાન્ય રીતે:

વર્તુળ વર્તુળ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

1. ત્રિકોણની આસપાસનું વર્તુળ

આ એક વર્તુળ છે જે આ ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

2. અસ્તિત્વ અને વર્તુળનું કેન્દ્ર

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

માટે સફળ સમાપ્તિયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવાની ખાતરી કરવા અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો - 299 ઘસવું.
પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - 999 ઘસવું.

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

બીજા કિસ્સામાં અમે તમને આપીશુંસિમ્યુલેટર "દરેક વિષય માટે, જટિલતાના તમામ સ્તરે ઉકેલો અને જવાબો સાથે 6000 સમસ્યાઓ." કોઈપણ વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારા હાથ મેળવવા માટે તે ચોક્કસપણે પૂરતું હશે.

હકીકતમાં, આ માત્ર એક સિમ્યુલેટર કરતાં ઘણું વધારે છે - એક સંપૂર્ણ તાલીમ કાર્યક્રમ. જો જરૂરી હોય, તો તમે તેનો ઉપયોગ મફતમાં પણ કરી શકો છો.

સાઇટના અસ્તિત્વના સમગ્ર સમયગાળા માટે તમામ ગ્રંથો અને પ્રોગ્રામ્સની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

તમને જરૂર પડશે

આપેલ પરિમાણો સાથે ત્રિકોણ
હોકાયંત્ર
શાસક
ચોરસ
સાઈન અને કોસાઈન્સનું કોષ્ટક
ગાણિતિક ખ્યાલો
ત્રિકોણની ઊંચાઈ નક્કી કરવી
સાઈન અને કોસાઈન સૂત્રો
ત્રિકોણ ક્ષેત્ર સૂત્ર

સૂચનાઓ

જરૂરી પરિમાણો સાથે ત્રિકોણ દોરો. ત્રિકોણમાં કાં તો ત્રણ બાજુઓ હોય છે, અથવા બે બાજુઓ હોય છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો હોય છે, અથવા એક બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણા હોય છે. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને A, B અને C તરીકે લેબલ કરો, ખૂણાઓને α, β, અને γ તરીકે અને શિરોબિંદુઓની વિરુદ્ધ બાજુઓને a, b અને c તરીકે લેબલ કરો.

ત્રિકોણની બધી બાજુઓ દોરો અને તેમના આંતરછેદ બિંદુને શોધો. બાજુઓ માટે અનુરૂપ સૂચકાંકો સાથે h તરીકે ઊંચાઈ દર્શાવો. તેમના આંતરછેદના બિંદુને શોધો અને તેને O લેબલ આપો. તે વર્તુળનું કેન્દ્ર હશે. આમ, આ વર્તુળની ત્રિજ્યા OA, OB અને OS સેગમેન્ટ્સ હશે.

બે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિજ્યા શોધો. એક માટે, તમારે પહેલા ગણતરી કરવાની જરૂર છે. તે 2 વડે વિભાજિત કોઈપણ ખૂણાની સાઈન દ્વારા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન છે.

આ કિસ્સામાં, વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

અન્ય માટે, એક બાજુની લંબાઈ અને વિરુદ્ધ કોણની સાઈન પર્યાપ્ત છે.

ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો અને ત્રિકોણના પરિઘનું વર્ણન કરો.

ઉપયોગી સલાહ

યાદ રાખો કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેટલી છે. આ એક ખૂણાથી વિરુદ્ધ બાજુએ દોરેલું લંબ છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને એક બાજુના ચોરસ અને બેની સાઈનના ગુણાંક તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે. અડીને આવેલા ખૂણા, આ ખૂણાઓના સરવાળાની સાઈનથી બે વાર ભાગ્યા.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

સ્ત્રોતો:

પરિમાણિત વર્તુળ ત્રિજ્યા સાથે કોષ્ટક
એક સમભુજની પરિક્રમા કરેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા

જો તે તેના તમામ શિરોબિંદુઓને સ્પર્શે તો તેને બહુકોણની આસપાસ પરિક્રમિત ગણવામાં આવે છે. નોંધનીય બાબત એ છે કે કેન્દ્રમાં આવા વર્તુળબહુકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી દોરેલા લંબરૂપના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે. ત્રિજ્યાવર્ણવેલ વર્તુળતે વર્ણવેલ છે તે બહુકોણ પર સંપૂર્ણપણે આધાર રાખે છે.

