ફઝી સેટના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને વ્યાખ્યાઓ. કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સમાં ફઝી સેટ

અસ્પષ્ટ સેટનો ઉપયોગ કરીને, "ઉચ્ચ તાપમાન", "યુવાન માણસ", "સરેરાશ ઊંચાઈ" અથવા "" જેવા અચોક્કસ અને અસ્પષ્ટ ખ્યાલોને ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. મોટું શહેર" અસ્પષ્ટ સમૂહની વ્યાખ્યા ઘડતા પહેલા, પ્રવચનના કહેવાતા બ્રહ્માંડની વ્યાખ્યા કરવી જરૂરી છે. "ઘણા પૈસા" ના અસ્પષ્ટ ખ્યાલના કિસ્સામાં, જો આપણે આપણી જાતને શ્રેણી અને સંપૂર્ણપણે અલગ રકમ - શ્રેણીમાં મર્યાદિત કરીએ તો એક રકમ મોટી ગણવામાં આવશે. તર્કનો વિસ્તાર, જેને હવેથી સ્પેસ અથવા સેટ કહેવામાં આવે છે, મોટે ભાગે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. તે યાદ રાખવું જ જોઇએ કે આ એક સ્પષ્ટ સમૂહ છે.

વ્યાખ્યા 3.1

અમુક (બિન-ખાલી) જગ્યામાં અસ્પષ્ટ સમૂહ, જે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે જોડીનો સમૂહ છે

કાર્ય સંબંધિત અસ્પષ્ટસેટ આ કાર્ય દરેક તત્વને અસ્પષ્ટ સમૂહમાં તેની સભ્યપદની ડિગ્રી અસાઇન કરે છે, અને ત્રણ કેસોને અલગ કરી શકાય છે:

1) એટલે કે અસ્પષ્ટ સમૂહમાં તત્વની સંપૂર્ણ સભ્યપદ, એટલે કે. ;

2) મતલબ કે તત્વ અસ્પષ્ટ સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી, એટલે કે;

3) મતલબ કે તત્વ આંશિક રીતે અસ્પષ્ટ સમૂહનું છે.

સાહિત્યમાં, અસ્પષ્ટ સમૂહોનું પ્રતીકાત્મક વર્ણન વપરાય છે. જો ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યાવાળી જગ્યા હોય, એટલે કે. , પછી ફઝી સેટ ફોર્મમાં લખાયેલ છે

ઉપરોક્ત પ્રવેશ પ્રતીકાત્મક છે. “–” ચિહ્નનો અર્થ વિભાજન નથી, પરંતુ ચોક્કસ ઘટકોને સભ્યપદની ડિગ્રી સોંપવાનો અર્થ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેકોર્ડ

દંપતીનો અર્થ થાય છે

એ જ રીતે, “+” સાઇન ઇન એક્સપ્રેશન (3.3) નો અર્થ એડીશન ઑપરેશન નથી, પરંતુ એલિમેન્ટ્સના બહુવિધ સમીકરણ (3.5) તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે ચપળ સેટ પણ આવી જ રીતે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા શાળાના ગ્રેડતરીકે પ્રતીકાત્મક રીતે રજૂ કરી શકાય છે

જે લેખન સમકક્ષ છે

જો અસંખ્ય તત્વો સાથેની જગ્યા હોય, તો અસ્પષ્ટ સમૂહ પ્રતીકાત્મક રીતે ફોર્મમાં લખાયેલ છે

ઉદાહરણ 3.1

ચાલો ધારીએ કે સમૂહ છે કુદરતી સંખ્યાઓ. ચાલો કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની વિભાવનાને "નંબર 7 ની નજીક" વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ નીચેના ફઝી સેટને વ્યાખ્યાયિત કરીને કરી શકાય છે:

ઉદાહરણ 3.2

જો , વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ક્યાં છે, તો સમૂહ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, "નંબર 7 ની નજીક," ફોર્મના સભ્યપદ કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

તેથી, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અસ્પષ્ટ સમૂહ "નંબર 7 ની નજીક" અભિવ્યક્તિ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

ટિપ્પણી 3.1

અસ્પષ્ટ સેટકુદરતી અથવા વાસ્તવિક સંખ્યાઓ "નંબર 7 ની નજીક" વિવિધ રીતે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સભ્યપદ કાર્ય (3.10) ને અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે

ફિગ માં. 3.1a અને 3.1b વાસ્તવિક સંખ્યાઓના અસ્પષ્ટ સમૂહ માટે "નંબર 7 ની નજીક" બે સભ્યપદ કાર્યો રજૂ કરે છે.

ચોખા. 3.1. ઉદાહરણ તરીકે 3.2: વાસ્તવિક સંખ્યાઓના અસ્પષ્ટ સમૂહના સભ્યપદ કાર્યો “નંબર 7 ની નજીક”.

ઉદાહરણ 3.3

ચાલો "બાલ્ટિક સમુદ્રમાં તરવા માટે યોગ્ય તાપમાન" ની અચોક્કસ વ્યાખ્યાને ઔપચારિક કરીએ. ચાલો સમૂહના રૂપમાં તર્કનો વિસ્તાર વ્યાખ્યાયિત કરીએ. વેકેશનર I, જે 21°ના તાપમાને શ્રેષ્ઠ અનુભવે છે, તે પોતાના માટે એક અસ્પષ્ટ સમૂહ વ્યાખ્યાયિત કરશે

વેકેશનર II, જે 20° તાપમાન પસંદ કરે છે, તે આ સમૂહની અલગ વ્યાખ્યા સૂચવે છે:

અસ્પષ્ટ સેટનો ઉપયોગ કરીને, અમે "બાલ્ટિક સમુદ્રમાં તરવા માટે યોગ્ય તાપમાન" ની વિભાવનાની અચોક્કસ વ્યાખ્યાને ઔપચારિક બનાવી. કેટલીક એપ્લિકેશનો સભ્યપદ કાર્યોના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરે છે. ચાલો આ વિધેયોનો ઉલ્લેખ કરીએ અને તેમના ગ્રાફિકલ અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય (ફિગ. 3.2) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

ક્યાં. આ વર્ગના સભ્યપદ કાર્યમાં ગ્રાફિકલ રજૂઆત છે (ફિગ. 3.2), અક્ષર “” ની યાદ અપાવે છે, અને તેનો આકાર પરિમાણોની પસંદગી પર આધાર રાખે છે અને . એક બિંદુએ, વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય 0.5 ની બરાબર મૂલ્ય લે છે.

2. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય (ફિગ. 3.3) વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ચોખા. 3.2. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય.

