જથ્થાનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો. અંકગણિતનો અર્થ શું છે? અંકગણિતનો સરેરાશ કેવી રીતે શોધવો? વેચાણ ક્ષેત્ર દ્વારા ટ્રેડિંગ કંપની "વેસ્ના" ના સ્ટોર્સનું વિતરણ, ચો.

અંકગણિત સરેરાશ એ આ સમાન સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. અને અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું ખૂબ જ સરળ છે.

વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ, આપણે સંખ્યાઓ લેવી જોઈએ, તેમને ઉમેરવી જોઈએ અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવી જોઈએ.

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ: આપણને 1, 3, 5, 7 નંબરો આપવામાં આવ્યા છે અને આપણે આ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે.

• પહેલા આ નંબરો ઉમેરો (1+3+5+7) અને 16 મેળવો
• આપણે પરિણામી પરિણામને 4 (જથ્થા) વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે: 16/4 અને પરિણામ 4 મેળવો.

તેથી સરેરાશ અંકગણિત સંખ્યાઓ 1, 3, 5 અને 7 એ 4 છે.

અંકગણિત સરેરાશ - આપેલ સૂચકાંકો વચ્ચેનું સરેરાશ મૂલ્ય.

તે તમામ સૂચકાંકોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરીને જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મારી પાસે 200, 250, 180, 220 અને 230 ગ્રામ વજનના 5 સફરજન છે.

અમે 1 સફરજનનું સરેરાશ વજન નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

• અમે બધા સફરજનના કુલ વજન (તમામ સૂચકાંકોનો સરવાળો) શોધી રહ્યા છીએ - તે 1080 ગ્રામ બરાબર છે,
• કુલ વજનને સફરજનની સંખ્યા 1080:5 = 216 ગ્રામ વડે વિભાજીત કરો. આ અંકગણિત સરેરાશ છે.

આંકડાઓમાં આ સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતું સૂચક છે.

અંકગણિત સરેરાશ એ એક સંખ્યા છે જે એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે, પરિણામી જવાબ એ અંકગણિત સરેરાશ છે.

ઉદાહરણ તરીકે: કાત્યાએ પિગી બેંકમાં 50 રુબેલ્સ, મેક્સિમ 100 રુબેલ્સ અને શાશાએ પિગી બેંકમાં 150 રુબેલ્સ મૂક્યા. પિગી બેંકમાં 50 + 100 + 150 = 300 રુબેલ્સ, હવે અમે આ રકમને ત્રણ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ (ત્રણ લોકો પૈસા મૂકે છે). તેથી 300: 3 = 100 રુબેલ્સ. આ 100 રુબેલ્સ અંકગણિતની સરેરાશ હશે, તેમાંના દરેક પિગી બેંકમાં મૂકવામાં આવશે.

આવું એક સરળ ઉદાહરણ છે: એક વ્યક્તિ માંસ ખાય છે, બીજી વ્યક્તિ કોબી ખાય છે, અને અંકગણિતની રીતે સરેરાશ તેઓ બંને કોબી રોલ્સ ખાય છે.

સરેરાશ પગારની ગણતરી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે...

અંકગણિત સરેરાશ એ તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે નંબરો 2, 3, 5, 6. તમારે તેમને 2+ 3+ 5 + 6 = 16 ઉમેરવાની જરૂર છે

આપણે 16 ને 4 વડે ભાગીએ છીએ અને જવાબ 4 મળે છે.

4 એ આ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

ઘણી સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ એ આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે જે તેમની સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે.

x સરેરાશ અંકગણિત સરેરાશ

S સંખ્યાઓનો સરવાળો

n સંખ્યાઓની સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 3, 4, 5 અને 6 નંબરોના અંકગણિત સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે.

આ કરવા માટે, આપણે તેમને ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને 4 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

મને યાદ છે કે મેં ગણિતની અંતિમ પરીક્ષા લીધી હતી

તેથી ત્યાં અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું જરૂરી હતું.

