ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો માટે મેક્સવેલના સમીકરણો. તરંગ સમીકરણ

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ સૂત્ર સ્ટોક્સ , જે મુજબ બંધ લૂપ સાથે વેક્ટરનું પરિભ્રમણ એલઆ સમોચ્ચ પર આરામ કરતી સપાટી દ્વારા આ વેક્ટરના રોટર પ્રવાહની બરાબર છે. પછી:

ચાલો એસ — એક સમોચ્ચ દ્વારા બંધાયેલ મનસ્વી સમય-અચલ સપાટી એલ.પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ (1.2.7) નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

પરિણામી પૂર્ણાંકોમાં એકીકરણનો સમોચ્ચ મનસ્વી હોવાથી, પૂર્ણાંકોની શૂન્યની સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો તે શૂન્યની બરાબર હોય. સંકલન. પછી:

સમીકરણો (1.3.2) મેક્સવેલના સમીકરણો છે.

મોટા ભાગના કોર્સમાં અમે એવા ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લઈશું જે સમય પ્રમાણે બદલાય છે હાર્મોનિક કાયદો:

જેના માટે એક જટિલ રેકોર્ડિંગ ફોર્મ અપનાવવામાં આવે છે:

જ્યાં — જટિલ કંપનવિસ્તાર. મુ જટિલ સ્વરૂપહાર્મોનિક ક્ષેત્રો રેકોર્ડ કરવા માટે, સમય વ્યુત્પન્નને ગુણાકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે .

પછી હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાતા ક્ષેત્રો માટે મેક્સવેલના સમીકરણો (1.3.2) સ્વરૂપ લે છે:

ચાલો પ્રચારના સૌથી સરળ કેસ માટે મુસવેલના સમીકરણોનો ઉકેલ શોધીએ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગશૂન્યાવકાશમાં.

શૂન્યાવકાશમાં. તેથી, શૂન્યાવકાશ માટે, મેક્સવેલના સમીકરણો (1.3.4) ફોર્મ લે છે:

ચાલો (1.3.5) થી બાકાત રાખીએ. આ કરવા માટે અમે ઓપરેશન લાગુ કરીએ છીએ રોટપ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુએ: . હવે બીજા સમીકરણમાંથી મૂલ્યને બદલીએ. પરિણામે આપણને મળે છે:

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ જાણીતો ગુણોત્તરવેક્ટર બીજગણિત

ચાલો તે મુજબ યાદ કરીએ સાથેગૌસ-ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી પ્રમેય

અને ચાલો તેને શૂન્યાવકાશમાં ધ્યાનમાં લઈએ મફત શુલ્કના (એટલે ​​કે). ચાલો (1.3.8) અને (1.3.7) ને (1.3.6) માં બદલીએ. પરિણામે આપણને મળે છે:

પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે તરંગ સમીકરણ . એવી જ રીતે, કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેક્ટર માટે તરંગ સમીકરણ મેળવી શકે છે.

તરંગ સમીકરણનો સૌથી સ્પષ્ટ ઉકેલ એ એક ગોળાકાર તરંગ છે જે એક બિંદુ ઉત્સર્જકની આસપાસ ફેલાય છે. ગોળાકાર તરંગ માટે ઉકેલ મેળવવા માટે, તમારે સમીકરણ (1.3.9) માં લેપ્લેસ ઓપરેટરને રજૂ કરવાની જરૂર છે ગોળાકાર સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, જે તદ્દન બોજારૂપ તરફ દોરી જશે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ. ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓને સરળ બનાવવા માટે, અમે તરંગ સમીકરણને હલ કરવાનું વિચારીશું વિમાન તરંગ, જે એક સંકલનનું કાર્ય છે.

ફિગ.1.3.1. લેઆઉટ ડાયાગ્રામ દર્શાવેલ છે પાવર લાઈનગોળાકાર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ. આકૃતિ એ હકીકત દર્શાવે છે કે લાંબા અંતરઉત્સર્જકમાંથી, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડને દિશામાં પ્રસરણ કરતી પ્લેન તરંગ તરીકે ગણી શકાય પ્લેન પર લંબરૂપસતત તબક્કો, અને તરંગની લાક્ષણિકતાઓ પ્રચારની દિશા સાથે માત્ર એક સંકલન પર આધાર રાખે છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે માં સામાન્ય કેસતરંગ છે ગોળાકાર સમપ્રમાણતા, વી મર્યાદિત વિસ્તાર, ચોરસ દ્વારા નિયુક્ત, અમે પ્લેન તરંગ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ, જેની લાક્ષણિકતાઓ ફક્ત એક સંકલન પર આધારિત છે.