ચોખા. 3.3. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય.

વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય અને માટે શૂન્ય મૂલ્યો લે છે. પોઈન્ટ પર તેનું મૂલ્ય 0.5 છે.

3. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય (ફિગ. 3.4) અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે

વાચક વર્ગ સભ્યપદ કાર્યોના સ્વરૂપો અને .

4. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય (ફિગ. 3.5) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

ચોખા. 3.4. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય.

ચોખા. 3.5. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય.

કેટલીક એપ્લિકેશન્સમાં, ક્લાસ મેમ્બરશિપ ફંક્શન ક્લાસ ફંક્શનનો વિકલ્પ હોઈ શકે છે.

5. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય (ફિગ. 3.6) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 3.4

ચાલો ત્રણ અચોક્કસ ફોર્મ્યુલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ:

1) "ઓછી વાહન ઝડપ";

2) " સામન્ય ગતિકાર";

3) "વાહનની ઊંચી ઝડપ."

તર્કના ક્ષેત્ર તરીકે, અમે મહત્તમ ઝડપ ક્યાં છે તે શ્રેણી લઈશું. ફિગ માં. 3.7 ફઝી સેટ્સ રજૂ કરે છે, અને , ઉપરોક્ત ફોર્મ્યુલેશનને અનુરૂપ. નોંધ કરો કે સમૂહના સભ્યપદ કાર્યમાં પ્રકાર હોય છે, સમૂહમાં પ્રકાર હોય છે અને સમૂહમાં પ્રકાર હોય છે. એક નિશ્ચિત બિંદુ કિમી/કલાક પર, ફઝી સેટ "ઓછી કારની ઝડપ" નું સભ્યપદ કાર્ય 0.5 મૂલ્ય લે છે, એટલે કે. . અસ્પષ્ટ સેટનું સભ્યપદ કાર્ય "સરેરાશ કાર ઝડપ" સમાન મૂલ્ય લે છે, એટલે કે. , જ્યારે .

ઉદાહરણ 3.5

ફિગ માં. આકૃતિ 3.8 અસ્પષ્ટ સમૂહ "મોટા પૈસા" નું સભ્યપદ કાર્ય દર્શાવે છે. આ વર્ગનું કાર્ય છે, અને , , .

ચોખા. 3.6. વર્ગ સભ્યપદ કાર્ય.

ચોખા. 3.7. ઉદાહરણ તરીકે 3.4: ફઝી સેટ્સના સભ્યપદ કાર્યો “નાના”, “મધ્યમ”, “ઉચ્ચ” કારની ઝડપ.

ચોખા. 3.8. ઉદાહરણ તરીકે 3.5: અસ્પષ્ટ સમૂહ "મોટા પૈસા"નું સભ્યપદ કાર્ય.

પરિણામે, 10,000 રુબેલ્સથી વધુની રકમ ચોક્કસપણે "મોટી" ગણી શકાય, કારણ કે સભ્યપદ કાર્યની કિંમતો 1 જેટલી થઈ જાય છે. 1000 રુબેલ્સ કરતા ઓછી રકમને "મોટી" ગણવામાં આવતી નથી, કારણ કે સભ્યપદ કાર્યના અનુરૂપ મૂલ્યો 0 ની બરાબર છે. અલબત્ત, અસ્પષ્ટ સમૂહ "મોટા પૈસા" ની આવી વ્યાખ્યા વ્યક્તિલક્ષી છે. વાચકને "મોટા પૈસા" ના અસ્પષ્ટ ખ્યાલ વિશેની પોતાની સમજ હોઈ શકે છે. આ રજૂઆત વર્ગના પરિમાણો અને કાર્યોના અન્ય મૂલ્યો દ્વારા પ્રતિબિંબિત થશે.

વ્યાખ્યા 3.2

અવકાશ તત્વોનો સમૂહ કે જેના માટે , તેને અસ્પષ્ટ સમૂહનો આધાર કહેવામાં આવે છે અને તેને (સપોર્ટ) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. તેના ઔપચારિક સંકેતનું સ્વરૂપ છે

વ્યાખ્યા 3.3

અસ્પષ્ટ સમૂહની ઊંચાઈ તરીકે સૂચિત અને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 3.6

વ્યાખ્યા 3.4

અસ્પષ્ટ સમૂહને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર જો. જો ફઝી સેટ સામાન્ય ન હોય, તો તેને રૂપાંતરનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય કરી શકાય છે

આ સમૂહની ઊંચાઈ ક્યાં છે.

ઉદાહરણ 3.7

અસ્પષ્ટ સેટ

સામાન્યકરણ પછી તે સ્વરૂપ લે છે

વ્યાખ્યા 3.5

અસ્પષ્ટ સમૂહને ખાલી કહેવામાં આવે છે અને જો અને ફક્ત જો દરેક માટે સૂચવવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3.6

અસ્પષ્ટ સમૂહ એક અસ્પષ્ટ સમૂહમાં સમાયેલ છે, જે , if અને only if તરીકે લખાયેલ છે

દરેક માટે .

ફઝી સેટમાં ફઝી સેટના સમાવેશ (સામગ્રી)નું ઉદાહરણ ફિગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 3.9. અસ્પષ્ટ સમૂહોના સમાવેશની ડિગ્રીનો ખ્યાલ પણ સાહિત્યમાં જોવા મળે છે. ફિગમાં અસ્પષ્ટ સમૂહમાં અસ્પષ્ટ સમૂહના સમાવેશની ડિગ્રી. 3.9 બરાબર 1 (સંપૂર્ણ સમાવેશ). ફિગમાં પ્રસ્તુત અસ્પષ્ટ સેટ. 3.10 નિર્ભરતાને સંતોષતા નથી (3.27); તેથી, વ્યાખ્યાના અર્થમાં કોઈ સમાવેશ નથી (3.6). જો કે, એક અસ્પષ્ટ સેટ ડિગ્રી સુધીના અસ્પષ્ટ સમૂહમાં સમાયેલ છે

શરત પૂરી થઈ

ચોખા. 3.12. અસ્પષ્ટ બહિર્મુખ સમૂહ.

ચોખા. 3.13. અસ્પષ્ટ અંતર્મુખ સમૂહ.

ચોખા. આકૃતિ 3.13 અસ્પષ્ટ અંતર્મુખ સમૂહને દર્શાવે છે. તે તપાસવું સરળ છે કે અસ્પષ્ટ સમૂહ બહિર્મુખ (અંતર્મુખ) છે જો અને માત્ર જો તેના તમામ -કટ્સ બહિર્મુખ (અંતર્મુખ) હોય.