સારું કે સારા લોકોતેઓએ મને કહ્યું કે શું કરવું, નહીં તો મુશ્કેલી થશે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે 4 સંખ્યાઓ છે.

સંખ્યાઓ ઉમેરો અને તેમની સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો (માં આ બાબતે 4)

ઉદાહરણ તરીકે નંબરો 2,6,1,1. 2+6+1+1 ઉમેરો અને 4 = 2.5 વડે ભાગો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. તેથી અંકગણિત સરેરાશ એ બધી સંખ્યાઓની સરેરાશ છે.

અમે આ શાળામાંથી જાણીએ છીએ. જેની પાસે હતી સારા શિક્ષકગણિતમાં, આ સરળ ક્રિયાને પ્રથમ વખત યાદ રાખવું શક્ય હતું.

અંકગણિત સરેરાશ શોધતી વખતે, તમારે બધી ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અને તેમની સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મેં સ્ટોરમાંથી 1 કિલો સફરજન, 2 કિલો કેળા, 3 કિલો નારંગી અને 1 કિલો કિવિ ખરીદ્યું. મેં સરેરાશ કેટલા કિલોગ્રામ ફળ ખરીદ્યા?

7/4= 1.8 કિલોગ્રામ. આ અંકગણિત સરેરાશ હશે.

અંકગણિત સરેરાશ એ કેટલીક સંખ્યાઓ વચ્ચેની સરેરાશ સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 2 અને 4 વચ્ચે, મધ્યમ નંબર 3 છે.

અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટેનું સૂત્ર છે:

તમારે બધી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે અને આ સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે 3 નંબરો છે: 2, 5 અને 8.

અંકગણિતનો અર્થ શોધવો:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

અંકગણિત સરેરાશના ઉપયોગનો અવકાશ ઘણો વિશાળ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટ પરના બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને, તમે આ સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

ચાલો X3,Y3,Z3 કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આ સેગમેન્ટના મધ્યને દર્શાવીએ.

અમે દરેક સંકલન માટે અલગથી મધ્યબિંદુ શોધીએ છીએ:

અંકગણિત સરેરાશ એ આપેલની સરેરાશ છે...

તે. બસ, અમારી પાસે વિવિધ લંબાઈની સંખ્યાબંધ લાકડીઓ છે અને તેમની સરેરાશ કિંમત જાણવા માંગીએ છીએ.

તે તાર્કિક છે કે આ માટે આપણે તેમને એકસાથે લાવીએ છીએ, લાંબી લાકડી મેળવીએ છીએ, અને પછી તેને જરૂરી સંખ્યામાં ભાગોમાં વહેંચીએ છીએ..

અહીં અંકગણિતનો અર્થ આવે છે...

આ રીતે સૂત્ર ઉતરી આવ્યું છે: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

અંકગણિતને ગણિત અને અભ્યાસની સૌથી પ્રાથમિક શાખા ગણવામાં આવે છે સરળ પગલાંસંખ્યાઓ સાથે. તેથી, અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે પણ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો વ્યાખ્યા સાથે શરૂ કરીએ. અંકગણિત સરેરાશ એ એક મૂલ્ય છે જે દર્શાવે છે કે એક જ પ્રકારની અનેક ક્રમિક ક્રિયાઓ પછી કયો નંબર સત્યની સૌથી નજીક છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સો મીટર દોડે છે, ત્યારે વ્યક્તિ દર વખતે બતાવે છે અલગ સમય, પરંતુ સરેરાશ મૂલ્યઉદાહરણ તરીકે 12 સેકન્ડની અંદર હશે. આ રીતે અંકગણિત સરેરાશ શોધવું એ ચોક્કસ શ્રેણી (રેસ પરિણામો) માં તમામ સંખ્યાઓનો ક્રમિક સરવાળો કરવા અને આ સરવાળાને આ રેસની સંખ્યા (પ્રયત્નો, સંખ્યાઓ) દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે નીચે આવે છે. ફોર્મ્યુલા સ્વરૂપમાં તે આના જેવો દેખાય છે:

સરીફ = (Х1+Х2+..+Хn)/n

એક ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે, મને આ વિષય પરના પ્રશ્નોમાં રસ છે.

હું મુદ્દાના ઇતિહાસ સાથે પ્રારંભ કરીશ. પ્રાચીન સમયથી સરેરાશ મૂલ્યો વિશે વિચારવામાં આવે છે. અંકગણિત સરેરાશ, ભૌમિતિક સરેરાશ, હાર્મોનિક સરેરાશ. આ ખ્યાલો માં પ્રસ્તાવિત છે પ્રાચીન ગ્રીસપાયથાગોરિયન.

અને હવે પ્રશ્ન જે આપણને રુચિ છે. નો અર્થ શું છે સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ:

તેથી, સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે, તમારે બધી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને પદોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

સૂત્ર છે:

ઉદાહરણ.સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો: 100, 175, 325.

ચાલો ત્રણ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (એટલે ​​​​કે, n ને બદલે 3 હશે; તમારે બધી 3 સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે અને પરિણામી રકમને તેમની સંખ્યા દ્વારા, એટલે કે 3 વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર છે). અમારી પાસે છે: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

ત્રણ બાળકો બેરી લેવા જંગલમાં ગયા. સૌથી મોટી પુત્રીને 18 બેરી મળી, મધ્યમ એક - 15, અને નાનો ભાઈ- 3 બેરી (ફિગ. 1 જુઓ). તેઓ બેરીને મમ્મી પાસે લાવ્યા, જેમણે તેનાં રસ ઝરતાં ફળોની સમાનરૂપે વિભાજીત કરવાનું નક્કી કર્યું. દરેક બાળકને કેટલી બેરી મળી?

ચોખા. 1. સમસ્યાનું ઉદાહરણ

ઉકેલ

(યાગ.) - બાળકોએ બધું એકત્રિત કર્યું

2) વિભાજન કુલબાળકોની સંખ્યા દીઠ બેરી:

(યાગ.) દરેક બાળક પાસે ગયો

જવાબ આપો: દરેક બાળકને 12 બેરી પ્રાપ્ત થશે.

સમસ્યા 1 માં, જવાબમાં મેળવેલ સંખ્યા અંકગણિત સરેરાશ છે.

અંકગણિત સરેરાશસંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ આ સંખ્યાઓના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાનો ભાગ છે.

ઉદાહરણ 1

અમારી પાસે બે સંખ્યાઓ છે: 10 અને 12. તેમનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો.

ઉકેલ

1) ચાલો આ સંખ્યાઓનો સરવાળો નક્કી કરીએ: .

2) આ સંખ્યાઓની સંખ્યા 2 છે, તેથી, આ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ છે: .

જવાબ આપો: સંખ્યા 10 અને 12 નો અંકગણિત સરેરાશ એ સંખ્યા 11 છે.

ઉદાહરણ 2

અમારી પાસે પાંચ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4 અને 5. તેમનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો.

ઉકેલ

1) આ સંખ્યાઓનો સરવાળો બરાબર છે: .

2) વ્યાખ્યા દ્વારા, અંકગણિત સરેરાશ એ સંખ્યાઓના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાનો ભાગ છે. અમારી પાસે પાંચ સંખ્યાઓ છે, તેથી અંકગણિત સરેરાશ છે:

જવાબ આપો: સંખ્યાની સ્થિતિમાં ડેટાનો અંકગણિત સરેરાશ 3 છે.

એ હકીકત ઉપરાંત કે તેને પાઠમાં શોધવાનું સતત સૂચવવામાં આવે છે, અંકગણિત સરેરાશ શોધવામાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે રોજિંદુ જીવન. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કહીએ કે અમે રજા પર ગ્રીસ જવા માંગીએ છીએ. યોગ્ય કપડાં પસંદ કરવા માટે, અમે આ દેશમાં તાપમાન જોઈએ આ ક્ષણ. જો કે, અમે સમગ્ર હવામાન ચિત્રને જાણીશું નહીં. તેથી, ગ્રીસમાં હવાનું તાપમાન શોધવાનું જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક અઠવાડિયા માટે, અને આ તાપમાનની અંકગણિત સરેરાશ શોધો.