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે એક-પરિમાણીય લેપ્લેસ ઓપરેટરનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

અને અમને પ્લેન વેવ માટે એક-પરિમાણીય તરંગ સમીકરણ મળે છે:

ફિગ.1.3.1. ગોળાકાર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની બળ રેખાઓની યોજના.

કોઈપણ વિભેદક સમીકરણ પ્રાપ્ત કરે છે ભૌતિક અર્થ, જો તેના ઉકેલ માટે સીમાની શરતો ઉલ્લેખિત છે. સમીકરણનો ઉકેલ (1.3.11) હકારાત્મક અને નકારાત્મક દિશાઓ z અક્ષ તરીકે સ્વીકારીશું સીમા શરતોનિવેદન કે વિચારણા હેઠળના માધ્યમમાં પ્લેન તરંગ માત્ર એક જ દિશામાં પ્રચાર કરી શકે છે. તેથી, અમારી પાસે સમીકરણ (1.3.11) માટે z અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે પ્રસારતી પ્લેન તરંગ માટેનો ઉકેલ છે:

તરંગનો તબક્કો:

જ્યાં K-તરંગ સંખ્યા (સામાન્ય રીતે, તરંગ વેક્ટર).

આપેલ સાથે ફીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ વેક્ટરનું નિશ્ચિત ઓરિએન્ટેશન સંકલન અક્ષકહેવાય છે તરંગ ધ્રુવીકરણ . સંબંધ (1.3.12) તણાવના ધ્રુવીકરણને સ્પષ્ટ કરે છે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રધરી સાથે એક્સ.

ફિગમાં 1.3.2. સતત તબક્કાના વિમાનની સ્થિતિ સમયની બે ક્ષણો માટે બતાવવામાં આવે છે.

ફિગ.1.3.2. સતત તબક્કાના પ્લેનની ગતિ.

સતત તબક્કાના વિમાન માટે ( φ = const), જે z અક્ષ સાથે આગળ વધે છે, તેનો સમય વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે:

(1.1.26) અનુસાર અમે મેળવીએ છીએ:

સ્થિર તબક્કાની સપાટીની હિલચાલની ગતિ ક્યાં છે અથવા તબક્કાની ઝડપ.

(1.3.12) ને (1.3.11) માં બદલીને આપણને મળે છે

અને, ઘટાડો કર્યા , અમે મેળવીએ છીએ ખાલી જગ્યામાં પ્લેન વેવ માટે વિક્ષેપ સમીકરણ:

અથવા (1.3.16)

માટે અભિવ્યક્તિમાં વિવિધ ચિહ્નો કેધરી સાથે પ્રસરી રહેલા તરંગોને અનુરૂપ ઝેડજુદી જુદી દિશામાં. (1.3.14) અનુસાર:

ખાલી જગ્યામાં, જ્યાં સી- પ્રકાશની ગતિ.

આમ, મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે ખાલી જગ્યામાં પ્રકાશની ગતિ શૂન્યાવકાશની ડાઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય અભેદ્યતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

શૂન્યાવકાશની ડાઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય અભેદ્યતા એ સ્થિર ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલી જગ્યાની લાક્ષણિકતાઓ છે. તેમાંથી પ્રથમ માત્ર લાક્ષણિકતા ધરાવે છે ડાઇલેક્ટ્રિક ગુણધર્મોપર્યાવરણ અને બીજો માત્ર છે ચુંબકીય ગુણધર્મો. ફોર્મ્યુલા (1.3.18) દ્વારા પ્રસ્તુત માસ્કવેલના સમીકરણોને ઉકેલવાનું પરિણામ, ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સ, મેગ્નેટોસ્ટેટિક્સ અને પ્રકાશના પ્રસારની ગતિશીલ પ્રક્રિયાને એકસાથે જોડે છે.

ખરેખર, ડાઇલેક્ટ્રિક સતતબે જાણીતા શુલ્ક વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના બળને માપીને પ્રાયોગિક રીતે મેળવી શકાય છે પ્રશ્ન 1અને Q2ના અંતરે સ્થિત છે આરએકબીજા પાસેથી:

(કુલોમ્બનો કાયદો).

.

ચુંબકીય અભેદ્યતા લંબાઈ અને પ્રવાહના બે વાહક વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના બળને માપીને મેળવી શકાય છે અને તે મુજબ, અંતરે સ્થિત છે. આરએકબીજા પાસેથી:

(બાયોટ-સાવાર્ટ-લાપ્લેસ કાયદો)

આમ, સ્થિર પ્રયોગમાંથી તમે મેળવી શકો છો સંખ્યાત્મક મૂલ્ય .

