બાંધકામની સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ. બહુવિધ રીગ્રેશન મોડલ માટે ક્લાસિકલ ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિ

12.9. સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ પ્રાચીન ગ્રીક લોકો માટે, "વિચારોની દુનિયા" માં ગણિતના પદાર્થોનું વાસ્તવિક અસ્તિત્વ હતું. આ પદાર્થોના કેટલાક ગુણધર્મો મનની આંખને સંપૂર્ણપણે નિર્વિવાદ લાગતા હતા અને તેને સ્વયંસિદ્ધ જાહેર કરવામાં આવ્યા હતા, અન્ય - અસ્પષ્ટ - જોઈએ.

સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક જોગવાઈઓ પર આધારિત છે - સ્વયંસિદ્ધ અથવા અનુમાન, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ નિવેદનો સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

ગ્રીકમાંથી axioma - સ્વીકૃત સ્થિતિ) - વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક રીત, જે પ્રાયોરી જોગવાઈઓને તેના આધાર તરીકે સ્વીકારે છે, જેમાંથી સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ નિવેદનો તાર્કિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. સિદ્ધાંતોનું સંપૂર્ણ સ્વયંસિદ્ધીકરણ અશક્ય છે (કે. ગોડેલ, 1931).

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

ગ્રીકમાંથી axi?ma - સ્વીકૃત સ્થિતિ) - સ્વીકૃત (અથવા અગાઉ સાબિત) પ્રારંભિક સ્થિતિઓ (એક્સિઓમ્સ અને પોસ્ટ્યુલેટ્સ) પર આધારિત સિદ્ધાંત બનાવવાની એક પદ્ધતિ, જેમાંથી બાકીનું જ્ઞાન તાર્કિક રીતે પુરાવા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. કપાતની અરજી તરીકે સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિને આર. ડેસકાર્ટેસના ઉપદેશોમાં દાર્શનિક અર્થઘટન પ્રાપ્ત થયું. એક અથવા બીજી રીતે, સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વિવિધ વિજ્ઞાનમાં થતો હતો - ફિલસૂફી (બી. સ્પિનોઝા), સમાજશાસ્ત્ર (જી. વિકો), જીવવિજ્ઞાન (જે. વુડગર), વગેરેમાં. જો કે, તેના ઉપયોગનો મુખ્ય વિસ્તાર રહે છે. ગણિત અને સાંકેતિક તર્કશાસ્ત્ર, તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્રના સંખ્યાબંધ ક્ષેત્રો (મિકેનિક્સ, થર્મોડાયનેમિક્સ, ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ, વગેરે).

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક જોગવાઈઓ (એક્સિઓમ્સ) અથવા ધારણાઓ પર આધારિત હોય છે, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ નિવેદનો પુરાવા દ્વારા સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ પર આધારિત વિજ્ઞાનનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે આનુમાનિક કહેવાય છે. માં ભૂમિતિ બાંધતી વખતે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો પ્રાચીન ગ્રીસ. તે સંસ્થા માટે સૌથી વધુ સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવે છે ગાણિતિક જ્ઞાન, જ્યાં જ્ઞાનનું પ્રચંડ વજન મનની રચનાત્મક અને સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિનું છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન, સામાજિક વિજ્ઞાન, માનવતા, એન્જિનિયરિંગ અને ટેકનોલોજીમાં, આ પદ્ધતિ અન્ય જ્ઞાનાત્મક પદ્ધતિઓની તુલનામાં ગૌણ સ્થાન ધરાવે છે.

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક (ખાસ કરીને સૈદ્ધાંતિક) જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવાની રીત, જેનો સાર એ સમગ્ર સમૂહમાં ભેદ પાડવાનો છે સાચા નિવેદનોઆવા સબસેટ (એક્સિઓમ્સ) ના ચોક્કસ વિષય વિસ્તાર વિશે, જેમાંથી અન્ય તમામ સાચા નિવેદનો (પ્રમેય અને એક સાચું નિવેદન) તાર્કિક રીતે અનુસરશે. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામનો આદર્શ, જેનો અમલ પ્રાચીન ગ્રીસ (VII - IV સદીઓ બીસી) માં ભૂમિતિના નિર્માણ સાથે શરૂ થયો હતો, તે ગાણિતિક જ્ઞાનની વ્યવસ્થા કરવા માટે સૌથી યોગ્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જ્યાં જ્ઞાનમાં ભારે વજન હોય છે. માત્ર પ્રયોગમૂલક-અમૂર્ત પ્રવૃત્તિ માટે જ નહીં, પણ મનની રચનાત્મક અને સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિ પણ. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન, સામાજિક વિજ્ઞાન, માનવતા અને ઈજનેરી વિજ્ઞાનમાં, જ્ઞાનના આયોજનની સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ જ્ઞાનાત્મક સંસ્થાના અન્ય સ્વરૂપોની સરખામણીમાં ગૌણ સ્થાન ધરાવે છે. (સાબિતી, કપાત, સિદ્ધાંત, પદ્ધતિ જુઓ).

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક રચનાની રીત સિદ્ધાંત, જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક સ્થિતિ (ચુકાદાઓ) પર આધારિત છે - સ્વયંસિદ્ધ, અથવા અનુમાન, જેમાંથી આ વિજ્ઞાનના અન્ય તમામ નિવેદનો (પ્રમેય) તાર્કિક રીતે અનુમાનિત હોવા જોઈએ. દ્વારા, પુરાવા દ્વારા. A.m ની નિમણૂક વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન અપનાવવામાં મનસ્વીતાને મર્યાદિત કરવામાં સમાવે છે. આપેલ સિદ્ધાંતના સત્ય તરીકે ચુકાદાઓ. A.M.ના આધારે વિજ્ઞાનનું નિર્માણ. સામાન્ય રીતે ડિડક્ટિવ કહેવાય છે (કપાત જુઓ). ડિડક્ટિવ થિયરીની તમામ વિભાવનાઓ (પ્રારંભિકની નિશ્ચિત સંખ્યા સિવાય) વ્યાખ્યાઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જે તેમને અગાઉ રજૂ કરાયેલા ખ્યાલો દ્વારા વ્યક્ત (અથવા સમજાવે છે). એક અંશે અથવા બીજી રીતે, અનુમાણિક પુરાવા, A.M.ની લાક્ષણિકતા, બહુવચનમાં વપરાય છે. વિજ્ઞાન પરંતુ વ્યવસ્થિત પ્રયાસો છતાં A.m ની અરજી ફિલસૂફી (સ્પિનોઝા), સમાજશાસ્ત્ર (વીકો), રાજકીય અર્થતંત્ર (રોડબર્ટસ-યાગેઝોવ), જીવવિજ્ઞાન (વુડગર) અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં, સીએચ. પ્રદેશ તેના કાર્યક્રમો ગણિત અને પ્રતીકવાદ રહે છે. તર્કશાસ્ત્ર, તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્રની અમુક શાખાઓ (મિકેનિક્સ, થર્મોડાયનેમિક્સ, ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ, વગેરે). A.m ના ઉપયોગના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક. yavl યુક્લિડના તત્વો (c. 300 BC). બી.એન.માખુતોવ

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં સિદ્ધાંતની કેટલીક જોગવાઈઓને પ્રારંભિક તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને તેની અન્ય તમામ જોગવાઈઓ પુરાવા દ્વારા, સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે તેમાંથી કાઢવામાં આવે છે. સ્વયંસિદ્ધના આધારે સાબિત થયેલા નિવેદનોને પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

A. m. એ પદાર્થો અને તેમની વચ્ચેના સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક વિશેષ રીત છે (જુઓ: સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા). AM નો ઉપયોગ ગણિત, તર્કશાસ્ત્ર તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન વગેરેની અમુક શાખાઓમાં થાય છે.

