સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને લંબરૂપ સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે. બિન-સમાંતર રેખાઓનું આંતરછેદ બિંદુ

સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ: અને

આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો

પ્લેન પર સીધી રેખાઓ, ફોર્મમાં આપેલ છે:
અને
લંબ હોય છે ત્યારે જ
(એટ
). આ રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો તેમના ઢોળાવ સમાન હોય, એટલે કે.

તેમના પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ:
અને
પરસ્પર લંબ જો અને માત્ર જો
જો નીચેની શરત પૂરી થાય તો આ રેખાઓ સમાંતર છે:

2.7. બિન-સમાંતર રેખાઓનું આંતરછેદ બિંદુ

જો પ્લેનમાં બે લીટીઓ આપવામાં આવે છે:
અને
, પછી વિધાન 2 કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર
આ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુઓની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

લેક્ચર 10. અવકાશમાં રેખા

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ

દિશા વેક્ટર સીધી

રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ

રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો

આપેલ 2 બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ

અને એ જ વિમાનમાં સૂવું

અવકાશમાં સીધી રેખા અને વિમાન

એલ- પ્લેનમાં આવેલું છે

3.
જો

લેક્ચર 11. બીજા ક્રમના વણાંકો

સેકન્ડ-ઓર્ડર વળાંક એ સમીકરણ દ્વારા ઉલ્લેખિત બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન છે: . આ વળાંકના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, વર્ગોમાંના એક સાથે જોડાયેલા વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરીને, સમીકરણને પ્રમાણભૂત મુદ્દાઓમાંથી એકમાં ઘટાડી શકાય છે.

બીજા ક્રમના વળાંકોનું વર્ગીકરણ

બિન-અધોગતિ ડીજનરેટ

હાયપરબોલા

પેરાબોલા

ડોટ (0;0)

છેદતી રેખાઓની જોડી

સંયોગ રેખાઓની જોડી

સમાંતર રેખાઓની જોડી

પ્રામાણિક સમીકરણ

પ્રામાણિક સમીકરણ
અથવા

પ્રામાણિક સમીકરણ

વળાંકના અધોગતિની નિશાની: સમીકરણને બે પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ બીજો ક્રમ વળાંક
, લંબગોળ કહેવાય છે. a, b - લંબગોળની અર્ધ-અક્ષો. જો
, તે a- અર્ધ-મુખ્ય ધરી, b- નાની અક્ષ.

પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળનું નિર્માણ
. અંડાકારના સમીકરણનું સ્વરૂપ રહેવા દો
. ચાલો સીધી રેખાઓx= બનાવીએ 6 અને y= 3 . aસંકલન અક્ષો સાથે આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ એલિપ્સના છે. ચાલો તેમને એક સરળ વળાંક સાથે જોડીએ અને ઇચ્છિત ગ્રાફ મેળવીએ. સામાન્ય રીતે અંડાકારને બિંદુઓના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી અંડાકારના કેન્દ્ર સુધીના અંતરનો સરવાળો એક સ્થિર મૂલ્ય છે અને 2 જેટલો છે.
. અંડાકાર સમીકરણમાંથી ફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે
જો સમીકરણમાં
. જો
(લંબગોળ ઊભી લક્ષી છે).

એલિપ્સની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી એ છે કે જો પ્રકાશનો એક બિંદુ સ્ત્રોત એલિપ્સના એક ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, તો તેની છબી બીજા ફોકસ પર દેખાશે.

અંડાકારની વિલક્ષણતા એ તેના વિસ્તરણની ડિગ્રી છે - અંડાકારના કેન્દ્રથી તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ સુધીના અંતરનો ગુણોત્તર, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે. . માં લંબગોળ માટે સામાન્ય કેસ>1, જો  હોય, તો લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે. સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ માટે
તરંગીતા
, અને ફોસી પોઈન્ટ પર છે
.

પરિઘ - ખાસ કેસ ellipse, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે
, ક્યાં આર- વર્તુળની ત્રિજ્યા. વર્તુળમાં  0 છે, અને તેનું કેન્દ્ર કેન્દ્ર (મૂળ) સાથે એકરુપ છે.

હાયપરબોલા

હાયપરબોલા - પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંક
અથવા
.a, b હાયપરબોલાના સેમીઅક્ષ છે. અર્ધ-અક્ષ કે જેની નજીક સમીકરણમાં "+" ચિહ્ન છે તેને વાસ્તવિક કહેવામાં આવે છે. પ્રત્યક્ષ
- હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ (આલેખ તેમની તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ ક્યારેય તેમના સુધી પહોંચતું નથી).

હાઇપરબોલાનું બાંધકામ

હાઇપરબોલાનું નિર્માણ, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છેઆપણે લંબાઈના સેગમેન્ટના ઓક્સ અક્ષ સાથેના જુબાનીથી શરૂઆત કરીએ છીએ a એકમો, અને ઓય અક્ષ સાથે - લંબાઈ b એકમો સીધી રેખાઓ બનાવવી
અને
. હાઇપરબોલા પરિણામી લંબચોરસને બે બિંદુઓ પર સ્પર્શ કરશે
. ચાલો સીધી રેખાઓ દોરીએ
- હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ. વળાંકના આકારને વધુ સચોટ રીતે નક્કી કરવા માટે ચાલો થોડા વધુ બિંદુઓ લઈએ (વધુ પોઈન્ટ, વધુ સારું). વળાંકનો પ્રકાર (ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અતિપરવલય લેવામાં આવે છે
) આકૃતિમાં બતાવેલ છે. જો સમીકરણ હાઇપરબોલાસ ધરાવે છે
x અને y ના ચિહ્નો બદલો, પછી આપણને તેનો સંયોજક હાઇપરબોલા મળે છે
, જે સમાન લક્ષણો ધરાવે છે.

લંબગોળની જેમ જ, હાઇપરબોલાને બિંદુઓના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે જેના ફોસીથી અંતરનો તફાવત સતત હોય છે. હાયપરબોલાના ફોસીમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે
, ક્યાં
(મૂલ્યો a, b હાઇપરબોલા સમીકરણમાંથી લેવામાં આવે છે). આપેલ એક સાથે હાઇપરબોલા કન્જુગેટના બિંદુઓ પર ફોસી હશે
.

હાયપરબોલાની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી એ છે કે જો કોઈ પ્રકાશ સ્ત્રોત હાયપરબોલાના એક ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, તો તે અનંતના બિંદુ પરથી તે બીજા ફોકસ પર હોય તેમ દૃશ્યમાન થશે.

હાયપરબોલાની વિલક્ષણતા તેના વિસ્તરણની ડિગ્રી છે. સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અતિપરવલય (સામાન્ય રીતે >1) માટે
તરંગીતા
, અને ફોસી પોઈન્ટ પર છે
.

પેરાબોલા

પેરાબોલા એ ફોર્મના પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિતીય ક્રમનો વળાંક છે
અથવા
, ક્યાં પી- પેરાબોલાના પરિમાણ. સમીકરણના પ્રકાર અને પરિમાણના મૂલ્યના આધારે, પેરાબોલાની શાખાઓ નિર્દેશિત કરી શકાય છે:

પેરાબોલાને એક બિંદુથી સમાન અંતરના બિંદુઓના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે
- ફોકસ - અને ડાયરેક્ટ
- મુખ્ય શિક્ષિકાઓ.

પેરાબોલાના ઓપ્ટિકલ ગુણધર્મ એ છે કે જો પ્રકાશના બિંદુ સ્ત્રોતને પેરાબોલાના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે, તો તેમાંથી કિરણોનો સમાંતર કિરણ નીકળશે.

બીજા ક્રમના વળાંકોના સમીકરણોને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીને.

વળાંકનું સામાન્ય સમીકરણ છે, અને અમે સ્વીકારીએ છીએ (ગણતરી સરળ બનાવવા માટે) B = 0. સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે સામાન્ય દૃશ્યપ્રમાણભૂત માટે:

સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ

આ સમીકરણ માટે, ફોર્મમાં રિપ્લેસમેન્ટ દાખલ કરવું અનુકૂળ છે:

, ક્યાં x’ અને y’ - નવા ચલો.

જો A અને C 0 સમાન ન હોય તો
- નવું કેન્દ્રબીજા ક્રમના વળાંક, અને x’ અને y’ - નવા એક્સેલ્સ.

1. સમીકરણ દ્વારા બીજા ક્રમનો વળાંક આપવામાં આવે છે
. તે શું અનુલક્ષે છે તે શોધો.

આ સમીકરણ વિસ્થાપિત કેન્દ્ર સાથેના વર્તુળને અનુરૂપ છે, જેમાં પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે, જ્યાં ( x 0 ;y 0) વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, અને R તેની ત્રિજ્યા છે. ચાલો પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ સંપૂર્ણ ચોરસસમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ શોધવા માટે.

તેથી, આ સમીકરણ ત્રિજ્યા 2 એકમોના વર્તુળને અનુરૂપ છે. બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે (2;0).

સુધી સમીકરણ ઘટાડવું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપઅને વળાંકને પ્લોટ કરો:

ચાલો વેરીએબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે છે:

પરિણામ એ બિંદુ (1;-2) પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે. અમે તેને ઉપર વર્ણવેલ અલ્ગોરિધમનો અનુસાર બનાવીએ છીએ.

અમે સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની અને ચલને બદલવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

પરિણામ એ બિંદુ (-2;2) પર કેન્દ્ર સાથે પેરાબોલાનું સમીકરણ છે.

અત્યાર સુધી અમે કરતા આવ્યા છીએ ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સઅને પ્રકાશ કિરણોના પ્રસારનો અભ્યાસ કર્યો. તે જ સમયે, અમે કિરણના ખ્યાલને સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ માન્યું અને તેને કોઈ વ્યાખ્યા આપી નથી. ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સના મૂળભૂત નિયમો અમારા દ્વારા પોસ્ટ્યુલેટ્સ તરીકે ઘડવામાં આવ્યા હતા.
હવે આપણે ધંધામાં ઉતરીશું તરંગ ઓપ્ટિક્સ, જેમાં પ્રકાશને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો તરીકે ગણવામાં આવે છે. વેવ ઓપ્ટિક્સના માળખામાં, કિરણની વિભાવનાને પહેલેથી જ સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. મૂળભૂત ધારણા તરંગ સિદ્ધાંતહ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત છે; ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સના નિયમો તેના પરિણામો તરીકે બહાર આવે છે.

તરંગ સપાટી અને કિરણો.

એક નાના લાઇટ બલ્બની કલ્પના કરો જે વારંવાર, સામયિક સામાચારો ઉત્પન્ન કરે છે. દરેક ફ્લેશ એક અલગ જનરેટ કરે છે પ્રકાશ તરંગવિસ્તરતા ગોળાના સ્વરૂપમાં (લાઇટ બલ્બ પર કેન્દ્રિત). ચાલો આપણે સમયને રોકીએ અને અવકાશમાં અગાઉની વિવિધ ક્ષણો પર ચમકારા દ્વારા રચાયેલા પ્રકાશના અટકેલા ગોળા જોઈએ.

આ ગોળાઓ કહેવાતા તરંગ સપાટી છે. નોંધ લો કે લાઇટ બલ્બમાંથી આવતા કિરણો તરંગની સપાટી પર લંબરૂપ છે.

તરંગ સપાટીની કડક વ્યાખ્યા આપવા માટે, ચાલો પહેલા યાદ કરીએ કે ઓસિલેશન તબક્કો શું છે. જથ્થાને કાયદા અનુસાર હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરવા દો:

તેથી, તબક્કોતે જથ્થો છે જે કોસાઇનની દલીલ છે. તબક્કો, જેમ આપણે જોઈએ છીએ, સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. પરનો તબક્કો મૂલ્ય સમાન છે અને તેને કહેવામાં આવે છે
પ્રારંભિક તબક્કો.

ચાલો આપણે એ પણ યાદ રાખીએ કે તરંગો અવકાશમાં સ્પંદનોના પ્રસારને દર્શાવે છે, યાંત્રિક તરંગોના કિસ્સામાં, આ કણોના સ્પંદનો હશે સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના કિસ્સામાં - ટેન્શન વેક્ટરના ઓસિલેશન ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રઅને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન.

કોઈપણ તરંગોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, આપણે કહી શકીએ કે તરંગ પ્રક્રિયા દ્વારા કબજે કરાયેલ અવકાશમાં દરેક બિંદુએ, અમુક તીવ્રતાના ઓસિલેશન થાય છે; આવી માત્રા એ યાંત્રિક તરંગના કિસ્સામાં ઓસીલેટીંગ કણના કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ અથવા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું વર્ણન કરતા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ છે.

અવકાશમાં બે અલગ-અલગ બિંદુઓ પરના ઓસિલેશનના તબક્કાઓ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, હોય છે અલગ અર્થ. રસ એ બિંદુઓના સેટ છે કે જેના પર તબક્કો સમાન છે. તે તારણ આપે છે કે બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પર ઓસિલેશનનો તબક્કો આવે છે આ ક્ષણેસમય એક નિશ્ચિત મૂલ્ય ધરાવે છે અને અવકાશમાં દ્વિ-પરિમાણીય સપાટી બનાવે છે.

વ્યાખ્યા. તરંગ સપાટી - આ અવકાશના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે કે જેના પર સમયની આપેલ ક્ષણે ઓસિલેશનનો તબક્કો સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે.

ટૂંકમાં, તરંગ સપાટીસ્થિર તબક્કાની સપાટી છે. દરેક તબક્કાના મૂલ્યની તેની પોતાની તરંગ સપાટી હોય છે. વિવિધ તબક્કાના મૂલ્યોનો સમૂહ તરંગ સપાટીઓના પરિવારને અનુરૂપ છે.

સમય જતાં, દરેક બિંદુ પરનો તબક્કો બદલાય છે, અને નિશ્ચિત તબક્કાના મૂલ્યને અનુરૂપ તરંગની સપાટી અવકાશમાં ફરે છે. તેથી, તરંગોના પ્રસારને તરંગ સપાટીઓની હિલચાલ તરીકે ગણી શકાય! આમ, ભૌતિક તરંગ પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે અમારી પાસે અનુકૂળ ભૌમિતિક છબીઓ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ બિંદુ પ્રકાશ સ્ત્રોત પારદર્શક હોય સજાતીય વાતાવરણ, પછી તરંગ સપાટીઓ સાથે કેન્દ્રિત ગોળા છે સામાન્ય કેન્દ્રસ્ત્રોતમાં. પ્રકાશનો ફેલાવો આ ગોળાઓના વિસ્તરણ તરીકે દેખાય છે. લાઇટ બલ્બ સાથેની પરિસ્થિતિમાં આપણે આ ઉપર પહેલાથી જ જોયું છે.

આપેલ સમયે અવકાશમાં દરેક બિંદુમાંથી માત્ર એક તરંગ સપાટી પસાર થઈ શકે છે. વાસ્તવમાં, જો આપણે ધારીએ કે બે તરંગ સપાટી એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, અનુરૂપ વિવિધ અર્થોતબક્કાઓ અને , પછી આપણે તરત જ એક વિરોધાભાસ મેળવીએ છીએ: એક બિંદુ પર ઓસિલેશનનો તબક્કો વારાફરતી આ બે જુદી જુદી સંખ્યાઓની સમાન હશે.

એક જ તરંગની સપાટી એક બિંદુ પરથી પસાર થતી હોવાથી, આપેલ બિંદુ પર તરંગની સપાટી પર લંબરૂપની દિશા પણ અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. બીમ - આ અવકાશમાં એક રેખા છે, જે દરેક બિંદુએ આ બિંદુમાંથી પસાર થતી તરંગની સપાટીને લંબરૂપ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કિરણ એ તરંગ સપાટીના પરિવાર માટે સામાન્ય લંબ છે. બીમની દિશા એ તરંગના પ્રસારની દિશા છે. કિરણો સાથે, તરંગ ઊર્જા અવકાશના એક બિંદુથી બીજા સ્થાને સ્થાનાંતરિત થાય છે.

જેમ જેમ તરંગ પ્રસારિત થાય છે તેમ, સીમા ખસે છે, તરંગ પ્રક્રિયા દ્વારા કબજે કરેલ જગ્યાના પ્રદેશને અને તે પ્રદેશને અલગ કરે છે જે હજુ સુધી વિક્ષેપિત નથી. આ સીમાને વેવ ફ્રન્ટ કહેવામાં આવે છે. આમ, મોજું આગળ અવકાશમાં પહોંચેલા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાસમયની આપેલ ક્ષણે. વેવ ફ્રન્ટ એ તરંગ સપાટીનો વિશિષ્ટ કેસ છે; આ, તેથી વાત કરવા માટે, "ખૂબ જ પ્રથમ" તરંગ સપાટી છે.

સૌથી વધુ સરળ પ્રકારો ભૌમિતિક સપાટીઓગોળા અને વિમાનનો સમાવેશ થાય છે. તદનુસાર, અમારી પાસે આ આકારની તરંગ સપાટીઓ સાથે તરંગ પ્રક્રિયાઓના બે મહત્વપૂર્ણ કેસ છે - આ ગોળાકાર અને પ્લેન તરંગો છે.

ગોળાકાર તરંગ.

તરંગ કહેવાય છે ગોળાકાર, જો તેની તરંગ સપાટીઓ ગોળા હોય (ફિગ. 1).

તરંગની સપાટીઓ વાદળી ટપકાંવાળી રેખા સાથે બતાવવામાં આવે છે, અને લીલા રેડિયલ તીરો તરંગની સપાટી પર લંબરૂપ કિરણો છે.

પારદર્શક સજાતીય માધ્યમનો વિચાર કરો, ભૌતિક ગુણધર્મોજે બધી દિશાઓમાં સમાન છે. આવા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવેલ પ્રકાશનો એક બિંદુ સ્ત્રોત ગોળાકાર તરંગો બહાર કાઢે છે. આ સમજી શકાય તેવું છે -
છેવટે, પ્રકાશ દરેક દિશામાં સમાન ગતિએ જશે, તેથી કોઈપણ તરંગ સપાટી એક ગોળા હશે.

વેલ પ્રકાશ કિરણો, જેમ આપણે નોંધ્યું છે, આ કિસ્સામાં સામાન્ય રેક્ટિલિનિયર હોવાનું બહાર આવ્યું છે ભૌમિતિક કિરણોસ્ત્રોતથી શરૂ થાય છે. કાયદો યાદ રાખો રેક્ટિલિનિયર પ્રચારસ્વેતા: પારદર્શક સજાતીય માધ્યમમાં, પ્રકાશ કિરણો સીધી રેખાઓ હોય છે? ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સમાં અમે તેને પોસ્ટ્યુલેટ તરીકે ઘડ્યું છે. હવે આપણે જોઈએ છીએ (બિંદુ સ્ત્રોતના કિસ્સામાં) આ કાયદો કેવી રીતે ની વિભાવનાઓમાંથી અનુસરે છે તરંગ પ્રકૃતિસ્વેતા.

વિષયમાં " ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો"અમે રેડિયેશન ફ્લક્સ ડેન્સિટીનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો:

અહીં તે ઊર્જા છે જે કિરણોને લંબરૂપ સ્થિત સપાટી વિસ્તાર દ્વારા સમયાંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે. આમ, રેડિયેશન ફ્લક્સ ડેન્સિટી એ એકમ સમય દીઠ એકમ વિસ્તાર દ્વારા કિરણો સાથે તરંગ દ્વારા ટ્રાન્સફર થતી ઊર્જા છે.

અમારા કિસ્સામાં, ઊર્જા ગોળાની સપાટી પર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે, જેની ત્રિજ્યા તરંગના પ્રસાર સાથે વધે છે. ગોળાની સપાટીનો વિસ્તાર બરાબર છે: , તેથી રેડિયેશન ફ્લક્સ ઘનતા માટે આપણે મેળવીએ છીએ:

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, ગોળાકાર તરંગમાં કિરણોત્સર્ગ પ્રવાહની ઘનતા સ્ત્રોત સુધીના અંતરના વર્ગના વિપરિત પ્રમાણસર હોય છે.

કારણ કે ઊર્જા કંપન કંપનવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણસર છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ગોળાકાર તરંગમાં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સ્ત્રોતના અંતરના વિપરિત પ્રમાણસર છે.

પ્લેન તરંગ.

તરંગ કહેવાય છે ફ્લેટ, જો તેની તરંગ સપાટીઓ પ્લેન હોય (ફિગ. 2).

વાદળી ડોટેડ લાઇનમાં બતાવેલ છે સમાંતર વિમાનો, જે તરંગ સપાટી છે. કિરણો - લીલા તીર - ફરીથી સીધી રેખાઓ બની જાય છે.

પ્લેન વેવ એ તરંગ સિદ્ધાંતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ આદર્શીકરણોમાંનું એક છે; ગાણિતિક રીતે તે સૌથી સરળ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે. આ આદર્શીકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપણે પૂરતા પ્રમાણમાં હોઈએ છીએ લાંબા અંતરસ્ત્રોતમાંથી. પછી, અવલોકન બિંદુની નજીકમાં, આપણે ગોળાકાર તરંગ સપાટીની વક્રતાને અવગણી શકીએ છીએ અને તરંગને લગભગ સપાટ ગણી શકીએ છીએ.

ભવિષ્યમાં, હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતમાંથી પ્રતિબિંબ અને રીફ્રેક્શનના નિયમો મેળવીને, અમે પ્લેન તરંગોનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંત સાથે વ્યવહાર કરીએ.

હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત.

અમે ઉપર કહ્યું છે કે તરંગોની સપાટીની હિલચાલ તરીકે તરંગોના પ્રસારની કલ્પના કરવી અનુકૂળ છે. પરંતુ તરંગની સપાટીઓ કયા નિયમો અનુસાર ખસે છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપેલ ક્ષણે તરંગની સપાટીની સ્થિતિ જાણીને, આગલી ક્ષણે તેની સ્થિતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

આ પ્રશ્નનો જવાબ હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે - તરંગ સિદ્ધાંતનું મુખ્ય અનુમાન. હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત સમાન રીતેયાંત્રિક અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો બંને માટે માન્ય.

હ્યુજેન્સના વિચારને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો પાણીમાં મુઠ્ઠીભર પથ્થરો ફેંકીએ. દરેક પથ્થર જ્યાં પથ્થર પડે છે ત્યાં તેના કેન્દ્ર સાથે ગોળાકાર તરંગ ઉત્પન્ન કરશે. આ ગોળાકાર તરંગો, એકબીજાને ઓવરલેપ કરીને, પાણીની સપાટી પર એકંદર તરંગની પેટર્ન બનાવશે. મહત્વની વાત એ છે કે તમામ ગોળાકાર તરંગો અને તેના દ્વારા પેદા થતી વેવ પેટર્ન પત્થરો તળિયે ડૂબી ગયા પછી પણ અસ્તિત્વમાં રહેશે. તેથી, તાત્કાલિક કારણપ્રારંભિક ગોળાકાર તરંગો પોતે પત્થરો દ્વારા પીરસવામાં આવતા નથી, પરંતુ સ્થાનિક વિક્ષેપતે સ્થળોએ જ્યાં પત્થરો પડ્યા હતા ત્યાં પાણીની સપાટી. ગોળાકાર તરંગો અને ઉભરતી તરંગની પેટર્નના વિચલિત થવાના સ્ત્રોત સ્થાનિક વિક્ષેપો છે, અને આમાંના દરેક વિક્ષેપનું કારણ શું છે તે હવે એટલું મહત્વનું નથી - પછી ભલે તે પથ્થર, ફ્લોટ અથવા કોઈ અન્ય પદાર્થ હોય. અનુગામી તરંગ પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરવા માટે, તે માત્ર એટલું જ મહત્વપૂર્ણ છે કે ગોળાકાર તરંગો પાણીની સપાટી પર અમુક બિંદુઓ પર ઉદ્ભવ્યા.

હ્યુજેન્સનો મુખ્ય વિચાર એ હતો કે સ્થાનિક વિક્ષેપ માત્ર વિદેશી વસ્તુઓ જેમ કે પથ્થર અથવા ફ્લોટ દ્વારા જ નહીં, પણ અવકાશમાં પ્રસરી રહેલા તરંગો દ્વારા પણ પેદા થઈ શકે છે!

હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત. અવકાશમાં દરેક બિંદુ સામેલ છે તરંગ પ્રક્રિયા, પોતે ગોળાકાર તરંગોનો સ્ત્રોત બની જાય છે.

આ ગોળાકાર તરંગો તરંગ વિક્ષેપના દરેક બિંદુથી બધી દિશામાં પ્રસરે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગૌણ તરંગો.તરંગ પ્રક્રિયાના અનુગામી ઉત્ક્રાંતિમાં તમામ બિંદુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ગૌણ તરંગોના સુપરપોઝિશનનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં સુધી તરંગ પ્રક્રિયા પહેલેથી જ પહોંચવામાં સફળ રહી છે.

હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત ત્વરિત સમયે તેની જાણીતી સ્થિતિના આધારે ત્વરિત સમયે તરંગની સપાટી બનાવવાની રેસીપી આપે છે (ફિગ. 3).

જેમ કે, અમે મૂળ તરંગ સપાટીના દરેક બિંદુને ગૌણ તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે ગણીએ છીએ. સમય દરમિયાન, ગૌણ તરંગો અંતરની મુસાફરી કરશે, તરંગની ગતિ ક્યાં છે. જૂની તરંગ સપાટીના દરેક બિંદુ પરથી આપણે ત્રિજ્યાના ગોળા બનાવીએ છીએ; નવી તરંગ સપાટી આ તમામ ગોળાઓ માટે સ્પર્શક હશે. તેઓ એમ પણ કહે છે કે કોઈપણ સમયે તરંગ સપાટી સેવા આપે છે પરબિડીયુંગૌણ તરંગોના પરિવારો.

પરંતુ, અલબત્ત, તરંગની સપાટી બાંધવા માટે, અમે પોઈન્ટ દ્વારા ઉત્સર્જિત ગૌણ તરંગો લેવા માટે બંધાયેલા નથી કે જે અગાઉના તરંગ સપાટીઓમાંથી એક પર હોય તે જરૂરી તરંગ સપાટી બિંદુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ગૌણ તરંગોના પરિવારનું પરબિડીયું હશે ઓસીલેટરી પ્રક્રિયામાં સામેલ કોઈપણ સપાટીની.

હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતના આધારે, આપણે પ્રકાશના પ્રતિબિંબ અને રીફ્રેક્શનના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ, જેને આપણે અગાઉ માત્ર પ્રાયોગિક તથ્યોના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણ્યા હતા.

પ્રતિબિંબના કાયદાની વ્યુત્પત્તિ.

ચાલો ધારીએ કે બે મીડિયા વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર પડે છે વિમાન તરંગ(ફિગ. 4). અમે આ સપાટીના બે બિંદુઓને ઠીક કરીએ છીએ.

બે ઘટના કિરણો અને આ બિંદુઓ પર પહોંચે છે; આ કિરણોને લંબરૂપ સમતલ એ ઘટના તરંગની તરંગ સપાટી છે.

પ્રતિબિંબિત સપાટીથી સામાન્ય બિંદુ પર દોરવામાં આવે છે. કોણ છે, જેમ તમને યાદ છે, ઘટનાનો કોણ.

કિરણો પ્રતિબિંબિત થાય છે અને બિંદુ I માંથી બહાર આવે છે. આ કિરણોને લંબરૂપ સમતલ પ્રતિબિંબિત તરંગની તરંગ સપાટી છે. ચાલો હમણાં માટે પ્રતિબિંબનો કોણ સૂચવીએ; અમે તે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ.

સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ ગૌણ તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે સેવા આપે છે. સૌ પ્રથમ, તરંગ સપાટી બિંદુ સુધી પહોંચે છે. પછી, જેમ જેમ ઘટના તરંગ ફરે છે, અન્ય બિંદુઓ ઓસીલેટરી પ્રક્રિયામાં સામેલ થાય છે આ સેગમેન્ટના, અને છેલ્લો પરંતુ ઓછામાં ઓછો નહીં - સમયગાળો.

તદનુસાર, ગૌણ તરંગોનું ઉત્સર્જન પ્રથમ બિંદુથી શરૂ થાય છે; ફિગમાં કેન્દ્ર સાથે ગોળાકાર તરંગ. 4સૌથી મોટી ત્રિજ્યા

. જેમ જેમ આપણે બિંદુની નજીક જઈએ છીએ, મધ્યવર્તી બિંદુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ગોળાકાર ગૌણ તરંગોની ત્રિજ્યા શૂન્ય થઈ જાય છે - છેવટે, ગૌણ તરંગ પાછળથી ઉત્સર્જિત થશે, તેનો સ્રોત બિંદુની નજીક છે. પ્રતિબિંબિત તરંગની તરંગ સપાટી આ તમામ ગોળાઓ માટે સમતલ સ્પર્શક છે. અમારા પ્લાનિમેટ્રિક ડ્રોઇંગમાં એક સ્પર્શક સેગમેન્ટ છે જે બિંદુથી દોરવામાં આવે છેમહાન વર્તુળ

કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા સાથે.

હવે નોંધ કરો કે ત્રિજ્યા એ ગૌણ તરંગો દ્વારા કેન્દ્ર સાથેનું અંતર છે જ્યારે તરંગની સપાટી બિંદુ તરફ જાય છે. ચાલો આને થોડું અલગ રીતે કહીએ: બિંદુથી બિંદુ સુધી ગૌણ તરંગની હિલચાલનો સમય બિંદુથી બિંદુ સુધી ઘટના તરંગની હિલચાલના સમય જેટલો છે. પરંતુ ઘટનાની ગતિ અને ગૌણ તરંગોની ગતિ એકરુપ છે - છેવટે, આ એક જ માધ્યમમાં થઈ રહ્યું છે! તેથી, કારણ કે ઝડપ અને સમય એકરૂપ છે, પછી અંતર સમાન છે: . તે તારણ આપે છે કે જમણો ત્રિકોણ કર્ણો અને પગમાં સમાન છે. તેથી, તેઓ સમાન અને અનુરૂપ છેતીક્ષ્ણ ખૂણા
: . તે નોંધવાનું રહે છે કે (તે બંને સમાન હોવાથી) અને (બંને સમાન છે). આમ, પ્રતિબિંબ કોણ છેકોણ સમાન

પડે છે, જે જરૂરી હતું.

વધુમાં, ફિગમાં બાંધકામમાંથી.

4 તે જોવાનું સરળ છે કે વક્રીભવનના નિયમનું બીજું વિધાન પણ સંતુષ્ટ છે: ઘટના કિરણ, પ્રતિબિંબિત કિરણ અને સામાન્યથી પ્રતિબિંબિત સપાટી સમાન સમતલમાં સ્થિત છે.

બિંદુ એ સેગમેન્ટનો પ્રથમ બિંદુ છે કે જે ઘટના તરંગની તરંગ સપાટી સુધી પહોંચે છે; બિંદુ પર, ગૌણ તરંગોનું ઉત્સર્જન વહેલું શરૂ થાય છે. આ ક્ષણથી ઘટના તરંગને બિંદુ સુધી પહોંચવામાં એટલે કે સેગમેન્ટની મુસાફરી કરવા માટે સમય લાગે.

ચાલો હવામાં પ્રકાશની ગતિ દર્શાવીએ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ગતિ હોઈએ. જ્યારે ઘટના તરંગ એક અંતરની મુસાફરી કરે છે અને એક બિંદુ સુધી પહોંચે છે, ત્યારે બિંદુથી ગૌણ તરંગ દૂર સુધી ફેલાશે.

કારણ કે, પછી. પરિણામે, તરંગ સપાટી સમાંતર નથીતરંગ સપાટી - પ્રકાશ રીફ્રેક્શન થાય છે! ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સના માળખામાં, રીફ્રેક્શનની ઘટના શા માટે જોવા મળી હતી તે અંગે કોઈ સમજૂતી આપવામાં આવી નથી. રીફ્રેક્શનનું કારણ પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિમાં રહેલું છે અને દૃષ્ટિકોણથી સમજી શકાય તેવું બને છે
હ્યુજેન્સનો સિદ્ધાંત: સમગ્ર મુદ્દો એ છે કે માધ્યમમાં ગૌણ તરંગોની ગતિ હવામાં પ્રકાશની ગતિ કરતા ઓછી હોય છે, અને આ તેની મૂળ સ્થિતિની તુલનામાં તરંગની સપાટીના પરિભ્રમણ તરફ દોરી જાય છે.

થી જમણા ત્રિકોણઅને તે જોવાનું સરળ છે અને (સંક્ષિપ્તતા માટે, સૂચિત). અમારી પાસે આમ છે:

આ સમીકરણોને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાથી, આપણને મળે છે:

આકસ્મિક ખૂણોની સાઈન અને પ્રત્યાવર્તન કોણની સાઈનનો ગુણોત્તર બરાબર નીકળ્યો. સતત મૂલ્ય, ઘટનાના કોણથી સ્વતંત્ર. આ જથ્થાને માધ્યમનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ કહેવામાં આવે છે:

પરિણામ એ પ્રત્યાવર્તનનો જાણીતો કાયદો છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ભૌતિક અર્થહ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતને આભારી રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ (વેક્યુમ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ગતિના ગુણોત્તર તરીકે) ફરીથી સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યો.

ફિગમાંથી.

5, રીફ્રેક્શનના નિયમનું બીજું વિધાન પણ સ્પષ્ટ છે: ઘટના કિરણ, રીફ્રેક્ટેડ કિરણ અને સામાન્યથી ઇન્ટરફેસ સમાન સમતલમાં આવેલા છે. એક જ શરીર એક સાથે બે કે તેથી વધુ હિલચાલમાં ભાગ લઈ શકે છે.એક સરળ ઉદાહરણ આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલ બોલની ગતિ છે. અમે ધારી શકીએ છીએ કે બોલ બે સ્વતંત્ર પરસ્પર લંબ હલનચલનમાં ભાગ લે છે: એકસમાન આડી અને એકસરખી વેરિયેબલ ઊભી. સમાન શરીર (સામગ્રી બિંદુ

) બે (અથવા વધુ) ઓસીલેટરી હિલચાલમાં ભાગ લઈ શકે છે. હેઠળઓસિલેશનનો ઉમેરો પરિણામી ઓસિલેશનના કાયદાની વ્યાખ્યા સમજો જોઓસીલેટરી સિસ્ટમ એક સાથે અનેક ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓમાં ભાગ લે છે. ત્યાં બે મર્યાદિત કિસ્સાઓ છે - એક દિશામાં ઓસિલેશનનો ઉમેરો અને પરસ્પરનો ઉમેરો.

લંબરૂપ સ્પંદનો

1. 2.1. એક દિશાના હાર્મોનિક સ્પંદનોનો ઉમેરોસમાન દિશાના બે ઓસિલેશનનો ઉમેરો

બે સમીકરણો ઉમેરવાને બદલે વેક્ટર ડાયાગ્રામ પદ્ધતિ (આકૃતિ 9) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

આકૃતિ 2.1 કંપનવિસ્તાર વેક્ટર બતાવે છે એ 1(t) અને એ 2 (t) સમય t ની મનસ્વી ક્ષણે ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન, જ્યારે આ ઓસિલેશનના તબક્કાઓ અનુક્રમે સમાન હોય છે અને . ઓસિલેશનનો ઉમેરો વ્યાખ્યામાં આવે છે . ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ વેક્ટર ડાયાગ્રામઉમેરવામાં આવતા વેક્ટરના અંદાજોનો સરવાળો આ વેક્ટરના વેક્ટર સરવાળાના પ્રક્ષેપણ જેટલો છે.

પરિણામી ઓસિલેશન વેક્ટર ડાયાગ્રામમાં કંપનવિસ્તાર વેક્ટર અને તબક્કાને અનુરૂપ છે.

આકૃતિ 2.1 - સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

વેક્ટર તીવ્રતા એ(t) કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

પરિણામી ઓસિલેશનનો તબક્કો સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

જો ઉમેરવામાં આવેલ ઓસિલેશન ω 1 અને ω 2 ની ફ્રીક્વન્સી સમાન ન હોય, તો બંને તબક્કા φ(t) અને કંપનવિસ્તાર એ(t) પરિણામી વધઘટ સમય સાથે બદલાશે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે અસંગતઆ કિસ્સામાં.

2. બે હાર્મોનિક સ્પંદનો x 1 અને x 2 કહેવાય છે સુસંગત, જો તેમનો તબક્કો તફાવત સમય પર આધારિત નથી:

પરંતુ ત્યારથી, આ બે ઓસિલેશનની સુસંગતતાની સ્થિતિને પરિપૂર્ણ કરવા માટે, તેમની ચક્રીય આવર્તન સમાન હોવી જોઈએ.

પરિણામી ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ(સુસંગત ઓસીલેશન્સ) સમાન છે:

પરિણામી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો શોધવાનું સરળ છે જો તમે વેક્ટર્સને પ્રોજેક્ટ કરો છો એ 1 અને એ 2 પ્રતિ સંકલન અક્ષો OX અને OU (આકૃતિ 9 જુઓ):

તેથી, સમાન આવર્તન સાથે બે હાર્મોનિક સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશન ઉમેરીને પ્રાપ્ત પરિણામી ઓસિલેશન પણ હાર્મોનિક ઓસિલેશન છે.

3. ચાલો ઉમેરાયેલા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કામાં તફાવત પર પરિણામી ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારની અવલંબનનો અભ્યાસ કરીએ.

જો , જ્યાં n એ કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક પૂર્ણાંક છે

(n = 0, 1, 2…), પછી ન્યૂનતમ. ઉમેરાની ક્ષણે ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ અંદર હતા એન્ટિફેઝ. જ્યારે પરિણામી કંપનવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.

જો , તે , એટલે કે પરિણામી કંપનવિસ્તાર હશે મહત્તમ. ઉમેરાની ક્ષણે, ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ હતા એક તબક્કામાં, એટલે કે તબક્કામાં હતા. જો ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન હોય , તે .

4. અસમાન પરંતુ સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશનનો ઉમેરો.

ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની આવર્તન સમાન નથી, પરંતુ આવર્તન તફાવત છે ω 1 અને ω 2 બંને કરતાં ઘણું ઓછું. ઉમેરાયેલ ફ્રીક્વન્સીઝની નિકટતા માટેની શરત સંબંધો દ્વારા લખવામાં આવે છે.

સમાન આવર્તન સાથે સહ-દિશાત્મક ઓસિલેશનના ઉમેરાનું ઉદાહરણ એ આડી ગતિ છે. વસંત લોલક, જેની વસંતની જડતા k 1 અને k 2 થી થોડી અલગ છે.

ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર સમાન રહેવા દો , અને પ્રારંભિક તબક્કાઓ શૂન્ય સમાન છે. પછી ઉમેરેલા ઓસિલેશનના સમીકરણો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

, .

પરિણામી ઓસિલેશન સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

પરિણામી ઓસિલેશન સમીકરણ બે ના ગુણાંક પર આધાર રાખે છે હાર્મોનિક કાર્યો: એક - આવર્તન સાથે , અન્ય આવર્તન સાથે , જ્યાં ω ઉમેરાયેલ ઓસિલેશનની ફ્રીક્વન્સીઝની નજીક છે (ω 1 અથવા ω 2). પરિણામી ઓસિલેશન તરીકે ગણી શકાય હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં બદલવાથી હાર્મોનિક કાયદોકંપનવિસ્તારઆ ઓસીલેટરી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ધબકારા. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય કિસ્સામાં પરિણામી ઓસિલેશન એ હાર્મોનિક ઓસિલેશન નથી.

સંપૂર્ણ મૂલ્યકોસાઇન લેવામાં આવે છે કારણ કે કંપનવિસ્તાર હકારાત્મક જથ્થો છે. અવલંબનનો સ્વભાવ x res. ધબકારા દરમિયાન આકૃતિ 2.2 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 2.2 - ધબકારા દરમિયાન સમયસર વિસ્થાપનની અવલંબન.

ધબકારાનું કંપનવિસ્તાર આવર્તન સાથે ધીમે ધીમે બદલાય છે. કોસાઇનનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય પુનરાવર્તિત થાય છે જો તેની દલીલ π દ્વારા બદલાય છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામી કંપનવિસ્તારનું મૂલ્ય સમય અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થશે τ b, કહેવાય છે બીટ સમયગાળો(જુઓ આકૃતિ 12). બીટ પીરિયડનું મૂલ્ય નીચેના સંબંધ પરથી નક્કી કરી શકાય છે:

મૂલ્ય એ ધબકારાનો સમયગાળો છે.

તીવ્રતા પરિણામી ઓસિલેશનનો સમયગાળો છે (આકૃતિ 2.4).

2.2. પરસ્પર લંબરૂપ સ્પંદનોનો ઉમેરો

1. એક મોડેલ કે જેના પર પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશનનો ઉમેરો દર્શાવી શકાય છે તે આકૃતિ 2.3 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. એક લોલક (દળ m નો પદાર્થ બિંદુ) પરસ્પર કાટખૂણે નિર્દેશિત બે સ્થિતિસ્થાપક દળોની ક્રિયા હેઠળ OX અને OU અક્ષો સાથે ઓસીલેટ કરી શકે છે.

આકૃતિ 2.3

ફોલ્ડ ઓસિલેશનનું સ્વરૂપ છે:

ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સીને , , જ્યાં , વસંતની જડતા ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

2. બે ઉમેરવાનો કેસ ધ્યાનમાં લો સમાન ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે પરસ્પર લંબરૂપ ઓસિલેશન , જે સ્થિતિને અનુરૂપ છે (સમાન ઝરણા). પછી ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના સમીકરણો ફોર્મ લેશે:

જ્યારે કોઈ બિંદુ એક સાથે બે હલનચલન સાથે સંકળાયેલું હોય, ત્યારે તેનો માર્ગ અલગ અને તદ્દન જટિલ હોઈ શકે છે. સમાન આવર્તન સાથે બે પરસ્પર કાટખૂણે ઉમેરતી વખતે OXY પ્લેન પર પરિણામી ઓસિલેશનના માર્ગ માટેનું સમીકરણ દૂર કરીને નક્કી કરી શકાય છે. મૂળ સમીકરણો x અને y સમય t માટે:

બોલનો પ્રકાર ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કામાં તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે પ્રારંભિક શરતો(§ 1.1.2 જુઓ). ચાલો શક્ય વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ.

a) જો , જ્યાં n = 0, 1, 2…, એટલે કે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન તબક્કામાં છે, પછી બોલ સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

(આકૃતિ 2.3 a).


આકૃતિ 2.3.a	આકૃતિ 2.3 b

b) જો (n = 0, 1, 2...), એટલે કે. ઉમેરાયેલ ઓસિલેશન્સ એન્ટિફેઝમાં હોય છે, પછી ટ્રેજેક્ટરી સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

(આકૃતિ 2.3b).

બંને કિસ્સાઓમાં (a, b), બિંદુની પરિણામી હિલચાલ એ બિંદુ O માંથી પસાર થતી સીધી રેખા સાથે એક ઓસિલેશન હશે. પરિણામી ઓસિલેશનની આવર્તન ઉમેરવામાં આવેલા ઓસિલેશનની આવર્તન ω 0 જેટલી છે, કંપનવિસ્તાર નક્કી કરવામાં આવે છે. સંબંધ દ્વારા.

કામનું સ્થળ: મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "ઓક્ટ્યાબ્રસ્કી જિલ્લાની પોકરોવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

પદ: ભૌતિકશાસ્ત્ર શિક્ષક

વધારાની માહિતી: પરીક્ષણ સામગ્રી અનુસાર રચાયેલ છે સામાન્ય શિક્ષણ કાર્યક્રમ 11મા ધોરણની ઉચ્ચ શાળા માટે

વિકલ્પ #1

રેડિયો તરંગોનો ઉપયોગ કરીને વસ્તુઓ શોધવાની પ્રક્રિયાને કહેવાય છે...

ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને અલગ કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે...

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

બિંદુઓના સમૂહને લંબરૂપ સીધી રેખા સમાન તબક્કોકહેવાય છે...

B. ઑબ્જેક્ટ શોધ માટે;

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

વેવ ફ્રન્ટ છે...

A. છેલ્લી તરંગ સપાટી B. પ્રથમ તરંગ સપાટી

B. કોઈપણ તરંગ સપાટી

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

રડાર દરમિયાન પદાર્થનું અંતર નક્કી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

ટેસ્ટ નંબર 3 “ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો. રેડિયો"

વિકલ્પ નંબર 2

શોધવાની પ્રક્રિયા શું છે?

A. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિટ કરવા માટે લાંબા અંતર;

B. ઑબ્જેક્ટ શોધ માટે;

B. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને પ્રકાશિત કરવા માટે;

D. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને કન્વર્ટ કરવા માટે.

ઓસીલેટરી સર્કિટની આવર્તન કેવી રીતે વધારવી?

A. કેપેસિટરની કેપેસીટન્સ ઘટાડવા અને ઓસીલેટરી સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સમાં વધારો કરવો જરૂરી છે;

B. કેપેસિટરની કેપેસીટન્સ વધારવી અને ઓસીલેટરી સર્કિટની ઇન્ડક્ટન્સ ઘટાડવી જરૂરી છે;

B. કેપેસિટરની કેપેસીટન્સ અને ઓસીલેટીંગ સર્કિટની ઇન્ડક્ટન્સ બંને ઘટાડવી જરૂરી છે;

D. કેપેસિટરની કેપેસીટન્સ અને ઓસીલેટીંગ સર્કિટની ઇન્ડક્ટન્સ બંને વધારવી જરૂરી છે.

લો-ફ્રિકવન્સી ઓસિલેશનની મદદથી ઉચ્ચ-આવર્તન ઓસિલેશનને બદલવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે...

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે ...

A. ત્રાંસી B. રેખાંશ C. એક જ સમયે ત્રાંસી અને રેખાંશ બંને

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

પ્રસારણ ધ્વનિ સંકેતલાંબા અંતર પર કરવામાં આવે છે ...

A. કોઈપણ પરિવર્તન વિના ઑડિયો સિગ્નલનું સીધું પ્રસારણ;

B. શોધાયેલ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને;

B. સિમ્યુલેટેડ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને.

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

A. સ્કેનિંગ B. રડાર C. બ્રોડકાસ્ટિંગ D. મોડ્યુલેશન E. શોધ

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો બનાવવા માટે કયા ઉપકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે?

A. રેડિયો B. ટીવી C. ઓસીલેટીંગ સર્કિટ

D. ઓપન ઓસીલેટરી સર્કિટ

સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને કહેવામાં આવે છે...

વેવ ફ્રન્ટ છે...

બિંદુઓના સમૂહને ટી સમયે ખલેલ પહોંચે છે તે કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

શું મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલ માહિતી વહન કરે છે?

A. હા, પણ આપણે તેને સમજતા નથી;

B. હા, અને આપણે તેને આપણા શ્રવણ અંગો વડે સીધું જોઈ શકીએ છીએ;

રડારનો ટ્રાન્સમિટિંગ ભાગ કેવી રીતે કામ કરે છે?

A. સતત કામ કરે છે B. કોઈપણ સમયે સ્વયંભૂ બંધ થઈ જાય છે

B. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન પછી તરત જ બંધ થાય છે

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો સમાન ઝડપે પ્રવાસ કરે છે ...

A. કોઈપણ B. 3108mm/s C. 3108km/s D. 3108m/s

ટેસ્ટ નંબર 3 “ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો. રેડિયો"

વિકલ્પ નંબર 3

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

શોધવાની પ્રક્રિયા શું છે?

A. લાંબા અંતર પર સંકેતો પ્રસારિત કરવા માટે;

B. ઑબ્જેક્ટ શોધ માટે;

B. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને પ્રકાશિત કરવા માટે;

D. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને કન્વર્ટ કરવા માટે.

શું મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલ માહિતી વહન કરે છે?

A. હા, પણ આપણે તેને સમજતા નથી;

B. હા, અને આપણે તેને આપણા શ્રવણ અંગો વડે સીધું જોઈ શકીએ છીએ;

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે ...

A. ત્રાંસી B. રેખાંશ C. એક જ સમયે ત્રાંસી અને રેખાંશ બંને

ઓછી આવર્તન સિગ્નલને અલગ કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે….

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

પદાર્થોનું અંતર નક્કી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

લાંબા અંતર પર ધ્વનિ સંકેતોનું પ્રસારણ કરવામાં આવે છે ...

A. કોઈપણ પરિવર્તન વિના ઑડિયો સિગ્નલનું સીધું પ્રસારણ;

B. શોધાયેલ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને;

B. સિમ્યુલેટેડ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને.

ઓસીલેટરી સર્કિટની આવર્તન કેવી રીતે ઘટાડવી?

રેડિયો તરંગોનો ઉપયોગ કરીને વસ્તુઓ શોધવાની પ્રક્રિયાને કહેવાય છે...

A. સ્કેનિંગ B. રડાર C. બ્રોડકાસ્ટિંગ D. મોડ્યુલેશન E. શોધ

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો બનાવવા માટે કયા ઉપકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે?

A. રેડિયો B. ટીવી C. ઓસીલેટીંગ સર્કિટ

D. ઓપન ઓસીલેટરી સર્કિટ

સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ સપાટી C. તરંગ આગળ

સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને લંબરૂપ સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો સમાન ઝડપે પ્રવાસ કરે છે ...

A. કોઈપણ B. 3108mm/s C. 3108km/s D. 3108m/s

વેવ ફ્રન્ટ છે...

A. છેલ્લી તરંગ સપાટી B. કોઈપણ તરંગ સપાટી

B. પ્રથમ તરંગ સપાટી

બિંદુઓના સમૂહને ટી સમયે ખલેલ પહોંચે છે તે કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

રડારનો પ્રાપ્ત ભાગ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે?

A. સતત કામ કરે છે B. કોઈપણ સમયે સ્વયંભૂ બંધ થઈ જાય છે

V. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન પછી તરત જ ચાલુ થાય છે

ટેસ્ટ નંબર 3 “ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો. રેડિયો"

વિકલ્પ નંબર 4

રેડિયો તરંગોનો ઉપયોગ કરીને વસ્તુઓ શોધવાની પ્રક્રિયાને કહેવાય છે...

A. સ્કેનિંગ B. રડાર C. બ્રોડકાસ્ટિંગ D. મોડ્યુલેશન E. શોધ

સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ સપાટી C. તરંગ આગળ

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો બનાવવા માટે કયા ઉપકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે?

A. રેડિયો B. ટીવી C. ઓસીલેટીંગ સર્કિટ

D. ઓપન ઓસીલેટરી સર્કિટ

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

રડારનો ટ્રાન્સમિટિંગ ભાગ કેવી રીતે કામ કરે છે?

A. સતત કામ કરે છે B. કોઈપણ સમયે સ્વયંભૂ બંધ થઈ જાય છે

B. સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન પછી તરત જ બંધ થાય છે

પદાર્થોનું અંતર નક્કી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

ઓછી આવર્તન સિગ્નલને અલગ કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે….

A. મોડ્યુલેશન B. રડાર C. તપાસ D. સ્કેનિંગ

શું શોધાયેલ સિગ્નલ માહિતી વહન કરે છે?

A. હા, પણ આપણે તેને સમજતા નથી;

B. હા, અને આપણે તેને આપણા શ્રવણ અંગો વડે સીધું જોઈ શકીએ છીએ;

લાંબા અંતર પર ધ્વનિ સંકેતોનું પ્રસારણ કરવામાં આવે છે ...

A. કોઈપણ પરિવર્તન વિના ઑડિયો સિગ્નલનું સીધું પ્રસારણ;

B. શોધાયેલ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને;

B. સિમ્યુલેટેડ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીને.

ઓસીલેટીંગ સર્કિટનો ઓસિલેશન સમયગાળો કેવી રીતે ઘટાડવો?

સમાન તબક્કાના બિંદુઓના સમૂહને લંબરૂપ સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

મોડ્યુલેશન પ્રક્રિયા શું છે?

A. લાંબા અંતર પર સંકેતો પ્રસારિત કરવા માટે;

B. ઑબ્જેક્ટ શોધ માટે;

B. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને પ્રકાશિત કરવા માટે;

D. ઓછી-આવર્તન સિગ્નલને કન્વર્ટ કરવા માટે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે ...

A. ત્રાંસી B. રેખાંશ C. એક જ સમયે ત્રાંસી અને રેખાંશ બંને

વેવ ફ્રન્ટ છે...

A. છેલ્લી તરંગ સપાટી B. કોઈપણ તરંગ સપાટી

B. પ્રથમ તરંગ સપાટી

બિંદુઓના સમૂહને ટી સમયે ખલેલ પહોંચે છે તે કહેવામાં આવે છે...

A. બીમ B. તરંગ આગળ C. તરંગ સપાટી

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો સમાન ઝડપે પ્રવાસ કરે છે ...

A. કોઈપણ B. 3108mm/s C. 3108km/s D. 3108m/s

સંદર્ભો:

ભૌતિકશાસ્ત્ર: પાઠયપુસ્તક. 11મા ધોરણ માટે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / જી. યાકીશેવ, બી. બી. બુખોવત્સેવ. - 15મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2015.-381 પૃષ્ઠ.

ભૌતિકશાસ્ત્ર. સમસ્યા પુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ માટેની માર્ગદર્શિકા. સંસ્થાઓ / Rymkevich A.P. - 12મી આવૃત્તિ., સ્ટીરિયોટાઇપ. - એમ.: બસ્ટર્ડ, 2008. - 192 પૃ.

સ્વતંત્ર અને પરીક્ષણો. ભૌતિકશાસ્ત્ર. કિરિક, એલ.એ.પી.-એમ.: ઇલેક્ઝા, 2005.