પરિણામે, મેક્સવેલના સમીકરણો સ્થિર માપનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ લાક્ષણિકતાઓના સંદર્ભમાં પ્રકાશની ગતિને વ્યક્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત ક્ષેત્ર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો (પ્રકાશ) ને એકસાથે સંબંધિત છે. ખ્યાલ બનાવટ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રઅને સમીકરણોની રચના જે તેનું વર્ણન કરે છે તે 20મી સદીના ભૌતિકશાસ્ત્રના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રારંભિક બિંદુઓમાંના એક તરીકે સેવા આપે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં ચાર્જના સંરક્ષણના નિયમને વ્યક્ત કરતું સાતત્ય સમીકરણ છે. 3. મેક્સવેલના સમીકરણો રિપોર્ટની તમામ જડ પ્રણાલીઓમાં સંતુષ્ટ છે. 4. મેક્સવેલના સમીકરણો સપ્રમાણ છે.

6.3.4. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો

મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ અને પ્રવાહો વિના સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે સક્ષમ છે. બદલાતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડમાં તરંગનું પાત્ર હોય છે અને તે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના સ્વરૂપમાં પ્રચાર કરે છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું અસ્તિત્વ મેક્સવેલના સમીકરણોને અનુસરે છે, જે વેક્ટર માટે તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે અને અનુક્રમે:

, (5.19)

ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમયમાં ફેરફાર વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે અને તેનાથી વિપરીત, વિદ્યુત ક્ષેત્રના સમયમાં ફેરફાર વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે. વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રેરિત વોર્ટેક્સ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર , વેક્ટર સાથે સ્વરૂપો ડાબા હાથની સિસ્ટમ (ફિગ. 7.2), અને ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા પ્રેરિત વમળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર , વેક્ટર સાથે સ્વરૂપો જમણા હાથની સ્ક્રુ સિસ્ટમ (ફિગ. 5.2).

તેમનું સતત આંતર રૂપાંતરણ થાય છે, જે તેને શક્ય બનાવે છે

ચાર્જ અને પ્રવાહોની ગેરહાજરીમાં અવકાશ અને સમયમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને પ્રચાર કરે છે.

આમ, મેક્સવેલના સિદ્ધાંતે માત્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી નથી, પરંતુ તેમના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પણ સ્થાપિત કર્યા છે:

તટસ્થ બિન-વાહક અને બિન-લોહચુંબકીય માધ્યમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ

(5.20)

જ્યાં c એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ છે.

ચોખા. 5.3 ફિગ. 5.4

ત્યાં એક જોડાણ છે, એટલે કે: E = vB અથવા
. (5.21)

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના અસ્તિત્વથી મેક્સવેલને પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ સમજાવવાની મંજૂરી મળી. પ્રકાશ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે.

6.3.5. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર ઊર્જાનો પ્રવાહ

જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો અવકાશ અને સમય દ્વારા પ્રસારિત થાય છે, તેઓ તેમની સાથે ઊર્જા વહન કરે છે. તે પરસ્પર પરિવર્તનશીલ ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં સમાયેલ છે.

વોલ્યુમેટ્રિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ઊર્જા ઘનતા

, (5.22)

જ્યાં E એ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની તાકાત છે.

વોલ્યુમેટ્રિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઊર્જા ઘનતા

, (5.23)

જ્યાં B ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન છે.

પરિણામે, અવકાશના પ્રદેશમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની વોલ્યુમેટ્રિક ઊર્જા ઘનતા જ્યાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ સમયની મનસ્વી ક્ષણે સ્થિત છે,

ડબલ્યુ= w e + w m =
. (5.24)

અથવા એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે E = cB અને
, અમારી પાસે છે

w =  o E 2 , (5.25)

અથવા
. (5.26)

એકમ વિસ્તાર દ્વારા એકમ સમય દીઠ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ દ્વારા સ્થાનાંતરિત ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જા પ્રવાહ ઘનતા કહેવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જા પ્રવાહ ઘનતા વેક્ટરને પોઇન્ટિંગ વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

પોઇંટિંગ વેક્ટર દિશા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની દિશા સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે ઊર્જા ટ્રાન્સફરની દિશા સાથે. ઊર્જા ટ્રાન્સફરની ઝડપ આ તરંગની તબક્કાની ઝડપ જેટલી છે.