સ્પષ્ટ સમૂહ અથવા ફક્ત એક સમૂહ દ્વારા, આપણે સામાન્ય રીતે આપણા અંતર્જ્ઞાન અને બુદ્ધિના નિર્ધારિત અને વિશિષ્ટ પદાર્થોના ચોક્કસ સમૂહને સમજીએ છીએ, જે એક સંપૂર્ણ તરીકે કલ્પના કરવામાં આવે છે. IN આ નિવેદનચાલો નીચેના મુદ્દાની નોંધ લઈએ: સેટ A એ સંગ્રહ છે ચોક્કસ વસ્તુઓ. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ x માટે કોઈ અસ્પષ્ટપણે કહી શકે છે કે તે A સેટનો છે કે નહીં.

સમૂહ A સાથે જોડાયેલા તત્વ x માટેની શરત સભ્યપદ કાર્ય m(x) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે, એટલે કે

પરિણામે, સમૂહને જોડીના સમૂહ તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: એક તત્વ અને તેના સભ્યપદ કાર્યનું મૂલ્ય

A = ((x|m(x)) (1)

ઉદાહરણ 1. વિભાગ પાંચ ઓફર કરે છે વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમો x 1 , x 2 , x 3 , x 4 અને x 5 . પ્રોગ્રામ અનુસાર, ત્રણ અભ્યાસક્રમો જરૂરી છે. વિદ્યાર્થીએ અભ્યાસ માટે x 2, x 3 અને x 5 અભ્યાસક્રમો પસંદ કર્યા છે. ચાલો સભ્યપદ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકત લખીએ

જ્યાં દરેક જોડીના પ્રથમ તત્વનો અર્થ અભ્યાસક્રમનું નામ છે, અને બીજો એ હકીકતનું વર્ણન કરે છે કે તે આપેલ વિદ્યાર્થી ("હા" અથવા "ના") દ્વારા પસંદ કરેલ સબસેટનો છે.

ચપળ સેટના અસંખ્ય ઉદાહરણો છે: વિદ્યાર્થીઓની સૂચિ અભ્યાસ જૂથ, આપેલ શહેરની શેરીમાં ઘણા ઘરો, પાણીના ટીપામાં ઘણા અણુઓ, વગેરે.

દરમિયાન, એક વિશાળ વોલ્યુમ માનવ જ્ઞાનઅને સાથે જોડાણો બહારની દુનિયા(1) ના અર્થમાં સેટ ન કહી શકાય તેવા ખ્યાલોનો સમાવેશ કરો. તેને બદલે અસ્પષ્ટ સીમાઓ સાથેના વર્ગો ગણવા જોઈએ, જ્યારે એક વર્ગથી બીજા વર્ગના સંબંધમાં સંક્રમણ ધીમે ધીમે થાય છે, અચાનક નહીં. આમ, એવું માનવામાં આવે છે કે માનવ તર્કનો તર્ક શાસ્ત્રીય દ્વિ-મૂલ્ય ધરાવતા તર્ક પર આધારિત નથી, પરંતુ અસ્પષ્ટ સત્ય મૂલ્યો - અસ્પષ્ટ જોડાણો અને અનુમાનના અસ્પષ્ટ નિયમો સાથેના તર્ક પર આધારિત છે. અહીં તેના કેટલાક ઉદાહરણો છે: લેખની લંબાઈ લગભગ 12 પાના છે, મોટાભાગનાપ્રદેશ, રમતમાં જબરજસ્ત શ્રેષ્ઠતા, ઘણા લોકોનું જૂથ.

ચાલો પર રહીએ છેલ્લું ઉદાહરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે 3, 5 અથવા 9 લોકોના લોકોનું જૂથ ખ્યાલથી સંબંધિત છે: "ઘણા લોકોનો સમાવેશ થતો લોકોનો સમૂહ." જો કે, તેઓને આ ખ્યાલ સાથે જોડાયેલા હોવાનો આત્મવિશ્વાસની સમાન ડિગ્રી હશે નહીં, જે વ્યક્તિલક્ષી, સંજોગો સહિત વિવિધ પર આધાર રાખે છે. આ સંજોગોને ઔપચારિક બનાવી શકાય છે જો આપણે ધારીએ કે સભ્યપદ કાર્ય અંતરાલ પર કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે. તદુપરાંત આત્યંતિક મૂલ્યોજો તત્વ ચોક્કસપણે સંબંધિત ન હોય અથવા ચોક્કસપણે સંબંધિત હોય તો સૂચવવામાં આવે છે આ ખ્યાલ. ખાસ કરીને, લોકોનો સમૂહ A જેમાં ઘણા લોકોનો સમાવેશ થાય છે તે ફોર્મની અભિવ્યક્તિ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે:

A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

ચાલો ફઝી સેટની થિયરીના સ્થાપક L.A. Zade દ્વારા આપવામાં આવેલ ફઝી સેટની વ્યાખ્યા આપીએ. ચાલો x એ ચોક્કસ સાર્વત્રિક (કહેવાતા મૂળભૂત) સમૂહ Eનું તત્વ છે. પછી અસ્પષ્ટ(અસ્પષ્ટ) ટોળું એબેઝ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત E એ ઓર્ડર કરેલ જોડીનો સમૂહ છે

એ= (xúm એ((x)), "x О E,

જ્યાં મી એ(X) - સભ્યપદ કાર્ય, સમૂહ E ને એકમ અંતરાલમાં મેપિંગ કરવું, એટલે કે. m એ (x): E ® .

દેખીતી રીતે, જો મૂલ્યોની શ્રેણી m એ (x) બે સંખ્યાઓ 0 અને 1 સુધી મર્યાદિત છે, પછી આ વ્યાખ્યાસામાન્ય (ચપળ) સમૂહની વિભાવના સાથે સુસંગત રહેશે.

ફઝી સેટનું સભ્યપદ કાર્ય ફક્ત બેઝ સેટના દરેક ઘટક માટે તેના તમામ મૂલ્યોને સૂચિબદ્ધ કરીને જ નહીં, પણ ફોર્મમાં પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Z નંબર 2 ની ખૂબ નજીક છે, આ રીતે આપી શકાય છે:

ઝેડ= (xúm ઝેડ(x)), "x О R,

જ્યાં મી ઝેડ(x) =

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ Y જે સંખ્યા 2 ની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક છે

વાય= (xúm વાય(x)), "x О R,

એમ વાય ઝેડ(x) =

ગ્રાફિક છબીઆ બે સભ્યપદ કાર્યો ફિગ. 3.9 માં આપવામાં આવ્યા છે.