A. m. પ્રાચીનકાળમાં ઉદ્દભવ્યું હતું અને યુક્લિડના તત્વોને કારણે ખૂબ જ ખ્યાતિ પ્રાપ્ત થઈ હતી, જે 330 - 320 ની આસપાસ દેખાયા હતા. પૂર્વે ઇ. યુક્લિડ, જો કે, તેણે વાસ્તવમાં ઉપયોગમાં લીધેલ ભૌમિતિક વસ્તુઓના તમામ ગુણધર્મોને તેના "સિદ્ધાંતો અને અનુમાન" માં વર્ણવવામાં નિષ્ફળ ગયા; તેના પુરાવા અસંખ્ય રેખાંકનો સાથે હતા. યુક્લિડની ભૂમિતિની "છુપાયેલી" ધારણાઓ ફક્ત ૧૯૪૭માં જ પ્રગટ થઈ હતી આધુનિક સમયડી. ગિલ્બર્ટ (1862-1943), જેમણે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને ઔપચારિક સિદ્ધાંત તરીકે ગણાવ્યો હતો જે તેના તત્વો (ચિહ્નો) વચ્ચે સંબંધો સ્થાપિત કરે છે અને તેને સંતોષતા પદાર્થોના કોઈપણ સમૂહનું વર્ણન કરે છે. આજકાલ, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ઘણીવાર ઔપચારિક પ્રણાલીઓ તરીકે ઘડવામાં આવે છે જેમાં ચોક્કસ વર્ણન હોય છે. તાર્કિક અર્થસિદ્ધાંતોમાંથી પ્રમેયની વ્યુત્પત્તિ. આવા સિદ્ધાંતમાં સાબિતી એ સૂત્રોનો ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક કાં તો સ્વયંસિદ્ધ છે અથવા અનુમાનના સ્વીકૃત નિયમોમાંથી એક અનુસાર અનુક્રમમાં અગાઉના સૂત્રોમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

એક સ્વયંસિદ્ધ ઔપચારિક સિસ્ટમ સુસંગતતા, સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમની સ્વતંત્રતા વગેરેની જરૂરિયાતોને આધીન છે.

એ.એમ. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની રચના કરવાની એક માત્ર પદ્ધતિ છે. તેનો મર્યાદિત ઉપયોગ છે કારણ કે તેની જરૂર છે ઉચ્ચ સ્તરએક અક્ષમ્ય મૂળ સિદ્ધાંતનો વિકાસ.

બતાવ્યા પ્રમાણે પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઅને તર્કશાસ્ત્રી કે. ગોડેલ, તદ્દન સમૃદ્ધ વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો(ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓનું અંકગણિત) સંપૂર્ણ સ્વતઃકરણને મંજૂરી આપતું નથી. આ A.M ની મર્યાદાઓ દર્શાવે છે. અને વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના સંપૂર્ણ ઔપચારિકકરણની અશક્યતા (જુઓ: ગોડેલનું પ્રમેય).

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક રચનાની રીત સિદ્ધાંત, જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ (ચુકાદાઓ) પર આધારિત છે - સ્વયંસિદ્ધ, અથવા અનુમાન, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ નિવેદનો સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે કાઢવા જોઈએ. પુરાવા દ્વારા. AM ના આધારે વિજ્ઞાનનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે. કપાતાત્મક (કપાત જુઓ). ડિડક્ટિવ થિયરીની તમામ વિભાવનાઓ (પ્રારંભિકની નિશ્ચિત સંખ્યા સિવાય) વ્યાખ્યાઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જે તેમને અગાઉ રજૂ કરાયેલા ખ્યાલો દ્વારા વ્યક્ત કરે છે. એક અથવા બીજી રીતે, અનુમાણિક પુરાવા, AM ની લાક્ષણિકતા, બહુવચનમાં વપરાય છે. વિજ્ઞાન, જોકે ch. તેના એપ્લિકેશનનું ક્ષેત્ર ગણિત, તર્કશાસ્ત્ર તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્રની કેટલીક શાખાઓ છે.

AM નો વિચાર સૌપ્રથમ ડૉ.માં ભૂમિતિના નિર્માણના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. ગ્રીસ (પાયથાગોરસ, પ્લેટો, એરિસ્ટોટલ, યુક્લિડ). આધુનિક માટે AM ના વિકાસનો તબક્કો હિલ્બર્ટ દ્વારા આગળ મૂકવામાં આવેલ ઔપચારિક AM ના ખ્યાલ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જે તાર્કિક રીતે સચોટ વર્ણન કરવાનું કાર્ય કરે છે. સિદ્ધાંતોમાંથી પ્રમેય મેળવવાનો અર્થ. મૂળભૂત હિલ્બર્ટનો વિચાર વિજ્ઞાનની ભાષાનું સંપૂર્ણ ઔપચારિકીકરણ છે, જેમાં તેના ચુકાદાઓને સંકેતો (સૂત્રો) ની શ્રેણી તરીકે ગણવામાં આવે છે જે ચોક્કસ ચોક્કસ અર્થઘટન સાથે જ અર્થ પ્રાપ્ત કરે છે. સિદ્ધાંતોમાંથી પ્રમેય મેળવવા માટે (અને સામાન્ય રીતે કેટલાક સૂત્રો અન્યમાંથી), વિશેષ સૂત્રો ઘડવામાં આવે છે. અનુમાન નિયમો. આવા સિદ્ધાંતમાં સાબિતી (કેલ્ક્યુલસ અથવા ઔપચારિક પ્રણાલી) એ સૂત્રોનો ચોક્કસ ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક કાં તો સ્વયંસિદ્ધ છે અથવા ચોક્કસ માપદંડ અનુસાર અનુક્રમના અગાઉના સૂત્રોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. અનુમાનનો નિયમ. આવા ઔપચારિક પુરાવાઓથી વિપરીત, ઔપચારિક પ્રણાલીના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. મેટાથિયરીના માધ્યમથી. મૂળભૂત સ્વયંસિદ્ધ માટે જરૂરીયાતો ઔપચારિક સિસ્ટમો - સુસંગતતા, સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધતાની સ્વતંત્રતા. હિલ્બર્ટનો કાર્યક્રમ, જેણે સમગ્ર શાસ્ત્રીયની સુસંગતતા અને સંપૂર્ણતા સાબિત કરવાની સંભાવના ધારી હતી. ગણિત, સામાન્ય રીતે અશક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું. 1931 માં, ગોડેલે પૂરતા પ્રમાણમાં વિકસિત વિજ્ઞાનના સંપૂર્ણ સ્વયંસિદ્ધીકરણની અશક્યતા સાબિત કરી. સિદ્ધાંતો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું અંકગણિત), જે A. m. ની મર્યાદાઓ દર્શાવે છે. અંતર્જ્ઞાનવાદ અને રચનાત્મક દિશાના સમર્થકો દ્વારા AM ના સિદ્ધાંતોની ટીકા કરવામાં આવી હતી. ગણિત અને તર્કશાસ્ત્ર, સિદ્ધાંતમાં ઔપચારિકતા પણ જુઓ.

