મેટલેબમાં હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓનો અમલ

એક કરતા વધુ વખત નોંધ્યું છે તેમ, છબીની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તેના તત્વોની તેજસ્વીતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ છે. અગાઉ, અમે હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવાના સૈદ્ધાંતિક પાયાની સંક્ષિપ્તમાં સમીક્ષા કરી છે, તેથી આ કાર્યમાં અમે મેટલેબ સિસ્ટમમાં હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓના અમલીકરણના વ્યવહારિક પાસાઓ પર વધુ ધ્યાન આપીશું. તે જ સમયે, અમે નોંધીએ છીએ કે હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવું એ છબીઓની દ્રશ્ય ગુણવત્તાને સુધારવા માટેની એક પદ્ધતિ છે.

પગલું 1: મૂળ છબી વાંચવી.

અમે મેટલેબ વર્કસ્પેસમાં ફાઇલમાંથી મૂળ છબી વાંચીએ છીએ અને તેને મોનિટર સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત કરીએ છીએ.

L=imread("lena.bmp");

આકૃતિ, imshow(L);

અભ્યાસ હેઠળની મૂળ છબી હાફટોન હોવાથી, અમે બહુપરીમાણીય એરેના માત્ર એક ઘટકને ધ્યાનમાં લઈશું.

ચોખા. 1. મૂળ છબી.

કામ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિઓને ધ્યાનમાં લેતું હોવાથી, અમે મૂળ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ પણ બનાવીશું.

ફિગ.2. મૂળ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 2: સમાન હિસ્ટોગ્રામ પરિવર્તન.

હિસ્ટોગ્રામનું એકસમાન રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં , - મૂળ છબીની તીવ્રતા એરેના ઘટકોના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો;

મૂળ છબીની સંભાવના વિતરણ કાર્ય, જે વિતરણ હિસ્ટોગ્રામ દ્વારા અંદાજિત છે . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે વાત કરી રહ્યા છીએછબીના સંચિત હિસ્ટોગ્રામ વિશે.

મતલેબમાં, આને નીચે મુજબ લાગુ કરી શકાય છે. મૂળ છબીના સંચિત હિસ્ટોગ્રામની ગણતરી કરો

CH=કમસમ(H)./(N*M);

મૂળ ઇમેજના હિસ્ટોગ્રામ મૂલ્યોનો વેક્ટર, અને , આ ઇમેજના પરિમાણો છે, જે માપ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

આકૃતિ, imshow(L1);

સંચિત હિસ્ટોગ્રામ સૂચકાંકોને શૂન્ય મૂલ્યો સોંપવાનું ટાળવા માટે eps મૂલ્યનો ઉપયોગ સીલ ફંક્શન સાથે જોડાણમાં થાય છે. યુનિફોર્મ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિને લાગુ કરવાનું પરિણામ ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 3.

ચોખા. 3. યુનિફોર્મ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રોસેસ કરેલ મૂળ ઈમેજ.

ફોર્મ્યુલા (1) અનુસાર રૂપાંતરિત છબીનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 4. તે ખરેખર લગભગ સમગ્ર ગતિશીલ શ્રેણી પર કબજો કરે છે અને સમાન છે.

ચોખા. 4. ફિગમાં બતાવેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ. 3.

ઇમેજ એલિમેન્ટ્સના તીવ્રતા સ્તરનું સમાન ટ્રાન્સમિશન તેના સંચિત હિસ્ટોગ્રામ (ફિગ. 5) દ્વારા પણ પુરાવા મળે છે.

ફિગ.5. ફિગમાં બતાવેલ છબીનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ. 3.

પગલું 3: ઘાતાંકીય હિસ્ટોગ્રામ પરિવર્તન.

હિસ્ટોગ્રામનું ઘાતાંકીય રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં ઘાતાંકીય રૂપાંતરણની તીવ્રતા દર્શાવતી ચોક્કસ સ્થિરતા છે.

મતલેબમાં, ફોર્મ્યુલા (2) અનુસાર રૂપાંતર નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

આકૃતિ, imshow(L2);

ચોખા. 6. ઘાતાંકીય હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કર્યા પછીની મૂળ છબી.

ઘાતાંકીય રૂપાંતરણ પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7.

ચોખા. 7. ઘાતાંકીય રૂપાંતર પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ.

રૂપાંતરણોની ઘાતાંકીય પ્રકૃતિ પ્રોસેસ્ડ ઈમેજના સંચિત હિસ્ટોગ્રામમાં સૌથી વધુ સ્પષ્ટપણે પ્રગટ થાય છે, જે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 8.

ચોખા. 8. ઘાતાંકીય રૂપાંતરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરેલ છબીનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 4: રેલેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરો.

રેલેના નિયમ અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ રૂપાંતરણ અભિવ્યક્તિ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં પરિણામી ઇમેજના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણના હિસ્ટોગ્રામની લાક્ષણિકતા ચોક્કસ સ્થિર છે.

ચાલો મતલબ પર્યાવરણમાં આ પરિવર્તનોના અમલીકરણને રજૂ કરીએ.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

આકૃતિ, imshow(L3);

ચોખા. 9. રેલેના નિયમ અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 10.

ચોખા. 10. રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 11.

ચોખા. 11. રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરવામાં આવેલ ઇમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 5: પાવર લોનો ઉપયોગ કરીને હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરો.

શક્તિના કાયદા અનુસાર ઇમેજ હિસ્ટોગ્રામનું રૂપાંતર અભિવ્યક્તિ અનુસાર લાગુ કરવામાં આવે છે

Matlab માં, આ પદ્ધતિ નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

આકૃતિ, imshow(L4);

ચોખા. 12. પાવર લો અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

પ્રોસેસ્ડ ઇમેજના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 13.

ચોખા. 13. પાવર લો અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

પ્રોસેસ્ડ ઇમેજનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ, જે ગ્રે લેવલના ટ્રાન્સમિશનની પ્રકૃતિને સૌથી વધુ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે, તે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 14.

ચોખા. 14. પાવર લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 6: હાયપરબોલિક હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન.

હિસ્ટોગ્રામનું હાયપરબોલિક રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર અમલમાં મૂકવામાં આવે છે

જ્યાં હિસ્ટોગ્રામનું હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન હાથ ધરવામાં આવે છે તેના સંદર્ભમાં ચોક્કસ સ્થિરાંક ક્યાં છે. વાસ્તવમાં, પરિમાણ ઇમેજ ઘટકોના ન્યૂનતમ તીવ્રતા મૂલ્યની બરાબર છે.

Matlab પર્યાવરણમાં આ પદ્ધતિ નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); % વી આ કિસ્સામાં A=0.01

આકૃતિ, imshow(L5);

ચોખા. 15. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

આ રીતે પ્રક્રિયા કરેલ છબીના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 16.

ચોખા. 16. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

સંચિત હિસ્ટોગ્રામ, જેનો આકાર હાથ ધરવામાં આવતા પરિવર્તનની પ્રકૃતિને અનુરૂપ છે, તે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 17.

ચોખા. 17. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મ મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

આ કાર્યમાં, હિસ્ટોગ્રામમાં ફેરફાર કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. દરેક પદ્ધતિને લાગુ કરવાનું પરિણામ એ છે કે પ્રોસેસ્ડ ઇમેજના ઘટકોની તેજસ્વીતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ચોક્કસ આકાર લે છે. આ પ્રકારના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ પરિમાણ સ્તરોના પ્રસારણમાં વિકૃતિઓને દૂર કરવા માટે થઈ શકે છે જેમાં છબીઓ રચના, ટ્રાન્સમિશન અથવા ડેટા પ્રોસેસિંગના તબક્કે આધિન હતી.

એ પણ નોંધ કરો કે ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી પદ્ધતિઓ માત્ર વૈશ્વિક સ્તરે જ નહીં, પણ સ્લાઇડિંગ મોડમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. આ ગણતરીઓને જટિલ બનાવશે, કારણ કે દરેક પર હિસ્ટોગ્રામનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી રહેશે સ્થાનિક વિસ્તાર. જો કે, બીજી બાજુ, આવા પરિવર્તનો, વૈશ્વિક અમલીકરણથી વિપરીત, સ્થાનિક વિસ્તારોની વિગતોમાં વધારો કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

રશિયાના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય

ફેડરલ સ્ટેટ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

“ચુવાશ સ્ટેટ યુનિવર્સિટીનું નામ I.N. ઉલિયાનોવ"

ડિઝાઇન અને કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી ફેકલ્ટી

કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી વિભાગ

શિસ્તમાં "વિશ્વસનીયતા, અર્ગનોમિક્સ અને સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમો અને નિયંત્રણ પ્રણાલીઓની ગુણવત્તા"

વિષય પર " મૂળભૂત ગાણિતિક મોડેલો, સિદ્ધાંતમાં વપરાય છેવિશ્વસનીયતા»

પૂર્ણ:

વિદ્યાર્થી જી.આર. ZDIKT-25-08

લ્યુસેન્કોવ આઇ.વી.

તપાસેલ:

ગ્રિગોરીવ વી.જી.

ચેબોક્સરી

પરિચય

વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મૂળભૂત ગાણિતિક મોડેલો…….

વેઇબુલ વિતરણ……………………………………………….

ઘાતાંકીય વિતરણ ……………………………………….

રેલે વિતરણ ……………………………………………………………… 5

સામાન્ય વિતરણ (ગૌસીયન વિતરણ)………………………….. 5 વિતરણ કાયદાની વ્યાખ્યા ………………………………………. 6

વિશ્વસનીયતા સૂચકોની સંખ્યાની પસંદગી……………………………….

ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતા

આંકડાકીય આકારણી

વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો... 10 વિશ્વસનીયતા કાર્યક્રમોની વિશેષતાઓ……………………………………… 11સાહિત્ય ………………………………………………………………………………… 13

વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મૂળભૂત ગાણિતિક મોડલ

ઉપરોક્ત ગાણિતિક સંબંધોમાં, સંભાવના ઘનતાની વિભાવના અને વિતરણ કાયદાનો વારંવાર ઉપયોગ થતો હતો.

વિતરણ કાયદો - શક્ય મૂલ્યો વચ્ચે ચોક્કસ રીતે સ્થાપિત જોડાણ

રેન્ડમ ચલ અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ., δ > 0);

વિતરણ (સંભાવના) ઘનતા એ વિતરણ કાયદાનું વર્ણન કરવા માટે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતી રીત છે

વેઇબુલ વિતરણ

વેઇબુલ વિતરણ એ બે-પેરામીટર વિતરણ છે. આ વિતરણ અનુસાર, નિષ્ફળતાના ક્ષણની સંભાવના ઘનતા

(2)

જ્યાં δ એ આકાર પરિમાણ છે (પ્રક્રિયાના પરિણામે પસંદગી દ્વારા નિર્ધારિત

(3)

પ્રાયોગિક ડેટા

λ - સ્કેલ પેરામીટર,<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >સંભાવના ઘનતા કાર્યનો આલેખ મોટાભાગે આકાર ગુણાંકના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

નિષ્ફળતા દર અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જેમ નોંધ્યું છે તેમ, નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવનાનું ઘાતાંકીય વિતરણ એ વેઇબુલ વિતરણનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે જ્યારે આકાર પરિમાણ δ = 1. આ વિતરણ એક-પેરામીટર છે, એટલે કે, ગણતરી કરેલ અભિવ્યક્તિ લખવા માટે, એક પરિમાણ λ = const પર્યાપ્ત છે. આ કાયદા માટે, વિપરીત વિધાન પણ સાચું છે: જો નિષ્ફળતા દર સ્થિર હોય, તો સમયના કાર્ય તરીકે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના ઘાતાંકીય કાયદાનું પાલન કરે છે:

(4)

નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન અંતરાલના વિતરણના ઘાતાંકીય કાયદા હેઠળ સરેરાશ નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

(5)

આમ, સરેરાશ નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરી સમય T 1 (અથવા સતત નિષ્ફળતા દર λ) ને જાણીને, ઘાતાંકીય વિતરણના કિસ્સામાં, ઑબ્જેક્ટની ક્ષણથી સમય અંતરાલ માટે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના શોધવાનું શક્ય છે. કોઈપણ આપેલ ક્ષણ માટે ચાલુ છે t.

રેલે વિતરણ

રેલેના નિયમમાં સંભાવના ઘનતા નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે

(6)

જ્યાં δ * એ રેલે વિતરણ પરિમાણ છે.

નિષ્ફળતા દર છે:

. (7)

રેલે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની લાક્ષણિકતા એ મૂળથી શરૂ થતા ગ્રાફ λ(t)ની સીધી રેખા છે.

આ કિસ્સામાં ઑબ્જેક્ટની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(8)

સામાન્ય વિતરણ (ગૌસિયન વિતરણ)

સામાન્ય વિતરણ કાયદો ફોર્મની સંભાવના ઘનતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

(9)

જ્યાં m x, σ x - અનુક્રમે ગાણિતિક અપેક્ષાઅને રેન્ડમ ચલ Xનું પ્રમાણભૂત વિચલન.

RESI ની વિશ્વસનીયતાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, રેન્ડમ ચલના રૂપમાં, સમય ઉપરાંત, વર્તમાન, વિદ્યુત વોલ્ટેજ અને અન્ય દલીલોના મૂલ્યો વારંવાર દેખાય છે. સામાન્ય કાયદો એ બે-પેરામીટર કાયદો છે, જેને લખવા માટે તમારે m x અને s x જાણવાની જરૂર છે.

નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(10)

અને નિષ્ફળતા દર સૂત્ર મુજબ છે

(11)

આ માર્ગદર્શિકા રેન્ડમ ચલના વિતરણના માત્ર સૌથી સામાન્ય નિયમો દર્શાવે છે. ત્યાં સંખ્યાબંધ જાણીતા કાયદાઓ છે જેનો ઉપયોગ વિશ્વસનીયતાની ગણતરીમાં પણ થાય છે: ગામા વિતરણ, χ 2 વિતરણ, મેક્સવેલ, એરલાંગ વિતરણ, વગેરે.

સંભાવના ઘનતા કાર્ય

વિતરણ કાર્ય

, x ³ 0;

બિંદુ અંદાજવિતરણ કાયદો પરિમાણ

એર્લાંગ વિતરણ કાયદો (ગામા વિતરણ)

સંભાવના ઘનતા કાર્ય

વિતરણ કાર્ય

, x ³ 0;

વિતરણ કાયદાના પરિમાણોનો પોઈન્ટ અંદાજ:

અને k" k દ્વારા નજીકના પૂર્ણાંક તરીકે લેવામાં આવે છે (k=1, 2, 3,...); .

વેઇબુલ વિતરણ કાયદો

સંભાવના ઘનતા કાર્ય

વિતરણ કાર્ય

, x ³ 0;

વિતરણ કાયદાના પરિમાણોનો પોઈન્ટ અંદાજ

;

પ્રાધાન્યતાની આવશ્યકતાઓ સાથેની સિસ્ટમોમાં, સંબંધિત અગ્રતા (સેવા વિક્ષેપ વિના) વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે, જ્યારે ઉચ્ચ અગ્રતા સાથેની વિનંતી આવે ત્યારે, નીચી અગ્રતા સાથેની વિનંતીની અગાઉ શરૂ કરેલ સેવા પૂર્ણ થયા પછી તેને સેવા માટે સ્વીકારવામાં આવે છે, અને સંપૂર્ણ અગ્રતા, જ્યારે ચૅનલને ઉચ્ચ અગ્રતા સાથે આવનારી વિનંતીને સેવા આપવા માટે તરત જ મુક્ત કરવામાં આવે છે.

પ્રાધાન્યતા સ્કેલ સેવા પ્રણાલીના બાહ્ય કેટલાક માપદંડો અથવા સેવા સિસ્ટમના સંચાલનથી સંબંધિત સૂચકાંકોના આધારે બનાવી શકાય છે. વ્યવહારુ મહત્વપાસે નીચેના પ્રકારોપ્રાથમિકતાઓ:

જરૂરિયાતોને અગ્રતા આપવામાં આવે છે ઓછામાં ઓછો સમયસેવા આ અગ્રતાની અસરકારકતામાં બતાવી શકાય છે નીચેના ઉદાહરણ. અનુક્રમે 6.0 અને 1.0 કલાકની સેવાની અવધિ સાથે અનુક્રમે બે વિનંતીઓ પ્રાપ્ત થઈ હતી, જ્યારે તેમને આગમનના ક્રમમાં ખાલી ચેનલ દ્વારા સેવા માટે સ્વીકારવામાં આવે છે, ત્યારે 1લી વિનંતી માટે ડાઉનટાઇમ 6.0 કલાક અને 6.0 + 1.0 = 7 હશે. બીજા .0 કલાક અથવા બે જરૂરિયાતો માટે કુલ 13.0 કલાક જો તમે બીજી જરૂરિયાતને પ્રાધાન્ય આપો અને તેને પ્રથમ સેવા માટે સ્વીકારો, તો તેનો ડાઉનટાઇમ 1.0 કલાક હશે અને બીજાનો ડાઉનટાઇમ 1.0 + 6.0 = હશે. 7.0 કલાક અથવા કુલ બે આવશ્યકતાઓ માટે 8.0 કલાક અસાઇન કરેલ પ્રાધાન્યતાનો લાભ 5.0 કલાક (13-8) સિસ્ટમમાં આવશ્યકતાઓના ડાઉનટાઇમમાં ઘટાડો થશે;

માંગ સ્ત્રોતની શક્તિ (પ્રદર્શન) માટે સેવા સમયના લઘુત્તમ ગુણોત્તર સાથે આવશ્યકતાઓને અગ્રતા આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વાહનની વહન ક્ષમતા.

સેવા મિકેનિઝમ વ્યક્તિગત સેવા ચેનલોના પરિમાણો, સમગ્ર સિસ્ટમના થ્રુપુટ અને સેવા આવશ્યકતાઓ પરના અન્ય ડેટા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. સિસ્ટમની ક્ષમતા ચેનલો (ઉપકરણો) ની સંખ્યા અને તેમાંથી દરેકની કામગીરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

45. રેન્ડમ ચલોના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનું નિર્ધારણ

અંતરાલ અંદાજરેન્ડમ ચલનું વિતરણ પરિમાણ એ હકીકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે સંભાવના સાથે g

abs(P – P m) ≤d,

જ્યાં P એ પરિમાણનું ચોક્કસ (સાચું) મૂલ્ય છે;

P m - નમૂનાના આધારે પરિમાણ અંદાજ;

d – પરિમાણ P અંદાજની ચોકસાઈ (ભૂલ).

સૌથી સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત મૂલ્યો g 0.8 થી 0.99 છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલપરિમાણ એ અંતરાલ છે જેમાં પરિમાણ મૂલ્ય સંભાવના g સાથે આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આના આધારે રેન્ડમ વેરીએબલનું જરૂરી સેમ્પલ સાઈઝ મળે છે, જે સંભાવના g સાથે ચોકસાઈ d પર ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ પૂરો પાડે છે. કનેક્શનનો પ્રકાર રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આપેલ અંતરાલ [Х 1 , Х 2 ] માં આવતા રેન્ડમ વેરીએબલની સંભાવના માનવામાં આવેલ અંતરાલ F(Х 2)-F(Х 1) પરના અભિન્ન વિતરણ કાર્યના વધારા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આના આધારે, જ્યારે જાણીતા કાર્યવિતરણ, તમે અપેક્ષિત બાંયધરીકૃત લઘુત્તમ X gn (x≥ X gn) અથવા મહત્તમ મૂલ્ય X gv (x≤ X gv) રેન્ડમ ચલ c આપેલ સંભાવના g (આકૃતિ 2.15). તેમાંથી પ્રથમ મૂલ્ય છે કે રેન્ડમ ચલ સંભાવના g કરતાં વધુ હશે, અને બીજું એ છે કે સંભાવના g સાથેનું રેન્ડમ ચલ આ મૂલ્ય કરતાં ઓછું હશે. ખાતરી આપી ન્યૂનતમ મૂલ્યજ્યારે F(x)= 1-g અને F(x)=g પર મહત્તમ X gy હોય ત્યારે સંભાવના g સાથે X gn સુનિશ્ચિત થાય છે. આમ, X gn અને X gv ના મૂલ્યો અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા જોવા મળે છે:

X gn = F -1 (1-g);

X gv = F -1 (g).

ઉદાહરણ. રેન્ડમ વેરીએબલ ફંક્શન સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે .

X r અને X r ની કિંમતો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે રેન્ડમ ચલ છે એક્સસંભાવના g=0.95 સાથે, અનુક્રમે, X gv કરતાં વધુ અને X gv કરતાં ઓછી.

F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (અગાઉ નિષ્કર્ષ જુઓ) અને α = 1-g = 0.05 અમે મેળવીએ છીએ તે હકીકતના આધારે

X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

X gv α = g = 0.95 માટે આપણી પાસે સમાન છે

X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

માટે સામાન્ય કાયદો X gv અને X gv ના મૂલ્યોના વિતરણની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે

X g = x m + s U 1- g = x m - s U g;

X gv = x m + s U g,

જ્યાં x m એ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા છે; s – રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન; U g – સંભાવના g સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું એકતરફી ક્વોન્ટાઇલ.

આકૃતિ 2.15 – X gn અને X gv ની વ્યાખ્યાનું ગ્રાફિક અર્થઘટન

46. સેવા આવશ્યકતાના પ્રવાહનું વર્ણન

ઇનકમિંગ ફ્લો એ સર્વિસ સિસ્ટમ પર પહોંચતી આવશ્યકતાઓ (એપ્લિકેશનો) નો ક્રમ છે અને તે સમયના એકમ (તીવ્રતા) દીઠ જરૂરિયાતોની પ્રાપ્તિની આવર્તન અને પ્રવાહની તીવ્રતાના વિતરણના કાયદા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આવનારા પ્રવાહને વિનંતીઓની પ્રાપ્તિની ક્ષણો અને આ અંતરાલોના વિતરણ કાયદા વચ્ચેના સમય અંતરાલ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે.

પ્રવાહમાં વિનંતીઓ એક સમયે (સામાન્ય પ્રવાહ) અથવા જૂથોમાં (બિન-સામાન્ય પ્રવાહ) આવી શકે છે.

સામાન્ય પ્રવાહની વિશેષતા એ છે કે કોઈપણ સમયે માત્ર એક જ વિનંતી આવી શકે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગુણધર્મ એ છે કે ટૂંકા ગાળામાં એક કરતાં વધુ વિનંતીઓ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના એ અનંત મૂલ્ય છે.

જરૂરિયાતોની જૂથ રસીદના કિસ્સામાં, માંગના જૂથોની પ્રાપ્તિની તીવ્રતા અને તેના વિતરણનો કાયદો, તેમજ જૂથોનું કદ અને તેમના વિતરણના કાયદાનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે.

જરૂરિયાતોની પ્રાપ્તિની તીવ્રતા સમય સાથે બદલાઈ શકે છે (બિન-સ્થિર પ્રવાહો) અથવા તીવ્રતા (સ્થિર પ્રવાહ) નક્કી કરવા માટે અપનાવવામાં આવેલા સમય એકમ પર જ આધાર રાખે છે. પ્રવાહને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો n વિનંતિઓ સમયના સમયગાળા દરમિયાન દેખાય છે (t 0 , t 0 +Δt) t 0 પર આધાર રાખતી નથી, પરંતુ માત્ર Δt પર આધારિત છે.

અસ્થિર પ્રવાહમાં, સમયાંતરે બિન-સામયિક અથવા તીવ્રતામાં ફેરફાર થાય છે સામયિક પેટર્ન(ઉદાહરણ તરીકે, મોસમી પ્રક્રિયાઓ), અને આંશિક અથવા સંપૂર્ણ પ્રવાહ વિલંબને અનુરૂપ સમયગાળો પણ હોઈ શકે છે.

સમયના ચોક્કસ બિંદુ પહેલાં અને પછી સિસ્ટમમાં દાખલ થતી વિનંતીઓની સંખ્યા વચ્ચે જોડાણ છે કે કેમ તેના આધારે, પ્રવાહની અસર અથવા કોઈ અસર થઈ શકે છે.

કોઈ અસર વિનાની માંગનો એક સામાન્ય, સ્થિર પ્રવાહ છે સૌથી સરળ.

47.પિયર્સન અને રોમનવોસ્કી કરાર માપદંડ

પછીના પ્રકરણોમાં આપણે ઘણાને મળીશું વિવિધ પ્રકારોરેન્ડમ ચલો. આ વિભાગમાં, અમે આ નવા વારંવાર બનતા રેન્ડમ ચલો, તેમના પીડીએફ, પીડીએફ અને ક્ષણોની યાદી આપીએ છીએ. આપણે દ્વિપદી વિતરણથી શરૂઆત કરીશું, જે એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ છે, અને પછી કેટલાક સતત રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ રજૂ કરીશું.

દ્વિપદી વિતરણ.ચાલો એક અલગ રેન્ડમ ચલ હોઈએ જે બે લે છે શક્ય મૂલ્યો, ઉદાહરણ તરીકે અથવા , સંભાવના સાથે અને અનુક્રમે. માટે અનુરૂપ પીડીએફ ફિગમાં બતાવેલ છે. 2.1.6.

ચોખા. 2.1.6. સંભાવના વિતરણ કાર્ય

હવે ધારો કે

જ્યાં , , આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરીએબલ્સ પીડીએફ સાથે ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 2.1.6. વિતરણ કાર્ય શું છે?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, નોંધ લો કે શરૂઆતમાં તે 0 થી ની પૂર્ણાંકોની શ્રેણી છે. સંભાવના કે જે , તે સંભાવનાની બરાબર છે કે બધું. તેઓ આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી

સંભાવના કે જે , એક પદની સંભાવનાની બરાબર છે અને બાકીના શૂન્ય સમાન છે. કારણ કે આ ઘટના બની શકે છે વિવિધ રીતે,

(2.1.84)

વિવિધ સંયોજનો જે પરિણામ તરફ દોરી જાય છે, આપણને મળે છે

દ્વિપદી ગુણાંક ક્યાં છે. તેથી, PDF તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે

, (2.1.87)

જ્યાં અર્થ થાય છે કે સૌથી મોટો પૂર્ણાંક.

IFR (2.1.87) લાક્ષણિકતા ધરાવે છે દ્વિપદી વિતરણરેન્ડમ ચલ.

પ્રથમ બે ક્ષણો સમાન છે

અને લાક્ષણિક કાર્ય

. (2.1.89)

સમાન વિતરણ.સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલની PDF અને IDF ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 2.1.7.

ચોખા. 2.1.7. સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે PDF અને IFR ના ગ્રાફ

પ્રથમ બે ક્ષણો સમાન છે

, (2.1.90)

અને લાક્ષણિકતા કાર્ય સમાન છે

(2.1.91)

ગૌસિયન વિતરણ. ગૌસિયન અથવા સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની PDF ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

, (2.1.92)

ગાણિતિક અપેક્ષા ક્યાં છે, અને રેન્ડમ ચલનો તફાવત છે. FMI બરાબર છે

ભૂલ કાર્ય ક્યાં છે, જે અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી થાય છે

. (2.1.94)

પીડીએફ અને પીએફઆર ફિગમાં સચિત્ર છે. 2.1.8.

ચોખા. 2.1.8. ગૌસીયન રેન્ડમ ચલના PDF (a) અને IDF (b) ના ગ્રાફ

IFR ને વધારાના ભૂલ કાર્યના સંદર્ભમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે, એટલે કે.

. (2.1.95)

તેની નોંધ લો , , અને . વધારાની ભૂલ માટે કાર્ય ગૌસીયન પીડીએફના ભાગ હેઠળના વિસ્તારના પ્રમાણમાં છે. મોટા મૂલ્યો માટે, વધારાની ભૂલ કાર્ય શ્રેણી દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે

, (2.1.96)

અને અંદાજની ભૂલ છેલ્લા જાળવી રાખેલી મુદત કરતાં ઓછી છે.

સામાન્ય રીતે ગૌસીયન પીડીએફના ભાગ હેઠળના વિસ્તાર માટે ઉપયોગમાં લેવાતું કાર્ય

, . (2.1.97)

(2.1.95) અને (2.1.97) ની સરખામણી કરતા, આપણે શોધીએ છીએ

. (2.1.98)

સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય બરાબર છે

ગૌસીયન રેન્ડમ ચલની કેન્દ્રીય ક્ષણો સમાન છે

(2.1.100)

અને સામાન્ય ક્ષણો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે કેન્દ્રીય બિંદુઓ

. (2.1.101)

સ્થિર રીતે સ્વતંત્ર ગૌસીયન રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો પણ ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે. આ દર્શાવવા માટે, ધારો કે

જ્યાં , સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે. પરિણામ (2.1.79) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે લાક્ષણિક કાર્ય સમાન છે

તેથી, સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે.

ચી-ચોરસ વિતરણ.ચાઇ-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સાથેનું રેન્ડમ ચલ ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ દ્વારા જનરેટ થાય છે, આ અર્થમાં કે તેની રચનાને બાદમાંના રૂપાંતરણ તરીકે ગણી શકાય. ચોક્કસ થવા માટે, ચાલો , ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ ક્યાં છે. પછી ચી-ચોરસ વિતરણ છે. અમે બે પ્રકારના ચી-સ્ક્વેર વિતરણ વચ્ચે તફાવત કરીએ છીએ. પ્રથમને સેન્ટ્રલ ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે તેનો સરેરાશ શૂન્ય હોય ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે. બીજાને નોન-સેન્ટ્રલ ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે તેનો બિન-શૂન્ય સરેરાશ હોય ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે.

પ્રથમ કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણને ધ્યાનમાં લો. શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ બનીએ. ત્યારથી, પરિણામ ફંક્શન (2.1.47) દ્વારા પરિમાણો સાથે આપવામાં આવે છે અને . આમ, અમે ફોર્મમાં PDF મેળવીએ છીએ

, . (2.1.105)

જે બંધ સ્વરૂપે વ્યક્ત કરી શકાતી નથી. લાક્ષણિક કાર્યજો કે, બંધ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

. (2.1.107)

હવે ધારો કે રેન્ડમ ચલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

જ્યાં , , આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સમાનરૂપે વિતરિત ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે. કારણે આંકડાકીય સ્વતંત્રતાલાક્ષણિક કાર્ય

. (2.1.109)

આ લાક્ષણિક કાર્યનું વ્યસ્ત પરિવર્તન PDF આપે છે

, , (2.1.110)

ગામા ફંક્શન ક્યાં તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

પૂર્ણાંક, , (2.1.111)

આ PDF (2.1.105) નું સામાન્યીકરણ છે અને તેને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ચી-સ્ક્વેર (અથવા ગામા) PDF કહેવામાં આવે છે. તે ફિગ માં સચિત્ર છે. 2.1.9.

જ્યારે તેઓ સમાન હોય ત્યારે કેસ

પ્રથમ બે ક્ષણો સમાન છે

, (2.1.112)

FMI બરાબર છે

, (2.1.113)

ચોખા. 2.1.9 સ્વતંત્રતા મૂલ્યોની કેટલીક ડિગ્રી માટે ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સાથે રેન્ડમ ચલ માટે પીડીએફ પ્લોટ

આ અભિન્ન અપૂર્ણ ગામા ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે પીયર્સન (1965) દ્વારા ટેબ્યુલેટ કરવામાં આવ્યું હતું.

જો તે સમાન હોય, તો અભિન્ન (2.11.113) બંધ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ખાસ કરીને, ચાલો, જ્યાં પૂર્ણાંક હોય. પછી, ભાગો દ્વારા પુનરાવર્તિત એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

, . (2.1.114)

હવે નોન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને ધ્યાનમાં લો, જે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલને નોનઝીરો સરેરાશ સાથે વર્ગીકરણનું પરિણામ છે. જો સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ હોય, તો રેન્ડમ ચલમાં PDF હોય છે

, (2.1.115)

આ પરિણામ વિતરણ (2.1.92) સાથે ગૌસીયન પીડીએફ માટે (2.1.47) નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. પીડીએફ માટે લાક્ષણિક કાર્ય

. (2.1.116)

પરિણામોનું સામાન્યીકરણ કરવા માટે, ધારો કે તે (2.1.108) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગૌસીયન રેન્ડમ ચલોના ચોરસનો સરવાળો છે. બધા , , અર્થ , , અને સમાન ભિન્નતા સાથે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાનું માનવામાં આવે છે. પછી સંબંધ (2.1.79) નો ઉપયોગ કરીને (2.1.116) માંથી મેળવેલ લાક્ષણિક કાર્ય

. (2.1.117)

આ લાક્ષણિક ફંક્શનનું ઇનવર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પીડીએફ આપે છે

જ્યાં હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યો છે

a એ પ્રથમ પ્રકારના ઓર્ડરનું સંશોધિત બેસેલ કાર્ય છે, જેને અનંત શ્રેણી દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

, . (2.1.120)

(2.1.118) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પીડીએફને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે બિન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ કહેવામાં આવે છે. પરિમાણને વિતરણ બિન-કેન્દ્રીયતા પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે બિન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ માટે IDF

આ અભિન્ન બંધ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થતું નથી. જો કે, જો પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય, તો IDF ને સામાન્યકૃત માર્કમ-ફંક્શનના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

, (2.1.122)

, (2.1.123)

જો આપણે (1.2.121) માં સંકલન ચલને , અને સાથે બદલીએ અને ધારીએ કે, તો આપણે સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ.

. (2.1.124)

નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે રેન્ડમ ચલોના કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ માટે પ્રથમ બે ક્ષણો સમાન છે

રેલે વિતરણ.રેલે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ ઘણીવાર રેડિયો ચેનલો પર પ્રસારિત થતા આંકડાકીય સંકેતોના નમૂના તરીકે થાય છે, જેમ કે સેલ્યુલર રેડિયો સંચારમાં. આ વિતરણ કેન્દ્રિય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. આને સમજાવવા માટે, ચાલો ધારીએ કે , શૂન્ય માધ્યમ અને સમાન ભિન્નતા સાથે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ ક્યાં અને છે. ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે તેની પાસે બે ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે ચી-સ્ક્વેર વિતરણ છે. તેથી, માટે પીડીએફ

, . (2.1.126)

હવે ધારો કે આપણે એક નવું રેન્ડમ ચલ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ

. (2.1.127)

(2.1.126) માં સરળ પરિવર્તનો કર્યા પછી, અમે PDF માટે મેળવીએ છીએ

, . (2.1.128)

આ રેલે રેન્ડમ ચલ માટે પીડીએફ છે. અનુરૂપ FMI બરાબર છે

, . (2.1.129)

માંથી ક્ષણો સમાન છે

, (2.1.130)

અને વિખેરવું

. (2.1.131)

રેલે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે લાક્ષણિક કાર્ય

. (2.1.132)

આ અભિન્ન અંગને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

ડિજનરેટ હાઇપરજીઓમેટ્રિક ફંક્શન ક્યાં તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

, … (2.1.134)

બાઉલી (1990) એ દર્શાવ્યું કે તેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે

. (2.1.135)

ઉપર પ્રાપ્ત અભિવ્યક્તિઓના સામાન્યીકરણ તરીકે, રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લો

જ્યાં , , શૂન્ય સરેરાશ સાથે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર સમાનરૂપે વિતરિત ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે તેમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ચી-સ્ક્વેર વિતરણ છે. તેની PDF ફોર્મ્યુલા (2.1.100) દ્વારા આપવામાં આવી છે. સરળ રૂપાંતરણો(2.1.110) માં વેરીએબલ ફોર્મમાં માટે PDF તરફ દોરી જાય છે

, . (2.1.137)

સેન્ટ્રલ ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન અને રેલેઈ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન વચ્ચેના મૂળભૂત સંબંધના પરિણામે, અનુરૂપ IDF એકદમ સરળ છે. આમ, કોઈપણ IFR માટે, for ને અપૂર્ણ ગામા ફંક્શનના રૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે. ખાસ કિસ્સામાં, જ્યારે તે સ્પષ્ટ છે, એટલે કે. જ્યારે , માટે FMI બંધ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે

, . (2.1.138)

નિષ્કર્ષમાં, અમે મી ક્ષણ માટે સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ

, , (2.1.139)

કોઈપણ માટે વાજબી.

ચોખાનું વિતરણ.જ્યારે રેલે વિતરણ કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ સાથે સંબંધિત છે, ચોખાનું વિતરણ બિન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ સાથે સંબંધિત છે. આ સંબંધને સમજાવવા માટે, ચાલો સેટ કરીએ , ક્યાં અને આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ સરેરાશ સાથે અને સમાન ભિન્નતા. અગાઉની ચર્ચામાંથી, આપણે જાણીએ છીએ કે બિન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણમાં વિચલન પરિમાણ હોય છે. માટે પીડીએફ (2.1.118) પરથી મેળવવામાં આવે છે, અને અમે શોધીએ છીએ

, . (2.1.140)

હવે એક નવું ચલ રજૂ કરીએ.

માટે PDF વેરીએબલને બદલીને (2.1.140) પરથી મેળવવામાં આવે છે

, . (2.1.141)

કાર્ય (2.1.141) ને ચોખા વિતરણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રકરણમાં દર્શાવવામાં આવશે તેમ. 5, આ PDF સાંકડી-બેન્ડ ગૌસિયન અવાજના સંપર્કમાં આવતા હાર્મોનિક સિગ્નલના પરબિડીયુંના આંકડા દર્શાવે છે. તેનો ઉપયોગ કેટલીક રેડિયો ચેનલો દ્વારા પ્રસારિત સિગ્નલના આંકડા માટે પણ થાય છે. માટે IFR (2.1.124) પરથી શોધવાનું સરળ છે જ્યારે . આ આપે છે

, , (2.1.142)

જ્યાં (2.1.123) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

ઉપરોક્ત પરિણામને સામાન્ય બનાવવા માટે, તેને (2.1.136) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, જ્યાં , સરેરાશ અને સમાન ભિન્નતા સાથે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે. રેન્ડમ ચલમાં સ્વતંત્રતા બિન-કેન્દ્રીય પરિમાણના -ડિગ્રી સાથે બિન-કેન્દ્રીય ચી-સ્ક્વેર વિતરણ છે, જે (2.1.119) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તેની PDF (2.1.118) દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, તેથી, માટે PDF સમાન છે

, , (2.1.143)

અને સંબંધિત FMI

જ્યાં (2.1.121) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે પૂર્ણાંક હોય, ત્યારે આપણી પાસે હોય છે

, , (2.1.145)

જે (2.1.124) થી અનુસરે છે. નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે થી મી ક્ષણ

, , (2.1.146)

ડિજનરેટ હાઇપરજીઓમેટ્રિક કાર્ય ક્યાં છે.

-નાકાગામી વિતરણ.વિલીન થતી મલ્ટીપાથ ચેનલના આઉટપુટ પર સિગ્નલની વધઘટના આંકડાઓનું વર્ણન કરવા માટે રેલે અને ચોખા બંને વિતરણનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. આ ચેનલ મોડલની ચર્ચા પ્રકરણમાં કરવામાં આવી છે. 14. મલ્ટિપાથ ફેડિંગ ચેનલો પર પ્રસારિત થતા આંકડાકીય સંકેતોને લાક્ષણિકતા આપવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતું અન્ય વિતરણ છે નાકાગામી વિતરણ. આ વિતરણ માટેની PDF નાકાગામી (1960) દ્વારા આપવામાં આવી છે.

, , (2.1.147)

જ્યાં તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

અને પરિમાણને ક્ષણોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેને વિલીન પરિમાણ કહેવામાં આવે છે:

, . (2.1.149)

(2.1.147) નું સામાન્યકૃત સંસ્કરણ અન્ય રેન્ડમ ચલ રજૂ કરીને મેળવી શકાય છે (જુઓ સમસ્યા 2.15). થી મી ક્ષણ બરાબર છે

એક સમયે જોઈ શકાય છે કે (2.1.147) રેલે વિતરણ તરફ દોરી જાય છે. શરતને સંતોષતા મૂલ્યો માટે, અમે એક પીડીએફ મેળવીએ છીએ જે રેલે વિતરણ કરતાં લાંબી પૂંછડીઓ ધરાવે છે. મૂલ્યો પર, નાકાગામી વિતરણની પીડીએફની પૂંછડીઓ રેલે વિતરણ કરતાં વધુ ઝડપથી ઘટે છે. આકૃતિ 2.1.10 માટે PDF સમજાવે છે વિવિધ અર્થો.

બહુવિધ ગૌસિયન વિતરણ.વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા ઘણા મલ્ટિવેરિયેબલ અથવા મલ્ટિવેરિયેટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનમાંથી, મલ્ટિવેરિયેબલ ગૌસિયન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને વ્યવહારમાં સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું છે. ચાલો આ વિતરણનો પરિચય કરીએ અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો ધારીએ કે , અર્થ , ભિન્નતા , અને સહપ્રવર્તન સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે . તે સ્પષ્ટ છે કે , . તત્વો સાથેના પરિમાણનું સહપ્રવાહ મેટ્રિક્સ બનવા દો. ચાલો રેન્ડમ ચલોના કૉલમ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને સરેરાશ મૂલ્યોના કૉલમ વેક્ટરને સૂચિત કરીએ, . ગૌસીયન રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત પીડીએફ , , નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે આપણે જોઈએ છીએ કે જો ગૌસીયન રેન્ડમ ચલો સહસંબંધિત નથી, તો તે આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર પણ છે. અસંબંધિત છે અને તેથી આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર છે. સ્વરૂપમાં કર્ણ છે. તેથી, આપણે ઇજેનવેક્ટર મેળવવાની જરૂર છે

આથી,

તે બતાવવાનું સરળ છે કે અને , જ્યાં કર્ણ તત્વો સમાન છે અને .

ફેડરલ એજન્સીશિક્ષણ દ્વારા

ઉચ્ચ વ્યવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા "ઉરલ સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી-યુપીઆઈનું નામ રશિયાના પ્રથમ રાષ્ટ્રપતિ બી.એન. યેલત્સિન"

રેડિયો એન્જિનિયરિંગના સૈદ્ધાંતિક ફાઉન્ડેશન્સ વિભાગ

રેલેઈગ ડિસ્ટ્રીબ્યુશન

"પ્રોબેબિલિસ્ટિક મોડલ્સ" શિસ્તમાં

જૂથ: R-37072

વિદ્યાર્થી: Reshetnikova N.E.

શિક્ષક: ટ્રુખિન એમ.પી.

એકટેરિનબર્ગ, 2009

મૂળ વાર્તા 3

સંભાવના ઘનતા કાર્ય 4

સંચિત વિતરણ કાર્ય 6

કેન્દ્રિય અને સંપૂર્ણ ક્ષણો 8

લાક્ષણિક કાર્ય 10

ક્યુમ્યુલન્ટ્સ (સેમી-ઇનવેરિયન્ટ્સ) 11

અરજી વિસ્તાર 12

સંદર્ભો 13

દેખાવનો ઇતિહાસ

12 નવેમ્બર, 1842ના રોજ, અંગ્રેજી ભૌતિકશાસ્ત્રી લોર્ડ જોન વિલિયમ રેલેનો જન્મ લેંગફોર્ડ ગ્રોવ (એસેક્સ)માં થયો હતો. નોબેલ પુરસ્કાર વિજેતા. ગૃહશિક્ષણ મેળવ્યું. તેમણે કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીની ટ્રિનિટી કૉલેજમાંથી સ્નાતક થયા અને 1871 સુધી ત્યાં કામ કર્યું. 1873માં તેમણે ટર્લિન પ્લેસની ફેમિલી એસ્ટેટ પર એક પ્રયોગશાળા બનાવી. 1879 માં તેઓ કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીમાં પ્રાયોગિક ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર બન્યા, 1884 માં - લંડનના સચિવ રોયલ સોસાયટી. 1887-1905 માં. - રોયલ એસોસિએશનના પ્રોફેસર, 1905 થી - લંડનની રોયલ સોસાયટીના પ્રમુખ, 1908 થી - કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીના પ્રમુખ.

સર્વગ્રાહી રીતે પ્રાકૃતિક વૈજ્ઞાનિક હોવાને કારણે, તેમણે વિજ્ઞાનની ઘણી શાખાઓમાં પોતાની જાતને અલગ પાડી: સ્પંદનોનો સિદ્ધાંત, ઓપ્ટિક્સ, એકોસ્ટિક્સ, થર્મલ રેડિયેશનનો સિદ્ધાંત, મોલેક્યુલર ફિઝિક્સ, હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, વીજળી અને ભૌતિકશાસ્ત્રના અન્ય ક્ષેત્રો. એકોસ્ટિક સ્પંદનો (તાર, સળિયા, પ્લેટ વગેરેના સ્પંદનો) ની તપાસ કરતા, તેમણે સ્પંદનોના રેખીય સિદ્ધાંત (1873) ના સંખ્યાબંધ મૂળભૂત પ્રમેય ઘડ્યા, જે ઓસીલેટરી સિસ્ટમ્સની કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ વિશે ગુણાત્મક તારણો કાઢવાની મંજૂરી આપે છે, અને વિકસિત કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ શોધવા માટે માત્રાત્મક વિક્ષેપ પદ્ધતિ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ. સમયાંતરે બાહ્ય પ્રભાવ વિના અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન કરવા માટે સક્ષમ બિનરેખીય પ્રણાલીઓની વિશિષ્ટતા અને આ સ્પંદનોની વિશિષ્ટ પ્રકૃતિ, જેને પાછળથી સ્વ-ઓસિલેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે તે દર્શાવનાર રેલે પ્રથમ વ્યક્તિ હતા.

તેમણે જૂથ અને વચ્ચેનો તફાવત સમજાવ્યો તબક્કાની ગતિઅને જૂથ વેગ (રેલે સૂત્ર) માટેનું સૂત્ર મેળવ્યું.

રેન્ડમ તબક્કાઓ સાથે ઓસિલેશનના સમૂહને ઉમેરવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવાના પરિણામે 1880 માં રેલે વિતરણ દેખાયું, જેમાં તેણે પરિણામી કંપનવિસ્તાર માટે વિતરણ કાર્ય મેળવ્યું. લાંબા સમયથી રેલે દ્વારા વિકસિત પદ્ધતિએ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતના વધુ વિકાસને નિર્ધારિત કર્યું.

સંભાવના ઘનતા કાર્ય

વિતરણ કાર્યનો પ્રકાર:

σ-પેરામીટર.

આમ, પરિમાણ σ પર આધાર રાખીને, માત્ર કંપનવિસ્તાર જ નહીં, પણ વિતરણના વિક્ષેપમાં પણ ફેરફાર થાય છે. જેમ જેમ σ ઘટે છે તેમ, કંપનવિસ્તાર વધે છે અને આલેખ “સંકુચિત” થાય છે અને જેમ જેમ σ વધે છે તેમ, સ્કેટર વધે છે અને કંપનવિસ્તાર ઘટે છે.

સંચિત વિતરણ કાર્ય

સંચિત વિતરણ કાર્ય, સંભાવનાની ઘનતાના અભિન્ન સમાન વ્યાખ્યા દ્વારા, સમાન છે:

વિવિધ પરિમાણો માટે અભિન્ન વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ σ:

σ પર આધાર રાખીને, વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ આના જેવો દેખાય છે:

આમ, જ્યારે પરિમાણ σ બદલાય છે, ત્યારે આલેખ બદલાય છે. જેમ જેમ σ ઘટે છે, આલેખ વધુ ઊંચો બને છે, અને જેમ જેમ σ વધે છે તેમ તેમ તે ચપટી બને છે:

કેન્દ્રિય અને સંપૂર્ણ ક્ષણો

વિતરણ કાયદા સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલનું વર્ણન કરે છે એક્સસાથે સંભવિત બિંદુદ્રષ્ટિ (રેન્ડમ ચલ વિશે સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે). વ્યવહારમાં ઘણીવાર આની જરૂર હોતી નથી સંપૂર્ણ વર્ણન, તે વ્યક્તિગત પરિમાણો (સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ) ના મૂલ્યો સૂચવવા માટે પૂરતું છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણના ચોક્કસ ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરે છે.

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાં, ગાણિતિક અપેક્ષા સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે અને તેને એપ્લિકેશનના પરિણામ તરીકે ગણવામાં આવે છે. સરેરાશ કામગીરી રેન્ડમ ચલ માટે એક્સ, તરીકે સૂચિત
.

શરૂઆતની ક્ષણs - પ્રથમ ઓર્ડરરેન્ડમ ચલ એક્સ ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે s - આ જથ્થાની મી શક્તિ:

સતત રેન્ડમ ચલ માટે:

રેલેના કાયદા અનુસાર વિતરિત મૂલ્ય માટેની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે:

પરિમાણના વિવિધ મૂલ્યો માટે ગાણિતિક અપેક્ષાનું મૂલ્ય σ:

કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ એક્સગાણિતિક અપેક્ષાથી તેનું વિચલન કહેવાય છે
.

કેન્દ્રીય ક્ષણ s – પ્રથમ ઓર્ડરરેન્ડમ ચલ એક્સગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે s- કેન્દ્રિત જથ્થાની મી ડિગ્રી
:

સતત રેન્ડમ ચલ માટે

બીજો કેન્દ્રિય બિંદુ. વિખેરી નાખવુંછે છૂટાછવાયા લાક્ષણિકતાતેની ગાણિતિક અપેક્ષા વિશે રેન્ડમ ચલ

રેલેના નિયમ અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, વિક્ષેપ (બીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ) બરાબર છે:

લાક્ષણિક કાર્ય

રેન્ડમ ચલ X નું લાક્ષણિક કાર્ય એ કાર્ય છે

- આ કાર્ય કેટલાક જટિલ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
, જે રેન્ડમ ચલ X નું કાર્ય છે. ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, વિતરણ કાયદાને બદલે લાક્ષણિક કાર્યનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે.

વિતરણ કાયદાને જાણીને, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લાક્ષણિક કાર્ય શોધી શકો છો:

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, આ સૂત્રડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટી ફંક્શનના વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરતાં વધુ કંઈ નથી. દેખીતી રીતે, મદદ સાથે સીધું રૂપાંતરફોરિયર વિતરણ કાયદો શોધવા માટે લાક્ષણિક કાર્યનો ઉપયોગ કરી શકે છે.

રેલેના નિયમ અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે લાક્ષણિક કાર્ય:

જ્યાં
- જટિલ દલીલની સંભાવનાનું અભિન્ન અંગ.

ક્યુમ્યુલન્ટ્સ (અર્ધ-અવિવર્તી)

કાર્ય
રેન્ડમ વેરીએબલ Xનું ક્યુમ્યુલન્ટ ફંક્શન કહેવાય છે. ક્યુમ્યુલન્ટ ફંક્શન એ રેન્ડમ વેરીએબલની સંપૂર્ણ સંભવિત લાક્ષણિકતા છે, જેમ કે. ક્યુમ્યુલન્ટ ફંક્શનનો પરિચય આપવાનો મુદ્દો એ છે કે આ કાર્ય ઘણીવાર સંપૂર્ણ સંભવિત લાક્ષણિકતાઓમાં સૌથી સરળ હોવાનું બહાર આવે છે.