વિષય પર અમૂર્ત:

હવાની ઘનતા

યોજના:

પરિચય

• 1 મોડેલની અંદરના સંબંધો આદર્શ ગેસ
  • 1.1 તાપમાન, દબાણ અને ઘનતા
  • 1.2 હવાના ભેજની અસર
  • 1.3 ટ્રોપોસ્ફિયરમાં ઊંચાઈની અસર
નોંધો

પરિચય

હવાની ઘનતા- એકમ વોલ્યુમ દીઠ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં ગેસનો સમૂહ અથવા ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણકુદરતી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હવા. તીવ્રતા હવાની ઘનતાલેવામાં આવેલા માપની ઊંચાઈ, તેનું તાપમાન અને ભેજનું કાર્ય છે. સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત મૂલ્ય 1.225 kg ⁄ m ગણવામાં આવે છે 3 , જે દરિયાની સપાટી પર 15°C પર સૂકી હવાની ઘનતાને અનુરૂપ છે.

1. આદર્શ ગેસ મોડેલની અંદરના સંબંધો

1.1. તાપમાન, દબાણ અને ઘનતા

શુષ્ક હવાની ઘનતા ક્લેપીરોનના આદર્શ ગેસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે આપેલ તાપમાન(અંગ્રેજી) રશિયન

અને દબાણ: ρ અહીં - હવાની ઘનતા,પી - સંપૂર્ણ દબાણ,આર - શુષ્ક હવા માટે ચોક્કસ ગેસ સ્થિરાંક (287.058 J ⁄ (kg K)), - ટીસંપૂર્ણ તાપમાન

• કેલ્વિનમાં. આમ, અવેજી દ્વારા આપણને મળે છે: પ્રમાણભૂત વાતાવરણમાંઆંતરરાષ્ટ્રીય સંઘ
• સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ રસાયણશાસ્ત્ર (તાપમાન 0°C, દબાણ 100 kPa, શૂન્ય ભેજ) હવાની ઘનતા 1.2754 kg ⁄ m³;

20 °C, 101.325 kPa અને શુષ્ક હવા પર, વાતાવરણની ઘનતા 1.2041 kg ⁄ m³ છે. નીચે આપેલ કોષ્ટક અનુરૂપના આધારે ગણતરી કરેલ વિવિધ હવા પરિમાણો બતાવે છેપ્રાથમિક સૂત્રો

, તાપમાનના આધારે (દબાણ 101.325 kPa તરીકે લેવામાં આવે છે)

1.2. હવાના ભેજની અસર ભેજ એ હવામાં વાયુયુક્ત પાણીની વરાળની હાજરીનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેનું આંશિક દબાણ આપેલ વાતાવરણીય પરિસ્થિતિઓ માટે સંતૃપ્ત વરાળના દબાણ કરતાં વધી જતું નથી. હવામાં પાણીની વરાળનો ઉમેરો તેની ઘનતામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે, જે નીચલા દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.દાઢ સમૂહ પાણી (18 ગ્રામ ⁄ મોલ) શુષ્ક હવાના દાઢ સમૂહ (29 ગ્રામ ⁄ મોલ) ની તુલનામાં. ભેજવાળી હવાને મિશ્રણ તરીકે ગણી શકાય, જેમાંથી દરેકની ઘનતાનું સંયોજન તમને તેમના મિશ્રણ માટે જરૂરી મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ અર્થઘટન −10 °C થી 50 °C સુધીના તાપમાનની શ્રેણીમાં 0.2% કરતા ઓછા ભૂલ સ્તર સાથે ઘનતા મૂલ્યના નિર્ધારણને મંજૂરી આપે છે અને તેને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

ભેજવાળી હવાની ઘનતા ક્યાં છે (kg ⁄ m³); - હવાની ઘનતા, ડી- શુષ્ક હવાનું આંશિક દબાણ (પા); - સંપૂર્ણ દબાણ, ડી- શુષ્ક હવા માટે સાર્વત્રિક ગેસ સ્થિરાંક (287.058 J ⁄ (kg K)); - શુષ્ક હવા માટે ચોક્કસ ગેસ સ્થિરાંક (287.058 J ⁄ (kg K)),- તાપમાન (કે); - હવાની ઘનતા, વિ- પાણીની વરાળનું દબાણ (પા) અને - સંપૂર્ણ દબાણ, વિ- વરાળ માટે સાર્વત્રિક સ્થિરાંક (461.495 J ⁄ (kg K)). પાણીની વરાળનું દબાણ સંબંધિત ભેજ પરથી નક્કી કરી શકાય છે:

જ્યાં - હવાની ઘનતા, વિ- પાણીની વરાળનું દબાણ; φ - સંબંધિત ભેજઅને - હવાની ઘનતા, sat એ સંતૃપ્ત વરાળનું આંશિક દબાણ છે, બાદમાં નીચેના સરળ અભિવ્યક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

જે મિલીબારમાં પરિણામ આપે છે. શુષ્ક હવાનું દબાણ - હવાની ઘનતા, ડીસરળ તફાવત દ્વારા નિર્ધારિત:

જ્યાં - હવાની ઘનતા,વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમના સંપૂર્ણ દબાણને સૂચવે છે.

1.3. ટ્રોપોસ્ફિયરમાં ઊંચાઈની અસર

પ્રમાણભૂત વાતાવરણની સરખામણીમાં ઊંચાઈ પર દબાણ, તાપમાન અને હવાની ઘનતાનું નિર્ભરતા - હવાની ઘનતા, 0 =101325 Pa, T0=288.15 K, ρ 0 =1.225 kg/m³).

ટ્રોપોસ્ફિયરમાં ચોક્કસ ઊંચાઈએ હવાની ઘનતાની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના પરિમાણોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે (વાતાવરણ પરિમાણો પ્રમાણભૂત વાતાવરણનું મૂલ્ય સૂચવે છે):

• ધોરણ વાતાવરણીય દબાણદરિયાની સપાટી પર - - હવાની ઘનતા, 0 = 101325 પા;
• દરિયાની સપાટી પર પ્રમાણભૂત તાપમાન - T0= 288.15 કે;
• પ્રવેગક મુક્ત પતનપૃથ્વીની સપાટી ઉપર - g= 9.80665 મીટર ⁄ સેકન્ડ 2 (આ ગણતરીઓ માટે તેને ઊંચાઈ-સ્વતંત્ર મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે);
• તાપમાનમાં ઘટાડો દર (અંગ્રેજી) રશિયન. ઉંચાઈ સાથે, ટ્રોપોસ્ફિયરની અંદર -એલ
• = 0.0065 K ⁄ m; - સંપૂર્ણ દબાણ,યુનિવર્સલ ગેસ કોન્સ્ટન્ટ -
• = 8.31447 જે ⁄ (મોલ કે); શુષ્ક હવાના દાઢ સમૂહ -એમ

= 0.0289644 કિગ્રા ⁄ મોલ. ટ્રોપોસ્ફિયર માટે (એટલે ​​​​કે તાપમાનમાં રેખીય ઘટાડોનો પ્રદેશ - અહીં વપરાયેલ ટ્રોપોસ્ફિયરની આ એકમાત્ર મિલકત છે) ઊંચાઈ પર તાપમાન h

સમુદ્ર સપાટીથી ઉપર સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે: ટ્રોપોસ્ફિયર માટે (એટલે ​​​​કે તાપમાનમાં રેખીય ઘટાડોનો પ્રદેશ - અહીં વપરાયેલ ટ્રોપોસ્ફિયરની આ એકમાત્ર મિલકત છે) ઊંચાઈ પર તાપમાન:

ઊંચાઈ પર દબાણ

પછી સૂત્રમાં આપેલ ઊંચાઈ hને અનુરૂપ તાપમાન T અને દબાણ P ને બદલીને ઘનતાની ગણતરી કરી શકાય છે: આ ક્ષણેદરિયાની સપાટી પર.

પાછી ખેંચી લીધી વિભેદક સમીકરણો(1.2, 1.4) પેરામીટર્સ ધરાવે છે જે પ્રવાહી અથવા ગેસનું લક્ષણ ધરાવે છે: ઘનતા આર , સ્નિગ્ધતા m , તેમજ પરિમાણો છિદ્રાળુ માધ્યમો- છિદ્રાળુતા ગુણાંક m અને અભેદ્યતા k . વધુ ગણતરીઓ માટે, દબાણ પરના આ ગુણાંકોની અવલંબન જાણવી જરૂરી છે.

ટીપું પ્રવાહી ઘનતા. ટીપું પ્રવાહીના સ્થિર ગાળણ સાથે, તેની ઘનતાને દબાણથી સ્વતંત્ર ગણી શકાય, એટલે કે, પ્રવાહીને અસ્પષ્ટ ગણી શકાય: r = const .

અસ્થિર પ્રક્રિયાઓમાં, પ્રવાહીની સંકોચનક્ષમતા ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે, જે લાક્ષણિકતા છે પ્રવાહીનું વોલ્યુમેટ્રિક કમ્પ્રેશન રેશિયો b . આ ગુણાંક સામાન્ય રીતે સ્થિર માનવામાં આવે છે:

થી છેલ્લી સમાનતાને સંકલિત કર્યા પ્રારંભિક મૂલ્યોદબાણ પૃષ્ઠ 0 અને ઘનતા આર 0 થી વર્તમાન મૂલ્યો, અમને મળે છે:

આ કિસ્સામાં આપણે મેળવીએ છીએ રેખીય અવલંબનઘનતા વિરુદ્ધ દબાણ.

વાયુઓની ઘનતા. દબાણ અને તાપમાનમાં નાના ફેરફારો સાથે સંકુચિત પ્રવાહી (વાયુઓ) પણ વોલ્યુમેટ્રિક કમ્પ્રેશન ગુણાંક દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે અને થર્મલ વિસ્તરણ. પરંતુ દબાણ અને તાપમાનમાં મોટા ફેરફારો સાથે, આ ગુણાંકમાં ફેરફાર થાય છે વિશાળ મર્યાદામાંતેથી, દબાણ અને તાપમાન સાથે આદર્શ ગેસની ઘનતા પર આધારિત છે રાજ્યના ક્લેપેરોન-મેન્ડેલીવ સમીકરણો:

જ્યાં R' = R/M m- ગેસની રચનાના આધારે ગેસ સ્થિર.

હવા અને મિથેન માટેનો ગેસ સ્થિરાંક અનુક્રમે સમાન છે, R΄ હવા = 287 J/kg K˚; R΄ મિથેન = 520 J/kg K˚.

છેલ્લું સમીકરણ ક્યારેક આ રીતે લખવામાં આવે છે:

(1.50)

છેલ્લા સમીકરણથી તે સ્પષ્ટ છે કે ગેસની ઘનતા દબાણ અને તાપમાન પર આધારિત છે, તેથી જો ગેસની ઘનતા જાણીતી હોય, તો તે ગેસનું દબાણ, તાપમાન અને રચના દર્શાવવી જરૂરી છે, જે અસુવિધાજનક છે. તેથી, સામાન્ય અને પ્રમાણભૂત ભૌતિક પરિસ્થિતિઓની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય સ્થિતિતાપમાન t = 0°C અને દબાણ p = 0.1013°MPa ને અનુરૂપ છે. ખાતે હવાની ઘનતા સામાન્ય સ્થિતિρ v.n.us = 1.29 kg/m 3 ની બરાબર.

માનક શરતોતાપમાન t = 20°C અને દબાણ p = 0.1013°MPa ને અનુરૂપ છે. પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓમાં હવાની ઘનતા ρ w.st.us = 1.22 kg/m 3 ની બરાબર છે.

તેથી, આપેલ શરતો હેઠળ જાણીતી ઘનતામાંથી, દબાણ અને તાપમાનના અન્ય મૂલ્યો પર ગેસની ઘનતાની ગણતરી કરવી શક્ય છે:

જળાશયના તાપમાનને બાદ કરતાં, અમે રાજ્યનું આદર્શ ગેસ સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેનો અમે ભવિષ્યમાં ઉપયોગ કરીશું:

જ્યાં z - રાજ્યના વિચલનની ડિગ્રી દર્શાવતા ગુણાંક વાસ્તવિક ગેસઆદર્શ ગેસ કાયદામાંથી (સુપર કોમ્પ્રેસિબિલિટી ગુણાંક) અને દબાણ અને તાપમાન પર આપેલ ગેસ પર આધાર રાખીને z = z(p, T) . સુપરકોમ્પ્રેસિબિલિટી ગુણાંક મૂલ્યો z ડી. બ્રાઉનના આલેખ અનુસાર નક્કી કરવામાં આવે છે.

તેલ સ્નિગ્ધતા. પ્રયોગો દર્શાવે છે કે તેલના સ્નિગ્ધતા ગુણાંક (સંતૃપ્તિ દબાણથી ઉપરના દબાણ પર) અને ગેસ વધતા દબાણ સાથે વધે છે. દબાણમાં નોંધપાત્ર ફેરફારો સાથે (100 MPa સુધી), દબાણ પર જળાશય તેલ અને કુદરતી વાયુઓની સ્નિગ્ધતાની અવલંબન ઘાતાંકીય હોવાનું માની શકાય છે:

(1.56)

દબાણમાં નાના ફેરફારો માટે, આ અવલંબન રેખીય છે.

અને દબાણ: મી 0 - નિશ્ચિત દબાણ પર સ્નિગ્ધતા પૃષ્ઠ 0 ; β m - ગુણાંક પ્રાયોગિક રીતે અને તેલ અથવા ગેસની રચનાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.

જળાશય છિદ્રાળુતા. છિદ્રાળુતા ગુણાંક દબાણ પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે તે શોધવા માટે, ચાલો પ્રવાહીથી ભરેલા છિદ્રાળુ માધ્યમમાં કામ કરતા તણાવના પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લઈએ. જેમ જેમ પ્રવાહીમાં દબાણ ઘટે છે, છિદ્રાળુ માધ્યમના હાડપિંજર પરનું બળ વધે છે, તેથી છિદ્રાળુતા ઘટે છે.

ઘન તબક્કાના નીચા વિરૂપતાને કારણે, સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે છિદ્રાળુતામાં ફેરફાર દબાણમાં ફેરફાર પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. રોક કોમ્પ્રેસિબિલિટીનો કાયદો નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે, પરિચય રચના b c ના વોલ્યુમેટ્રિક સ્થિતિસ્થાપકતાના ગુણાંક:

જ્યાં મી 0 - દબાણ પર છિદ્રાળુતા ગુણાંક પૃષ્ઠ 0 .

પ્રયોગશાળા પ્રયોગોવિવિધ દાણાદાર ખડકો અને ક્ષેત્રીય અભ્યાસો દર્શાવે છે કે રચનાની વોલ્યુમેટ્રિક સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણાંક (0.3 - 2) 10 -10 Pa -1 છે.

દબાણમાં નોંધપાત્ર ફેરફારો સાથે, છિદ્રાળુતામાં ફેરફાર સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

અને મોટા માટે - ઘાતાંકીય:

(1.61)

ખંડિત રચનાઓમાં, છિદ્રાળુ કરતાં વધુ સઘન દબાણના આધારે અભેદ્યતામાં ફેરફાર થાય છે, તેથી, ખંડિત રચનાઓમાં, અવલંબનને ધ્યાનમાં લેતા k(p) દાણાદાર કરતાં વધુ જરૂરી.

રચનાને સંતૃપ્ત કરતા પ્રવાહી અથવા વાયુની સ્થિતિના સમીકરણો અને છિદ્રાળુ માધ્યમ વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમને બંધ કરે છે.

જ્યાં λ સમાન ઘટનાઓની ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યાની બરાબર છે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, એટલે કે λ = n × p, જ્યાં p એ એક અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના છે, e = 2.71828.

પોઈસન કાયદો વિતરણ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

પોઈસન વિતરણનો તફાવત
D[X] = λ

ઉદાહરણ નંબર 1. બીજમાં 0.1% નીંદણ હોય છે. જો તમે રેન્ડમલી 2000 બીજ પસંદ કરો તો 5 નીંદણ બીજ શોધવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.
સંભાવના p નાની છે, પરંતુ સંખ્યા n મોટી છે. np = 2 P(5) = λ 5 e -5/5! = 0.03609
અપેક્ષા: M[X] = λ = 2
વિખેરી નાખવું: D[X] = λ = 2

ઉદાહરણ નંબર 2. રાઈના બીજમાં 0.4% નીંદણના બીજ છે. 5000 બીજની રેન્ડમ પસંદગી સાથે નીંદણની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. શોધો ગાણિતિક અપેક્ષાઅને આનો તફાવત રેન્ડમ ચલ.
ઉકેલ. ગાણિતિક અપેક્ષા: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. વિક્ષેપ: D[X] = λ = 20
વિતરણ કાયદો:

ઉદાહરણ નંબર 3. ચાલુ ટેલિફોન એક્સચેન્જ 1/200 ની સંભાવના સાથે ખોટું જોડાણ થાય છે. સંભવિતતા શોધો કે 200 કનેક્શન્સ વચ્ચે નીચેના થશે:
a) બરાબર એક ખોટું જોડાણ;
b) ત્રણ કરતાં ઓછા ખોટા જોડાણો;
c) બે કરતાં વધુ ખોટા જોડાણો.
ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, ઘટનાની સંભાવના ઓછી છે, તેથી અમે પોઈસન સૂત્ર (15) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
a) આપેલ: n = 200, p = 1/200, k = 1. ચાલો P 200 (1) શોધીએ.
અમને મળે છે: . પછી P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0.3679.
b) આપેલ: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
અમારી પાસે છે: a = 1.