જો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ, પ્રચાર કરતી વખતે, ચોક્કસ વિસ્તાર Sમાંથી પસાર થાય છે, જે તેના પ્રસારની દિશામાં લંબરૂપ છે, ઉદાહરણ તરીકે, X અક્ષ સાથે, તો પછી ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન dt તરંગ અંતર સુધી જશે dx = cdt, જ્યાં c એ તરંગ પ્રચારની ગતિ છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની વોલ્યુમેટ્રિક ઊર્જા ઘનતા હોવાથી

પછી વોલ્યુમમાં સમાયેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની કુલ ઊર્જા dW

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

પરિણામે, તા. પોઇંટિંગ વેક્ટર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે અને

. (5.29)

, એટલે કે

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

મેક્સવેલની સમીકરણોની પદ્ધતિમાં ચાર મૂળભૂત સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે આ સિસ્ટમ ત્રણ દ્વારા પૂરક છેભૌતિક સમીકરણો,

(3.5)

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ ભૌતિક જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરવા:

ચાલો આ ગાણિતિક શબ્દસમૂહોના ભૌતિક અર્થને યાદ કરીએ. પ્રથમ સમીકરણ (3.1) જણાવે છે કેઆ સમીકરણમાં ક્ષેત્ર ફક્ત ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ દ્વારા જ બનાવી શકાય છે - વેક્ટર વિદ્યુત વિસ્થાપન, ρ - ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જની વોલ્યુમેટ્રિક ઘનતા.

કોઈપણ બંધ સપાટી દ્વારા ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર ફ્લક્સ તે સપાટીની અંદર રહેલા ચાર્જની બરાબર છે.

પ્રયોગ બતાવે છે તેમ, બંધ સપાટી દ્વારા ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરનો પ્રવાહ હંમેશા શૂન્ય હોય છે (3.2)

સમીકરણો (3.2) અને (3.1) ની સરખામણી આપણને નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ ચુંબકીય ચાર્જ નથી.

સમીકરણો (3.3) અને (3.4) ખૂબ રસ અને મહત્વ ધરાવે છે. અહીં આપણે ઇલેક્ટ્રિક વોલ્ટેજ વેક્ટરના પરિભ્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ ( ) અને ચુંબકીય ( ) બંધ સમોચ્ચ સાથે ક્ષેત્રો.

સમીકરણ (3.3) જણાવે છે કે વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ( ) વમળ વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત છે ( .આ ફેરાડે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનની ઘટનાની ગાણિતિક રજૂઆત કરતાં વધુ કંઈ નથી.

સમીકરણ (3.4) ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. આ સમીકરણ અનુસાર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર વહન પ્રવાહ દ્વારા જ બનાવી શકાતું નથી ( ), પણ વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર દ્વારા .

આ સમીકરણોમાં:

- ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર,

એચ- ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિ,

ઇ- ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની શક્તિ,

j- વહન વર્તમાન ઘનતા,

μ - માધ્યમની ચુંબકીય અભેદ્યતા,

ε એ માધ્યમનો ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક છે.

1. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના ગુણધર્મો

છેલ્લું સેમેસ્ટર, ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણોની મેક્સવેલની સિસ્ટમની અમારી વિચારણા પૂર્ણ કરીને, અમે સ્થાપિત કર્યું કે સંયુક્ત નિર્ણયછેલ્લા બે સમીકરણો (વેક્ટર્સના પરિભ્રમણ વિશે અને ) વિભેદક તરંગ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે.

તેથી અમને “Y” તરંગનું તરંગ સમીકરણ મળ્યું:

. (3.6)

વિદ્યુત ઘટક y - તરંગો તબક્કા વેગ સાથે X ધરીની હકારાત્મક દિશામાં પ્રચાર કરે છે

(3.7)

સમાન સમીકરણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર y - તરંગના અવકાશ અને સમયમાં ફેરફારનું વર્ણન કરે છે:

. (3.8)

પ્રાપ્ત પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરીને, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોમાં અંતર્ગત સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો ઘડવાનું શક્ય છે.

1. પ્લેન “y” તરંગ એ રેખીય ધ્રુવીકૃત ટ્રાંસવર્સ તરંગ છે. વિદ્યુત વોલ્ટેજ વેક્ટર ( ), ચુંબકીય ( ) ક્ષેત્ર અને તરંગ તબક્કા વેગ ( ) પરસ્પર લંબ છે અને "જમણા હાથની" સિસ્ટમ બનાવે છે (ફિગ. 3.1).

2. અવકાશમાં દરેક બિંદુએ તરંગ ઘટક એચ z એ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની તાકાત માટે પ્રમાણસર છે ઇ y:

અહીં “+” ચિહ્ન X ધરીની સકારાત્મક દિશામાં પ્રસરી રહેલા તરંગને અનુરૂપ છે.

3. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ તબક્કાના વેગ સાથે X અક્ષ સાથે ખસે છે

અહીં
.

જ્યારે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ શૂન્યાવકાશમાં ફેલાય છે (ε = 1, μ = 1), તબક્કા વેગ

અહીં વિદ્યુત સ્થિરાંક ε 0 = 8.85 10 -12 છે

ચુંબકીય સ્થિરાંક μ 0 = 4π 10 -7

.

.

પ્રકાશની ગતિ સાથે વેક્યૂમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની ઝડપનો સંયોગ એ પ્રકાશની ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પ્રકૃતિનો પ્રથમ પુરાવો હતો.

શૂન્યાવકાશમાં, તરંગમાં ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રોની મજબૂતાઈ વચ્ચેનો સંબંધ સરળ બને છે.

.

જ્યારે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ ડાઇલેક્ટ્રિક માધ્યમમાં ફેલાય છે (μ = 1)
અને
.

મેક્સવેલનો સિદ્ધાંત ચાર સમીકરણો પર આધારિત છે:

1. ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ક્યાં તો સંભવિત હોઈ શકે છે ( ઇ q), અને વમળ ( ઇબી), તેથી કુલ ક્ષેત્રની તાકાત ઇ=ઇ Q+ ઇબી. વેક્ટરના પરિભ્રમણથી ઇ q શૂન્ય બરાબર છે, અને વેક્ટરનું પરિભ્રમણ ઇ B એ અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, પછી કુલ ક્ષેત્રની તાકાત વેક્ટરનું પરિભ્રમણ આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોત માત્ર વિદ્યુત ચાર્જ જ નહીં, પણ સમય-વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્રો પણ હોઈ શકે છે.

2. સામાન્યકૃત વેક્ટર પરિભ્રમણ પ્રમેય એન: આ સમીકરણ બતાવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રો ક્યાં તો મૂવિંગ ચાર્જ દ્વારા અથવા વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.

3. ક્ષેત્ર માટે ગૌસનું પ્રમેય ડી: જો ચાર્જ વોલ્યુમની ઘનતા સાથે બંધ સપાટીની અંદર સતત વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો ફોર્મ્યુલા ફોર્મમાં લખવામાં આવશે.

4. ફીલ્ડ B માટે ગૌસનું પ્રમેય: તેથી, અભિન્ન સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ: મેક્સવેલના સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ માત્રાઓ સ્વતંત્ર નથી અને તેમની વચ્ચે નીચેનો સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે: ડી= 0 ઇ, B= 0 એન,j=ઇ, જ્યાં  0 અને  0 અનુક્રમે વિદ્યુત અને ચુંબકીય સ્થિરાંકો છે,  અને  - અનુક્રમે ડાઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય અભેદ્યતા,  - પદાર્થની ચોક્કસ વાહકતા.

સ્થિર ક્ષેત્રો માટે (E= const અને IN= const) મેક્સવેલના સમીકરણોફોર્મ લેશે એટલે કે, માં વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો આ કિસ્સામાંમાત્ર ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે, ચુંબકીય સ્ત્રોત માત્ર વહન પ્રવાહો છે. આ કિસ્સામાં, ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, જે અલગથી અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. કાયમીઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો.

IN વેક્ટર વિશ્લેષણથી જાણીતા સ્ટોક્સ અને ગૌસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે રજૂ કરી શકીએ છીએ વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ:

મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટેના સૌથી સામાન્ય સમીકરણો છે શાંત વાતાવરણ.તેઓ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના સિદ્ધાંતમાં એ જ ભૂમિકા ભજવે છે જે રીતે મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના નિયમો કરે છે. મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર હંમેશા તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, અને વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશા તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, એટલે કે, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા હોય છે. - તેઓ એક બનાવે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર.

66. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગનું વિભેદક સમીકરણ. પ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો.

માટે સજાતીયઅને ચાર્જ અને કરંટથી દૂર સમસ્થાનિક વાતાવરણ,ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડ બનાવવું, તે મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી અનુસરે છે કે તીવ્રતા વેક્ટર ઇઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે એનવૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર પ્રકારનું તરંગ સમીકરણ સંતોષે છે:

- લેપ્લેસ ઓપરેટર.

તે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના સ્વરૂપમાં અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની તબક્કાની ઝડપ અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (1) વિ - તબક્કા વેગ, જ્યાં c = 1/ 0  0,  0 અને  0 અનુક્રમે વિદ્યુત અને ચુંબકીય સ્થિરાંકો છે,  અને  એ અનુક્રમે માધ્યમની વિદ્યુત અને ચુંબકીય અભેદ્યતા છે.

શૂન્યાવકાશમાં (=1 અને =1 પર) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પ્રસારની ઝડપ ઝડપ સાથે એકરુપ હોય છે સાથે.> 1 થી, દ્રવ્યમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પ્રસારની ઝડપ શૂન્યાવકાશ કરતા હંમેશા ઓછી હોય છે.

