રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઉદાહરણના સહસંબંધ કાર્યને કેવી રીતે શોધવું. સ્થિર પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય

આપણે દરેક જગ્યાએ વર્તુળના આકાર અને વર્તુળો જોઈએ છીએ: આ કારનું વ્હીલ, ક્ષિતિજ રેખા અને ચંદ્રની ડિસ્ક છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ભૌમિતિક આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું - પ્લેન પર એક વર્તુળ - ખૂબ લાંબા સમય પહેલા.

કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા સાથેનું વર્તુળ એ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે જે કરતાં વધુ ન હોય તેવા અંતરે સ્થિત છે. વર્તુળ કેન્દ્રથી બરાબર અંતરે સ્થિત બિંદુઓ ધરાવતા વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલું છે. વર્તુળના બિંદુઓ સાથે કેન્દ્રને જોડતા ભાગોની લંબાઈ હોય છે અને તેને ત્રિજ્યા (વર્તુળ, વર્તુળ) પણ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળના ભાગો કે જેમાં તે બે ત્રિજ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે તેને કહેવામાં આવે છે પરિપત્ર ક્ષેત્રો(ફિગ. 1). એક તાર - એક વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ - વર્તુળને બે ભાગોમાં અને વર્તુળને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે (ફિગ. 2). કેન્દ્રથી તાર તરફ દોરવામાં આવેલ કાટખૂણે તેને વિભાજિત કરે છે અને તેના દ્વારા અર્ધમાં સમાવિષ્ટ ચાપ. તાર લાંબો છે, તે કેન્દ્રની નજીક સ્થિત છે; સૌથી લાંબી તાર - કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તાર - ને વ્યાસ (વર્તુળ, વર્તુળ) કહેવામાં આવે છે.

જો વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી કોઈ સીધી રેખાને અંતરથી દૂર કરવામાં આવે, તો તે વર્તુળ સાથે છેદતી નથી, તેના પર વર્તુળને તાર સાથે છેદે છે અને તેને સેકન્ટ કહેવામાં આવે છે, તેની પર તેની સાથે એક સામાન્ય બિંદુ છે. વર્તુળ અને વર્તુળ અને તેને સ્પર્શક કહેવાય છે. સ્પર્શક એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે તે સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ તરફ દોરવામાં આવેલી ત્રિજ્યા પર લંબ છે. બે સ્પર્શકને તેની બહારના બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરી શકાય છે, અને આપેલ બિંદુથી સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુઓ સુધીના તેમના ભાગો સમાન છે.

વર્તુળના ચાપ, ખૂણા જેવા, ડિગ્રી અને અપૂર્ણાંકમાં માપી શકાય છે. સમગ્ર વર્તુળનો ભાગ ડિગ્રી તરીકે લેવામાં આવે છે. કેન્દ્રિય કોણ (ફિગ. 3) એ ચાપ કે જેના પર તે આરામ કરે છે તેટલી જ ડિગ્રીમાં માપવામાં આવે છે; એક અંકિત કોણ અડધા ચાપ દ્વારા માપવામાં આવે છે. જો કોઈ ખૂણાનું શિરોબિંદુ વર્તુળની અંદર આવેલું હોય, તો ડિગ્રીમાં આ ખૂણો ચાપના અડધા સરવાળા જેટલો હોય છે અને (ફિગ. 4, a). વર્તુળની બહાર શિરોબિંદુ સાથેનો ખૂણો (ફિગ. 4,b), ચાપ અને વર્તુળને કાપીને, ચાપના અડધા તફાવત દ્વારા માપવામાં આવે છે. છેલ્લે, સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનો ખૂણો અડધા સમાનતેમની વચ્ચે બંધાયેલ વર્તુળની ચાપ (ફિગ. 4,c).

વર્તુળ અને પરિઘ હોય છે અનંત સમૂહસમપ્રમાણતાની અક્ષો.