ઉદાહરણ 3

અઠવાડિયા માટે ગ્રીસમાં તાપમાન: સોમવાર - ; મંગળવારે - ; બુધવાર - ; ગુરુવાર - ; શુક્રવાર - ; શનિવાર - ; રવિવાર -. અઠવાડિયા માટે સરેરાશ તાપમાનની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

1) ચાલો તાપમાનના સરવાળાની ગણતરી કરીએ: .

2) પરિણામી રકમને દિવસોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો: .

જવાબ આપો: સરેરાશ તાપમાનલગભગ એક અઠવાડિયા માટે.

ફૂટબોલ ટીમના ખેલાડીઓની સરેરાશ ઉંમર નક્કી કરવા માટે, એટલે કે, ટીમ અનુભવી છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે અંકગણિત સરેરાશ શોધવાની ક્ષમતાની પણ જરૂર પડી શકે છે. બધા ખેલાડીઓની ઉંમરનો સરવાળો કરવો અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે.

સમસ્યા 2

વેપારી સફરજન વેચતો હતો. પહેલા તેણે તેમને 1 કિલો દીઠ 85 રુબેલ્સના ભાવે વેચ્યા. તેથી તેણે 12 કિલો વેચ્યું. પછી તેણે કિંમત ઘટાડીને 65 રુબેલ્સ કરી અને બાકીના 4 કિલો સફરજન વેચ્યા. સફરજનની સરેરાશ કિંમત કેટલી હતી?

ઉકેલ

1) ચાલો ગણતરી કરીએ કે વેપારીએ કુલ કેટલા પૈસા કમાયા. તેણે 12 કિલોગ્રામ 1 કિલો દીઠ 85 રુબેલ્સના ભાવે વેચ્યો: (ઘસવું.).

તેણે 1 કિલો દીઠ 65 રુબેલ્સના ભાવે 4 કિલોગ્રામ વેચ્યા: (રુબેલ્સ).

તેથી, કમાયેલા નાણાંની કુલ રકમ બરાબર છે: (ઘસવું.).

2) વેચાયેલા સફરજનનું કુલ વજન બરાબર છે: .

3) મળેલ રકમને વેચાયેલા સફરજનના કુલ વજન દ્વારા વિભાજીત કરો અને 1 કિલો સફરજનની સરેરાશ કિંમત મેળવો: (રુબેલ્સ).

જવાબ આપો: વેચાતા 1 કિલો સફરજનની સરેરાશ કિંમત 80 રુબેલ્સ છે.

અંકગણિત સરેરાશ દરેક મૂલ્યને અલગથી લીધા વિના, સમગ્ર ડેટાનું મૂલ્યાંકન કરવામાં મદદ કરે છે.

જો કે, અંકગણિત સરેરાશની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવો હંમેશા શક્ય નથી.

ઉદાહરણ 4

શૂટરે લક્ષ્ય પર બે ગોળી ચલાવી (જુઓ. આકૃતિ 2): પ્રથમ વખત તેણે લક્ષ્યથી એક મીટર ઉપર માર્યો, અને બીજી વખત તેણે એક મીટર નીચે માર્યો. અંકગણિત સરેરાશ બતાવશે કે તેણે બરાબર કેન્દ્રને ફટકાર્યો, જો કે તે બંને વખત ચૂકી ગયો.

ચોખા. 2. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

આ પાઠમાં આપણે અંકગણિત સરેરાશની વિભાવના વિશે શીખ્યા. અમે આ ખ્યાલની વ્યાખ્યા શીખ્યા, ઘણી સંખ્યાઓ માટે અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખ્યા. અમે પણ શીખ્યા વ્યવહારુ ઉપયોગઆ ખ્યાલ.