ફોર્મ્યુલા (1) નો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રના પ્રસારની ઝડપની ગણતરી કરતી વખતે, જો આપણે આવર્તન પર  અને  ની અવલંબનને ધ્યાનમાં લઈએ તો, પ્રાયોગિક ડેટા સાથે ખૂબ સારી રીતે મેળ ખાતું પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના પ્રસારની ઝડપ સાથે પરિમાણીય ગુણાંક b નો સંયોગ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક અને ઓપ્ટિકલ ઘટના વચ્ચેનો ઊંડો જોડાણ સૂચવે છે, જેણે મેક્સવેલને પ્રકાશનો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સિદ્ધાંત બનાવવાની મંજૂરી આપી હતી, જે મુજબ પ્રકાશ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે.

સાથે મેક્સવેલના સિદ્ધાંતનું પરિણામ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની ત્રાંસીપણું છે: વેક્ટર ઇઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે એનતરંગના વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની શક્તિઓ પરસ્પર લંબરૂપ હોય છે (ફિગ. 227) અને તરંગ પ્રચારની ગતિના વેક્ટર v અને વેક્ટરને લંબરૂપ સમતલમાં હોય છે. ઇ, એનઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે વિજમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવો. મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે પણ અનુસરે છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં વેક્ટર ઇઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે એનહંમેશા અચકાવું સમાન તબક્કામાં(જુઓ ફિગ. 227), અને કોઈપણ બિંદુએ £ અને R ના તાત્કાલિક મૂલ્યો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે  0 =  0  એન.(2)

ઇ આ સમીકરણો સંતુષ્ટ છે, ખાસ કરીને, વિમાન દ્વારા મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો(એક કડક રીતે વ્યાખ્યાયિત આવર્તનના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો), સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ ઇ ખાતે =E 0 cos(t-kx+), (3) એચ z = એચ 0 cos(t-kx+), (4), ક્યાં ઇ 0 અને એન 0 - અનુક્રમે, તરંગની વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિઓના કંપનવિસ્તાર,  - તરંગની પરિપત્ર આવર્તન, k=/v - તરંગ સંખ્યા,  - સંકલન સાથેના બિંદુઓ પર ઓસિલેશનના પ્રારંભિક તબક્કાઓ x= 0. સમીકરણોમાં (3) અને (4)  સમાન છે, કારણ કે ઇલેક્ટ્રિક અને સ્પંદનો ચુંબકીય વેક્ટરઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં સમાન તબક્કા સાથે થાય છે.

સામાન્ય સ્વરૂપરેકોર્ડ તરંગ પ્રક્રિયા

વ્યાખ્યા 1

ચાલો માની લઈએ કે ભૌતિક જથ્થો$s$ ગતિ $v$ સાથે $X$ દિશામાં પ્રચાર કરે છે. આ મૂલ્ય($s$) વિસ્થાપન હોઈ શકે છે, રબર કોર્ડના ટુકડાઓની ગતિ, જ્યારે તે દોરીમાંથી પસાર થાય છે યાંત્રિક તરંગ. જો આપણે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, તો $s$ ને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની શક્તિ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન, વગેરે તરીકે સમજી શકાય છે. તરંગ પ્રક્રિયાને રેકોર્ડ કરવાનું સામાન્ય સ્વરૂપઆ રીતે દેખાય છે:

જ્યાં $t$ એ સમય છે, $x$ એ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા બિંદુનું સંકલન છે, $f$ એ કાર્ય પ્રતીક છે.

કોઈપણ મનસ્વી કાર્ય કે જેમાં માત્ર દલીલ $\left(t-\frac(x)(v)\right)$ હોય તે તરંગ પ્રક્રિયાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ચાલો ધારીએ કે નિરીક્ષક X-અક્ષ સાથે $v$ ની ઝડપે આગળ વધે છે. તેના સંકલનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

ચાલો અવેજી કરીએ જમણી બાજુએક્સપ્રેશન (2) ફોર્મ્યુલામાં (1) ચલ $x$ ને બદલે, આપણને મળે છે:

અભિવ્યક્તિ (3) પરથી તે અનુસરે છે કે ફંક્શન $f\left(-\frac(x_0)(v)\right)$ સમય પર આધારિત નથી, જેનો અર્થ $s$ ઝડપ $v$ સાથે પ્રચાર કરે છે.

તેવી જ રીતે, જો પ્રક્રિયા આ રીતે લખાયેલ હોય તો આપણે તે મેળવી શકીએ છીએ:

પછી $s$ પસંદ કરેલ $axis X$ સામે પ્રચાર કરે છે. જો આપણે ધારીએ કે $t=0$, તો પછી સમીકરણો (1) અને (4)માંથી આપણી પાસે છે:

અભિવ્યક્તિ (5) $s$ in નું વિતરણ નક્કી કરે છે પ્રારંભિક ક્ષણસમય જો $s$ એ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત છે, તો સૂત્ર (5) $t=0$ પર અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિતરણને સ્પષ્ટ કરે છે. તે તારણ આપે છે કે ફંકશનનું સ્વરૂપ $f$ પર આધાર રાખે છે પ્રારંભિક શરતોપ્રક્રિયા

તેથી, સમીકરણો (1) અને (4) છે સામાન્ય અભિવ્યક્તિએક તરંગ માટે જે X-અક્ષ સાથે ફેલાય છે.

તરંગ સમીકરણ

વ્યાખ્યા 2

કાર્ય $s$ સરળને સંતોષે છે વિભેદક સમીકરણ. તેને શોધવા માટે, અમે સમીકરણો (1) અને (4) ને અલગ પાડીએ છીએ, તેમને $x$ સંકલન સાથે બે વાર $\mp$ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને જોડીએ છીએ:

\[\frac((\આંશિક )^2s)(\partial x^2)=\frac(1)(v^2)f^("")\left(6\જમણે).\]

સમયના સંદર્ભમાં બીજા આંશિક વ્યુત્પન્નનું સ્વરૂપ હશે:

\[\frac((\આંશિક )^2s)(\partial t^2)=f^("")\left(7\જમણે).\]

સમીકરણો (6) અને (7) નો ઉપયોગ કરીને અમે લખીએ છીએ:

\[\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=v^2\frac(\partial^2s)(\આંશિક x^2)\left(8\જમણે).\]

સમીકરણ (8) કહેવાય છે તરંગ. ઘટનામાં કે તરંગ એક કરતા વધુ, પરંતુ અવકાશની બધી દિશામાં પ્રસારિત થાય છે, તો તરંગ સમીકરણ આ સ્વરૂપ લેશે:

\[\frac((\આંશિક )^2s)(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2s)(\partial x^2)+\frac((\partial) )^2s)(\partial y^2)+\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)\જમણે)\left(9\જમણે).\]

ટિપ્પણી

જો ભૌતિક જથ્થો તરંગના રૂપમાં પ્રચાર કરે છે, તો તેણે તરંગ સમીકરણને સંતોષવું જોઈએ. વિરુદ્ધ વિધાન સાચું છે: જો કોઈપણ જથ્થો તરંગ સમીકરણનું પાલન કરે છે, તો તે તરંગની જેમ પ્રચાર કરે છે. તરંગ પ્રચારની ઝડપ સમાન હશે વર્ગમૂળગુણાંકમાંથી જે અવકાશી ડેરિવેટિવ્સના સરવાળા માટે વપરાય છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો

ચાલો સજાતીય ડાઇલેક્ટ્રિક ($j_x=j_y=j_z=0$) માં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લઈએ. વધુમાં, અમે સમસ્યાને એક-પરિમાણીય ગણીશું, એટલે કે, અમે ધારીશું કે $\overrightarrow(E)\ અને\\overrightarrow(H)$ માત્ર એક સંકલન $x$ અને સમય $t$ પર આધારિત છે. . આ પરિસ્થિતિનો અર્થ એ છે કે આપણે સમગ્ર જગ્યાને ટોનિક સ્તરોમાં વિભાજીત કરી શકીએ છીએ (સ્તરની જાડાઈ શૂન્ય તરફ વળે છે), સપાટ સ્તરો, તેમની અંદર $\overrightarrow(E)\ અને\\overrightarrow(H)$ બિલકુલ સમાન મૂલ્ય લે છે. પોઈન્ટ આ કાર્યપ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગને અનુરૂપ છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રનું વર્ણન કરવા માટે આપણે મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

એક-પરિમાણીય કેસ માટે, મેક્સવેલના સમીકરણોની સિસ્ટમ નોંધપાત્ર રીતે સરળ છે, કારણ કે $y$ અને $z$ના સંદર્ભમાં તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યની બરાબર છે. સ્કેલર રજૂઆતમાં સમીકરણ (10) લખીને:

તે સ્પષ્ટ બને છે કે માં સજાતીય વાતાવરણએક-પરિમાણીય કેસ માટે:

એ જ રીતે, સમીકરણ (11)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે:

અભિવ્યક્તિઓ (15) અને (16) નો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રના આ ઘટકો સમય પર આધારિત નથી. અને સમીકરણો (12) અને (13) પરથી તે અનુસરે છે કે $D_x$ અને $B_x$ સંકલન પર આધાર રાખતા નથી. પરિણામે, અમારી પાસે તે $D_x=const,\ B_x=const$ છે.

જૂથ (14) ના બાકીના સમીકરણો ફોર્મ લેશે:

અભિવ્યક્તિ (11) નું પ્રતિનિધિત્વ કરતા સ્કેલર સ્વરૂપમાં સમીકરણોના જૂથમાંથી જે બાકી રહે છે તે છે:

અમે સમીકરણો (17) અને (18) ને બે સ્વતંત્ર ભાગો તરીકે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ. પ્રથમ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના $y$-ઘટક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના $z$-ઘટકને જોડે છે:

બીજો ભાગ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના $z$-ઘટક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના $y$-ઘટકને સંબંધિત છે:

તે તારણ આપે છે કે ચલ (સમયસર) ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ($D_y$) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ($H_z$) ના એક $z$-ઘટક પેદા કરે છે, એક ચલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_z$ સાથે નિર્દેશિત ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના દેખાવનું કારણ બને છે. $Y$ અક્ષ ($E_y$ ) (સમીકરણો 19). એટલે કે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રમાં, ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે. જોડી (20) માંથી સમાન નિષ્કર્ષ દોરી શકાય છે.

એક-પરિમાણીય કેસ માટે, મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમ આ રીતે લખી શકાય છે:

વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો તરંગો તરીકે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, કારણ કે આ તરંગોનું અસ્તિત્વ મેક્સવેલના સમીકરણને અનુસરે છે. કારણ કે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની શક્તિ ફોર્મના સમીકરણને સંતોષે છે:

તેથી, આ સમીકરણના ઉકેલને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિ ફોર્મના સમીકરણને સંતોષે છે:

તેથી, આ સમીકરણના ઉકેલને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

ઉદાહરણ 1

વ્યાયામ:ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડના એક-પરિમાણીય કેસના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બતાવો કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડની તરંગ પ્રકૃતિ મેક્સવેલના સમીકરણોને અનુસરે છે.

ઉકેલ:

સમસ્યાને ઉકેલવાના આધાર તરીકે, અમે એક-પરિમાણીય કેસ માટે મેક્સવેલના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

\[\frac(\partial D)(\partial t)=-\frac(\partial H)(\partial x),\\frac(\partial B)(\partial t)=-\frac(\partial E) )(\આંશિક x)\ડાબે(1.1\જમણે).\]

ચાલો સમીકરણોમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ ને બાકાત કરીએ (1.1). આ માટે, અમે પ્રથમ સમીકરણને $\mu (\mu )_0$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને સમાનતાની બંને બાજુઓનો આંશિક સમય વ્યુત્પન્ન કરીએ છીએ અને, સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, ઇલેક્ટ્રિકલને બદલીએ છીએ. અનુરૂપ ક્ષેત્રની તાકાત સાથે ઇન્ડક્શન, અમે મેળવીએ છીએ:

\[(\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon \ \frac((\partial )^2E)(\partial t^2)=-\mu (\mu )_0\frac((\આંશિક ) ^2H)(\partial x\partial t)\left(1.2\જમણે).\]

અમે જૂથ (1.1) માં બીજા સમીકરણને $x$ના સંદર્ભમાં અલગ કરીએ છીએ, ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઇન્ડક્શનને તેની તાકાત સાથે બદલો, અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને: $B=\mu (\mu )_0H$, અને અમારી પાસે છે:

\[\frac((\આંશિક )^2E)(\partial x^2)=-\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2H)(\partial x\partial t)\left(1.3 \અધિકાર).\]

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ (1.2) અને (1.3) સમાન છે, તેથી, આપણે ધારી શકીએ કે:

\[\frac((\આંશિક )^2E)(\આંશિક x^2)=(\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon \ \frac((\આંશિક )^2E)(\આંશિક t^ 2)\to \frac((\partial )^2E)(\partial t^2)=\frac(1)((\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon )\frac((\આંશિક ) ^2E)(\આંશિક x^2)\left(1.4\જમણે).\]

જો આપણે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની તાકાતને બાકાત રાખીએ તો ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત માટે સમાન સમીકરણ સરળતાથી મેળવી શકાય છે. સમીકરણ (1.4) એક તરંગ સમીકરણ છે.

જવાબ:ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડના ઇલેક્ટ્રિક ઘટકની મજબૂતાઈ માટેનું તરંગ સમીકરણ એક-પરિમાણીય સમસ્યા માટે મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી સીધા જ મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

વ્યાયામ:ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ઝડપ ($v$) કેટલી છે?

ઉકેલ:

સોલ્યુશનના આધાર તરીકે, અમે પ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની મજબૂતાઈ માટે તરંગ સમીકરણ લઈશું:

\[\frac((\આંશિક )^2E)(\partial t^2)=\frac(1)((\mu (\mu )_0\varepsilon )_0\varepsilon )\frac((\આંશિક )^2E )(\આંશિક x^2)\ડાબે(2.1\જમણે).\]

તરંગોના પ્રસારની ગતિ એ ગુણાંકનું વર્ગમૂળ છે જે તરંગ સમીકરણમાં $\frac((\partial )^2E)(\partial x^2)$ ની સામે છે, તેથી:

જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના પ્રસારની ગતિ છે.

જવાબ:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon)).$