તમને જરૂર પડશે

બહુકોણની બાજુઓ અને તેનો વિસ્તાર/પરિમિતિ જાણો.

સૂચનાઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

બહુકોણની આસપાસ વર્તુળ ફક્ત ત્યારે જ દોરી શકાય છે જો તે નિયમિત હોય, એટલે કે. તેની બધી બાજુઓ સમાન છે અને તેના બધા ખૂણા સમાન છે.
બહુકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના લંબરૂપ દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ છે તે થીસીસ બધા માટે માન્ય છે. નિયમિત બહુકોણ.

સ્ત્રોતો:

બહુકોણની ત્રિજ્યા કેવી રીતે શોધવી

જો બહુકોણ માટે પરિઘ બાંધવાનું શક્ય હોય, તો આ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ ઓછો વિસ્તારઘેરાયેલું વર્તુળ, પરંતુ વધુ વિસ્તારઅંકિત વર્તુળ. કેટલાક બહુકોણ માટે, સૂત્રો શોધવા માટે જાણીતા છે ત્રિજ્યાઅંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળો.

સૂચનાઓ

બહુકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ જે બહુકોણની બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે. ત્રિકોણ માટે ત્રિજ્યાવર્તુળો: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, જ્યાં p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે; a, b, c - ત્રિકોણની બાજુઓ. ફોર્મ્યુલાને સરળ બનાવવા માટે: r = a/(2*3^1/2), a એ ત્રિકોણની બાજુ છે.

બહુકોણની ફરતે ઘેરાયેલું વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જેના પર બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુ આવેલા છે. ત્રિકોણ માટે, ત્રિજ્યા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), જ્યાં p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે; a, b, c - ત્રિકોણની બાજુઓ. સાચા માટે તે સરળ છે: R = a/3^1/2.

બહુકોણ માટે, અંકિત ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર અને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધવાનું હંમેશા શક્ય નથી. મોટેભાગે તેઓ બહુકોણની આસપાસ આવા વર્તુળો બાંધવા સુધી મર્યાદિત હોય છે, અને પછી ભૌતિક ત્રિજ્યામાપવાના સાધનો અથવા વેક્ટર સ્પેસનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળો.
બહિર્મુખ બહુકોણના પરિઘને બાંધવા માટે, તેના બે ખૂણાઓના દ્વિભાજકો તેમના આંતરછેદ પર બનેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિજ્યા એ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી બહુકોણના કોઈપણ ખૂણાના શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર હશે. બાજુઓના કેન્દ્રોમાંથી બહુકોણની અંદર બાંધવામાં આવેલા લંબચોરસના આંતરછેદ પર અંકિતનું કેન્દ્ર (આ લંબ મધ્ય છે). આવા બે લંબ બાંધવા માટે તે પૂરતું છે. અંકિત વર્તુળ ત્રિજ્યા અંતર જેટલુંમધ્ય કાટખૂણાના આંતરછેદના બિંદુથી બહુકોણની બાજુ સુધી.

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

બી મનસ્વી રીતે આપેલ બહુકોણતમે વર્તુળ લખી શકતા નથી અને તેની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકતા નથી.

ઉપયોગી સલાહ

જો a+c = b+d, જ્યાં a, b, c, d એ ચતુષ્કોણની બાજુઓ ક્રમમાં હોય તો વર્તુળને ચતુષ્કોણમાં લખી શકાય છે. એક વર્તુળ ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે જો તેના વિરોધી ખૂણા 180 ડિગ્રી સુધી ઉમેરે છે;

ત્રિકોણ માટે, આવા વર્તુળો હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે.

