મેટ્રિક્સ સમકક્ષ. સમકક્ષ મેટ્રિસિસ

અમારું તાત્કાલિક ધ્યેય એ સાબિત કરવાનું છે કે કોઈપણ મેટ્રિક્સને કેટલાકમાં ઘટાડી શકાય છે પ્રમાણભૂત પ્રકારો. સમકક્ષ મેટ્રિસિસની ભાષા આ માર્ગ પર ઉપયોગી છે.

રહેવા દો. અમે કહીશું કે મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ માટે l_equivalent (n_equivalent અથવા સમકક્ષ) છે અને જો મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સમાંથી મેટ્રિક્સ મેળવી શકાય તો તે સૂચવો (અથવા) મર્યાદિત સંખ્યાપંક્તિ (કૉલમ અથવા પંક્તિ અને કૉલમ, અનુક્રમે) પ્રાથમિક પરિવર્તન. તે સ્પષ્ટ છે કે l_equivalent અને n_equivalent મેટ્રિસિસ સમકક્ષ છે.

પ્રથમ આપણે બતાવીશું કે કોઈપણ મેટ્રિક્સને ઘટાડી શકાય છે ખાસ પ્રકાર, ઘટાડો કહેવાય છે.

રહેવા દો. આ મેટ્રિક્સની બિન-શૂન્ય પંક્તિને ઘટાડેલું સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં 1 ની બરાબર એલિમેન્ટ હોય કે જેમ કે સ્તંભના બધા ઘટકો શૂન્ય કરતાં સમાન હોય, . આપણે લીટીના ચિહ્નિત એકલ તત્વને આ લીટીનું અગ્રણી તત્વ કહીશું અને તેને વર્તુળમાં બંધ કરીશું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આ મેટ્રિક્સમાં ફોર્મની કૉલમ હોય તો મેટ્રિક્સની પંક્તિનું સ્વરૂપ ઘટે છે

ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના મેટ્રિક્સમાં

લાઇનમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે, ત્યારથી. ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ ઉદાહરણમાં એક તત્વ પણ લીટીના અગ્રણી તત્વ હોવાનો ડોળ કરે છે. ભવિષ્યમાં, જો આપેલ પ્રકારની લાઇનમાં અગ્રણી ગુણધર્મો ધરાવતા ઘણા ઘટકો હોય, તો અમે તેમાંથી માત્ર એકને મનસ્વી રીતે પસંદ કરીશું.

જો મેટ્રિક્સની દરેક બિન-શૂન્ય પંક્તિઓનું સ્વરૂપ ઘટતું હોય તો તેનું સ્વરૂપ ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ

નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે.

દરખાસ્ત 1.3 કોઈપણ મેટ્રિક્સ માટે ઘટાડેલા સ્વરૂપનું સમકક્ષ મેટ્રિક્સ હોય છે.

ખરેખર, જો મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ (1.1) હોય અને, પછી તેમાં પ્રાથમિક પરિવર્તન કર્યા પછી

અમને મેટ્રિક્સ મળે છે

જેમાં શબ્દમાળા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે.

બીજું, જો મેટ્રિક્સમાં પંક્તિ ઓછી કરવામાં આવી હોય, તો પછી પ્રાથમિક પરિવર્તન (1.20) કર્યા પછી મેટ્રિક્સની પંક્તિ ઓછી થઈ જશે. ખરેખર, આપેલ ત્યારથી, ત્યાં એક કૉલમ આવી છે

પરંતુ પછી અને, પરિણામે, પરિવર્તન (1.20) કર્યા પછી કૉલમ બદલાતો નથી, એટલે કે. . તેથી, રેખા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે.