વ્યાખ્યા.અસ્પષ્ટ સેટ એફઝી સબસેટ કહેવાય છે બી, જો એઅને બીસમાન આધાર સમૂહ E અને "x О E: m પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એ(x) £m બી(x), જે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે એÌ બી.

બે અસ્પષ્ટ સમૂહોની સમાનતા માટેની શરતો એઅને બી, સમાન આધાર સમૂહ E પર વ્યાખ્યાયિત, નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે

એ = બીઅથવા "x О E: m એ(x) = m બી(x).

ટિપ્પણી. "અસ્પષ્ટ" અને "સંભાવના" ના સ્વાભાવિક રીતે અલગ ખ્યાલો વચ્ચે થોડી સમાનતા છે. સૌપ્રથમ, આ ખ્યાલોનો ઉપયોગ એવા કાર્યોમાં થાય છે જ્યાં આપણા જ્ઞાનની અનિશ્ચિતતા અથવા અચોક્કસતા અથવા મૂળભૂત અશક્યતા હોય. સચોટ આગાહીઓનિર્ણયોના પરિણામો. બીજું, પરિવર્તન અને સંભાવના અને સભ્યપદના કાર્યોના અંતરાલ એકરૂપ થાય છે:

અને P О અને m એ(x) ઓ.

તે જ સમયે, સંભાવના એ ઉદ્દેશ્યની લાક્ષણિકતા છે અને સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉપયોગના આધારે મેળવેલા તારણો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, પ્રાયોગિક રીતે પરીક્ષણ કરી શકાય છે.

સભ્યપદ કાર્ય વ્યક્તિલક્ષી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે, જો કે તે સામાન્ય રીતે વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓ વચ્ચેના વાસ્તવિક સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ફઝી સેટ થિયરી પર આધારિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની અસરકારકતા સામાન્ય રીતે ચોક્કસ પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા પછી નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો સંભાવના સિદ્ધાંત ધારે છે કે સંભાવના વિશ્વસનીય ઘટનાએક સમાન, એટલે કે

પછી સભ્યપદ કાર્યના તમામ મૂલ્યોનો અનુરૂપ સરવાળો 0 થી ¥ સુધી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.

તેથી, અસ્પષ્ટ સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે એનક્કી કરવાની જરૂર છે આધાર સમૂહ E ના ઘટકો, અને સભ્યપદ કાર્ય m રચે છે એ(x), જે આત્મવિશ્વાસનું એક વ્યક્તિલક્ષી માપદંડ છે જેની સાથે E નું દરેક તત્વ x આપેલ અસ્પષ્ટ સમૂહનું છે એ.

અસ્પષ્ટ સેટ- મુખ્ય ખ્યાલઅસ્પષ્ટ તર્ક. દો ઇ- સાર્વત્રિક સમૂહ, એક્સ- તત્વ ઇ,આર એ અમુક મિલકત છે. નિયમિત (ચપળ) સબસેટ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇ,જેના તત્વો મિલકત R ને સંતુષ્ટ કરે છે તેને ઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

A = ( μએ(x) / x},

જ્યાં μ A (x) —લાક્ષણિક કાર્ય, જો મૂલ્ય 1 લેવું એક્સમિલકત R, અને અન્યથા 0 ને સંતોષે છે.

ફઝી સબસેટથી અલગ છે નિયમિત વિષયો, જે તત્વો માટે છે એક્સથી ઇમિલકત R સંબંધિત કોઈ સ્પષ્ટ હા-ના જવાબ નથી. આ સંદર્ભમાં, અસ્પષ્ટ ઉપગણ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

A = ( μએ(x) / x},

જ્યાં μ A (x) — લાક્ષણિક સભ્યપદ કાર્ય(અથવા ખાલી સભ્યપદ કાર્ય), અમુક સંપૂર્ણપણે ઓર્ડર કરેલ સેટમાં મૂલ્યો લેવા એમ(દાખ્લા તરીકે, એમ = ).

સભ્યપદ કાર્ય તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી (અથવા સ્તર) સૂચવે છે એક્સસબસેટ એ.એક ટોળું એમએક્સેસરીઝનો સમૂહ કહેવાય છે. જો એમ= (0, 1), પછી ફઝી સબસેટ એએક સામાન્ય અથવા ચપળ સમૂહ તરીકે ગણી શકાય.

અસ્પષ્ટ સમૂહ લખવાના ઉદાહરણો

દો ઇ = {x 1 , x 2 , x z,x 4 , x 5 ), એમ = ; એએક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે જેના માટે μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( એક્સ 3) = 1; μ A (x 4) = 0.5; μ A ( x 5)= 0,9.

પછી એફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

A ={0,3/x 1 ; 0/એક્સ 2 ; 1/એક્સ 3 ; 0,5/એક્સ 4 ; 0,9/એક્સ 5 } ,

અથવા

એ={0,3/x 1 +0/એક્સ 2 +1/એક્સ 3 +0,5/એક્સ 4 +0,9/એક્સ 5 },

અથવા

ટિપ્પણી. અહીં “+” ચિહ્ન ઉમેરાની ક્રિયાને સૂચિત કરતું નથી, પરંતુ યુનિયનનો અર્થ ધરાવે છે.

અસ્પષ્ટ સમૂહોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ

દો એમ= અને એ— યુનિવર્સલ સેટમાંથી તત્વો સાથે અસ્પષ્ટ સેટ ઇઅને ઘણી એક્સેસરીઝ એમ.

જથ્થો કહેવાય છે ઊંચાઈઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ.અસ્પષ્ટ સેટ તે બરાબર છેજો તેની ઊંચાઈ 1 છે, એટલે કે. મહત્તમ મર્યાદાતેનું સભ્યપદ કાર્ય 1 (= 1) છે. મુ< 1нечеткое множество называется અસાધારણ

અસ્પષ્ટ સેટ ખાલીજો ∀ xϵ ઇ μ એ ( x) = 0. બિન-ખાલી સબનોર્મલ સેટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય કરી શકાય છે

અસ્પષ્ટ સેટ એકરૂપજો μ એ ( x) = 1 માત્ર એક પર એક્સથી ઇ.

. વાહકઅસ્પષ્ટ સમૂહ એમિલકત સાથેનો એક સામાન્ય સબસેટ છે μ એ ( x)>0, એટલે કે વાહક એ = {x/x ϵ E, μ એ ( x)>0}.

તત્વો xϵ ઇ, જેના માટે μ એ ( x) = 0,5 , ને બોલાવ્યા હતા સંક્રમણ બિંદુઓસેટ એ.