ખૂણાઓના માપન પરના પ્રમેયમાંથી અને ત્રિકોણની સમાનતા વર્તુળમાં પ્રમાણસર વિભાગો પરના બે પ્રમેયને અનુસરે છે. તાર પ્રમેય કહે છે કે જો કોઈ બિંદુ વર્તુળની અંદર રહેલું હોય, તો તેમાંથી પસાર થતા તારોના ભાગોની લંબાઈનું ઉત્પાદન સ્થિર છે. ફિગ માં. 5, એ. સેકન્ટ અને ટેન્જેન્ટ વિશે પ્રમેય (એટલે કે આ સીધી રેખાઓના ભાગોના સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ) જણાવે છે કે જો કોઈ બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું હોય, તો સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન પણ અપરિવર્તિત અને સ્પર્શકના ચોરસ સમાન હોય છે. (ફિગ. 5, બી).

પ્રાચીન સમયમાં પણ, તેઓએ વર્તુળ સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો - વર્તુળ અથવા તેના ચાપની લંબાઈ, વર્તુળ અથવા ક્ષેત્રનો વિસ્તાર, સેગમેન્ટ માપવા. તેમાંના પ્રથમમાં સંપૂર્ણ "વ્યવહારિક" ઉકેલ છે: તમે વર્તુળ સાથે દોરો મૂકી શકો છો, અને પછી તેને અનરોલ કરી શકો છો અને તેને શાસક સાથે જોડી શકો છો, અથવા વર્તુળ પર કોઈ બિંદુને ચિહ્નિત કરી શકો છો અને તેને શાસક સાથે "રોલ" કરી શકો છો (તમે કરી શકો છો. , તેનાથી વિપરીત, શાસક સાથે વર્તુળને "રોલ કરો"). એક અથવા બીજી રીતે, માપ દર્શાવે છે કે પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર બધા વર્તુળો માટે સમાન છે. આ સંબંધ સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે ગ્રીક અક્ષર("pi" એ પ્રારંભિક અક્ષર છે ગ્રીક શબ્દપેરીમેટ્રોન, જેનો અર્થ થાય છે "વર્તુળ").

જો કે, પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ વર્તુળના પરિઘને નિર્ધારિત કરવા માટેના આવા પ્રયોગમૂલક, પ્રાયોગિક અભિગમથી સંતુષ્ટ ન હતા: વર્તુળ એ એક રેખા છે, એટલે કે, યુક્લિડ અનુસાર, "પહોળાઈ વગરની લંબાઈ" અને આવા થ્રેડો અસ્તિત્વમાં નથી. જો આપણે શાસક સાથે વર્તુળને ફેરવીએ, તો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શા માટે આપણે પરિઘ મેળવીએ છીએ અને બીજું કોઈ મૂલ્ય નહીં? વધુમાં, આ અભિગમ અમને વર્તુળનો વિસ્તાર નક્કી કરવાની મંજૂરી આપતો નથી.

ઉકેલ નીચે પ્રમાણે મળ્યો: જો આપણે વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત -ગોન્સને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી, અનંત તરફ વલણ ધરાવતા, તેઓ જે મર્યાદા તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, નીચેની, પહેલેથી જ કડક, વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરવી સ્વાભાવિક છે: વર્તુળની લંબાઈ એ વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણની પરિમિતિના ક્રમની મર્યાદા છે, અને વર્તુળનો વિસ્તાર એ ક્રમની મર્યાદા છે. તેમના વિસ્તારોની. આ અભિગમ આધુનિક ગણિતમાં પણ સ્વીકારવામાં આવે છે, અને માત્ર વર્તુળ અને વર્તુળના સંબંધમાં જ નહીં, પરંતુ અન્ય વક્ર વિસ્તારો અથવા વક્ર રૂપરેખા દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તારો માટે પણ સ્વીકારવામાં આવે છે: નિયમિત બહુકોણને બદલે, વક્ર અથવા વિસ્તારોના રૂપરેખા પર શિરોબિંદુઓ સાથે તૂટેલી રેખાઓનો ક્રમ. ગણવામાં આવે છે, અને મર્યાદા ત્યારે લેવામાં આવે છે જ્યારે લંબાઈ તૂટેલી રેખાની સૌથી મોટી લિંક્સ શૂન્ય તરફ વળે છે.

વર્તુળના ચાપની લંબાઈ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે: ચાપ સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે, વિભાજન બિંદુઓ તૂટેલી રેખા દ્વારા જોડાયેલા છે અને ચાપની લંબાઈ આપવામાં આવે છે. મર્યાદા સમાનઆવી તૂટેલી રેખાઓની પરિમિતિ, જેમ કે અનંત તરફ વલણ. (પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ, અમે મર્યાદાના ખ્યાલને સ્પષ્ટ કરતા નથી - તે હવે ભૂમિતિનો સંદર્ભ આપતું નથી અને તે માત્ર 19મી સદીમાં જ સખત રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું.)

