અસ્પષ્ટ સમૂહના સભ્યપદ કાર્યનું નિર્માણ. અસ્પષ્ટ સેટ

સભ્યપદ કાર્ય μ A (x) ∈ દરેક સંખ્યાને સોંપે છે

x ∈ X એ અંતરાલની સંખ્યા છે જે A સબસેટના ઉકેલની સભ્યપદની ડિગ્રી દર્શાવે છે.

તે. આ અસ્પષ્ટતાના કેટલાક બિન-સંભવિત વ્યક્તિલક્ષી માપ છે, જે અસ્પષ્ટ સમૂહ A દ્વારા ઔપચારિક ખ્યાલ સાથે તત્વ xના પત્રવ્યવહારની ડિગ્રી વિશે નિષ્ણાતોના સર્વેક્ષણના પરિણામે નક્કી કરવામાં આવે છે. સંભવિત માપથી વિપરીત, જેનું મૂલ્યાંકન છે સ્ટોકેસ્ટિક અનિશ્ચિતતા, માં કેટલીક ઘટનાની ઘટનાની અસ્પષ્ટતા સાથે વ્યવહાર વિવિધ ક્ષણોસમય, અસ્પષ્ટ માપ એ માનવ વિચારની શ્રેણીઓની અસ્પષ્ટતા અને અસ્પષ્ટતા સાથે સંકળાયેલ ભાષાકીય અનિશ્ચિતતાનું સંખ્યાત્મક મૂલ્યાંકન છે. સદસ્યતા કાર્ય μ A (x) બનાવતી વખતે, દરેક અસ્પષ્ટ સમૂહ A ચોક્કસ ગુણધર્મ, લક્ષણ અથવા વિશેષતા સાથે સંકળાયેલો હોય છે જે ઑબ્જેક્ટ Xના ચોક્કસ સમૂહને લાક્ષણિકતા આપે છે. ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ x ∈ X પાસે આ ગુણધર્મ જેટલી વધુ હોય છે, તે 1 ની નજીક હોય છે. અનુરૂપ મૂલ્ય μ A(x). જો કોઈ તત્વ x ∈ X ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મ ધરાવે છે, તો μ A (x)=1, પરંતુ જો x ∈ X ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મ ધરાવતો નથી, તો μ A (x)=0.

સભ્યપદ કાર્યોના મુખ્ય પ્રકાર

વ્યવહારમાં, તે સભ્યપદ કાર્યોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે જે કેટલાક સરળ ગાણિતિક કાર્યના સ્વરૂપમાં વિશ્લેષણાત્મક રજૂઆતને મંજૂરી આપે છે.

1. પીસવાઇઝ રેખીય,

પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે વપરાય છે: "આશરે સમાન", "સરેરાશ મૂલ્ય", "અંતરાલમાં સ્થિત", "ઑબ્જેક્ટ જેવું જ", "ઑબ્જેક્ટ જેવું જ", વગેરે.

ત્રિકોણાકાર trimf

ટ્રેપેઝોઇડલ trapmf

2. એસ આકારનું,

અનિશ્ચિતતાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે વપરાય છે જેમ કે: " મોટી સંખ્યામાં”, “મહાન મૂલ્ય”, “નોંધપાત્ર મૂલ્ય”, “ઉચ્ચ સ્તર”, વગેરે.

ક્વાડ્રેટિક એસ-સ્પલાઇન smf

3. ઝેડ-આકારનું,

અનિશ્ચિતતાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે વપરાય છે જેમ કે “નાની માત્રા”, “e નું નાનું મૂલ્ય”, “તુચ્છ મૂલ્ય”, “નીચું સ્તર”, વગેરે.

ચતુર્ભુજઝેડ-સ્પલાઇન zmf

4. U-આકારનું,

પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે વપરાય છે: "આશરે થી અને સુધીની શ્રેણીમાં", "આશરે સમાન", "વિશે", વગેરે.

આ પ્રકારના સભ્યપદ કાર્યમાં સમાવેશ થાય છે આખો વર્ગવળાંકો કે જે ઘંટડી, ચપટી ટ્રેપેઝોઇડ અથવા આકારમાં "P" અક્ષર જેવા હોય છે.

ઘંટડી આકારનું gbellmf

a એ સભ્યપદ કાર્યનું એકાગ્રતા ગુણાંક છે; b – સભ્યપદ કાર્યની ઢાળનો ગુણાંક; c - મહત્તમ સભ્યપદ કાર્યનું સંકલન.

ગૌસીયન gaussmf

a – મહત્તમ સભ્યપદ કાર્યનું સંકલન; b - સભ્યપદ કાર્યનું એકાગ્રતા ગુણાંક.

સભ્યપદ કાર્યોના નિર્માણ માટેની પદ્ધતિઓ

પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ

સર્વેક્ષણમાં સામેલ નિષ્ણાતોની સંખ્યાના આધારે, પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ બંને પદ્ધતિઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે એકલઅને જૂથ.

પ્રત્યક્ષ

સીધી પદ્ધતિઓમાં, નિષ્ણાત અથવા નિષ્ણાતોનું જૂથ દરેક માટે સરળ રીતે સેટ કરે છે

x ∈ X એ સભ્યપદ કાર્યનું મૂલ્ય છે μ A (x).

એક નિયમ તરીકે, સદસ્યતા કાર્યોના નિર્માણ માટેની સીધી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ગુણધર્મો માટે થાય છે જે ચોક્કસ માત્રાત્મક સ્કેલ પર માપી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ, સમય, અંતર, દબાણ, તાપમાન અને અન્ય જેવા ભૌતિક જથ્થાઓ તેમના માપન માટે અનુરૂપ એકમો અને ધોરણો ધરાવે છે.

સદસ્યતાના કાર્યોનું સીધું નિર્માણ કરતી વખતે, તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે અસ્પષ્ટ સેટના સિદ્ધાંતને સભ્યપદ કાર્યોના ચોક્કસ સ્પષ્ટીકરણની જરૂર નથી. ઘણીવાર તે ફક્ત સૌથી વધુ રેકોર્ડ કરવા માટે પૂરતું છે લાક્ષણિકતા મૂલ્યોઅને સભ્યપદ કાર્યનો પ્રકાર.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો "કારની ઝડપ અંદાજે 50 કિમી/કલાક" ગુણધર્મને દર્શાવતો ફઝી સેટ બનાવવો જરૂરી હોય, તો પ્રારંભિક તબક્કે તે અનુરૂપ ફઝી સેટને પરિમાણો સાથે ત્રિકોણાકાર સભ્યપદ કાર્ય તરીકે રજૂ કરવા માટે પૂરતું હોઈ શકે છે. a = 40 km/h, b = 60 km/h અને s = 50 km/h. ત્યારબાદ, ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવાના પરિણામોના વિશ્લેષણના આધારે સભ્યપદ કાર્યને પ્રાયોગિક રીતે શુદ્ધ કરી શકાય છે.

માપી શકાય તેવા એટ્રિબ્યુટના કેટલાક જાણીતા જથ્થાત્મક મૂલ્યના આધારે અસ્પષ્ટ સમૂહ બનાવવાની અથવા સ્પષ્ટ કરવાની પ્રક્રિયાને એક વિશેષ નામ પણ પ્રાપ્ત થયું છે - અસ્પષ્ટતા અથવા અસ્પષ્ટતામાં ઘટાડો. મુદ્દો એ છે કે કેટલીકવાર આપણે માપી શકાય તેવા જથ્થાના કેટલાક મૂલ્યને જાણતા હોવા છતાં, અમે એ હકીકતને ઓળખીએ છીએ કે આ મૂલ્ય અચોક્કસ રીતે જાણીતું છે, સંભવતઃ ભૂલ સાથે અથવા રેન્ડમ ભૂલ. તદુપરાંત, વિશેષતાના માપનની સચોટતામાં આપણે જેટલા ઓછા આત્મવિશ્વાસ ધરાવીએ છીએ, અનુરૂપ અસ્પષ્ટ સમૂહના વાહકનું અંતરાલ જેટલું મોટું હશે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે મોટાભાગના વ્યવહારુ કિસ્સાઓમાં, સંપૂર્ણ માપન ચોકસાઈ એ ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા માટે માત્ર એક અનુકૂળ અમૂર્ત છે. તે આ કારણોસર છે કે અસ્પષ્ટતા અમને ભૌતિક માપનના પરિણામોની નિરપેક્ષપણે હાજર અચોક્કસતાને વધુ પર્યાપ્ત રીતે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સંબંધિત આવર્તન પદ્ધતિ (પ્રત્યક્ષ જૂથ)

ત્યાં રહેવા દો mનિષ્ણાતો, nજેમાંથી 1 એ પ્રશ્નનો હકારાત્મક જવાબ આપે છે કે શું તત્વ x ∈ X અસ્પષ્ટ સમૂહ Aનું છે. નિષ્ણાતોનો બીજો ભાગ n 2 = m – n 1 આ પ્રશ્નનો જવાબ નકારાત્મકમાં આપે છે. પછી તે μ A (x) = સ્વીકારવામાં આવે છે n 1 / (n 1 + n 2) = n 1/મી.