ટીપ 4: ત્રણ બાજુઓના આધારે ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું એ સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક છે શાળા આયોજન. કોઈપણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ જાણવી પૂરતી છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં અને સમભુજ ત્રિકોણઅનુક્રમે બે અને એક બાજુની લંબાઈ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

તમને જરૂર પડશે

ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ, હેરોનનું સૂત્ર, કોસાઈન પ્રમેય

સૂચનાઓ

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). જો આપણે અર્ધ-પરિમિતિ p લખીએ, તો આપણને મળે છે: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

તમે વિચારણાઓમાંથી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર મેળવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, કોસાઇન પ્રમેય લાગુ કરીને.

કોસાઇન પ્રમેય દ્વારા, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). રજૂ કરાયેલા સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને, આ ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). તેથી, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર S = a*c*sin(ABC)/2 દ્વારા પણ બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના કોણનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. કોણ ABC ની સાઈન મૂળભૂતનો ઉપયોગ કરીને તેની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે ત્રિકોણમિતિ ઓળખ: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) ક્ષેત્ર માટેના સૂત્રમાં સાઈનને બદલીને અને તેને લખવાથી, તમે વિસ્તાર માટેના સૂત્ર પર પહોંચી શકો છો ત્રિકોણ ABC.

વિષય પર વિડિઓ

ત્રણ બિંદુઓ જે વિશિષ્ટ રીતે ત્રિકોણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ તેના શિરોબિંદુઓ છે. દરેક સંકલન અક્ષને સંબંધિત તેમની સ્થિતિ જાણીને, તમે આના કોઈપણ પરિમાણોની ગણતરી કરી શકો છો. સપાટ આકૃતિ, સહિત અને તેની પરિમિતિ દ્વારા મર્યાદિત ચોરસ. આ ઘણી રીતે કરી શકાય છે.

સૂચનાઓ

વિસ્તારની ગણતરી કરવા હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો ત્રિકોણ. તેમાં આકૃતિની ત્રણ બાજુઓના પરિમાણો સામેલ છે, તેથી તમારી ગણતરીઓ સાથે શરૂ કરો. દરેક બાજુની લંબાઈ તેના અંદાજોની લંબાઈના ચોરસના સરવાળાના મૂળની બરાબર હોવી જોઈએ. સંકલન અક્ષો. જો આપણે કોઓર્ડિનેટ્સ A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) અને C(X₃,Y₃,Z₃) ને સૂચવીએ, તો તેમની બાજુઓની લંબાઈ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, સહાયક ચલ રજૂ કરો - સેમીપેરિમીટર (P). હકીકત એ છે કે આ બધી બાજુઓની લંબાઈનો અડધો સરવાળો છે: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

ગણતરી કરો ચોરસ(એસ) હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને - અર્ધ-પરિમિતિના ઉત્પાદનના મૂળ અને તેની વચ્ચેનો તફાવત અને દરેક બાજુની લંબાઈ લો. IN સામાન્ય દૃશ્યતે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²)*(P-√((X₁- X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²))

વ્યવહારુ ગણતરીઓ માટે, વિશિષ્ટ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. આ કેટલીક સાઇટ્સના સર્વર પર હોસ્ટ કરેલી સ્ક્રિપ્ટો છે જે બધું જ કરશે જરૂરી ગણતરીઓતમે યોગ્ય ફોર્મમાં દાખલ કરેલ કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે. એકમાત્ર આવી સેવા એ છે કે તે ગણતરીના દરેક પગલા માટે સ્પષ્ટતા અને વાજબીતા પ્રદાન કરતી નથી. તેથી, જો તમને ફક્ત રસ હોય અંતિમ પરિણામ, અને સામાન્ય ગણતરીઓ નહીં, ઉદાહરણ તરીકે, http://planetcalc.ru/218/ પૃષ્ઠ પર જાઓ.