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે મેટ્રિક્સની દરેક બિન-શૂન્ય પંક્તિને ઉપરોક્ત રીતે બદલામાં પરિવર્તિત કરવાથી, મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓ પછી આપણે ઘટાડેલા સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ મેળવીશું. મેટ્રિક્સ મેળવવા માટે માત્ર પંક્તિના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ થતો હોવાથી, તે મેટ્રિક્સ માટે l_equivalent છે. >

ઉદાહરણ 7. ઘટાડેલા સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ બનાવો, મેટ્રિક્સના l_સમકક્ષ

આ પ્રકરણના પ્રથમ ત્રણ ફકરા બહુપદી મેટ્રિસીસની સમાનતાના સિદ્ધાંતને સમર્પિત છે. તેના આધારે, આગામી ત્રણ ફકરાઓમાં, પ્રાથમિક વિભાજકોનો વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત બનાવવામાં આવ્યો છે, એટલે કે, સતત (થોડા-નોમિઅલ) ચોરસ મેટ્રિક્સને ઘટાડવાનો સિદ્ધાંત સામાન્ય સ્વરૂપ. પ્રકરણના છેલ્લા બે ફકરા ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ બનાવવાની બે પદ્ધતિઓ આપે છે.

§ 1. બહુપદી મેટ્રિક્સનું પ્રાથમિક પરિવર્તન

વ્યાખ્યા 1. બહુપદી મેટ્રિક્સ અથવા -મેટ્રિક્સ એ એક લંબચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો આમાં બહુપદી છે:

અહીં બહુપદીની સૌથી મોટી ડિગ્રી છે.

આપણે બહુપદી મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ, એટલે કે મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બહુપદી તરીકે:

ચાલો બહુપદી મેટ્રિક્સ પર નીચેની પ્રાથમિક કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ:

1. કેટલાકનો ગુણાકાર, ઉદાહરણ તરીકે મી, રેખાને સંખ્યા વડે.

2. કેટલાકમાં ઉમેરવું, ઉદાહરણ તરીકે મી, બીજી લીટી, ઉદાહરણ તરીકે મી, શબ્દમાળા, અગાઉ એક મનસ્વી બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર.

3. કોઈપણ બે લીટીઓ સ્વેપ કરો, ઉદાહરણ તરીકે મી અને મી લીટીઓ.

અમે રીડરને ચકાસવા માટે આમંત્રિત કરીએ છીએ કે ઑપરેશન 1, 2, 3 એ ક્રમના નીચેના ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા અનુક્રમે ડાબી બાજુના બહુપદી મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવા સમાન છે:

(1)

એટલે કે, ઑપરેશન 1, 2, 3 લાગુ કરવાના પરિણામે, મેટ્રિક્સ અનુક્રમે, મેટ્રિસિસમાં રૂપાંતરિત થાય છે, , . તેથી, પ્રકાર 1, 2, 3 ની કામગીરીને ડાબી પ્રાથમિક કામગીરી કહેવામાં આવે છે.

બહુપદી મેટ્રિક્સ પર યોગ્ય પ્રાથમિક કામગીરીઓ સંપૂર્ણપણે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (આ કામગીરી પંક્તિઓ પર નહીં, પરંતુ બહુપદી મેટ્રિક્સના કૉલમ પર કરવામાં આવે છે) અને અનુરૂપ મેટ્રિસિસ (ક્રમના):

જમણી પ્રાથમિક કામગીરી લાગુ કરવાના પરિણામે, મેટ્રિક્સને સંબંધિત મેટ્રિક્સ દ્વારા જમણી બાજુએ ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

અમે પ્રકાર (અથવા, સમાન શું છે, પ્રકાર) ના મેટ્રિસિસને પ્રાથમિક મેટ્રિસિસ કહીશું.

નિર્ધારક કોઈપણ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સપર નિર્ભર નથી અને શૂન્યથી અલગ છે. તેથી, દરેક ડાબે (જમણે) પ્રાથમિક કામગીરી માટે છે વિપરીત કામગીરી, જે ડાબી (અનુક્રમે જમણી) પ્રાથમિક કામગીરી પણ છે.

વ્યાખ્યા 2. બે બહુપદી મેટ્રિસિસ કહેવામાં આવે છે 1) ડાબી સમકક્ષ, 2) જમણી સમકક્ષ, 3) જો તેમાંથી એક અનુક્રમે લાગુ કરીને બીજામાંથી મેળવવામાં આવે તો સમકક્ષ, 1) ડાબી પ્રાથમિક કામગીરી, 2) જમણી પ્રાથમિક કામગીરી, 3) ડાબી અને યોગ્ય પ્રાથમિક કામગીરી.