અસ્પષ્ટ સેટના ઉદાહરણો

1. ચાલો ઇ = {0, 1, 2, . . ., 10}, એમ =. અસ્પષ્ટ સેટ"કેટલાક" ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

“કેટલાક” = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; તેના લક્ષણો:ઊંચાઈ = 1, વાહક = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, સંક્રમણ બિંદુઓ — {3, 8}.

2. ચાલો ઇ = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). અસ્પષ્ટ સમૂહ "નાનો" વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

3. ચાલો ઇ= (1, 2, 3,..., 100) અને "વય" ખ્યાલને અનુરૂપ છે, પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ "યુવાન" નો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

યુનિવર્સલ સેટ પર ફઝી સેટ “યંગ” ઇ"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) સભ્યપદ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે μ યુવાન ( x) ચાલુ ઇ =(1, 2, 3, ..., 100) (ઉંમર), સંબંધમાં કહેવાય છે ઇ"સુસંગતતા કાર્ય, સાથે:

જ્યાં એક્સ- સિડોરોવની ઉંમર.

4. ચાલો ઇ= (ઝાપોરોઝેટ્સ, ઝિગુલી, મર્સિડીઝ,...) - કાર બ્રાન્ડનો સમૂહ, અને ઇ"= એ સાર્વત્રિક સમૂહ "કિંમત" છે, પછી ચાલુ ઇ"અમે પ્રકારના અસ્પષ્ટ સમૂહોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:

ચોખા. 1.1. સભ્યપદ કાર્યોના ઉદાહરણો

“ગરીબ માટે”, “મધ્યમ વર્ગ માટે”, “પ્રતિષ્ઠિત”, ફિગ જેવા જોડાણ કાર્યો સાથે. 1.1.

આ કાર્યો કર્યા અને તેમાંથી કારની કિંમત જાણવી ઇવી આ ક્ષણસમય, અમે તેના દ્વારા નક્કી કરીશું ઇ"સમાન નામો સાથે અસ્પષ્ટ સેટ.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અસ્પષ્ટ સમૂહ "ગરીબ માટે", સાર્વત્રિક સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત ઇ =(ZAPOROZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે દેખાય છે. 1.2.

ચોખા. 1.2. અસ્પષ્ટ સમૂહનો ઉલ્લેખ કરવાનું ઉદાહરણ

એ જ રીતે, તમે "હાઈ-સ્પીડ", "મધ્યમ", "ધીમી ગતિ", વગેરેને અસ્પષ્ટ સેટ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો.

5. ચાલો ઇ- પૂર્ણાંકોનો સમૂહ:

ઇ= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

પછી સંખ્યાઓનો ફઝી સબસેટ, અનુસાર સંપૂર્ણ મૂલ્યશૂન્યની નજીક વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

અસ્પષ્ટ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ પર

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો વપરાય છે સીધાપદ્ધતિઓ જ્યારે નિષ્ણાત કાં તો દરેક માટે સરળ રીતે સેટ કરે છે એક્સ ϵ ઇઅર્થ μ A (x),અથવા સુસંગતતા કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એક નિયમ તરીકે, મેમ્બરશિપ ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવા માટેની સીધી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ માપી શકાય તેવા ખ્યાલો જેમ કે ઝડપ, સમય, અંતર, દબાણ, તાપમાન વગેરે માટે અથવા જ્યારે ધ્રુવીય મૂલ્યોને અલગ પાડવામાં આવે છે ત્યારે થાય છે.

ઘણી સમસ્યાઓમાં, જ્યારે કોઈ ઑબ્જેક્ટને લાક્ષણિકતા આપતી વખતે, લક્ષણોનો સમૂહ પસંદ કરવાનું શક્ય છે અને તેમાંથી દરેક માટે સભ્યપદ કાર્ય, 0 અથવા 1 ના મૂલ્યોને અનુરૂપ ધ્રુવીય મૂલ્યો નક્કી કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચહેરાની ઓળખના કાર્યમાં, આપણે કોષ્ટકમાં આપેલા ભીંગડાને અલગ કરી શકીએ છીએ. 1.1.

કોષ્ટક 1.1. ચહેરા ઓળખવાના કાર્યમાં ભીંગડા

ચોક્કસ વ્યક્તિ માટેએનિષ્ણાત, આપેલ સ્કેલના આધારે, સેટ કરે છેμ એ(x)ϵ, વેક્ટર સભ્યપદ કાર્યની રચના (μ એ(x 1) , μ એ(x 2),…, μ એ(x 9)}.

સીધી પદ્ધતિઓ સાથે, જૂથ સીધી પદ્ધતિઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, નિષ્ણાતોના જૂથને કોઈ ચોક્કસ વ્યક્તિ સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે અને દરેક વ્યક્તિએ બેમાંથી એક જવાબ આપવો આવશ્યક છે: "આ વ્યક્તિ ટાલ છે" અથવા "આ વ્યક્તિ ટાલ નથી", પછી હકારાત્મક જવાબોની સંખ્યા પર વિભાજિત કુલ સંખ્યાનિષ્ણાતો, અર્થ આપે છે μ ટાલ ( આ વ્યક્તિની). (આ ઉદાહરણમાં, તમે સુસંગતતા કાર્ય દ્વારા કાર્ય કરી શકો છો, પરંતુ તે પછી તમારે નિષ્ણાતને રજૂ કરાયેલ દરેક વ્યક્તિના માથા પરના વાળની ​​સંખ્યાની ગણતરી કરવી પડશે.)

પરોક્ષસદસ્યતા કાર્યના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં કોઈ પ્રાથમિક માપી શકાય તેવા ગુણધર્મો નથી જેના દ્વારા અમને રસનો અસ્પષ્ટ સમૂહ નક્કી કરવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, આ જોડીમાં સરખામણી કરવાની પદ્ધતિઓ છે. જો સભ્યપદ કાર્યોના મૂલ્યો અમને જાણીતા હતા, ઉદાહરણ તરીકે, μ એ(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, તો પછી જોડી મુજબની તુલના સંબંધોના મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે એ= ( a ij ), ક્યાં એક ij= ω હું/ ω જ(વિભાગ કામગીરી).