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતોને અનુમાનિત રીતે રચવાની પદ્ધતિઓમાંની એક, જેમાં: 1) ચોક્કસ સિદ્ધાંત (સિદ્ધાંત) ની દરખાસ્તોનો ચોક્કસ સમૂહ પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે; 2) તેમાં સમાવિષ્ટ વિભાવનાઓ આ સિદ્ધાંતના માળખામાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી; 3) આપેલ સિદ્ધાંતની વ્યાખ્યાના નિયમો અને અનુમાનના નિયમો નિશ્ચિત છે, જે સિદ્ધાંતમાં નવા શબ્દો (વિભાવનાઓ) દાખલ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને તાર્કિક રીતે અન્ય લોકો પાસેથી કેટલીક દરખાસ્તો મેળવી શકે છે; 4) આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ પ્રસ્તાવો (પ્રમેય) (3) ના આધારે (1) પરથી લેવામાં આવ્યા છે. એ.એમ. વિશેના પ્રથમ વિચારો પ્રાચીનમાં ઉદ્ભવ્યા. ગ્રીસ (Eleatics, પ્લેટો. એરિસ્ટોટલ, યુક્લિડ). ત્યારબાદ, ફિલસૂફી અને વિજ્ઞાનના વિવિધ વિભાગો (સ્પિનોઝા, ન્યુટન, વગેરે) ની સ્વયંસિદ્ધ પ્રસ્તુતિ પ્રદાન કરવાના પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા હતા. સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ સ્વયંસિદ્ધની વ્યાખ્યા અને પસંદગી માટે બીજા અર્ધથી શરૂ કરીને, 19મી સદીમાં, ગણિત અને ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રના પ્રમાણીકરણની સમસ્યાઓના સઘન વિકાસના સંબંધમાં, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને ઔપચારિક તરીકે ગણવામાં આવે છે (અને 20 થી. 20મી સદીના -30s - એક ઔપચારિક) સિસ્ટમ તરીકે, તેના તત્વો (ચિહ્નો) વચ્ચે સંબંધો સ્થાપિત કરવા અને તેને સંતોષતા પદાર્થોના કોઈપણ સમૂહનું વર્ણન કરે છે. તે જ સમયે, મુખ્ય સિસ્ટમની સુસંગતતા, તેની સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની સ્વતંત્રતા વગેરે સ્થાપિત કરવા પર ધ્યાન આપવાનું શરૂ થયું. સાઇન સિસ્ટમ્સતેમાં પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવી સામગ્રીને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અથવા તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક એક્સિઓમેટિક સિસ્ટમ્સને અલગ પાડવામાં આવે છે. તેમના માટેની આવશ્યકતાઓ, બે સ્તરો પર, સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક (સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક સુસંગતતા, સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધતાની સ્વતંત્રતા, વગેરે.) ઔપચારિક સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ તેમની મૂળભૂત મર્યાદાઓની સ્થાપના તરફ દોરી ગયું, જેમાંથી મુખ્ય છે સંપૂર્ણ સ્વતઃકરણની અશક્યતા. Gödel વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું અંકગણિત) દ્વારા સાબિત થયેલ પૂરતી વિકસિત પ્રણાલીઓ, જે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના સંપૂર્ણ ઔપચારિકકરણની અશક્યતાને સૂચિત કરે છે, તે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના નિર્માણ માટે માત્ર એક પદ્ધતિ છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ એક સાધન તરીકે થાય છે વૈજ્ઞાનિક શોધખૂબ મર્યાદિત. સામાન્ય રીતે સિદ્ધાંતને તેની સામગ્રીમાં પૂરતા પ્રમાણમાં બાંધવામાં આવે તે પછી હાથ ધરવામાં આવે છે, અને તેની વધુ સચોટ રજૂઆતના હેતુને પૂર્ણ કરે છે, ખાસ કરીને, છેલ્લા 30-40 વર્ષોમાં સ્વીકૃત પરિસરમાંથી તમામ પરિણામોની કડક વ્યુત્પત્તિ મહાન ધ્યાનતે માત્ર ગાણિતિક વિદ્યાશાખાના જ નહીં, પણ વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની રચના અને ગતિશીલતાના સિદ્ધાંતો સહિત ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, મનોવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, ભાષાશાસ્ત્ર, વગેરેના અમુક વિભાગોના સ્વતઃકરણને સમર્પિત છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન (સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બિન-ગાણિતિક) જ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ગાણિતિક પદ્ધતિઓ એક અનુમાનિત-આનુમાનિક પદ્ધતિના સ્વરૂપમાં દેખાય છે (ઔપચારિકકરણ પણ જુઓ)

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

ગ્રીક axioma - નોંધપાત્ર, સ્વીકૃત સ્થિતિ) - સિદ્ધાંત બનાવવાની એક પદ્ધતિ જેમાં કેટલાક સાચા નિવેદનોને પ્રારંભિક સ્થિતિ (એક્સિઓમ્સ) તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના બાકીના સાચા નિવેદનો (પ્રમેય) પછી તાર્કિક રીતે અનુમાનિત અને સાબિત થાય છે. A.M.નું વૈજ્ઞાનિક મહત્વ એરિસ્ટોટલ દ્વારા વાજબી ઠેરવવામાં આવ્યા હતા, જેમણે સાચા વિધાનોના સમગ્ર સમૂહને મૂળભૂત ("સિદ્ધાંતો") અને પુરાવાની જરૂર હોય તેવા ("સાબિત કરી શકાય તેવા")માં વિભાજીત કર્યા હતા. તેના વિકાસમાં એ.એમ. ત્રણ તબક્કામાંથી પસાર થયા. પ્રથમ તબક્કે એ.એમ. અર્થપૂર્ણ હતા, તેમની સ્પષ્ટતાના આધારે સ્વયંસિદ્ધ સ્વીકારવામાં આવ્યા હતા. આવા આનુમાનિક સિદ્ધાંત બાંધકામનું ઉદાહરણ યુક્લિડના તત્વો છે. બીજા તબક્કે, ડી. હિલ્બર્ટે એ.એમ.ની અરજી માટે ઔપચારિક માપદંડ રજૂ કર્યો. - સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની સુસંગતતા, સ્વતંત્રતા અને સંપૂર્ણતાની જરૂરિયાત. ત્રીજા તબક્કામાં A.M. ઔપચારિક બની જાય છે. તદનુસાર, "સ્વતત્ય" ની વિભાવના બદલાઈ ગઈ છે. જો A.M ના વિકાસના પ્રથમ તબક્કે તે માત્ર પુરાવાના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે જ નહીં, પણ એક સાચી સ્થિતિ તરીકે પણ સમજવામાં આવ્યું હતું જેને તેની સ્પષ્ટતાને કારણે પુરાવાની જરૂર નથી, પછી વર્તમાનમાં સિદ્ધાંતના આવશ્યક તત્વ તરીકે સ્વયંસિદ્ધ સાબિત થાય છે, જ્યારે બાદમાંની પુષ્ટિ માનવામાં આવે છે. બાંધકામના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે તેના સ્વયંસિદ્ધ પાયાની પુષ્ટિ તરીકે તે જ સમયે. એ.એમ.માં મુખ્ય અને પ્રારંભિક નિવેદનો ઉપરાંત. સ્તર પણ બહાર ઊભા કરવાનું શરૂ કર્યું ખાસ નિયમોઆઉટપુટ આમ, બધાના સમૂહ તરીકે સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેય સાથે સાચા નિવેદનોઆ સિદ્ધાંત અનુમાનના નિયમો - મેટાએક્સિઓમ્સ અને મેટાથિયોરમ્સ માટે સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેય બનાવે છે. 1931 માં, કે. ગોડેલે કોઈપણ ઔપચારિક પ્રણાલીની મૂળભૂત અપૂર્ણતા વિશે એક પ્રમેય સાબિત કર્યો, કારણ કે તેમાં નિર્ણાયક દરખાસ્તો છે જે અકલ્પ્ય અને અકાટ્ય છે. તેના પર લાદવામાં આવેલી મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેતા, AM ને એક વિકસિત ઔપચારિક (અને માત્ર વાસ્તવિક નહીં) સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓમાંની એક તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેમાં હાઇપોથેટિકો-ડિડક્ટિવ પદ્ધતિ (જેને ક્યારેક "અર્ધ-સ્વયંતુલિત" તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે) સાથે. અને ગાણિતિક પૂર્વધારણાની પદ્ધતિ. એ.એમ.થી વિપરીત, હાયપોથેટિકો-ડિડક્ટિવ પદ્ધતિમાં પૂર્વધારણાઓના પદાનુક્રમના નિર્માણનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં એક જ અનુમાનિત પ્રણાલીના માળખામાં નબળા પૂર્વધારણાઓ મજબૂત લોકોમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં અનુમાનની મજબૂતાઈ પ્રયોગમૂલકથી અંતર સાથે વધે છે. વિજ્ઞાનનો આધાર. આ અમને A.M પ્રતિબંધોની શક્તિને નબળી બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે: સિદ્ધાંતની પ્રારંભિક જોગવાઈઓ દ્વારા સખત રીતે બંધાયેલા ન હોય તેવી વધારાની પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરવાની સંભાવનાને કારણે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની બંધતાને દૂર કરવા માટે; દાખલ કરો અમૂર્ત વસ્તુઓ વિવિધ સ્તરોવાસ્તવિકતાનું સંગઠન, એટલે કે. "બધા વિશ્વમાં" એક્સિઓમેટિક્સની માન્યતા પરના પ્રતિબંધને દૂર કરો; સ્વયંસિદ્ધની સમાનતાની જરૂરિયાતને દૂર કરો. બીજી બાજુ, એ.એમ., ગાણિતિક પૂર્વધારણાની પદ્ધતિથી વિપરીત, જે બાંધકામના નિયમો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ગાણિતિક પૂર્વધારણાઓ, અધ્યયનિત ઘટનાઓથી સંબંધિત, વ્યક્તિને ચોક્કસ તત્વને અપીલ કરવાની મંજૂરી આપે છે વિષય વિસ્તારો.

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

AXIOMATIC પદ્ધતિ

સિદ્ધાંતો બાંધવાની એક પદ્ધતિ, જે મુજબ તેને માત્ર સિદ્ધિઓમાં અને તેમાંથી અગાઉ મેળવેલા નિવેદનોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે. સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના કારણો અલગ અલગ હોઈ શકે છે, જે સામાન્ય રીતે માત્ર તેમના ફોર્મ્યુલેશન દ્વારા જ નહીં, પરંતુ તેમની પદ્ધતિસરની (વ્યવહારિક) સ્થિતિ દ્વારા પણ સ્વયંસિદ્ધનો તફાવત તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્વયંસિદ્ધમાં નિવેદનની સ્થિતિ, અથવા ધારણાની સ્થિતિ, અથવા શબ્દોના ઇચ્છિત ઉપયોગ વિશે ભાષાકીય સંમેલનની સ્થિતિ હોઈ શકે છે. કેટલીકવાર સ્થિતિનો આ તફાવત સ્વયંસિદ્ધોના નામોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે (આનુભાવિક સિદ્ધાંતો માટેના આધુનિક સ્વયંસિદ્ધોમાં, તમામ સ્વયંસિદ્ધોમાં, ભાષાકીય સંમેલનોને વ્યક્ત કરતા અર્થના કહેવાતા પોસ્ટ્યુલેટ્સને ઘણીવાર અલગ પાડવામાં આવે છે, અને પ્રાચીન ગ્રીકોએ ભૌમિતિક સ્વયંસિદ્ધોને વિભાજિત કર્યા હતા. સામાન્ય ખ્યાલોઅને ધારણા કરે છે, એવું માનીને કે પહેલાનું વર્ણન કરે છે, પછીનું નિર્માણ). સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સ્વયંસિદ્ધોની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેવી ફરજિયાત છે, કારણ કે તે શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતની સામગ્રીમાં ફેરફાર કર્યા વિના, સ્વયંસિદ્ધની રચના અથવા અર્થશાસ્ત્રમાં ફેરફાર કર્યા વિના, પરંતુ ફક્ત તેમની સ્થિતિ બદલીને, જાહેર કરો, કહો, તેમાંથી એક અર્થની નવી ધારણા. સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ પ્રથમ યુક્લિડ દ્વારા તેના તત્વોમાં દર્શાવવામાં આવી હતી, જોકે એરિસ્ટોટલ દ્વારા સ્વયંસિદ્ધ, અનુમાન અને વ્યાખ્યાના ખ્યાલો પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા. ખાસ કરીને, આવશ્યકતા મુજબ સ્વયંસિદ્ધ અર્થઘટન તેમની પાસે પાછું જાય છે સામાન્ય સિદ્ધાંતોસાબિતી સ્વયં-સ્પષ્ટ સત્યો તરીકે સ્વયંસિદ્ધ સત્યો તરીકેની સમજ પાછળથી વિકસિત થઈ, પોર્ટ-રોયલના શાળા તર્કના આગમન સાથે મૂળભૂત બની, જેના લેખકો માટે પુરાવાનો અર્થ થાય છે ચોક્કસ સત્યોને સીધી રીતે સમજવાની આત્માની વિશેષ ક્ષમતા (શુદ્ધ ચિંતન, અથવા અંતઃપ્રેરણામાં ). આકસ્મિક રીતે, યુક્લિડની ભૂમિતિના પ્રાયોરી સિન્થેટીક પાત્રમાં કાન્તની માન્યતા ભાષાકીય સંમેલનો અથવા ધારણાઓ તરીકે સ્વયંસિદ્ધ ન ગણવાની આ પરંપરા પર આધાર રાખે છે. બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિની શોધ (ગૌસ, લોબાચેવ્સ્કી, બોલ્યાઈ); નવી સંખ્યા પ્રણાલીઓના અમૂર્ત બીજગણિતમાં દેખાવ, અને તેમના સમગ્ર પરિવારો એક જ સમયે (ઉદાહરણ તરીકે, /-એડિક નંબરો); જૂથો જેવી ચલ રચનાઓનો ઉદભવ; છેવટે, "કઈ ભૂમિતિ સાચી છે?" જેવા પ્રશ્નોની ચર્ચા. - આ બધાએ સ્વયંસિદ્ધ નિવેદનોને બદલે, પ્રાચીન, સ્વતઃસ્થિતિઓની તુલનામાં બે નવાની જાગૃતિમાં ફાળો આપ્યો: વર્ણનો તરીકે સ્વયંસિદ્ધ (તર્કના સંભવિત બ્રહ્માંડોના વર્ગો) અને અનુમાન તરીકે સ્વયંસિદ્ધ નિવેદનો. આમ પાયો રચાયો આધુનિક સમજસ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ. યુક્લિડના "સિદ્ધાંતો" ને ડી. હિલ્બર્ટના "જ્યોમેટ્રીના ફાઉન્ડેશન્સ" સાથે સરખાવતી વખતે સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો આ વિકાસ ખાસ કરીને સ્પષ્ટ થઈ જાય છે - 19મી સદીની ગણિતની સર્વોચ્ચ સિદ્ધિઓ પર આધારિત ભૂમિતિનું નવું અક્ષયશાસ્ત્ર. એ જ સદીના અંતમાં, જે. પીઆનોએ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું અક્ષીયશાસ્ત્ર આપ્યું. વધુમાં, વિરોધાભાસ શોધ્યા પછી સેટ થિયરીને બચાવવા માટે સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. તે જ સમયે, સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિને તર્કમાં સામાન્ય કરવામાં આવી હતી. હિલ્બર્ટે શાસ્ત્રીય પ્રસ્તાવના તર્કશાસ્ત્રના અનુમાનના સ્વયંસિદ્ધ અને નિયમો ઘડ્યા હતા અને પી. બર્નેસે આગાહીના તર્કની રચના કરી હતી. આજકાલ, નવા તર્કશાસ્ત્ર અને નવા બીજગણિત વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સ્વયંસિદ્ધ કાર્ય એ પ્રમાણભૂત રીત છે. તાજેતરના દાયકાઓમાં, જેમ જેમ સૈદ્ધાંતિક મોડેલો વિકસિત થયા છે, તેમ, સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ લગભગ આવશ્યકપણે મોડેલ-સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિ દ્વારા પૂરક બની છે.

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

AXIOMATIC પદ્ધતિ (ગ્રીક એક્સિઓમામાંથી) - એક સ્વીકૃત સ્થિતિ - એક વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત બનાવવાની એક પદ્ધતિ, જેમાં માત્ર એક્ષીયમ્સ, પોસ્ટ્યુલેટ્સ અને તેમાંથી અગાઉ મેળવેલા નિવેદનો પુરાવામાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. તે સૌપ્રથમ યુક્લિડ દ્વારા તેના તત્વોમાં સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું, જોકે એરિસ્ટોટલ દ્વારા સ્વયંસિદ્ધ અને અનુમાનની વિભાવનાઓનો ઉલ્લેખ પહેલેથી જ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રાચીન ગ્રીક લોકોમાં, સ્વયંસિદ્ધ એક સ્પષ્ટ રીતે ઘડવામાં આવેલ દરખાસ્ત હતી જે એટલી સ્વયંસ્પષ્ટ હતી કે તે સાબિત થઈ શકી ન હતી અને અન્ય પુરાવા માટે તેનો આધાર તરીકે ઉપયોગ થતો હતો. પોસ્ટ્યુલેટ એ અમુક બાંધકામ કરવાની સંભાવના વિશેનું નિવેદન છે. તેથી, "આખું એ ભાગ કરતાં મોટું છે" એ એક સ્વયંસિદ્ધ છે, અને "આપેલ ત્રિજ્યા સાથે આપેલ બિંદુ પરથી તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો" એ અનુમાન છે. ત્યારપછી, સ્વયંસિદ્ધની વિભાવનાએ પોસ્ટ્યુલેટની વિભાવનાને શોષી લીધી, કારણ કે વર્ણનાત્મકતા અને રચનાત્મકતાની વિભાવનાઓ સાકાર થઈ ન હતી (એક સ્વયંસિદ્ધ વર્ણન કરે છે, એક પોસ્ટ્યુલેટ બનાવે છે). હેલેનિક ભૂમિતિના લગભગ તમામ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો એટલી સ્પષ્ટ અને સફળતાપૂર્વક ઘડવામાં આવ્યા હતા કે તેઓએ શંકા ઊભી કરી ન હતી. જો કે, યુક્લિડની જોગવાઈઓમાંની એક, એટલે કે પાંચમી પોસ્ટ્યુલેટ, વિધાનને સમકક્ષ "રેખાની બહાર પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ એકની સમાંતર રેખા દોરી શકે છે, અને માત્ર એક," શરૂઆતથી જ શંકામાં હતી. તદુપરાંત, યુક્લિડ પહેલાં, હેલેન્સે ત્રણેય સંભવિત પૂર્વધારણાઓની શોધ કરી હતી: 1) એક સમાંતર રેખા દોરવી અશક્ય છે, 2) એક કરતાં વધુ દોરવાનું શક્ય છે, અને 3) ફક્ત એક સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે; પરંતુ યુક્લિડે ઇરાદાપૂર્વક એક ફોર્મ્યુલેશન પસંદ કર્યું, કારણ કે ફક્ત આ કિસ્સામાં ચોરસ અને આંકડાઓની સમાનતાનો ખ્યાલ અસ્તિત્વમાં હતો. ત્યારબાદ, વિકલ્પોની હાજરી ભૂલી ગઈ હતી, અને પાંચમી ધારણાને વારંવાર સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો. 17મી સદી સુધી. A. m. થોડો વિકાસ થયો. યુક્લિડ અને આર્કિમિડીસે સ્ટેટિક્સ અને ઓપ્ટિક્સના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ઘડ્યા હતા, અને પછીથી, ભાષ્ય અને કેનોનાઇઝેશન તરફના સામાન્ય વલણના સંબંધમાં, સંશોધનનું ભાષાંતર કરવામાં આવ્યું હતું, અથવા, શ્રેષ્ઠ રીતે, જૂની પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું. તે આશ્ચર્યજનક નથી કે નવા ગણિતની શરૂઆત AM ના અસ્વીકાર સાથે થઈ હતી, અને અનૌપચારિક સિદ્ધાંત તરીકે અનંત તત્વોનું વિશ્લેષણ વિકસિત થયું હતું. "આખું ભાગ કરતાં ઓછું છે" એ સ્વયંસિદ્ધની શંકાસ્પદતા સમજાઈ હતી, કારણ કે ક્યુસાના નિકોલસ અને તેના પછી ગેલિલિયોએ દર્શાવ્યું હતું કે અનંત એકંદર માટે સમગ્ર ભાગ માટે સમરૂપ હોઈ શકે છે. પરંતુ આ શોધને ઓછી આંકવામાં આવી હતી કારણ કે તે ખ્રિસ્તી ધર્મ સાથે ખૂબ સારી રીતે સંમત હતી (અનંત ભગવાનના વિવિધ હાઇપોસ્ટેસિસના ખ્યાલો સાથે). આગળ, ભૌમિતિક, કેવળ તર્કસંગત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીતિશાસ્ત્ર અને અધ્યાત્મશાસ્ત્રની સિસ્ટમ મેળવવાના પ્રયાસોમાં સ્પિનોઝાની નિષ્ફળતાએ માનવતાવાદી વિભાવનાઓ માટે વર્તમાન AM ની અયોગ્યતા દર્શાવી. એ પર પાછા ફરો. મી. 19મી સદીમાં થયું. તે બે શોધો પર આધારિત હતી - નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (યુક્લિડ પહેલાં શું જાણીતું હતું તે ફરીથી શોધવું, પરંતુ પછી સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયું), અને અમૂર્ત બીજગણિત. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં (ગૌસ, લોબાચેવ્સ્કી, બોલ્યાઈ) એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે પાંચમા પોસ્ટ્યુલેટની એક નકારાત્મકતા - એટલે કે, રેખાની બહાર પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ એકની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે - સુસંગત છે. ભૂમિતિના અન્ય ધરી સાથે. આમ, "માત્ર સાચી" અવકાશનું વર્ણન કરવા માટે બનાવવામાં આવેલ તે સ્વયંસિદ્ધ અને અનુમાન વાસ્તવમાં વિવિધ જગ્યાઓના સંપૂર્ણ વર્ગનું વર્ણન કરે છે. અમૂર્ત બીજગણિતમાં, નવી સંખ્યા પ્રણાલીઓ દેખાઈ, જેમાં તેમના સમગ્ર પરિવારો (ઉદાહરણ તરીકે, પી-એડિક સંખ્યાઓ) અને જૂથો જેવા ચલ માળખાંનો સમાવેશ થાય છે. સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને ચલ રચનાઓના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવું સ્વાભાવિક હતું, પરંતુ હવે કોઈએ તેમના સ્વ-પુરાવા પર આગ્રહ રાખ્યો નથી, પરંતુ તેમને ગાણિતિક પદાર્થોના વર્ગનું વર્ણન કરવાની એક રીત તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક અર્ધજૂથ એક જ સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - ગુણાકારની સહયોગીતા: a° (b o c) = (a o b)ઓ સાથે.