પરંપરા મુજબ, સ્પષ્ટ સેટ સામાન્ય રીતે તીક્ષ્ણ રૂપરેખાવાળી સીમાઓ સાથે વર્તુળો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહો એ વ્યક્તિગત બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ વર્તુળો છે: વર્તુળની મધ્યમાં ઘણા બધા બિંદુઓ છે, અને પરિઘની નજીક તેમની ઘનતા શૂન્ય થઈ જાય છે; વર્તુળ ધાર પર છાંયો લાગે છે. આવા "ફઝી સેટ્સ" જોઈ શકાય છે... શૂટિંગ રેન્જ પર - દિવાલ પર જ્યાં લક્ષ્યો લટકાવવામાં આવે છે. બુલેટ માર્ક્સ ફોર્મ રેન્ડમસમૂહો જેનું ગણિત જાણીતું છે. તે સર્જરી માટે બહાર આવ્યું છે અસ્પષ્ટ સેટરેન્ડમ સેટનું લાંબા-વિકસિત ઉપકરણ યોગ્ય છે...

અસ્પષ્ટ ખ્યાલસેટ - પ્રયાસ ગાણિતિક ઔપચારિકરણબાંધકામમાં તેનો ઉપયોગ કરવાના હેતુ માટે અસ્પષ્ટ માહિતી ગાણિતિક મોડેલો જટિલ સિસ્ટમો. આ ખ્યાલ એ વિચાર પર આધારિત છે કે જે તત્વો આપેલ સમૂહ બનાવે છે અને ધરાવે છે સામાન્ય મિલકત, આ ગુણધર્મમાં વિવિધ ડિગ્રી હોઈ શકે છે અને તેથી, અલગ-અલગ ડિગ્રી સાથે આપેલ સમૂહની છે.

સૌથી સરળ રીતોમાંની એક ગાણિતિક વર્ણન અસ્પષ્ટ સમૂહ- સંખ્યા દ્વારા સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રીનું લાક્ષણિકતા, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલથી. દો એક્સ- તત્વોનો ચોક્કસ સમૂહ. આગળ આપણે આ સમૂહના ઉપગણો ધ્યાનમાં લઈશું.

X માં અસ્પષ્ટ સેટ Aફોર્મની જોડીનો સંગ્રહ કહેવાય છે ( x, m A(x)), ક્યાં xÎX,અને મી એ- કાર્ય x®, કહેવાય છે સભ્યપદ કાર્યઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ. m મૂલ્ય A(x)ચોક્કસ માટે આ કાર્ય xઅસ્પષ્ટ સમૂહમાં આ તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી કહેવાય છે એ.

આ વ્યાખ્યામાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, એક અસ્પષ્ટ સમૂહ તેના સભ્યપદ કાર્ય દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે, તેથી અમે ઘણીવાર આ ફંક્શનનો ઉપયોગ અસ્પષ્ટ સમૂહ માટે હોદ્દો તરીકે કરીશું.

સામાન્ય સેટ વર્ગનો પેટા વર્ગ બનાવે છે અસ્પષ્ટ સેટ. ખરેખર, એક સામાન્ય સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય બીÌ એક્સતેના છે લાક્ષણિક કાર્ય: મી B(x)=1 જો xÎ બીઅને મી B(x)=0 જો xÏ બી.પછી, અસ્પષ્ટ સમૂહની વ્યાખ્યા અનુસાર, સામાન્ય સમૂહ INફોર્મની જોડીના સમૂહ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ( x, m B(x)). આમ, એક અસ્પષ્ટ સમૂહ વધુ છે વ્યાપક ખ્યાલસામાન્ય સમૂહ કરતાં, આ અર્થમાં કે અસ્પષ્ટ સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મનસ્વી કાર્ય અથવા મનસ્વી મેપિંગ પણ હોઈ શકે છે.

અમે વાત કરી રહ્યા છીએ અસ્પષ્ટ સમૂહ. અને ઘણા શું?જો આપણે સુસંગત હોઈએ, તો અમારે જણાવવું પડશે કે અસ્પષ્ટ સમૂહનું એક તત્વ બહાર આવ્યું છે... નવા અસ્પષ્ટ સમૂહનો નવો અસ્પષ્ટ સમૂહ, વગેરે. ચાલો તરફ વળીએ ઉત્તમ ઉદાહરણ- થી અનાજનો ઢગલો. આ ફઝી સમૂહનું એક તત્વ હશે મિલિયન અનાજ, ઉદાહરણ તરીકે. પરંતુ એક મિલિયન અનાજ બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી તત્વ, અને નવું અસ્પષ્ટ સમૂહ. છેવટે, અનાજની ગણતરી કરતી વખતે (મેન્યુઅલી અથવા આપમેળે), ભૂલ કરવી આશ્ચર્યજનક નથી - ઉદાહરણ તરીકે 999,997 અનાજને મિલિયન તરીકે લેવું. અહીં આપણે કહી શકીએ કે એલિમેન્ટ 999,997 પાસે 0.999997 ની બરાબર “મિલિયન” સેટ માટે સભ્યપદ કાર્ય મૂલ્ય છે. વધુમાં, અનાજ પોતે ફરીથી એક તત્વ નથી, પરંતુ એક નવો અસ્પષ્ટ સમૂહ છે: ત્યાં એક સંપૂર્ણ અનાજ છે, અને ત્યાં બે ફ્યુઝ્ડ અનાજ છે, એક અવિકસિત અનાજ અથવા માત્ર એક ભૂસી. અનાજની ગણતરી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ કેટલાકને નકારવા જોઈએ, એક તરીકે બે અનાજ લેવા જોઈએ, અને બીજા કિસ્સામાં, એક અનાજ બે તરીકે લેવું જોઈએ. ક્લાસિકલ ભાષાઓ સાથે ડિજિટલ કમ્પ્યુટરમાં અસ્પષ્ટ સેટ ભરવું એટલું સરળ નથી: એરે (વેક્ટર) ના તત્વો એરેના નવા એરે (નેસ્ટેડ વેક્ટર અને મેટ્રિસિસ, જો આપણે વિશે વાત કરીએ તો) હોવા જોઈએ Mathcad). ક્લાસિકલ ચપળ સમૂહ ગણિત (સંખ્યા સિદ્ધાંત, અંકગણિત, વગેરે) એ હૂક છે જેના દ્વારા વાજબી માણસતેની આસપાસની લપસણો અને અસ્પષ્ટ દુનિયામાં પોતાને ઠીક કરે છે (નિર્ધારિત કરે છે). અને હૂક, જેમ તમે જાણો છો, તે એક ક્રૂડ ટૂલ છે, જે ઘણી વખત તેને વળગી રહે છે તે બગાડે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી શરતો – “ઘણું”, “થોડું”, “થોડું”, વગેરે. વગેરે. - તેને કમ્પ્યુટરમાં "સામગ્રી" કરવી મુશ્કેલ છે કારણ કે તેઓ સંદર્ભ આધારિત. બીજનો ગ્લાસ ધરાવનાર વ્યક્તિને “મને થોડાં બીજ આપો” કહેવું એક વાત છે અને બીજ સાથે ટ્રકના પૈડા પાછળ બેઠેલી વ્યક્તિને કહેવાની બીજી વાત છે.