ઉદાહરણ.ચાલો "તાપમાન પરિવર્તનનો હકારાત્મક સરેરાશ દર" ના ખ્યાલને અનુરૂપ અસ્પષ્ટ સમૂહ A ને ધ્યાનમાં લઈએ. ઑબ્જેક્ટ x - તાપમાનમાં ફેરફારનો દર. નિષ્ણાતોને તાપમાન x ના ફેરફારના દર માટે વિવિધ મૂલ્યો રજૂ કરવામાં આવે છે, અને તેમાંથી દરેકને પૂછવામાં આવે છે કે શું નિષ્ણાત માને છે કે તાપમાન xના પરિવર્તનનો આ દર હકારાત્મક સરેરાશ છે. સર્વેના પરિણામોનો સારાંશ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યો છે.

આ અસ્પષ્ટ ચલની સતત રજૂઆત તરીકે, તમે મહત્તમ સભ્યપદ કાર્ય a=5 અને સભ્યપદ કાર્ય b=1.7 ના સાંદ્રતા ગુણાંક સાથે ગૌસીયન PT gaussmf નો ઉપયોગ કરી શકો છો:

μ(x) = સમાપ્તિ [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

પરોક્ષ

તેઓનો ઉપયોગ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થાય છે જેના માટે ભૌતિક જથ્થાના ગુણધર્મો માપી શકાતા નથી. વચ્ચે સૌથી સામાન્ય પરોક્ષ પદ્ધતિઓજોડી કરેલી સરખામણીની પદ્ધતિ પ્રાપ્ત કરી.

જોડી કરેલ સરખામણી પદ્ધતિ

સદસ્યતાની તીવ્રતા વિચારણા હેઠળના ઘટકોની જોડીવાર સરખામણીના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.

સાર્વત્રિક સમૂહના ઘટકોની દરેક જોડી માટે, નિષ્ણાત મિલકતના સંબંધમાં એક તત્વના ફાયદાનું મૂલ્યાંકન કરે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહ. નીચેના મેટ્રિક્સ સાથે જોડીવાર સરખામણીઓ રજૂ કરવી અનુકૂળ છે:

,

એલિમેન્ટ એડવાન્ટેજ લેવલ(), નવ-પોઇન્ટ સાટી સ્કેલ પર નિર્ધારિત ક્યાં છે:

1 - જો તત્વ પર તત્વનો કોઈ ફાયદો નથી;

3 - જો ત્યાં નબળો ફાયદો છે;

5 - જો ત્યાં કોઈ નોંધપાત્ર ફાયદો છે;

7 - જો ત્યાં સ્પષ્ટ ફાયદો છે;

9 - જો ત્યાં ચોક્કસ ફાયદો છે;

2, 4, 6, 8 - મધ્યવર્તી તુલનાત્મક અંદાજો.

ઉદાહરણ.અસ્પષ્ટ સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય બનાવો " ઊંચો માણસ" સાર્વત્રિક સમૂહ (170, 175, 180, 185, 190, 195) પર, જો નીચેના નિષ્ણાતની જોડી પ્રમાણે સરખામણીઓ જાણીતી હોય તો:

સંપૂર્ણ લાભ 195 ઉપર 170;

175 ઉપર 195નો સ્પષ્ટ ફાયદો;

180 ઉપર 195 નો નોંધપાત્ર ફાયદો;

થોડો ફાયદો 195 ઉપર 185;

190 ઉપર 195નો કોઈ ફાયદો નથી.

આપેલ નિષ્ણાત નિવેદનો જોડી કરેલ સરખામણીના નીચેના મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે:

જો નિષ્ણાતના મંતવ્યો સુસંગત હોય, તો જોડી કરેલ સરખામણી મેટ્રિક્સમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

તે કર્ણ છે, એટલે કે a ii =1 ‚ i=1..n ;

તે વિપરિત સપ્રમાણ છે, એટલે કે, મુખ્ય કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા ધરાવતા તત્વો a ij =1/a ji , i,j=1..n ની અવલંબન દ્વારા જોડાયેલા છે;

તે ટ્રાન્ઝિટિવ છે, એટલે કે a ik a kj =a ij , i,j, k=1..n .

આ ગુણધર્મોની હાજરી અમને જોડી પ્રમાણે સરખામણી મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે:

પેરવાઇઝ સરખામણી મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો નક્કી કર્યા પછી, ફઝી સેટના સભ્યપદની ડિગ્રીની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

અસ્પષ્ટ સમૂહને સામાન્ય બનાવવા માટે, અમે સભ્યપદની તમામ ડિગ્રીને વિભાજિત કરીએ છીએ મહત્તમ મૂલ્ય, એટલે કે 0.3588 પર.

સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે એવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરીએ છીએ જ્યાં અમુક અંશે એક તત્વ આપેલ સમૂહનું હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી નાની માત્રા નક્કી કરવામાં આવે છે. કોણ બરાબર કહી શકે કે જથ્થાને કયા મૂલ્યથી નાનો ગણી શકાય? આ પ્રશ્નનો કોઈ સ્પષ્ટ જવાબ નથી. તેથી, એક માર્ગ ગાણિતિક વર્ણનઅસ્પષ્ટ સમૂહનો અર્થ એ છે કે અસ્પષ્ટ સમૂહમાં તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી નક્કી કરવી. સભ્યપદની ડિગ્રી અંતરાલમાંથી સંખ્યા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. અંતરાલની સીમાઓ - 0, 1, અર્થ, અનુક્રમે, "સંબંધિત નથી" અને "સંબંધિત છે". સંપ્રદાયમાં. 1 તત્વ જોડાણ xઘણા એઔપચારિક સ્વરૂપમાં લખેલું xÎA. આ પ્રવેશલાક્ષણિક કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

સમૂહમાં સભ્યપદ ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક-પરિમાણીયમાં અંકગણિત જગ્યા આર બે સેટ આપવામાં આવે છે AÎ આર અને BÎ આર . જોડાણ xÎAલંબચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે પી એ, ફિગમાં બતાવેલ છે. 2.1, અને જોડાણ xÎB- લંબચોરસના રૂપમાં પી વી, ફિગમાં બતાવેલ છે. 2.2. જોડાણ xસમૂહોનું જોડાણ xОАХВલંબચોરસ દ્વારા રજૂ થાય છે P A Ç V, ફિગમાં બતાવેલ છે. 2.3. દ્વિ-પરિમાણીય સમૂહ સાથે સંબંધિત સમાંતર પાઇપ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા, અને સંબંધિત n-પરિમાણીય સમૂહ - ( n+1)-પરિમાણીય સમાંતર.

ચોખા. 2.1 ફિગ. 2.2

અસ્પષ્ટ સબસેટ એસેટ એક્સબે સમૂહ કહેવાય છે. કાર્ય mA, જે તત્વોનું પ્રતિબિંબ છે xÎXસમૂહના ઘટકોમાં (m a:X®), ફઝી સેટ સભ્યપદ કાર્ય કહેવાય છે, અને એક્સ- મૂળભૂત સમૂહ.

ચોક્કસ અર્થ mA(x), તત્વ માટે ઉલ્લેખિત x, એ તત્વ x ની અસ્પષ્ટ સમૂહની સભ્યપદની ડિગ્રી કહેવાય છે. અસ્પષ્ટ સમૂહનું વાહક એ સબસેટ છે ÎX, તે તત્વો સમાવે છે xÎX, જેના માટે સભ્યપદ કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં વધુ.

ઉદાહરણ.દો એક્સ- ઘણા કુદરતી સંખ્યાઓ X=(1,2,3, ...,x મહત્તમ ), ઉત્પાદનની કિંમત નક્કી કરવાનો હેતુ. અસ્પષ્ટ સબસેટ "નાની કિંમત" નીચેના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

અસ્પષ્ટ સબસેટ "નાની કિંમત" સાથેના ભાવ મૂલ્યોનું જોડાણ આકૃતિ 2.4 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

જો આપણે સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ એક્સકેવી રીતે સતત સમૂહકુદરતી સંખ્યાઓ, તો પછી અસ્પષ્ટ સબસેટ "નાની કિંમત" સાથે સંબંધિત કિંમત મૂલ્યો સતત કાર્યનું સ્વરૂપ ધરાવે છે, જેમ કે ફિગ 2.5 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. ચાલો ગુણધર્મો જોઈએ અસ્પષ્ટ સેટ.

અસ્પષ્ટ સમૂહની ઊંચાઈ (ઊંચાઈ - hgt): .

સાથે અસ્પષ્ટ સેટ hgtA=1સામાન્ય કહેવાય છે, અને ક્યારે hgtA<1 - અસાધારણ. કોર (કોર, કર્નલ, ન્યુક્લિયસ) અથવા અસ્પષ્ટ સમૂહનું કેન્દ્ર: કોર =(xÎX/m A (x)=1). ફઝી સેટનો ફાઉન્ડેશન (સપોર્ટ – supp): supp =(xÎX/m A (x)>1). અસ્પષ્ટ સમૂહનો ક્રોસઓવર બિંદુ એ સંગ્રહ છે કોર (xÎX/m A (x)=0.5). સ્તર a, અથવા a- અસ્પષ્ટ સમૂહનો કાપો (વિભાગ): a=(xÎX/m A (x)³a). a- અસ્પષ્ટ સમૂહનો કટ પણ આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: a-કાપો. કડક a- એક અસ્પષ્ટ સમૂહ કાપો: a=(xÎX/m A (x)>a). બહિર્મુખ અસ્પષ્ટ સમૂહ: "x 1 ,x 2 ,x 3 ОX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)).જો અસમાનતા રહેતી નથી, તો અસ્પષ્ટ સમૂહને બિન-બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે. ફિગ માં. આકૃતિ 2.6 ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે.

અલગ દૃશ્યઅસ્પષ્ટ સમૂહ એજો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો ફઝી નંબર (ફઝી સિંગલટન) છે: એબહિર્મુખ છે, ઊંચાઈ સામાન્ય છે ( hgt A=1), m A (x)છે ભાગરૂપે સતત કાર્ય, કોર અથવા સમૂહનું કેન્દ્ર એ (કોર એ) એક બિંદુ ધરાવે છે. જોડાણનું ઉદાહરણ xઅસ્પષ્ટ સંખ્યા "આશરે 5" ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 2.7.

અન્ય પ્રકારનો ફઝી સેટ એ ફઝી ઇન્ટરવલના રૂપમાં કેટલાક ચલોનું સ્પષ્ટીકરણ છે. વ્યાખ્યા જાણીતી છે.

અસ્પષ્ટ અંતરાલ એ બહિર્મુખ અસ્પષ્ટ જથ્થો છે એ, જેનું સભ્યપદ કાર્ય અર્ધ-અંતર્મુખ છે, જેથી

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

પછી ફઝી નંબર એ કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ અને સિંગલ મોડલ મૂલ્ય સાથેનો ઉપલા અર્ધ-સતત ફઝી અંતરાલ છે. અસ્પષ્ટ અંતરાલના સ્વરૂપમાં સમસ્યાના પરિમાણોનો ઉલ્લેખ કરવો એ અચોક્કસ જથ્થાને ઔપચારિક બનાવવા માટે ખૂબ અનુકૂળ સ્વરૂપ છે. સામાન્ય અંતરાલ ઘણીવાર અસંતોષકારક રજૂઆત હોય છે કારણ કે... તેની સીમાઓ નિશ્ચિત હોવી જોઈએ. અંદાજો વધુ પડતો અંદાજ અથવા ઓછો અંદાજ હોઈ શકે છે, જે ગણતરીના પરિણામો પર શંકા પેદા કરશે. અસ્પષ્ટ અંતરાલના રૂપમાં કાર્યના પરિમાણોને સેટ કરવાથી વધુ પડતો અંદાજ અને ઓછો અંદાજ કરવામાં આવશે, અને વાહક ( આધાર સમૂહઅસ્પષ્ટ અંતરાલમાંથી ) પસંદ કરવામાં આવશે જેથી કર્નલ સૌથી વધુ બુદ્ધિગમ્ય મૂલ્યો ધરાવે છે અને તેની ખાતરી આપવામાં આવશે કે પ્રશ્નમાંનું પરિમાણ જરૂરી મર્યાદામાં છે.

અસ્પષ્ટ અંતરાલોની વ્યાખ્યા નિષ્ણાતો દ્વારા નીચે મુજબ કરી શકાય છે. અસ્પષ્ટ અંતરાલ ચાર પરિમાણો દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે M=() (જુઓ. ફિગ. 2.8), જ્યાં અને અનુક્રમે નીચલા અને ઉપલા છે મોડલ મૂલ્યોઅસ્પષ્ટ અંતરાલ, અને aઅને bડાબી અને જમણી અસ્પષ્ટતા ગુણાંક રજૂ કરે છે. અસ્પષ્ટ અંતરાલ સેટ કરવાનું નીચેની રીતે કરી શકાય છે.

વિકલ્પ 1. અંતરાલના નીચલા અને ઉપલા મોડલ મૂલ્યો સમાન છે, અને a અને b શૂન્ય સમાન છે. x નું મૂલ્ય અનિશ્ચિતતા સાથે નક્કી થાય છે શૂન્ય બરાબર. સેટ X પર ફઝી ઇનપુટ વેરીએબલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, અમે ઔપચારિક રીતે ફઝી ઇન્ટરવલ =(x min =x, x m ax =x,0,0) વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જ્યાં x imin એ નીચું મોડલ મૂલ્ય છે, અને x m ax એ ઉપલું મોડલ છે મૂલ્ય

X ના મૂલ્યોના સમૂહ પર x ની સ્પષ્ટ સોંપણી, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 2.9 એ અસ્પષ્ટ અંતરાલનો ઉલ્લેખ કરવાનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, અને m A (x) એ અંતરાલમાં સભ્યપદની ડિગ્રીનું મૂલ્ય છે.

વિકલ્પ 2. સોંપણી xશૂન્ય સિવાયની અનિશ્ચિતતા સાથે નક્કી થાય છે. એક ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 2.10. અસ્પષ્ટ અંતરાલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે =(x મિનિટ , x m અક્ષ =x મિનિટ ,0,b),તે અંતરાલના ઉપલા અને નીચલા મોડલ મૂલ્યો એકરૂપ થાય છે.

ચોખા. 2.9 ફિગ. 2.10

વિકલ્પ 3. સોંપણી xઅંતરાલમાંથી મેળવી શકાય છે [A,B]. એક ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 2.11. સભ્યપદની ડિગ્રી એક સમાન છે, અને =(A=x મિનિટ ,B=x m કુહાડી ,0.0), ક્યાં એ- નીચું મોડલ મૂલ્ય (ઇનપુટ વેરીએબલનું ન્યૂનતમ સંભવિત મૂલ્ય x), IN- ઉપલા મોડલ મૂલ્ય (ઇનપુટ ચલનું મહત્તમ મૂલ્ય x.

વિકલ્પ 4. ઇનપુટ ચલનું મૂલ્ય x iમૂલ્યોની શ્રેણીમાંથી મેળવી શકાય છે [A,C] [A,B] (A£B£C).ઔપચારિક રીતે, અસ્પષ્ટ અંતરાલને = તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (A=x મિનિટ ,B=x મહત્તમ ,0,b). કાર્યનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 2.12, જ્યાં b=N-E.

વિકલ્પ 5. ઇનપુટ ચલનું મૂલ્ય q iમૂલ્યોની શ્રેણીના નિષ્ણાતો દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે [A,D]એવી રીતે કે અંતરાલમાં [B,C]રસીદની અનિશ્ચિતતા એક સમાન છે (A£B£C£D).ઔપચારિક રીતે, આ કિસ્સામાં અસ્પષ્ટ અંતરાલ = તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (B=x મિનિટ ,C=x મહત્તમ ,a,b). અસ્પષ્ટ અંતરાલનો ઉલ્લેખ કરવાનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 2.13, જ્યાં a=B-A, b=D-C.

ચાલો અસ્પષ્ટ અંતરાલો પરની કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચોખા. 2.11 ફિગ. 2.12

અસ્પષ્ટ અંતરાલો માટે ફઝી સમેશન ઓપરેશન નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બે અસ્પષ્ટ અંતરાલોનો સરવાળો M i =() અને M j =(),ફોર્મમાં લખેલ છે એમ આઇ એમ જે, એક અસ્પષ્ટ અંતરાલ પણ છે એમ આઇ M j =, ક્યાં a=a i + a j ; b=b i + b j ;, . સરવાળો nઅસ્પષ્ટ અંતરાલો સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

.

જો, એ , બહિર્મુખ અંતરાલો ક્યાં અને છે, પછી , અને અંતરાલોનો સમૂહ છે, જે અગાઉના સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

અસ્પષ્ટ અંતરાલોના તફાવતનું સંચાલન નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બે અસ્પષ્ટ અંતરાલોનો અસ્પષ્ટ તફાવત એ ટ્રેપેઝોઇડલ અંતરાલ છે જેના માટે c=|a-h|, d=|b-l|,, , જ્યાં છે, અનુક્રમે, અસ્પષ્ટ અંતરાલોનાં નીચલા મોડલ મૂલ્યો, અને અસ્પષ્ટ અંતરાલોનાં ઉપલા મોડલ મૂલ્યો છે.

નિર્ણય લેવો એ પરિણામી અસ્પષ્ટ અંતરાલની તુલના નિષ્ણાતો દ્વારા અથવા વાસ્તવિક સંખ્યા સાથેના મોડેલિંગ ડેટા અનુસાર કરવામાં આવે છે. અસ્પષ્ટ અંતરાલ અને વાસ્તવિક સંખ્યાની તુલના કરવાની કામગીરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યા એતેને અંતરાલ તરીકે રજૂ કરો (A,A,0,0). ઓછી અથવા ની વ્યાખ્યા વધુ મૂલ્યવાસ્તવિક સંખ્યાના સંદર્ભમાં અસ્પષ્ટ અંતરાલ એસૂત્રો અનુસાર ઉત્પાદિત:

એ, જો |A-()|£|A-()|અને A£;

એ, જો |A-()|³|A-()|અને A³ .

અસ્પષ્ટ અંતરાલો માટે ઉત્પાદન અને વિભાજનની કામગીરી છે. બે અસ્પષ્ટ અંતરાલોનું ઉત્પાદન ટ્રેપેઝોઇડલ અંતરાલના સ્વરૂપમાં નક્કી કરવામાં આવે છે, જેનાં પરિમાણો સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

c=ah, d=bl, ; .

સંખ્યાઓના ચિહ્નોના આધારે બે અસ્પષ્ટ અંતરાલોનો ગુણાકાર કરવા માટેના આ નિયમો , , , ફોર્મ લે છે:

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તો ;

જો , તે .

ચાલો વિભાજનની કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ. બે અસ્પષ્ટ અંતરાલોનું વિભાજન ટ્રેપેઝોઇડલ અંતરાલ આપશે, જેનાં પરિમાણો નીચે મુજબ નક્કી કરવામાં આવે છે:

c=ah, d=bl, ; ,

અને સંખ્યાઓના ચિહ્નોના આધારે , , , આ નિયમબે અસ્પષ્ટ અંતરાલોને વિભાજીત કરવા માટે આના જેવો દેખાશે:

જો , તો ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો, તો પછી ;

જો , તે .

સભ્યપદ કાર્યો

સભ્યપદ કાર્યો એક વ્યક્તિલક્ષી ખ્યાલ છે, કારણ કે તેઓ લોકો (નિષ્ણાતો) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને દરેક વ્યક્તિ પોતાનું મૂલ્યાંકન આપે છે. છે વિવિધ પદ્ધતિઓસભ્યપદ કાર્યોની સોંપણી.

અમે ધારીશું કે સભ્યપદ કાર્ય એ અસ્પષ્ટતાનું અતુલ્ય વ્યક્તિલક્ષી માપ છે અને તે સંભાવના માપથી અલગ છે, એટલે કે. સભ્યપદની ડિગ્રી mA(x)તત્વ xઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ તત્વ કેટલું છે તેનું વ્યક્તિલક્ષી માપ છે xÎXએક ખ્યાલને અનુરૂપ છે જેનો અર્થ અસ્પષ્ટ સમૂહ દ્વારા ઔપચારિક છે.

એલિમેન્ટ મેચ લેવલ xખ્યાલ, એક અસ્પષ્ટ સમૂહ દ્વારા ઔપચારિક, નિષ્ણાતોના સર્વેક્ષણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને વ્યક્તિલક્ષી માપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

સેટ મેમ્બરશિપ ફંક્શન્સ બનાવવા માટે પદ્ધતિઓના બે વર્ગો છે: પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ.

2.2.1. સીધી બાંધકામ પદ્ધતિઓ.સભ્યપદના કાર્યોના નિર્માણ માટેની સીધી પદ્ધતિઓ તે પદ્ધતિઓ છે જેમાં તત્વોના સભ્યપદની ડિગ્રી હોય છે xસેટ એક્સસીધા એક નિષ્ણાત દ્વારા અથવા નિષ્ણાતોની ટીમ દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે. પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિઓને નિષ્ણાતોની સંખ્યાના આધારે એક નિષ્ણાત માટે અને નિષ્ણાતોના જૂથ માટે સીધી પદ્ધતિઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

એક નિષ્ણાત માટે સીધી પદ્ધતિ એ છે કે દરેક તત્વ માટે નિષ્ણાત xÎXમેળ ચોક્કસ ડિગ્રીએસેસરીઝ mA(x), જે તેમના મતે, શ્રેષ્ઠ શક્ય રીતેસમૂહના સિમેન્ટીક અર્થઘટન સાથે સુસંગત છે.

અરજી સરળ પદ્ધતિઓનિષ્ણાતોના જૂથ માટે તમને બધા નિષ્ણાતોના અભિપ્રાયોને એકીકૃત કરવાની અને સમૂહમાંથી તત્વો વચ્ચે પત્રવ્યવહારનો ગ્રાફ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. એક્સ. સભ્યપદ કાર્યની રચના માટે નીચેની પ્રક્રિયા શક્ય છે mA(x).

નિષ્ણાતો કે જેઓનું જૂથ બનાવે છે mતત્વની માલિકી વિશે પ્રશ્ન પૂછતો માણસ xÎXઅસ્પષ્ટ સમૂહ. સમાવેશ નિષ્ણાતો ભાગ દો n 1વ્યક્તિએ પ્રશ્નનો હકારાત્મક જવાબ આપ્યો, અને નિષ્ણાતોનો બીજો ભાગ n 2 =m-n 1નકારાત્મક જવાબ આપ્યો. પછી નક્કી થાય છે કે m A (x)=n 1/m.

વધુ માં સામાન્ય કેસનિષ્ણાતના મૂલ્યાંકનની સરખામણી વેઇટીંગ ગુણાંક સાથે કરવામાં આવે છે a i ઓ. મતભેદ a iનિષ્ણાતોની યોગ્યતાની ડિગ્રી દર્શાવે છે. અસ્પષ્ટ સમૂહમાં x તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવશે

જ્યાં p i =1જો જવાબ હકારાત્મક છે અને p i =0જો નિષ્ણાતનો જવાબ નકારાત્મક છે.

સીધી પદ્ધતિઓના ગેરફાયદા એ તેમની સહજ વિષયવસ્તુ છે કારણ કે ભૂલો કરવી એ માનવ સ્વભાવ છે.

2.2.2. સભ્યપદ કાર્યોના નિર્માણ માટે પરોક્ષ પદ્ધતિઓ.સભ્યપદના કાર્યોના નિર્માણ માટેની પરોક્ષ પદ્ધતિઓ એ એવી પદ્ધતિઓ છે જેમાં પાર્ટીશનને કારણે વ્યક્તિલક્ષી પ્રભાવમાં ઘટાડો થાય છે. સામાન્ય કાર્યસભ્યપદની ડિગ્રી નક્કી કરવી mA(x), xÎXસંખ્યાબંધ સરળ પેટા કાર્યોમાં. પરોક્ષ પદ્ધતિઓ પૈકીની એક જોડી સરખામણીની પદ્ધતિ છે. ચાલો તેના સારને ધ્યાનમાં લઈએ.

નિષ્ણાતોના જવાબોના આધારે, જોડી પ્રમાણે સરખામણીનું મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે છે M=½½m ij ½½, જેમાં તત્વો m ijતત્વોના સભ્યપદની તીવ્રતાનો અંદાજ રજૂ કરે છે x i ОXસબસેટ વિરુદ્ધ તત્વો x j ОX. સભ્યપદ કાર્ય m a (x)મેટ્રિક્સ પરથી નિર્ધારિત એમ. ચાલો ધારીએ કે સભ્યપદ કાર્યની કિંમતો જાણીતી છે mA(x)બધા મૂલ્યો માટે xÎХ. દો m A (x) = r i ,પછી જોડી પ્રમાણે સરખામણીઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે m ij =r i /r j. જો ગુણોત્તર ચોક્કસ હોય, તો ગુણોત્તર છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ MR=n*R, ક્યાં R=(r 1,r 2,...,r n), n- મેટ્રિક્સનું eigenvalue એમ, જેમાંથી વેક્ટરનું પુનઃનિર્માણ થાય છે આરપ્રયોગમૂલક વેક્ટરની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા આર eigenvalue સમસ્યાનો ઉકેલ છે M*R=l મહત્તમ, ક્યાં lmax- સૌથી યોગ્ય અર્થ. સમસ્યા વેક્ટર શોધવામાં આવે છે આર, જે સમીકરણને સંતોષે છે

M*R=l મહત્તમ *R. (2.1)

આ સમીકરણ છે એકમાત્ર ઉકેલ. સંકલન મૂલ્યો eigenvector, મહત્તમ અનુરૂપ eigenvalue lmax, તેમના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત, સભ્યપદની જરૂરી ડિગ્રી હશે. વિભાવનાઓ કે જે નિષ્ણાતોને પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવે છે, તેમજ આ વિભાવનાઓનો પત્રવ્યવહાર જથ્થામાં m ij, કોષ્ટક 2.1 માં આપેલ છે.

કોષ્ટક 2.1

નિષ્ણાતો તેમના મતે, મૂલ્ય કેટલું છે તે અંગે સર્વેક્ષણ કરવામાં આવે છે m A (x i)મૂલ્ય કરતાં વધી જાય છે m A (x i), એટલે કે કેટલું તત્વ x iતત્વ કરતાં અસ્પષ્ટ સમૂહ દ્વારા વર્ણવેલ ખ્યાલ માટે વધુ નોંધપાત્ર x જે. મોજણી તમને જોડી પ્રમાણે સરખામણીનું મેટ્રિક્સ બનાવવાની મંજૂરી આપશે, જેમાં ફોર્મ છે

તત્વ વ્યાખ્યા r i ORનીચે પ્રમાણે થાય છે. દરેકનો સરવાળો jમી મેટ્રિક્સ કૉલમ એમ.મેટ્રિક્સ બાંધવાથી એમતે તેને અનુસરે છે તે તેને અનુસરે છે r i =1/k i .

બધા જથ્થા નક્કી કર્યા k જ, આપણે વેક્ટર તત્વોના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ આર. એ હકીકત પર આધારિત છે કે મેટ્રિક્સ એમ, એક નિયમ તરીકે, અચોક્કસ રીતે બાંધવામાં આવે છે, મળેલ વેક્ટર આરમાં પ્રારંભિક તરીકે વપરાય છે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિસમીકરણના ઉકેલો (2.1).

2.2.3. સભ્યપદ કાર્યોના પ્રકાર.તે ઉપર નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યું હતું કે સભ્યપદ કાર્યોમાં ટ્રેપેઝોઇડલ સ્વરૂપ હોઈ શકે છે (ફિગ. 2.7 જુઓ), ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય(જુઓ ફિગ. 2.7). સભ્યપદના કાર્યોમાં ઘંટ આકારનું સ્વરૂપ પણ હોઈ શકે છે (ફિગ. 2.14).

ઘંટડી આકારના ફોર્મ માટે, સભ્યપદ કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

,

જ્યાં m- આપેલ નંબર, ડી- અસ્પષ્ટતાનું સૂચક.

ટ્રેપેઝોઇડલ દૃશ્ય માટે, સભ્યપદ કાર્ય અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: m A(x)=min(max(a-k|x-b|;0);1),જ્યાં a, b - આપેલ નંબરો, k- અસ્પષ્ટતાનું સૂચક.

અસ્પષ્ટ નિયંત્રણ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, અન્ય કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1, k>1.

એક-પરિમાણીય સભ્યપદ કાર્ય સાથે અસ્પષ્ટ સેટ mA(x)સામાન્ય રીતે કહેવાય છે પ્રથમ પ્રકારનો અસ્પષ્ટ સમૂહ.

છે બીજા પ્રકારના અસ્પષ્ટ સેટ, જેના માટે સભ્યપદ કાર્ય છે: .

દ્વિ-પરિમાણીય અસ્પષ્ટ સમૂહ એનીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)), ક્યાં A 1 ´ A 2- કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન, m A (x 1 ,x 2)=min(a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0));- દ્વિ-પરિમાણીય ટ્રેપેઝોઇડલ સભ્યપદ કાર્ય, જેમાં: a, b, c - આપેલ નંબરો, k 1, k 2- અસ્પષ્ટતાના સૂચકાંકો. દ્વિ-પરિમાણીય ટ્રેપેઝોઇડલ સભ્યપદ કાર્યને સ્પષ્ટ કરવાનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 2.15.

2D કાર્યઘંટડી આકારની સહાયક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં m 1, m 2- આપેલ નંબરો, ડી 1, ડી 2- અસ્પષ્ટતાના સૂચકાંકો.

ફઝી લોજિકટૂલબોક્સ 11 બિલ્ટ-ઇન સહાયક કાર્યોનો સમાવેશ કરે છે જે નીચેના મૂળભૂત કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે:

• piecewise રેખીય;
• ગૌસીયન વિતરણ;
• સિગ્મોઇડ વળાંક;
• ચતુર્ભુજ અને ઘન વણાંકો.

સગવડ માટે, તમામ બિલ્ટ-ઇન મેમ્બરશિપ ફંક્શન્સના નામ આમાં સમાપ્ત થાય છે mfસભ્યપદ કાર્યને નીચે મુજબ કહેવામાં આવે છે:

namemf(x, params),

જ્યાં namemf- સભ્યપદ કાર્યનું નામ;
x- વેક્ટર જેના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સભ્યપદ કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે;
પરમ- સભ્યપદ કાર્યના પરિમાણોનો વેક્ટર.

સૌથી સરળ સભ્યપદ કાર્યો ત્રિકોણાકાર છે ( trimf) અને ટ્રેપેઝોઇડલ ( trapmf) ની રચના પીસવાઈઝ રેખીય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને થાય છે. ટ્રેપેઝોઇડલ સદસ્યતા કાર્ય એ ત્રિકોણાકારનું સામાન્યીકરણ છે; તે તમને અંતરાલના સ્વરૂપમાં અસ્પષ્ટ સમૂહના મુખ્ય ભાગને સ્પષ્ટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ટ્રેપેઝોઇડલ સભ્યપદ કાર્યના કિસ્સામાં, નીચેના અનુકૂળ અર્થઘટન શક્ય છે: અસ્પષ્ટ સમૂહનું કર્નલ એક આશાવાદી અંદાજ છે; અસ્પષ્ટ સમૂહનું વાહક એ નિરાશાવાદી આકારણી છે.

બે સભ્યપદ કાર્યો - સપ્રમાણ ગૌસીયન ( gaussmf) અને બે બાજુવાળા ગૌસીયન ( gaussmf) ગૌસીયન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને રચાય છે. gaussmfકાર્ય gbellmfતમને અસમપ્રમાણ સભ્યપદ કાર્યોનો ઉલ્લેખ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્યકૃત ઘંટ આકારનું સભ્યપદ કાર્ય () આકારમાં ગૌસીયન જેવા જ છે. આ સભ્યપદ કાર્યોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે

અસ્પષ્ટ સિસ્ટમો , કારણ કે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં તેઓ સરળ છે અને બિન-શૂન્ય મૂલ્યો લે છે.,સભ્યપદ કાર્યો, sigmf dsigmf

psigmf સિગ્મોઇડ વળાંકના ઉપયોગ પર આધારિત છે. આ ફંક્શન્સ તમને મેમ્બરશિપ ફંક્શન્સ જનરેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે જેના મૂલ્યો ચોક્કસ દલીલ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને + (-) 1 ની બરાબર હોય છે. આવા કાર્યો "ઉચ્ચ" અથવા "નીચા" પ્રકારના ભાષાકીય શબ્દોનો ઉલ્લેખ કરવા માટે અનુકૂળ છે.અને smf, ફંક્શન જનરેટ કરતી વખતે બહુપદી અંદાજનો ઉપયોગ થાય છે zmf, pimf , કારણ કે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં તેઓ સરળ છે અને બિન-શૂન્ય મૂલ્યો લે છે.,ગ્રાફિક છબીઓ, sigmfજે કાર્યો સમાન છે

dsigmf , અનુક્રમે.બિલ્ટ-ઇન સભ્યપદ કાર્યો વિશેની મૂળભૂત માહિતીનો સારાંશ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યો છે. 6.1. ફિગ માં. 6.1 ડેમો સ્ક્રિપ્ટનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ સભ્યપદ કાર્યોની ગ્રાફિકલ રજૂઆતો દર્શાવે છે

mfdemo . આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બિલ્ટ-ઇન સભ્યપદ કાર્યો તમને વિવિધ પ્રકારના અસ્પષ્ટ સેટનો ઉલ્લેખ કરવાની મંજૂરી આપે છે. IN ફઝી લોજિક ટૂલબોક્સવપરાશકર્તા માટે તે બનાવવું શક્ય છે mપોતાનું કાર્ય mએસેસરીઝ આ કરવા માટે તમારે બનાવવાની જરૂર છે :

-બે ઇનપુટ દલીલો ધરાવતું ફંક્શન - કોઓર્ડિનેટ્સ માટે એક વેક્ટર કે જેમાં સભ્યપદ કાર્યના મૂલ્યો અને સભ્યપદ કાર્યના પરિમાણોના વેક્ટરની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ફંક્શનનું આઉટપુટ દલીલ સભ્યપદની ડિગ્રીનું વેક્ટર હોવું આવશ્યક છે. નીચે છે
-કાર્ય કે જે ઘંટડીના આકારના સભ્યપદ કાર્યને અમલમાં મૂકે છે
ફંક્શન mu=bellmf(x, params)
%bellmf - બેલ સભ્યપદ કાર્ય;
%x - ઇનપુટ વેક્ટર;
% params(1) - એકાગ્રતા ગુણાંક (>0);
% params(2) - મહત્તમનું સંકલન.
a=params(1);

b=params(2);

mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

અસ્પષ્ટ સેટ- મુખ્ય ખ્યાલઅસ્પષ્ટ તર્ક. દો ઇ- સાર્વત્રિક સમૂહ, એક્સ- તત્વ ઇ,આર એ અમુક મિલકત છે. નિયમિત (ચપળ) સબસેટ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇ,જેના તત્વો મિલકત R ને સંતુષ્ટ કરે છે તેને ઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

A = ( μએ(x) / x},

જ્યાં μ A (x) —લાક્ષણિક કાર્ય, જો મૂલ્ય 1 લેવું એક્સમિલકત R, અને અન્યથા 0 ને સંતોષે છે.

ફઝી સબસેટથી અલગ છે નિયમિત વિષયો, જે તત્વો માટે છે એક્સથી ઇમિલકત R સંબંધિત કોઈ સ્પષ્ટ હા-ના જવાબ નથી. આ સંદર્ભમાં, અસ્પષ્ટ ઉપગણ એસાર્વત્રિક સમૂહ ઇઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

A = ( μએ(x) / x},

જ્યાં μ A (x) — લાક્ષણિક સભ્યપદ કાર્ય(અથવા માત્ર સભ્યપદ કાર્ય), અમુક સંપૂર્ણપણે ઓર્ડર કરેલ સેટમાં મૂલ્યો લેવા એમ(ઉદાહરણ તરીકે, એમ = ).

સભ્યપદ કાર્ય તત્વની સભ્યપદની ડિગ્રી (અથવા સ્તર) સૂચવે છે એક્સસબસેટ એ.ઘણા એમએક્સેસરીઝનો સમૂહ કહેવાય છે. જો એમ= (0, 1), પછી ફઝી સબસેટ એસામાન્ય અથવા ચપળ સમૂહ તરીકે ગણી શકાય.

અસ્પષ્ટ સમૂહ લખવાના ઉદાહરણો

દો ઇ = {x 1 , x 2 , x z,x 4 , x 5 ), એમ = ; એએક અસ્પષ્ટ સમૂહ છે જેના માટે μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( એક્સ 3) = 1; μ A (x 4) = 0.5; μ A ( x 5)= 0,9.

પછી એફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

A ={0,3/x 1 ; 0/એક્સ 2 ; 1/એક્સ 3 ; 0,5/એક્સ 4 ; 0,9/એક્સ 5 } ,

અથવા

એ={0,3/x 1 +0/એક્સ 2 +1/એક્સ 3 +0,5/એક્સ 4 +0,9/એક્સ 5 },

અથવા

ટિપ્પણી. અહીં “+” ચિહ્ન ઉમેરાની ક્રિયાને સૂચિત કરતું નથી, પરંતુ યુનિયનનો અર્થ ધરાવે છે.

અસ્પષ્ટ સમૂહોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ

દો એમ= અને એ— યુનિવર્સલ સેટમાંથી તત્વો સાથે અસ્પષ્ટ સેટ ઇઅને ઘણી એક્સેસરીઝ એમ.

જથ્થો કહેવાય છે ઊંચાઈઅસ્પષ્ટ સમૂહ એ.અસ્પષ્ટ સેટ તે ઠીક છેજો તેની ઊંચાઈ 1 છે, એટલે કે. ઉપલી મર્યાદાતેનું સભ્યપદ કાર્ય 1 (= 1) છે. મુ< 1нечеткое множество называется અસાધારણ

અસ્પષ્ટ સેટ ખાલીજો ∀ xϵ ઇ μ એ ( x) = 0. બિન-ખાલી સબનોર્મલ સેટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય કરી શકાય છે

અસ્પષ્ટ સેટ એકરૂપજો μ એ ( x) = 1 માત્ર એક પર એક્સથી ઇ.

. વાહકઅસ્પષ્ટ સમૂહ એમિલકત સાથેનો એક સામાન્ય સબસેટ છે μ એ ( x)>0, એટલે કે વાહક એ = {x/x ϵ E, μ એ ( x)>0}.

તત્વો xϵ ઇ, જેના માટે μ એ ( x) = 0,5 , કહેવાય છે સંક્રમણ બિંદુઓસેટ એ.

અસ્પષ્ટ સેટના ઉદાહરણો

1. ચાલો ઇ = {0, 1, 2, . . ., 10}, એમ =. અસ્પષ્ટ સેટ"કેટલાક" ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

“કેટલાક” = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; તેના લક્ષણો:ઊંચાઈ = 1, વાહક = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, સંક્રમણ બિંદુઓ — {3, 8}.

2. ચાલો ઇ = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). અસ્પષ્ટ સમૂહ "નાનો" વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

3. ચાલો ઇ= (1, 2, 3,..., 100) અને "વય" ખ્યાલને અનુરૂપ છે, પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ "યુવાન" નો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

યુનિવર્સલ સેટ પર ફઝી સેટ “યંગ” ઇ"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) સભ્યપદ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે μ યુવાન ( x) ચાલુ ઇ =(1, 2, 3, ..., 100) (ઉંમર), સંબંધમાં કહેવાય છે ઇ"સુસંગતતા કાર્ય, સાથે:

જ્યાં એક્સ- સિડોરોવની ઉંમર.

4. ચાલો ઇ= (ઝાપોરોઝેટ્સ, ઝિગુલી, મર્સિડીઝ,...) - કાર બ્રાન્ડનો સમૂહ, અને ઇ"= એ સાર્વત્રિક સમૂહ છે “કિંમત”, પછી ચાલુ ઇ"અમે પ્રકારના અસ્પષ્ટ સમૂહોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:

ચોખા. 1.1. સભ્યપદ કાર્યોના ઉદાહરણો

“ગરીબ માટે”, “મધ્યમ વર્ગ માટે”, “પ્રતિષ્ઠિત”, ફિગ જેવા જોડાણ કાર્યો સાથે. 1.1.

આ કાર્યો કર્યા અને તેમાંથી કારની કિંમત જાણવી ઇવી આ ક્ષણેસમય, અમે તેના દ્વારા નક્કી કરીશું ઇ"સમાન નામો સાથે અસ્પષ્ટ સેટ.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અસ્પષ્ટ સમૂહ "ગરીબ માટે", સાર્વત્રિક સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત ઇ =(ZAPOROZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે દેખાય છે. 1.2.

ચોખા. 1.2. અસ્પષ્ટ સમૂહનો ઉલ્લેખ કરવાનું ઉદાહરણ

એ જ રીતે, તમે "હાઈ-સ્પીડ", "મધ્યમ", "ધીમી ગતિ", વગેરેને અસ્પષ્ટ સેટ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો.

5. ચાલો ઇ- પૂર્ણાંકોનો સમૂહ:

ઇ= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

પછી સંખ્યાઓનો ફઝી સબસેટ, અનુસાર સંપૂર્ણ મૂલ્યશૂન્યની નજીક વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

અસ્પષ્ટ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ પર

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો વપરાય છે સીધાપદ્ધતિઓ જ્યારે નિષ્ણાત કાં તો દરેક માટે સરળ રીતે સેટ કરે છે એક્સ ϵ ઇઅર્થ μ A (x),અથવા સુસંગતતા કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એક નિયમ તરીકે, મેમ્બરશિપ ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવા માટેની સીધી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ માપી શકાય તેવા ખ્યાલો જેમ કે ઝડપ, સમય, અંતર, દબાણ, તાપમાન વગેરે માટે અથવા જ્યારે ધ્રુવીય મૂલ્યોને અલગ પાડવામાં આવે છે ત્યારે થાય છે.

ઘણી સમસ્યાઓમાં, જ્યારે કોઈ ઑબ્જેક્ટને લાક્ષણિકતા આપતી વખતે, લક્ષણોનો સમૂહ પસંદ કરવાનું શક્ય છે અને તેમાંથી દરેક માટે સભ્યપદ કાર્ય, 0 અથવા 1 ના મૂલ્યોને અનુરૂપ ધ્રુવીય મૂલ્યો નક્કી કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચહેરાની ઓળખના કાર્યમાં, આપણે કોષ્ટકમાં આપેલા ભીંગડાને અલગ કરી શકીએ છીએ. 1.1.

કોષ્ટક 1.1. ચહેરા ઓળખવાના કાર્યમાં ભીંગડા

ચોક્કસ વ્યક્તિ માટેએનિષ્ણાત, આપેલ સ્કેલના આધારે, સેટ કરે છેμ એ(x)ϵ, વેક્ટર સભ્યપદ કાર્યની રચના (μ એ(x 1) , μ એ(x 2),…, μ એ(x 9)}.

સીધી પદ્ધતિઓ સાથે, જૂથ સીધી પદ્ધતિઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, નિષ્ણાતોના જૂથને કોઈ ચોક્કસ વ્યક્તિ સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે અને દરેક વ્યક્તિએ બેમાંથી એક જવાબ આપવો આવશ્યક છે: "આ વ્યક્તિ ટાલ છે" અથવા "આ વ્યક્તિ ટાલ નથી", પછી હકારાત્મક જવાબોની સંખ્યા વિભાજિત થાય છે કુલ સંખ્યાનિષ્ણાતો, અર્થ આપે છે μ ટાલ ( આ વ્યક્તિની). (આ ઉદાહરણમાં, તમે સુસંગતતા કાર્ય દ્વારા કાર્ય કરી શકો છો, પરંતુ તે પછી તમારે નિષ્ણાતને રજૂ કરાયેલ દરેક વ્યક્તિના માથા પરના વાળની ​​સંખ્યાની ગણતરી કરવી પડશે.)

પરોક્ષસદસ્યતા કાર્યના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં કોઈ પ્રાથમિક માપી શકાય તેવા ગુણધર્મો નથી જેના દ્વારા અમને રસનો અસ્પષ્ટ સમૂહ નક્કી કરવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, આ જોડીમાં સરખામણી કરવાની પદ્ધતિઓ છે. જો સભ્યપદ કાર્યોના મૂલ્યો અમને જાણીતા હતા, ઉદાહરણ તરીકે, μ એ(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, તો પછી જોડી મુજબની તુલના સંબંધોના મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે એ= ( a ij ), ક્યાં એક ij= ωi/ ω જ(વિભાગ કામગીરી).

વ્યવહારમાં, નિષ્ણાત પોતે મેટ્રિક્સ બનાવે છે એ, આ કિસ્સામાં એવું માનવામાં આવે છે કે કર્ણ તત્વો 1 ની બરાબર છે, અને એવા તત્વો માટે કે જે કર્ણ a ij = 1/a ij ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, એટલે કે. જો એક તત્વ મૂલ્યાંકન કરે છે α બીજા કરતા ગણો મજબૂત, તો પછી આ પ્રથમ કરતા 1/α ગણો વધુ મજબૂત હોવો જોઈએ. સામાન્ય કિસ્સામાં, સમસ્યા વેક્ટર શોધવામાં ઘટે છે ω જે ફોર્મના સમીકરણને સંતોષે છે ઓ= મહત્તમ ડબલ્યુ, જ્યાં λ max એ મેટ્રિક્સનું સૌથી મોટું ઇજનવેલ્યુ છે એ. મેટ્રિક્સ થી એબાંધકામ દ્વારા હકારાત્મક છે, આ સમસ્યાનો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને હકારાત્મક છે.

બે વધુ અભિગમો નોંધી શકાય છે:

• પ્રમાણભૂત સ્વરૂપોનો ઉપયોગપ્રાયોગિક ડેટા અનુસાર તેમના પરિમાણોની સ્પષ્ટતા સાથે સભ્યપદના કાર્યોને સ્પષ્ટ કરવા માટે વણાંકો ((L-R)-પ્રકારના સ્વરૂપમાં - નીચે જુઓ);
• સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝનો ઉપયોગસભ્યપદ મૂલ્યો તરીકે પ્રયોગ અનુસાર.

X એ સાર્વત્રિક (મૂળભૂત) સમૂહ છે, x એ Xનું તત્વ છે અને R અમુક મિલકત છે. સાર્વત્રિક સમૂહ X નો સામાન્ય (ચપળ) સબસેટ A, જેના તત્વો R ને સંતુષ્ટ કરે છે, તેને ઓર્ડર કરેલ જોડીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
A = μ A x / x, જ્યાં μ A x એક લાક્ષણિક કાર્ય છે જે મૂલ્ય 1 લે છે જો x ગુણધર્મ R ને સંતોષે છે, અને અન્યથા 0.

અસ્પષ્ટ સબસેટ નિયમિત સબસેટથી અલગ પડે છે જેમાં X ના તત્વો x માટે મિલકત R સંબંધિત કોઈ સ્પષ્ટ હા-ના જવાબ નથી. આ સંદર્ભમાં, સાર્વત્રિક સમૂહ X ના અસ્પષ્ટ સબસેટ A ને ક્રમાંકિત જોડીઓ A = μ A x / x , જ્યાં μ A x – તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિક સભ્યપદ કાર્ય(અથવા માત્ર સભ્યપદ કાર્ય), અમુક સંપૂર્ણ ક્રમાંકિત M = 0 સેટમાં મૂલ્યો લેતાં;

વાહક 1. સભ્યપદ કાર્ય સબસેટ A થી ઘટક xની સભ્યપદની ડિગ્રી (અથવા સ્તર) સૂચવે છે. M સમૂહને સભ્યપદ સમૂહ કહેવામાં આવે છે. જો M = 0 ;

1, પછી અસ્પષ્ટ સબસેટ A ને સામાન્ય અથવા ચપળ સમૂહ તરીકે ગણી શકાય. સભ્યપદની ડિગ્રી μ A x એ એક તત્વ x ∈ X ખ્યાલ સાથે કેટલું અનુરૂપ છે તેનું વ્યક્તિલક્ષી માપ છે, જેનો અર્થ અસ્પષ્ટ સમૂહ A દ્વારા ઔપચારિક છે. અસ્પષ્ટ સમૂહ A એ μ A x > 0 ગુણધર્મ સાથેના સાર્વત્રિક સમૂહ X નો સ્પષ્ટ સબસેટ S A છે, એટલે કે. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અસ્પષ્ટ સમૂહ Aનું વાહક એ સાર્વત્રિક સમૂહ X નો સબસેટ S A છે, જેના ઘટકો માટે સભ્યપદ કાર્ય μ A x > 0 શૂન્ય કરતા વધારે છે. કેટલીકવાર અસ્પષ્ટ સમૂહનો આધાર સપોર્ટ A દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.< x 2 < x 3 < … < x n .

જો અસ્પષ્ટ સમૂહ A નું વાહક એક અલગ સબસેટ S A હોય, તો n તત્વો ધરાવતા સાર્વત્રિક સમૂહ X ના અસ્પષ્ટ સબસેટ A ને યુનિયન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

મર્યાદિત સંખ્યા

ઉદાહરણ.સિંગલ-બિંદુ ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને μ A x / x સેટ કરે છે. આ સૂચવે છે કે તત્વો x i તેમના સૂચકાંકો અનુસાર ચડતા ક્રમમાં ક્રમાંકિત છે, એટલે કે.

A = 1 / 10 ;

0.9/11;

0.8 / 12 ; 0.7/13; 0.5 / 14 ;

0.3 / 15 ;

0.1 / 16 ; 0 / 17 ;... ; 0 / 40 A = 1 / 10 + 0.9 / 11 + 0.8 / 12 + 0.7 / 13 + 0.5 / 14 + 0.3 / 15 + 0.1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40,

જ્યાં સમીકરણ ચિહ્ન બિન-ઓપરેશન સૂચવે છે અંકગણિત ઉમેરો, પરંતુ ઘટકોને એક સમૂહમાં જોડીને. અસ્પષ્ટ સમૂહ A નું વાહક એક મર્યાદિત સબસેટ (અલગ વાહક) હશે:

S A = 10 ;

ઉદાહરણ. 11;

12; 13; 14;

15; 16.જો સાર્વત્રિક સમૂહ X એ સમૂહ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 10 થી 40 સુધી, એટલે કે. ઉત્પાદનની જાડાઈ કંઈપણ સ્વીકારી શકે છે શક્ય મૂલ્યોઆ મર્યાદાઓની અંદર, પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ A નું વાહક સેગમેન્ટ S A = 10 છે; 16.સ્વતંત્ર વાહક સાથેના અસ્પષ્ટ સમૂહને પ્લેન પર વ્યક્તિગત બિંદુઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, સતત વાહક સાથેના અસ્પષ્ટ સમૂહને વળાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે સ્વતંત્ર અને અનુરૂપ છે. સતત કાર્યોસાર્વત્રિક સમૂહ X (ફિગ. 2.1) પર વ્યાખ્યાયિત μ A x થી સંબંધિત. ફિગ.2.1. (a)-વિસ્કૃત અને (b)-સતત વાહકો સાથે અસ્પષ્ટ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યોચાલો X = 0; 1; 2;

ઉદાહરણ."ભાગોની ખૂબ ઓછી સંખ્યા" ની અસ્પષ્ટ ખ્યાલને મર્યાદિત અસ્પષ્ટ સમૂહ A = 1 / 0 + 0.9 / 1 + 0.8 / 2 + 0.7 / 3 + 0.5 / 4 + 0.1 / 5 + 0 / 6 + તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. … કાર્ડ ક્ષમતા (A) = 6 અને વાહક S A = 0 સાથે ;

ઉદાહરણ. 1;

2; ઊંચાઈ 3;

4; 5, જે મર્યાદિત ચપળ સમૂહ છે. "ભાગોની ખૂબ મોટી સંખ્યા" ની અસ્પષ્ટ ખ્યાલ A = 0 / 0 + … + 0.1 / 1 0 + 0.4 / 11 + 0.7 / 12 + 0.9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. + 1 / n + … , n ∈ N – અનંત ગણતરીપાત્ર આધાર S A ≡ N (કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ) સાથેનો અસ્પષ્ટ સમૂહ, જે સામાન્ય અર્થમાં ગણતરીપાત્ર શક્તિ ધરાવે છે.અસંખ્ય અસ્પષ્ટ સમૂહ અસ્પષ્ટ ખ્યાલને અનુરૂપ "ખૂબ જ ગરમ" એ તાપમાનના મૂલ્યોના સાર્વત્રિક સમૂહ પર (કેલ્વિનમાં) તાપમાન x ∈ [ 0 ;< 1 અસાધારણ

∞) અને સદસ્યતા કાર્ય μ A = 1 − e − x , S A ≡ R + (બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ) સાથે, જેની અગણિત સાતત્ય શક્તિ છે. જથ્થો sup x ∈ X μ A x કહેવાય છેઅસ્પષ્ટ સમૂહ.

અસ્પષ્ટ સેટ એ

∞) અને સદસ્યતા કાર્ય μ A = 1 − e − x , S A ≡ R + (બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ) સાથે, જેની અગણિત સાતત્ય શક્તિ છે. દંડ, જો તેની ઊંચાઈ 1 છે, એટલે કે. તેના સભ્યપદ કાર્યની ઉપલી સીમા sup x ∈ X μ A x = 1 છે. sup x ∈ X μ A x માટે એક અસ્પષ્ટ સમૂહ કહેવામાં આવે છેખાલી

∞) અને સદસ્યતા કાર્ય μ A = 1 − e − x , S A ≡ R + (બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ) સાથે, જેની અગણિત સાતત્ય શક્તિ છે. , જો ∀ x ∈ X μ A x = 0 .બિન-ખાલી સબનોર્મલ સેટ હંમેશા સભ્યપદ કાર્યના તમામ મૂલ્યોને તેના મહત્તમ મૂલ્ય μ A x sup x ∈ X μ A x દ્વારા વિભાજીત કરીને સામાન્ય કરી શકાય છે.

યુનિમોડલ α , જો μ A x = 1 માત્ર એક બિંદુ x માટે (ફેશન

) સાર્વત્રિક સમૂહ X નો.

ઉદાહરણ.બિંદુ

, જો સાર્વત્રિક સમૂહ X ના એક બિંદુ x માટે μ A x > 0 હોય તો. ઘણા- સ્તર

તત્વો x ∈ X જેના માટે μ A x = 0.5 કહેવાય છે સંક્રમણ બિંદુઓઅસ્પષ્ટ સમૂહ A.

કોરસાર્વત્રિક સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત એક અસ્પષ્ટ સમૂહ A ને સ્પષ્ટ સમૂહ કોર A કહેવામાં આવે છે, જેનાં ઘટકો કોર A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 ને સંતોષે છે.

બોર્ડરઅસ્પષ્ટ સમૂહ A ના સાર્વત્રિક સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત સ્પષ્ટ સમૂહ આગળ A કહેવાય છે જેના તત્વો આગળની સ્થિતિ A = x ∈ X ∣ 0 ને સંતોષે છે< μ A x < 1 .

ઉદાહરણ.ચાલો X = 0;

1; 2;... ;< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

10, M = 0;