ભૂમિતિમાં જ, શાસ્ત્રીય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના નિર્ણાયક પુનર્વિચારનો સમય આવી ગયો છે. ઇ. પાશે બતાવ્યું કે યુક્લિડે તેના દ્વારા વર્ણવેલ સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ રીતે અન્ય પોસ્ટ્યુલેટ જોયું નથી: "જો કોઈ સીધી રેખા ત્રિકોણની એક બાજુને છેદે છે, તો તે બીજી બાજુને પણ છેદે છે." તે આગળ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ત્રિકોણની સમાનતા માટેના એક માપદંડને સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવો આવશ્યક છે, અન્યથા પુરાવાઓની કઠોરતા ખોવાઈ જશે, કારણ કે આકૃતિઓ ખસેડવાની શક્યતા બાકીના સ્વયંસિદ્ધોમાંથી અનુસરતી નથી. નવા ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી અર્થહીન તરીકે "આખું ભાગ કરતાં ઓછું છે" એ સ્વયંસિદ્ધ શબ્દ કાઢી નાખવામાં આવ્યો હતો, અને આંકડાઓના માપ વચ્ચેના સંબંધ પર ઘણી જોગવાઈઓ સાથે બદલાઈ ગયો હતો. અને અંતે, ડી. હિલ્બર્ટે 19મી સદીની ગણિતની સર્વોચ્ચ સિદ્ધિઓના આધારે, ભૂમિતિનું નવું અક્ષયશાસ્ત્ર ઘડ્યું. હેલેનિક સમયમાં અને પછીના સમયમાં, સંખ્યાની વિભાવનાનું સ્વતઃ વર્ણન કરવામાં આવ્યું ન હતું. માત્ર 19મી સદીના અંતમાં. જી. પીઆનો (ઇટાલી) એ કુદરતી સંખ્યાઓનું અક્ષીયશાસ્ત્ર આપ્યું. પીઆનો અને હિલ્બર્ટના અક્ષીયશાસ્ત્રમાં ઉચ્ચ ક્રમનો એક સિદ્ધાંત છે, જે નિશ્ચિત ખ્યાલો વિશે નહીં, પરંતુ મનસ્વી ખ્યાલો અથવા એકંદર વિશે બોલે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિતમાં, આ ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત છે. ઉચ્ચ-ક્રમના સિદ્ધાંતો વિના, પ્રમાણભૂત ગાણિતિક બંધારણોનું અસંદિગ્ધ વર્ણન અશક્ય છે. બચાવ માટે A.M સેટ થિયરીતેના સંબંધી શોધ્યા પછી વિરોધાભાસબચાવ પોતે શ્રેષ્ઠ રીતે હાથ ધરવામાં આવ્યો ન હતો - પેચિંગ દ્વારા દાખલાઓસેટ થિયરીના તે સિદ્ધાંતો કે જે વિરોધાભાસ તરફ દોરી જતા નથી અને ગણિત માટે જરૂરી બાંધકામો પૂરા પાડતા હતા તે સિદ્ધાંતોને સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવામાં આવ્યા હતા. પરંતુ તે જ સમયે, એએમને તર્ક માટે સામાન્ય કરવામાં આવ્યું હતું. ડી. હિલ્બર્ટે ક્લાસિકલના અનુમાનના સ્વયંસિદ્ધ અને નિયમો સ્પષ્ટપણે ઘડ્યા પ્રસ્તાવિત તર્ક,અને પી. બર્નેસ - અનુમાનિત તર્ક.આજકાલ, નવા તર્કશાસ્ત્ર અને નવા બીજગણિત વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સ્વયંસિદ્ધ કાર્ય એ પ્રમાણભૂત રીત છે. આધુનિક ગાણિતિક પદ્ધતિઓ પરંપરાગત પદ્ધતિઓથી અલગ પડે છે જેમાં માત્ર સ્વયંસિદ્ધ જ નહીં, પણ ભાષા પણ સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત હોય છે, અને તર્કશાસ્ત્રમાં, સિદ્ધાંત અથવા સિસ્ટમના અનુમાનના નિયમો પણ વર્ણવવામાં આવે છે. સંશોધિત અને મજબૂત AM જ્ઞાનના આવા નવા ક્ષેત્રોમાં એક શક્તિશાળી શસ્ત્ર બની ગયું છે જ્ઞાનાત્મક વિજ્ઞાનઅને ગાણિતિક ભાષાશાસ્ત્ર. તે તમને સિમેન્ટીક સમસ્યાઓને સિન્ટેક્ટિક સમસ્યાઓના સ્તરે ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે અને ત્યાંથી તેમને હલ કરવામાં મદદ કરે છે. તાજેતરના દાયકાઓમાં, જેમ કે મોડલ્સનો સિદ્ધાંત વિકસિત થયો છે, એએમને આવશ્યકપણે મોડેલ-સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા પૂરક બનાવવામાં આવ્યું છે. સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની રચના કરતી વખતે, તેના મોડેલોની સંપૂર્ણતાનું વર્ણન કરવું જરૂરી છે. સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલી માટે લઘુત્તમ જરૂરી વાજબીપણું એ આપેલ વર્ગના મોડેલ માટે તેની શુદ્ધતા અને સંપૂર્ણતા છે. પરંતુ એપ્લિકેશનો માટે આવા ઔપચારિક સમર્થન પૂરતું નથી - બાંધવામાં આવેલી સિસ્ટમનો અર્થપૂર્ણ અર્થ અને તેની અભિવ્યક્ત ક્ષમતાઓ દર્શાવવી પણ જરૂરી છે. ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રની મુખ્ય ગાણિતિક મર્યાદા એ છે કે ઉચ્ચ-ક્રમનું તર્ક એ અનૌપચારિક અને અપૂર્ણ છે, અને તેના વિના પ્રમાણભૂત ગાણિતિક બંધારણોનું વર્ણન કરવું અશક્ય છે. તેથી, તે વિસ્તારોમાં જ્યાં ચોક્કસ સંખ્યાત્મક અંદાજો છે, AM સંપૂર્ણ ગાણિતિક ભાષામાં લાગુ કરી શકાતું નથી. આવા વિસ્તારોમાં, માત્ર અપૂર્ણ અને અસંગત, કહેવાતા આંશિક અથવા અર્થપૂર્ણ, અક્ષીયકરણ શક્ય છે. વિભાવનાઓની બિન-ઔપચારિકતા, વિચિત્ર રીતે પૂરતી, આ વિભાવનાઓ માટે AM ના ઉપયોગને અટકાવતી નથી. તેમ છતાં, નિશ્ચિત વાતાવરણમાં કામ કરતી વખતે, વધુ અસરકારક ઔપચારિક મોડલ્સ તરફ જવાનું અર્થપૂર્ણ છે. આ કિસ્સામાં, ઔપચારિકતાનું સકારાત્મક લક્ષણ ઘણીવાર વાસ્તવિક પરિસ્થિતિ સાથે તેમની અસંગતતા હોઈ શકે છે. ઔપચારિકતાઓ વિભાવનાઓની સામગ્રી સાથે સંપૂર્ણ રીતે અનુરૂપ હોઈ શકતી નથી, પરંતુ જો આ અસંગતતાઓ છુપાયેલી હોય, તો ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ ઘણીવાર ચાલુ રહે છે પછી પણ પરિસ્થિતિ તેમના ઉપયોગ માટે યોગ્ય હોવાનું બંધ થઈ જાય, અને એવી પરિસ્થિતિમાં પણ કે જે તેમના ઉપયોગ માટે યોગ્ય ન હતી. ખૂબ જ શરૂઆત. આંશિક ઔપચારિકરણ માટે સમાન જોખમો અસ્તિત્વમાં છે. હું એન. નેપેયવોડા

ઉત્તમ વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ વ્યાખ્યા ↓

(ગ્રીક એક્સિઓમા - નોંધપાત્ર, સ્વીકૃત સ્થિતિ) - સિદ્ધાંત બનાવવાની એક રીત જેમાં કેટલાક સાચા નિવેદનો પસંદ કરવામાં આવે છે...

(ગ્રીક એક્સિઓમા - નોંધપાત્ર, સ્વીકૃત સ્થિતિ) - સિદ્ધાંત બનાવવાની એક પદ્ધતિ જેમાં કેટલાક સાચા નિવેદનોને પ્રારંભિક સ્થિતિ (એક્સિઓમ્સ) તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના બાકીના સાચા નિવેદનો (પ્રમેય) પછી તાર્કિક રીતે અનુમાનિત અને સાબિત થાય છે. A.M.નું વૈજ્ઞાનિક મહત્વ એરિસ્ટોટલ દ્વારા વાજબી ઠેરવવામાં આવ્યું હતું, જેણે સાચા નિવેદનોના સંપૂર્ણ સમૂહને મૂળભૂત ("સિદ્ધાંતો") અને પુરાવાની જરૂર હોય તેવા ("સાબિત કરી શકાય તેવા")માં વિભાજિત કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. તેના વિકાસમાં એ.એમ. ત્રણ તબક્કામાંથી પસાર થયા. પ્રથમ તબક્કે એ.એમ. અર્થપૂર્ણ હતા, તેમની સ્પષ્ટતાના આધારે સ્વયંસિદ્ધ સ્વીકારવામાં આવ્યા હતા. સિદ્ધાંતના આવા આનુમાનિક બાંધકામનું ઉદાહરણ યુક્લિડનું "તત્વો" છે. બીજા તબક્કે, ડી. હિલ્બર્ટે એ.એમ.ની અરજી માટે ઔપચારિક માપદંડ રજૂ કર્યો. - સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની સુસંગતતા, સ્વતંત્રતા અને સંપૂર્ણતાની જરૂરિયાત. ત્રીજા તબક્કામાં A.M. ઔપચારિક બની જાય છે. તદનુસાર, "સ્વતત્ય" ની વિભાવના બદલાઈ ગઈ છે. જો A.M ના વિકાસના પ્રથમ તબક્કે તે માત્ર પુરાવાના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે જ નહીં, પણ એક સાચી સ્થિતિ તરીકે પણ સમજવામાં આવ્યું હતું જેને તેની સ્પષ્ટતાને કારણે પુરાવાની જરૂર નથી, પછી વર્તમાનમાં સિદ્ધાંતના આવશ્યક તત્વ તરીકે સ્વયંસિદ્ધ સાબિત થાય છે, જ્યારે બાદમાંની પુષ્ટિ માનવામાં આવે છે. બાંધકામના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે તેના સ્વયંસિદ્ધ પાયાની પુષ્ટિ તરીકે તે જ સમયે. એ.એમ.માં મુખ્ય અને પ્રારંભિક નિવેદનો ઉપરાંત. વિશેષ અનુમાન નિયમોનું સ્તર પણ બહાર આવવા લાગ્યું. આમ, સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયની સાથે, આપેલ સિદ્ધાંતના તમામ સાચા નિવેદનોના સમૂહ તરીકે, અનુમાનના નિયમો માટે સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેય ઘડવામાં આવે છે - મેટાએક્સિઓમ્સ અને મેટાથિયોરેમ્સ. 1931 માં, કે. ગોડેલે કોઈપણ ઔપચારિક પ્રણાલીની મૂળભૂત અપૂર્ણતા વિશે એક પ્રમેય સાબિત કર્યો, કારણ કે તેમાં નિર્ણાયક દરખાસ્તો છે જે અકલ્પ્ય અને અકાટ્ય છે. તેના પર લાદવામાં આવેલી મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેતા, AM ને એક વિકસિત ઔપચારિક (અને માત્ર વાસ્તવિક નહીં) સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓમાંની એક તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેમાં હાઇપોથેટિકો-ડિડક્ટિવ પદ્ધતિ (જેને ક્યારેક "અર્ધ-સ્વયંતુલિત" તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે) સાથે. અને ગાણિતિક પૂર્વધારણાની પદ્ધતિ. એ.એમ.થી વિપરીત, હાયપોથેટિકો-ડિડક્ટિવ પદ્ધતિમાં પૂર્વધારણાઓના પદાનુક્રમના નિર્માણનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં એક જ અનુમાનિત પ્રણાલીના માળખામાં નબળા પૂર્વધારણાઓ મજબૂત લોકોમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં અનુમાનની મજબૂતાઈ પ્રયોગમૂલકથી અંતર સાથે વધે છે. વિજ્ઞાનનો આધાર. આ અમને A.M પ્રતિબંધોની શક્તિને નબળી બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે: સિદ્ધાંતની પ્રારંભિક જોગવાઈઓ દ્વારા સખત રીતે બંધાયેલા ન હોય તેવી વધારાની પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરવાની સંભાવનાને કારણે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની બંધતાને દૂર કરવા માટે; વાસ્તવિકતાના સંગઠનના વિવિધ સ્તરોની અમૂર્ત વસ્તુઓ રજૂ કરો, એટલે કે. "બધા વિશ્વમાં" એક્સિઓમેટિક્સની માન્યતા પરના પ્રતિબંધને દૂર કરો; સ્વયંસિદ્ધની સમાનતાની જરૂરિયાતને દૂર કરો. બીજી બાજુ, A.M., ગાણિતિક પૂર્વધારણાની પદ્ધતિથી વિપરીત, જે અણધારી ઘટના સાથે સંબંધિત ગાણિતિક પૂર્વધારણાઓ બાંધવા માટેના નિયમો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, તે ચોક્કસ વિષયવસ્તુના વિષયોને આકર્ષવા માટે પરવાનગી આપે છે.

વી.એલ. અબુશેન્કો

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

કપાતાત્મક રીતે વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો બનાવવાની પદ્ધતિઓમાંથી એક, જેમાં: 1) ચોક્કસ સમૂહ પસંદ કરવામાં આવે છે જે વિના સ્વીકારવામાં આવે છે...

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતોને અનુમાનિત રીતે રચવાની પદ્ધતિઓ પૈકીની એક, જેમાં: 1) ચોક્કસ સિદ્ધાંત (સિદ્ધાંત) ની દરખાસ્તોનો ચોક્કસ સમૂહ પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે; 2) તેમાં સમાવિષ્ટ વિભાવનાઓ આ સિદ્ધાંતના માળખામાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી; 3) આપેલ સિદ્ધાંતની વ્યાખ્યાના નિયમો અને અનુમાનના નિયમો નિશ્ચિત છે, જે સિદ્ધાંતમાં નવા શબ્દો (વિભાવનાઓ) દાખલ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને તાર્કિક રીતે અન્ય લોકો પાસેથી કેટલીક દરખાસ્તો મેળવી શકે છે; 4) આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ પ્રસ્તાવો (પ્રમેય) (3) ના આધારે (1) પરથી લેવામાં આવ્યા છે. એ.એમ. વિશેના પ્રથમ વિચારો પ્રાચીનમાં ઉદ્ભવ્યા. ગ્રીસ (Eleatics, પ્લેટો. એરિસ્ટોટલ, યુક્લિડ). ત્યારબાદ, ફિલસૂફી અને વિજ્ઞાનના વિવિધ વિભાગો (સ્પિનોઝા, ન્યુટન, વગેરે) ની સ્વયંસિદ્ધ પ્રસ્તુતિ પ્રદાન કરવાના પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા હતા. સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ સ્વયંસિદ્ધની વ્યાખ્યા અને પસંદગી માટે બીજા અર્ધથી શરૂ કરીને, 19મી સદીમાં, ગણિત અને ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રના પ્રમાણીકરણની સમસ્યાઓના સઘન વિકાસના સંબંધમાં, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને ઔપચારિક તરીકે ગણવામાં આવે છે (અને 20 થી. 20મી સદીના -30s - એક ઔપચારિક) સિસ્ટમ તરીકે, તેના તત્વો (ચિહ્નો) વચ્ચે સંબંધો સ્થાપિત કરવા અને તેને સંતોષતા પદાર્થોના કોઈપણ સમૂહનું વર્ણન કરે છે. તે જ સમયે, મુખ્ય સિસ્ટમની સુસંગતતા, તેની સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની સ્વતંત્રતા, વગેરેને સ્થાપિત કરવા પર ધ્યાન આપવાનું શરૂ થયું. એ હકીકતને કારણે કે સાઇન સિસ્ટમ્સને કાં તો તેમાં રજૂ કરી શકાય તેવી સામગ્રીને ધ્યાનમાં લીધા વિના અથવા લેતી વખતે ગણવામાં આવે છે. તેને ધ્યાનમાં રાખીને, સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક અલગ-અલગ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીઓ છે (માત્ર બાદમાં જ વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) આ ભેદને મૂળભૂતની રચનાની આવશ્યકતા હતી. તેમના માટેની આવશ્યકતાઓ, બે સ્તરો પર, સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક (સિન્ટેક્ટિક અને સિમેન્ટીક સુસંગતતા, સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધતાની સ્વતંત્રતા, વગેરે.) ઔપચારિક સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ તેમની મૂળભૂત મર્યાદાઓની સ્થાપના તરફ દોરી ગયું, જેમાંથી મુખ્ય છે સંપૂર્ણ સ્વતઃકરણની અશક્યતા. Gödel વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું અંકગણિત) દ્વારા સાબિત થયેલ પૂરતી વિકસિત પ્રણાલીઓ, જે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના સંપૂર્ણ ઔપચારિકકરણની અશક્યતાને સૂચિત કરે છે, તે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના નિર્માણ માટે માત્ર એક પદ્ધતિ છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિકના માધ્યમ તરીકે થાય છે. શોધ ખૂબ મર્યાદિત છે. સામાન્ય રીતે સિદ્ધાંતને તેની સામગ્રીમાં પૂરતા પ્રમાણમાં બાંધવામાં આવે તે પછી હાથ ધરવામાં આવે છે, અને તે તેના વધુ સચોટ પ્રતિનિધિત્વના હેતુને પૂર્ણ કરે છે, ખાસ કરીને, છેલ્લા 30-40 વર્ષોમાં સ્વીકૃત પરિસરમાંથી તમામ પરિણામોની કડક વ્યુત્પત્તિ માત્ર ગાણિતિક વિદ્યાશાખાના જ નહીં, પરંતુ વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની રચના અને ગતિશીલતાના સિદ્ધાંતો સહિત ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, મનોવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, ભાષાશાસ્ત્ર, વગેરેના અમુક વિભાગો પર પણ ધ્યાન આપવામાં આવ્યું છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન (સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બિન-ગાણિતિક) જ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ગાણિતિક પદ્ધતિઓ એક અનુમાનિત-આનુમાનિક પદ્ધતિના સ્વરૂપમાં દેખાય છે (ઔપચારિકકરણ પણ જુઓ)

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

સિદ્ધાંત બનાવવાની એક પદ્ધતિ જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક જોગવાઈઓ પર આધારિત છે - સ્વયંસિદ્ધ અથવા અનુમાન...

સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં તે ચોક્કસ પ્રારંભિક જોગવાઈઓ પર આધારિત છે - સ્વયંસિદ્ધ અથવા અનુમાન, જેમાંથી આ સિદ્ધાંતના અન્ય તમામ નિવેદનો સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં સિદ્ધાંતની કેટલીક જોગવાઈઓને પ્રારંભિક તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને બાકીની બધી...

વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતના નિર્માણની એક પદ્ધતિ જેમાં સિદ્ધાંતની કેટલીક જોગવાઈઓને પ્રારંભિક તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને તેની અન્ય તમામ જોગવાઈઓ પુરાવા દ્વારા, સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે તેમાંથી કાઢવામાં આવે છે. સ્વયંસિદ્ધના આધારે સાબિત થયેલા નિવેદનોને પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

A. m. એ પદાર્થો અને તેમની વચ્ચેના સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક વિશેષ રીત છે (જુઓ: સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા). A. m. નો ઉપયોગ ગણિત, તર્કશાસ્ત્ર, તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન વગેરેની કેટલીક શાખાઓમાં થાય છે. A. m. એ પ્રાચીનકાળમાં ઉદ્ભવ્યું હતું અને 330-320 ની આસપાસ દેખાયા હતા. પૂર્વે ઇ. યુક્લિડ, જો કે, તેણે વાસ્તવમાં ઉપયોગમાં લીધેલ ભૌમિતિક વસ્તુઓના તમામ ગુણધર્મોને તેના "સિદ્ધાંતો અને અનુમાન" માં વર્ણવવામાં નિષ્ફળ ગયા; તેના પુરાવા અસંખ્ય રેખાંકનો સાથે હતા. યુક્લિડની ભૂમિતિની "છુપાયેલી" ધારણાઓ આધુનિક સમયમાં જ ડી. હિલ્બર્ટ (1862-1943) દ્વારા જાહેર કરવામાં આવી હતી, જેમણે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને ઔપચારિક સિદ્ધાંત તરીકે ગણાવ્યો હતો જે તેના તત્વો (ચિહ્નો) વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરે છે અને તેને સંતોષતા પદાર્થોના કોઈપણ સમૂહનું વર્ણન કરે છે. . આજકાલ, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ઘણીવાર ઔપચારિક પ્રણાલીઓ તરીકે ઘડવામાં આવે છે જેમાં સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી પ્રમેય મેળવવાના તાર્કિક માધ્યમોનું ચોક્કસ વર્ણન હોય છે. આવા સિદ્ધાંતમાં સાબિતી એ સૂત્રોનો ક્રમ છે, જેમાંથી દરેક કાં તો સ્વયંસિદ્ધ છે અથવા અનુમાનના સ્વીકૃત નિયમોમાંથી એક અનુસાર અનુક્રમમાં અગાઉના સૂત્રોમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

એક સ્વયંસિદ્ધ ઔપચારિક સિસ્ટમ સુસંગતતા, સંપૂર્ણતા, સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમની સ્વતંત્રતા વગેરેની જરૂરિયાતોને આધીન છે.

એ.એમ. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની રચના કરવાની એક માત્ર પદ્ધતિ છે. તે મર્યાદિત એપ્લિકેશન ધરાવે છે, કારણ કે તેને ઉચ્ચ સ્તરીય સ્વતઃસ્થિત સિદ્ધાંતના વિકાસની જરૂર છે.

પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી અને તર્કશાસ્ત્રી કે. ગોડેલે બતાવ્યું તેમ, એકદમ સમૃદ્ધ વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો અંકગણિત) સંપૂર્ણ સ્વયંસિદ્ધીકરણને મંજૂરી આપતા નથી. આ A.M ની મર્યાદાઓ દર્શાવે છે. અને વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના સંપૂર્ણ ઔપચારિકકરણની અશક્યતા (જુઓ: ગોડેલનું પ્રમેય).