c) આપેલ: n = 200, p = 1/200, k > 2. ચાલો P 200 (k > 2) શોધીએ.
આ સમસ્યાને વધુ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે: વિપરીત ઘટનાની સંભાવના શોધો, કારણ કે આ કિસ્સામાં તમારે ઓછા શબ્દોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અગાઉના કેસને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે

તે કિસ્સામાં ધ્યાનમાં લો કે જ્યાં n પૂરતો મોટો અને p પૂરતો નાનો છે; ચાલો np = a મૂકીએ, જ્યાં a અમુક સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત સંભાવના પોઈસન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ નંબર 4. ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.005 છે. 400 ભાગો તપાસવામાં આવે છે. 3 થી વધુ ભાગો ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે એક સૂત્ર આપો.

ઉદાહરણ નંબર 5. મોટા પાયે ઉત્પાદન દરમિયાન ખામીયુક્ત ભાગો દેખાવાની સંભાવના પી. સંભવિતતા નક્કી કરો કે N ભાગોના બેચમાં a) બરાબર ત્રણ ભાગો; b) ત્રણ કરતાં વધુ ખામીયુક્ત ભાગો નહીં.
p=0.001; એન = 4500
ઉકેલ.
સંભાવના p નાની છે, પરંતુ સંખ્યા n મોટી છે. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
રેન્ડમ ચલ X પાસે મૂલ્યોની શ્રેણી છે (0,1,2,...,m). આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ચાલો X ની વિતરણ શ્રેણી શોધીએ.
અહીં λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

પછી સંભવિતતા કે N ભાગોના બેચમાં બરાબર ત્રણ ભાગો હોય છે તે બરાબર છે:

પછી સંભાવના કે N ભાગોના બેચમાં ત્રણ કરતાં વધુ ખામીયુક્ત ભાગો શામેલ નથી:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

ઉદાહરણ નંબર 6. ઓટોમેટિક ટેલિફોન એક્સચેન્જ પ્રતિ કલાક સરેરાશ એન કોલ્સ મેળવે છે. આપેલ મિનિટમાં તેણી પ્રાપ્ત કરશે તેવી સંભાવના નક્કી કરો: a) બરાબર બે કૉલ્સ; b) બે કરતાં વધુ કૉલ.
N=18
ઉકેલ.
એક મિનિટમાં, ઓટોમેટિક ટેલિફોન એક્સચેન્જ સરેરાશ λ = 18/60 મિનિટ મેળવે છે. = 0.3
એમ ધારીને કે પીબીએક્સ પર એક મિનિટમાં રેન્ડમ નંબર X કોલ્સ પ્રાપ્ત થાય છે,
પોઈસનના કાયદાનું પાલન કરે છે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઇચ્છિત સંભાવના શોધીશું

ચાલો X ની વિતરણ શ્રેણી શોધીએ.
અહીં λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

આપેલ મિનિટમાં તેણીને બરાબર બે કૉલ્સ પ્રાપ્ત થવાની સંભાવના છે:
P(2) = 0.03334
આપેલ મિનિટમાં તેણીને બે કરતાં વધુ કૉલ્સ પ્રાપ્ત થવાની સંભાવના છે:
P(x>2) = 1 – 0.7408 – 0.2222 – 0.03334 = 0.00366

ઉદાહરણ નંબર 7. એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે કામ કરતા બે ઘટકો ગણવામાં આવે છે. નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમયગાળો છે ઘાતાંકીય વિતરણપેરામીટર સાથે પ્રથમ તત્વ માટે λ1 = 0.02 અને બીજા તત્વ માટે λ2 = 0.05. સંભાવના શોધો કે 10 કલાકમાં: a) બંને તત્વો નિષ્ફળતા વિના કાર્ય કરશે; b) માત્ર એવી સંભાવના કે તત્વ નંબર 1 10 કલાકમાં નિષ્ફળ જશે નહીં:
નિર્ણય.
પી 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0.8187

સંભાવના કે તત્વ નંબર 2 10 કલાકમાં નિષ્ફળ જશે નહીં:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0.6065

a) બંને તત્વો દોષરહિત રીતે કાર્ય કરશે;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
b) માત્ર એક તત્વ નિષ્ફળ જશે.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

ઉદાહરણ નંબર 7. ઉત્પાદન 1% ખામી પેદા કરે છે. સંશોધન માટે લેવામાં આવેલ 1100 ઉત્પાદનોમાંથી 17 થી વધુ નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
નોંધ: અહીંથી n*p =1100*0.01=11 > 10, તેનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે

ચાલો આપણે ફરીથી પરિસ્થિતિને યાદ કરીએ જેને બર્નૌલી યોજના કહેવામાં આવતી હતી: n સ્વતંત્ર અજમાયશ, જેમાંના દરેકમાં કેટલીક ઘટનાઓ હોય છે એસમાન સંભાવના સાથે દેખાઈ શકે છે આર. પછી, સંભાવના નક્કી કરવા માટે કે આમાં nપરીક્ષણ ઇવેન્ટ એબરાબર દેખાશે kવખત (આ સંભાવના દર્શાવવામાં આવી હતી પી n (k) ) બર્નોલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બરાબર ગણતરી કરી શકાય છે, જ્યાં q=1− - હવાની ઘનતા,. જો કે, જ્યારે મોટી સંખ્યામાંપરીક્ષણો nબર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ ખૂબ જ અસુવિધાજનક બની જાય છે, કારણ કે તે ખૂબ મોટી સંખ્યા સાથે કામગીરી તરફ દોરી જાય છે. તેથી (જો તમને યાદ છે − બર્નોલી સ્કીમ અને ફોર્મ્યુલાનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ એક વખત આવરી લેવામાં આવ્યું હતું જ્યારે સંભાવનાના સિદ્ધાંતના પ્રથમ ભાગનો અભ્યાસ કરતી વખતે "રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ") મોટા માટે nવધુ અનુકૂળ (અંદાજે હોવા છતાં) સૂત્રો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા હતા, જે વધુ સચોટ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. n(પોઇસન ફોર્મ્યુલા, સ્થાનિક અને અભિન્ન મોઇવર-લેપ્લેસ સૂત્ર). જો બર્નૌલી યોજનામાં પ્રયોગોની સંખ્યા nઉચ્ચ અને સંભાવના છે આરઘટનાની ઘટના એદરેક કસોટીમાં નાનું હોય છે, પછી ઉલ્લેખિત પોઈસન ફોર્મ્યુલા સારો અંદાજ આપે છે
, જ્યાં પરિમાણ a =n∙ - હવાની ઘનતા,. આ સૂત્ર પોઈસન વિતરણ તરફ દોરી જાય છે. ચાલો ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ આપીએ

અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સધરાવે છે ઝેરનું વિતરણ, જો તે મૂલ્યો લે છે 0, 1, 2, ... સંભાવનાઓ સાથે આર 0 , પી 1 , ... , જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

અને નંબર એપોઈસન વિતરણનું પરિમાણ છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે r.v. ના સંભવિત મૂલ્યો. એક્સઅનંત ઘણા − આ બધા બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. આમ, d.s.v એક્સપોઈસન વિતરણ સાથે નીચેનો વિતરણ કાયદો છે:

ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરતી વખતે (જાણીતા વિતરણ કાયદા સાથે d.r.v. માટે તેમની વ્યાખ્યા મુજબ), હવે કોઈએ ધ્યાનમાં લેવું પડશે નહીં અંતિમ રકમ, અને અનુરૂપ અનંત શ્રેણીના સરવાળો (કારણ કે વિતરણ કાયદાના કોષ્ટકમાં અનંત ઘણા કૉલમ છે). જો આપણે આ શ્રેણીના સરવાળોની ગણતરી કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલનો તફાવત બંને એક્સપોઈસન વિતરણ પરિમાણ સાથે એકરુપ છે એઆ વિતરણના:

,
.

ચાલો ફેશન શોધીએ ડી(એક્સ) પોઈસન વિતરિત રેન્ડમ ચલ એક્સ. ચાલો એ જ તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ જેનો ઉપયોગ દ્વિપક્ષી રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના મોડની ગણતરી કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ફેશનની વ્યાખ્યા દ્વારા ડી(એક્સ)= k, જો સંભાવના
તમામ સંભાવનાઓ વચ્ચે મહાન આર 0 , પી 1 , ... . ચાલો આવા નંબર શોધીએ k (આ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે). આ સાથે kસંભાવના - હવાની ઘનતા, kતેની પડોશી સંભાવનાઓ કરતાં ઓછી ન હોવી જોઈએ: - હવાની ઘનતા, k −1 ≤ - હવાની ઘનતા, k ≤ - હવાની ઘનતા, k +1 . દરેક સંભાવના માટે અનુરૂપ સૂત્રને બદલીને, આપણે તે સંખ્યા મેળવીએ છીએ kબેવડી અસમાનતાને સંતોષવી જોઈએ:

.

જો આપણે ફેક્ટોરિયલ્સ માટેના સૂત્રો લખીએ અને સરળ પરિવર્તનો કરીએ, તો આપણે તે મેળવી શકીએ છીએ ડાબી અસમાનતાઆપે છે k≤ એ, અને અધિકાર k≥ a −1. તેથી નંબર kબેવડી અસમાનતાને સંતોષે છે a −1 ≤k≤ એ, એટલે કે સેગમેન્ટનો છે [ a −1, a] કારણ કે આ સેગમેન્ટની લંબાઈ દેખીતી રીતે સમાન છે 1 , તો તેમાં એક અથવા 2 પૂર્ણાંકો હોઈ શકે છે. જો નંબર એસમગ્ર, પછી સેગમેન્ટમાં [ a −1, a] સેગમેન્ટના છેડે 2 પૂર્ણાંકો આવેલા છે. જો નંબર એપૂર્ણાંક નથી, તો પછી આ સેગમેન્ટમાં માત્ર એક પૂર્ણાંક છે.

આમ, જો નંબર એપૂર્ણાંક, પછી પોઈસનનો મોડ રેન્ડમ ચલ વિતરિત કરે છે એક્સ 2 સંલગ્ન મૂલ્યો લે છે: ડી(એક્સ)=a−1અને ડી(એક્સ)=એ. જો નંબર એસમગ્ર નથી, પછી ફેશન છે એક મૂલ્ય ડી(એક્સ)= k, ક્યાં k એકમાત્ર પૂર્ણાંક છે જે અસમાનતાને સંતોષે છે a −1 ≤k≤ એ, એટલે કે ડી(એક્સ)= [એ] .

ઉદાહરણ. પ્લાન્ટે આધાર પર 5,000 ઉત્પાદનો મોકલ્યા. સંક્રમણમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થવાની સંભાવના 0.0002 છે. 18 ઉત્પાદનોને નુકસાન થવાની સંભાવના કેટલી છે? ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શું છે? ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યા શું છે અને તેની સંભાવના શું છે?

ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓમાં પોઈસનના કાયદા તરીકે ઓળખાતા વિલક્ષણ કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સામનો કરવો પડે છે.

એક અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો જે ફક્ત પૂર્ણાંક, બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે:

તદુપરાંત, આ મૂલ્યોનો ક્રમ સૈદ્ધાંતિક રીતે અમર્યાદિત છે.

રેન્ડમ ચલને પોઈસનના નિયમ અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે જો તે ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે તો

જ્યાં a એ પોઈસનના કાયદા પરિમાણ તરીકે ઓળખાતી અમુક હકારાત્મક માત્રા છે.

પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ ખાતરી કરીએ કે સૂત્ર (5.9.1) દ્વારા આપવામાં આવેલ સંભાવનાઓનો ક્રમ વિતરણ શ્રેણી હોઈ શકે છે, એટલે કે. કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે. અમારી પાસે છે:

.

ફિગ માં. 5.9.1 પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલના વિતરણ બહુકોણ બતાવે છે, અનુરૂપ વિવિધ અર્થોપરિમાણ પરિશિષ્ટ કોષ્ટક 8 વિવિધ માટેના મૂલ્યો બતાવે છે.

ચાલો પોઈસનના નિયમ અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ - ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા - વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા દ્વારા

.

સરવાળાની પ્રથમ મુદત (ને અનુરૂપ) શૂન્ય બરાબર, તેથી, સારાંશ આનાથી શરૂ થઈ શકે છે:

ચાલો સૂચિત કરીએ; પછી

. (5.9.2)

આમ, પેરામીટર રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા કરતાં વધુ કંઈ નથી.

નક્કી કરવા માટે ચાલો ભિન્નતા શોધીએપ્રથમ સેકન્ડ પ્રારંભિક ક્ષણજથ્થો:

અગાઉ સાબિત થયા મુજબ

ઉપરાંત,

આમ, પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલનો તફાવત તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

પોઈસન વિતરણના આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યવહારમાં એ નક્કી કરવા માટે થાય છે કે પોઈસનના નિયમ અનુસાર રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કરવામાં આવે છે તે પૂર્વધારણા બુદ્ધિગમ્ય છે. આ કરવા માટે, રેન્ડમ ચલની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ-ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ-અનુભવ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો તેમના મૂલ્યો નજીક છે, તો આ પોઈસન વિતરણ પૂર્વધારણાની તરફેણમાં દલીલ તરીકે સેવા આપી શકે છે; આ લાક્ષણિકતાઓમાં તીવ્ર તફાવત, તેનાથી વિપરીત, પૂર્વધારણા સામે દલીલ કરે છે.

ચાલો પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે તે સંભવિતતા નક્કી કરીએ કે તે આપેલ કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે નહીં. ચાલો આ સંભાવનાને સૂચિત કરીએ:

દેખીતી રીતે, સંભાવના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય

જો કે, વિપરીત ઘટનાની સંભાવના પરથી તેને નિર્ધારિત કરવું ખૂબ સરળ છે:

(5.9.4)

ખાસ કરીને, સંભાવના કે જે જથ્થો લેશે હકારાત્મક મૂલ્ય, સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

(5.9.5)

અમે પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે કે ઘણી પ્રેક્ટિસ સમસ્યાઓ પોઈસન વિતરણમાં પરિણમે છે. ચાલો એક ધ્યાનમાં લઈએ લાક્ષણિક કાર્યોઆ પ્રકારની.

પોઈન્ટને એક્સ-અક્ષ ઓક્સ (ફિગ. 5.9.2) પર અવ્યવસ્થિત રીતે વિતરિત કરવા દો. ચાલો માની લઈએ કે રેન્ડમ વિતરણપોઈન્ટ નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

1. સેગમેન્ટ પર પડતા ચોક્કસ સંખ્યાના પોઈન્ટની સંભાવના ફક્ત આ સેગમેન્ટની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ એબ્સીસા અક્ષ પર તેની સ્થિતિ પર આધાર રાખતી નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુઓ સમાન સરેરાશ ઘનતા સાથે x-અક્ષ પર વિતરિત કરવામાં આવે છે. ચાલો આ ઘનતા (એટલે ​​​​કે, એકમ લંબાઈ દીઠ બિંદુઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા) દ્વારા દર્શાવીએ.

2. પોઈન્ટ એક્સ-અક્ષ પર એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. આપેલ સેગમેન્ટ પર પડતા પોઈન્ટની એક અથવા બીજી સંખ્યાની સંભાવના તેની સાથે ઓવરલેપ ન થતા અન્ય કોઈપણ સેગમેન્ટ પર કેટલા પડે છે તેના પર નિર્ભર નથી.

3. નાના વિસ્તારમાં બે અથવા વધુ બિંદુઓ પડવાની સંભાવના એક બિંદુ ઘટવાની સંભાવનાની તુલનામાં નહિવત્ છે (આ સ્થિતિનો અર્થ છે બે અથવા વધુ બિંદુઓના એકરૂપ થવાની વ્યવહારિક અશક્યતા).

ચાલો એબ્સીસા અક્ષ પર ચોક્કસ લંબાઈનો સેગમેન્ટ પસંદ કરીએ અને એક અલગ રેન્ડમ ચલ - આ સેગમેન્ટ પર આવતા પોઈન્ટની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. સંભવિત મૂલ્યોમૂલ્યો હશે

પોઈન્ટ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે સેગમેન્ટ પર આવતા હોવાથી, તે સૈદ્ધાંતિક રીતે શક્ય છે કે તેમાંથી ઘણા ત્યાં હશે, એટલે કે. શ્રેણી (5.9.6) અનિશ્ચિતપણે ચાલુ રહે છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે રેન્ડમ ચલ પાસે પોઈસન વિતરણ કાયદો છે. આ કરવા માટે, અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ કે સેગમેન્ટમાં બરાબર પોઈન્ટ હશે.

પ્રથમ ચાલો વધુ હલ કરીએ સરળ કાર્ય. ચાલો ઓક્સ અક્ષ પર એક નાનો વિસ્તાર ધ્યાનમાં લઈએ અને આ વિસ્તાર પર ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ પડે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરીએ. અમે નીચે મુજબ તર્ક કરીશું. આ વિભાગ પર પડતા પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા દેખીતી રીતે સમાન છે (કારણ કે પોઈન્ટની સરેરાશ એકમ લંબાઈ દીઠ ઘટે છે). શરત 3 મુજબ, નાના સેગમેન્ટ માટે આપણે તેના પર બે કે તેથી વધુ પોઈન્ટ પડવાની શક્યતાને અવગણી શકીએ છીએ. તેથી, વિસ્તાર પર પડતા બિંદુઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા લગભગ તેના પર પડતા એક બિંદુની સંભાવના (અથવા, જે અમારી પરિસ્થિતિઓમાં સમકક્ષ છે, ઓછામાં ઓછા એક) જેટલી હશે.

આમ, અનંત સુધી ઉચ્ચ ઓર્ડર, જ્યારે આપણે સંભાવનાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ કે સાઇટ પર એક (ઓછામાં ઓછો એક) બિંદુ પડશે તે બરાબર છે , અને સંભાવના છે કે કોઈ ઘટશે નહીં તે બરાબર છે.

ચાલો આનો ઉપયોગ સેગમેન્ટ પર પડતા ચોક્કસ બિંદુઓની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે કરીએ. સેગમેન્ટને લંબાઈના સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો. ચાલો પ્રાથમિક સેગમેન્ટને "ખાલી" કહેવા માટે સંમત થઈએ જો તેમાં એક પણ બિંદુ ન હોય, અને જો ઓછામાં ઓછું એક થાય તો "કબજે કરેલ" કહેવાય. ઉપરોક્ત મુજબ, સેગમેન્ટ "વ્યસ્ત" હશે તેવી સંભાવના લગભગ સમાન છે ; તે "ખાલી" હશે તેવી સંભાવના બરાબર છે. કારણ કે, શરત 2 મુજબ, બિન-ઓવરલેપિંગ સેગમેન્ટ્સમાં આવતા બિંદુઓ સ્વતંત્ર છે, તો પછી અમારા n સેગમેન્ટ્સને સ્વતંત્ર "પ્રયોગો" તરીકે ગણી શકાય, જેમાંના પ્રત્યેક સેગમેન્ટને સંભાવના સાથે "કબજો" કરી શકાય છે. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે સેગમેન્ટ્સમાં બરાબર "કબજો" હશે. પ્રયોગોના પુનરાવર્તન પરના પ્રમેય મુજબ, આ સંભાવના બરાબર છે

અથવા, સૂચવે છે,

(5.9.7)

જો પૂરતી મોટી હોય, તો આ સંભાવના સેગમેન્ટ પર પડતા બરાબર પોઈન્ટની સંભાવનાની લગભગ સમાન છે, કારણ કે સેગમેન્ટ પર બે અથવા વધુ પોઈન્ટ પડવાની સંભાવના નહિવત્ છે. શોધવા માટે ચોક્કસ મૂલ્ય, તમારે અભિવ્યક્તિની મર્યાદા (5.9.7) પર જવાની જરૂર છે:

(5.9.8)

ચાલો મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

(5.9.9)

પ્રથમ અપૂર્ણાંક અને અભિવ્યક્તિમાં છેલ્લા અપૂર્ણાંકનો છેદ (5.9.9) માટે, દેખીતી રીતે એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે. અભિવ્યક્તિ પર આધાર રાખતો નથી. છેલ્લા અપૂર્ણાંકના અંશને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

(5.9.10)

ક્યારે અને અભિવ્યક્તિ (5.9.10) તરફ વલણ ધરાવે છે. આમ, તે સાબિત થયું છે કે સેગમેન્ટમાં આવતા ચોક્કસ બિંદુઓની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

જ્યાં, એટલે કે X નું મૂલ્ય પરિમાણ સાથે પોઈસન કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે મૂલ્ય એ સેગમેન્ટ દીઠ પોઈન્ટની સરેરાશ સંખ્યા છે.

મેગ્નિટ્યુડ (સંભાવના કે X નું મૂલ્ય હકારાત્મક મૂલ્ય લેશે). આ કિસ્સામાંઓછામાં ઓછું એક બિંદુ સેગમેન્ટ પર પડશે તેવી સંભાવના વ્યક્ત કરે છે:

આ રીતે, અમને ખાતરી છે કે પોઈસન વિતરણ થાય છે જ્યાં કેટલાક બિંદુઓ (અથવા અન્ય તત્વો) એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે રેન્ડમ સ્થાન ધરાવે છે, અને અમુક વિસ્તારમાં આવતા આ બિંદુઓની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે. અમારા કિસ્સામાં, આવા "પ્રદેશ" એબ્સીસા અક્ષ પરનો એક ભાગ હતો. જો કે, અમારા નિષ્કર્ષને પ્લેન (પોઈન્ટનું રેન્ડમ સપાટ ક્ષેત્ર) અને અવકાશમાં (પોઈન્ટનું રેન્ડમ અવકાશી ક્ષેત્ર) પરના બિંદુઓના વિતરણના કિસ્સામાં સરળતાથી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જો શરતો પૂરી થાય તો તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી:

1) પોઈન્ટ સરેરાશ ઘનતા સાથે ક્ષેત્રમાં આંકડાકીય રીતે સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે;

2) પોઈન્ટ સ્વતંત્ર રીતે બિન-ઓવરલેપિંગ પ્રદેશોમાં આવે છે;

3) પોઈન્ટ એકલા દેખાય છે, અને જોડીમાં નહીં, ટ્રિપલેટ્સ વગેરેમાં, પછી પોઈસનના કાયદા અનુસાર કોઈપણ ક્ષેત્ર (સપાટ અથવા અવકાશી) માં આવતા બિંદુઓની સંખ્યા વિતરિત કરવામાં આવે છે:

વિસ્તારમાં આવતા પોઈન્ટની સરેરાશ સંખ્યા ક્યાં છે.