ફોર્મ ફીલ્ડ્સમાં, દરેક શિરોબિંદુના દરેક સંકલનને દાખલ કરો ત્રિકોણ- તેઓ અહીં Ax, Ay, Az, વગેરે તરીકે છે. જો ત્રિકોણ દ્વિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ હોય, તો Az, Bz અને Cz ક્ષેત્રોમાં શૂન્ય લખો. "ગણતરી સચોટતા" ફીલ્ડમાં, વત્તા અથવા ઓછા માઉસ પર ક્લિક કરીને દશાંશ સ્થાનોની આવશ્યક સંખ્યા સેટ કરો. ફોર્મ હેઠળ સ્થિત નારંગી "ગણતરી" બટનને દબાવવું જરૂરી નથી; ગણતરીઓ તેના વિના કરવામાં આવશે. તમને શિલાલેખની બાજુમાં જવાબ મળશે “વિસ્તાર ત્રિકોણ" - તે નારંગી બટનની નીચે તરત જ સ્થિત છે.

સ્ત્રોતો:

બિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધો

કેટલીકવાર બહિર્મુખ બહુકોણની આસપાસ તમે તેને એવી રીતે દોરી શકો છો કે તેના પર બધા ખૂણાઓના શિરોબિંદુઓ આવેલા હોય. બહુકોણના સંબંધમાં આવા વર્તુળને પરિક્રમિત કહેવા જોઈએ. હર કેન્દ્રઅંકિત આકૃતિની પરિમિતિની અંદર હોવું જરૂરી નથી, પરંતુ વર્ણવેલ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળ, આ બિંદુ શોધવા સામાન્ય રીતે ખૂબ મુશ્કેલ નથી.

તમને જરૂર પડશે

શાસક, પેન્સિલ, પ્રોટ્રેક્ટર અથવા ચોરસ, હોકાયંત્ર.

સૂચનાઓ

જો બહુકોણ કે જેની આસપાસ તમારે વર્તુળનું વર્ણન કરવાની જરૂર છે તે કાગળ પર દોરવામાં આવે છે, શોધવા માટે કેન્દ્રઅને એક વર્તુળ શાસક, પેન્સિલ અને પ્રોટ્રેક્ટર અથવા ચોરસ સાથે પૂરતું છે. આકૃતિની કોઈપણ બાજુની લંબાઈને માપો, તેનું મધ્ય નક્કી કરો અને ડ્રોઇંગમાં આ સ્થાન પર સહાયક બિંદુ મૂકો. સ્ક્વેર અથવા પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને, બહુકોણની અંદર એક સેગમેન્ટ દોરો જ્યાં સુધી તે એકબીજા સાથે છેદે નહીં. વિરુદ્ધ બાજુ.

બહુકોણની અન્ય કોઈપણ બાજુ સાથે સમાન કામગીરી કરો. બે બાંધેલા ભાગોનું આંતરછેદ ઇચ્છિત બિંદુ હશે. આ વર્ણવેલ મુખ્ય મિલકતમાંથી અનુસરે છે વર્તુળ- તેણીના કેન્દ્રવી બહિર્મુખ બહુકોણકોઈપણ બાજુ હંમેશા આ તરફ દોરેલા દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ પર આવેલું છે

ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળના ગુણધર્મો પર પ્રમેયના પુરાવા

રેખાખંડ માટે લંબ દ્વિભાજક

વ્યાખ્યા 1. એક સેગમેન્ટ માટે લંબ દ્વિભાજકઆ સેગમેન્ટને લંબરૂપ અને તેના મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા કહેવાય છે (ફિગ. 1).

પ્રમેય 1. સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ સ્થિત છે છેડાથી સમાન અંતરે આ સેગમેન્ટ.

પુરાવો. ચાલો વિચાર કરીએ મનસ્વી બિંદુ D, સેગમેન્ટ AB (ફિગ. 2) ના લંબ દ્વિભાજક પર પડેલો છે અને સાબિત કરે છે કે ADC અને BDC ત્રિકોણ સમાન છે.

ખરેખર, આ ત્રિકોણ કાટખૂણે ત્રિકોણ છે જેમાં પગ AC અને BC સમાન છે, અને પગ DC સામાન્ય છે. ADC અને BDC ત્રિકોણની સમાનતા AD અને DB વિભાગોની સમાનતા સૂચવે છે. પ્રમેય 1 સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 2 (પ્રમેય 1 થી વાતચીત). જો કોઈ બિંદુ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે હોય, તો તે આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

પુરાવો. ચાલો પ્રમેય 2 ને વિરોધાભાસથી સાબિત કરીએ. આ હેતુ માટે, ધારો કે અમુક બિંદુ E સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે છે, પરંતુ તે આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલો નથી. ચાલો આ ધારણાને વિરોધાભાસ તરફ લઈ જઈએ. ચાલો પહેલા કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે પોઈન્ટ E અને A સાથે આવે છે વિવિધ બાજુઓમધ્યમ કાટખૂણેથી (ફિગ. 3). આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ EA અમુક બિંદુએ કાટખૂણે દ્વિભાજકને છેદે છે, જેને આપણે D અક્ષર દ્વારા દર્શાવીશું.

ચાલો સાબિત કરીએ કે સેગમેન્ટ AE એ સેગમેન્ટ EB કરતા લાંબો છે. ખરેખર,

આમ, જ્યારે બિંદુ E અને A કાટખૂણે દ્વિભાજકની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા હોય તેવા કિસ્સામાં, આપણી પાસે વિરોધાભાસ છે.

હવે જ્યારે બિંદુ E અને A લંબરૂપ દ્વિભાજક (ફિગ. 4) ની સમાન બાજુએ આવેલા હોય ત્યારે તે કેસને ધ્યાનમાં લો. ચાલો સાબિત કરીએ કે સેગમેન્ટ EB એ સેગમેન્ટ AE કરતા લાંબો છે. ખરેખર,

પરિણામી વિરોધાભાસ પ્રમેય 2 ના પુરાવાને પૂર્ણ કરે છે

ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળ

વ્યાખ્યા 2. ત્રિકોણની આસપાસનું વર્તુળ, ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ કહેવાય છે (ફિગ. 5). આ કિસ્સામાં ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણઅથવા અંકિત ત્રિકોણ.

ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળના ગુણધર્મો. સાઇન્સનું પ્રમેય

આકૃતિ	રેખાંકન	મિલકત
કાટખૂણે દ્વિભાજકો ત્રિકોણની બાજુઓ પર		એક બિંદુ પર છેદે .

કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ છે તીવ્ર ત્રિકોણવર્તુળ		કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ તીવ્ર કોણીય અંદર ત્રિકોણ
કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ છે જમણો ત્રિકોણવર્તુળ		કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ લંબચોરસ કર્ણની મધ્યમાં .
કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ છે સ્થૂળ ત્રિકોણવર્તુળ		કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ સ્થૂળ-કોણવાળું ત્રિકોણ વર્તુળ આવેલું છે બહાર ત્રિકોણ
		,
ચોરસ ત્રિકોણ		એસ= 2આર 2 પાપ એપાપ બીપાપ સી ,
પરિપત્ર		કોઈપણ ત્રિકોણ માટે સમાનતા સાચી છે:

ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો

બધા લંબ દ્વિભાજકો , મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓ તરફ દોરવામાં આવે છે, એક બિંદુ પર છેદે .

ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળ

કોઈપણ ત્રિકોણ વર્તુળથી ઘેરાયેલો હોઈ શકે છે . ત્રિકોણની આસપાસ ઘેરાયેલું વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બિંદુ છે કે જ્યાં ત્રિકોણની બાજુઓ પર દોરેલા તમામ લંબ દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર

કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ તીવ્ર કોણીય ત્રિકોણ વર્તુળ આવેલું છે અંદર ત્રિકોણ

કાટકોણ ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર

કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ લંબચોરસ ત્રિકોણ વર્તુળ છે કર્ણની મધ્યમાં .

સ્થૂળ ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર

કેન્દ્ર વિશે વર્ણવેલ સ્થૂળ-કોણવાળું ત્રિકોણ વર્તુળ આવેલું છે બહાર ત્રિકોણ

કોઈપણ ત્રિકોણ માટે નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે (સાઇન પ્રમેય):

જ્યાં a, b, c એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે, A, B, C એ ત્રિકોણના ખૂણા છે, R એ પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

કોઈપણ ત્રિકોણ માટે સમાનતા સાચી છે:

એસ= 2આર 2 પાપ એપાપ બીપાપ સી ,

જ્યાં A, B, C એ ત્રિકોણના ખૂણા છે, S એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે, R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

પરિપત્ર

કોઈપણ ત્રિકોણ માટે સમાનતા સાચી છે:

જ્યાં a, b, c એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે, S એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે, R એ પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળના ગુણધર્મો પર પ્રમેયના પુરાવા

પ્રમેય 3. મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓ પર દોરેલા તમામ લંબ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો. ચાલો ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ AC અને AB તરફ દોરેલા બે કાટખૂણે દ્વિભાજકોને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેમના આંતરછેદ બિંદુને O અક્ષરથી દર્શાવો (ફિગ. 6).

બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AC ના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલો હોવાથી, પ્રમેય 1 ના આધારે સમાનતા ધરાવે છે:

બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AB ના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલો હોવાથી, પ્રમેય 1 ના આધારે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

તેથી, સમાનતા સાચી છે:

આથી, પ્રમેય 2 નો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે બિંદુ O એ કાટખૂણે દ્વિભાજક BC ખંડ પર આવેલો છે.

આમ, ત્રણેય કાટખૂણે દ્વિભાજકો એક જ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, જે સાબિત કરવા માટે જરૂરી છે. કોઈપણ ત્રિકોણ વર્તુળથી ઘેરાયેલો હોઈ શકે છે . ત્રિકોણની આસપાસ ઘેરાયેલું વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બિંદુ છે કે જ્યાં ત્રિકોણની બાજુઓ પર દોરેલા તમામ લંબ દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે.

પરિણામ.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ O ને ધ્યાનમાં લઈએ, જેના પર ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ પર દોરેલા તમામ દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે (ફિગ. 6).

પ્રમેય 3 સાબિત કરતી વખતે, નીચેની સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ હતી:

જેમાંથી તે અનુસરે છે કે બિંદુ O અને ત્રિજ્યા OA, OB, OC પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ ત્રિકોણ ABC ના ત્રણેય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં "ત્રિકોણમાં અંકિત અને પરિક્રમિત વર્તુળો" વિષય સૌથી મુશ્કેલ છે. તે વર્ગમાં બહુ ઓછો સમય વિતાવે છે. આ વિષયની ભૌમિતિક સમસ્યાઓ પરીક્ષાના બીજા ભાગમાં સમાવવામાં આવેલ છેએકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા કાર્ય કોર્સ દીઠઉચ્ચ શાળા . આ કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે તમારે જરૂરી છેનક્કર જ્ઞાન
દરેક ત્રિકોણ માટે માત્ર એક પરિપત્ર છે. આ એક વર્તુળ છે જેના પર આપેલ પરિમાણો સાથે ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુ આવેલા છે. તેની ત્રિજ્યા શોધવા માત્ર ભૂમિતિના પાઠમાં જ જરૂરી નથી. ડિઝાઇનર્સ, કટર, મિકેનિક્સ અને અન્ય ઘણા વ્યવસાયોના પ્રતિનિધિઓએ સતત આનો સામનો કરવો પડે છે. તેની ત્રિજ્યા શોધવા માટે, તમારે ત્રિકોણના પરિમાણો અને તેના ગુણધર્મો જાણવાની જરૂર છે. પરિપત્રનું કેન્દ્ર ત્રિકોણના લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ પર છે.
હું તમારા ધ્યાન પર એક ત્રિકોણ જ નહિ પરંતુ પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવા માટેના તમામ સૂત્રો લાવી રહ્યો છું. અંકિત વર્તુળ માટેના સૂત્રો જોઈ શકાય છે.

a, b. સાથે -ત્રિકોણની બાજુઓ

α - વિરોધી કોણa
એસ-ત્રિકોણનો વિસ્તાર,

p-અર્ધ પરિમિતિ

પછી ત્રિજ્યા શોધવા માટે ( આર) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પરિઘનું: