એક ચલમાં અસમાનતાનો ઉકેલ એ મૂલ્ય છે. એક ચલ સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

હવે તમે સમજી શકો છો કે કેવી રીતે રેખીય અસમાનતા એ x + b હલ થાય છે<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

તેમને હલ કરવાની મુખ્ય રીત એ સમકક્ષ રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરવાનો છે જે વ્યક્તિને a≠0 પર આવવા દે છે. પ્રાથમિક અસમાનતાઓપ્રકાર x

, ≥), p - ચોક્કસ સંખ્યા, જે ઇચ્છિત ઉકેલ છે, અને a=0 માટે - ફોર્મ a ની સંખ્યાત્મક અસમાનતા માટે

, ≥), જેમાંથી મૂળ અસમાનતાના ઉકેલ વિશે નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે. અમે પહેલા તેનું વિશ્લેષણ કરીશું.

અન્ય દ્રષ્ટિકોણથી એક ચલમાં રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા જોવાથી પણ નુકસાન થતું નથી. તેથી, અમે એ પણ બતાવીશું કે તમે કેવી રીતે હલ કરી શકો છો રેખીય અસમાનતાગ્રાફિકલી અને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને

ચાલો આપણે રેખીય અસમાનતા a x+b ઉકેલવાની જરૂર છે<0 (≤, >, ≥). ચાલો સમાન અસમાનતા પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને આ કેવી રીતે કરવું તે બતાવીએ.

ચલ x નો ગુણાંક a સમાન છે કે શૂન્યની બરાબર નથી તેના આધારે અભિગમો અલગ પડે છે. ચાલો તેમને એક પછી એક જોઈએ. તદુપરાંત, વિચારણા કરતી વખતે, અમે ત્રણ-પોઇન્ટ સ્કીમનું પાલન કરીશું: પ્રથમ આપણે પ્રક્રિયાનો સાર આપીશું, પછી અમે રેખીય અસમાનતાને હલ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ આપીશું, અને અંતે, અમે લાક્ષણિક ઉદાહરણોના ઉકેલો આપીશું.

સાથે શરૂઆત કરીએ રેખીય અસમાનતા a x+b ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ<0 (≤, >, ≥) a≠0 માટે.

• પ્રથમ, સંખ્યા b અસમાનતા c ની જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત થાય છે વિરોધી ચિહ્ન. આ આપણને સમકક્ષ અસમાનતા x તરફ જવા દે છે<−b (≤, >, ≥).
• બીજું, પરિણામી અસમાનતાની બંને બાજુઓ બિન-શૂન્ય સંખ્યા a દ્વારા વિભાજિત થાય છે. તદુપરાંત, જો a હકારાત્મક સંખ્યા છે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન સચવાય છે, અને જો a છે નકારાત્મક સંખ્યા, પછી અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. પરિણામ એ મૂળ રેખીય અસમાનતાની સમકક્ષ પ્રાથમિક અસમાનતા છે, અને આ જવાબ છે.

ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને ઘોષિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ સમજવાનું બાકી છે. ચાલો વિચાર કરીએ કે a≠0 માટે રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકાય.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા 3·x+12≤0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

આપેલ રેખીય અસમાનતા માટે આપણી પાસે a=3 અને b=12 છે. દેખીતી રીતે, ચલ x માટે ગુણાંક a શૂન્યથી અલગ છે. ચાલો ઉપર આપેલ અનુરૂપ ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ.

પ્રથમ, આપણે શબ્દ 12 ને અસમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, તેનું ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલતા નથી, એટલે કે, −12 જમણી બાજુએ દેખાશે. પરિણામે, આપણે સમકક્ષ અસમાનતા 3·x≤−12 પર પહોંચીએ છીએ.

અને, બીજું, આપણે પરિણામી અસમાનતાની બંને બાજુઓને 3 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, કારણ કે 3 એ સકારાત્મક સંખ્યા છે, આપણે અસમાનતાની નિશાની બદલતા નથી. અમારી પાસે (3 x):3≤(−12):3 છે, જે x≤−4 સમાન છે.

પરિણામી પ્રાથમિક અસમાનતા x≤−4 એ મૂળ રેખીય અસમાનતાની સમકક્ષ છે અને તેનો ઇચ્છિત ઉકેલ છે.

તેથી, રેખીય અસમાનતા 3 x + 12≤0 નો ઉકેલ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે ઓછા ચાર કરતા ઓછી અથવા બરાબર છે. જવાબ અસમાનતા x≤−4 ને અનુરૂપ સંખ્યાત્મક અંતરાલના સ્વરૂપમાં પણ લખી શકાય છે, એટલે કે (−∞, −4].

રેખીય અસમાનતાઓ સાથે કામ કરવાની કુશળતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તેમના ઉકેલોને સમજૂતી વિના સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ મૂળ રેખીય અસમાનતા લખો, અને નીચે - ઉકેલના દરેક પગલા પર મેળવેલ સમકક્ષ અસમાનતાઓ:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4.

જવાબ:

x≤−4 અથવા (−∞, −4] .

ઉદાહરણ.

રેખીય અસમાનતા −2.7·z>0 માટેના તમામ ઉકેલોની યાદી બનાવો.

ઉકેલ.

અહીં ચલ z માટે a ગુણાંક −2.7 ની બરાબર છે. અને ગુણાંક b સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં ગેરહાજર છે, એટલે કે, તે શૂન્ય બરાબર. તેથી, એક ચલ સાથે રેખીય અસમાનતાને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનું પ્રથમ પગલું ભરવાની જરૂર નથી, કારણ કે શૂન્યને ડાબી બાજુથી જમણી તરફ ખસેડવાથી મૂળ અસમાનતાનું સ્વરૂપ બદલાશે નહીં.

અસમાનતાની બંને બાજુઓને −2.7 વડે વિભાજિત કરવાનું બાકી છે, અસમાનતાના ચિન્હને વિરુદ્ધમાં બદલવાનું ભૂલશો નહીં, કારણ કે −2.7 એ નકારાત્મક સંખ્યા છે. અમારી પાસે છે (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , અને પછી z<0 .

અને હવે ટૂંકમાં:
−2.7·z>0;
z<0 .

જવાબ:

z<0 или (−∞, 0) .

ઉદાહરણ.

અસમાનતા ઉકેલો .

ઉકેલ.

આપણે −5 ના સમાન ચલ x માટે ગુણાંક a સાથે અને ગુણાંક b સાથે, જે અપૂર્ણાંક −15/22 ને અનુરૂપ છે સાથે રેખીય અસમાનતાને ઉકેલવાની જરૂર છે. અમે જાણીતી યોજના અનુસાર આગળ વધીએ છીએ: પહેલા આપણે વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે −15/22 ને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, તે પછી આપણે અસમાનતાના સંકેતને બદલતી વખતે, નકારાત્મક સંખ્યા −5 દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ છીએ:

જમણી બાજુ પર છેલ્લું સંક્રમણ ઉપયોગ કરે છે , પછી ચલાવવામાં આવે છે .

જવાબ:

હવે ચાલો કેસ તરફ આગળ વધીએ જ્યારે a=0. રેખીય અસમાનતા a x+b ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

આ શેના આધારે છે? ખૂબ જ સરળ: અસમાનતાનો ઉકેલ નક્કી કરવા પર. કેવી રીતે? હા, અહીં કેવી રીતે છે: આપણે મૂળ રેખીય અસમાનતામાં વેરીએબલ xનું ગમે તે મૂલ્ય બદલીએ તો પણ, આપણને મળે છે સંખ્યાત્મક અસમાનતાપ્રકાર b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

ચાલો ઉપરોક્ત દલીલોને ફોર્મમાં ઘડીએ રેખીય અસમાનતાઓ ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• સંખ્યાત્મક અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો b<0 (≤, >, ≥) અને
• જો તે સાચું છે, તો મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ કોઈપણ સંખ્યા છે;
• જો તે ખોટું છે, તો મૂળ રેખીય અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

હવે આ વાતને ઉદાહરણો વડે સમજીએ.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા 0·x+7>0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચલ xના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, રેખીય અસમાનતા 0 x+7>0 સંખ્યાત્મક અસમાનતા 7>0 માં ફેરવાશે. છેલ્લી અસમાનતા સાચી છે, તેથી, કોઈપણ સંખ્યા એ મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ છે.

જવાબ:

ઉકેલ એ કોઈપણ સંખ્યા અથવા (−∞, +∞) છે.

ઉદાહરણ.

શું રેખીય અસમાનતા 0·x−12.7≥0 પાસે ઉકેલો છે?

ઉકેલ.

જો આપણે ચલ x ને બદલે કોઈપણ સંખ્યાને બદલીએ, તો મૂળ અસમાનતા સંખ્યાત્મક અસમાનતા −12.7≥0 માં ફેરવાઈ જાય છે, જે ખોટી છે. આનો અર્થ એ છે કે એક પણ સંખ્યા એ રેખીય અસમાનતા 0·x−12.7≥0 નો ઉકેલ નથી.

જવાબ:

ના, એવું થતું નથી.

આ વિભાગને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે બે રેખીય અસમાનતાઓના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરીશું, જેના બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન છે.

ઉદાહરણ.

0·x+0>0 અને 0·x+0≥0માંથી કઈ રેખીય અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, અને જેમાં અનંત ઘણા ઉકેલો છે?

ઉકેલ.

જો તમે ચલ x ને બદલે કોઈપણ સંખ્યાને બદલો છો, તો પ્રથમ અસમાનતા 0>0 અને બીજી - 0≥0 સ્વરૂપ લેશે. તેમાંથી પ્રથમ ખોટો છે, અને બીજો સાચો છે. પરિણામે, રેખીય અસમાનતા 0·x+0>0 પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, અને અસમાનતા 0·x+0≥0 પાસે અનંતપણે ઘણા ઉકેલો છે, એટલે કે, તેનો ઉકેલ કોઈપણ સંખ્યા છે.

જવાબ:

અસમાનતા 0 x+0>0 પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, અને અસમાનતા 0 x+0≥0 પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.

અંતરાલ પદ્ધતિ

સામાન્ય રીતે, અંતરાલોની પદ્ધતિનો અભ્યાસ શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં એક ચલમાં રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવાના વિષય કરતાં પાછળથી કરવામાં આવે છે. પરંતુ અંતરાલ પદ્ધતિ તમને રેખીય મુદ્દાઓ સહિત વિવિધ અસમાનતાઓને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, ચાલો તેના પર ધ્યાન આપીએ.

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે ચલ x માટે બિન-શૂન્ય ગુણાંક સાથે રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. નહિંતર, અગાઉના ફકરાના અંતે ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાના ઉકેલ વિશે નિષ્કર્ષ દોરવાનું ઝડપી અને વધુ અનુકૂળ છે.

અંતરાલ પદ્ધતિ સૂચવે છે

• અસમાનતાની ડાબી બાજુને અનુરૂપ કાર્ય રજૂ કરી રહ્યા છીએ, અમારા કિસ્સામાં - રેખીય કાર્ય y=a x+b ,
• તેના શૂન્યને શોધવું, જે વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે,
• આ અંતરાલો પર કાર્ય મૂલ્યો ધરાવતા સંકેતોનું નિર્ધારણ, જેના આધારે રેખીય અસમાનતાના ઉકેલ વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે.

ચાલો આ ક્ષણો એકત્રિત કરીએ અલ્ગોરિધમ, રેખીય અસમાનતા a x+b ને કેવી રીતે હલ કરવી તે દર્શાવે છે<0 (≤, >, ≥) અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને a≠0 માટે:

• ફંક્શન y=a·x+b ના શૂન્ય મળે છે, જેના માટે a·x+b=0 ઉકેલાય છે. જેમ જાણીતું છે, a≠0 માટે તે એક જ મૂળ ધરાવે છે, જેને આપણે x 0 તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
• તે બાંધવામાં આવ્યું છે, અને તેના પર કોઓર્ડિનેટ x 0 સાથે એક બિંદુ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. વધુમાં, જો તે નક્કી કરવામાં આવે છે કડક અસમાનતા(ચિહ્ન સાથે< или >), પછી આ બિંદુને વિરામચિહ્નિત કરવામાં આવે છે (ખાલી કેન્દ્ર સાથે), અને જો તે કડક ન હોય (ચિહ્ન ≤ અથવા ≥ સાથે), તો નિયમિત બિંદુ મૂકવામાં આવે છે. આ બિંદુ સંકલન રેખાને બે અંતરાલો (−∞, x 0) અને (x 0, +∞)માં વિભાજિત કરે છે.
• આ અંતરાલો પર કાર્ય y=a·x+b ના ચિહ્નો નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, આ ફંક્શનનું મૂલ્ય અંતરાલ (−∞, x 0) ના કોઈપણ બિંદુએ ગણવામાં આવે છે, અને આ મૂલ્યનું ચિહ્ન અંતરાલ (−∞, x 0) પર ઇચ્છિત ચિહ્ન હશે. એ જ રીતે, અંતરાલ (x 0 , +∞) પરનું ચિહ્ન આ અંતરાલના કોઈપણ બિંદુએ ફંક્શન y=a·x+b ના મૂલ્યના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે. પરંતુ તમે આ ગણતરીઓ વિના કરી શકો છો, અને ગુણાંક a ના મૂલ્યના આધારે ચિહ્નો વિશે તારણો દોરી શકો છો: જો a>0 હોય, તો પછી અંતરાલો પર (−∞, x 0) અને (x 0, +∞) હશે. ચિહ્નો − અને +, અનુક્રમે, અને જો a >0, તો + અને −.
• જો > અથવા ≥ ચિહ્નો સાથેની અસમાનતાઓ હલ કરવામાં આવી રહી હોય, તો પછી વત્તા ચિહ્ન સાથે ગેપ પર હેચ મૂકવામાં આવે છે, અને જો ચિહ્નો સાથેની અસમાનતાઓ ઉકેલાઈ રહી હોય< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય અસમાનતાને હલ કરવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા −3·x+12>0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરી રહ્યા હોવાથી, અમે તેનો ઉપયોગ કરીશું. અલ્ગોરિધમ મુજબ, પ્રથમ આપણે સમીકરણ −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4નું મૂળ શોધીએ છીએ. આગળ, અમે એક સંકલન રેખા દોરીએ છીએ અને તેના પર સંકલન 4 સાથે એક બિંદુને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, અને અમે આ બિંદુને પંચર બનાવીએ છીએ, કારણ કે અમે કડક અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા છીએ:

હવે અમે અંતરાલો પર ચિહ્નો નક્કી કરીએ છીએ. અંતરાલ (−∞, 4) પર ચિહ્ન નક્કી કરવા માટે, તમે y=−3·x+12 ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, x=3 પર. આપણી પાસે −3·3+12=3>0 છે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ પર + ચિહ્ન છે. બીજા અંતરાલ (4, +∞) પર ચિહ્ન નક્કી કરવા માટે, તમે y=−3 x+12 ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ x=5 પર. અમારી પાસે −3·5+12=−3 છે<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

અમે > ચિન્હ વડે અસમાનતાને ઉકેલી રહ્યા હોવાથી, અમે + ચિહ્ન વડે ગેપ પર શેડિંગ દોરીએ છીએ, ડ્રોઇંગ ફોર્મ લે છે.

પરિણામી છબીના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ઇચ્છિત ઉકેલ (−∞, 4) છે અથવા અન્ય સંકેત x માં<4 .

જવાબ:

(−∞, 4) અથવા x<4 .

ગ્રાફિકલી

એક ચલમાં રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક અર્થઘટનની સમજ હોવી ઉપયોગી છે. તે મેળવવા માટે, ચાલો સમાન ડાબી બાજુ સાથે ચાર રેખીય અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 અને 0.5 x−1≥0 , તેમના ઉકેલો x છે<2 , x≤2 , x>2 અને x≥2, અને રેખીય કાર્ય y=0.5 x−1 નો ગ્રાફ પણ દોરો.

તે નોંધવું સરળ છે

• અસમાનતા 0.5 x−1 નો ઉકેલ<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• અસમાનતા 0.5 x−1≤0 નો ઉકેલ એ અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેમાં વિધેયનો ગ્રાફ y=0.5 x−1 Ox અક્ષની નીચે હોય છે અથવા તેની સાથે એકરુપ હોય છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, abscissa અક્ષની ઉપર નહીં),
• તેવી જ રીતે, અસમાનતા 0.5 x−1>0 નો ઉકેલ એ અંતરાલ છે જેમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓક્સ અક્ષની ઉપર હોય છે (ગ્રાફનો આ ભાગ લાલ રંગમાં બતાવવામાં આવે છે),
• અને અસમાનતાનો ઉકેલ 0.5·x−1≥0 એ અંતરાલ છે જેમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ ઊંચો હોય છે અથવા એબ્સીસા અક્ષ સાથે એકરુપ હોય છે.

અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, ખાસ કરીને રેખીય, અને અંતરાલો શોધવાનો અર્થ થાય છે જેમાં અસમાનતાની ડાબી બાજુને અનુરૂપ કાર્યનો ગ્રાફ અસમાનતાની જમણી બાજુને અનુરૂપ કાર્યના ગ્રાફની ઉપર, નીચે, નીચે નહીં અથવા ઉપર સ્થિત છે. અમારા રેખીય અસમાનતાના કિસ્સામાં, ડાબી બાજુને અનુરૂપ કાર્ય y=a·x+b છે, અને જમણી બાજુ y=0 છે, ઑક્સ અક્ષ સાથે સુસંગત છે.

આપેલી માહિતીને જોતાં, તે ઘડવામાં સરળ છે રેખીય અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

• ફંક્શનનો ગ્રાફ y=a x+b બાંધવામાં આવ્યો છે (યોજનાકીય રીતે શક્ય છે) અને
• અસમાનતા ઉકેલતી વખતે a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• x+b≤0 અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, અંતરાલ નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જેમાં ગ્રાફ નીચો છે અથવા ઓક્સ અક્ષ સાથે એકરુપ છે,
• x+b>0 અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, અંતરાલ નક્કી થાય છે જેમાં આલેખ ઓક્સ અક્ષની ઉપર હોય છે,
• અસમાનતા a·x+b≥0 ઉકેલતી વખતે, અંતરાલ કે જેમાં ગ્રાફ ઊંચો છે અથવા ઓક્સ અક્ષ સાથે મેળ ખાય છે તે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા ઉકેલો ગ્રાફિકલી.

ઉકેલ.

ચાલો રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ સ્કેચ કરીએ . આ એક સીધી રેખા છે જે ઘટી રહી છે, કારણ કે x નો ગુણાંક નકારાત્મક છે. આપણને x-અક્ષ સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુના સંકલનની પણ જરૂર છે, તે સમીકરણનું મૂળ છે , જે બરાબર છે. અમારી જરૂરિયાતો માટે, અમારે ઓય અક્ષનું ચિત્રણ કરવાની પણ જરૂર નથી. તેથી આપણું યોજનાકીય ચિત્ર આના જેવું દેખાશે

અમે > ચિન્હ વડે અસમાનતાને ઉકેલી રહ્યા હોવાથી, અમને તે અંતરાલમાં રસ છે જેમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓક્સ અક્ષની ઉપર છે. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ગ્રાફના આ ભાગને લાલ રંગમાં હાઈલાઈટ કરીએ અને આ ભાગને અનુરૂપ અંતરાલ સરળતાથી નક્કી કરવા માટે, ચાલો તે ભાગને લાલ રંગમાં હાઈલાઈટ કરીએ. સંકલન વિમાન, જેમાં નીચેની આકૃતિની જેમ ગ્રાફનો પસંદ કરેલ ભાગ સ્થિત છે:

અમને જે અંતરમાં રસ છે તે ઓક્સ અક્ષનો ભાગ છે જે લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે. દેખીતી રીતે આ એક ઓપન નંબર બીમ છે . આ તે ઉકેલ છે જે આપણે શોધી રહ્યા છીએ. નોંધ કરો કે જો આપણે અસમાનતાનો ઉકેલ > ચિન્હ વડે નહિ, પરંતુ બિન-કડક અસમાનતા ≥ ના ચિહ્ન વડે ઉકેલી રહ્યા હોય, તો આપણે જવાબમાં ઉમેરવું પડશે, કારણ કે આ બિંદુએ કાર્યનો ગ્રાફ Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે .y=0·x+7, જે y=7 સમાન છે, Ox અક્ષની સમાંતર અને તેની ઉપર આવેલ સંકલન સમતલ પર એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી, અસમાનતા 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

અને ફંક્શન y=0·x+0 નો આલેખ, જે y=0 જેવો જ છે, એ Ox અક્ષ સાથે એકરુપ સીધી રેખા છે. તેથી, અસમાનતા 0·x+0≥0નો ઉકેલ એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

જવાબ:

બીજી અસમાનતા, તેનો ઉકેલ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

અસમાનતાઓ જે રેખીય સુધી ઘટાડે છે

સમકક્ષ રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને મોટી સંખ્યામાં અસમાનતાઓને સમકક્ષ રેખીય અસમાનતા દ્વારા બદલી શકાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેખીય અસમાનતામાં ઘટાડો. આવી અસમાનતા કહેવાય છે અસમાનતા જે રેખીય સુધી ઘટે છે.

શાળામાં, લગભગ એકસાથે રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા સાથે, સરળ અસમાનતાઓ કે જે રેખીય અસમાનતામાં ઘટાડો કરે છે તે પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તેઓ ખાસ કિસ્સાઓ છે સમગ્ર અસમાનતાઓ, એટલે કે, તેમના ડાબા અને જમણા ભાગોમાં સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિઓ છે જે રજૂ કરે છે અથવા રેખીય દ્વિપદી, અથવા તેમને અને દ્વારા રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, અમે આવી અસમાનતાઓના ઘણા ઉદાહરણો આપીએ છીએ: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

ઉપર દર્શાવેલ અસમાનતાઓ જે ફોર્મમાં સમાન હોય છે તેને હંમેશા રેખીયમાં ઘટાડી શકાય છે. આ કૌંસ ખોલીને, સમાન પદો લાવીને, શરતોને ફરીથી ગોઠવીને અને વિપરિત ચિન્હ સાથે અસમાનતાની એક બાજુથી બીજી તરફ ખસેડીને કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 5−2 x>0 ને રેખીયમાં ઘટાડવા માટે, તેની ડાબી બાજુએ શરતોને ફરીથી ગોઠવવા માટે તે પૂરતું છે, અમારી પાસે −2 x+5>0 છે. બીજી અસમાનતા 7·(x−1)+3≤4·x−2+x ને રેખીયમાં ઘટાડવા માટે, તમારે થોડી જરૂર છે વધુ ક્રિયા: ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસ 7 x−7+3≤4 x−2+x ખોલીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે આપીએ છીએ. સમાન શરતોબંને બાજુએ 7 x−4≤5 x−2 , પછી આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ 7 x−4−5 x+2≤0 માં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, અંતે, આપણે ડાબી બાજુ 2 x પર સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ. −2 ≤0. તેવી જ રીતે, ત્રીજી અસમાનતાને રેખીય અસમાનતામાં ઘટાડી શકાય છે.

હકીકત એ છે કે આવી અસમાનતા હંમેશા રેખીય રાશિઓમાં ઘટાડી શકાય છે, કેટલાક લેખકો તેમને રેખીય પણ કહે છે. પરંતુ અમે હજુ પણ તેમને રેખીયથી ઘટાડી શકાય તેવા ગણીશું.

હવે તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે આવી અસમાનતાઓને રેખીય અસમાનતા સાથે શા માટે ગણવામાં આવે છે. અને તેમના ઉકેલનો સિદ્ધાંત એકદમ સમાન છે: પ્રદર્શન કરીને સમકક્ષ પરિવર્તનો, તેઓ ઇચ્છિત ઉકેલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી પ્રાથમિક અસમાનતાઓ સુધી ઘટાડી શકાય છે.

આ પ્રકારની અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, તમે પહેલા તેને રેખીયમાં ઘટાડી શકો છો, અને પછી આ રેખીય અસમાનતાને હલ કરી શકો છો. પરંતુ આ કરવું વધુ તર્કસંગત અને અનુકૂળ છે:

• કૌંસ ખોલ્યા પછી, અસમાનતાની ડાબી બાજુના ચલ સાથેની બધી શરતો અને જમણી બાજુની બધી સંખ્યાઓ એકત્રિત કરો,
• પછી સમાન શરતો લાવો,
• અને પછી પરિણામી અસમાનતાની બંને બાજુઓને x ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરો (જો તે, અલબત્ત, શૂન્યથી અલગ હોય). આ જવાબ આપશે.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 ઉકેલો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, ચાલો કૌંસ ખોલીએ, પરિણામે આપણે અસમાનતા 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 પર આવીએ છીએ. હવે ચાલો સમાન શબ્દો આપીએ: 6 x+15≤6 x−17. આગળ આપણે શરતો ખસેડીએ છીએ ડાબી બાજુ, આપણને 6 x+15−6 x+17≤0 મળે છે, અને ફરીથી આપણે સમાન શબ્દો લાવીએ છીએ (જે આપણને રેખીય અસમાનતા 0 x+32≤0 તરફ દોરી જાય છે) અને આપણી પાસે 32≤0 છે. આ રીતે આપણે અયોગ્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા પર આવ્યા, જેમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે મૂળ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ:

કોઈ ઉકેલ નથી.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે ત્યાં ઘણી બધી અન્ય અસમાનતાઓ છે જે રેખીય અસમાનતાઓ અથવા ઉપરોક્ત ગણવામાં આવેલ પ્રકારની અસમાનતાઓમાં ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉકેલ ઘાતાંકીય અસમાનતા 5 2 x−1 ≥1 રેખીય અસમાનતા 2 x−1≥0 ઉકેલવા માટે ઘટાડે છે. પરંતુ અનુરૂપ સ્વરૂપની અસમાનતાના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે અમે આ વિશે વાત કરીશું.

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• બીજગણિત: 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2009. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. બપોરે 2 વાગ્યે ભાગ 1. વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13મી આવૃત્તિ., ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: નેમોસીન, 2011. - 222 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01752-3.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત અને શરૂઆત ગાણિતિક વિશ્લેષણ. 11મા ધોરણ. બપોરે 2 વાગ્યે ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક ( પ્રોફાઇલ સ્તર) / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, પી. વી. સેમેનોવ. - 2જી આવૃત્તિ, ભૂંસી. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 287 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01027-2.

એક સાથે રેખીય અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી ફોર્મનું ચલ ax+b>cx+d?

આ કરવા માટે, અમે ફક્ત બે નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

1) શરતોને વિપરિત ચિન્હ સાથે અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે. અસમાનતાની નિશાની બદલાતી નથી.

2) અસમાનતાની બંને બાજુઓ (અથવા અન્ય ચલ) હોઈ શકે છે. જ્યારે ધન સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે અસમાનતાનું ચિહ્ન બદલાતું નથી. ઋણ સંખ્યા વડે ભાગાકાર કરતી વખતે, અસમાનતાની નિશાની ઉલટી થાય છે.

IN સામાન્ય દૃશ્યએક ચલમાં રેખીય અસમાનતા ઉકેલવી

Cx + d\]" title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

આ રીતે ચિત્રિત કરી શકાય છે:

1) અમે અજ્ઞાતને એક બાજુએ, જાણીતાને બીજી તરફ વિરોધી ચિહ્નો સાથે ખસેડીએ છીએ:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

2) જો X ની સામેની સંખ્યા શૂન્ય (a-c≠0) ની બરાબર ન હોય, તો અસમાનતાની બંને બાજુઓને a-c વડે વિભાજિત કરો.

જો a-c>0, અસમાનતા ચિહ્ન બદલાતું નથી:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

જો a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

જો a-c=0, તો આ છે - ખાસ કેસ. અમે રેખીય અસમાનતાઓને ઉકેલવાના વિશેષ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું.

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

આ એક રેખીય અસમાનતા છે. અમે અજ્ઞાતને એક દિશામાં ખસેડીએ છીએ, અન્યમાં વિપરીત ચિહ્નો સાથે જાણીતાને:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

અમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને X ની સામેની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. થી -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

ત્યારથી , નંબર લાઇન પર 10 એ પંચર થયેલ ડોટ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. , માઈનસ અનંત સુધી.

અસમાનતા કડક હોવાથી અને બિંદુ ખૂટે છે, અમે કૌંસ સાથે જવાબમાં 10 લખીએ છીએ.

આ એક રેખીય અસમાનતા છે. અજ્ઞાત - એક દિશામાં, જાણીતા - બીજી દિશામાં વિરોધી ચિહ્નો સાથે:

અમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને X ની સામેની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. 10 થી>

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

અસમાનતા કડક ન હોવાથી, અમે ભરેલા ડોટ સાથે નંબર લાઇન પર -2.3 ચિહ્નિત કરીએ છીએ. -2,3 થી શેડિંગ જમણી તરફ જાય છે, વત્તા અનંત સુધી.

અસમાનતા કડક હોવાથી અને બિંદુ શેડમાં હોવાથી, આપણે ચોરસ કૌંસ સાથે જવાબમાં -2.3 લખીએ છીએ.

આ એક રેખીય અસમાનતા છે. અજાણ્યાઓ એક દિશામાં જાય છે, જ્ઞાત બીજી દિશામાં વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે જાય છે.

અમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને X ની સામેની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. 3>0 થી, અસમાનતા ચિહ્ન બદલાતું નથી:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

અસમાનતા કડક હોવાથી, અમે સંખ્યા રેખા પર x=2/3 ને પંચર બિંદુ તરીકે રજૂ કરીએ છીએ.

અસમાનતા કડક હોવાથી અને બિંદુ ખૂટે છે, અમે કૌંસ સાથે જવાબમાં 2/3 લખીએ છીએ.

એક ચલ સાથે: સમકક્ષ અસમાનતાઓ શું છે; અસમાનતાના કયા પરિવર્તનો સમકક્ષ છે અને કયા નથી. અમે 8મા ધોરણથી શરૂ થતા બીજગણિત કોર્સમાં આ પ્રશ્નોની ચર્ચા કરી હતી, અને આ પાઠ્યપુસ્તકમાં તેમની ચર્ચા પહેલાથી જ કરવામાં આવી હતી, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઘાતાંકીય અને લઘુગણક અસમાનતા. અમે આ પ્રશ્નો પર પાછા ફરીએ છીએ કારણ કે, અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યા પછી શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત, તે પુનર્વિચાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે સામાન્ય વિચારોઅને પદ્ધતિઓ.

1. અસમાનતાઓની સમાનતા

યાદ કરો કે અસમાનતાનો ઉકેલ a(x) > n(x) કોઈપણ મૂલ્ય છે ચલ x, જે ચલ સાથે આપેલ અસમાનતાને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવે છે. કેટલીકવાર ખાનગી ઉકેલ શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે. અસમાનતાના તમામ વિશિષ્ટ ઉકેલોના સમૂહને સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ ઉકેલ શબ્દ વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે. આમ, ઉકેલ શબ્દનો ઉપયોગ ત્રણ અર્થમાં થાય છે: અને કેવી રીતે સામાન્ય ઉકેલ, બંને એક ખાનગી નિર્ણય તરીકે અને એક પ્રક્રિયા તરીકે, પરંતુ સામાન્ય રીતે અર્થની દ્રષ્ટિએ તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.

વ્યાખ્યા 1.એક ચલ સાથેની બે અસમાનતાઓ f(x)>g(x) અને p(x)>h(x) સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમના ઉકેલો (એટલે ​​​​કે આંશિક ઉકેલોના સમૂહો) એકરૂપ થાય છે.

તમે, અલબત્ત, સમજો છો કે વ્યાખ્યામાં > ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવો બિનમહત્વપૂર્ણ છે. તમે આ વ્યાખ્યામાં અને આ ફકરાના તમામ નિવેદનોમાં કડક અને બિન-કડક એમ કોઈપણ અન્ય અસમાનતા ચિહ્નનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

વ્યાખ્યા 2.જો અસમાનતાનો ઉકેલ આવે

અસમાનતાના ઉકેલમાં સમાયેલ છે

તો અસમાનતા (2) અસમાનતાનું પરિણામ કહેવાય છે (1)

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા x 2 >9 એ અસમાનતા 2x>6નું પરિણામ છે. વાસ્તવમાં, પ્રથમ અસમાનતાને ફોર્મ x 2 -9 >0 અને આગળ ફોર્મ (x-3)(x+3) >0 માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અને અંતરાલોની પદ્ધતિ (ફિગ. 245) લાગુ કરીએ છીએ, આપણે શોધીએ છીએ કે ઉકેલ અસમાનતા માટે બે ખુલ્લા કિરણોનું જોડાણ છે: બીજી અસમાનતા 2x>6 ના ઉકેલમાં x>3 સ્વરૂપ છે, એટલે કે. રજૂ કરે છે ઓપન બીમબીજી અસમાનતાનો ઉકેલ એ પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલનો એક ભાગ છે, અને તેથી પ્રથમ અસમાનતા એ બીજાનું પરિણામ છે.
બંને અસમાનતામાં અસમાનતાની નિશાની બદલાય તો પરિસ્થિતિ ધરમૂળથી બદલાઈ જશે તે વિચિત્ર છે. 2x અસમાનતા< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

2x+7>10x, x 2 +7x ઓફર કરે છે<2, (х+2)(2х-3)>0 ને એક ચલ સાથેની અસમાનતા કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, આ ખ્યાલ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા.ચલ x અને ડોમેન X સાથે f(x) અને q(x) ને બે સમીકરણો થવા દો. પછી ફોર્મ f(x) ની અસમાનતા< q(х) или f(х) >q(x) એ એક ચલમાં અસમાનતા કહેવાય છે. સેટ X ને તેનું વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે.

સેટ Xમાંથી ચલ xનું મૂલ્ય, જેના પર અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવાય છે, તેને તેનું સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા.

આમ, અસમાનતાને હલ કરીને 2 એક્સ+7>10-એક્સ, એક્સÎ R એ સંખ્યા x=5 છે, કારણ કે 2×5+7>10-5 એ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે. અને તેના ઉકેલોનો સમૂહ અંતરાલ (1, ¥) છે, જે અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરીને જોવા મળે છે: 2x+7>10's Þ 3x> Þ x>1.

એક ચલ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનો આધાર સમાનતાનો ખ્યાલ છે.

વ્યાખ્યા.બે અસમાનતાઓ સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમના સોલ્યુશન સેટ સમાન હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાઓ 2x+7>10 અને 2x>3 સમકક્ષ છે, કારણ કે તેમના ઉકેલ સમૂહો સમાન છે અને અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે

અસમાનતાઓની સમાનતા પરના પ્રમેય અને તેમાંથી આવતા પરિણામો સમીકરણોની સમાનતા પરના અનુરૂપ પ્રમેય જેવા જ છે. તેમના પુરાવા સાચા આંકડાકીય અસમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે.

પ્રમેય 3. અસમાનતા f(x) > q(x) ને X સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને h(x) એ સમાન સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત અભિવ્યક્તિ છે. પછી અસમાનતાઓ f(x) > q(x) અને f(x)+ h(x) > q(x)+ h(x) સમૂહ X પર સમકક્ષ છે.

કોરોલરીઝ આ પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે, જેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે થાય છે:

1) જો આપણે અસમાનતા f(x) > q(x) ની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા d ઉમેરીએ, તો આપણને અસમાનતા f(x)+ d > q(x)+ d મળે છે, જે મૂળ એકની સમકક્ષ છે. .

2) જો કોઈ શબ્દ ( સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઅથવા ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ) અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને, પછી આપણે આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

પ્રમેય 4. અસમાનતા f(x) > q(x) ને X સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને h(x) એ સમાન સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ અભિવ્યક્તિ છે, અને X સમૂહમાંથી તમામ x માટે અભિવ્યક્તિ h(x) લે છે હકારાત્મક મૂલ્યો. પછી અસમાનતાઓ f(x)× h(x) > q(x)× h(x) સમૂહ X પર સમકક્ષ છે.

આ પ્રમેયમાંથી એક પરિણામ આવે છે: જો અસમાનતાની બંને બાજુઓ f(x) > q(x) ને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા d વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો આપણે અસમાનતા f(x) મેળવીશું. × d > q(x) × d , આની સમકક્ષ.

પ્રમેય 5. અસમાનતા f(x) > q(x) ને X સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને h(x) એ સમાન સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ અભિવ્યક્તિ બનવા દો, અને X સમૂહ X ના તમામ x માટે અભિવ્યક્તિ h(x) લે છે નકારાત્મક મૂલ્યો. પછી અસમાનતાઓ f(x) > q(x) b f(x)× h(x)< q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

આ પ્રમેયમાંથી એક કોરોલરી નીચે મુજબ છે: જો બંને ભાગોઅસમાનતા f(x) > q(x)સમાન નકારાત્મક સંખ્યા d વડે ગુણાકાર કરો અને અસમાનતા ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલો, આપણને અસમાનતા f(x)× d મળે છે< q(x) × d, આના સમકક્ષ.

ચાલો અસમાનતા 5x - 5 હલ કરીએ< 2x - 16,એક્સО R , અને અમે ઉકેલની પ્રક્રિયામાં જે પરિવર્તનો કરીશું તેને અમે ન્યાયી ઠેરવીશું.