સંખ્યાની વ્યાખ્યામાંથી જ, પરિઘ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

ચાપની લંબાઈ માટે, આપણે સમાન સૂત્ર લખી શકીએ છીએ: કારણ કે બે ચાપ માટે અને સામાન્ય કેન્દ્રીય કોણ સાથે, સમાનતાની વિચારણાઓ પ્રમાણ સૂચવે છે, અને તેમાંથી પ્રમાણ , મર્યાદા સુધી પસાર થયા પછી આપણે સ્વતંત્રતા પ્રાપ્ત કરીએ છીએ (ની આર્કની ત્રિજ્યા) ગુણોત્તર . આ ગુણોત્તર માત્ર કેન્દ્રીય કોણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેને આ ખૂણાના રેડિયન માપ અને કેન્દ્ર સાથેના તમામ અનુરૂપ ચાપ કહેવામાં આવે છે. આ ચાપની લંબાઈ માટેનું સૂત્ર આપે છે:

ચાપનું રેડિયન માપ ક્યાં છે.

માટેના લેખિત સૂત્રો અને માત્ર પુનઃલેખિત વ્યાખ્યાઓ અથવા સંકેતો છે, પરંતુ તેમની મદદથી આપણે વર્તુળના ક્ષેત્રો અને એવા ક્ષેત્રો માટે સૂત્રો મેળવીએ છીએ જે માત્ર સંકેતોથી દૂર છે:

પ્રથમ સૂત્ર મેળવવા માટે, વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણના ક્ષેત્ર માટે સૂત્રમાં મર્યાદા પર જવા માટે તે પૂરતું છે:

વ્યાખ્યા દ્વારા ડાબી બાજુવર્તુળના વિસ્તાર તરફ વલણ ધરાવે છે, અને જમણી બાજુ સંખ્યા તરફ વલણ ધરાવે છે

અને , તેના મધ્યબિંદુઓના પાયા અને , મધ્યબિંદુઓ અને રેખાખંડો તેની ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધી.

આ વર્તુળ, 18મી સદીમાં જોવા મળે છે. મહાન વૈજ્ઞાનિક એલ. યુલર દ્વારા (જેને કારણે તેને ઘણીવાર યુલરનું વર્તુળ પણ કહેવામાં આવે છે), તે આગલી સદીમાં જર્મનીના પ્રાંતીય વ્યાયામશાળાના શિક્ષક દ્વારા ફરીથી શોધાયું હતું. આ શિક્ષકનું નામ કાર્લ ફ્યુઅરબેક હતું (તેનો ભાઈ હતો પ્રખ્યાત ફિલસૂફલુડવિગ ફ્યુઅરબેક). વધુમાં, કે. ફ્યુઅરબેકને જાણવા મળ્યું કે નવ બિંદુઓના વર્તુળમાં વધુ ચાર બિંદુઓ છે જે કોઈપણ ભૂમિતિ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. આપેલ ત્રિકોણ. આ ચાર વર્તુળો સાથે સંપર્કના બિંદુઓ છે ખાસ પ્રકાર(ફિગ. 2). આ વર્તુળોમાંથી એક અંકિત છે, અન્ય ત્રણ વર્તુળો છે. તેઓ ત્રિકોણ અને સ્પર્શના ખૂણામાં લખેલા છે બાહ્ય રીતેતેની બાજુઓ. નવ બિંદુઓના વર્તુળવાળા આ વર્તુળોના સંપર્કના બિંદુઓને ફ્યુઅરબેક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. આમ, નવ બિંદુઓનું વર્તુળ વાસ્તવમાં તેર બિંદુઓનું વર્તુળ છે.

જો તમે તેના બે ગુણધર્મો જાણતા હોવ તો આ વર્તુળ બાંધવામાં ખૂબ જ સરળ છે. સૌપ્રથમ, નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળના કેન્દ્રને એક બિંદુ સાથે જોડતા સેગમેન્ટની મધ્યમાં આવેલું છે - તેનું ઓર્થોસેન્ટર (તેની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ). બીજું, આપેલ ત્રિકોણ માટે તેની ત્રિજ્યા તેની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની અડધી ત્રિજ્યા જેટલી છે.

વર્તુળ એક સપાટ બંધ રેખા છે, જેનાં તમામ બિંદુઓ ચોક્કસ બિંદુ (બિંદુ O) થી સમાન અંતરે છે, જેને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.
(પરિઘ - ભૌમિતિક આકૃતિ, આપેલ બિંદુથી આપેલ અંતર પર સ્થિત તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરે છે.)

વર્તુળ એક વર્તુળ દ્વારા મર્યાદિત પ્લેનનો એક ભાગ છે તેને વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ કહેવામાં આવે છે.

વર્તુળ પરના બિંદુથી તેના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર, તેમજ વર્તુળના કેન્દ્રને તેના બિંદુ સાથે જોડતો ભાગ, ત્રિજ્યા કહેવાય છે. વર્તુળ/વર્તુળ.
આપણા જીવનમાં, કલા, ડિઝાઇનમાં વર્તુળ અને પરિઘનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે જુઓ.

તાર - ગ્રીક - એક શબ્દમાળા જે કંઈક સાથે જોડે છે
વ્યાસ - "માપ દ્વારા"

ગોળ આકાર

ખૂણાઓ સતત વધતા જથ્થામાં થઈ શકે છે અને, તે મુજબ, સતત વધતો વળાંક પ્રાપ્ત કરી શકે છે - જ્યાં સુધી તે સંપૂર્ણપણે અદૃશ્ય થઈ જાય અને પ્લેન એક વર્તુળ બની જાય.તે ખૂબ જ સરળ છે અને તે જ સમયે ખૂબ જ મુશ્કેલ કેસ, જેના વિશે હું વિગતવાર વાત કરવા માંગુ છું. અહીં એ નોંધવું જોઈએ કે સરળતા અને જટિલતા બંને ખૂણાઓની ગેરહાજરીને કારણે છે. વર્તુળ સરળ છે કારણ કે તેની સીમાઓનું દબાણ, લંબચોરસ આકારોની તુલનામાં, સમતળ કરવામાં આવે છે - અહીં તફાવતો એટલા મહાન નથી. તે જટિલ છે કારણ કે ટોચ અસ્પષ્ટપણે ડાબી અને જમણી તરફ વહે છે, અને ડાબે અને જમણે તળિયે.

વી. કેન્ડિન્સકી

IN પ્રાચીન ગ્રીસવર્તુળ અને પરિઘને પૂર્ણતાનો તાજ માનવામાં આવતો હતો. ખરેખર, દરેક બિંદુએ વર્તુળ એ જ રીતે ગોઠવાયેલું છે, જે તેને તેના પોતાના પર આગળ વધવા દે છે. સર્કલની આ મિલકત બનાવી છે શક્ય ઘટનાવ્હીલ્સ, કારણ કે એક્સેલ અને વ્હીલ હબ દરેક સમયે સંપર્કમાં હોવા જોઈએ.

શાળામાં ઘણું ભણવામાં આવે છે ઉપયોગી ગુણધર્મોવર્તુળો સૌથી સુંદર પ્રમેયમાંનું એક નીચે મુજબ છે: ચાલો આપણે ડ્રો કરીએ આપેલ બિંદુછેદતી સીધી રેખા આપેલ વર્તુળ, પછી આ બિંદુથી અંતરનું ઉત્પાદન સીધી રેખા સાથે વર્તુળના આંતરછેદ બિંદુઓ સીધી રેખા કેવી રીતે દોરવામાં આવી હતી તેના પર નિર્ભર નથી. આ પ્રમેય લગભગ બે હજાર વર્ષ જૂનો છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 2 બે વર્તુળો અને વર્તુળોની સાંકળ દર્શાવે છે, જેમાંથી દરેક આ બે વર્તુળો અને સાંકળમાં બે પડોશીઓને સ્પર્શે છે. સ્વિસ જીઓમીટર જેકબ સ્ટેઈનરે લગભગ 150 વર્ષ પહેલાં સાબિત કર્યું હતું આગામી નિવેદન: જો ત્રીજા વર્તુળની કોઈ પસંદગી માટે સાંકળ બંધ હોય, તો તે ત્રીજા વર્તુળની અન્ય કોઈપણ પસંદગી માટે બંધ કરવામાં આવશે. તે અનુસરે છે કે જો સાંકળ એકવાર બંધ ન થાય, તો તે ત્રીજા વર્તુળની કોઈપણ પસંદગી માટે બંધ કરવામાં આવશે નહીં. પેઇન્ટિંગ કરનાર કલાકારનેદર્શાવવામાં આવેલી સાંકળ, તેને કામ કરવા માટે સખત મહેનત કરવી પડશે અથવા પ્રથમ બે વર્તુળોના સ્થાનની ગણતરી કરવા માટે ગણિતશાસ્ત્રી તરફ વળવું પડશે, જ્યાં સાંકળ બંધ છે.

અમે પહેલા વ્હીલનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો, પરંતુ વ્હીલ પહેલા પણ લોકો રાઉન્ડ લોગનો ઉપયોગ કરતા હતા- ભારે ભાર પરિવહન માટે રોલોરો.

શું રાઉન્ડ સિવાય અન્ય આકારના રોલર્સનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે? જર્મનએન્જિનિયર ફ્રાન્ઝ રેલોએ શોધ્યું કે રોલર્સ, જેનો આકાર ફિગમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે, તે સમાન મિલકત ધરાવે છે. 3. આ આંકડો શિરોબિંદુઓ પર કેન્દ્રો સાથે વર્તુળોના ચાપ દોરીને મેળવવામાં આવે છે સમભુજ ત્રિકોણઅન્ય બે શિરોબિંદુઓને જોડવું. જો આપણે આ આકૃતિને બે સમાંતર સ્પર્શક દોરીએ, તો વચ્ચેનું અંતરતેઓ મૂળ સમભુજ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ જેટલી હશે, તેથી આવા રોલરો ગોળાકાર કરતાં વધુ ખરાબ નથી. પાછળથી, અન્ય આકૃતિઓની શોધ કરવામાં આવી જે રોલર તરીકે સેવા આપી શકે.

એન્ઝ. "હું વિશ્વની શોધ કરું છું. ગણિત", 2006

દરેક ત્રિકોણમાં, અને વધુમાં, માત્ર એક જ છે, નવ બિંદુ વર્તુળ. આનીચેના ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ, જેની સ્થિતિ ત્રિકોણ માટે નક્કી કરવામાં આવે છે: તેની ઊંચાઈ D1 D2 અને D3, તેના મધ્યક D4, D5 અને D6 ના પાયાતેની ઊંચાઈ H ના આંતરછેદના બિંદુથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધી સીધા ભાગોના D7, D8 અને D9 ના મધ્યબિંદુઓ.

આ વર્તુળ, 18મી સદીમાં જોવા મળે છે. મહાન વૈજ્ઞાનિક એલ. યુલર દ્વારા (જેને કારણે તેને ઘણીવાર યુલરનું વર્તુળ પણ કહેવામાં આવે છે), તે આગલી સદીમાં જર્મનીના પ્રાંતીય વ્યાયામશાળાના શિક્ષક દ્વારા ફરીથી શોધાયું હતું. આ શિક્ષકનું નામ કાર્લ ફ્યુઅરબેક હતું (તે પ્રખ્યાત ફિલસૂફ લુડવિગ ફ્યુઅરબેકનો ભાઈ હતો).વધુમાં, કે. ફ્યુઅરબેકને જાણવા મળ્યું કે નવ બિંદુઓના વર્તુળમાં વધુ ચાર બિંદુઓ છે જે આપેલ ત્રિકોણની ભૂમિતિ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. આ ખાસ પ્રકારના ચાર વર્તુળો સાથે તેના સંપર્કના બિંદુઓ છે. આ વર્તુળોમાંથી એક અંકિત છે, અન્ય ત્રણ વર્તુળો છે. તેઓ ત્રિકોણના ખૂણામાં લખેલા છે અને બાહ્ય રીતે તેની બાજુઓને સ્પર્શ કરે છે. નવ બિંદુઓ D10, D11, D12 અને D13 ના વર્તુળ સાથેના આ વર્તુળોના સ્પર્શક બિંદુઓને ફ્યુઅરબેક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. આમ, નવ બિંદુઓનું વર્તુળ વાસ્તવમાં તેર બિંદુઓનું વર્તુળ છે.

જો તમે તેના બે ગુણધર્મો જાણતા હોવ તો આ વર્તુળ બાંધવામાં ખૂબ જ સરળ છે. સૌપ્રથમ, નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળના કેન્દ્રને બિંદુ H - તેનું ઓર્થોસેન્ટર (તેની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ) સાથે જોડતા સેગમેન્ટની મધ્યમાં આવેલું છે. બીજું, આપેલ ત્રિકોણ માટે તેની ત્રિજ્યા તેની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની અડધી ત્રિજ્યા જેટલી છે.

એન્ઝ. યુવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે સંદર્ભ પુસ્તક, 1989

વર્તુળ- આપેલ બિંદુથી આપેલ અંતર પર સ્થિત પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરતી ભૌમિતિક આકૃતિ.

આ બિંદુ (O) કહેવાય છે વર્તુળનું કેન્દ્ર.
વર્તુળ ત્રિજ્યા- આ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે કેન્દ્રને જોડતો સેગમેન્ટ છે. તમામ ત્રિજ્યાની લંબાઈ સમાન હોય છે (વ્યાખ્યા પ્રમાણે).
તાર- વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ. વર્તુળની મધ્યમાંથી પસાર થતી તાર કહેવામાં આવે છે વ્યાસ. વર્તુળનું કેન્દ્ર એ કોઈપણ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ તેને બે ભાગમાં વહેંચે છે. આ દરેક ભાગને કહેવામાં આવે છે વર્તુળની ચાપ. ચાપ કહેવાય છે અર્ધવર્તુળ, જો તેના છેડાને જોડતો સેગમેન્ટ વ્યાસ હોય.
એકમ અર્ધવર્તુળની લંબાઈ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે π .
સામાન્ય છેડાવાળા વર્તુળના બે ચાપના ડિગ્રી માપનો સરવાળો બરાબર છે 360º.
વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો ભાગ કહેવામાં આવે છે ચારે બાજુ.
પરિપત્ર ક્ષેત્ર- ચાપ દ્વારા બંધાયેલ વર્તુળનો એક ભાગ અને ચાપના છેડાને વર્તુળના મધ્યમાં જોડતા બે ત્રિજ્યા. ક્ષેત્રને મર્યાદિત કરતી ચાપ કહેવાય છે ક્ષેત્રની ચાપ.
બે વર્તુળો ધરાવે છે સામાન્ય કેન્દ્ર, કહેવાય છે કેન્દ્રિત.
જમણા ખૂણા પર છેદતા બે વર્તુળો કહેવાય છે ઓર્થોગોનલ.

સીધી રેખા અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિ

જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા કરતાં ઓછીવર્તુળ ( d), પછી એક સીધી રેખા અને વર્તુળમાં બે છે સામાન્ય બિંદુઓ. આ કિસ્સામાં લાઇન કહેવામાં આવે છે સેકન્ટવર્તુળના સંબંધમાં.
જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય, તો સીધી રેખા અને વર્તુળમાં માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ હોય છે. આ રેખા કહેવાય છે વર્તુળની સ્પર્શક, અને તેમના સામાન્ય બિંદુ કહેવામાં આવે છે રેખા અને વર્તુળ વચ્ચેના સ્પર્શક બિંદુ.
જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા કરતાં વધુવર્તુળો, પછી એક સીધી રેખા અને વર્તુળ કોઈ સામાન્ય મુદ્દા નથી

કેન્દ્રિય અને અંકિત ખૂણા

મધ્ય કોણવર્તુળના કેન્દ્રમાં તેના શિરોબિંદુ સાથેનો ખૂણો છે.
અંકિત કોણ- એક ખૂણો જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર આવેલું છે અને જેની બાજુઓ વર્તુળને છેદે છે.

અંકિત કોણ પ્રમેય

એક અંકિત કોણ ચાપના અડધા ભાગ દ્વારા માપવામાં આવે છે જેના પર તે નીચે આવે છે.

કોરોલરી 1.
સમાન ચાપને ઉપાડી રહેલા અંકિત ખૂણા સમાન છે.

કોરોલરી 2.
અર્ધવર્તુળ દ્વારા સબટેન્ડ કરેલ એક અંકિત કોણ એ કાટખૂણો છે.

છેદતી તારોના સેગમેન્ટના ઉત્પાદન પર પ્રમેય.

જો વર્તુળના બે તાર એકબીજાને છેદે છે, તો એક તારનાં ભાગોનો ગુણાંક બીજી તારનાં ભાગોના ગુણાંક સમાન છે.

મૂળભૂત સૂત્રો

પરિઘ:

C = 2∙π∙R

ગોળ ચાપ લંબાઈ:

R = С/(2∙π) = D/2

વ્યાસ:

D = C/π = 2∙R

ગોળ ચાપ લંબાઈ:

l = (π∙R) / 180∙α,
જ્યાં α - ગોળાકાર ચાપની લંબાઈનું ડિગ્રી માપ)

વર્તુળ વિસ્તાર:

S = π∙R 2

પરિપત્ર ક્ષેત્રનો વિસ્તાર:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

વર્તુળનું સમીકરણ

IN લંબચોરસ સિસ્ટમવર્તુળ ત્રિજ્યાનું સંકલન સમીકરણ આરએક બિંદુ પર કેન્દ્રિત સી(x o;y o) ફોર્મ ધરાવે છે:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા r ના વર્તુળના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

x 2 + y 2 = r 2

પ્રથમ, ચાલો વર્તુળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત સમજીએ. આ તફાવત જોવા માટે, બંને આંકડા શું છે તે ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. આ પ્લેન પર સ્થિત અસંખ્ય બિંદુઓ છે સમાન અંતરએક કેન્દ્રિય બિંદુથી. પરંતુ, જો વર્તુળ સમાવે છે આંતરિક જગ્યા, તો તે વર્તુળ સાથે સંબંધિત નથી. તે તારણ આપે છે કે વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જે તેને મર્યાદિત કરે છે (વર્તુળ(r)), અને વર્તુળની અંદર રહેલા અસંખ્ય બિંદુઓની સંખ્યા.

વર્તુળ પર પડેલા કોઈપણ બિંદુ L માટે, સમાનતા OL=R લાગુ પડે છે. (OL ખંડની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે).

વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ તે છે તાર.

વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સીધો પસાર થતો તાર છે વ્યાસઆ વર્તુળ (D). વ્યાસની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: D=2R

પરિઘસૂત્ર દ્વારા ગણતરી: C=2\pi R

વર્તુળનો વિસ્તાર: S=\pi R^(2)

વર્તુળની ચાપતેનો તે ભાગ કહેવાય છે જે તેના બે બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિત છે. આ બે બિંદુઓ વર્તુળના બે ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તાર સીડી બે ચાપને સબટેન્ડ કરે છે: CMD અને CLD. સમાન તાર સમાન ચાપને સમાવે છે.

મધ્ય કોણબે ત્રિજ્યા વચ્ચે આવેલો ખૂણો કહેવાય છે.

આર્ક લંબાઈસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી માપ: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
રેડિયન માપનો ઉપયોગ કરીને: CD = \alpha R

વ્યાસ, જે તાર માટે લંબ છે, તે તાર અને તેના દ્વારા સંકુચિત ચાપને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

જો વર્તુળની તાર AB અને CD બિંદુ N પર છેદે છે, તો બિંદુ N દ્વારા વિભાજિત તારોના ભાગોના ઉત્પાદન એકબીજા સાથે સમાન છે.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

વર્તુળમાં સ્પર્શક

વર્તુળમાં સ્પર્શકવર્તુળ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી સીધી રેખાને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે.

જો રેખામાં બે સામાન્ય બિંદુઓ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સેકન્ટ.

જો તમે ત્રિજ્યાને સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરો છો, તો તે વર્તુળના સ્પર્શકને લંબરૂપ હશે.

ચાલો આ બિંદુથી આપણા વર્તુળ તરફ બે સ્પર્શક દોરીએ. તે તારણ આપે છે કે સ્પર્શક વિભાગો એકબીજાના સમાન હશે, અને વર્તુળનું કેન્દ્ર આ બિંદુએ શિરોબિંદુ સાથે કોણના દ્વિભાજક પર સ્થિત હશે.

AC = CB

હવે આપણે આપણા બિંદુ પરથી વર્તુળમાં સ્પર્શક અને ભેદ રેખા દોરીએ. અમે શોધીએ છીએ કે સ્પર્શક ખંડની લંબાઈનો ચોરસ હશે ઉત્પાદન સમાનસમગ્ર સેગમેન્ટ તેના બહારના ભાગ સુધી સેકન્ટ.

AC^(2) = CD \cdot BC

અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: પ્રથમ સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન બીજા સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ઉત્પાદન જેટલું છે.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

વર્તુળમાં ખૂણા

ડિગ્રી માપદંડ કેન્દ્રિય કોણઅને ચાપ જેના પર તે આરામ કરે છે તે સમાન છે.

\કોણ COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

અંકિત કોણએક ખૂણો છે જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર છે અને જેની બાજુઓમાં તાર હોય છે.

તમે ચાપના કદને જાણીને તેની ગણતરી કરી શકો છો, કારણ કે તે આ ચાપના અડધા જેટલા છે.

\કોણ AOB = 2 \કોણ ADB

વ્યાસના આધારે, અંકિત કોણ, જમણો ખૂણો.

\કોણ CBD = \કોણ CED = \કોણ CAD = 90^ (\circ)

અંકિત ખૂણાઓ જે સમાન ચાપને સબટેન્ડ કરે છે તે સમાન છે.

એક તાર પર રહેલ અંકિત ખૂણાઓ સમાન હોય છે અથવા તેમનો સરવાળો 180^ (\circ) જેટલો હોય છે.

\કોણ ADB + \કોણ AKB = 180^ (\circ)

\કોણ ADB = \કોણ AEB = \કોણ AFB

સમાન વર્તુળ પર સમાન ખૂણા અને આપેલ આધાર સાથે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

વર્તુળની અંદર શિરોબિંદુ ધરાવતો અને બે તારની વચ્ચે આવેલો ખૂણો અડધા સરવાળો જેવો હોય છે. કોણીય મૂલ્યોઆપેલ અને વર્ટિકલ એંગલની અંદર સમાયેલ વર્તુળના ચાપ.

\કોણ DMC = \કોણ ADM + \કોણ DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \જમણે)

વર્તુળની બહાર શિરોબિંદુ ધરાવતો ખૂણો અને બે સેકન્ટ્સ વચ્ચે સ્થિત હોય છે, જે ખૂણાની અંદર રહેલા વર્તુળના ચાપના કોણીય મૂલ્યોમાં અડધા તફાવત જેટલો હોય છે.

\કોણ M = \કોણ CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \જમણે)

અંકિત વર્તુળ

અંકિત વર્તુળબહુકોણની બાજુઓનું વર્તુળ સ્પર્શક છે.

બહુકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુએ, તેનું કેન્દ્ર સ્થિત છે.

દરેક બહુકોણમાં વર્તુળ અંકિત ન હોઈ શકે.

અંકિત વર્તુળ સાથે બહુકોણનો વિસ્તાર સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

S = pr,

p એ બહુકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,

r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

તે નીચે મુજબ છે કે અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન છે:

r = \frac(S)(p)

લંબાઈનો સરવાળો વિરુદ્ધ બાજુઓજો વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં લખેલું હોય તો તે સમાન હશે. અને ઊલટું: એક વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં બંધબેસે છે જો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.

AB + DC = AD + BC

કોઈપણ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખવું શક્ય છે. માત્ર એક જ. બિંદુ જ્યાં દ્વિભાજકો છેદે છે આંતરિક ખૂણાઆકૃતિ, આ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર આવેલું હશે.

અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

r = \frac(S)(p) ,

જ્યાં p = \frac(a + b + c)(2)

વર્તુળાકાર

જો કોઈ વર્તુળ બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો આવા વર્તુળને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે બહુકોણ વિશે વર્ણવેલ.

આ આકૃતિની બાજુઓના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુએ પરિઘનું કેન્દ્ર હશે.

ત્રિજ્યાને બહુકોણના કોઈપણ 3 શિરોબિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ત્રિકોણ વિશે પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા તરીકે ગણતરી કરીને શોધી શકાય છે.

ખાય છે આગામી શરત: ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન ત્યારે જ કરી શકાય જો તેનો સરવાળો હોય વિરુદ્ધ ખૂણા 180^( \circ) ની બરાબર છે.

\કોણ A + \કોણ C = \કોણ B + \કોણ D = 180^ (\circ)

કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસ તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો, અને માત્ર એક. આવા વર્તુળનું કેન્દ્ર તે બિંદુ પર સ્થિત હશે જ્યાં તેઓ છેદે છે લંબ દ્વિભાજકોત્રિકોણની બાજુઓ.