મેટ્રિક્સને અનુરૂપ ડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ મેળવવા દો. પછી

. (2).

ઉત્પાદન દ્વારા સૂચિત કરીને, અમે ફોર્મમાં સમાનતા (2) લખીએ છીએ

, (3)

જ્યાં, દરેક મેટ્રિસિસની જેમ, બિનશૂન્ય સ્થિર નિર્ણાયક ધરાવે છે.

આગળના વિભાગમાં આપણે સાબિત કરીશું કે સતત બિન-શૂન્ય નિર્ણાયક સાથેના દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સને પ્રાથમિક મેટ્રિસીસના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, સમાનતા (3) સમાનતા (2) ની સમકક્ષ છે અને તેથી મેટ્રિસિસની ડાબી સમકક્ષતા અને .

યોગ્ય સમકક્ષતાના કિસ્સામાં બહુપદી મેટ્રિસિસઅને સમાનતાને બદલે (3) આપણી પાસે સમાનતા હશે

, (3")

અને (દ્વિપક્ષીય) સમાનતાના કિસ્સામાં - સમાનતા

અહીં ફરીથી અને બિનશૂન્ય અને સ્વતંત્ર નિર્ધારકો સાથે મેટ્રિસિસ છે.

આમ, વ્યાખ્યા 2 ને સમકક્ષ વ્યાખ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે.

વ્યાખ્યા 2." બે લંબચોરસ -મેટ્રિસિસ અને કહેવામાં આવે છે 1) ડાબે સમકક્ષ, 2) જમણો સમકક્ષ, 3) જો, અનુક્રમે સમકક્ષ

1) , 2) , 3) ,

જ્યાં અને અચળ અને બિનશૂન્ય નિર્ધારકો સાથે બહુપદી ચોરસ મેટ્રિસિસ છે.

અમે નીચેના મહત્વના ઉદાહરણ સાથે ઉપર રજૂ કરેલ તમામ વિભાવનાઓને સમજાવીએ છીએ.

રેખીય સજાતીય સિસ્ટમનો વિચાર કરો વિભેદક સમીકરણો-સતત ગુણાંક સાથે અજાણ્યા દલીલ કાર્યો સાથેનો ક્રમ:

(4)

નવા અજ્ઞાત કાર્યનું Mu સમીકરણ; બીજી પ્રાથમિક કામગીરીનો અર્થ છે નવા અજાણ્યા કાર્યની રજૂઆત (ને બદલે); ત્રીજી ક્રિયાનો અર્થ છે સમાવિષ્ટ શબ્દોના સમીકરણોમાં સ્થાનો બદલવા અને (દા.ત. ).

નવા આધાર પર સંક્રમણ.

ચાલો (1) અને (2) સમાન m-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ X ના બે પાયા છે.

(1) એક આધાર હોવાથી, બીજા આધારના વેક્ટરને તેમાંથી વિસ્તૃત કરી શકાય છે:

ના ગુણાંકમાંથી આપણે મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ:

(4) – આધાર (1) થી આધાર (2) તરફ જતી વખતે ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સનું સંકલન કરો.

તેને વેક્ટર બનવા દો, પછી (5) અને (6).

સંબંધ (7) એટલે કે

મેટ્રિક્સ P બિન-ડિજનરેટ છે, કારણ કે અન્યથા તે હશે રેખીય અવલંબનતેના સ્તંભો વચ્ચે, અને પછી તેના વેક્ટર્સ વચ્ચે.

વાતચીત પણ સાચી છે: કોઈપણ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ એ સૂત્રો (8) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે. કારણ કે P એ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે, પછી તેનું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (8) ની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે: (9).

રેખીય અવકાશ X માં 3 પાયા પસંદ કરવા દો: (10), (11), (12).

જ્યાંથી, એટલે કે. (13).

તે. ખાતે ક્રમિક રૂપાંતરણકોઓર્ડિનેટ્સ, પરિણામી પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ ઘટક રૂપાંતરણોના મેટ્રિસિસના ઉત્પાદન સમાન છે.

ચાલો રેખીય ઓપરેટર બનો અને X: (I) અને (II), અને Y – (III) અને (IV) માં બેઝની જોડી પસંદ કરવા દો.

બેઝ I – III ની જોડીમાં ઓપરેટર A સમાનતાને અનુરૂપ છે: (14). બેઝ II – IV ની જોડીમાં સમાન ઓપરેટર સમાનતાને અનુરૂપ છે: (15). તે. આપેલ ઓપરેટર A માટે અમારી પાસે બે મેટ્રિસિસ છે અને. અમે તેમની વચ્ચે નિર્ભરતા સ્થાપિત કરવા માંગીએ છીએ.

I થી III ના સંક્રમણ દરમિયાન P એ કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ હોવા દો.

II થી IV માં સંક્રમણ દરમિયાન Q એ કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે.

પછી (16), (17). (16) અને (17) માંથી (14) માટે અને (14) માટે અભિવ્યક્તિઓ બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આ સમાનતાને (15) સાથે સરખાવીને, અમે મેળવીએ છીએ:

સંબંધ (19) એક જ ઓપરેટરના મેટ્રિક્સને વિવિધ પાયામાં જોડે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં જગ્યાઓ X અને Y એકરૂપ થાય છે, ભૂમિકા IIIઆધાર I, અને IV – II ભજવે છે, પછી સંબંધ (19) સ્વરૂપ લે છે: .

ગ્રંથસૂચિ:

3. કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિત પરિચય. ભાગ II. બીજગણિતના ફંડામેન્ટલ્સ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક, -એમ. : ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત સાહિત્ય, 2000, 368 પૃષ્ઠ.

લેક્ચર નંબર 16 (II સેમેસ્ટર)

વિષય: જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિમેટ્રિક્સ સમાનતા.

બે મેટ્રિસ, A અને B, સમાન કદ, કહેવાય છે સમકક્ષ, જો ત્યાં બે બિન-એકવચન મેટ્રિસિસ R અને S હોય તો (1).

ઉદાહરણ:માં બેઝની વિવિધ પસંદગીઓ માટે સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ બે મેટ્રિસિસ રેખીય જગ્યાઓ x X અને Y સમકક્ષ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સમાન કદના તમામ મેટ્રિસીસના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલો સંબંધ એક સમાનતા સંબંધ છે.

પ્રમેય 8: સમાન કદના બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસને સમકક્ષ બનાવવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમાન રેન્કના હોય.

પુરાવો:

1. A અને B ને બે મેટ્રિક્સ થવા દો જેના માટે તે અર્થપૂર્ણ છે. ઉત્પાદનનો ક્રમ (મેટ્રિક્સ C) દરેક પરિબળના ક્રમ કરતાં ઊંચો નથી.

આપણે જોઈએ છીએ કે મેટ્રિક્સ C ની kth કૉલમ એ મેટ્રિક્સ A ના કૉલમના વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન છે અને આ મેટ્રિક્સ C ના તમામ કૉલમ માટે ધરાવે છે, એટલે કે. દરેક માટે. તે. , એટલે કે - રેખીય જગ્યાની સબસ્પેસ.

સબસ્પેસનું પરિમાણ અવકાશના પરિમાણ કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોવાથી, મેટ્રિક્સ C નો ક્રમ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

સમાનતા (2) માં, અમે ઇન્ડેક્સ i ને ઠીક કરીએ છીએ અને k ને 1 થી s સુધીના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અસાઇન કરીએ છીએ. પછી આપણે સિસ્ટમ (3) જેવી સમાનતાની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

સમાનતાઓથી (4) તે સ્પષ્ટ છે કે i-th લાઇનમેટ્રિક્સ C એ બધા i માટે મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓનું રેખીય સંયોજન છે, અને પછી મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓ દ્વારા ફેલાયેલ રેખીય હલ મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓ દ્વારા ફેલાયેલ રેખીય હલમાં સમાયેલ છે, અને પછી આનું પરિમાણ રેખીય શેલમેટ્રિક્સ B ના પંક્તિ વેક્ટરના રેખીય હલના પરિમાણ કરતા ઓછું અથવા તેની બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સ C નો રેન્ક મેટ્રિક્સ B ના રેન્ક કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

2. બિન-એકવચન દ્વારા ડાબી અને જમણી બાજુએ મેટ્રિક્સ A ના ઉત્પાદનનો ક્રમ ચોરસ મેટ્રિક્સ Q એ મેટ્રિક્સ A.() ના ક્રમની બરાબર છે. તે. મેટ્રિક્સ C નો ક્રમ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ સમાન છે.

પુરાવો:કેસ (1) માં જે સાબિત થયું હતું તે મુજબ. મેટ્રિક્સ Q બિન-એકવચન હોવાથી, તેના માટે અસ્તિત્વમાં છે: અને અગાઉના નિવેદનમાં જે સાબિત થયું હતું તે અનુસાર.

3. ચાલો સાબિત કરીએ કે જો મેટ્રિસિસ સમકક્ષ હોય, તો તેમની પાસે સમાન રેન્ક છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, જો ત્યાં R અને S હોય તો A અને B સમાન છે. ડાબી બાજુએ A ને R વડે અને જમણી બાજુએ S વડે ગુણાકાર કરવાથી સમાન ક્રમના મેટ્રિસિસ ઉત્પન્ન થાય છે, જે બિંદુ (2) માં સાબિત થાય છે, A નો ક્રમ B ના ક્રમની બરાબર છે.

4. મેટ્રિસિસ A અને B ને સમાન ક્રમના રહેવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે તેઓ સમકક્ષ છે. ચાલો વિચાર કરીએ.

ચાલો X અને Y ને બે રેખીય જગ્યાઓ હોઈએ જેમાં પાયા (આધાર X) અને (આધાર Y) પસંદ કરવામાં આવે. જેમ જાણીતું છે, ફોર્મનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ X થી Y સુધી અભિનય કરતા ચોક્કસ રેખીય ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

r એ મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ હોવાથી, વેક્ટરમાં બરાબર r એ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારી શકીએ કે પ્રથમ r વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પછી બાકીનું બધું તેમના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને અમે લખી શકીએ છીએ:

ચાલો આપણે સ્પેસ X માં એક નવો આધાર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ: . (7)

Y સ્પેસમાં નવો આધાર નીચે મુજબ છે:

વેક્ટર, શરત દ્વારા, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો Y: (8) ના આધાર પર કેટલાક વેક્ટર સાથે તેમને પૂરક બનાવીએ. તેથી (7) અને (8) બે નવા પાયા X અને Y છે. ચાલો આ પાયામાં ઓપરેટર A નું મેટ્રિક્સ શોધીએ:

તેથી, પાયાની નવી જોડીમાં, ઑપરેટર A નું મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ J છે. મેટ્રિક્સ A શરૂઆતમાં ફોર્મ, રેન્ક rનું મનસ્વી લંબચોરસ મેટ્રિક્સ હતું. અલગ-અલગ પાયામાં સમાન ઓપરેટરના મેટ્રિક્સ સમકક્ષ હોવાથી, આ દર્શાવે છે કે પ્રકાર અને ક્રમ r નું કોઈપણ લંબચોરસ મેટ્રિક્સ J ની સમકક્ષ છે. કારણ કે આપણે સમકક્ષ સંબંધ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, આ દર્શાવે છે કે પ્રકાર અને B ના કોઈપણ બે મેટ્રિસિસ A અને B ક્રમ r , મેટ્રિક્સ Jની સમકક્ષ હોવાને કારણે એકબીજાના સમકક્ષ છે.

ગ્રંથસૂચિ:

1. વોએવોડિન વી.વી. રેખીય બીજગણિત. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: લેન, 2008, 416 પૃષ્ઠ.

2. બેક્લેમિશેવ ડી.વી વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિઅને રેખીય બીજગણિત. એમ.: ફિઝમેટલીટ, 2006, 304 પૃષ્ઠ.

3. કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિત પરિચય. ભાગ II. બીજગણિતના ફંડામેન્ટલ્સ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક, -એમ. : ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત સાહિત્ય, 2000, 368 પૃષ્ઠ.

લેક્ચર નંબર 17 (II સેમેસ્ટર)

વિષય: ઇજેનવેલ્યુઝ અને eigenvectors. પોતાની સબસ્પેસ. ઉદાહરણો.

દસ્તાવેજ: I.e. નીચેની ક્રિયાઓ કરતી વખતે મેટ્રિક્સનો ક્રમ સાચવવામાં આવે છે:

1. રેખાઓનો ક્રમ બદલવો.

2. શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવો.

3. ટ્રાન્સપોઝિશન.

4. શૂન્યની સ્ટ્રિંગ દૂર કરવી.

5. સ્ટ્રિંગમાં બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર.

પ્રથમ રૂપાંતરણ કેટલાક સગીરોને યથાવત રાખશે, પરંતુ કેટલાકના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલશે. બીજું પરિવર્તન પણ કેટલાક સગીરોને યથાવત રાખશે, જ્યારે અન્યને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવશે. ત્રીજું પરિવર્તન તમામ સગીરોને સાચવશે. તેથી, આ પરિવર્તનો લાગુ કરતી વખતે, મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ સાચવવામાં આવશે (બીજી વ્યાખ્યા). શૂન્ય પંક્તિને નાબૂદ કરવાથી મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલી શકાતો નથી, કારણ કે આવી પંક્તિ બિન-શૂન્ય માઇનોર દાખલ કરી શકતી નથી. ચાલો પાંચમા રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

અમે ધારીશું કે આધાર માઇનોર Δp એ પ્રથમ p પંક્તિઓમાં સ્થિત છે. સ્ટ્રિંગ a માં એક આર્બિટરી સ્ટ્રિંગ b ઉમેરવા દો, જે આ સ્ટ્રિંગમાંથી એક છે, અમુક સંખ્યા λ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. તે. સ્ટ્રિંગ a માં બેઝિસ માઇનોર ધરાવતી સ્ટ્રિંગ્સનું રેખીય સંયોજન ઉમેરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આધાર ગૌણ Δp યથાવત રહેશે (અને 0 થી અલગ). પ્રથમ p લાઇનમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય સગીરો પણ યથાવત રહે છે, તે જ અન્ય તમામ સગીરો માટે સાચું છે. તે. વી આ કિસ્સામાંક્રમ (બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા) સાચવવામાં આવશે. હવે નાની Ms ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં પ્રથમ p પંક્તિઓમાંથી બધી પંક્તિઓ નથી (અને કદાચ તેમાં કોઈ પણ નથી).

શબ્દમાળા ai માં એક મનસ્વી શબ્દમાળા b ઉમેરીને, સંખ્યા λ વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે એક નવો માઇનોર Ms‘ અને Ms‘=Ms+λ Ms મેળવીએ છીએ, જ્યાં

જો s>p, તો Ms=Ms=0, કારણ કે મૂળ મેટ્રિક્સના p કરતાં મોટા ઓર્ડરના તમામ સગીર 0 ની બરાબર છે. પરંતુ પછી Ms'=0, અને મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ક્રમ વધતો નથી. પરંતુ તે ક્યાં તો ઘટાડી શક્યું નથી, કારણ કે મૂળભૂત માઇનોરમાં કોઈ ફેરફાર થયો નથી. તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ યથાવત રહે છે.

તમે વૈજ્ઞાનિક સર્ચ એન્જિન Otvety.Online માં પણ તમને રુચિ ધરાવો છો તે માહિતી મેળવી શકો છો. શોધ ફોર્મનો ઉપયોગ કરો:

1. બે વેક્ટર સ્પેસ આપવા દો અને, તે મુજબ, સંખ્યા ફીલ્ડ પર માપન, અને એક રેખીય ઓપરેટર મેપિંગમાં. આ વિભાગમાં આપણે શોધીશું કે આપેલ લીનિયર ઓપરેટરને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ કેવી રીતે બદલાય છે જ્યારે પાયામાં ફેરફાર થાય છે અને બદલાય છે.

ચાલો આપણે મનસ્વી પાયા પસંદ કરીએ અને . આ પાયામાં, ઓપરેટર મેટ્રિક્સને અનુરૂપ હશે. વેક્ટર સમાનતા

મેટ્રિક્સ સમાનતાને અનુલક્ષે છે

વેક્ટર અને બેઝમાં કોઓર્ડિનેટ કૉલમ ક્યાં અને છે.

ચાલો હવે ઇન અને અન્ય બેઝ પસંદ કરીએ અને . નવા પાયામાં, , ની જગ્યાએ, આપણી પાસે હશે: , , . તે જ સમયે

ચાલો આપણે ઓર્ડરના બિનસિંગ્યુલર ચોરસ મેટ્રિસિસ અને અનુક્રમે, જે જગ્યાઓમાં અને જૂના પાયાથી નવામાં સંક્રમણમાં કોઓર્ડિનેટ્સનું રૂપાંતર કરે છે તેના દ્વારા સૂચિત કરીએ (જુઓ § 4):

પછી (27) અને (29) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

ધારી રહ્યા છીએ, (28) અને (30) માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 8. બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસ અને સમાન કદના જો ત્યાં બે બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિસિસ હોય તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે અને જેમ કે

(31) માંથી તે અનુસરે છે કે સમાન રેખીય ઓપરેટરને અનુરૂપ બે મેટ્રિસીસ બેઝની વિવિધ પસંદગીઓ સાથે અને હંમેશા એકબીજાની સમકક્ષ હોય છે. તે જોવાનું સરળ છે કે, તેનાથી વિપરિત, જો મેટ્રિક્સ કેટલાક પાયા માટે ઓપરેટરને અનુલક્ષે છે અને, મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે, તો તે અને માં કેટલાક અન્ય પાયા માટે સમાન રેખીય ઓપરેટરને અનુરૂપ છે.

આમ, દરેક રેખીય ઓપરેટર મેપિંગ કરે છે અને ક્ષેત્રના ઘટકો સાથે એકબીજાની સમકક્ષ મેટ્રિસિસના વર્ગને અનુરૂપ છે.

2. નીચેનો પ્રમેય બે મેટ્રિસીસની સમાનતા માટે માપદંડ સ્થાપિત કરે છે:

પ્રમેય 2. સમાન કદના બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસને સમકક્ષ બનાવવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ મેટ્રિસિસ સમાન ક્રમ ધરાવે છે.

પુરાવો. શરત જરૂરી છે. લંબચોરસ મેટ્રિક્સને કોઈપણ બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ (ડાબે અથવા જમણે) વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, મૂળ લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલાઈ શકતો નથી (જુઓ પ્રકરણ I, પૃષ્ઠ 27). તેથી, (32) માંથી તે અનુસરે છે

સ્થિતિ પૂરતી છે. માપનું લંબચોરસ મેટ્રિક્સ થવા દો. તે એક રેખીય ઓપરેટર વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે એક આધાર સાથે જગ્યાને એક આધાર સાથે જગ્યામાં મેપ કરે છે. ચાલો સંખ્યા દ્વારા રેખીય રીતે સૂચિત કરીએ સ્વતંત્ર વેક્ટરવેક્ટર્સ વચ્ચે . સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારી શકીએ કે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે , અને બાકીના તેમના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

. (33)

ચાલો એક નવો આધાર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

(34)

પછી (33) ના આધારે

. (35)

વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો તેમને કેટલાક વેક્ટર સાથે પૂરક કરીએ.

પછી નવા પાયામાં સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ; , (35) અને (36) મુજબ ફોર્મ હશે

. (37)

મેટ્રિક્સમાં, મુખ્ય કર્ણ સાથે ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે; મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. મેટ્રિસિસ અને સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ હોવાથી, તેઓ એકબીજાના સમકક્ષ છે. જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, સમકક્ષ મેટ્રિસીસ સમાન ક્રમ ધરાવે છે. તેથી, મૂળ મેટ્રિક્સનો રેન્ક બરાબર છે.

અમે બતાવ્યું છે કે મનસ્વી લંબચોરસ રેન્ક મેટ્રિક્સ "કેનોનિકલ" મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે. પરંતુ મેટ્રિક્સ પરિમાણ અને સંખ્યાઓને સ્પષ્ટ કરીને સંપૂર્ણપણે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, આપેલ માપો અને આપેલ ક્રમના તમામ લંબચોરસ મેટ્રિક્સ સમાન મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે અને તેથી, એકબીજાની સમકક્ષ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

3. એક રેખીય ઓપરેટર રજૂ કરવા દો - પરિમાણીય જગ્યાપરિમાણીય. ફોર્મના વેક્ટરનો સમૂહ , જ્યાં , સ્વરૂપો વેક્ટર જગ્યા. અમે આ જગ્યાને દ્વારા દર્શાવીશું; તે અવકાશનો ભાગ બનાવે છે અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, અવકાશમાં એક સબસ્પેસ છે.

માં સબસ્પેસ સાથે, અમે સમીકરણને સંતોષતા તમામ વેક્ટરના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

આ વેક્ટર્સ પણ માં સબસ્પેસ બનાવે છે; અમે આ સબસ્પેસને દ્વારા દર્શાવીશું.

વ્યાખ્યા. .

બધા સમકક્ષ વચ્ચે લંબચોરસ મેટ્રિસિસ, આ ઓપરેટરને વિવિધ પાયામાં વ્યાખ્યાયિત કરવું, ત્યાં છે પ્રમાણભૂત મેટ્રિક્સ[જુઓ (37)]. ચાલો અને અને માં અનુરૂપ આધારો દ્વારા સૂચિત કરીએ. પછી

, .

વ્યાખ્યામાંથી અને તે અનુસરે છે કે વેક્ટર્સ માં આધાર બનાવે છે, અને વેક્ટર્સ માં આધારની તુલના કરે છે. તે આનાથી અનુસરે છે જે ઓપરેટરનો ક્રમ છે અને

જો ઑપરેટરને અનુરૂપ મનસ્વી મેટ્રિક્સ હોય, તો તે સમકક્ષ છે અને તેથી તે સમાન રેન્ક ધરાવે છે. આમ, ઓપરેટરનો ક્રમ લંબચોરસ મેટ્રિક્સના ક્રમ સાથે મેળ ખાય છે

,

કેટલાક પાયામાં ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરવું અને .

મેટ્રિક્સના સ્તંભોમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે . કારણ કે તે અનુસરે છે કે ઓપરેટરનો ક્રમ, એટલે કે પરિમાણોની સંખ્યા, સમાન છે મહત્તમ સંખ્યાવચ્ચે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર્સ . આમ, મેટ્રિક્સનો ક્રમ મેટ્રિક્સના રેખીય સ્વતંત્ર કૉલમની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે. સ્થાનાંતરણ દરમિયાન મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ કૉલમમાં બનાવવામાં આવે છે, અને રેન્ક બદલાતો નથી, મેટ્રિક્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા પણ મેટ્રિક્સના ક્રમની બરાબર છે.

4. બે આપવા દો રેખીય ઓપરેટર, અને તેમનું કાર્ય.

ઓપરેટરને નકશા કરવા દો, અને ઓપરેટરને નકશો કરવા દો. પછી ઓપરેટર નકશા કરે છે:

ચાલો મેટ્રિસીસનો પરિચય આપીએ , , ઓપરેટરોને અનુરૂપ , , પાયાની ચોક્કસ પસંદગી માટે , અને . પછી ઓપરેટર સમાનતા મેટ્રિક્સ સમાનતાને અનુરૂપ હશે., એટલે કે માં, .