ફ્લેટ કેસ માટે

પ્રદેશનો વિસ્તાર ક્યાં છે; અવકાશી માટે

પ્રદેશનું પ્રમાણ ક્યાં છે.

નોંધ કરો કે સેગમેન્ટ અથવા પ્રદેશમાં આવતા પોઈન્ટ્સની સંખ્યાના પોઈસન વિતરણ માટે, સતત ઘનતા () ની સ્થિતિ બિનમહત્વપૂર્ણ છે. જો અન્ય બે શરતો પૂરી થાય છે, તો પોઈસનનો કાયદો હજી પણ ધરાવે છે, ફક્ત તેમાંનો પરિમાણ a અલગ અભિવ્યક્તિ લે છે: તે બહાર આવ્યું નથી સરળ ગુણાકારપ્રદેશની લંબાઈ, વિસ્તાર અથવા વોલ્યુમ દ્વારા ઘનતા અને સેગમેન્ટ, વિસ્તાર અથવા વોલ્યુમ પર ચલ ઘનતાને એકીકૃત કરીને. (આના પર વધુ માટે, જુઓ n° 19.4)

રેખા, પ્લેન અથવા વોલ્યુમ પર છૂટાછવાયા રેન્ડમ બિંદુઓની હાજરી એ એકમાત્ર એવી સ્થિતિ નથી કે જેના હેઠળ પોઈસન વિતરણ થાય છે. કોઈ, ઉદાહરણ તરીકે, સાબિત કરી શકે છે કે પોઈસનનો કાયદો દ્વિપદી વિતરણ માટે મર્યાદિત છે:

, (5.9.12)

જો તે જ સમયે પ્રયોગોની સંખ્યા અનંત તરફ વળે છે, અને સંભાવના શૂન્ય પર જાય છે, અને તેમનું ઉત્પાદન સ્થિર રહે છે:

ખરેખર, દ્વિપદી વિતરણની આ મર્યાદિત મિલકત આ રીતે લખી શકાય છે:

. (5.9.14)

પરંતુ શરત (5.9.13) થી તે તેને અનુસરે છે

(5.9.15) ને (5.9.14) માં બદલીને, અમે સમાનતા મેળવીએ છીએ

, (5.9.16)

જે આપણે હમણાં જ બીજા એક પ્રસંગે સાબિત કર્યું છે.

આ અંતિમ મિલકત છે દ્વિપદી કાયદોઘણીવાર વ્યવહારમાં એપ્લિકેશન શોધે છે. ચાલો ધારીએ કે તે ઉત્પન્ન થાય છે મોટી સંખ્યામાંસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંની દરેક ઘટનાની સંભાવના ઘણી ઓછી હોય છે. પછી સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે કે ઇવેન્ટ બરાબર એકવાર દેખાશે, તમે અંદાજિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

, (5.9.17)

પોઈસન કાયદાનું પરિમાણ ક્યાં છે જે લગભગ દ્વિપદી વિતરણને બદલે છે.

પોઈસનના કાયદાના આ ગુણધર્મમાંથી - મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો અને ઘટનાની ઓછી સંભાવના સાથે દ્વિપદી વિતરણને વ્યક્ત કરવા - તેનું નામ આવે છે, જેનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકોમાં થાય છે: દુર્લભ ઘટનાનો કાયદો.

ચાલો પ્રેક્ટિસના વિવિધ ક્ષેત્રોમાંથી પોઈસન વિતરણથી સંબંધિત કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. ઓટોમેટિક ટેલિફોન એક્સચેન્જ કલાક દીઠ કોલ્સની સરેરાશ ઘનતા સાથે કૉલ્સ મેળવે છે. ધારી રહ્યા છીએ કે સમયના કોઈપણ સમયગાળામાં કૉલ્સની સંખ્યા પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, એવી સંભાવના શોધો કે સ્ટેશન પર બે મિનિટમાં બરાબર ત્રણ કૉલ્સ આવશે.

ઉકેલ. બે મિનિટ દીઠ કૉલ્સની સરેરાશ સંખ્યા છે:

ચો.મી. લક્ષ્યને હિટ કરવા માટે, તેને હિટ કરવા માટે ઓછામાં ઓછો એક ટુકડો પૂરતો છે. વિરામ બિંદુની આપેલ સ્થિતિ પર લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. . ફોર્મ્યુલા (5.9.4) નો ઉપયોગ કરીને આપણે ઓછામાં ઓછા એક ટુકડાને હિટ કરવાની સંભાવના શોધીએ છીએ:

(મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે ઘાતાંકીય કાર્યઅમે પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 2 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ).

ઉદાહરણ 7. સરેરાશ ઘનતાએકમાં પેથોજેનિક સુક્ષ્મજીવાણુઓ ઘન મીટરહવા 100 છે. પરીક્ષણ માટે 2 ઘન મીટર લો. હવાનું dm. તેમાં ઓછામાં ઓછું એક સુક્ષ્મજીવાણુ જોવા મળે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. જથ્થામાં સૂક્ષ્મજીવાણુઓની સંખ્યાના પોઈસન વિતરણની પૂર્વધારણાને સ્વીકારતા, આપણે શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ 8. ચોક્કસ લક્ષ્ય પર 50 સ્વતંત્ર શોટ ચલાવવામાં આવે છે. એક શોટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.04 છે. લાભ લે છે મર્યાદિત મિલકતદ્વિપદી વિતરણ (સૂત્ર (5.9.17)), અંદાજે લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો: કોઈ અસ્ત્ર, એક અસ્ત્ર, બે અસ્ત્ર.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે. પરિશિષ્ટમાં કોષ્ટક 8 નો ઉપયોગ કરીને આપણે સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ.