રેખીય સમીકરણ ઉકેલવાના કાર્યનો અર્થ શું થાય છે? રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો: ઉકેલ પદ્ધતિ

આ વિડિયોમાં આપણે રેખીય સમીકરણોના સંપૂર્ણ સેટનું વિશ્લેષણ કરીશું જે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે - તેથી જ તેને સૌથી સરળ કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ: રેખીય સમીકરણ શું છે અને કયું સૌથી સરળ કહેવાય છે?

રેખીય સમીકરણ- એક જેમાં ફક્ત એક જ ચલ છે, અને ફક્ત પ્રથમ ડિગ્રી સુધી.

સૌથી સરળ સમીકરણનો અર્થ છે બાંધકામ:

અન્ય તમામ રેખીય સમીકરણો અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સરળમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

1. કૌંસ વિસ્તૃત કરો, જો કોઈ હોય તો;
2. સમાન ચિન્હની એક બાજુએ ચલ ધરાવતાં શબ્દો અને ચલ વગરના શબ્દોને બીજી તરફ ખસેડો;
3. સમાન ચિહ્નની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન શરતો આપો;
4. પરિણામી સમીકરણને $x$ ચલના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરો.

અલબત્ત, આ અલ્ગોરિધમ હંમેશા મદદ કરતું નથી. હકીકત એ છે કે કેટલીકવાર આ બધી યુક્તિઓ પછી $x$ ચલનો ગુણાંક બહાર આવે છે શૂન્ય બરાબર. આ કિસ્સામાં, બે વિકલ્પો શક્ય છે:

1. સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે $0\cdot x=8$ જેવું કંઈક બહાર આવે છે, એટલે કે. ડાબી બાજુ શૂન્ય છે, અને જમણી બાજુ શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા છે. નીચેની વિડિઓમાં આપણે આ પરિસ્થિતિ શા માટે શક્ય છે તેના ઘણા કારણો જોઈશું.
2. ઉકેલ એ બધી સંખ્યાઓ છે. એકમાત્ર કેસ જ્યારે આ શક્ય હોય ત્યારે સમીકરણ $0\cdot x=0$ સુધી ઘટાડી દેવામાં આવ્યું હોય. તે તદ્દન તાર્કિક છે કે અમે ગમે તે $x$ અવેજી કરીએ, તે હજુ પણ "શૂન્ય એ શૂન્ય સમાન છે", એટલે કે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા.

હવે ચાલો જોઈએ કે આ બધું વાસ્તવિક જીવનના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

આજે આપણે રેખીય સમીકરણો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, અને માત્ર સૌથી સરળ. સામાન્ય રીતે, એક રેખીય સમીકરણનો અર્થ થાય છે કોઈપણ સમાનતા જેમાં બરાબર એક ચલ હોય છે, અને તે માત્ર પ્રથમ ડિગ્રી સુધી જાય છે.

આવા બાંધકામો લગભગ સમાન રીતે હલ કરવામાં આવે છે:

1. સૌ પ્રથમ, તમારે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે, જો કોઈ હોય તો (જેમ કે અમારા છેલ્લું ઉદાહરણ);
2. પછી સમાન ભેગું કરો
3. છેલ્લે, ચલને અલગ કરો, એટલે કે. ચલ સાથે જોડાયેલી દરેક વસ્તુને ખસેડો - જે શરતોમાં તે સમાયેલ છે - એક બાજુએ, અને તેના વિના બાકી રહેલ દરેક વસ્તુને બીજી બાજુ ખસેડો.

પછી, એક નિયમ તરીકે, તમારે પરિણામી સમાનતાની દરેક બાજુએ સમાન લાવવાની જરૂર છે, અને તે પછી જે બાકી રહે છે તે "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવાનું છે, અને અમને અંતિમ જવાબ મળશે.

સિદ્ધાંતમાં, આ સરસ અને સરળ લાગે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, ઉચ્ચ શાળાના અનુભવી વિદ્યાર્થીઓ પણ એકદમ સરળ રેખીય સમીકરણોમાં અપમાનજનક ભૂલો કરી શકે છે. સામાન્ય રીતે, કૌંસ ખોલતી વખતે અથવા "પ્લસ" અને "માઈનસ" ની ગણતરી કરતી વખતે ભૂલો કરવામાં આવે છે.

વધુમાં, એવું બને છે કે રેખીય સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલો નથી, અથવા તે ઉકેલ એ સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે, એટલે કે. કોઈપણ સંખ્યા. આપણે આજના પાઠમાં આ સૂક્ષ્મતા જોઈશું. પરંતુ અમે શરૂઆત કરીશું, જેમ તમે પહેલાથી જ સમજી ગયા છો, ખૂબ સાથે સરળ કાર્યો.

સરળ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની યોજના

પ્રથમ, ચાલો હું ફરી એકવાર સરળ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની આખી યોજના લખું:

1. જો કોઈ હોય તો કૌંસને વિસ્તૃત કરો.
2. અમે ચલોને અલગ પાડીએ છીએ, એટલે કે. અમે "X's" ધરાવતી દરેક વસ્તુને એક બાજુએ અને "X's" વગરની દરેક વસ્તુને બીજી તરફ ખસેડીએ છીએ.
3. અમે સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ.
4. આપણે દરેક વસ્તુને "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ.

અલબત્ત, આ યોજના હંમેશા કામ કરતી નથી; તેમાં કેટલીક સૂક્ષ્મતા અને યુક્તિઓ છે, અને હવે આપણે તેમને જાણીશું.

સરળ રેખીય સમીકરણોના વાસ્તવિક ઉદાહરણો ઉકેલવા

કાર્ય નંબર 1

પ્રથમ પગલા માટે આપણે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે. પરંતુ તેઓ આ ઉદાહરણમાં નથી, તેથી અમે આ પગલું છોડી દઈએ છીએ. બીજા પગલામાં આપણે ચલોને અલગ કરવાની જરૂર છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અમે વાત કરી રહ્યા છીએફક્ત વ્યક્તિગત શરતો વિશે. ચાલો તેને લખીએ:

અમે ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ, પરંતુ આ અહીં પહેલાથી જ કરવામાં આવ્યું છે. તેથી, ચાલો આગળ વધીએ ચોથું પગલું: ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

તો અમને જવાબ મળ્યો.

કાર્ય નંબર 2

આપણે આ સમસ્યામાં કૌંસ જોઈ શકીએ છીએ, તેથી ચાલો તેને વિસ્તૃત કરીએ:

ડાબી અને જમણી બંને બાજુએ આપણે લગભગ સમાન ડિઝાઇન જોઈએ છીએ, પરંતુ ચાલો એલ્ગોરિધમ અનુસાર કાર્ય કરીએ, એટલે કે. ચલોને અલગ કરી રહ્યા છીએ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

આ કયા મૂળમાં કામ કરે છે? જવાબ: કોઈપણ માટે. તેથી, આપણે લખી શકીએ કે $x$ કોઈપણ સંખ્યા છે.

કાર્ય નંબર 3

ત્રીજું રેખીય સમીકરણ વધુ રસપ્રદ છે:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

ત્યાં ઘણા કૌંસ છે, પરંતુ તે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર થતા નથી, તે ફક્ત તેની આગળ છે વિવિધ ચિહ્નો. ચાલો તેમને તોડીએ:

અમે બીજું પગલું કરીએ છીએ જે અમને પહેલાથી જ જાણીતું છે:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

ચાલો ગણિત કરીએ:

અમે છેલ્લું પગલું હાથ ધરીએ છીએ - દરેક વસ્તુને "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરો:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે યાદ રાખવા જેવી બાબતો

જો આપણે ખૂબ સરળ કાર્યોને અવગણીએ, તો હું નીચે મુજબ કહેવા માંગુ છું:

• મેં ઉપર કહ્યું તેમ, દરેક રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ હોતો નથી - કેટલીકવાર ફક્ત કોઈ મૂળ હોતા નથી;
• જો ત્યાં મૂળ હોય તો પણ, તેમાં શૂન્ય હોઈ શકે છે - તેમાં કંઈ ખોટું નથી.

શૂન્ય એ અન્યની સમાન સંખ્યા છે; તમારે તેની સાથે કોઈપણ રીતે ભેદભાવ કરવો જોઈએ નહીં અથવા જો તમે શૂન્ય મેળવો છો, તો તમે કંઈક ખોટું કર્યું છે.

અન્ય લક્ષણ કૌંસના ઉદઘાટન સાથે સંબંધિત છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જ્યારે તેમની સામે "માઈનસ" હોય, ત્યારે અમે તેને દૂર કરીએ છીએ, પરંતુ કૌંસમાં અમે ચિહ્નોને વિરુદ્ધ. અને પછી આપણે તેને પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને ખોલી શકીએ છીએ: આપણે ઉપરની ગણતરીમાં જે જોયું તે મેળવીશું.

આ સમજીને સરળ હકીકતતમને હાઈસ્કૂલમાં મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલો કરવાનું ટાળવા દેશે, જ્યારે આવી ક્રિયાઓ કરવાનું ગ્રાહ્ય માનવામાં આવે છે.

જટિલ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

ચાલો વધુ પર આગળ વધીએ જટિલ સમીકરણો. હવે બાંધકામો વધુ જટિલ બનશે અને વિવિધ પરિવર્તનો કરતી વખતે એક ચતુર્ભુજ કાર્ય દેખાશે. જો કે, આપણે આનાથી ડરવું જોઈએ નહીં, કારણ કે જો, લેખકની યોજના અનુસાર, આપણે એક રેખીય સમીકરણ હલ કરી રહ્યા છીએ, તો પછી પરિવર્તન પ્રક્રિયા દરમિયાન ચતુર્ભુજ કાર્ય ધરાવતા તમામ મોનોમિઅલ્સ આવશ્યકપણે રદ થશે.

ઉદાહરણ નંબર 1

દેખીતી રીતે, પ્રથમ પગલું કૌંસ ખોલવાનું છે. ચાલો આ ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક કરીએ:

હવે ચાલો ગોપનીયતા પર એક નજર કરીએ:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

અહીં કેટલાક સમાન છે:

તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ સમીકરણત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેથી અમે જવાબમાં આ લખીશું:

\[\varnothing\]

અથવા ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ નંબર 2

અમે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ. પ્રથમ પગલું:

ચાલો દરેક વસ્તુને ચલ સાથે ડાબી તરફ ખસેડીએ, અને તેના વિના - જમણી તરફ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

દેખીતી રીતે, આ રેખીય સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, તેથી અમે તેને આ રીતે લખીશું:

\[\varnothing\],

અથવા ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

બંને સમીકરણો સંપૂર્ણપણે હલ થઈ ગયા છે. ઉદાહરણ તરીકે આ બે અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમને ફરી એકવાર ખાતરી થઈ કે સરળ રેખીય સમીકરણોમાં પણ, બધું એટલું સરળ ન હોઈ શકે: ત્યાં કાં તો એક, અથવા કોઈ પણ, અથવા અનંત ઘણા મૂળ હોઈ શકે છે. અમારા કિસ્સામાં, અમે બે સમીકરણો ધ્યાનમાં લીધા છે, બંનેનું કોઈ મૂળ નથી.

પરંતુ હું તમારું ધ્યાન બીજી હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું: કૌંસ સાથે કેવી રીતે કામ કરવું અને જો તેમની સામે માઇનસ ચિહ્ન હોય તો તેને કેવી રીતે ખોલવું. આ અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો:

ખોલતા પહેલા, તમારે દરેક વસ્તુને "X" વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ગુણાકાર દરેક વ્યક્તિગત શબ્દ. અંદર બે પદ છે - અનુક્રમે, બે પદ અને ગુણાકાર.

અને આ મોટે ભાગે પ્રાથમિક, પરંતુ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ અને ખતરનાક પરિવર્તનો પૂર્ણ થયા પછી જ, તમે કૌંસને એ હકીકતના દૃષ્ટિકોણથી ખોલી શકો છો કે તેના પછી માઇનસ ચિહ્ન છે. હા, હા: ફક્ત હવે, જ્યારે પરિવર્તન પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે કૌંસની સામે માઈનસ ચિહ્ન છે, જેનો અર્થ છે કે નીચેની દરેક વસ્તુ ફક્ત ચિહ્નોને બદલે છે. તે જ સમયે, કૌંસ પોતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને, સૌથી અગત્યનું, આગળનો "માઈનસ" પણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

અમે બીજા સમીકરણ સાથે તે જ કરીએ છીએ:

તે આકસ્મિક નથી કે હું આ નાની, મોટે ભાગે નજીવી હકીકતો પર ધ્યાન આપું છું. કારણ કે સમીકરણો ઉકેલવા એ હંમેશા પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ક્રમ હોય છે, જ્યાં સ્પષ્ટ અને સક્ષમતાથી કરવામાં અસમર્થતા સરળ પગલાંએ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ મારી પાસે આવે છે અને ફરીથી આવા સરળ સમીકરણોને હલ કરવાનું શીખે છે.

અલબત્ત, એવો દિવસ આવશે જ્યારે તમે આ કૌશલ્યોને સ્વચાલિતતાના મુદ્દા પર હાંસલ કરશો. તમારે દરેક વખતે આટલા બધા રૂપાંતરણો કરવા પડશે નહીં; તમે બધું એક લીટી પર લખશો. પરંતુ જ્યારે તમે માત્ર શીખતા હોવ, ત્યારે તમારે દરેક ક્રિયાને અલગથી લખવાની જરૂર છે.

વધુ જટિલ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

હવે આપણે જે ઉકેલવા જઈ રહ્યા છીએ તે ભાગ્યે જ સરળ કાર્ય કહી શકાય, પરંતુ અર્થ એ જ રહે છે.

કાર્ય નંબર 1

\[\left(7x+1 \જમણે)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

ચાલો પહેલા ભાગમાં તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર કરીએ:

ચાલો થોડી ગોપનીયતા કરીએ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

ચાલો છેલ્લું પગલું પૂર્ણ કરીએ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

અહીં અમારો અંતિમ જવાબ છે. અને, એ હકીકત હોવા છતાં કે હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં અમારી પાસે ચતુર્ભુજ કાર્ય સાથે ગુણાંક હતા, તેઓએ એકબીજાને રદ કર્યા, જે સમીકરણને રેખીય બનાવે છે અને ચતુર્ભુજ નથી.

કાર્ય નંબર 2

\[\left(1-4x \જમણે)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \જમણે)\]

ચાલો પ્રથમ પગલું કાળજીપૂર્વક કરીએ: પ્રથમ કૌંસમાંથી દરેક ઘટકને બીજામાંથી દરેક ઘટક દ્વારા ગુણાકાર કરો. રૂપાંતરણ પછી કુલ ચાર નવા પદો હોવા જોઈએ:

હવે ચાલો દરેક ટર્મમાં ગુણાકાર કાળજીપૂર્વક કરીએ:

ચાલો “X” સાથેના શબ્દોને ડાબી બાજુએ અને તે વગરના શબ્દોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

અહીં સમાન શરતો છે:

ફરી એકવાર અમને અંતિમ જવાબ મળ્યો છે.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

આ બે સમીકરણો વિશે સૌથી મહત્વની નોંધ એ છે કે જલદી આપણે એક કરતાં વધુ પદ ધરાવતા કૌંસનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, તે આમ કરે છે આગામી નિયમ: આપણે પ્રથમમાંથી પ્રથમ પદ લઈએ છીએ અને બીજામાંથી દરેક તત્વ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ; પછી આપણે પ્રથમમાંથી બીજું તત્વ લઈએ છીએ અને તે જ રીતે બીજામાંથી દરેક તત્વ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. પરિણામે, અમારી પાસે ચાર પદ હશે.

બીજગણિત રકમ વિશે

આ છેલ્લા ઉદાહરણ સાથે, હું વિદ્યાર્થીઓને શું યાદ અપાવવા માંગુ છું બીજગણિતીય સરવાળો. શાસ્ત્રીય ગણિતમાં, અમારો અર્થ $1-7$ છે સરળ ડિઝાઇન: એકમાંથી સાત બાદ કરો. બીજગણિતમાં, અમારો આનો અર્થ નીચે મુજબ છે: “એક” નંબરમાં આપણે બીજી સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ, એટલે કે “માઈનસ સાત”. આ રીતે બીજગણિતનો સરવાળો સામાન્ય અંકગણિતના સરવાળાથી અલગ પડે છે.

જલદી, તમામ રૂપાંતરણો, દરેક ઉમેરણો અને ગુણાકાર કરતી વખતે, તમે ઉપર વર્ણવેલ સમાન બાંધકામો જોવાનું શરૂ કરો છો, બહુપદી અને સમીકરણો સાથે કામ કરતી વખતે તમને બીજગણિતમાં કોઈ સમસ્યા નહીં હોય.

છેલ્લે, ચાલો આપણે થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ જે આપણે હમણાં જ જોયા છે તેના કરતાં પણ વધુ જટિલ હશે, અને તેને ઉકેલવા માટે આપણે આપણા પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને સહેજ વિસ્તૃત કરવું પડશે.

અપૂર્ણાંક સાથે સમીકરણો ઉકેલવા

આવા કાર્યોને ઉકેલવા માટે, અમારે અમારા અલ્ગોરિધમમાં વધુ એક પગલું ઉમેરવું પડશે. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો હું તમને અમારા અલ્ગોરિધમનો યાદ અપાવી દઉં:

1. કૌંસ ખોલો.
2. અલગ ચલો.
3. સમાન લાવો.
4. ગુણોત્તર દ્વારા ભાગાકાર કરો.

અરે, આ અદ્ભુત અલ્ગોરિધમ, તેની તમામ અસરકારકતા માટે, જ્યારે આપણી સામે અપૂર્ણાંક હોય ત્યારે તે સંપૂર્ણપણે યોગ્ય નથી. અને આપણે નીચે જે જોઈશું તેમાં, આપણી પાસે બંને સમીકરણોમાં ડાબી અને જમણી બાજુએ અપૂર્ણાંક છે.

આ કિસ્સામાં કેવી રીતે કામ કરવું? હા, તે ખૂબ જ સરળ છે! આ કરવા માટે, તમારે અલ્ગોરિધમમાં એક વધુ પગલું ઉમેરવાની જરૂર છે, જે પ્રથમ ક્રિયા પહેલાં અને પછી બંને કરી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવો. તેથી અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હશે:

1. અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવો.
2. કૌંસ ખોલો.
3. અલગ ચલો.
4. સમાન લાવો.
5. ગુણોત્તર દ્વારા ભાગાકાર કરો.

"અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવવા" નો અર્થ શું છે? અને આ પ્રથમ ધોરણના પગલા પછી અને પહેલા બંને શા માટે કરી શકાય? હકીકતમાં, અમારા કિસ્સામાં, તમામ અપૂર્ણાંક તેમના છેદમાં સંખ્યાત્મક છે, એટલે કે. દરેક જગ્યાએ છેદ માત્ર એક સંખ્યા છે. તેથી, જો આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણે અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવીશું.

ઉદાહરણ નંબર 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=(x)^(2))-1\]

ચાલો આ સમીકરણમાંના અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવીએ:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: દરેક વસ્તુને એકવાર "ચાર" વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ફક્ત તમારી પાસે બે કૌંસ હોવાનો અર્થ એ નથી કે તમારે દરેકને "ચાર" વડે ગુણાકાર કરવો પડશે. ચાલો નીચે લખીએ:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ચાલો હવે વિસ્તૃત કરીએ:

અમે ચલને અલગ કરીએ છીએ:

કલાકારો કરી રહ્યા છે સમાન શરતો:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

અમને મળ્યું અંતિમ નિર્ણય, ચાલો બીજા સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2)=1\]

અહીં આપણે બધી સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

સમસ્યા હલ થાય છે.

તે, હકીકતમાં, હું તમને આજે કહેવા માંગતો હતો.

કી પોઈન્ટ્સ

મુખ્ય તારણો છે:

• રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ જાણો.
• કૌંસ ખોલવાની ક્ષમતા.
• જો તમે જોશો તો ચિંતા કરશો નહીં ચતુર્ભુજ કાર્યો, મોટે ભાગે, વધુ પરિવર્તનની પ્રક્રિયામાં તેઓ ઘટશે.
• રેખીય સમીકરણોમાં ત્રણ પ્રકારના મૂળ હોય છે, સૌથી સરળ પણ: એક જ મૂળ, આખી સંખ્યા રેખા એક મૂળ હોય છે, અને કોઈ મૂળ નથી.

હું આશા રાખું છું કે આ પાઠ તમને બધા ગણિતની વધુ સમજણ માટે એક સરળ, પરંતુ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વિષયમાં માસ્ટર કરવામાં મદદ કરશે. જો કંઈક સ્પષ્ટ ન હોય, તો સાઇટ પર જાઓ અને ત્યાં પ્રસ્તુત ઉદાહરણો ઉકેલો. ટ્યુન રહો, ઘણી વધુ રસપ્રદ વસ્તુઓ તમારી રાહ જોઈ રહી છે!

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ n રેખીય સમીકરણોનું જોડાણ છે, જેમાં પ્રત્યેક k ચલ હોય છે. તે આ રીતે લખાયેલ છે:

ઘણા લોકો, જ્યારે પ્રથમ વખત ઉચ્ચ બીજગણિતનો સામનો કરે છે, ત્યારે ભૂલથી માને છે કે સમીકરણોની સંખ્યા આવશ્યકપણે ચલોની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. શાળા બીજગણિતમાં આ સામાન્ય રીતે થાય છે, પરંતુ ઉચ્ચ બીજગણિત માટે આ સામાન્ય રીતે કહીએ તો સાચું નથી.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે (k 1, k 2, ..., k n), જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ઉકેલ છે, એટલે કે. જ્યારે x 1, x 2, ..., x n ચલોને બદલે આ સમીકરણમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે.

તદનુસાર, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો અથવા સાબિત કરવું કે આ સમૂહ ખાલી છે. કારણ કે સમીકરણોની સંખ્યા અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા એકરૂપ ન હોઈ શકે, ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1. સિસ્ટમ અસંગત છે, એટલે કે. બધા ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે. એક દુર્લભ કેસ જે સિસ્ટમને હલ કરવા માટે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના સરળતાથી શોધી શકાય છે.
2. સિસ્ટમ સુસંગત અને નિર્ધારિત છે, એટલે કે. બરાબર એક ઉકેલ છે. ઉત્તમ નમૂનાના સંસ્કરણ, શાળાના દિવસોથી જાણીતા.
3. સિસ્ટમ સુસંગત અને અવ્યાખ્યાયિત છે, એટલે કે. અસંખ્ય ઉકેલો છે. આ સૌથી મુશ્કેલ વિકલ્પ છે. તે સૂચવવા માટે પૂરતું નથી કે “સિસ્ટમ પાસે છે અનંત સમૂહઉકેલો" - આ સમૂહ કેવી રીતે રચાયેલ છે તેનું વર્ણન કરવું જરૂરી છે.

ચલ x i ને માન્ય કહેવામાં આવે છે જો તે સિસ્ટમના માત્ર એક સમીકરણમાં અને 1 ના ગુણાંક સાથે સમાવવામાં આવેલ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અન્ય સમીકરણોમાં ચલ x i નો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ.

જો આપણે દરેક સમીકરણમાં એક માન્ય ચલ પસંદ કરીએ, તો અમે સમીકરણોની સમગ્ર સિસ્ટમ માટે માન્ય ચલોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ. સિસ્ટમ પોતે, આ ફોર્મમાં લખેલી છે, તેને પણ રિઝોલ્વ્ડ કહેવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અને સમાન મૂળ સિસ્ટમને અલગ-અલગ અનુમતિ આપવામાં આવેલી સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે, પરંતુ અત્યારે અમે આ અંગે ચિંતિત નથી. અહીં મંજૂર સિસ્ટમોના ઉદાહરણો છે:

બંને સિસ્ટમો x 1 , x 3 અને x 4 ચલોના સંદર્ભમાં ઉકેલાય છે. જો કે, તે જ સફળતા સાથે એવી દલીલ કરી શકાય છે કે બીજી સિસ્ટમ x 1, x 3 અને x 5 ના સંદર્ભમાં ઉકેલાઈ ગઈ છે. x 5 = x 4 ફોર્મમાં ખૂબ જ છેલ્લા સમીકરણને ફરીથી લખવા માટે તે પૂરતું છે.

હવે ચાલો વધુ જોઈએ સામાન્ય કેસ. ચાલો આપણે કુલ k વેરીએબલ્સ રાખીએ, જેમાંથી r માન્ય છે. પછી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1. માન્ય ચલો r ની સંખ્યા ચલોની કુલ સંખ્યા k: r = k સમાન છે. અમે k સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાં r = k માન્ય ચલો છે. આવી સિસ્ટમ સંયુક્ત અને નિશ્ચિત છે, કારણ કે x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. માન્ય ચલો r ની સંખ્યા ઓછી છે કુલ સંખ્યાચલ k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

તેથી, ઉપરોક્ત સિસ્ટમોમાં, x 2, x 5, x 6 (પ્રથમ સિસ્ટમ માટે) અને x 2, x 5 (બીજા માટે) ચલો મફત છે. જ્યારે મુક્ત ચલો હોય ત્યારે પ્રમેય તરીકે વધુ સારી રીતે ઘડવામાં આવે છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ બિંદુ! તમે પરિણામી સિસ્ટમ કેવી રીતે લખો છો તેના આધારે, સમાન ચલ ક્યાં તો માન્ય અથવા મફત હોઈ શકે છે. મોટાભાગના શિક્ષકો ઉચ્ચ ગણિતચલોને લેક્સિકોગ્રાફિકલ ક્રમમાં લખવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ચડતો અનુક્રમણિકા. જો કે, તમે આ સલાહને અનુસરવાની કોઈ જવાબદારી હેઠળ નથી.

પ્રમેય. જો n સમીકરણોની સિસ્ટમમાં x 1, x 2, ..., x r ની મંજૂરી છે, અને x r + 1, x r + 2, ..., x k મુક્ત છે, તો પછી:

1. જો આપણે ફ્રી ચલોની કિંમતો સેટ કરીએ (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), અને પછી x 1, x 2 ની કિંમતો શોધીએ, ..., x r, અમને એક નિર્ણય મળે છે.
2. જો બે ઉકેલોમાં મુક્ત ચલોની કિંમતો એકરૂપ થાય છે, તો માન્ય ચલોની કિંમતો પણ એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. ઉકેલો સમાન છે.

આ પ્રમેયનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની ઉકેલાયેલી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો મેળવવા માટે, મફત ચલોને અલગ કરવા માટે તે પૂરતું છે. તે પછી, ફ્રી વેરીએબલ્સને સોંપવું વિવિધ અર્થો, અમે પ્રાપ્ત કરીશું તૈયાર ઉકેલો. આટલું જ છે - આ રીતે તમે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો મેળવી શકો છો. અન્ય કોઈ ઉકેલો નથી.

નિષ્કર્ષ: સમીકરણોની ઉકેલાયેલ સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે. જો ઉકેલાયેલ સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો સિસ્ટમ ચોક્કસ હશે, જો ઓછી હશે, તો તે અનિશ્ચિત હશે.

અને બધું સારું રહેશે, પરંતુ પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમમાંથી ઉકેલાયેલ કેવી રીતે મેળવવું? આ માટે છે

રેખીય સમીકરણ એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે, સંપૂર્ણ ડિગ્રીજેની બહુપદી એક સમાન છે. રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા - ભાગ શાળા અભ્યાસક્રમ, અને સૌથી મુશ્કેલ નથી. જો કે, કેટલાકને હજુ પણ આ વિષય પૂર્ણ કરવામાં મુશ્કેલી પડે છે. અમે આશા રાખીએ છીએ કે આ સામગ્રી વાંચ્યા પછી, તમારા માટે બધી મુશ્કેલીઓ ભૂતકાળમાં રહેશે. તેથી, ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા.

સામાન્ય દૃશ્ય

રેખીય સમીકરણ આ રીતે રજૂ થાય છે:

• ax + b = 0, જ્યાં a અને b કોઈપણ સંખ્યાઓ છે.

જોકે a અને b કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, તેમના મૂલ્યો સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યાને અસર કરે છે. ઉકેલના કેટલાક વિશિષ્ટ કેસો છે:

• જો a=b=0 હોય, તો સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે;
• જો a=0, b≠0, સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી;
• જો a≠0, b=0 હોય, તો સમીકરણનો ઉકેલ છે: x = 0.

ઘટનામાં કે બંને સંખ્યાઓ બિન-શૂન્ય મૂલ્યો ધરાવે છે, ચલ માટે અંતિમ અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે સમીકરણ ઉકેલવું આવશ્યક છે.

કેવી રીતે નક્કી કરવું?

રેખીય સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે ચલ શું સમાન છે તે શોધવું. આ કેવી રીતે કરવું? હા, તે ખૂબ જ સરળ છે - સરળ બીજગણિત કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને અને ટ્રાન્સફરના નિયમોનું પાલન કરો. જો સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં તમારી સામે દેખાય છે, તો તમારે ફક્ત આ કરવાની જરૂર છે:

1. બી પર ખસેડો જમણી બાજુસમીકરણો, ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલશો નહીં (કેરીઓવર નિયમ!), આમ, ax + b = 0 ફોર્મની અભિવ્યક્તિમાંથી, ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મેળવવી જોઈએ: ax = -b.
2. નિયમ લાગુ કરો: એક પરિબળ (x - અમારા કિસ્સામાં) શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદન (અમારા કિસ્સામાં -b) ને બીજા પરિબળ (a - અમારા કિસ્સામાં) દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આમ, તમારે ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મેળવવી જોઈએ: x = -b/a.

બસ - એક ઉકેલ મળી ગયો છે!

હવે એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ જોઈએ:

1. 2x + 4 = 0 - બી બરાબર ખસેડો આ કિસ્સામાં 4, જમણી બાજુએ
2. 2x = -4 - b ને a વડે વિભાજીત કરો (માઈનસ ચિહ્ન વિશે ભૂલશો નહીં)
3. x = -4/2 = -2

બસ! અમારો ઉકેલ: x = -2.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, એક ચલ સાથેના રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે એકદમ સરળ છે, પરંતુ જો આપણે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં જોવા માટે નસીબદાર હોઈએ તો બધું એટલું સરળ છે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, ઉપર વર્ણવેલ બે પગલાઓમાં સમીકરણ ઉકેલતા પહેલા, તમારે હજી પણ વર્તમાન અભિવ્યક્તિને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે. જો કે, આ એક અત્યંત મુશ્કેલ કાર્ય પણ નથી. ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ જોઈએ.

વિશેષ કેસોનું નિરાકરણ

પ્રથમ, ચાલો આપણે લેખની શરૂઆતમાં વર્ણવેલ કિસ્સાઓ જોઈએ અને સમજાવીએ કે અસંખ્ય ઉકેલો અને કોઈ ઉકેલ ન હોવાનો અર્થ શું છે.

• જો a=b=0, તો સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: 0x + 0 = 0. પહેલું પગલું ભરવાથી, આપણને મળશે: 0x = 0. આ નોનસેન્સનો અર્થ શું છે, તમે બૂમ પાડો છો! છેવટે, તમે ગમે તે સંખ્યાને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરો, તો પણ તમને હંમેશા શૂન્ય જ મળશે! અધિકાર! તેથી જ તેઓ કહે છે કે સમીકરણમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે - તમે ગમે તે નંબર લો, સમાનતા સાચી હશે, 0x = 0 અથવા 0=0.
• જો a=0, b≠0, તો સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: 0x + 3 = 0. પ્રથમ પગલું ભરો, આપણને 0x = -3 મળશે. ફરી નોનસેન્સ! સ્વાભાવિક છે કે આ સમાનતા ક્યારેય સાચી નહીં હોય! તેથી જ તેઓ કહે છે કે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.
• જો a≠0, b=0, તો સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: 3x + 0 = 0. પ્રથમ પગલું પૂર્ણ કરવાથી, આપણને મળશે: 3x = 0. ઉકેલ શું છે? તે સરળ છે, x = 0.

અનુવાદમાં ખોવાઈ ગયો

વર્ણવેલ વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ એવા નથી કે જે રેખીય સમીકરણો આપણને આશ્ચર્યચકિત કરી શકે. કેટલીકવાર સમીકરણ પ્રથમ નજરમાં ઓળખવું મુશ્કેલ હોય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

• 12x - 14 = 2x + 6

શું આ એક રેખીય સમીકરણ છે? જમણી બાજુના શૂન્ય વિશે શું? ચાલો નિષ્કર્ષ પર ઉતાવળ ન કરીએ, ચાલો કાર્ય કરીએ - ચાલો આપણા સમીકરણના તમામ ઘટકોને આમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ ડાબી બાજુ. અમને મળે છે:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

હવે લાઈકમાંથી લાઈક બાદ કરો, આપણને મળે છે:

• 10x - 20 = 0

તમે શોધી કાઢ્યું? અત્યાર સુધીનું સૌથી રેખીય સમીકરણ! જેનો ઉકેલ છે: x = 20/10 = 2.

જો આપણી પાસે આ ઉદાહરણ હોય તો શું:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

હા, આ પણ એક રેખીય સમીકરણ છે, માત્ર વધુ પરિવર્તનો કરવાની જરૂર છે. પ્રથમ, ચાલો કૌંસ ખોલીએ:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - હવે અમે ટ્રાન્સફર કરીએ છીએ:
4. 25x - 4 = 0 - તે પહેલાથી જાણીતી યોજનાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શોધવાનું બાકી છે:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બધું ઉકેલી શકાય છે, મુખ્ય વસ્તુ ચિંતા કરવાની નથી, પરંતુ કાર્ય કરવાની છે. યાદ રાખો, જો તમારા સમીકરણમાં પ્રથમ ડિગ્રી અને સંખ્યાઓના માત્ર ચલો હોય, તો તમારી પાસે એક રેખીય સમીકરણ છે, જે શરૂઆતમાં ગમે તેટલું દેખાય, સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે અને ઉકેલી શકાય છે. અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમારા માટે બધું કામ કરશે! સારા નસીબ!

રેખીય સમીકરણો. ઉકેલો, ઉદાહરણો.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

રેખીય સમીકરણો.

રેખીય સમીકરણો સૌથી વધુ નથી જટિલ વિષય શાળા ગણિત. પરંતુ ત્યાં કેટલીક યુક્તિઓ છે જે પ્રશિક્ષિત વિદ્યાર્થીને પણ કોયડારૂપ કરી શકે છે. ચાલો તેને શોધી કાઢીએ?)

સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણને ફોર્મના સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

કુહાડી + b = 0 જ્યાં a અને b- કોઈપણ સંખ્યાઓ.

2x + 7 = 0. અહીં a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 અહીં a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 અહીં a=12, b=1/2

કંઈ જટિલ નથી, બરાબર? ખાસ કરીને જો તમે શબ્દો પર ધ્યાન આપતા નથી: "જ્યાં a અને b કોઈપણ સંખ્યાઓ છે"... અને જો તમે નોટિસ અને બેદરકારીથી તેના વિશે વિચારો છો?) છેવટે, જો a=0, b=0(કોઈપણ સંખ્યા શક્ય છે?), તો પછી આપણને એક રમુજી અભિવ્યક્તિ મળે છે:

પરંતુ તે બધુ જ નથી! જો, કહો, a=0,એ b=5,આ સંપૂર્ણપણે સામાન્યની બહાર કંઈક હોવાનું બહાર આવ્યું છે:

જે હેરાન કરે છે અને ગણિતમાં આત્મવિશ્વાસને નબળી પાડે છે, હા...) ખાસ કરીને પરીક્ષા દરમિયાન. પરંતુ આ વિચિત્ર અભિવ્યક્તિઓમાંથી તમારે X પણ શોધવાની જરૂર છે! જે બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી. અને, આશ્ચર્યજનક રીતે, આ X શોધવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. આપણે આ કરવાનું શીખીશું. આ પાઠમાં.

રેખીય સમીકરણને તેના દેખાવ દ્વારા કેવી રીતે ઓળખવું? તે શું આધાર રાખે છે દેખાવ.) યુક્તિ એ છે કે માત્ર સ્વરૂપના સમીકરણોને રેખીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે કુહાડી + b = 0 , પણ કોઈપણ સમીકરણો કે જે પરિવર્તન અને સરળીકરણ દ્વારા આ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. અને કોણ જાણે છે કે તે નીચે આવે છે કે નહીં?)

કેટલાક કિસ્સાઓમાં રેખીય સમીકરણ સ્પષ્ટ રીતે ઓળખી શકાય છે. ચાલો કહીએ, જો આપણી પાસે એવું સમીકરણ છે જેમાં પ્રથમ ડિગ્રી અને સંખ્યાઓ માટે માત્ર અજાણ્યા છે. અને સમીકરણમાં ના છે દ્વારા વિભાજિત અપૂર્ણાંક અજ્ઞાત , આ મહત્વપૂર્ણ છે! અને દ્વારા વિભાજન સંખ્યાઅથવા સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક - તે આવકાર્ય છે! ઉદાહરણ તરીકે:

આ એક રેખીય સમીકરણ છે. અહીં અપૂર્ણાંકો છે, પરંતુ ચોરસ, ઘન, વગેરેમાં x નથી અને છેદમાં x નથી, એટલે કે. ના x દ્વારા વિભાજન. અને અહીં સમીકરણ છે

રેખીય કહી શકાય નહીં. અહીં એક્સ તમામ પ્રથમ ડિગ્રીમાં છે, પરંતુ ત્યાં છે x સાથે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજન. સરળીકરણો અને રૂપાંતરણો પછી, તમે એક રેખીય સમીકરણ, ચતુર્ભુજ સમીકરણ અથવા તમને જોઈતું કંઈપણ મેળવી શકો છો.

તે તારણ આપે છે કે જ્યાં સુધી તમે તેને લગભગ હલ ન કરો ત્યાં સુધી કેટલાક જટિલ ઉદાહરણમાં રેખીય સમીકરણને ઓળખવું અશક્ય છે. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ સોંપણીઓમાં, એક નિયમ તરીકે, તેઓ સમીકરણના સ્વરૂપ વિશે પૂછતા નથી, બરાબર? સોંપણીઓ સમીકરણો માટે પૂછે છે નક્કી કરો.આ મને ખુશ કરે છે.)

રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા. ઉદાહરણો.

રેખીય સમીકરણોના સમગ્ર ઉકેલમાં સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણોનો સમાવેશ થાય છે. માર્ગ દ્વારા, આ પરિવર્તનો (તેમાંથી બે!) ઉકેલોનો આધાર છે ગણિતના તમામ સમીકરણો.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉકેલ કોઈપણસમીકરણ આ જ પરિવર્તનોથી શરૂ થાય છે. રેખીય સમીકરણોના કિસ્સામાં, તે (ઉકેલ) આ પરિવર્તનો પર આધારિત છે અને સંપૂર્ણ જવાબ સાથે સમાપ્ત થાય છે. લિંકને અનુસરવું તે અર્થપૂર્ણ છે, ખરું?) વધુમાં, ત્યાં રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ છે.

પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણ જોઈએ. કોઈપણ મુશ્કેલીઓ વિના. ધારો કે આપણે આ સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર છે.

x - 3 = 2 - 4x

આ એક રેખીય સમીકરણ છે. X ની તમામ પ્રથમ શક્તિમાં છે, X ના દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી. પરંતુ, હકીકતમાં, તે કેવા પ્રકારનું સમીકરણ છે તેનાથી અમને કોઈ ફરક પડતો નથી. આપણે તેને હલ કરવાની જરૂર છે. અહીં યોજના સરળ છે. સમીકરણની ડાબી બાજુએ X સાથે બધું એકત્રિત કરો, જમણી બાજુએ X (સંખ્યાઓ) વિના બધું.

આ કરવા માટે તમારે ટ્રાન્સફર કરવાની જરૂર છે - 4x in ડાબી બાજુ, ચિહ્નના ફેરફાર સાથે, અલબત્ત, અને - 3 - જમણી બાજુએ. માર્ગ દ્વારા, આ છે સમીકરણોનું પ્રથમ સમાન પરિવર્તન.આશ્ચર્ય થયું? આનો અર્થ એ છે કે તમે લિંકને અનુસરી નથી, પરંતુ નિરર્થક...) અમને મળે છે:

x + 4x = 2 + 3

અહીં સમાન છે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

સંપૂર્ણ સુખ માટે આપણને શું જોઈએ છે? હા, જેથી ડાબી બાજુએ શુદ્ધ X હોય! પાંચ રસ્તામાં છે. પાંચની મદદથી છુટકારો મેળવવો સમીકરણોનું બીજું સમાન રૂપાંતરણ.જેમ કે, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને 5 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. અમને તૈયાર જવાબ મળે છે:

એક પ્રાથમિક ઉદાહરણ, અલબત્ત. આ વોર્મિંગ અપ માટે છે.) તે ખૂબ જ સ્પષ્ટ નથી કે મને અહીં શા માટે સમાન પરિવર્તનો યાદ આવ્યા? ઠીક છે. ચાલો બળદને શિંગડાથી લઈ જઈએ.) ચાલો કંઈક વધુ નક્કર નક્કી કરીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં સમીકરણ છે:

આપણે ક્યાંથી શરૂઆત કરીએ? X ની સાથે - ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી બાજુએ? તે શક્ય છે. નાના પગલામાં લાંબો રસ્તો. અથવા તમે તેને સાર્વત્રિક અને શક્તિશાળી રીતે તરત જ કરી શકો છો. જો, અલબત્ત, તમારી પાસે તમારા શસ્ત્રાગારમાં સમીકરણોના સમાન પરિવર્તનો છે.

હું તમને પૂછું છું મુખ્ય પ્રશ્ન: આ સમીકરણ વિશે તમને સૌથી વધુ શું નાપસંદ છે?

100 માંથી 95 લોકો જવાબ આપશે: અપૂર્ણાંક ! જવાબ સાચો છે. તો ચાલો તેમાંથી છુટકારો મેળવીએ. તેથી, અમે તરત જ શરૂ કરીએ છીએ બીજું ઓળખ પરિવર્તન. તમારે ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકને શું વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને છેદ સંપૂર્ણપણે ઘટી જાય? તે સાચું છે, 3 પર. અને જમણી બાજુએ? 4 દ્વારા. પરંતુ ગણિત આપણને બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે સમાન નંબર. આપણે કેવી રીતે બહાર નીકળી શકીએ? ચાલો બંને બાજુઓને 12 વડે ગુણાકાર કરીએ! તે. પર સામાન્ય છેદ. પછી ત્રણ અને ચાર બંને ઘટશે. ભૂલશો નહીં કે તમારે દરેક ભાગને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે સંપૂર્ણપણે. પ્રથમ પગલું કેવું દેખાય છે તે અહીં છે:

કૌંસનું વિસ્તરણ:

ધ્યાન આપો! અંશ (x+2)મેં તેને કૌંસમાં મૂક્યું! આ એટલા માટે છે કારણ કે જ્યારે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમગ્ર અંશનો ગુણાકાર થાય છે! હવે તમે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો:

બાકીના કૌંસને વિસ્તૃત કરો:

ઉદાહરણ નથી, પરંતુ નિર્ભેળ આનંદ!) હવે માંથી જોડણી યાદ કરીએ જુનિયર વર્ગો: X સાથે - ડાબી બાજુ, X વગર - જમણી બાજુ!અને આ પરિવર્તન લાગુ કરો:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

અને બંને ભાગોને 25 વડે વિભાજીત કરો, એટલે કે. ફરીથી બીજું પરિવર્તન લાગુ કરો:

બસ. જવાબ: એક્સ=0,16

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: મૂળ ગૂંચવણભર્યા સમીકરણને સરસ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અમે બેનો ઉપયોગ કર્યો (માત્ર બે!) ઓળખ પરિવર્તન- સમાન સંખ્યા દ્વારા સમીકરણના ચિહ્ન અને ગુણાકાર-વિભાજનના ફેરફાર સાથે ડાબે-જમણે અનુવાદ. આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિ! અમે સાથે આ રીતે કામ કરીશું કોઈપણ સમીકરણો ચોક્કસ કોઈપણ. તેથી જ હું આ સમાન પરિવર્તનો વિશે કંટાળાજનક રીતે પુનરાવર્તન કરું છું.)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત સરળ છે. અમે સમીકરણ લઈએ છીએ અને તેને સરળ બનાવીએ છીએ ઓળખ પરિવર્તનપ્રતિભાવ પ્રાપ્ત કરતા પહેલા. અહીં મુખ્ય સમસ્યાઓ ગણતરીમાં છે, ઉકેલના સિદ્ધાંતમાં નહીં.

પરંતુ... સૌથી પ્રાથમિક રેખીય સમીકરણોને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં એવા આશ્ચર્યો છે કે તેઓ તમને મજબૂત મૂર્ખ બનાવી શકે છે...) સદનસીબે, આવા માત્ર બે આશ્ચર્ય હોઈ શકે છે. ચાલો તેમને વિશેષ કેસ કહીએ.

રેખીય સમીકરણો ઉકેલવામાં ખાસ કિસ્સાઓ.

પ્રથમ આશ્ચર્ય.

ચાલો કહીએ કે તમને તે મળી ગયું સૌથી પ્રાથમિક સમીકરણ, કંઈક આના જેવું:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

સહેજ કંટાળીને, અમે તેને X સાથે ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ... ચિહ્નના ફેરફાર સાથે, બધું સંપૂર્ણ છે... અમને મળે છે:

2x-5x+3x=5-2-3

અમે ગણતરી કરીએ છીએ, અને... અરે!!! અમને મળે છે:

આ સમાનતા પોતે જ વાંધાજનક નથી. શૂન્ય ખરેખર શૂન્ય છે. પણ X ખૂટે છે! અને આપણે જવાબમાં લખવું જોઈએ, x બરાબર શું છે?નહિંતર, ઉકેલ ગણાય નહીં, ખરું...) ડેડ એન્ડ?

શાંત! આવા શંકાસ્પદ કિસ્સાઓમાં, સૌથી સામાન્ય નિયમો તમને બચાવશે. સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા? સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ છે, x ની બધી કિંમતો શોધો જે, જ્યારે માં બદલવામાં આવે છે મૂળ સમીકરણ, આપણને સાચી સમાનતા આપશે.

પરંતુ આપણી પાસે સાચી સમાનતા છે પહેલેથીતે કામ કર્યું! 0=0, કેટલું વધુ સચોટ?! આ x શું થાય છે તે શોધવાનું બાકી છે. X ના કયા મૂલ્યોને બદલી શકાય છે મૂળસમીકરણ જો આ x છે શું તેઓ હજુ પણ શૂન્ય થઈ જશે?આવો?)

હા!!! X ને બદલી શકાય છે કોઈપણ!તમને કયા જોઈએ છે? ઓછામાં ઓછું 5, ઓછામાં ઓછું 0.05, ઓછામાં ઓછું -220. તેઓ હજુ પણ સંકોચાઈ જશે. જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરતા હો, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો.) X ના કોઈપણ મૂલ્યોને તેમાં બદલો મૂળસમીકરણ અને ગણતરી. તે બધા સમય કામ કરશે શુદ્ધ સત્ય: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 અને તેથી વધુ.

અહીં તમારો જવાબ છે: x - કોઈપણ સંખ્યા.

જવાબ વિવિધ ગાણિતિક પ્રતીકોમાં લખી શકાય છે, સાર બદલાતો નથી. આ એક સંપૂર્ણ સાચો અને સંપૂર્ણ જવાબ છે.

બીજું આશ્ચર્ય.

ચાલો એ જ પ્રાથમિક રેખીય સમીકરણ લઈએ અને તેમાં માત્ર એક સંખ્યા બદલીએ. આ અમે નક્કી કરીશું:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

સમાન સમાન પરિવર્તનો પછી, અમને કંઈક રસપ્રદ મળે છે:

આની જેમ. અમે એક રેખીય સમીકરણ હલ કર્યું અને એક વિચિત્ર સમાનતા મેળવી. બોલતા ગાણિતિક ભાષા, અમને મળ્યું ખોટી સમાનતા.અને બોલતા સરળ ભાષામાં, આ સાચું નથી. રેવ. પરંતુ તેમ છતાં, આ નોનસેન્સ માટે ખૂબ જ સારું કારણ છે યોગ્ય નિર્ણયસમીકરણો.)

ફરીથી આપણે સામાન્ય નિયમોના આધારે વિચારીએ છીએ. x શું છે, જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તે આપણને આપશે સાચુંસમાનતા? હા, કોઈ નહીં! આવા કોઈ એક્સ નથી. તમે જે પણ મુકો છો તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, બધું ઓછું થઈ જશે, માત્ર બકવાસ રહેશે.)

અહીં તમારો જવાબ છે: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

આ પણ એક સંપૂર્ણ સંપૂર્ણ જવાબ છે. ગણિતમાં આવા જવાબો વારંવાર જોવા મળે છે.

આની જેમ. હવે, હું આશા રાખું છું કે, કોઈપણ (માત્ર રેખીય નહીં) સમીકરણને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં X ના અદ્રશ્ય થવાથી તમને જરાય મૂંઝવણ નહીં થાય. આ પહેલેથી જ પરિચિત બાબત છે.)

હવે જ્યારે આપણે રેખીય સમીકરણોમાં તમામ ક્ષતિઓ સાથે વ્યવહાર કર્યો છે, તે તેમને ઉકેલવા માટે અર્થપૂર્ણ છે.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

વગેરે, અન્ય પ્રકારના સમીકરણોથી પરિચિત થવું તાર્કિક છે. લાઇનમાં આગળ છે રેખીય સમીકરણો, જેનો લક્ષિત અભ્યાસ 7મા ધોરણમાં બીજગણિત પાઠમાં શરૂ થાય છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ આપણે રેખીય સમીકરણ શું છે તે સમજાવવાની જરૂર છે, રેખીય સમીકરણની વ્યાખ્યા આપો, તેના ગુણાંક આપો અને તેનું સામાન્ય સ્વરૂપ દર્શાવો. પછી તમે ગુણાંકના મૂલ્યોના આધારે રેખીય સમીકરણમાં કેટલા ઉકેલો છે અને મૂળ કેવી રીતે મળે છે તે શોધી શકો છો. આ તમને ઉદાહરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધવા દેશે, અને ત્યાંથી શીખેલા સિદ્ધાંતને એકીકૃત કરશે. આ લેખમાં આપણે આ કરીશું: અમે રેખીય સમીકરણો અને તેમના ઉકેલોને લગતા તમામ સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ મુદ્દાઓ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું.

ચાલો તરત જ કહીએ કે અહીં આપણે ફક્ત એક ચલ સાથેના રેખીય સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈશું, અને એક અલગ લેખમાં આપણે ઉકેલના સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ કરીશું. બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણો.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

રેખીય સમીકરણ શું છે?

રેખીય સમીકરણની વ્યાખ્યા તે લખવાની રીત દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુમાં, માં વિવિધ પાઠયપુસ્તકોરેખીય સમીકરણોની વ્યાખ્યાના ગણિત અને બીજગણિત ફોર્મ્યુલેશનમાં કેટલાક તફાવતો છે જે મુદ્દાના સારને અસર કરતા નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, એન. મકરીચેવ એટ અલ. દ્વારા ગ્રેડ 7 માટે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં, એક રેખીય સમીકરણ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા.

ફોર્મનું સમીકરણ a x=b, જ્યાં x એ ચલ છે, a અને b અમુક સંખ્યાઓ છે, કહેવાય છે એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણ.

ચાલો આપણે રેખીય સમીકરણોના ઉદાહરણો આપીએ જે દર્શાવેલ વ્યાખ્યાને પૂર્ણ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5 x = 10 એ એક ચલ x સાથેનું રેખીય સમીકરણ છે, અહીં a ગુણાંક 5 છે, અને સંખ્યા b 10 છે. બીજું ઉદાહરણ: −2.3·y=0 એ પણ એક રેખીય સમીકરણ છે, પરંતુ ચલ y સાથે, જેમાં a=−2.3 અને b=0 છે. અને રેખીય સમીકરણોમાં x=−2 અને −x=3.33 a સ્પષ્ટ રીતે હાજર નથી અને તે અનુક્રમે 1 અને −1 ની બરાબર છે, જ્યારે પ્રથમ સમીકરણ b=−2 અને બીજામાં - b=3.33.

અને એક વર્ષ અગાઉ, એન. યા દ્વારા ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં, એક અજ્ઞાત સાથેના રેખીય સમીકરણો, x = b સ્વરૂપના સમીકરણો ઉપરાંત, તે સમીકરણો તરીકે પણ ગણવામાં આવતા હતા જે શરતોને સ્થાનાંતરિત કરીને આ સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે. સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગ સાથે વિરોધી ચિહ્ન, તેમજ સમાન શરતોને ઘટાડીને. આ વ્યાખ્યા મુજબ, ફોર્મ 5 x = 2 x + 6, વગેરેના સમીકરણો. રેખીય પણ.

બદલામાં, એ.જી. મોર્ડકોવિચ દ્વારા ગ્રેડ 7 માટે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં નીચેની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે:

વ્યાખ્યા.

એક ચલ x સાથે રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 સ્વરૂપનું એક સમીકરણ છે, જ્યાં a અને b કેટલીક સંખ્યાઓ છે જેને રેખીય સમીકરણના ગુણાંક કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આ પ્રકારના રેખીય સમીકરણો 2 x−12=0 છે, અહીં ગુણાંક a 2 છે, અને b બરાબર −12, અને 0.2 y+4.6=0 ગુણાંક a=0.2 અને b =4.6 સાથે. પરંતુ તે જ સમયે, રેખીય સમીકરણોના ઉદાહરણો છે જેનું સ્વરૂપ a·x+b=0 નથી, પરંતુ a·x=b છે, ઉદાહરણ તરીકે, 3·x=12.

ચાલો, જેથી ભવિષ્યમાં આપણી પાસે કોઈ વિસંગતતા ન હોય, એક ચલ x અને ગુણાંક a અને b સાથેના રેખીય સમીકરણ દ્વારા આપણે a + b = 0 ફોર્મનું સમીકરણ સમજી શકીએ. આ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ સૌથી વધુ ન્યાયી લાગે છે, કારણ કે રેખીય સમીકરણો છે બીજગણિતીય સમીકરણો પ્રથમ ડિગ્રી. અને ઉપર દર્શાવેલ અન્ય તમામ સમીકરણો, તેમજ સમીકરણો કે જેનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ પરિવર્તનો a·x+b=0 ફોર્મમાં ઘટાડો થયો છે, અમે કૉલ કરીશું સમીકરણો જે રેખીય સમીકરણો સુધી ઘટાડે છે. આ અભિગમ સાથે, સમીકરણ 2 x+6=0 એ રેખીય સમીકરણ છે, અને 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, વગેરે. - આ સમીકરણો છે જે રેખીય રાશિઓ સુધી ઘટાડે છે.

રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?

હવે રેખીય સમીકરણો a·x+b=0 કેવી રીતે ઉકેલાય છે તે શોધવાનો સમય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેખીય સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ તે શોધવાનો સમય છે અને જો એમ હોય તો, તેમાંથી કેટલા અને તેને કેવી રીતે શોધવું.

રેખીય સમીકરણના મૂળની હાજરી a અને b ના ગુણાંકના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે. આ કિસ્સામાં, રેખીય સમીકરણ a x+b=0 છે

• a≠0 માટે એકમાત્ર મૂળ,
• a=0 અને b≠0 માટે કોઈ મૂળ નથી,
• a=0 અને b=0 માટે અનંતપણે ઘણા બધા મૂળ છે, જે કિસ્સામાં કોઈપણ સંખ્યા રેખીય સમીકરણનું મૂળ છે.

ચાલો સમજાવીએ કે આ પરિણામો કેવી રીતે પ્રાપ્ત થયા.

આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણોને ઉકેલવા માટે આપણે મૂળ સમીકરણમાંથી સમકક્ષ સમીકરણો તરફ જઈ શકીએ છીએ, એટલે કે સમાન મૂળ સાથેના સમીકરણોમાં અથવા મૂળની જેમ, મૂળ વગરના સમીકરણોમાં જઈ શકીએ છીએ. આ કરવા માટે, તમે નીચેના સમકક્ષ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

• વિરોધી ચિહ્ન સાથે સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં પદને સ્થાનાંતરિત કરવું,
• તેમજ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવો.

તેથી, એક સાથે રેખીય સમીકરણમાં ફોર્મનું ચલ a x+b=0 આપણે શબ્દ b ને ડાબી બાજુથી ખસેડી શકીએ છીએ જમણી બાજુવિપરીત ચિહ્ન સાથે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ a·x=−b સ્વરૂપ લેશે.

અને પછી તે સમીકરણની બંને બાજુઓને સંખ્યા a દ્વારા વિભાજીત કરવાનો પ્રશ્ન પૂછે છે. પરંતુ એક વસ્તુ છે: સંખ્યા a શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં આવા ભાગાકાર અશક્ય છે. આ સમસ્યાનો સામનો કરવા માટે, અમે પહેલા માની લઈશું કે સંખ્યા a બિન-શૂન્ય છે, અને અમે શૂન્ય સમાન હોવાના કિસ્સાને થોડી વાર પછી અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું.

તેથી, જ્યારે a શૂન્યની બરાબર ન હોય, ત્યારે આપણે a·x=−b સમીકરણની બંને બાજુઓને a વડે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ, ત્યારબાદ તે x=(−b):a સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થશે, આ પરિણામ લખી શકાય છે. તરીકે અપૂર્ણાંક સ્લેશનો ઉપયોગ કરીને.

આમ, a≠0 માટે, રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 એ સમીકરણની સમકક્ષ છે, જેમાંથી તેનું મૂળ દેખાય છે.

તે દર્શાવવું સરળ છે કે આ મૂળ અનન્ય છે, એટલે કે, રેખીય સમીકરણમાં અન્ય કોઈ મૂળ નથી. આ તમને વિપરીત પદ્ધતિ કરવા દે છે.

ચાલો રુટને x 1 તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો ધારીએ કે રેખીય સમીકરણનું બીજું મૂળ છે, જેને આપણે x 2, અને x 2 ≠x 1 તરીકે દર્શાવીએ છીએ, જેના કારણે વ્યાખ્યાઓ સમાન સંખ્યાઓતફાવત દ્વારાશરત x 1 −x 2 ≠0 ની સમકક્ષ છે. x 1 અને x 2 એ રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 ના મૂળ હોવાથી, પછી સંખ્યાત્મક સમાનતા a·x 1 +b=0 અને a·x 2 +b=0 ધરાવે છે. આપણે આ સમાનતાઓના અનુરૂપ ભાગોને બાદ કરી શકીએ છીએ, જે સંખ્યાત્મક સમાનતાના ગુણધર્મો આપણને કરવા દે છે, આપણી પાસે a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 છે, જેમાંથી a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 અને પછી a·(x 1 −x 2)=0 . પરંતુ આ સમાનતા અશક્ય છે, કારણ કે a≠0 અને x 1 − x 2 ≠0 બંને. તેથી અમે એક વિરોધાભાસ પર આવ્યા, જે a≠0 માટે રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 ના મૂળની વિશિષ્ટતા સાબિત કરે છે.

તેથી આપણે a≠0 માટે રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 હલ કર્યું. આ ફકરાની શરૂઆતમાં આપેલ પ્રથમ પરિણામ વાજબી છે. ત્યાં વધુ બે બાકી છે જે a=0 શરતને પૂર્ણ કરે છે.

જ્યારે a=0, રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 ફોર્મ 0·x+b=0 લે છે. આ સમીકરણ અને સંખ્યાઓને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવાના ગુણધર્મ પરથી તે અનુસરે છે કે આપણે ગમે તે સંખ્યાને x તરીકે લઈએ, જ્યારે તેને 0 x + b=0 સમીકરણમાં બદલવામાં આવે, ત્યારે સંખ્યાત્મક સમાનતા b=0 પ્રાપ્ત થશે. આ સમાનતા સાચી છે જ્યારે b=0, અને અન્ય કિસ્સાઓમાં જ્યારે b≠0 આ સમાનતા ખોટી હોય છે.

તેથી, a=0 અને b=0 સાથે, કોઈપણ સંખ્યા એ રેખીય સમીકરણ a·x+b=0નું મૂળ છે, કારણ કે આ શરતો હેઠળ, x માટે કોઈપણ સંખ્યાને બદલવાથી યોગ્ય સંખ્યાત્મક સમાનતા 0=0 મળે છે. અને જ્યારે a=0 અને b≠0, રેખીય સમીકરણ a·x+b=0 નું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે આ શરતો હેઠળ, x માટે કોઈપણ સંખ્યાને બદલવાથી ખોટી સંખ્યાત્મક સમાનતા b=0 થાય છે.

આપેલ વાજબીતા અમને ક્રિયાઓનો ક્રમ ઘડવા દે છે જે અમને કોઈપણ રેખીય સમીકરણ ઉકેલવા દે છે. તેથી, રેખીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમછે:

• પ્રથમ, રેખીય સમીકરણ લખીને, આપણે a અને b ના ગુણાંકના મૂલ્યો શોધીએ છીએ.
• જો a=0 અને b=0, તો આ સમીકરણમાં અનંત ઘણા મૂળ છે, એટલે કે, કોઈપણ સંખ્યા આ રેખીય સમીકરણનું મૂળ છે.
• જો a બિનશૂન્ય છે, તો પછી
• ગુણાંક b ને વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને રેખીય સમીકરણ a·x=−b સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થાય છે,
• જે પછી પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા a દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે મૂળ રેખીય સમીકરણનું ઇચ્છિત મૂળ આપે છે.

લેખિત અલ્ગોરિધમ એ રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે પ્રશ્નનો વ્યાપક જવાબ છે.

આ મુદ્દાના નિષ્કર્ષમાં, તે કહેવું યોગ્ય છે કે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ a·x=b ફોર્મના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે થાય છે. તેનો તફાવત એ છે કે જ્યારે a≠0, સમીકરણની બંને બાજુઓ તરત જ આ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે;

ફોર્મ a x = b ના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ થાય છે:

• જો a=0 અને b=0 હોય, તો સમીકરણમાં અસંખ્ય મૂળ છે, જે કોઈપણ સંખ્યાઓ છે.
• જો a=0 અને b≠0 હોય, તો મૂળ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.
• જો a બિન-શૂન્ય હોય, તો સમીકરણની બંને બાજુઓ બિન-શૂન્ય સંખ્યા a દ્વારા વિભાજિત થાય છે, જેમાંથી સમીકરણનું એકમાત્ર મૂળ મળે છે, જે b/a ની બરાબર છે.

રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

ચાલો પ્રેક્ટિસ તરફ આગળ વધીએ. ચાલો જોઈએ કે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે. અહીં ઉકેલો છે લાક્ષણિક ઉદાહરણો, અનુરૂપ વિવિધ અર્થોરેખીય સમીકરણોના ગુણાંક.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણ 0·x−0=0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

આ રેખીય સમીકરણમાં, a=0 અને b=−0 , જે b=0 સમાન છે. તેથી, આ સમીકરણમાં અસંખ્ય મૂળ છે; કોઈપણ સંખ્યા આ સમીકરણનું મૂળ છે.

જવાબ:

x - કોઈપણ સંખ્યા.

ઉદાહરણ.

શું રેખીય સમીકરણ 0 x + 2.7 = 0 પાસે ઉકેલો છે?

ઉકેલ.

આ કિસ્સામાં, ગુણાંક a શૂન્યની બરાબર છે, અને આ રેખીય સમીકરણનો ગુણાંક b 2.7 બરાબર છે, એટલે કે, શૂન્યથી અલગ છે. તેથી, રેખીય સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.