અસ્પષ્ટ સબસેટ એસેટ એક્સસભ્યપદ કાર્ય દ્વારા લાક્ષણિકતા m એ:X→, જે દરેક તત્વને સોંપે છે xÎ એક્સસંખ્યા m A(x)તત્વના સભ્યપદની ડિગ્રી દર્શાવતા અંતરાલમાંથી એક્સસબસેટ એ. તદુપરાંત, 0 અને 1 અનુક્રમે, સૌથી નીચું અને રજૂ કરે છે ઉચ્ચતમ ડિગ્રીચોક્કસ સબસેટ સાથેના તત્વનું.

ચાલો મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

· મૂલ્યનું સમર્થન m એ(x) કહેવાય છે ઊંચાઈ અસ્પષ્ટ સમૂહ એ. અસ્પષ્ટ સેટ એ દંડ , જો તેની ઊંચાઈ છે 1 , એટલે કે ઉપલી મર્યાદાતેનું સભ્યપદ કાર્ય બરાબર છે 1. જ્યારે સુપ્રિ mએ(x)<1 અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવાય છે અસાધારણ

એક અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવામાં આવે છે ખાલી, જો તેનું સભ્યપદ કાર્ય સમગ્ર સેટ પર શૂન્ય જેટલું હોય એક્સ, એટલે કે મી 0 (x) = 0 " xÎ એક્સ.

અસ્પષ્ટ સેટ ખાલી , જો " xÎ ઇ m A ( x)=0 . બિન-ખાલી સબનોર્મલ સેટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા સામાન્ય કરી શકાય છે

(ફિગ. 1).

ફિગ.1. સભ્યપદ કાર્ય સાથે અસ્પષ્ટ સમૂહનું સામાન્યકરણ. .

વાહકઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ(હોદ્દો supp એ) સભ્યપદ કાર્ય સાથે m A(x)ફોર્મનો સમૂહ કહેવાય છે suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). માટે વ્યવહારુ કાર્યક્રમોફઝી સેટના વાહકો હંમેશા મર્યાદિત હોય છે. આમ, સિસ્ટમ માટે સ્વીકાર્ય મોડ્સના ફઝી સેટનું વાહક સ્પષ્ટ સબસેટ (અંતરાલ) હોઈ શકે છે, જેના માટે સ્વીકાર્યતાની ડિગ્રી શૂન્ય (ફિગ. 2) ની બરાબર નથી.

ચોખા. 3. કોર, વાહક અને α- અસ્પષ્ટ સમૂહનો વિભાગ

અર્થ α કહેવાય છે α - સ્તર. વાહક (કર્નલ) ને શૂન્ય (એકમ) પરના અસ્પષ્ટ સમૂહના વિભાગ તરીકે ગણી શકાય. α -સ્તર.

ચોખા. 3 વ્યાખ્યાઓ સમજાવે છે વાહક, કોર,α - વિભાગો અનેα - સ્તરઅસ્પષ્ટ સમૂહ.

અસ્પષ્ટ સમૂહો અને ભાષાકીય ચલોના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

1. અસ્પષ્ટ સમૂહની ખ્યાલ અને મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

વ્યાખ્યા 1.1. X ને સાર્વત્રિક સમૂહ બનવા દો. અસ્પષ્ટ સેટ એસેટ X પર (સેટ X નો અસ્પષ્ટ સબસેટ A) એ જોડીનો સંગ્રહ છે

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

જ્યાં x X ,μ A (x ) .X કહેવાય છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રઅસ્પષ્ટ સેટA, andμ A - સભ્યપદ કાર્યઆ ટોળામાંથી. ચોક્કસ તત્વ x X માટે સભ્યપદ કાર્ય μ A (x) ની કિંમત કહેવાય છે જોડાણની ડિગ્રીઆ તત્વનું અસ્પષ્ટ સમૂહ A.

સભ્યપદ કાર્યનું અર્થઘટન એ એક વ્યક્તિલક્ષી માપ છે કે તત્વ x X ખ્યાલ સાથે કેટલી સારી રીતે સુસંગત છે, જેનો અર્થ અસ્પષ્ટ સમૂહ A દ્વારા ઔપચારિક છે. આ કિસ્સામાં, 1 ના સમાન મૂલ્યનો અર્થ સંપૂર્ણ (સંપૂર્ણ) અનુપાલન છે, 0 ની બરાબર મૂલ્યનો અર્થ સંપૂર્ણ (સંપૂર્ણ) વિસંગતતા છે.

વ્યાખ્યા 1.2. વ્યાખ્યાના અલગ ડોમેન સાથે અસ્પષ્ટ સેટ કહેવામાં આવે છે અલગ અસ્પષ્ટ સમૂહો, નહીં-

સાથે સ્પષ્ટ સેટ સતત વિસ્તારવ્યાખ્યાઓ - સતત

ny અસ્પષ્ટ સેટ.

સામાન્ય (ચપળ) સેટને અસ્પષ્ટ સંદર્ભમાં પણ ગણી શકાય. નિયમિત સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય ફક્ત બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0 જો ઘટક સમૂહનું ન હોય, અને 1 જો ઘટક તેની સાથેનું હોય.

સાહિત્યમાં તમે શોધી શકો છો વિવિધ આકારોઅસ્પષ્ટ સેટના રેકોર્ડ્સ. માટે અલગ વિસ્તારવ્યાખ્યા X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (કેસ n = ∞ પણ શક્ય છે) નીચેના સ્વરૂપો અસ્તિત્વમાં છે:

j = 1

જ્યાં અભિન્ન ચિહ્નનો અર્થ થાય છે બિંદુવાર યુનિયન onX. વધુમાં, સ્વતંત્ર અને સતત બંને કિસ્સાઓ માટે, નોટેશનના સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ થાય છે:

B = (x x ≈ 2) - વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ, લગભગ સમાન 2, અને C = (x x >> 1) – વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ, પર-

ઘણા મોટા 1. શક્ય સ્વરૂપોઆ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યો અનુક્રમે ફિગ. 1.1 અને ફિગ. 1.2 માં યોજનાકીય રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

એક અલગ અસ્પષ્ટ સમૂહના ઉદાહરણ તરીકે, આપણે D = (n n ≈ 1) - 1 ની નજીકના પૂર્ણાંકોનો સમૂહ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ,

તેને સ્પષ્ટ કરવાનું સંભવિત સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (બાકીના બિંદુઓમાં શૂન્ય ડિગ્રી છે સભ્યપદ).

સભ્યપદ કાર્યનું વિશિષ્ટ સ્વરૂપ શરતોમાં ઔપચારિક ખ્યાલમાં મૂકવામાં આવેલા અર્થ પર આધારિત છે ચોક્કસ કાર્ય, અને ઘણીવાર વ્યક્તિલક્ષી સ્વભાવ ધરાવે છે. સભ્યપદના કાર્યો બનાવવા માટેની મોટાભાગની પદ્ધતિઓ, નિષ્ણાત માધ્યમો દ્વારા મેળવેલ માહિતીની પ્રક્રિયા પર આધારિત છે.

નોંધ 1. અહીં sup (સુપ્રીમમ) ચોક્કસ છે ટોચની ધારસભ્યપદ કાર્યો. જો સેટ X (ડેફિનેશનનું ડોમેન) બંધ હોય, તો ફંક્શનનું સર્વોચ્ચ તેની મહત્તમ સાથે મેળ ખાય છે.

વ્યાખ્યા 1.5. જો h A = 1 હોય, તો અસ્પષ્ટ સમૂહ A કહેવાય છે

સામાન્ય દેખાય છે, અન્યથા (hA< 1) – субнормальным.

વ્યાખ્યા 1.6. અસ્પષ્ટ સમૂહ A ના વાહક એ સમૂહ છે

વ્યાખ્યાના ડોમેનના ઘટકો કે જે ઓછામાં ઓછા અમુક અંશે ઔપચારિકતાના ખ્યાલને અનુરૂપ છે.

નોંધ 2: હોદ્દો sup અને Supp મૂંઝવણમાં ન હોવા જોઈએ. પ્રથમ સર્વોચ્ચ માટે ટૂંકું છે, બીજું સમર્થન માટે.

વ્યાખ્યા 1.7. ફઝીનું સ્તર α (α -સ્લાઈસ) સેટ કરો

અસ્પષ્ટ સમૂહના મૂળમાં વ્યાખ્યાના ડોમેનના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે ઔપચારિકતાના ખ્યાલને સંપૂર્ણપણે અનુરૂપ છે.

જ્યાંથી તે તત્વને અનુસરે છે બહુવિધસ્તર α પણ નાના સ્તરો β ≤α ના તમામ સમૂહો માટેનું છે.

વ્યાખ્યા 1.9. A અને B ને અનુક્રમે સભ્યપદ કાર્યો μ A અને μ B સાથે સેટ X પર અસ્પષ્ટ સેટ થવા દો. ગોવો-

એવું કહેવાય છે કે A એ B નો અસ્પષ્ટ સબસેટ છે (B સમાવે છે

એ ), જો નીચેની શરત પૂરી થાય છે:

વ્યાખ્યાના આંકડાકીય ડોમેન સાથેના અસ્પષ્ટ સમૂહોમાં, અસ્પષ્ટ સંખ્યાઓનો વર્ગ પણ છે અને અસ્પષ્ટ અંતરાલો. આ વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, અસ્પષ્ટ સમૂહોની બહિર્મુખતાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

વ્યાખ્યા 1.11. જો નીચેની સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય તો વાસ્તવિક અક્ષના અસ્પષ્ટ સબસેટ A ને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે:

ફિગ માં. આકૃતિ 1.3 બહિર્મુખ (ડાબે) અને બિન-બહિર્મુખ (જમણે) અસ્પષ્ટ સમૂહોના ઉદાહરણો બતાવે છે.

ચોખા. 1.3. અસ્પષ્ટ સમૂહની બહિર્મુખતાની વ્યાખ્યા તરફ

વ્યાખ્યા 1.12. અસ્પષ્ટ અંતરાલ બહિર્મુખ સામાન્ય અસ્પષ્ટ સેટ કહેવાય છે સંખ્યાત્મક ડોમેનજે વ્યાખ્યાઓ ધરાવે છે સતત કાર્યસામાન અને બિન-ખાલી કર્નલ.અસ્પષ્ટ નંબર એક અસ્પષ્ટ અંતરાલ છે જેના કોરમાં બરાબર એક તત્વ હોય છે.

અસ્પષ્ટ અંતરાલો અને સંખ્યાઓ માટે, એક પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય છે જે મુજબ વાસ્તવિક ધરીનો અસ્પષ્ટ સબસેટ A એ અસ્પષ્ટ અંતરાલ છે જો અને માત્ર જો તેનું સભ્યપદ કાર્ય આ રીતે રજૂ કરી શકાય:

વિધેયો L A અને R A અનુક્રમે અસ્પષ્ટ સંખ્યાના સભ્યપદ કાર્યની ડાબી અને જમણી શાખાઓ કહેવાય છે. આ કાર્યો સતત હોય છે, જ્યારે સેગમેન્ટ પરનો L A L A (a 0 ) = 0 થી વધે છે.

L A (a 1 ) = 1, અને R A સેગમેન્ટ પર R A (b 1 ) = 1 થી R A (b 0 ) = 0 (ફિગ. 1.4) સુધી ઘટે છે.

ચોખા. 1.4. અસ્પષ્ટ અંતરાલની વ્યાખ્યા તરફ

વ્યાખ્યા 1.13. ચાલો A ​​= (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) – વ્યાખ્યા X .Ã ના ડોમેન પર વ્યાખ્યાયિત અસ્પષ્ટ સમૂહોનું કુટુંબ કહેવાય છે. અસ્પષ્ટ પાર્ટીશન Xપરિમાણ α સાથે (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(એટલે ​​​​કે, વ્યાખ્યાના ડોમેનનું કોઈપણ તત્વ કુટુંબના ઓછામાં ઓછા એક સમૂહનું છે Ã, જેની ડિગ્રી α કરતાં ઓછી ન હોય - ફિગ. 1.5).

સંબંધની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ. ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણોમાં, લાક્ષણિક કાર્ય 0 અથવા 1 મૂલ્યો લે છે. ચાલો ધારીએ કે લાક્ષણિક કાર્ય માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લે છે. પછી તત્વ સમૂહનું ન હોઈ શકે, અમુક અંશે સંબંધિત હોય અથવા સમૂહનું તત્વ ન હોય.

અસ્પષ્ટ સેટ . અસ્પષ્ટ સબસેટસમૂહનો (અસ્પષ્ટ સમૂહ) એ ઓર્ડર કરેલ જોડીનો સમૂહ છે, જ્યાં સમૂહમાં તત્વના સભ્યપદનું કાર્ય છે, આ સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રીનું લક્ષણ અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અનુપાલનનું માપ અસ્પષ્ટ સમૂહના ગુણધર્મો સાથે સાર્વત્રિક સમૂહનું એક તત્વ. સતત સમૂહના કિસ્સામાં, નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ અસ્પષ્ટ સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે: .

ઘણી બધી એક્સેસરીઝ. સભ્યપદ કાર્ય મૂલ્યોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે ઘણી બધી એક્સેસરીઝ. જો , તો પછી એક સામાન્ય સમૂહ છે, એટલે કે ચપળ સમૂહને અસ્પષ્ટ સમૂહના મર્યાદિત કેસ તરીકે ગણી શકાય. આ ટ્યુટોરીયલમાં પાછળથી ઘણી બધી પુરવઠો.

અસ્પષ્ટ સમૂહની શક્તિ. એક અસ્પષ્ટ સમૂહને સાર્વત્રિક સમૂહ પર સ્પષ્ટ કરવા દો. શક્તિઅસ્પષ્ટ સમૂહ અથવા તેના કાર્ડિનલ નંબરનીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: .

ઉદાહરણ 28.યુનિવર્સલ સેટ પર આપણે નીચેના ફઝી સેટને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

ચાલો અસ્પષ્ટ સમૂહની મુખ્ય સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

અસ્પષ્ટ સમૂહ સાથેના તત્વના સંબંધને પણ નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરી શકાય છે: .

અસ્પષ્ટ સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે, એક વિશિષ્ટ પરિભાષા છે. આમ, માં વ્યાખ્યાયિત એક અસ્પષ્ટ સમૂહ ઉદાહરણ 28,થોડી હદ સુધી તત્વ સમાવે છે, સમાવિષ્ટ નથી, થોડી હદ સુધી સમાવે છે, મોટા ભાગે – અને, અને તત્વ સમાવે છે.

ઉદાહરણ 29.નાની કુદરતી સંખ્યાઓનો અસ્પષ્ટ સમૂહ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું:

ટિપ્પણી. મૂલ્યો વ્યક્તિલક્ષી રીતે આપવામાં આવે છે.

અસ્પષ્ટ સમૂહનો વાહક. વાહકફઝી સેટ (supp) નો (સપોર્ટ) એ તત્વોનો સમૂહ છે જેના માટે .

ખાલી જો તેનો આધાર ખાલી સેટ હોય. અસ્પષ્ટ સમૂહનો મુખ્ય ભાગ. કોર

અસ્પષ્ટ સમૂહ () એ તત્વોનો સમૂહ છે જેના માટે. . અસ્પષ્ટ સમૂહની ઊંચાઈ જથ્થો (વિવિધ સાર્વત્રિક સમૂહો માટે) કહેવાય છેઊંચાઈ

અસ્પષ્ટ સમૂહ (). . સામાન્ય અને સબનોર્મલ ફઝી સેટ અસ્પષ્ટ સેટદંડ , જો તેની ઊંચાઈ 1 હોય. જો ઊંચાઈ 1 કરતા ઓછી હોય, તો અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવામાં આવે છે.સબનોર્મલ

. કોઈપણ બિન-ખાલી સબનોર્મલ ફઝી સેટને તેના સભ્યપદ કાર્યને સામાન્ય બનાવીને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: યુનિમોડલ ફઝી સેટ્સ. એક અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવામાં આવે છેયુનિમોડલ

, જો માત્ર એક માટે. અસ્પષ્ટ સમૂહોના સંક્રમણ બિંદુઓ. જેના માટે તત્વો કહેવામાં આવે છેસંક્રમણ બિંદુઓ

અસ્પષ્ટ સમૂહ. . યુનિમોડલ ફઝી સેટ્સ. બહિર્મુખ અસ્પષ્ટ સમૂહોબહિર્મુખ

, જો:ઉદાહરણ 30.

સાર્વત્રિક સમૂહને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ બનવા દો, એટલે કે. ચાલો અસ્પષ્ટ સમૂહને સંખ્યાની નજીકની સંખ્યાના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ (ફિગ. 4).

આકૃતિ 4

સભ્યપદ કાર્ય નીચે પ્રમાણે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: , જ્યાં . ઘાતની નિકટતાની ડિગ્રીના આધારે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓના સમૂહનું ખૂબ નજીકનું વર્ણન કરવા માટે, તમે લઈ શકો છો; સંખ્યાઓના સમૂહ માટે , બહુ દૂર નથી.ઉદાહરણ 31. ના સાર્વત્રિક સમૂહ પરએક અસ્પષ્ટ સેટ આપવામાં આવે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહ માટે: 1) તેની મુખ્યતા નક્કી કરો; 2) વાહક, કોર અને ઊંચાઈ નક્કી કરો; 3) તે સામાન્ય છે કે સબનોર્મલ છે તે શોધો. જો સબનોર્મલ હોય, તો તેને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરો; 4) તપાસો કે પરિણામી સમૂહ યુનિમોડલ છે કે કેમ; 5) સંક્રમણ બિંદુઓ નક્કી કરો.

1. વ્યાખ્યા દ્વારા, મર્યાદિત સાર્વત્રિક સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત અસ્પષ્ટ સમૂહની શક્તિ (કાર્ડિનલ નંબર) સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: .

2. ચાલો અસ્પષ્ટ સમૂહના આધાર, કોર અને ઊંચાઈની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ. દેખીતી રીતે, , , .

3. આપેલ ફઝી સેટ સબ નોર્મલ છે. ચાલો તેને અનુરૂપ એક અસ્પષ્ટ સામાન્ય સમૂહ બનાવીએ. આ કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તત્વ સભ્યપદ કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમારી પાસે છે: , સમાન: , , , , . આમ, એક ફઝી નોર્મલાઇઝ્ડ સેટ.

4. સમૂહ યુનિમોડલ છે, કારણ કે તેમાં ફક્ત એક જ તત્વ છે જેના માટે .

5. સમૂહમાં એક અનન્ય સંક્રમણ બિંદુ છે - કારણ કે માત્ર .

અસ્પષ્ટ સેટનો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો. જો સકારાત્મક સંખ્યા એવી છે કે , તો પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ માટે સભ્યપદ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: .

અસ્પષ્ટ સમૂહોની સરખામણી. ચાલો બે અસ્પષ્ટ સમૂહોને ધ્યાનમાં લઈએ અને, સાર્વત્રિક સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત.

તેઓ કહે છે કે સમાવિષ્ટમાં, એટલે કે, જો કોઈ માટે. ગ્રાફિકલી, આનો અર્થ એ છે કે ફઝી સેટને વ્યાખ્યાયિત કરતો વળાંક અસ્પષ્ટ સમૂહના સમાન વળાંકની ઉપર સ્થિત છે. જો સમાવેશની સ્થિતિ દરેક માટે સંતુષ્ટ નથી, તો અમે તેના વિશે વાત કરીશું સમાવેશની ડિગ્રીમાં , જે તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સમૂહ ક્યાં છે જેના પર સમાવેશની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

બે અસ્પષ્ટ સેટ અને સમાન, જો તેઓ એકબીજામાં સમાયેલ હોય, એટલે કે, જો કોઈ હોય તો.

-સ્તર સબસેટ. અસ્પષ્ટ સમૂહના -સ્તરનો સબસેટ , એ તત્વોનો સ્પષ્ટ સબસેટ છે જેના માટે. સેટ પણ કહેવાય છે - અસ્પષ્ટ સમૂહનો વિભાગ. આ કિસ્સામાં, જો , તો પછી આપણે એક મજબૂત વિભાગ વિશે વાત કરીએ છીએ, અને જો , તો પછી આપણે નબળા વિભાગ વિશે વાત કરીએ છીએ. થાય છે મહત્વપૂર્ણ મિલકત : જો, તો.

અસ્પષ્ટ સમૂહોના વિશ્લેષણ અને સંશ્લેષણ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે વિઘટન પ્રમેય: અસ્પષ્ટ સમૂહને તેના સ્તરના સેટમાં નીચે પ્રમાણે વિઘટિત કરી શકાય છે: , સંખ્યા અને સમૂહનું ઉત્પાદન ક્યાં છે.

ઉદાહરણ 32.સાર્વત્રિક સમૂહ પર આપણે અસ્પષ્ટ સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ચાલો અસ્પષ્ટ સમૂહના બધા સબસેટ્સ શોધીએ:

અસ્પષ્ટ સમૂહોના વિઘટન પરના પ્રમેય મુજબ, અમે આપેલ અસ્પષ્ટ સમૂહને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરીએ છીએ.

વી. યા. પિવકિન, ઇ.પી. બકુલીન, ડી. આઇ. કોરેનકોવ

કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સમાં ફઝી સેટ

દ્વારા સંપાદિત
ટેકનિકલ સાયન્સના ડોક્ટર, પ્રોફેસર યુ.એન. ઝોલોતુખીના

પ્રસ્તાવના. 3

પરિચય.. 4

1. અસ્પષ્ટ સેટ... 5

અસ્પષ્ટ સમૂહ લખવાના ઉદાહરણો. 5

અસ્પષ્ટ સમૂહોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ. 5

અસ્પષ્ટ સેટના ઉદાહરણો. 6

અસ્પષ્ટ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ પર. 7

અસ્પષ્ટ સેટ પર કામગીરી. 8

અસ્પષ્ટ સેટ પર કામગીરીનું વિઝ્યુઅલ પ્રતિનિધિત્વ. 9

કામગીરીના ગુણધર્મો È અને Ç. 9

અસ્પષ્ટ સેટ પર બીજગણિતની કામગીરી. 10

અસ્પષ્ટ સમૂહો, અસ્પષ્ટ સૂચકાંકો વચ્ચેનું અંતર. 13

સામાન્યીકરણ સિદ્ધાંત. 16

2. અસ્પષ્ટ સંબંધો.. 17

અસ્પષ્ટ સંબંધો પર કામગીરી. 18

બે અસ્પષ્ટ સંબંધોની રચના. 21

શરતી અસ્પષ્ટ સબસેટ્સ. 23

3. અસ્પષ્ટ અને ભાષાકીય ચલ... 27

અસ્પષ્ટ સંખ્યાઓ. 28

ફઝી નંબરો પર કામગીરી. 28

ફઝી નંબર્સ (L-R)-પ્રકાર. 29

4. અસ્પષ્ટ નિવેદનો અને સિસ્ટમ્સના અસ્પષ્ટ મોડલ્સ... 32

અસ્પષ્ટ નિવેદનોને રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો. 33

અસ્પષ્ટ સૂચિતાર્થ નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓ. 33

સિસ્ટમ્સનું તાર્કિક-ભાષાકીય વર્ણન, અસ્પષ્ટ મોડલ્સ. 35

સ્ટીમ બોઈલર કંટ્રોલ મોડલ.. 36

સંચાલન નિયમોની સંપૂર્ણતા અને સુસંગતતા. 39

સાહિત્ય. 40

પ્રસ્તાવના

અધૂરી અને અસ્પષ્ટ માહિતીના ચહેરા પર સારા નિર્ણયો લેવાની ક્ષમતા એ માનવ બુદ્ધિની કદાચ સૌથી આકર્ષક મિલકત છે. અંદાજિત માનવ તર્કના નમૂનાઓનું નિર્માણ અને ભાવિ પેઢીઓની કોમ્પ્યુટર સિસ્ટમમાં તેનો ઉપયોગ એ આજે ​​વિજ્ઞાનની સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓમાંની એક છે.

આ દિશામાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ 30 વર્ષ પહેલાં યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા (બર્કલે)ના પ્રોફેસર લોટફી એ. ઝાદેહ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તેમની કૃતિ "ફઝી સેટ્સ", જે 1965માં જર્નલ ઇન્ફર્મેશન એન્ડ કંટ્રોલ, ╬ 8 માં પ્રકાશિત થઈ હતી, જેણે માનવ બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિના મોડેલિંગ માટે પાયો નાખ્યો હતો અને તે નવા ગાણિતિક સિદ્ધાંતના વિકાસ માટે પ્રારંભિક પ્રોત્સાહન હતું.

ઝાદેહે શું પ્રસ્તાવ મૂક્યો? પ્રથમ, તેણે ક્લાસિક કેન્ટોરિયન ખ્યાલનો વિસ્તાર કર્યો સેટ, એમ ધારી રહ્યા છીએ કે લાક્ષણિક કાર્ય (સમૂહમાં તત્વના સભ્યપદનું કાર્ય) અંતરાલ (0;1) માં કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને માત્ર મૂલ્યો 0 અથવા 1 જ નહીં. આવા સેટ તેમના દ્વારા બોલાવવામાં આવ્યા હતા. અસ્પષ્ટ (અસ્પષ્ટ). એલ.ઝાદેહે અસ્પષ્ટ સેટ પર સંખ્યાબંધ કામગીરીને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી અને તાર્કિક અનુમાન મોડસ પોનેન્સ અને મોડસ ટોલેન્સની જાણીતી પદ્ધતિઓના સામાન્યીકરણનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

પછી ખ્યાલ રજૂ કર્યા ભાષાકીય ચલઅને એમ ધારી રહ્યા છીએ કે અસ્પષ્ટ સેટ તેના મૂલ્યો (શરતો) તરીકે કાર્ય કરે છે, એલ. ઝાદેહે અભિવ્યક્તિઓની અસ્પષ્ટતા અને અનિશ્ચિતતા સહિત બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિની પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે એક ઉપકરણ બનાવ્યું.

પ્રોફેસર એલ. ઝાદેહ અને તેમના અનુયાયીઓ દ્વારા આગળના કાર્યએ નવા સિદ્ધાંત માટે મજબૂત પાયો નાખ્યો અને એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસમાં અસ્પષ્ટ નિયંત્રણ પદ્ધતિઓની રજૂઆત માટે પૂર્વજરૂરીયાતો બનાવી.

છેલ્લા 5-7 વર્ષોમાં, ઉદ્યોગમાં નવી પદ્ધતિઓ અને મોડેલોનો ઉપયોગ શરૂ થયો છે. અને તેમ છતાં ફઝી કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સની પ્રથમ એપ્લિકેશન યુરોપમાં થઈ હતી, આવી સિસ્ટમો જાપાનમાં સૌથી વધુ સઘન રીતે લાગુ કરવામાં આવી રહી છે. તેમની એપ્લિકેશનની શ્રેણી વિશાળ છે: સબવે ટ્રેનના પ્રસ્થાન અને સ્ટોપની પ્રક્રિયાને નિયંત્રિત કરવાથી, ફ્રેઇટ એલિવેટર્સ અને બ્લાસ્ટ ફર્નેસને નિયંત્રિત કરવાથી લઈને વૉશિંગ મશીન, વેક્યુમ ક્લીનર્સ અને માઇક્રોવેવ ઓવન સુધી. તે જ સમયે, અસ્પષ્ટ સિસ્ટમો સંસાધન અને ઉર્જા ખર્ચમાં ઘટાડો કરતી વખતે ઉત્પાદનની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને પરંપરાગત સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમોની તુલનામાં દખલકારી પરિબળો સામે ઉચ્ચ પ્રતિકાર પ્રદાન કરે છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નવા અભિગમો શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતની પ્રયોજ્યતાની બહાર ઓટોમેશન સિસ્ટમ્સના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. આ સંદર્ભમાં, એલ. ઝાદેહનો દૃષ્ટિકોણ રસપ્રદ છે: “હું માનું છું કે ચોકસાઈની અતિશય ઇચ્છાએ એવી અસર શરૂ કરી છે જે નિયંત્રણ સિદ્ધાંત અને સિસ્ટમ સિદ્ધાંતને રદ કરે છે, કારણ કે તે હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે આ ક્ષેત્રમાં સંશોધન છે. તે અને માત્ર તે સમસ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું જે ચોક્કસ ઉકેલ માટે સક્ષમ છે પરિણામે, મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓના ઘણા વર્ગો કે જેમાં ડેટા, ધ્યેયો અને અવરોધો ખૂબ જટિલ છે અથવા ચોક્કસ ગાણિતિક વિશ્લેષણને મંજૂરી આપવા માટે અયોગ્ય છે કારણ કે તે બાજુ પર રહે છે. તેઓ ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે યોગ્ય નથી, આ પ્રકારની સમસ્યાઓ વિશે કંઈપણ નોંધપાત્ર કહેવા માટે, આપણે ચોકસાઇ માટેની અમારી માંગને છોડી દેવી જોઈએ અને અમુક અંશે અસ્પષ્ટ અથવા અનિશ્ચિત પરિણામોને મંજૂરી આપવી જોઈએ."

વ્યાવહારિક એપ્લિકેશનો તરફ અસ્પષ્ટ સિસ્ટમ સંશોધનના કેન્દ્રમાં પરિવર્તનને કારણે અસંખ્ય સમસ્યાઓની રચના થઈ છે જેમ કે ફઝી કમ્પ્યુટિંગ માટે નવા કમ્પ્યુટર આર્કિટેક્ચર્સ, ફઝી કમ્પ્યુટર્સ અને નિયંત્રકોનો મૂળભૂત આધાર, વિકાસ સાધનો, અસ્પષ્ટ ગણતરી અને વિકાસ માટે એન્જિનિયરિંગ પદ્ધતિઓ. નિયંત્રણ સિસ્ટમો, અને ઘણું બધું.

આ પાઠ્યપુસ્તકનો મુખ્ય ધ્યેય વિદ્યાર્થીઓ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ અને યુવા સંશોધકોનું ધ્યાન અસ્પષ્ટ સમસ્યાઓ તરફ આકર્ષિત કરવાનો અને આધુનિક વિજ્ઞાનના સૌથી રસપ્રદ ક્ષેત્રોમાંના એકનો સુલભ પરિચય આપવાનો છે.

પ્રોફેસર યુ.એન

પરિચય

દ્વારા પ્રસ્તાવિત ફઝી સેટ્સનો ગાણિતિક સિદ્ધાંત એલ.ઝાડેએક સદીના એક ક્વાર્ટર કરતાં વધુ સમય પહેલા, તમને અસ્પષ્ટ ખ્યાલો અને જ્ઞાનનું વર્ણન કરવા, આ જ્ઞાન સાથે કામ કરવા અને અસ્પષ્ટ નિષ્કર્ષ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. આ સિદ્ધાંત પર આધારિત કોમ્પ્યુટર ફઝી સિસ્ટમો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ કોમ્પ્યુટર એપ્લિકેશનના અવકાશને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરે છે. તાજેતરમાં, અસ્પષ્ટ નિયંત્રણ એ ફઝી સેટ થિયરીના એપ્લિકેશનમાં સંશોધનના સૌથી સક્રિય અને ઉત્પાદક ક્ષેત્રોમાંનું એક છે. અસ્પષ્ટ નિયંત્રણ ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જ્યારે તકનીકી પ્રક્રિયાઓ પરંપરાગત જથ્થાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરવા માટે ખૂબ જટિલ હોય છે, અથવા જ્યારે માહિતીના ઉપલબ્ધ સ્ત્રોતોનું ગુણાત્મક, અચોક્કસ અથવા અસ્પષ્ટ રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. તે પ્રાયોગિક રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ફઝી નિયંત્રણ પરંપરાગત નિયંત્રણ અલ્ગોરિધમ્સ સાથે મેળવેલા પરિણામોની તુલનામાં વધુ સારા પરિણામો આપે છે. અસ્પષ્ટ પદ્ધતિઓ બ્લાસ્ટ ફર્નેસ અને રોલિંગ મિલો, કાર અને ટ્રેનોને નિયંત્રિત કરવામાં, વાણી અને છબીઓને ઓળખવામાં અને સ્પર્શ અને દ્રષ્ટિ સાથે રોબોટ્સ ડિઝાઇન કરવામાં મદદ કરે છે. અસ્પષ્ટ તર્ક, જેના પર અસ્પષ્ટ નિયંત્રણ આધારિત છે, તે પરંપરાગત તર્ક પ્રણાલીઓ કરતાં માનવ વિચાર અને કુદરતી ભાષાઓની ભાવનામાં વધુ નજીક છે. અસ્પષ્ટ તર્ક મૂળભૂત રીતે વાસ્તવિક વિશ્વની અનિશ્ચિતતાઓ અને અશુદ્ધિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાના કાર્યક્ષમ માધ્યમ પૂરા પાડે છે. પ્રારંભિક માહિતીની અસ્પષ્ટતાને પ્રતિબિંબિત કરવાના ગાણિતિક માધ્યમોની હાજરી આપણને વાસ્તવિકતા માટે પર્યાપ્ત મોડેલ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.

1. અસ્પષ્ટ સેટ

દો ઇ- સાર્વત્રિક સમૂહ, x - તત્વ ઇ, એ આર- કેટલીક મિલકત. નિયમિત (ચપળ) સબસેટ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇ, જેના તત્વો મિલકતને સંતોષે છે આર, ઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે A = ( m A ( એક્સ)/એક્સ } , ક્યાં

m A ( એક્સ) - લાક્ષણિક કાર્ય, મૂલ્ય લેવું 1 , જો x મિલકતને સંતોષે છે આર,અને 0 - અન્યથા.

અસ્પષ્ટ સબસેટ તત્વો માટેના નિયમિત સબસેટથી અલગ પડે છે x થી ઇકોઈ સ્પષ્ટ જવાબ નથી "ખરેખર નથી"મિલકત અંગે આર. આ સંદર્ભે, ફઝી સબસેટ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે A = ( m A ( એક્સ)/એક્સ } , ક્યાં

m A ( એક્સ) - લાક્ષણિક સભ્યપદ કાર્ય(અથવા ફક્ત સભ્યપદ કાર્ય) કેટલાક સુવ્યવસ્થિત સમૂહમાં મૂલ્યો લેવું એમ(ઉદાહરણ તરીકે, એમ =). સભ્યપદ કાર્ય સૂચવે છે ડિગ્રી(અથવા સ્તર) તત્વ સભ્યપદ x સબસેટ એ. ઘણા એમકહેવાય છે ઘણી એક્સેસરીઝ. જો M = (0,1), પછી ફઝી સબસેટ એએક સામાન્ય અથવા ચપળ સમૂહ તરીકે ગણી શકાય.

અસ્પષ્ટ(અથવા અસ્પષ્ટ, અસ્પષ્ટ) ઘણા- એલ.ઝાદેહ દ્વારા રજૂ કરાયેલ એક ખ્યાલ, જેમણે સમૂહની શાસ્ત્રીય (કેન્ટર) વિભાવનાને વિસ્તૃત કરી, સ્વીકાર્યું કે લાક્ષણિક કાર્ય (સમૂહમાં તત્વના સભ્યપદનું કાર્ય) અંતરાલમાં કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને માત્ર મૂલ્યો 0 અથવા 1.

વ્યાખ્યા: અસ્પષ્ટ સમૂહ(એક અસ્પષ્ટ સમૂહ)

દો સીત્યાં કેટલાક સાર્વત્રિક સમૂહ (બ્રહ્માંડ) છે. પછી ફઝી સેટ એવી સીજોડીના ક્રમબદ્ધ સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

જ્યાં તત્વનું સભ્યપદ કાર્ય (MF) કહેવાય છે એક્સઅસ્પષ્ટ સમૂહ માટે એ.

માંથી દરેક ઘટકને FP અસાઇન કરે છે સીઅંતરાલમાંથી મૂલ્ય, જેને કહેવાય છે સભ્યપદની ડિગ્રી xથી એઅથવા અસ્પષ્ટ માપ.

એક અસ્પષ્ટ માપ એ તત્વની સત્યતાની ડિગ્રી તરીકે ગણી શકાય એક્સસંબંધ ધરાવે છે એ.

વ્યાખ્યા: અસ્પષ્ટ સેટ આધાર(ફઝીસેટનો આધાર)

અસ્પષ્ટ સમૂહનો આધાર એબધા બિંદુઓનો સમૂહ છે જેમ કે.

આમ, અસ્પષ્ટ સમૂહની વ્યાખ્યા એ શાસ્ત્રીય સમૂહની વ્યાખ્યાનું વિસ્તરણ છે, જેમાં લાક્ષણિક કાર્ય 0 અને 1 ની વચ્ચે સતત મૂલ્યો લઈ શકે છે. બ્રહ્માંડ સીસ્વતંત્ર અથવા સતત સમૂહ હોઈ શકે છે.

કેટલાક પ્રકારના પેરામેટ્રિક કાર્યોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે FPs રજૂ કરવા માટે થાય છે.

FP ની લાક્ષણિક રજૂઆત

ત્રિકોણાકારપીટી (ફિગ. 2.2, એ) ત્રણ પરિમાણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે ( a, b, c), જે નક્કી કરે છે xત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે:

ટ્રેપેઝોઇડલપીટી (ફિગ. 2.2, સી) ચાર પરિમાણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે ( a,b,c,d), જે નક્કી કરે છે xટ્રેપેઝોઇડના ચાર ખૂણાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે:

ચોખા. 2.2. ત્રિકોણાકાર અને ટ્રેપેઝોઇડલ AF

ગૌસીયન FP (ફિગ. 2.3) બે પરિમાણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે અને નીચેના કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: .

ચોખા. 2.3. ગૌસિયન પીટી

ભાષાકીય ચલો

L. Zadeh દ્વારા પણ રજૂ કરાયેલા મૂળભૂત ખ્યાલોમાંની એક, ભાષાકીય ચલનો ખ્યાલ છે.

વ્યાખ્યા: ભાષાકીય ચલ(LP) નીચેના પાંચનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં ચલનું નામ છે, તે એક શબ્દ-સમૂહ છે જે LP મૂલ્યોના સમૂહને સ્પષ્ટ કરે છે, જે ભાષાકીય અભિવ્યક્તિઓ છે (સિન્ટેગમ્સ), એક્સ- બ્રહ્માંડ, જી- એક સિન્ટેક્ટિક નિયમ, જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે સિન્ટેગ્માસ બનાવી શકીએ છીએ, એમ- એક સિમેન્ટીક નિયમ, જેનો ઉપયોગ કરીને દરેક સિન્ટેગમને તેનો અર્થ સોંપવામાં આવે છે, જે બ્રહ્માંડમાં એક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે એક્સ.

LPનું ઉદાહરણ હશે, ઉદાહરણ તરીકે, ચલ = “વય”. તેનો શબ્દ સમૂહ, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના હોઈ શકે છે:

(ઉંમર) = ( ખૂબ જ યુવાન, યુવાન, વધુ કે ઓછા યુવાન, આધેડ, જૂનું, ખૂબ જૂનું}.

આપેલ LP માટે બ્રહ્માંડ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ચોક્કસ સમૂહ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ. સિમેન્ટીક નિયમ એમમાંથી શરતોના લક્ષણો ટી(વય) મૂલ્યો કે જે અસ્પષ્ટ સમૂહોના વિવિધ ફેરફારો છે.

ચાલો કારની હિલચાલને નિયંત્રિત કરવાના અમારા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ અને અસ્પષ્ટ સેટનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત નિયમોમાં ભાષાકીય અર્થોનું વર્ણન કરીએ. નીચેના ભાષાકીય ચલોને ધ્યાનમાં લો:

x – અંતરકાર વચ્ચે;

y– ઝડપકાર આગળ;

z- ચાલતા વાહનની પ્રવેગકતા.

FPs ને વિચારણા હેઠળની વ્યવસ્થાપન પરિસ્થિતિ અનુસાર વ્યાખ્યાયિત કરવી આવશ્યક છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, શહેરના રસ્તા પર ડ્રાઇવિંગ કરતી વખતે 70 કિમી/કલાકની ઝડપ "ઉંચી" હોય છે અને હાઇવે પર ડ્રાઇવિંગ કરતી વખતે તેને "નાની" ગણી શકાય.

અમારા ઉદાહરણ માટે, અમે નીચેના બ્રહ્માંડોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

[m], [km/h],

[km/h 2].

ફિગ માં. આકૃતિ 2.4 ઝડપ માટે ભાષાકીય અર્થો "નાના" (ધીમા) અને "મોટા" (ઝડપી) અને અંતર માટે "બંધ" (ટૂંકા) અને "મોટા" (લાંબા)નું વર્ણન કરવા માટે FPs બતાવે છે.

ચોખા. 2.4. કારની સૌથી સરળ હિલચાલને નિયંત્રિત કરવાની સમસ્યા માટે ફઝી સેટ

શાસ્ત્રીય અને અસ્પષ્ટ સમૂહ રજૂઆત વચ્ચેનો તફાવત

ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ તફાવતોની ચર્ચા કરીએ. "ટૂંકા" (અંતર માટે) ના ભાષાકીય અર્થનું વર્ણન કરવા માટે શાસ્ત્રીય અને અસ્પષ્ટ સમૂહની રજૂઆતોને ધ્યાનમાં લો.

ફિગ માં. 2.5 સમૂહની શાસ્ત્રીય અને અસ્પષ્ટ રજૂઆત વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવે છે એઆ ઉદાહરણ માટે.

ચોખા. 2.5. સમૂહ A ની ક્લાસિકલ અને અસ્પષ્ટ રજૂઆત

ચાલો સમૂહની શાસ્ત્રીય રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરીએ એફિગ માં બતાવ્યા પ્રમાણે. ડાબી બાજુએ 2.5. આ કિસ્સામાં, લાક્ષણિક કાર્ય હશે:

અસ્પષ્ટ સમૂહ રજૂઆત એફિગમાં બતાવેલ છે. 2.5 જમણી બાજુએ. આ કિસ્સામાં, FP સભ્યપદ કાર્ય આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો હવે નીચેનો પ્રશ્ન પૂછીએ: બિંદુ m અથવા બિંદુ m સમૂહનો છે એ?

શાસ્ત્રીય દ્રષ્ટિકોણથી, જવાબ "ના" છે. માનવીય દ્રષ્ટિકોણના દૃષ્ટિકોણથી, જવાબ "ના" કરતાં "હા" વધુ સંભવિત છે. અસ્પષ્ટ દ્રષ્ટિકોણથી, જવાબ હા છે.

આમ, આ સરળ ઉદાહરણ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે અસ્પષ્ટ અભિગમ કુદરતી, માનવીય અભિગમની નજીક છે અને શાસ્ત્રીય અભિગમ કરતાં વધુ સુગમતા ધરાવે છે.

અસ્પષ્ટ સમૂહોની મદદથી આપણે અસ્પષ્ટ સીમાઓનું વર્ણન કરી શકીએ છીએ.

ફઝી સેટના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત કામગીરી

ચાલો મુખ્ય અસ્પષ્ટ કામગીરીને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

વ્યાખ્યા: અસ્પષ્ટ સબસેટ(ફઝી કન્ટેઈનમેન્ટ અથવા ફઝી સબસેટ). અસ્પષ્ટ સેટ એઅસ્પષ્ટ સમૂહમાં સમાયેલ છે બી(અથવા સમકક્ષ એસબસેટ છે બી) જો અને માત્ર જો દરેક માટે સાંકેતિક સ્વરૂપમાં:

વ્યાખ્યા:અસ્પષ્ટ સમૂહોની સમાનતા(ફઝી સેટ્સની સમાનતા). અસ્પષ્ટ સમૂહોની સમાનતા (સમાનતા). એઅને બીનીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

દરેક માટે.

વ્યાખ્યા:અસ્પષ્ટ સંઘ અથવા અસ્પષ્ટ વિભાજન(ફઝી યુનિયન). એઅને બી(પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપમાં અથવા તરીકે લખાયેલ છે એઅથવા બીઅથવા A B) એક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે જેની PT નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા:અસ્પષ્ટ આંતરછેદ(ફઝી ઇન્ટરસેક્શન) બે ફઝી સેટનું આંતરછેદ એઅને બી(પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપમાં , અથવા C=Aઅને બી, અથવા સી= A B) એક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે જેની PT નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા:અસ્પષ્ટ ઉમેરો.ઉમેરણ એ(અથવા તરીકે લખાયેલ સાંકેતિક સ્વરૂપમાં) અસ્પષ્ટ છે, જેનું PT નીચે પ્રમાણે નિર્ધારિત છે:

આકૃતિ 2.6 અસ્પષ્ટ સેટ પર અસ્પષ્ટ કામગીરીના ઉદાહરણો બતાવે છે.

ચોખા. 2.6. અસ્પષ્ટ સેટ પર અસ્પષ્ટ કામગીરીના ઉદાહરણો

અસ્પષ્ટ સેટની સુવિધાઓ

ચાલો અસ્પષ્ટ સમૂહોના સિદ્ધાંતની મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓની નોંધ લઈએ.

1) બાકાત મધ્યનો કાયદોઅને વિરોધાભાસનો કાયદો, ક્લાસિકલ સેટ થિયરીમાં ખાલી સેટ ક્યાં છે તે સાચું છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં ફઝી સેટના સિદ્ધાંતમાં તેઓ પરિપૂર્ણ નથી.

અસ્પષ્ટ સિદ્ધાંતમાં બાકાત મધ્યનો કાયદો અને વિરોધાભાસનો કાયદો નીચે મુજબ છે: અને .

2) ક્લાસિકલ સેટ થિયરીમાંસમૂહમાંથી બિંદુ એબેમાંથી એક શક્યતાઓ હોઈ શકે છે: અથવા. અસ્પષ્ટ સિદ્ધાંતમાં, બિંદુ સમૂહનો હોઈ શકે છે એઅને તે જ સમયે સંબંધિત નથી એ(એટલે ​​​​કે સમૂહ સાથે સંબંધિત) સભ્યપદ કાર્યોના વિવિધ મૂલ્યો સાથે અને, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 2.7.