વ્યવહારમાં, નિષ્ણાત પોતે મેટ્રિક્સ બનાવે છે એ, આ કિસ્સામાં એવું માનવામાં આવે છે કે કર્ણ તત્વો 1 ની બરાબર છે, અને એવા તત્વો માટે કે જે કર્ણ a ij = 1/a ij ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, એટલે કે. જો એક તત્વ મૂલ્યાંકન કરે છે α બીજા કરતા ગણું મજબૂત, તો પછી આ પ્રથમ કરતા 1/α ગણું વધુ મજબૂત હોવું જોઈએ. IN સામાન્ય કેસસમસ્યા વેક્ટર શોધવામાં ઘટે છે ω જે ફોર્મના સમીકરણને સંતોષે છે ઓ= λ મહત્તમ ડબલ્યુ, જ્યાં λ max એ મેટ્રિક્સનું સૌથી મોટું ઇજનવેલ્યુ છે એ. મેટ્રિક્સ થી એબાંધકામ દ્વારા હકારાત્મક છે, આ સમસ્યાનો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને હકારાત્મક છે.

બે વધુ અભિગમો નોંધી શકાય છે:

• પ્રમાણભૂત સ્વરૂપોનો ઉપયોગપ્રાયોગિક ડેટા અનુસાર તેમના પરિમાણોની સ્પષ્ટતા સાથે સભ્યપદના કાર્યોને સ્પષ્ટ કરવા માટે વણાંકો ((L-R)-પ્રકારના સ્વરૂપમાં - નીચે જુઓ);
• સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝનો ઉપયોગસભ્યપદ મૂલ્યો તરીકે પ્રયોગ અનુસાર.

ગાણિતિક મોડેલિંગના વ્યાપક ઉપયોગ વિના આધુનિક વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીની કલ્પના કરી શકાતી નથી, કારણ કે સંપૂર્ણ પાયે પ્રયોગો હંમેશા હાથ ધરી શકાતા નથી, તે ઘણીવાર ખૂબ ખર્ચાળ હોય છે અને નોંધપાત્ર સમયની જરૂર પડે છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં તે જોખમ અને મોટી સામગ્રી અથવા નૈતિકતા સાથે સંકળાયેલા હોય છે. ખર્ચ ગાણિતિક મોડેલિંગનો સાર એ છે કે વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટને તેની "ઇમેજ" - એક ગાણિતિક મોડેલ - અને કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકાયેલા કોમ્પ્યુટેશનલ અને લોજિકલ અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને મોડેલનો વધુ અભ્યાસ. ગાણિતિક મૉડલ માટેની સૌથી મહત્ત્વની આવશ્યકતા એ તેના ગુણધર્મોની પસંદ કરેલી સિસ્ટમની તુલનામાં અભ્યાસ કરવામાં આવતા વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ માટે તેની પર્યાપ્તતા (સાચો પત્રવ્યવહાર) ની સ્થિતિ છે. આનો અર્થ સૌ પ્રથમ, વિચારણા હેઠળના ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મોનું સાચું માત્રાત્મક વર્ણન છે. આવા જથ્થાત્મક મોડેલોનું નિર્માણ સરળ સિસ્ટમો માટે શક્ય છે.

જટિલ સિસ્ટમો સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે. વર્તન વિશે નોંધપાત્ર તારણો મેળવવા માટે જટિલ સિસ્ટમોમોડેલ બનાવતી વખતે ઉચ્ચ સચોટતા અને કઠોરતાને છોડી દેવી જરૂરી છે અને તેનું નિર્માણ કરતી વખતે પ્રકૃતિમાં અંદાજિત હોય તેવા અભિગમોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આમાંનો એક અભિગમ ભાષાકીય ચલોના પરિચય સાથે સંકળાયેલો છે જે વ્યક્તિના આસપાસના વિશ્વના અસ્પષ્ટ પ્રતિબિંબનું વર્ણન કરે છે. ભાષાકીય ચલ સંપૂર્ણ ગાણિતિક પદાર્થ બનવા માટે, અસ્પષ્ટ સમૂહનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

ચપળ સેટના સિદ્ધાંતમાં, સાર્વત્રિક અવકાશમાં ચપળ સમૂહના લાક્ષણિક કાર્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું. , 1 ની બરાબર જો તત્વ ગુણધર્મને સંતુષ્ટ કરે છે અને તેથી, સમૂહને અનુસરે છે, અને અન્યથા 0 ની બરાબર છે. આમ, અમે એક સ્પષ્ટ વિશ્વ (બુલિયન બીજગણિત) વિશે વાત કરી રહ્યા હતા, જેમાં આપેલ મિલકતની હાજરી અથવા ગેરહાજરી મૂલ્યો 0 અથવા 1 ("ના" અથવા "હા") દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો કે, વિશ્વની દરેક વસ્તુને માત્ર સફેદ અને કાળા, સત્ય અને અસત્યમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી. તેથી, બુદ્ધે પણ વિરોધાભાસોથી ભરેલું વિશ્વ જોયું, વસ્તુઓ અમુક અંશે સાચી હોઈ શકે છે અને અમુક અંશે, તે જ સમયે ખોટી હોઈ શકે છે. પ્લેટોએ આ વિરોધાભાસ સાપેક્ષ છે ત્યાં એક ત્રીજું ક્ષેત્ર (સત્ય અને અસત્યની બહાર) છે તે દર્શાવીને અસ્પષ્ટ તર્ક શું બનશે તેનો પાયો નાખ્યો હતો.

યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયાના પ્રોફેસર ઝાદેહે 1965માં પેપર "ફઝી સેટ્સ" પ્રકાશિત કર્યું, જેમાં તેમણે 0 અથવા 1ના બે-મૂલ્યવાળા અંદાજને 0થી ઉપર અને 1થી નીચેના અમર્યાદિત બહુમૂલ્ય અંદાજ સુધી એક બંધ અંતરાલમાં વિસ્તૃત કર્યો અને સૌપ્રથમ ખ્યાલ રજૂ કર્યો. "અસ્પષ્ટ સમૂહ." "લાક્ષણિક કાર્ય" શબ્દને બદલે, ઝાદેહે "સદસ્યતા કાર્ય" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો. મેમ્બરશિપ ફંક્શન દ્વારા યુનિવર્સલ સ્પેસમાં ફઝી સેટ (ક્રિસ્પ સેટ માટે સમાન નોટેશન બાકી છે) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સદસ્યતા કાર્યને મોટેભાગે નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે: મૂલ્યનો અર્થ થાય છે વ્યક્તિલક્ષી મૂલ્યાંકનઅસ્પષ્ટ સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી, ઉદાહરણ તરીકે, તેનો અર્થ એ છે કે તે 80% છે. તેથી, ત્યાં "મારું સભ્યપદ કાર્ય", "તમારી સભ્યપદ કાર્ય", "નિષ્ણાતનું સભ્યપદ કાર્ય", વગેરે હોવું આવશ્યક છે. અસ્પષ્ટ સમૂહની ગ્રાફિકલ રજૂઆત, વેન ડાયાગ્રામ, ફિગમાં કેન્દ્રિત વર્તુળો દ્વારા રજૂ થાય છે. 1. અસ્પષ્ટ સમૂહના સભ્યપદ કાર્યમાં ઘંટડી આકારનો ગ્રાફ હોય છે, સ્પષ્ટ સમૂહના લંબચોરસ લાક્ષણિકતા કાર્યથી વિપરીત, ફિગ. 1.

