વેક્ટર ડાયાગ્રામ. સ્પંદનોનો ઉમેરો.

ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓનો ઉકેલ વધુ સરળ અને વધુ દ્રશ્ય બની જાય છે જો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઓસિલેશનને ગ્રાફિકલી રીતે રજૂ કરવામાં આવે. વેક્ટર ડાયાગ્રામ.ચાલો અમુક ધરી પસંદ કરીએ એક્સ. બિંદુ પરથી 0 ધરી પર આપણે લંબાઈના વેક્ટરને કાવતરું કરીએ છીએ, જે શરૂઆતમાં ધરી સાથે કોણ બનાવે છે (ફિગ. 2.14.1). જો આપણે આ વેક્ટરને કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણમાં લાવીએ, તો વેક્ટરના છેડાનું પ્રક્ષેપણ ધરી પર એક્સકાયદા દ્વારા સમય સાથે બદલાશે

.

પરિણામે, ધરી પર વેક્ટરના છેડાનું પ્રક્ષેપણ કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરશે. લંબાઈ સમાનવેક્ટર, વેક્ટરના પરિભ્રમણના કોણીય વેગની સમાન ગોળાકાર આવર્તન સાથે અને પ્રારંભિક તબક્કા સાથે, કોણ સમાન, જે અક્ષ સાથે વેક્ટર બનાવે છે પ્રારંભિક ક્ષણસમય ખૂણો, વેક્ટર દ્વારા રચાય છેમાં ધરી સાથે આ ક્ષણેસમય આ ક્ષણે ઓસિલેશનનો તબક્કો નક્કી કરે છે - .

ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે એક હાર્મોનિક ઓસિલેશન વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે, જેની લંબાઈ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર જેટલી હોય છે, અને તેની દિશા ઓસિલેશનના તબક્કાની બરાબર ચોક્કસ ધરી સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. આ વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિનો સાર છે.

સમાન દિશાના ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

બે હાર્મોનિક ઓસિલેશનના ઉમેરાને ધ્યાનમાં લો, જેની દિશાઓ સમાંતર છે:

. (2.14.1)

પરિણામી ઓફસેટ એક્સસરવાળો અને હશે. આ કંપનવિસ્તાર સાથેનું ઓસિલેશન હશે.

ચાલો વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ (ફિગ. 2.14.2). આકૃતિમાં, અને - અનુક્રમે પરિણામી અને ઉમેરાયેલા ઓસિલેશનના તબક્કાઓ. વેક્ટર્સ અને ઉમેરીને શું શોધી શકાય છે તે જોવાનું સરળ છે. જો કે, જો ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનની ફ્રીક્વન્સીઝ અલગ હોય, તો પરિણામી કંપનવિસ્તાર સમય જતાં તીવ્રતામાં બદલાય છે અને વેક્ટર ચલ ગતિએ ફરે છે, એટલે કે. કંપન હાર્મોનિક નહીં હોય, પરંતુ કેટલાક જટિલને રજૂ કરશે ઓસીલેટરી પ્રક્રિયા. પરિણામી ઓસિલેશન હાર્મોનિક બનવા માટે, ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનની ફ્રીક્વન્સી સમાન હોવી જોઈએ

અને પરિણામી ઓસિલેશન સમાન આવર્તન સાથે થાય છે

.

બાંધકામ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે

ચાલો પરિણામી ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર માટે અભિવ્યક્તિ (2.14.2) નું વિશ્લેષણ કરીએ. જો ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનનો તબક્કો તફાવત શૂન્ય છે(ઓસિલેશન તબક્કામાં છે), કંપનવિસ્તાર ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારના સરવાળા જેટલું છે, એટલે કે ની મહત્તમ છે શક્ય મૂલ્ય . જો તબક્કા તફાવત છે(ઓસિલેશન્સ એન્ટિફેઝમાં છે), પછી પરિણામી કંપનવિસ્તાર કંપનવિસ્તારમાં તફાવત સમાન છે, એટલે કે ન્યૂનતમ શક્ય મૂલ્ય ધરાવે છે .

પરસ્પર લંબરૂપ સ્પંદનોનો ઉમેરો.

કણને સમાન આવર્તન સાથે બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરવા દો: એક દિશા સાથે, જે આપણે સૂચવીએ છીએ એક્સ, અન્ય - માં લંબ દિશા y. આ કિસ્સામાં, કણ ચોક્કસ સાથે આગળ વધશે સામાન્ય કેસ, વક્રીય માર્ગ, જેનો આકાર ઓસિલેશનના તબક્કાઓમાં તફાવત પર આધાર રાખે છે.

ચાલો સમય ગણતરીની શરૂઆત પસંદ કરીએ જેથી એક ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો શૂન્યની બરાબર હોય:

. (2.14.3)

પાર્ટિકલ ટ્રેજેક્ટરી સમીકરણ મેળવવા માટે, તેમાંથી બાકાત રાખવું જરૂરી છે (2.14.3) t. પ્રથમ સમીકરણથી, એ. અર્થ, . ચાલો બીજા સમીકરણને ફરીથી લખીએ

અથવા

.

પ્રથમ પદને સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી તરફ સ્થાનાંતરિત કરીને, પરિણામી સમીકરણનું વર્ગીકરણ કરીને અને પરિવર્તનો હાથ ધરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

. (2.14.4)

આ સમીકરણ એ અંડાકારનું સમીકરણ છે જેની અક્ષો અક્ષોની તુલનામાં ફેરવાય છે એક્સઅને yઅમુક ખૂણા પર. પરંતુ કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓમાં સરળ પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે.

1. તબક્કામાં તફાવત શૂન્ય છે. પછી (2.14.4) થી આપણે મેળવીએ છીએ

અથવા (2.14.5)

આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે (ફિગ. 2.14.3). આમ, કણ આ સીધી રેખા સાથે આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સાથે .

જટિલ કંપનવિસ્તાર પદ્ધતિ

પ્લેન પરના બિંદુની સ્થિતિ જટિલ સંખ્યા દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

જો બિંદુ ($A$) ફરે છે, તો આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ કાયદા અનુસાર બદલાય છે:

ચાલો ફોર્મમાં $z$ લખીએ:

જ્યાં $Re(z)=x$, એટલે કે, ભૌતિક જથ્થા x વાસ્તવિક ભાગની બરાબર છે જટિલ અભિવ્યક્તિ(4). આ કિસ્સામાં, જટિલ અભિવ્યક્તિનું મોડ્યુલસ ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર - $a$, તેની દલીલ સમાન છે તબક્કાની સમાન($(\omega )_0t+\delta $). કેટલીકવાર, $z$ નો વાસ્તવિક ભાગ લેતી વખતે, ઓપરેશન Re નું ચિહ્ન અવગણવામાં આવે છે અને સાંકેતિક અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે:

અભિવ્યક્તિ (5) શાબ્દિક રીતે લેવી જોઈએ નહીં. ઘણીવાર ઔપચારિક રીતે સરળ (5):

જ્યાં $A=ae^(i \delta)$ એ ઓસિલેશનનું જટિલ કંપનવિસ્તાર છે. કંપનવિસ્તાર $A$ ની જટિલ પ્રકૃતિનો અર્થ એ છે કે ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો છે જે શૂન્યની બરાબર નથી.

જાહેર કરવા માટે ભૌતિક અર્થ(6) જેવા અભિવ્યક્તિઓ, ધારો કે ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી ($(\omega )_0$) માં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો છે, અને તેને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

પછી અભિવ્યક્તિ (6) આ રીતે લખી શકાય છે:

જો $(\omega )2>0,$ તો અભિવ્યક્તિ (8) ભીનાશનું વર્ણન કરે છે હાર્મોનિક સ્પંદનોપરિપત્ર આવર્તન $\omega1$ અને ડેમ્પિંગ એક્સપોનેંટ $(\omega )_2$ સાથે. જો $(\omega )_2

ટિપ્પણી

જટિલ જથ્થા પર ઘણી કામગીરી હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓજાણે જથ્થો વાસ્તવિક હોય. જો તેઓ પોતે રેખીય અને વાસ્તવિક હોય (જેમ કે ઉમેરણ, ગુણાકાર, વાસ્તવિક ચલના સંદર્ભમાં તફાવત, અને અન્ય, પરંતુ તમામ નહીં) તો કામગીરી શક્ય છે. આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે જટિલ જથ્થાઓ પોતે કોઈને અનુરૂપ નથી ભૌતિક જથ્થો.

વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિ

બિંદુ $A$ ને ત્રિજ્યા $r$ (ફિગ. 1) ના વર્તુળ સાથે સમાનરૂપે ફેરવવા દો, તેની પરિભ્રમણ ગતિ $(\omega )_0$.

આકૃતિ 1.

વર્તુળ પર બિંદુ $A$ ની સ્થિતિ કોણ $\varphi $ નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આ કોણ સમાન છે:

જ્યાં $\delta =\varphi (t=0)$ એ પ્રારંભિક સમયે $\overrightarrow(r)$ ત્રિજ્યા વેક્ટરનો પરિભ્રમણ કોણ છે. જો બિંદુ $M$ ફરે છે, તો પછી $M$ $N$ બિંદુઓ વચ્ચે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરીને, $અક્ષ X$ પર તેનું પ્રક્ષેપણ વર્તુળના વ્યાસ સાથે ખસે છે. પોઈન્ટ $A$ ની એબ્સીસા આ રીતે લખી શકાય છે:

તેવી જ રીતે, તમે કોઈપણ તીવ્રતાના વધઘટને રજૂ કરી શકો છો.

માત્ર એવા જથ્થાની છબીને સ્વીકારવી જરૂરી છે જે $A$ બિંદુના એબ્સીસા સાથે ઓસીલેટ થાય છે, જે વર્તુળની આસપાસ એકસરખી રીતે ફરે છે. તમે, અલબત્ત, ઓર્ડિનેટનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

નોંધ 1

પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે ભીના ઓસિલેશન, આપણે વર્તુળ નહીં, પરંતુ એક લઘુગણક સર્પાકાર લેવું જોઈએ જે ફોકસની નજીક આવે. જો સર્પાકારમાં ફરતા બિંદુના અભિગમની ગતિ સ્થિર હોય અને બિંદુ ફોકસ તરફ આગળ વધે, તો X-અક્ષ પર આ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ભીના ઓસિલેશન માટેના સૂત્રો આપશે.

નોંધ 2

બિંદુને બદલે, તમે ત્રિજ્યા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો, જે મૂળની આસપાસ એકસરખી રીતે ફરશે. પછી હાર્મોનિક ઓસિલેશન્સ કરે છે તે જથ્થાને X-અક્ષ પર આ વેક્ટરના પ્રક્ષેપણ તરીકે દર્શાવવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, $x$ જથ્થા પરની ગાણિતિક ક્રિયાઓ વેક્ટર પરની ક્રિયાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

તેથી બે જથ્થાનો સરવાળો કરવાની કામગીરી:

બે વેક્ટરનો સરવાળો કરીને (સમાંતરગ્રામ નિયમનો ઉપયોગ કરીને) બદલવું વધુ અનુકૂળ છે. વેક્ટર્સ પસંદ કરવા જોઈએ જેથી પસંદ કરેલ $axis X$ પરના તેમના અંદાજો $x_1\ અને\ x_2$ સમીકરણો હોય. પછી એબ્સીસા અક્ષ પર પ્રક્ષેપણમાં વેક્ટરનો સરવાળો કરવાના ઓપરેશનનું પરિણામ $x_1+\ x_2$ બરાબર હશે.

ઉદાહરણ 1

ચાલો વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ દર્શાવીએ.

તો ચાલો કલ્પના કરીએ જટિલ સંખ્યાઓવેક્ટર્સ ચાલુ જટિલ વિમાન. એક જથ્થો જે મુજબ બદલાય છે હાર્મોનિક કાયદો, એ વેક્ટર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે તેના મૂળની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $(\omega )0$ આવર્તન સાથે ફરે છે. વેક્ટરની લંબાઈ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર જેટલી છે.

ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ:

જ્યાં $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ એ અવબાધ છે, જે ફિગ. 2 નો ઉપયોગ કરીને રજૂ થાય છે. આ ચિત્ર બતાવે છે વેક્ટર ડાયાગ્રામએસી સર્કિટમાં વોલ્ટેજ.

આકૃતિ 2.

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે જટિલ મૂલ્યને જટિલ એકમ વડે ગુણાકાર કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને ઘડિયાળની દિશામાં $90^0$ ના ખૂણાથી ફેરવવું અને ઘડિયાળની દિશામાં સમાન ખૂણાથી ($-i$) વડે ગુણાકાર કરવો. ફિગ. 2 માંથી તે નીચે મુજબ છે:

જ્યાં $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ કોણ $\varphi $ માં ફેરફાર સર્કિટ તત્વોના અવરોધો વચ્ચેના સંબંધ પર આધાર રાખે છે અને ફ્રીક્વન્સીઝ. બાહ્ય વોલ્ટેજ તબક્કામાં બદલાઈ શકે છે, સમગ્ર ઇન્ડક્ટન્સના વોલ્ટેજ સાથે એકરૂપ થવાથી લઈને સમગ્ર કેપેસિટરના વોલ્ટેજ સાથે એકરૂપ થવા સુધી. આ સામાન્ય રીતે સર્કિટ તત્વો પરના વોલ્ટેજના તબક્કાઓ અને બાહ્ય વોલ્ટેજના તબક્કા વચ્ચેના સંબંધના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે:

ઇન્ડક્ટન્સ $(U)L=i\omega LI)$ પરના વોલ્ટેજનો તબક્કો હંમેશા બાહ્ય વોલ્ટેજના તબક્કાને $0$ થી $\pi .$ સુધીના ખૂણા દ્વારા દોરી જાય છે.

કેપેસીટન્સ $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) પરનો વોલ્ટેજ તબક્કો હંમેશા $0$ અને --$\ \pi .$ વચ્ચેના ખૂણા દ્વારા બાહ્ય વોલ્ટેજ તબક્કાથી પાછળ રહે છે.

આ કિસ્સામાં, પ્રતિકાર પરનો તબક્કો કાં તો $\frac(\pi )(2)$ અને $\frac(\pi )(2)$ વચ્ચેના ખૂણા દ્વારા બાહ્ય વોલ્ટેજના તબક્કાને આગળ લઈ જઈ શકે છે અથવા પાછળ રહી શકે છે.

વેક્ટર ડાયાગ્રામ (ફિગ. 2) અમને નીચેની રચના કરવાની મંજૂરી આપે છે:

સમગ્ર ઇન્ડક્ટન્સનો વોલ્ટેજ તબક્કો વર્તમાન તબક્કાને $\frac(\pi )(2)$ દ્વારા દોરી જાય છે.

સમગ્ર કેપેસીટન્સનો વોલ્ટેજ તબક્કો વર્તમાન તબક્કાથી $\frac(\eth )(2)\$ પાછળ રહે છે.

સમગ્ર પ્રતિકારમાં વોલ્ટેજનો તબક્કો વર્તમાનના તબક્કા સાથે એકરુપ છે.

ઉદાહરણ 2

વ્યાયામ:દર્શાવો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ તરીકે જટિલ જથ્થાઓ પર વર્ગીકરણ લાગુ કરી શકાતું નથી.

ઉકેલ:

ધારો કે આપણે ચોરસ કરવાની જરૂર છે વાસ્તવિક સંખ્યા$x$. સાચો જવાબ: $x^2$. ઔપચારિક રીતે લાગુ જટિલ પદ્ધતિ. ચાલો બદલીએ:

$x\to x+iy$. ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\જમણે).\]

અભિવ્યક્તિનો વાસ્તવિક ભાગ (2.1) બરાબર છે:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

ભૂલનું કારણ એ છે કે સ્ક્વેરિંગ ઑપરેશન રેખીય નથી.

હાર્મોનિક સ્પંદનો

તે. હકીકતમાં, સાઈન ગ્રાફ વેક્ટરના પરિભ્રમણમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

F(x) = A sin (ωt + φ),

જ્યાં A એ વેક્ટરની લંબાઈ (ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર) છે, φ એ શૂન્ય સમયે વેક્ટરનો પ્રારંભિક કોણ (તબક્કો) છે, ω - કોણીય વેગપરિભ્રમણ, જે સમાન છે:

ω=2 πf, જ્યાં f એ હર્ટ્ઝમાં આવર્તન છે.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, સિગ્નલ આવર્તન, કંપનવિસ્તાર અને કોણ જાણીને, આપણે હાર્મોનિક સિગ્નલ બનાવી શકીએ છીએ.

જાદુ શરૂ થાય છે જ્યારે તે તારણ આપે છે કે સંપૂર્ણપણે કોઈપણ સિગ્નલનું પ્રતિનિધિત્વ વિવિધ સિનુસોઇડ્સના સરવાળા (ઘણી વખત અનંત) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફોરિયર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં.
હું અંગ્રેજી વિકિપીડિયામાંથી એક ઉદાહરણ આપીશ. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે સોટૂથ સિગ્નલ લઈએ.

રેમ્પ સિગ્નલ

તેની રકમ નીચેના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે:

જો આપણે એક પછી એક ઉમેરીએ, પ્રથમ n=1, પછી n=2, વગેરે લઈએ, તો આપણે જોઈશું કે કેવી રીતે આપણો હાર્મોનિક સાઈનસાઈડલ સિગ્નલ ધીમે ધીમે કરવતમાં ફેરવાય છે:

ઇન્ટરનેટ પર મને મળેલા એક પ્રોગ્રામ દ્વારા આ કદાચ સૌથી સુંદર રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. તે ઉપર પહેલેથી જ કહેવામાં આવ્યું હતું કે સાઈન ગ્રાફ એ ફરતા વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ છે, પરંતુ વધુ જટિલ સંકેતોનું શું? આ, વિચિત્ર રીતે, ઘણા ફરતા વેક્ટરોનું પ્રક્ષેપણ છે, અથવા તેના બદલે તેમનો સરવાળો, અને તે બધું આના જેવું દેખાય છે:

વેક્ટર ડ્રોઇંગ જોયું.

સામાન્ય રીતે, હું જાતે જ લિંક પર જવાની અને પરિમાણો સાથે જાતે રમવાનો પ્રયાસ કરવાની ભલામણ કરું છું અને જુઓ કે સિગ્નલ કેવી રીતે બદલાય છે. IMHO મેં સમજવા માટે આનાથી વધુ દ્રશ્ય રમકડું ક્યારેય જોયું નથી.

એ પણ નોંધવું જોઈએ કે ત્યાં એક વ્યસ્ત પ્રક્રિયા છે જે તમને આપેલ સિગ્નલમાંથી આવર્તન, કંપનવિસ્તાર અને પ્રારંભિક તબક્કો (કોણ) મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, જેને ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે.

કેટલાક જાણીતા ફ્યુરિયર શ્રેણી વિસ્તરણ સામયિક કાર્યો(અહીંથી)

હું તેના પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશ નહીં, પરંતુ હું બતાવીશ કે તેને જીવનમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય. ગ્રંથસૂચિમાં હું ભલામણ કરીશ કે તમે સામગ્રી વિશે વધુ ક્યાં વાંચી શકો.

ચાલો વ્યવહારુ કસરતો તરફ આગળ વધીએ!

મને એવું લાગે છે કે દરેક વિદ્યાર્થી વ્યાખ્યાનમાં બેસીને એક પ્રશ્ન પૂછે છે, ઉદાહરણ તરીકે ગણિત પર: મારે આ બધી બકવાસની જરૂર કેમ છે? અને એક નિયમ તરીકે, નજીકના ભવિષ્યમાં કોઈ જવાબ મળ્યો નથી, કમનસીબે, તે વિષયમાં રસ ગુમાવે છે. તેથી હું તમને તરત જ બતાવીશ વ્યવહારુ એપ્લિકેશનઆ જ્ઞાન, અને તમે આ જ્ઞાનમાં જાતે નિપુણતા મેળવશો :).

હું મારી જાતે બધું આગળ અમલ કરીશ. મેં બધું કર્યું, અલબત્ત, લિનક્સ હેઠળ, પરંતુ સિદ્ધાંતમાં કોઈ વિશિષ્ટતાનો ઉપયોગ કર્યો નથી, પ્રોગ્રામ કમ્પાઇલ કરશે અને અન્ય પ્લેટફોર્મ્સ હેઠળ ચાલશે.

પ્રથમ, ચાલો ઓડિયો ફાઈલ જનરેટ કરવા માટે એક પ્રોગ્રામ લખીએ. wav ફાઇલને સૌથી સરળ તરીકે લેવામાં આવી હતી. તમે તેની રચના વિશે વાંચી શકો છો.
ટૂંકમાં, wav ફાઇલનું માળખું નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે: એક હેડર જે ફાઇલ ફોર્મેટનું વર્ણન કરે છે, અને પછી ત્યાં (અમારા કિસ્સામાં) 16-બીટ ડેટા (પોઇન્ટર) ની એરે છે જેની લંબાઈ: sampling_frequency*t સેકન્ડ છે. અથવા 44100*t ટુકડાઓ.

ધ્વનિ ફાઇલ બનાવવા માટે એક ઉદાહરણ લેવામાં આવ્યું હતું. મેં તેને થોડો સંશોધિત કર્યો, ભૂલો સુધારી, અને મારા સંપાદનો સાથેનું અંતિમ સંસ્કરણ હવે અહીં ગીથબ પર છે

ચાલો 100 હર્ટ્ઝની આવર્તન સાથે શુદ્ધ સાઈન વેવ સાથે બે-સેકન્ડની ધ્વનિ ફાઇલ જનરેટ કરીએ. આ કરવા માટે, પ્રોગ્રામને નીચે પ્રમાણે સંશોધિત કરો:

#S_RATE (44100) વ્યાખ્યાયિત કરો //સેમ્પલિંગ આવર્તન #વ્યાખ્યાયિત કરો BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 સેકન્ડ બફર */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... ફ્લોટ કંપનવિસ્તાર = 32000; // મહત્તમ શક્ય કંપનવિસ્તાર લો ફ્લોટ ફ્રીક્વન્સી = 100; //સિગ્નલ આવર્તન /* સાઈન વેવ સાથે બફર ભરો */ માટે (i=0 i

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે શુદ્ધ સાઈન માટેનું સૂત્ર આપણે ઉપર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલાને અનુરૂપ છે. 32000 (32767 લેવામાં આવી શકે છે) નું કંપનવિસ્તાર 16-બીટ નંબર લઈ શકે તે મૂલ્યને અનુરૂપ છે (માઈનસ 32767 થી વત્તા 32767 સુધી).

પરિણામે, અમને નીચેની ફાઇલ મળે છે (તમે તેને કોઈપણ ધ્વનિ પ્રજનન પ્રોગ્રામ સાથે પણ સાંભળી શકો છો). ચાલો આ ઓડેસિટી ફાઈલ ખોલીએ અને જોઈએ કે સિગ્નલ ગ્રાફ ખરેખર શુદ્ધ સાઈન વેવને અનુરૂપ છે:

શુદ્ધ ટ્યુબ સાઈન

ચાલો આ સાઈનના વર્ણપટને જોઈએ (વિશ્લેષણ->પ્લોટ સ્પેક્ટ્રમ)

સ્પેક્ટ્રમ ગ્રાફ

100 Hz પર સ્પષ્ટ શિખર દેખાય છે ( લઘુગણક સ્કેલ). સ્પેક્ટ્રમ શું છે? આ કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતા છે. એક તબક્કા-આવર્તન લાક્ષણિકતા પણ છે. જો તમને યાદ હોય તો, મેં ઉપર કહ્યું હતું કે સિગ્નલ બનાવવા માટે તમારે તેની આવર્તન, કંપનવિસ્તાર અને તબક્કો જાણવાની જરૂર છે? તેથી, તમે સિગ્નલમાંથી આ પરિમાણો મેળવી શકો છો. IN આ કિસ્સામાંઅમારી પાસે કંપનવિસ્તારને અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝનો ગ્રાફ છે, અને કંપનવિસ્તાર વાસ્તવિક એકમોમાં નથી, પરંતુ ડેસિબલ્સમાં છે.

હું સમજું છું કે પ્રોગ્રામ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજાવવા માટે, ઝડપી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ શું છે તે સમજાવવું જરૂરી છે, અને આ ઓછામાં ઓછો એક વધુ લેખ છે.

પ્રથમ, ચાલો એરેની ફાળવણી કરીએ:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // = calloc(size_array*2, sizeof(float)) માં પરિભ્રમણ પરિબળોનો એરે; //ઇનપુટ એરે આઉટ = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //આઉટપુટ એરે

હું ફક્ત એટલું જ કહી દઉં કે પ્રોગ્રામમાં આપણે ડેટાને લંબાઈના કદ_એરેમાં વાંચીએ છીએ (જે આપણે wav ફાઇલના હેડરમાંથી લઈએ છીએ).

જ્યારે(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)વેલ્યુ; j+=2; જો (j > 2*size_array) બ્રેક; )

માટે એરે ઝડપી રૂપાંતરફોરિયર એ ક્રમ (ફરી, ઇમ, રી, ઇમ,… રી, ઇમ) હોવો જોઈએ, જ્યાં fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
જટિલ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે. મને કલ્પના કરવામાં પણ ડર લાગે છે કે જટિલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ ક્યાં થાય છે, પરંતુ અમારા કિસ્સામાં, અમારો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય સમાન છે, અને વાસ્તવિક ભાગ એરેના દરેક બિંદુના મૂલ્ય જેટલો છે.
ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની બીજી વિશેષતા એ છે કે તે એરેની ગણતરી કરે છે જે માત્ર બેની શક્તિઓના ગુણાંકમાં હોય છે. પરિણામે, આપણે બેની ન્યૂનતમ શક્તિની ગણતરી કરવી જોઈએ:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

ડેટામાં બાઈટની સંખ્યાનો લઘુગણક એક બિંદુ પર બાઈટની સંખ્યા વડે ભાગ્યા.

આ પછી, અમે પરિભ્રમણ પરિબળોની ગણતરી કરીએ છીએ:

Fft_make(p2,c); // FFT માટે પરિભ્રમણ પરિબળોની ગણતરી માટે કાર્ય (પ્રથમ પરિમાણ બેની શક્તિ છે, બીજું પરિભ્રમણ પરિબળોની ફાળવેલ એરે છે).

અને અમે અમારા માત્ર એરેને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મરમાં ફીડ કરીએ છીએ:

Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(એકનો અર્થ એ છે કે આપણે સામાન્યકૃત એરે મેળવી રહ્યા છીએ).

આઉટપુટ પર આપણને ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ મળે છે (re, im, re, im,… re, im). જેઓ નથી જાણતા કે જટિલ સંખ્યા શું છે, હું સમજાવીશ. તે કંઈપણ માટે નથી કે મેં આ લેખ ફરતા વેક્ટરના સમૂહ અને GIF ના સમૂહ સાથે શરૂ કર્યો છે. તેથી, જટિલ સમતલ પર એક વેક્ટર વાસ્તવિક સંકલન a1 અને કાલ્પનિક સંકલન a2 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અથવા લંબાઈ (આ આપણા માટે કંપનવિસ્તાર એમ છે) અને કોણ Psi (તબક્કો).

જટિલ પ્લેન પર વેક્ટર

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે માપ_એરે=2^p2. એરેનો પ્રથમ બિંદુ 0 Hz (સતત) ની આવર્તનને અનુરૂપ છે, છેલ્લો બિંદુ નમૂનાની આવર્તનને અનુરૂપ છે, એટલે કે 44100 Hz. પરિણામે, આપણે દરેક બિંદુને અનુરૂપ આવર્તનની ગણતરી કરવી જોઈએ, જે ડેલ્ટા આવર્તન દ્વારા અલગ હશે:

ડબલ ડેલ્ટા=((ફ્લોટ)હેડર.ફ્રીક્વન્સી)/(ફ્લોટ)સાઇઝ_એરે; // એરે કદ દીઠ નમૂનાની આવર્તન.

કંપનવિસ્તાર એરેની ફાળવણી:

ડબલ * ampl;

ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

અને ચિત્ર જુઓ: કંપનવિસ્તાર એ વેક્ટરની લંબાઈ છે. અને આપણી પાસે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ધરી પર તેના અંદાજો છે. પરિણામે, આપણી પાસે એક કાટકોણ હશે, અને અહીં આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય યાદ રાખીએ છીએ, અને દરેક વેક્ટરની લંબાઈ ગણીએ છીએ, અને તરત જ તેને ટેક્સ્ટ ફાઇલમાં લખીએ છીએ:<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
માટે(i=0;i

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

પરિણામે, અમને આના જેવી ફાઇલ મળે છે:

ચાલો પ્રયત્ન કરીએ!

હવે આપણે પરિણામી પ્રોગ્રામને ફીડ કરીએ છીએ જે સાઈન સાઉન્ડ ફાઈલ છે

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav ફોર્મેટ: 16 બિટ્સ, પીસીએમ અનકમ્પ્રેસ્ડ, ચેનલ 1, ફ્રીકવ 44100, 88200 બાઇટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ, 2 બાઇટ્સ કેપ્ચર દ્વારા, 2 બિટ્સ પ્રતિ સેમ્પલ, 88200 ઇંચ = ડેટા ઇંચ 441000 log2=18 સાઈઝ એરે=262144 wav ફોર્મેટ મહત્તમ આવર્તન = 99.928 , amp =7216.136

અને અમને ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સની ટેક્સ્ટ ફાઈલ મળે છે. અમે gnuplot નો ઉપયોગ કરીને તેનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ

#! /usr/bin/gnuplot -persist સેટ ટર્મિનલ પોસ્ટસ્ક્રીપ્ટ eps ઉન્નત રંગ સોલિડ સેટ આઉટપુટ "result.ps" #set ટર્મિનલ png કદ 800, 600 #set output "result.png" સેટ ગ્રીડ xtics ytics સેટ લોગ xy સેટ xlabel "ફ્રીક્યુ, Hz" સેટ ylabel "Amp, dB" સેટ xrange #set yrange પ્લોટ "test.txt" 1:2 શીર્ષકનો ઉપયોગ કરીને "AFC" with lines linestyle 1 !}

કૃપા કરીને X સાથે પોઈન્ટની સંખ્યા પર સ્ક્રિપ્ટમાં મર્યાદા નોંધો: સેટ xrange . અમારી સેમ્પલિંગ ફ્રીક્વન્સી 44100 છે, અને જો આપણે કોટેલનિકોવના પ્રમેયને યાદ કરીએ, તો સિગ્નલ ફ્રીક્વન્સી સેમ્પલિંગ ફ્રીક્વન્સીના અડધા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં, તેથી અમને 22050 હર્ટ્ઝથી ઉપરના સિગ્નલમાં રસ નથી. આવું શા માટે છે, હું તમને વિશિષ્ટ સાહિત્યમાં વાંચવાની સલાહ આપું છું.
તેથી (ડ્રમ રોલ), અમે સ્ક્રિપ્ટ ચલાવીએ છીએ અને જુઓ:

અમારા સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ

100 હર્ટ્ઝની તીવ્ર ટોચની નોંધ લો. ભૂલશો નહીં કે અક્ષો લઘુગણક સ્કેલ પર છે! જમણી બાજુનું ઊન મને લાગે છે કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ભૂલો છે (વિન્ડોઝ અહીં ધ્યાનમાં આવે છે).

ચાલો રીઝવવું?

આવો! ચાલો અન્ય સંકેતોના સ્પેક્ટ્રાને જોઈએ!

આજુબાજુ અવાજ છે...

ડબલ ડી_રેન્ડમ (ડબલ મિનિટ, ડબલ મહત્તમ) ( વળતર મિનિટ + (મહત્તમ - મિનિટ) / RAND_MAX * રેન્ડ();)

તે આપેલ શ્રેણીમાં રેન્ડમ નંબર જનરેટ કરશે. પરિણામે, મુખ્ય આના જેવો દેખાશે:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; ફ્લોટ કંપનવિસ્તાર = 32000; srand((unsigned int)time(0)); // (i=0; i) માટે રેન્ડમ નંબર જનરેટરને પ્રારંભ કરો

ચાલો એક ફાઇલ જનરેટ કરીએ (હું તેને સાંભળવાની ભલામણ કરું છું). ચાલો તેને હિંમતથી જોઈએ.

ધૃષ્ટતામાં સંકેત

ચાલો ઓડેસિટી પ્રોગ્રામમાં સ્પેક્ટ્રમ જોઈએ.

સ્પેક્ટ્રમ

અને ચાલો અમારા પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને સ્પેક્ટ્રમ જોઈએ:

અમારા સ્પેક્ટ્રમ

હું તમારું ધ્યાન એક ખૂબ જ રસપ્રદ હકીકત અને અવાજની વિશેષતા તરફ દોરવા માંગુ છું - તેમાં તમામ હાર્મોનિક્સના સ્પેક્ટ્રા છે. ગ્રાફ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્પેક્ટ્રમ એકદમ સમાન છે. સામાન્ય રીતે, સફેદ અવાજનો ઉપયોગ બેન્ડવિડ્થના આવર્તન વિશ્લેષણ માટે થાય છે, જેમ કે ઑડિઓ સાધનો. અવાજના અન્ય પ્રકારો છે: ગુલાબી, વાદળી અને અન્ય. તેઓ કેવી રીતે અલગ પડે છે તે શોધવાનું હોમવર્ક છે.

કોમ્પોટ વિશે શું?

હવે ચાલો અન્ય રસપ્રદ સંકેત જોઈએ - એક મેન્ડર. મેં ઉપર ફ્યુરિયર શ્રેણીમાં વિવિધ સિગ્નલોના વિસ્તરણનું કોષ્ટક આપ્યું છે, તમે જુઓ કે મેન્ડર કેવી રીતે વિસ્તૃત થાય છે, તેને કાગળના ટુકડા પર લખો, અને અમે ચાલુ રાખીશું.

25 Hz ની આવર્તન સાથે ચોરસ તરંગ જનરેટ કરવા માટે, અમે ફરી એકવાર અમારા wav ફાઇલ જનરેટરને સંશોધિત કરીએ છીએ:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; ટૂંકી int meandr_value=32767; /* સાઈન વેવ સાથે બફર ભરો */ માટે (i=0; i

પરિણામે, અમને એક ઑડિઓ ફાઇલ મળે છે (ફરીથી, હું તમને સાંભળવાની સલાહ આપું છું), જે તમારે તરત જ ધૃષ્ટતામાં જોવી જોઈએ.

મહામહિમ - સ્વસ્થ વ્યક્તિનો મેન્ડર અથવા મેન્ડર

ચાલો નિરાશ ન થઈએ અને તેના સ્પેક્ટ્રમ પર એક નજર કરીએ:

મીન્ડર સ્પેક્ટ્રમ

તે શું છે તે હજી સ્પષ્ટ નથી... ચાલો પ્રથમ થોડા હાર્મોનિક્સ પર એક નજર કરીએ:

પ્રથમ હાર્મોનિક્સ

તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે! સારું, ચાલો નિશાની જોઈએ. જુઓ, આપણી પાસે ફક્ત 1, 3, 5, વગેરે છે, એટલે કે. વિચિત્ર હાર્મોનિક્સ. આપણે જોઈએ છીએ કે આપણું પ્રથમ હાર્મોનિક 25 હર્ટ્ઝ છે, પછીનું (ત્રીજું) 75 હર્ટ્ઝ છે, પછી 125 હર્ટ્ઝ, વગેરે, જ્યારે આપણું કંપનવિસ્તાર ધીમે ધીમે ઘટતું જાય છે. સિદ્ધાંત પ્રેક્ટિસને પૂર્ણ કરે છે!
હવે ધ્યાન આપો! વાસ્તવિક જીવનમાં, સ્ક્વેર વેવ સિગ્નલમાં ઉચ્ચ અને ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝના હાર્મોનિક્સનો અનંત સરવાળો હોય છે, પરંતુ એક નિયમ તરીકે, વાસ્તવિક વિદ્યુત સર્કિટ ચોક્કસ આવર્તન (ટ્રેક્સના ઇન્ડક્ટન્સ અને કેપેસિટેન્સને કારણે) કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ પસાર કરી શકતા નથી. પરિણામે, તમે ઘણીવાર ઓસિલોસ્કોપ સ્ક્રીન પર નીચેના સિગ્નલ જોઈ શકો છો:

ધુમ્રપાન કરનારની મેન્ડર

આ ચિત્ર વિકિપીડિયાના ચિત્ર જેવું જ છે, જ્યાં મીન્ડરના ઉદાહરણ માટે, બધી ફ્રીક્વન્સીઝ લેવામાં આવતી નથી, પરંતુ માત્ર પ્રથમ થોડા.

પ્રથમ હાર્મોનિક્સનો સરવાળો અને સિગ્નલ કેવી રીતે બદલાય છે

રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં પણ મેન્ડરનો સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે (એવું કહેવું આવશ્યક છે કે આ બધી ડિજિટલ તકનીકનો આધાર છે), અને તે સમજવું યોગ્ય છે કે લાંબી સાંકળો સાથે તેને ફિલ્ટર કરી શકાય છે જેથી માતા તેને ઓળખી ન શકે. તેનો ઉપયોગ વિવિધ ઉપકરણોની આવર્તન પ્રતિભાવ તપાસવા માટે પણ થાય છે. બીજી એક રસપ્રદ હકીકત એ છે કે ટીવી જામર્સ ઉચ્ચ હાર્મોનિક્સના સિદ્ધાંત પર ચોક્કસ રીતે કામ કરતા હતા, જ્યારે માઇક્રોસર્કિટ પોતે દસ મેગાહર્ટઝનું મેન્ડર જનરેટ કરે છે, અને તેના ઉચ્ચ હાર્મોનિક્સમાં સેંકડો મેગાહર્ટ્ઝની ફ્રીક્વન્સી હોય શકે છે, બરાબર ટીવીની ઓપરેટિંગ આવર્તન પર, અને ઉચ્ચ હાર્મોનિક્સે ટીવી બ્રોડકાસ્ટ સિગ્નલને સફળતાપૂર્વક જામ કરી દીધું.

સામાન્ય રીતે, આવા પ્રયોગોનો વિષય અનંત છે, અને હવે તમે તેને જાતે ચાલુ રાખી શકો છો.

પુસ્તક

જેઓ સમજી શકતા નથી કે અમે અહીં શું કરી રહ્યા છીએ, અથવા તેનાથી વિપરીત, જેઓ સમજે છે પરંતુ તેને વધુ સારી રીતે સમજવા માગે છે, તેમજ DSP નો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે, હું આ પુસ્તકની ખૂબ ભલામણ કરું છું. આ ડમીઝ માટે ડીએસપી છે, જે આ પોસ્ટના લેખક છે. ત્યાં, જટિલ ખ્યાલો બાળક માટે પણ સુલભ ભાષામાં સમજાવવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષ

નિષ્કર્ષમાં, હું કહેવા માંગુ છું કે ગણિત એ વિજ્ઞાનની રાણી છે, પરંતુ વાસ્તવિક ઉપયોગ વિના, ઘણા લોકો તેમાં રસ ગુમાવે છે. હું આશા રાખું છું કે આ પોસ્ટ તમને સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને સામાન્ય રીતે એનાલોગ સર્કિટરી જેવા અદ્ભુત વિષયનો અભ્યાસ કરવા પ્રોત્સાહિત કરશે (તમારા કાનને પ્લગ કરો જેથી તમારું મગજ બહાર ન આવે!). :)
સારા નસીબ!

ટૅગ્સ:

હાર્મોનિક ઓસિલેશન x = aકોસ(w t+ a) ભૌમિતિક રીતે મનસ્વી દિશામાં પ્રક્ષેપણ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે xકોણીય વેગ સાથે નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરતું વેક્ટર w. આ વેક્ટરની લંબાઈ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર જેટલી છે, અને તેની પ્રારંભિક દિશા ધરી સાથે રચાય છે. xઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કા સમાન કોણ - a. આ ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમાન આવર્તન અને દિશાના બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન ઉમેરવાની સમસ્યા હલ કરીશું.

x = x 1 + x 2 = a 1 Cos(w t+ a 1) + a 2 Cos(w t+ a 2).

ચાલો એક વેક્ટર બનાવીએ (અક્ષના ખૂણા પર a 1 x), પ્રથમ કંપન રજૂ કરે છે. ચાલો તેમાં વેક્ટર ઉમેરીએ જે ધરી સાથે કોણ a 2 બનાવે છે x(ફિગ. 12.8). ધરી પરના આ વેક્ટરના અંદાજોનો સરવાળો xસરવાળો અને .

x = x 1 + x 2 .

ચોખા. 12.8

ચાલો આ વેક્ટર ડાયાગ્રામને કોઓર્ડિનેટના મૂળમાંથી પસાર થતા અક્ષની આસપાસ કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણમાં લાવીએ - બિંદુ O. આ કિસ્સામાં, સમાનતા x = x 1 + x 2 સમય જતાં યથાવત રહેશે, જોકે અંદાજો પોતે જ x, x 1 અને x 2 હવે સમાન આવર્તન w સાથે અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ a, a 1 અને a 2 - અનુક્રમે હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર ધબકશે. બે સ્પંદનોના ઉમેરાના પરિણામે:

x 1 = a 1 Cos(w t+ a 1) અને x 2 = a 2 Cos(w t+ a 2) એક નવું ઓસિલેશન થાય છે x = x 1 + x 2 =

= aકોસ(w t+ a), જેની આવર્તન - w - ઉમેરવામાં આવેલ ઓસિલેશનની આવર્તન સાથે એકરુપ છે. તેનું કંપનવિસ્તાર વેક્ટરના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું છે, અને પ્રારંભિક તબક્કો a, ફિગમાંથી નીચે મુજબ છે. 12.8, બરાબર છે:

.

કંપનવિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે " એ» કુલ ઓસિલેશન, અમે કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પરિણામી ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર માત્ર ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી એ 1 અને એ 2, પણ તેમના પ્રારંભિક તબક્કામાં તફાવત પર પણ. મહત્તમ કંપનવિસ્તાર સાથે ઓસિલેશન, એ = aમહત્તમ = a 1 + aઇન-ફેઝ ઓસિલેશન ઉમેરતી વખતે 2 થાય છે, એટલે કે જ્યારે તેમના પ્રારંભિક તબક્કાઓ એકરૂપ થાય છે: a 1 = a 2.

જો તબક્કા તફાવત (a 2 – a 1) = p, તો કુલ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ન્યૂનતમ હશે a = aમિનિટ = | a 1 – a 2 |. જો એન્ટિફેસમાં બનતા આવા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન હોય તો ( a 1 = a 2), તો કુલ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર શૂન્ય જેટલું હશે.

માત્ર ઓસિલેશન જ નહીં, પણ તરંગો પણ ઉમેરતી વખતે અમે ભવિષ્યમાં વેક્ટર ડાયાગ્રામની આ પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ કરીશું.

વ્યાખ્યાન 13 "મિકેનિકલ વાઇબ્રેશન્સ"

વ્યાખ્યાન રૂપરેખા

1. હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા.

2. કુદરતી ભીના થયેલા ઓસિલેશન.

3. દબાણયુક્ત કંપનો. પડઘો. કંપનવિસ્તાર અને ફરજિયાત ઓસિલેશનનો તબક્કો.

એક જ શરીર એક સાથે બે કે તેથી વધુ હિલચાલમાં ભાગ લઈ શકે છે. એક સાદું ઉદાહરણ એ આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા બોલની ગતિ છે. આપણે ધારી શકીએ કે બોલ બે સ્વતંત્ર પરસ્પર લંબ હલનચલનમાં ભાગ લે છે: એકસમાન આડી અને એકસરખી ચલ ઊભી. સમાન શરીર (સામગ્રી બિંદુ) બે (અથવા વધુ) ઓસીલેટરી હિલચાલમાં ભાગ લઈ શકે છે.

હેઠળ ઓસિલેશનનો ઉમેરોપરિણામી કંપનના કાયદાની વ્યાખ્યા સમજો જો ઓસીલેટરી સિસ્ટમ એક સાથે અનેક ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓમાં ભાગ લે છે. ત્યાં બે મર્યાદિત કિસ્સાઓ છે: એક દિશામાં ઓસિલેશનનો ઉમેરો અને પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

2.1. એક દિશાના હાર્મોનિક સ્પંદનોનો ઉમેરો

1. સમાન દિશાના બે ઓસિલેશનનો ઉમેરો(સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશન)

બે સમીકરણો ઉમેરવાને બદલે વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિ (આકૃતિ 9) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

આકૃતિ 2.1 કંપનવિસ્તાર વેક્ટર બતાવે છે એ 1(t) અને એ 2 (t) સમય t ની મનસ્વી ક્ષણે ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન, જ્યારે આ ઓસિલેશનના તબક્કાઓ અનુક્રમે સમાન હોય છે અને . ઓસિલેશનનો ઉમેરો વ્યાખ્યામાં નીચે આવે છે . ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે વેક્ટર ડાયાગ્રામમાં ઉમેરવામાં આવતા વેક્ટરના અંદાજોનો સરવાળો આ વેક્ટરના વેક્ટર સરવાળાના પ્રક્ષેપણ જેટલો છે.

પરિણામી ઓસિલેશન વેક્ટર ડાયાગ્રામમાં કંપનવિસ્તાર વેક્ટર અને તબક્કાને અનુરૂપ છે.

આકૃતિ 2.1 - સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

વેક્ટર મેગ્નિટ્યુડ એ(t) કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

પરિણામી ઓસિલેશનનો તબક્કો સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

.

જો ઉમેરવામાં આવેલ ઓસિલેશન ω 1 અને ω 2 ની ફ્રીક્વન્સી સમાન ન હોય, તો બંને તબક્કા φ(t) અને કંપનવિસ્તાર એ(t) પરિણામી વધઘટ સમય સાથે બદલાશે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે અસંગતઆ કિસ્સામાં.

2. બે હાર્મોનિક સ્પંદનો x 1 અને x 2 કહેવાય છે સુસંગત, જો તેમનો તબક્કો તફાવત સમય પર આધારિત નથી:

પરંતુ ત્યારથી, આ બે ઓસિલેશનની સુસંગતતાની સ્થિતિને પરિપૂર્ણ કરવા માટે, તેમની ચક્રીય આવર્તન સમાન હોવી જોઈએ.

સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ (સુસંગત ઓસિલેશન્સ) સાથે સહદિશાત્મક ઓસિલેશન ઉમેરીને પ્રાપ્ત પરિણામી ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર આના બરાબર છે:

પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો શોધવાનું સરળ છે જો તમે વેક્ટર્સને પ્રોજેક્ટ કરો છો એ 1 અને એ OX અને OU સંકલન અક્ષો પર 2 (આકૃતિ 9 જુઓ):

.

તેથી, સમાન આવર્તન સાથે બે હાર્મોનિક સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશન ઉમેરીને પ્રાપ્ત થયેલ પરિણામી ઓસિલેશન પણ હાર્મોનિક ઓસિલેશન છે.

3. ચાલો ઉમેરાયેલા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કામાં તફાવત પર પરિણામી ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારની અવલંબનનો અભ્યાસ કરીએ.

જો , જ્યાં n એ કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક પૂર્ણાંક છે

(n = 0, 1, 2…), પછી ન્યૂનતમ. ઉમેરાની ક્ષણે ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ અંદર હતા એન્ટિફેઝ. જ્યારે પરિણામી કંપનવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.

જો , તે , એટલે કે પરિણામી કંપનવિસ્તાર હશે મહત્તમ. ઉમેરાની ક્ષણે, ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ હતા એક તબક્કામાં, એટલે કે તબક્કામાં હતા. જો ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન હોય , તે .

4. અસમાન પરંતુ સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની આવર્તન સમાન નથી, પરંતુ આવર્તન તફાવત છે ω 1 અને ω 2 બંને કરતાં ઘણું ઓછું. ઉમેરાયેલ ફ્રીક્વન્સીઝની નિકટતા માટેની શરત સંબંધો દ્વારા લખવામાં આવે છે.

સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સહ-નિર્દેશિત ઓસિલેશનના ઉમેરાનું ઉદાહરણ એ આડી સ્પ્રિંગ લોલકની હિલચાલ છે, જેની વસંતની જડતા k 1 અને k 2 થી થોડી અલગ છે.

ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન રહેવા દો , અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ શૂન્ય સમાન છે. પછી ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના સમીકરણો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

, .

પરિણામી ઓસિલેશન સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

પરિણામી ઓસિલેશન સમીકરણ બે હાર્મોનિક કાર્યોના ઉત્પાદન પર આધારિત છે: એક આવર્તન સાથે , અન્ય - આવર્તન સાથે , જ્યાં ω ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની ફ્રીક્વન્સીઝની નજીક છે (ω 1 અથવા ω 2). પરિણામી ઓસિલેશન તરીકે ગણી શકાય કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન એક હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાય છે.આ ઓસીલેટરી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ધબકારા. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય કિસ્સામાં પરિણામી ઓસિલેશન એ હાર્મોનિક ઓસિલેશન નથી.

કોસાઇનનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે કારણ કે કંપનવિસ્તાર એક હકારાત્મક જથ્થો છે. અવલંબનનો સ્વભાવ x res. ધબકારા દરમિયાન આકૃતિ 2.2 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 2.2 - ધબકારા દરમિયાન સમયસર વિસ્થાપનની અવલંબન.

ધબકારાનું કંપનવિસ્તાર આવર્તન સાથે ધીમે ધીમે બદલાય છે. કોસાઇનનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય પુનરાવર્તિત થાય છે જો તેની દલીલ π દ્વારા બદલાય છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામી કંપનવિસ્તારનું મૂલ્ય સમય અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થશે τ b, કહેવાય છે બીટ સમયગાળો(જુઓ આકૃતિ 12). બીટ પીરિયડનું મૂલ્ય નીચેના સંબંધ પરથી નક્કી કરી શકાય છે:

મૂલ્ય એ ધબકારાનો સમયગાળો છે.

તીવ્રતા પરિણામી ઓસિલેશનનો સમયગાળો છે (આકૃતિ 2.4).

2.2. પરસ્પર લંબરૂપ સ્પંદનોનો ઉમેરો

1. એક મોડેલ કે જેના પર પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશનનો ઉમેરો દર્શાવી શકાય છે તે આકૃતિ 2.3 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. એક લોલક (દળ m નો પદાર્થ બિંદુ) પરસ્પર કાટખૂણે નિર્દેશિત બે સ્થિતિસ્થાપક દળોની ક્રિયા હેઠળ OX અને OU અક્ષો સાથે ઓસીલેટ કરી શકે છે.

આકૃતિ 2.3

ફોલ્ડ ઓસિલેશનનું સ્વરૂપ છે:

ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સીને , , જ્યાં , વસંતની જડતા ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

2. બે ઉમેરવાનો કેસ ધ્યાનમાં લો સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશન , જે સ્થિતિને અનુરૂપ છે (સમાન ઝરણા). પછી ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના સમીકરણો ફોર્મ લેશે:

જ્યારે કોઈ બિંદુ એકસાથે બે હલનચલનમાં સામેલ હોય, ત્યારે તેનો માર્ગ અલગ અને તદ્દન જટિલ હોઈ શકે છે. સમાન ફ્રીક્વન્સી સાથે બે પરસ્પર લંબરૂપ ઉમેરતી વખતે OXY પ્લેન પર પરિણામી ઓસિલેશનના માર્ગ માટેનું સમીકરણ x અને y માટેના મૂળ સમીકરણોમાંથી સમય ટીને બાદ કરીને નક્કી કરી શકાય છે:

બોલનો પ્રકાર ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કામાં તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખે છે (જુઓ § 1.1.2). ચાલો શક્ય વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ.

a) જો , જ્યાં n = 0, 1, 2…, એટલે કે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન તબક્કામાં છે, પછી બોલ સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

(આકૃતિ 2.3 a).

b) જો (n = 0, 1, 2...), એટલે કે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ એન્ટિફેઝમાં હોય છે, પછી ટ્રેજેક્ટરી સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

(આકૃતિ 2.3b).

બંને કિસ્સાઓમાં (a, b), બિંદુની પરિણામી હિલચાલ એ બિંદુ O માંથી પસાર થતી સીધી રેખા સાથે એક ઓસિલેશન હશે. પરિણામી ઓસિલેશનની આવર્તન ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનની આવર્તન ω 0 જેટલી છે, કંપનવિસ્તાર નક્કી કરવામાં આવે છે. સંબંધ દ્વારા.