1. N.Ya. વિલેન્કિન. ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક. 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ uchr - એડ. 17મી. - એમ.: નેમોસીન, 2005.
)
2. ઇગોર પાસે તેની સાથે 45 રુબેલ્સ હતા, એન્ડ્રે પાસે 28 અને ડેનિસ પાસે 17 હતા.
3. તેમના બધા પૈસાથી તેઓએ 3 મૂવી ટિકિટો ખરીદી. એક ટિકિટની કિંમત કેટલી હતી?

જેમ કે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સંખ્યાઓના સમૂહના ઘટકોની સંખ્યા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અંકગણિત સરેરાશ ગાણિતિક અપેક્ષા તરફ વલણ ધરાવે છે રેન્ડમ ચલ.

પરિચય

ચાલો સંખ્યાઓનો સમૂહ સૂચવીએ એક્સ = (x 1 , x 2 , …, x n), પછી નમૂનાનો અર્થ સામાન્ય રીતે ચલ પર આડી પટ્ટી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ઉચ્ચાર " xલીટી સાથે").

ગ્રીક અક્ષર μ નો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સંખ્યાઓના સંપૂર્ણ સમૂહના અંકગણિત સરેરાશને દર્શાવવા માટે થાય છે. રેન્ડમ ચલ માટે કે જેના માટે સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, μ છે સંભાવના સરેરાશઅથવા રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા. જો સેટ એક્સએક સંગ્રહ છે રેન્ડમ નંબરોસંભવિત સરેરાશ μ સાથે, પછી કોઈપણ નમૂના માટે x iઆ સમૂહમાંથી μ = E( x i) આ નમૂનાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

વ્યવહારમાં, μ અને વચ્ચેનો તફાવત x ¯ (\Displaystyle (\bar (x)))તે μ એક લાક્ષણિક ચલ છે કારણ કે તમે સમગ્ર વસ્તીને બદલે નમૂના જોઈ શકો છો. તેથી, જો નમૂના રેન્ડમ છે (સંભાવના સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ), તો x ¯ (\Displaystyle (\bar (x)))(પરંતુ μ નહીં) નમૂના પર સંભાવના વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય ( સંભાવના વિતરણસરેરાશ).

આ બંને જથ્થાઓ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે:

ઉદાહરણો

• ત્રણ સંખ્યાઓ માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને 3 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

• માટે ચાર સંખ્યાતમારે તેમને ઉમેરવાની અને તેમને 4 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

સતત રેન્ડમ ચલ

જો કોઈ કાર્યનું અભિન્ન અંગ હોય f(x) (\Displaystyle f(x))એક ચલ, પછી સેગમેન્ટ પર આ ફંક્શનનો અંકગણિત સરેરાશ [a; b ] (\ પ્રદર્શન શૈલી )ચોક્કસ અભિન્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

અહીં જે કહેવાનો અર્થ છે b > a. (\displaystyle b>a.)

સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની કેટલીક સમસ્યાઓ

મજબૂતાઈનો અભાવ

જો કે અંકગણિત માધ્યમનો ઉપયોગ સરેરાશ અથવા કેન્દ્રીય વલણ તરીકે કરવામાં આવે છે, આ ખ્યાલ મજબૂત આંકડાઓને લાગુ પડતો નથી, જેનો અર્થ છે કે અંકગણિત સરેરાશને આધીન છે મજબૂત પ્રભાવ"મોટા વિચલનો" તે નોંધનીય છે કે વિકૃતિના મોટા ગુણાંક સાથેના વિતરણો માટે, અંકગણિત સરેરાશ "માર્ગ" ની વિભાવનાને અનુરૂપ ન હોઈ શકે, અને મજબૂત આંકડાઓમાંથી સરેરાશના મૂલ્યો (ઉદાહરણ તરીકે, મધ્ય) કેન્દ્રનું વધુ સારી રીતે વર્ણન કરી શકે છે. વલણ