તમારે ચપળ અને અસ્પષ્ટ સેટ્સ વચ્ચેના જોડાણ પર ધ્યાન આપવું જોઈએ. લાક્ષણિક કાર્યના બે મૂલ્યો (0,1) સભ્યપદ કાર્યના મૂલ્યોના બંધ અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે. તેથી, ક્રિસ્પ સેટ એ ફઝી સેટનો ખાસ કેસ છે, અને ફઝી સેટની વિભાવના એ એક વિસ્તૃત ખ્યાલ છે જે ચપળ સેટના ખ્યાલને પણ આવરી લે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચપળ સમૂહ પણ એક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે.

અસ્પષ્ટ સમૂહને સભ્યપદ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેમાં કોઈ અસ્પષ્ટતા હોતી નથી. હકીકત એ છે કે બંધ અંતરાલના અંદાજિત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને અસ્પષ્ટ સમૂહને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આ સભ્યપદ કાર્ય છે. જો સાર્વત્રિક સમૂહમાં ઘટકોના એક અલગ મર્યાદિત સમૂહનો સમાવેશ થાય છે, તો પછી, વ્યવહારિક વિચારણાઓના આધારે, વિભાજન ચિહ્નો / અને + નો ઉપયોગ કરીને સભ્યપદ કાર્યનું મૂલ્ય અને અનુરૂપ તત્વ સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાર્વત્રિક સમૂહમાં 10 કરતા ઓછા પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થવા દો, પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ "નાની સંખ્યાઓ" તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

A=1/0 + 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4

અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, 0.8/2 નો અર્થ થાય છે. + ચિહ્ન યુનિયન સૂચવે છે. ઉપરોક્ત સ્વરૂપમાં અસ્પષ્ટ સમૂહ લખતી વખતે, સભ્યપદ કાર્ય મૂલ્યો શૂન્ય સમાન હોય તેવા સાર્વત્રિક સમૂહના ઘટકોને અવગણવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે સાર્વત્રિક સમૂહના તમામ ઘટકો સભ્યપદ કાર્યના અનુરૂપ મૂલ્યો સાથે લખવામાં આવે છે. અસ્પષ્ટ સેટ નોટેશનનો ઉપયોગ થાય છે, જેમ કે સંભાવના સિદ્ધાંતમાં,

વ્યાખ્યા.સામાન્ય રીતે, સાર્વત્રિક સમૂહના અસ્પષ્ટ સબસેટને ઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

પરંપરા મુજબ, સ્પષ્ટ સેટ સામાન્ય રીતે તીવ્ર રૂપરેખાવાળી સીમાઓ સાથે વર્તુળો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહો એ વ્યક્તિગત બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ વર્તુળો છે: વર્તુળની મધ્યમાં ઘણા બધા બિંદુઓ છે, અને પરિઘની નજીક તેમની ઘનતા શૂન્ય થઈ જાય છે; વર્તુળ ધાર પર છાંયો લાગે છે. આવા "ફઝી સેટ્સ" જોઈ શકાય છે... શૂટિંગ રેન્જ પર - દિવાલ પર જ્યાં લક્ષ્યો લટકાવવામાં આવે છે. બુલેટ માર્ક્સ ફોર્મ રેન્ડમસમૂહો જેનું ગણિત જાણીતું છે. તે સર્જરી માટે બહાર આવ્યું છે અસ્પષ્ટ સેટરેન્ડમ સેટનું લાંબા-વિકસિત ઉપકરણ યોગ્ય છે...

અસ્પષ્ટ ખ્યાલસેટ - પ્રયાસ ગાણિતિક ઔપચારિકરણબાંધકામમાં તેનો ઉપયોગ કરવાના હેતુ માટે અસ્પષ્ટ માહિતી ગાણિતિક મોડેલોજટિલ સિસ્ટમો. આ ખ્યાલ એ વિચાર પર આધારિત છે કે જે તત્વો આપેલ સમૂહ બનાવે છે અને ધરાવે છે સામાન્ય મિલકત, આ ગુણધર્મમાં વિવિધ ડિગ્રીઓ હોઈ શકે છે અને તેથી, વિવિધ ડિગ્રી સાથે આપેલ સમૂહની છે.

સૌથી સરળ રીતોમાંની એક ગાણિતિક વર્ણનઅસ્પષ્ટ સમૂહ - સંખ્યા દ્વારા સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રીનું લાક્ષણિકતા, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલથી. દો એક્સ- તત્વોનો ચોક્કસ સમૂહ. આગળ આપણે આ સમૂહના ઉપગણો ધ્યાનમાં લઈશું.

X માં અસ્પષ્ટ સેટ Aફોર્મની જોડીનો સંગ્રહ કહેવાય છે ( x, m A(x)), ક્યાં xÎX,અને મી એ- કાર્ય x®, કહેવાય છે સભ્યપદ કાર્યઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ. m મૂલ્ય A(x)ચોક્કસ માટે આ કાર્ય xઅસ્પષ્ટ સમૂહમાં આ તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી કહેવાય છે એ.

આ વ્યાખ્યામાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, એક અસ્પષ્ટ સમૂહ તેના સભ્યપદ કાર્ય દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે, તેથી અમે ઘણીવાર આ ફંક્શનનો ઉપયોગ અસ્પષ્ટ સમૂહ માટે હોદ્દો તરીકે કરીશું.

સામાન્ય સમૂહો અસ્પષ્ટ સમૂહોના વર્ગના પેટા વર્ગની રચના કરે છે. ખરેખર, એક સામાન્ય સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય બીÌ એક્સતેનું લાક્ષણિક કાર્ય છે: m B(x)=1 જો xÎ બીઅને મી B(x)=0 જો xÏ બી.પછી, અસ્પષ્ટ સમૂહની વ્યાખ્યા અનુસાર, સામાન્ય સમૂહ INફોર્મની જોડીના સમૂહ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ( x, m B(x)). આમ, એક અસ્પષ્ટ સમૂહ વધુ છે વ્યાપક ખ્યાલસામાન્ય સમૂહ કરતાં, આ અર્થમાં કે અસ્પષ્ટ સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મનસ્વી કાર્ય અથવા મનસ્વી મેપિંગ પણ હોઈ શકે છે.

અમે બોલી રહ્યા છીએ અસ્પષ્ટ સમૂહ. અને ઘણા શું?જો આપણે સુસંગત હોઈએ, તો અમારે જણાવવું પડશે કે અસ્પષ્ટ સમૂહનું એક તત્વ બહાર આવ્યું છે... નવા અસ્પષ્ટ સમૂહનો નવો અસ્પષ્ટ સમૂહ, વગેરે. ચાલો તરફ વળીએ ઉત્તમ ઉદાહરણ- પ્રતિ અનાજનો ઢગલો. આ અસ્પષ્ટ સમૂહનું એક તત્વ હશે મિલિયન અનાજ, દાખ્લા તરીકે. પરંતુ એક મિલિયન અનાજ બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી તત્વ, અને નવું અસ્પષ્ટ સમૂહ. છેવટે, અનાજની ગણતરી કરતી વખતે (મેન્યુઅલી અથવા આપમેળે), ભૂલ કરવી આશ્ચર્યજનક નથી - ઉદાહરણ તરીકે 999,997 અનાજને મિલિયન તરીકે લેવું. અહીં આપણે કહી શકીએ કે એલિમેન્ટ 999,997 પાસે 0.999997 ની બરાબર “મિલિયન” સેટ માટે સભ્યપદ કાર્ય મૂલ્ય છે. વધુમાં, અનાજ પોતે ફરીથી એક તત્વ નથી, પરંતુ એક નવો અસ્પષ્ટ સમૂહ છે: ત્યાં એક સંપૂર્ણ અનાજ છે, અને ત્યાં બે ફ્યુઝ્ડ અનાજ છે, એક અવિકસિત અનાજ અથવા માત્ર એક ભૂસી. અનાજની ગણતરી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ કેટલાકને નકારવા જોઈએ, એક તરીકે બે અનાજ લેવું જોઈએ, અને બીજા કિસ્સામાં, એક અનાજ બે તરીકે લેવું જોઈએ. ક્લાસિકલ ભાષાઓ સાથે ડિજિટલ કમ્પ્યુટરમાં અસ્પષ્ટ સેટ ભરવું એટલું સરળ નથી: એરે (વેક્ટર) ના તત્વો એરેના નવા એરે (નેસ્ટેડ વેક્ટર અને મેટ્રિસિસ, જો આપણે વિશે વાત કરીએ તો) હોવા જોઈએ Mathcad). ક્લાસિકલ ચપળ સમૂહ ગણિત (સંખ્યા સિદ્ધાંત, અંકગણિત, વગેરે) એ હૂક છે જેના દ્વારા વાજબી માણસતેની આસપાસની લપસણો અને અસ્પષ્ટ દુનિયામાં પોતાને ઠીક કરે છે (નિર્ધારિત કરે છે). અને હૂક, જેમ તમે જાણો છો, તે એક ક્રૂડ ટૂલ છે, જે ઘણી વખત તેને વળગી રહે છે તે બગાડે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી શરતો – “ઘણું”, “થોડું”, “થોડું”, વગેરે. વગેરે. - તેને કમ્પ્યુટરમાં "સામગ્રી" કરવી મુશ્કેલ છે કારણ કે તેઓ સંદર્ભ આધારિત. બીજનો ગ્લાસ ધરાવનાર વ્યક્તિને “મને થોડાં બીજ આપો” કહેવું એક વાત છે અને બીજ સાથે ટ્રકના પૈડા પાછળ બેઠેલી વ્યક્તિને કહેવાની બીજી વાત છે.

અસ્પષ્ટ સબસેટ એસેટ એક્સસભ્યપદ કાર્ય દ્વારા લાક્ષણિકતા m એ:X→, જે દરેક તત્વને સોંપે છે xÎ એક્સસંખ્યા m A(x)તત્વના સભ્યપદની ડિગ્રી દર્શાવતા અંતરાલમાંથી એક્સસબસેટ એ. તદુપરાંત, 0 અને 1 અનુક્રમે, સૌથી નીચું અને રજૂ કરે છે ઉચ્ચતમ ડિગ્રીચોક્કસ સબસેટ સાથેના તત્વનું.

ચાલો મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

· મૂલ્યનું સમર્થન m એ(x) કહેવાય છે ઊંચાઈ અસ્પષ્ટ સમૂહ એ. અસ્પષ્ટ સેટ એ દંડ , જો તેની ઊંચાઈ છે 1 , એટલે કે તેના સભ્યપદ કાર્યની ઉપલી સીમા છે 1. જ્યારે સુપ્રિ mએ(x)<1 અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવાય છે અસાધારણ

એક અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવામાં આવે છે ખાલી, જો તેનું સભ્યપદ કાર્ય સમગ્ર સેટ પર શૂન્ય જેટલું હોય એક્સ, એટલે કે મી 0 (x) = 0 " xÎ એક્સ.

અસ્પષ્ટ સેટ ખાલી , જો " xÎ ઇ m A ( x)=0 . બિન-ખાલી સબનોર્મલ સેટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા સામાન્ય કરી શકાય છે

(ફિગ. 1).

ફિગ.1. સભ્યપદ કાર્ય સાથે અસ્પષ્ટ સમૂહનું સામાન્યકરણ. .

વાહકઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ(હોદ્દો supp એ) સભ્યપદ કાર્ય સાથે m A(x)ફોર્મનો સમૂહ કહેવાય છે suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). માટે વ્યવહારુ કાર્યક્રમોફઝી સેટના વાહકો હંમેશા મર્યાદિત હોય છે. આમ, સિસ્ટમ માટે સ્વીકાર્ય મોડ્સના ફઝી સેટનું વાહક સ્પષ્ટ સબસેટ (અંતરાલ) હોઈ શકે છે, જેના માટે સ્વીકાર્યતાની ડિગ્રી શૂન્ય (ફિગ. 2) ની બરાબર નથી.

ચોખા. 3. કોર, વાહક અને α- અસ્પષ્ટ સમૂહનો વિભાગ

અર્થ α કહેવાય છે α -સ્તર. વાહક (કર્નલ) ને શૂન્ય (એકમ) પરના અસ્પષ્ટ સમૂહના વિભાગ તરીકે ગણી શકાય. α -સ્તર.

ચોખા. 3 વ્યાખ્યાઓ સમજાવે છે વાહક, કોર,α - વિભાગો અનેα - સ્તરઅસ્પષ્ટ સમૂહ.