એક ઉત્તમ ઉદાહરણ સરેરાશ આવકની ગણતરી છે. અંકગણિત સરેરાશને મધ્યક તરીકે ખોટી રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી શકે છે કે ખરેખર કરતાં વધુ આવક ધરાવતા લોકો વધુ છે. "સરેરાશ" આવકનો અર્થ એવો થાય છે કે મોટાભાગના લોકોની આવક આ સંખ્યાની આસપાસ છે. આ "સરેરાશ" (અંકગણિત સરેરાશના અર્થમાં) આવક મોટાભાગના લોકોની આવક કરતા વધારે છે, કારણ કે સરેરાશથી મોટા વિચલન સાથેની ઊંચી આવક અંકગણિતના સરેરાશને ખૂબ જ વિકૃત બનાવે છે (વિપરીત, સરેરાશ આવક આવા ત્રાંસી "પ્રતિરોધ કરે છે"). જો કે, આ "સરેરાશ" આવક સરેરાશ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી (અને મોડલ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી). જો કે, જો તમે "સરેરાશ" અને "મોટા ભાગના લોકો" ની વિભાવનાઓને હળવાશથી લો છો, તો તમે ખોટો તારણ કાઢી શકો છો કે મોટાભાગના લોકોની આવક તેમની વાસ્તવમાં છે તેના કરતા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મદિના, વોશિંગ્ટનમાં "સરેરાશ" ચોખ્ખી આવકનો અહેવાલ, રહેવાસીઓની તમામ વાર્ષિક ચોખ્ખી આવકની અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે આશ્ચર્યજનક રીતે ઉપજશે. મોટી સંખ્યાબિલ ગેટ્સ ના કારણે. નમૂનાનો વિચાર કરો (1, 2, 2, 2, 3, 9). અંકગણિત સરેરાશ 3.17 છે, પરંતુ છમાંથી પાંચ મૂલ્યો આ સરેરાશથી નીચે છે.

સંયોજન વ્યાજ

જો નંબરો ગુણાકાર, પણ નહીં ફોલ્ડ, તમારે ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અંકગણિત સરેરાશનો નહીં. ફાઇનાન્સમાં રોકાણ પરના વળતરની ગણતરી કરતી વખતે મોટેભાગે આ ઘટના બને છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સ્ટોક પ્રથમ વર્ષમાં 10% ઘટ્યો અને બીજામાં 30% વધ્યો, તો તે બે વર્ષમાં "સરેરાશ" વૃદ્ધિની ગણતરી અંકગણિત સરેરાશ (−10% + 30%) / 2 તરીકે કરવી અયોગ્ય છે. = 10%; આ કિસ્સામાં યોગ્ય સરેરાશ સંયોજન વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે લગભગ 8.16653826392% ≈ 8.2% વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર આપે છે.

આનું કારણ એ છે કે દર વખતે ટકાવારીમાં નવો પ્રારંભિક બિંદુ હોય છે: 30% એટલે 30% પ્રથમ વર્ષની શરૂઆતમાં કિંમત કરતાં ઓછી સંખ્યાથી:જો સ્ટોક $30 થી શરૂ થયો અને 10% ઘટ્યો, તો બીજા વર્ષની શરૂઆતમાં તેની કિંમત $27 છે. જો સ્ટોક 30% વધ્યો, તો બીજા વર્ષના અંતે તેની કિંમત $35.1 હશે. આ વૃદ્ધિની અંકગણિત સરેરાશ 10% છે, પરંતુ 2 વર્ષમાં શેર માત્ર $5.1 વધ્યા હોવાથી, સરેરાશ 8.2% ની વૃદ્ધિ આપે છે. અંતિમ પરિણામ $35.1:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. જો આપણે એ જ રીતે 10% ની અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને મળશે નહીં વાસ્તવિક મૂલ્ય: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

2 વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ: 90% * 130% = 117%, એટલે કે કુલ વધારો 17% છે, અને સરેરાશ વાર્ષિક સંયોજન વ્યાજ 117% ≈ 108.2% (\Displaystyle (\sqrt (117\%))\અંદાજે 108.2%), એટલે કે 8.2% નો સરેરાશ વાર્ષિક વધારો.

દિશાઓ

મુખ્ય લેખ: ગંતવ્ય આંકડા

સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે અંકગણિત મૂલ્યોકેટલાક ચલ માટે કે જે ચક્રીય રીતે બદલાય છે (જેમ કે તબક્કો અથવા કોણ), ખાસ કાળજી લેવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1 અને 359 ની સરેરાશ હશે 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. આ નંબર બે કારણોસર ખોટો છે.

ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચક્રીય ચલ માટેનું સરેરાશ મૂલ્ય કૃત્રિમ રીતે વાસ્તવિક સરેરાશની તુલનામાં આંકડાકીય શ્રેણીની મધ્યમાં ખસેડવામાં આવશે. આને કારણે, સરેરાશની ગણતરી અલગ રીતે કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સૌથી નાનો તફાવત (કેન્દ્ર બિંદુ) સાથેની સંખ્યાને સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, બાદબાકીને બદલે, મોડ્યુલર અંતર (એટલે ​​​​કે, પરિઘ અંતર) નો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1° અને 359° વચ્ચેનું મોડ્યુલર અંતર 2° છે, 358° નહીં (સર્કલ પર 359° અને 360°==0° - એક ડિગ્રી, 0° અને 1° વચ્ચે - પણ 1°, કુલ - 2 °).

મોટાભાગે eq માં. વ્યવહારમાં, આપણે અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવો પડશે, જેની ગણતરી સરળ અને ભારિત અંકગણિત સરેરાશ તરીકે કરી શકાય છે.

અંકગણિત સરેરાશ (SA)-એનસરેરાશનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર. તેનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં સમગ્ર વસ્તી માટે વિવિધ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ તેના વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોનો સરવાળો છે. સામાજિક ઘટનાઓ વિવિધ લાક્ષણિકતાના વોલ્યુમોની ઉમેરણ (સંપૂર્ણતા) દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે આ SA ના ઉપયોગનો અવકાશ નક્કી કરે છે અને સામાન્ય સૂચક તરીકે તેનો વ્યાપ સમજાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: સામાન્ય પગાર ભંડોળ એ તમામ કર્મચારીઓના પગારનો સરવાળો છે.

SA ની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તમામ વિશેષતા મૂલ્યોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. SA નો ઉપયોગ 2 સ્વરૂપોમાં થાય છે.

ચાલો પહેલા એક સરળ અંકગણિત સરેરાશ ધ્યાનમાં લઈએ.

1-CA સરળ (પ્રારંભિક, વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપ) એ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના સામાન્ય સરવાળા સમાન છે, જે આ મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે (જ્યારે લાક્ષણિકતાના અસંગઠિત અનુક્રમણિકા મૂલ્યો હોય ત્યારે વપરાય છે):

કરવામાં આવેલ ગણતરીઓ નીચેના સૂત્રમાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે:

(1)

જ્યાં - વિવિધ લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય, એટલે કે, સરળ અંકગણિત સરેરાશ;

અર્થ સરવાળો, એટલે કે વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતાઓનો ઉમેરો;

x- વિવિધ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો, જેને વેરિઅન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે;

n - વસ્તીના એકમોની સંખ્યા

ઉદાહરણ 1,એક કામદાર (મિકેનિક) નું સરેરાશ આઉટપુટ શોધવું જરૂરી છે, જો તે જાણીતું હોય કે 15 કામદારોમાંથી દરેક કેટલા ભાગ ઉત્પન્ન કરે છે, એટલે કે. ઇન્ડની શ્રેણી આપવામાં આવી છે. વિશેષતા મૂલ્યો, પીસી.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

સરળ SA ની ગણતરી સૂત્ર (1), pcs નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.:

ઉદાહરણ2. ચાલો ટ્રેડિંગ કંપનીમાં સમાવિષ્ટ 20 સ્ટોર્સ માટેના શરતી ડેટાના આધારે SA ની ગણતરી કરીએ (કોષ્ટક 1). કોષ્ટક 1

વેચાણ ક્ષેત્ર દ્વારા ટ્રેડિંગ કંપની "વેસ્ના" ના સ્ટોર્સનું વિતરણ, ચો. એમ

સરેરાશ સ્ટોર વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે ( ) બધા સ્ટોર્સના વિસ્તારોને ઉમેરવા અને પરિણામી પરિણામને સ્ટોર્સની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે:

આમ, છૂટક સાહસોના આ જૂથ માટે સરેરાશ સ્ટોર વિસ્તાર 71 ચો.મી.

તેથી, સરળ SA નક્કી કરવા માટે, તમારે બધા મૂલ્યોના સરવાળાની જરૂર છે આ લાક્ષણિકતાઆ લાક્ષણિકતા ધરાવતા એકમોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત.

2

જ્યાં f 1 , f 2 , … ,f n – વજન (સમાન ચિહ્નોના પુનરાવર્તનની આવર્તન);

- લક્ષણોની તીવ્રતા અને તેમની ફ્રીક્વન્સીઝના ઉત્પાદનોનો સરવાળો;

- વસ્તી એકમોની કુલ સંખ્યા.

જ્યાં એક્સ- વિકલ્પો;

f- આવર્તન (વજન).

વેઇટેડ SA એ વિકલ્પોના ઉત્પાદનોના સરવાળાને અને તેમની અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝને તમામ ફ્રીક્વન્સીના સરવાળાથી વિભાજિત કરવાનો ભાગ છે. આવર્તન ( f) SA ફોર્મ્યુલામાં દેખાતા સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે ભીંગડા, જેના પરિણામે SA એ વજનને ધ્યાનમાં લઈને ગણતરી કરેલ છે તેને ભારિત કહેવામાં આવે છે.

અમે ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ 1 નો ઉપયોગ કરીને ભારિત SA ની ગણતરી કરવાની તકનીક સમજાવીશું, આ કરવા માટે, અમે પ્રારંભિક ડેટાનું જૂથ કરીશું અને તેમને કોષ્ટકમાં મૂકીશું.

જૂથબદ્ધ ડેટાની સરેરાશ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: પ્રથમ, વિકલ્પો ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પછી ઉત્પાદનો ઉમેરવામાં આવે છે અને પરિણામી રકમ ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

સૂત્ર (2) મુજબ, ભારિત SA સમાન છે, pcs.:

પી

વેસ્ના સ્ટોર્સનું વેચાણ વિસ્તાર દ્વારા વિતરણ, ચો. m

આમ, પરિણામ સમાન હતું. જો કે, આ પહેલેથી જ ભારિત અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય હશે.

અગાઉના ઉદાહરણમાં, અમે અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરી છે જો કે સંપૂર્ણ ફ્રીક્વન્સીઝ (સ્ટોર્સની સંખ્યા) જાણીતી હોય. જો કે, સંખ્યાબંધ કેસોમાં, સંપૂર્ણ ફ્રીક્વન્સીઝ ગેરહાજર છે, પરંતુ જાણીતી છે સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ, અથવા, જેમ કે તેઓ સામાન્ય રીતે કહેવાય છે, આવર્તન કે જે પ્રમાણ દર્શાવે છે અથવાસમગ્ર સમૂહમાં ફ્રીક્વન્સીઝનું પ્રમાણ.

SA ભારિત ઉપયોગની ગણતરી કરતી વખતે ફ્રીક્વન્સીઝજ્યારે આવર્તન મોટી, બહુ-અંકની સંખ્યાઓમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે ત્યારે તમને ગણતરીઓને સરળ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. ગણતરી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે, જો કે, સરેરાશ મૂલ્ય 100 ગણો વધ્યું હોવાથી, પરિણામ 100 દ્વારા વિભાજિત થવું જોઈએ.

પછી અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:

જ્યાં ડી- આવર્તન, એટલે કે માં દરેક આવર્તનનો હિસ્સો કુલ રકમબધી ફ્રીક્વન્સીઝ.

અમારા ઉદાહરણ 2 માં, અમે પ્રથમ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણવેસ્ના સ્ટોર્સની કુલ સંખ્યામાં જૂથો દ્વારા સ્ટોર્સ. તેથી, પ્રથમ જૂથ માટે વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ 10% ને અનુરૂપ છે
. અમને નીચેનો ડેટા મળે છે કોષ્ટક3