મેક્સવેલના સમીકરણોમાં આગળ વધતા મોજા. મેક્સવેલના સમીકરણો

કોઈપણ ઓસીલેટરી સર્કિટઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે. બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર આસપાસની જગ્યામાં વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે, અને ઊલટું. ગાણિતિક સમીકરણો, ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરતા, મેક્સવેલ દ્વારા લેવામાં આવ્યા હતા અને તેનું નામ ધરાવે છે. ચાલો મેક્સવેલના સમીકરણો લખીએ વિભેદક સ્વરૂપજ્યારે કોઈ વિદ્યુત શુલ્ક ન હોય તેવા કેસ માટે () અને પ્રવાહો ( j= 0 ):

જથ્થાઓ અને અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય સ્થિરાંકો છે, જે સંબંધ દ્વારા શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ સાથે સંબંધિત છે.

સ્થિરાંકો માધ્યમના વિદ્યુત અને ચુંબકીય ગુણધર્મોને લાક્ષણિકતા આપે છે, જેને આપણે સજાતીય અને આઇસોટ્રોપિક ગણીશું.

ચાર્જ અને પ્રવાહોની ગેરહાજરીમાં, સ્થિર ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું અસ્તિત્વ અશક્ય છે. જો કે, વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે, અને તેનાથી વિપરીત, વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર બનાવે છે. તેથી, વેક્યૂમમાં મેક્સવેલના સમીકરણોના ઉકેલો છે, ચાર્જ અને કરંટની ગેરહાજરીમાં, જ્યાં ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા છે. મેક્સવેલનો સિદ્ધાંત બેને જોડનાર પ્રથમ હતો મૂળભૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, અગાઉ સ્વતંત્ર માનવામાં આવતું હતું. તેથી અમે હવે તેના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર.

સર્કિટમાં ઓસીલેટરી પ્રક્રિયા તેની આસપાસના ક્ષેત્રમાં ફેરફાર સાથે છે. આસપાસની જગ્યામાં થતા ફેરફારો ચોક્કસ ઝડપે બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી પ્રસારિત થાય છે, એટલે કે, ઓસીલેટરી સર્કિટ તેની આસપાસની જગ્યામાં વિદ્યુત ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર.

જ્યારે કડક હાર્મોનિક ફેરફારસમય વેક્ટર અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગને મોનોક્રોમેટિક કહેવામાં આવે છે.

ચાલો મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી વેક્ટર અને તરંગ સમીકરણો મેળવીએ .

માટે વેવ સમીકરણ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો

અભ્યાસક્રમના પાછલા ભાગમાં નોંધ્યા મુજબ, રોટર (રોટ)અને વિચલન (div)- આ દ્વારા કરવામાં આવતી કેટલીક ભિન્નતા કામગીરી છે ચોક્કસ નિયમોવેક્ટર્સ ઉપર. નીચે આપણે તેમને નજીકથી જોઈશું.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુથી રોટર લઈએ

આ કિસ્સામાં, અમે ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સાબિત થયેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:

ઉપર રજૂ કરાયેલ લેપ્લાસિયન ક્યાં છે. અન્ય મેક્સવેલ સમીકરણને કારણે જમણી બાજુનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્ય છે:

પરિણામે આપણને મળે છે:

ચાલો વ્યક્ત કરીએ સડો બી મેક્સવેલના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર દ્વારા:

અને (2.93) ની જમણી બાજુએ આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરો. પરિણામે, અમે સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

જોડાણને ધ્યાનમાં લેતા

અને દાખલ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ પર્યાવરણ

ચાલો ફોર્મમાં ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ વેક્ટર માટે સમીકરણ લખીએ:

(2.69) સાથે સરખામણી કરતાં, અમને ખાતરી છે કે અમે તરંગ સમીકરણ મેળવ્યું છે, જ્યાં વિ- તબક્કાની ઝડપપર્યાવરણમાં પ્રકાશ:

મેક્સવેલના સમીકરણની બંને બાજુથી રોટર લેવું

અને તે જ રીતે કાર્ય કરીને, આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે તરંગ સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

પરિણામી તરંગ સમીકરણો અને તેનો અર્થ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના સ્વરૂપમાં અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, જેનો તબક્કા વેગ સમાન છે

માધ્યમની ગેરહાજરીમાં (એટ) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની ગતિ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ સાથે એકરુપ હોય છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ચાલો ધરી સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગને ધ્યાનમાં લઈએ X:

આવા ઉકેલોના અસ્તિત્વની શક્યતા પ્રાપ્ત તરંગ સમીકરણોમાંથી અનુસરે છે. જો કે, ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર નથી. તેમની વચ્ચેનું જોડાણ મેક્સવેલના સમીકરણોમાં ઉકેલો (2.99) ને બદલીને સ્થાપિત કરી શકાય છે. વિભેદક કામગીરી સડો, અમુક વેક્ટર ફીલ્ડ પર લાગુ એપ્રતીકાત્મક રીતે નિર્ણાયક તરીકે લખી શકાય છે:

અહીં અભિવ્યક્તિઓ (2.99) ને બદલીને, જે ફક્ત સંકલન પર આધારિત છે x, અમે શોધીએ છીએ:

સમયના સંદર્ભમાં પ્લેન તરંગોનો તફાવત આપે છે:

પછી મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે નીચે મુજબ છે:

તે અનુસરે છે, પ્રથમ, કે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર તબક્કામાં ઓસીલેટ થાય છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અને માં આઇસોટ્રોપિક પર્યાવરણ,

પછી તમે પસંદ કરી શકો છો સંકલન અક્ષોજેથી વેક્ટર ધરી સાથે નિર્દેશિત થાય ખાતે(ફિગ. 2.27) :

ચોખા. 2.27. પ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું ઓસિલેશન

આ કિસ્સામાં, સમીકરણો (2.103) ફોર્મ લે છે:

તે અનુસરે છે કે વેક્ટર અક્ષ સાથે નિર્દેશિત છે z:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેક્ટર એકબીજા માટે ઓર્થોગોનલ છે અને બંને તરંગ પ્રસારની દિશામાં ઓર્થોગોનલ છે. આ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા, સમીકરણો (2.104) વધુ સરળ બનાવવામાં આવ્યા છે:

આ તરંગ વેક્ટર, આવર્તન અને ઝડપ વચ્ચેના સામાન્ય સંબંધ તરફ દોરી જાય છે:

તેમજ ફીલ્ડ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર વચ્ચેનું જોડાણ:

નોંધ કરો કે જોડાણ (2.107) માત્ર માટે જ નહીં મહત્તમ મૂલ્યો(કંપનવિસ્તાર) તરંગના ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત વેક્ટરની તીવ્રતા, પણ વર્તમાન માટે પણ - કોઈપણ સમયે.

તેથી, મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો પ્રકાશની ઝડપે શૂન્યાવકાશમાં ફેલાય છે. તે સમયે, આ નિષ્કર્ષે ભારે છાપ ઉભી કરી હતી. તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે માત્ર વીજળી અને ચુંબકત્વ જ નથી વિવિધ અભિવ્યક્તિઓસમાન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા. બધી પ્રકાશ ઘટનાઓ, ઓપ્ટિક્સ, પણ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના સિદ્ધાંતનો વિષય બની ગયા. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની માનવ દ્રષ્ટિમાં તફાવતો તેમની આવર્તન અથવા તરંગલંબાઇ સાથે સંબંધિત છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વેવ સ્કેલ એ ફ્રીક્વન્સીઝ (અને તરંગલંબાઇ) નો સતત ક્રમ છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશન. મેક્સવેલની ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનો સિદ્ધાંત આપણને એ સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે પ્રકૃતિમાં વિવિધ લંબાઈના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે, જે વિવિધ વાઇબ્રેટર્સ (સ્રોતો) દ્વારા રચાય છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો કેવી રીતે ઉત્પન્ન થાય છે તેના આધારે, તે ઘણી આવર્તન શ્રેણીઓ (અથવા તરંગલંબાઇ) માં વિભાજિત થાય છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 2.28 ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું પ્રમાણ દર્શાવે છે.

ચોખા. 2.28. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ સ્કેલ

તે જોઈ શકાય છે કે તરંગની શ્રેણી છે વિવિધ પ્રકારોએકબીજાને ઓવરલેપ કરો. તેથી, આવી લંબાઈના તરંગો મેળવી શકાય છે વિવિધ રીતે. તેમની વચ્ચે કોઈ મૂળભૂત તફાવત નથી, કારણ કે તે બધા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે જે ઓસીલેટીંગ ચાર્જ કણો દ્વારા પેદા થાય છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો પણ એવા તારણ તરફ દોરી જાય છે ટ્રાન્સવર્સાલિટીશૂન્યાવકાશમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો (અને આઇસોટ્રોપિક માધ્યમમાં): વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત વેક્ટર એકબીજા માટે અને તરંગોના પ્રસારની દિશામાં ઓર્થોગોનલ હોય છે.

વધારાની માહિતી

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – વેવ સમીકરણ. ભૌતિક જ્ઞાનકોશમાંથી સામગ્રી.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html - મેક્સવેલના સમીકરણો. વિડિઓ પ્રવચનો.

http://elementy.ru/trefil/24 – મેક્સવેલના સમીકરણો. "તત્વો" માંથી સામગ્રી.

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – મેક્સવેલના સમીકરણો વિશે ખૂબ જ ટૂંકમાં.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – મેક્સવેલના સમીકરણો અને તેમના ભૌતિક અર્થ.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટે મેક્સવેલના સમીકરણો વિશે સંક્ષિપ્તમાં.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો માટે ડોપ્લર અસર

કેટલાકમાં આવવા દો ઇનર્શિયલ સિસ્ટમકાઉન્ટડાઉન TOપ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ પ્રચાર કરે છે. તરંગ તબક્કાનું સ્વરૂપ છે:

અન્ય ઇનર્શિયલ ફ્રેમમાં નિરીક્ષક માટે", ઝડપે પ્રથમની તુલનામાં આગળ વધી રહ્યું છે વીધરી સાથે x, આ તરંગને પણ અવલોકન કરે છે, પરંતુ વિવિધ કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમયનો ઉપયોગ કરે છે: t",r"સંદર્ભ પ્રણાલીઓ વચ્ચેનું જોડાણ લોરેન્ટ્ઝ ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ચાલો આ સમીકરણોને તબક્કા માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ, તબક્કો મેળવવા માટે ફરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં તરંગો:

આ અભિવ્યક્તિ તરીકે લખી શકાય છે

જ્યાં અને - મૂવિંગ રેફરન્સ ફ્રેમની તુલનામાં ચક્રીય આવર્તન અને વેવ વેક્ટર. (2.110) સાથે સરખામણી કરતા, અમને આવર્તન અને વેવ વેક્ટર માટે લોરેન્ટ્ઝ રૂપાંતરણ મળે છે:

વેક્યૂમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ માટે

તરંગ પ્રસારની દિશાને પ્રથમ સંદર્ભ ફ્રેમમાં ધરી સાથે એક ખૂણો બનાવવા દો X:

પછી મૂવિંગ રેફરન્સ ફ્રેમમાં તરંગની આવર્તન માટેની અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લે છે:

આ છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો માટે ડોપ્લરનું સૂત્ર.

જો , તો પછી નિરીક્ષક કિરણોત્સર્ગના સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે અને તેના દ્વારા જોવામાં આવતી તરંગની આવર્તન ઘટે છે:

જો , તો પછી નિરીક્ષક સ્ત્રોતનો સંપર્ક કરે છે અને તેના માટે રેડિયેશન આવર્તન વધે છે:

ઝડપે વી<< с આપણે એકતામાંથી છેદમાં વર્ગમૂળના વિચલનની અવગણના કરી શકીએ છીએ, અને આપણે ધ્વનિ તરંગમાં ડોપ્લર અસર માટે સૂત્રો (2.85) જેવા જ સૂત્રો પર પહોંચીએ છીએ.

ચાલો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ માટે ડોપ્લર અસરની આવશ્યક વિશેષતા નોંધીએ. મૂવિંગ રેફરન્સ ફ્રેમની ઝડપ અહીં નિરીક્ષક અને સ્ત્રોતની સંબંધિત ગતિની ભૂમિકા ભજવે છે. પરિણામી સૂત્રો આપમેળે આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતને સંતોષે છે, અને પ્રયોગોની મદદથી તે સ્થાપિત કરવું અશક્ય છે કે બરાબર શું આગળ વધી રહ્યું છે - સ્ત્રોત અથવા નિરીક્ષક. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો માટે ત્યાં કોઈ માધ્યમ (ઈથર) નથી જે ધ્વનિ તરંગ માટે હવાની સમાન ભૂમિકા ભજવે.

એ પણ નોંધ લો કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો માટે આપણી પાસે છે ટ્રાંસવર્સ ડોપ્લર અસર. જ્યારે રેડિયેશન આવર્તન બદલાય છે:

જ્યારે ધ્વનિ તરંગો માટે, તરંગોના પ્રસાર માટે ઓર્થોગોનલ દિશામાં હિલચાલ ફ્રીક્વન્સી શિફ્ટ તરફ દોરી જતી નથી. આ અસર મૂવિંગ રેફરન્સ ફ્રેમમાં સાપેક્ષ સમયના વિસ્તરણ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે: રોકેટ પર નિરીક્ષક રેડિયેશનની આવૃત્તિમાં વધારો જુએ છે અથવા, સામાન્ય કેસ, પૃથ્વી પર થતી તમામ પ્રક્રિયાઓની પ્રવેગકતા.

ચાલો હવે તરંગની તબક્કાની ગતિ શોધીએ

ફરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં. તરંગ વેક્ટર માટે લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનોમાંથી અમારી પાસે છે:

ચાલો અહીં ગુણોત્તરને બદલીએ:

અમને મળે છે:

અહીંથી આપણે સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમમાં તરંગની ગતિ શોધીએ છીએ:

અમને જાણવા મળ્યું કે મૂવિંગ રેફરન્સ ફ્રેમમાં તરંગની ઝડપ બદલાઈ નથી અને હજુ પણ પ્રકાશની ઝડપ જેટલી છે સાથે. જો કે, ચાલો નોંધ લઈએ કે, સાચી ગણતરીઓ સાથે, આ થવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે નહીં, કારણ કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ (ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો) ની અવ્યવસ્થા એ લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનોમાં પહેલેથી જ "સંગઠિત" સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનું મુખ્ય અનુમાન છે. અમે કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમય માટે ઉપયોગ કર્યો (3.109).

ઉદાહરણ 1.ફોટોન રોકેટ ઝડપે આગળ વધે છે વી = 0.9 સે, ઓપ્ટિકલ શ્રેણી (તરંગલંબાઇ µm). ચાલો રેડિયેશનની તરંગલંબાઇ શોધીએ જે અવકાશયાત્રીઓ અવલોકન કરશે.

તરંગલંબાઇ કંપન આવર્તન માટે વિપરિત પ્રમાણસર છે. પ્રકાશ સ્ત્રોત અને નિરીક્ષકની નજીક જવાના કિસ્સામાં ડોપ્લર અસર માટેના સૂત્ર (2.115) પરથી, અમને તરંગલંબાઇના રૂપાંતરણનો નિયમ મળે છે:

જેમાંથી પરિણામ નીચે મુજબ છે:

ફિગ અનુસાર. 2.28 અમે નિર્ધારિત કરીએ છીએ કે અવકાશયાત્રીઓ માટે તારાનું કિરણોત્સર્ગ અલ્ટ્રાવાયોલેટ રેન્જમાં સ્થાનાંતરિત થયું છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની ઊર્જા અને વેગ

વોલ્યુમેટ્રિક ઊર્જા ઘનતા ડબલ્યુઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગમાં ઇલેક્ટ્રિક અને વોલ્યુમેટ્રિક ઘનતા હોય છે ચુંબકીય ક્ષેત્રો.

હવે તે થોડું ગણિત કરવા યોગ્ય રહેશે; આપણે મેક્સવેલના સમીકરણોને સરળ સ્વરૂપમાં લખીશું. તમને લાગશે કે અમે તેમને જટિલ બનાવી રહ્યા છીએ, પરંતુ જો તમે ધીરજ રાખશો, તો તમને અચાનક ખબર પડશે કે તેઓ ખૂબ જ સરળ છે. જો કે તમે મેક્સવેલના દરેક સમીકરણોથી તદ્દન ટેવાઈ ગયા છો, તેમ છતાં હજી પણ ઘણા ટુકડાઓ છે જેને એકસાથે મૂકવાની જરૂર છે. આ બરાબર છે જે આપણે કરીશું.

ચાલો સૌથી સરળ સમીકરણોથી શરૂઆત કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે તે સૂચવે છે કે કોઈ વસ્તુનું રોટર છે. તેથી, જો તમે લખ્યું

પછી ધ્યાનમાં લો કે તમે પહેલાથી જ મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી એક ઉકેલી લીધું છે. (આકસ્મિક રીતે, નોંધ કરો કે તે અન્ય વેક્ટર માટે સાચું રહે છે જો , કોઈપણ સ્કેલર ક્ષેત્ર ક્યાં છે કારણ કે કર્લ શૂન્ય છે અને હજુ પણ સમાન છે. અમે આ વિશે પહેલા વાત કરી હતી.)

હવે ચાલો ફેરાડેના કાયદાને જોઈએ , કારણ કે તેમાં કોઈપણ પ્રવાહ અથવા શુલ્ક શામેલ નથી. જો આપણે આ પ્રમાણે લખીએ અને ભેદ કરીએ, તો આપણે ફેરાડેના કાયદાને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ.

.

કારણ કે આપણે પહેલા સમય દ્વારા અથવા કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા તફાવત કરી શકીએ છીએ, આપણે આ સમીકરણને ફોર્મમાં પણ લખી શકીએ છીએ

. (18.17)

આપણે જોઈએ છીએ કે તે એક વેક્ટર છે જેનું કર્લ શૂન્ય છે. તેથી, આવા વેક્ટર એ કોઈ વસ્તુનો ઢાળ છે. જ્યારે આપણે ઈલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સ કરી રહ્યા હતા, ત્યારે અમારી પાસે , અને પછી અમે નક્કી કર્યું કે તે કોઈ વસ્તુનો જ ઢાળ છે. આને (તકનીકી સગવડ માટે માઈનસ) માંથી ઢાળ થવા દો. અમે માટે પણ તે જ કરીશું; અમે માનીએ છીએ

. (18.18)

અમે સમાન સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેથી ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક કિસ્સામાં, જ્યાં સમય સાથે કંઈપણ બદલાતું નથી અને અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તે આપણું જૂનું હશે. તેથી, ફેરાડેના કાયદાને સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે

. (18.19)

અમે મેક્સવેલના બે સમીકરણો પહેલેથી જ ઉકેલી લીધા છે અને જાણવા મળ્યું છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રોનું વર્ણન કરવા માટે ચાર સંભવિત કાર્યોની જરૂર છે: એક સ્કેલર પોટેન્શિયલ અને વેક્ટર પોટેન્શિયલ, જે, અલબત્ત, ત્રણ કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

તેથી, ભાગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમ કે. જ્યારે આપણે સાથે બદલીએ ત્યારે શું થાય છે? સામાન્ય રીતે, જો વિશેષ પગલાં લેવામાં ન આવે તો તે બદલવું પડશે. જો કે, આપણે ધારી શકીએ કે તે એવી રીતે બદલાય છે કે તે ક્ષેત્રોને અસર ન કરે અને (એટલે ​​​​કે, ભૌતિકશાસ્ત્રને બદલ્યા વિના), જો આપણે હંમેશા બદલાતા રહીએ અને નિયમો અનુસાર એકસાથે

. (18.20)

પછી ન તો , કે , સમીકરણ (18.19) થી મેળવેલ, બદલાતું નથી.

અગાઉ, અમે સ્ટેટિક્સ સમીકરણોને કોઈક રીતે સરળ બનાવવાનું પસંદ કર્યું હતું. હવે અમે તે કરવા જઈ રહ્યાં નથી; અમે વિવિધ પસંદગીઓ કરવા માંગીએ છીએ. પરંતુ તે કઈ પસંદગી છે તે કહીએ તે પહેલાં એક ક્ષણ રાહ જુઓ, કારણ કે પછીથી તે સ્પષ્ટ થશે કે પસંદગી શા માટે કરવામાં આવી છે.

હવે આપણે બે બાકી રહેલા મેક્સવેલ સમીકરણો પર પાછા ફરીશું, જે સંભવિત અને સ્ત્રોતો અને . કારણ કે આપણે પ્રવાહો અને ચાર્જ બંનેમાંથી નક્કી કરી શકીએ છીએ, તો પછી આપણે હંમેશા સમીકરણો (18.16) અને (18.19)માંથી મેળવી શકીએ છીએ અને આપણી પાસે મેક્સવેલના સમીકરણોનું એક અલગ સ્વરૂપ હશે.

ચાલો સમીકરણ (18.19) ને માં બદલીને શરૂ કરીએ; અમે મેળવીએ છીએ

;

આ ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે

. (18.21)

સ્ત્રોતો સાથે જોડતું આ પ્રથમ સમીકરણ છે.

આપણું છેલ્લું સમીકરણ સૌથી મુશ્કેલ હશે. અમે મેક્સવેલના ચોથા સમીકરણને ફરીથી લખીને શરૂઆત કરીશું:

,

અને પછી તેને સમીકરણો (18.16) અને (18.19) નો ઉપયોગ કરીને સંભવિતતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:

.

પ્રથમ શબ્દ બીજગણિત ઓળખનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય છે; અમે મેળવીએ છીએ

. (18.22)

તે ખૂબ સરળ નથી!

સદનસીબે, હવે આપણે આપણી સ્વતંત્રતાનો ઉપયોગ મનસ્વી રીતે વિચલન પસંદ કરવા માટે કરી શકીએ છીએ. હવે આપણે પસંદગી કરવા જઈ રહ્યા છીએ જેથી કરીને અને માટેના સમીકરણો અલગ થઈ જાય પરંતુ તેનું સ્વરૂપ સમાન હોય. અમે પસંદ કરીને આ કરી શકીએ છીએ

. (18.23)

જ્યારે આપણે આ કરીએ છીએ, ત્યારે સમીકરણ (18.22) માં બીજા અને ત્રીજા પદો રદ થાય છે, અને તે વધુ સરળ બને છે:

. (18.24)

અને આપણું સમીકરણ (18.21) સમાન સ્વરૂપ લે છે:

. (18.25)

કેટલા સુંદર સમીકરણો! તેઓ ઉત્તમ છે, સૌ પ્રથમ, કારણ કે તેઓ સારી રીતે અલગ થયેલ છે - ચાર્જ ઘનતા છે, અને વર્તમાન છે. આગળ, જો કે ડાબી બાજુ થોડી હાસ્યાસ્પદ લાગે છે - લેપ્લાસિયન સાથે મળીને, જ્યારે આપણે તેને ખોલીએ છીએ, ત્યારે આપણને મળે છે

. (18.26)

આ સમીકરણ , , , ; માં સરસ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. અહીં તે જરૂરી છે, અલબત્ત, કારણ કે સમય અને કોઓર્ડિનેટ્સ અલગ છે; તેમની પાસે વિવિધ એકમો છે.

મેક્સવેલના સમીકરણોએ અમને પોટેન્શિયલ અને , પરંતુ ચારેય કાર્યો માટે સમાન ગાણિતિક સ્વરૂપ સાથે નવા પ્રકારના સમીકરણ તરફ દોરી , અને . આપણે આ સમીકરણોને હલ કરવાનું શીખ્યા હોવાથી, આપણે અને માંથી બંને મેળવી શકીએ છીએ. અમે મેક્સવેલના સમીકરણોની બરાબર સમકક્ષ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક કાયદાના બીજા સ્વરૂપ પર પહોંચીએ છીએ; ઘણા કિસ્સાઓમાં તેઓ હેન્ડલ કરવા માટે ખૂબ સરળ છે. અને

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં ચાર્જના સંરક્ષણના નિયમને વ્યક્ત કરતું સાતત્ય સમીકરણ છે. 3. મેક્સવેલના સમીકરણો રિપોર્ટની તમામ જડ પ્રણાલીઓમાં સંતુષ્ટ છે. 4. મેક્સવેલના સમીકરણો સપ્રમાણ છે.

6.3.4. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો

મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડ સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે સક્ષમ છે. ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જઅને પ્રવાહો. બદલાતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડમાં તરંગનું પાત્ર હોય છે અને તે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના સ્વરૂપમાં પ્રચાર કરે છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું અસ્તિત્વ મેક્સવેલના સમીકરણોને અનુસરે છે, જે વેક્ટર માટે તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે અને અનુક્રમે:

, (5.19)

ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમયમાં ફેરફાર વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે અને તેનાથી વિપરીત, વિદ્યુત ક્ષેત્રના સમયમાં ફેરફાર વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્રને ઉત્તેજિત કરે છે. વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રેરિત વોર્ટેક્સ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર , વેક્ટર સાથે સ્વરૂપો ડાબા હાથની સિસ્ટમ (ફિગ. 7.2), અને ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા પ્રેરિત વમળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર , વેક્ટર સાથે સ્વરૂપો જમણા હાથની સ્ક્રુ સિસ્ટમ (ફિગ. 5.2).

તેમનું સતત આંતર રૂપાંતરણ થાય છે, જે તેને શક્ય બનાવે છે

ચાર્જ અને પ્રવાહોની ગેરહાજરીમાં અવકાશ અને સમયમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને પ્રચાર કરે છે.

આમ, મેક્સવેલના સિદ્ધાંતે માત્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી નથી, પરંતુ તેમના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પણ સ્થાપિત કર્યા છે:

તટસ્થ બિન-વાહક અને બિન-લોહચુંબકીય માધ્યમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ

(5.20)

જ્યાં c એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ છે.

ચોખા. 5.3 ફિગ. 5.4

ત્યાં એક જોડાણ છે, એટલે કે: E = vB અથવા
. (5.21)

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના અસ્તિત્વથી મેક્સવેલને પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ સમજાવવાની મંજૂરી મળી. પ્રકાશ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો છે.

6.3.5. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર ઊર્જાનો પ્રવાહ

જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો અવકાશ અને સમય દ્વારા પ્રસારિત થાય છે, તેઓ તેમની સાથે ઊર્જા વહન કરે છે. તે પરસ્પર પરિવર્તનશીલ ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં સમાયેલ છે.

વોલ્યુમેટ્રિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ઊર્જા ઘનતા

, (5.22)

જ્યાં E એ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની તાકાત છે.

વોલ્યુમેટ્રિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઊર્જા ઘનતા

, (5.23)

જ્યાં B ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન છે.

પરિણામે, અવકાશના પ્રદેશમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની વોલ્યુમેટ્રિક ઊર્જા ઘનતા જ્યાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ સમયની મનસ્વી ક્ષણે સ્થિત છે,

ડબલ્યુ= w e + w m =
. (5.24)

અથવા એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે E = cB અને
, અમારી પાસે છે

w =  o E 2 , (5.25)

અથવા
. (5.26)

એકમ વિસ્તાર દ્વારા એકમ સમય દીઠ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ દ્વારા સ્થાનાંતરિત ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જા પ્રવાહ ઘનતા કહેવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જા પ્રવાહ ઘનતા વેક્ટરને પોઇન્ટિંગ વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

પોઇંટિંગ વેક્ટર દિશા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની દિશા સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે ઊર્જા ટ્રાન્સફરની દિશા સાથે. ઊર્જા ટ્રાન્સફરની ઝડપ આ તરંગની તબક્કાની ઝડપ જેટલી છે.

જો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ, પ્રચાર કરતી વખતે, ચોક્કસ વિસ્તાર Sમાંથી પસાર થાય છે, તેના પ્રસારની દિશાને લંબરૂપ છે, ઉદાહરણ તરીકે, X અક્ષ સાથે, તો પછી ચોક્કસ સમયગાળામાં dt dx = cdt, જ્યાં c એ તરંગના પ્રસારની ગતિ છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની વોલ્યુમેટ્રિક ઊર્જા ઘનતા હોવાથી

પછી વોલ્યુમમાં સમાયેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની કુલ ઊર્જા dW

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

પરિણામે, તા. પોઇંટિંગ વેક્ટર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગના પ્રસારની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે, જે લંબ છે અને

. (5.29)

, એટલે કે

ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત સમીકરણો (મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમ) યોગ્ય રીતે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સમીકરણો છે અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, રેડિયોફિઝિક્સ અને ઇલેક્ટ્રોનિક્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. જો કે, આ સમીકરણો સામાન્ય ભૌતિક કાયદાઓમાંથી મેળવવામાં આવ્યા ન હતા, જે તેમને સંપૂર્ણપણે સચોટ ગણવામાં આવતા ન હતા અને તેમની સાથે વિવિધ પ્રકારની હેરફેરને મંજૂરી આપતા હતા. જો કે, આ સમીકરણો ચોક્કસ છે અને તે ભૌતિકશાસ્ત્રના સામાન્ય સિદ્ધાંતો અને વેક્ટર બીજગણિતના પાયા પરથી લેવામાં આવ્યા છે. 1. કાયદાનું નિષ્કર્ષઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શન

ફેરાડે

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનનો ફેરાડેનો કાયદો બિંદુ ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ પર કાર્ય કરતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક દળો માટેના સમીકરણમાંથી મેળવી શકાય છે:

આ પરિસ્થિતિ ઉચ્ચ-આવર્તન વિદ્યુત પ્રવાહવાળા વાહકમાં થાય છે, જ્યારે પ્રાથમિક વિદ્યુત ક્ષેત્રમાંથી ઇલેક્ટ્રોન પર કાર્ય કરતું બળ એટલું ઝડપથી બદલાય છે કે તે ઇલેક્ટ્રોનના જડતા બળ સાથે એન્ટિફેઝમાં હોય છે.

ચાલો સમાનતામાં ચાર્જ ઘટાડીએ (2) અને આ સમાનતાની બંને બાજુએ "રોટર" ઑપરેશન લાગુ કરીએ: ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધરી z બી અક્ષીય વેક્ટરની દિશા સાથે એકરુપ છે , પછી ત્રિજ્યા વેક્ટર આના જેવો દેખાશે: આર =x i j +y =x , ક્યાં j - સંકલન અક્ષોની દિશામાં એકમ વેક્ટર x, ક્યાં y, અનુક્રમે. રેડિયલ વેક્ટર , પછી ત્રિજ્યા વેક્ટર આના જેવો દેખાશે: ધરી સાથે કોઈ ત્રીજો ઘટક નથી ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધરી, તેથી (3) માં બીજી પદ -2(∂ બી /∂t). સમીકરણ (3) માં પ્રથમ પદ ∂ બરાબર છે બી /∂t. પરિણામે, છેલ્લી સમાનતાની જમણી બાજુ રૂપાંતરિત કર્યા પછી, અમને મળે છે:

એટલે કે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક બળના સમીકરણમાંથી (1) જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી ઇલેક્ટ્રોન પર કાર્ય કરતું બળ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના બળ દ્વારા સંપૂર્ણપણે સંતુલિત થાય છે, ત્યારે ફેરાડેનો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનનો નિયમ (4) અનુસરે છે, જે મૂળભૂતમાંથી એક છે. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણો.

સમીકરણો (2) - (4) અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર ઇલેક્ટ્રોન હાજર છે કે ગેરહાજર છે તેના પર નિર્ભર નથી. ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જમાંથી ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની આ સ્વતંત્રતાના પરિણામે, સમીકરણ (4) એક જ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર તરીકે રજૂ કરાયેલ બદલાતા ક્ષેત્રોના અવકાશી-ટેમ્પોરલ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તદુપરાંત, ફેરાડેનો કાયદો (4) માત્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના કાયદાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી, પરંતુ તે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના પરસ્પર પરિવર્તનનો મૂળભૂત કાયદો પણ છે, જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની એક અભિન્ન મિલકત છે.

2. મેક્સવેલના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ

મેક્સવેલના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરફ આગળ વધતા પહેલા, અન્ય વેક્ટર ઓપરેટર સાથે વેક્ટર બીજગણિતની પૂર્તિ કરવી જરૂરી છે.

2.1. વેક્ટર ઓપરેટરની વ્યાખ્યા કે જે વિભેદક વેક્ટર ઓપરેટર "રોટર" ના વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશનની વ્યસ્ત ક્રિયા કરે છે

વિભેદક વેક્ટર ઓપરેટર "રોટર" અવકાશમાં વેક્ટરને રૂપાંતરિત કરવાની કામગીરી અને ભિન્નતાની કામગીરી કરે છે, એટલે કે, તે એક જટિલ ઓપરેટર છે જે એક સાથે બે પ્રકારની ક્રિયાઓ કરે છે. આ તેની વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે:

,

જ્યાં એ - વેક્ટર, =x , j , k - લંબચોરસ (કાર્ટેશિયન) કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અક્ષોની દિશામાં એકમ વેક્ટર x, y, ક્યાં ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધરી, અનુક્રમે. આ કિસ્સામાં, "રોટર" ઓપરેટરથી વિપરીત ઓપરેટર વેક્ટર વિશ્લેષણમાં વ્યાખ્યાયિત નથી, જો કે તે કરે છે તે દરેક પરિવર્તન, સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉલટાવી શકાય તેવું છે.

ભૌમિતિક વેક્ટર અવકાશી પરિવર્તન ચિત્ર એ વેક્ટર માટે સડો( a) , "રોટર" ઓપરેટર દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, તે ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 1.

ચોખા. 1. વેક્ટરની ભૌમિતિક રજૂઆત એ અને "રોટર" ઓપરેટર દ્વારા રચાયેલ વેક્ટર ક્ષેત્ર.

2.2. વ્યાખ્યા 1. જો બે આંતરસંબંધિત વેક્ટર ક્ષેત્રો વેક્ટર દ્વારા રજૂ થાય છે એ , ક્યાં b , અવકાશી ચલોના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે x, y, ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધરી(જેમ સડો a અને સડો b ) અને સમયના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ, ¶ એ /¶ tઅને ¶ b /¶ t, અને વેક્ટરનું વ્યુત્પન્ન એ વેક્ટરના અવકાશી ચલોના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ માટે સમયસર ઓર્થોગોનલ છે b , અને ઊલટું, વેક્ટરનો સમય વ્યુત્પન્ન b વેક્ટરના અવકાશી ચલોના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ માટે ઓર્થોગોનલ એ , તો પછી ત્યાં એક વેક્ટર ઓપરેટર છે જે વેક્ટર ક્ષેત્રનું અવકાશી પરિવર્તન કરે છે અને વિભેદક કામગીરીને અસર કર્યા વિના કરે છે, જેને આપણે પરંપરાગત રીતે ઓપરેટર કહીશું “ rerot", (વિરોધી રીતે ટ્વિસ્ટેડ અથવા "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર") જેમ કે:

, ક્યાં ; (5)

, ક્યાં . (5*)

2.3. વેક્ટર ઓપરેટરના ગુણધર્મો "ઉલટાવી શકાય તેવું" રોટર"

2.3.1. વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" માત્ર વેક્ટરના ડેરિવેટિવ્ઝ પર જ કાર્ય કરે છે.

2.3.2. વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" તે વેક્ટરના ડેરિવેટિવ પહેલાં સ્થિત છે જેના પર તે કાર્ય કરે છે.

2.3.3. વેક્ટર ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સ્થિરાંકો અને સંખ્યાત્મક ગુણાંકને વેક્ટર ઓપરેટર્સના અવકાશની બહાર ખસેડી શકાય છે:

જ્યાં c- સતત.

2.3.4. વેક્ટર ઓપરેટર "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" વેક્ટર ડેરિવેટિવ્ઝનો સરવાળો ધરાવતા સમીકરણની દરેક શરતો પર કાર્ય કરે છે:

જ્યાં c, ક્યાં ડી- સ્થિરાંકો.

2.3.5. શૂન્ય પર વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" ની ક્રિયાનું પરિણામ શૂન્ય છે:

આ કિસ્સામાં, ફકરા 2.3.1 અનુસાર, વેક્ટર સહિત અન્ય સ્થિરાંકો પર વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" ની ક્રિયાનું પરિણામ નિર્ધારિત નથી.

2.4. "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ

ચાલો આપણે "રિવર્સિબલ રોટર" ઓપરેટરને એકબીજા સાથે જોડાયેલા વેક્ટર ધરાવતા સમીકરણ પર લાગુ કરીએ a , ક્યાં b :

જો આપણે હવે નવી રચાયેલી સમાનતા (**) પર ફરીથી "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" ઓપરેટર લાગુ કરીએ, તો અમને પ્રાપ્ત થાય છે:

અથવા

, અથવા છેલ્લે:

રિવર્સ રોટર ઓપરેટરની અનુગામી ડબલ (અથવા કોઈપણ સમાન) એપ્લિકેશન મૂળ સમાનતામાં પરિણમે છે. આ દ્વારા, વેક્ટર ઓપરેટર "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" માત્ર એકબીજા સાથે જોડાયેલા વેક્ટર ક્ષેત્રોના વિભેદક સમીકરણોનું પરસ્પર પરિવર્તન જ કરતું નથી, પરંતુ આ સમીકરણોની સમાનતા પણ સ્થાપિત કરે છે.

ભૌમિતિક રીતે તે આના જેવું લાગે છે. "રોટર" ઓપરેટર અલગ પાડે છે અને, જેમ તે હતા, એક રેક્ટીલીનિયર વેક્ટર ફીલ્ડને ટ્વિસ્ટ કરે છે, જે તેને મૂળ વેક્ટર ફીલ્ડમાં વમળ અને ઓર્થોગોનલ બનાવે છે. વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશન કરે છે, જે, "રોટર" ઓપરેટર દ્વારા ટ્વિસ્ટેડ વમળ ક્ષેત્રને ખોલે છે, તેને બદલાતા બિન-વર્ટેક્સ ક્ષેત્રમાં ફેરવે છે, જે સંદર્ભમાં વેક્ટરના વ્યુત્પન્ન દ્વારા રજૂ થાય છે. સમય એકીકરણ કરવામાં આવતું ન હોવાથી, સમયના સંદર્ભમાં વેક્ટરનું વ્યુત્પન્ન વેક્ટરની તીવ્રતામાં ફેરફારને અનુરૂપ છે. પરિણામે, આપણી પાસે વેક્ટરમાં ફેરફાર થાય છે, જેની તીવ્રતા એક દિશામાં બદલાય છે, "રોટર" ઓપરેટરના અવકાશી ચલો માટે ઓર્થોગોનલ. તેનાથી વિપરીત, "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" વેક્ટર ઓપરેટર વેક્ટરના સમય વ્યુત્પન્ન દ્વારા રજૂ કરાયેલ બિન-વર્ટેક્સ બદલાતા વેક્ટર ક્ષેત્રને સ્પિન કરે છે, તેને વેક્ટરના મૂળ સમય વ્યુત્પન્નમાં એડી અવકાશી વેક્ટર ક્ષેત્ર ઓર્થોગોનલમાં ફેરવે છે. "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" ઓપરેટરના "ટોર્સિયન" ની દિશા "રોટર" ઓપરેટર દ્વારા હાથ ધરવામાં આવતા પરિભ્રમણની દિશાની વિરુદ્ધ હોવાથી, નવા રચાયેલા વમળ ક્ષેત્રની નિશાની વિરુદ્ધ (નકારાત્મક) હોવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે. એટલે કે, વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" વ્યુત્પન્ન વેક્ટર ક્ષેત્રોની સમગ્ર "જગ્યા" પર ઓપરેટર "રોટર" ના અવકાશી પરિવર્તનની વ્યસ્ત ક્રિયા કરે છે. તે જ સમયે, વેક્ટર ઓપરેટર "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" પોતે વેક્ટરને અલગ પાડતું નથી જેના પર તે કાર્ય કરે છે. આ એક સરખા ઉલટાવી શકાય તેવા વેક્ટર રૂપાંતરણમાં પરિણમે છે.

જો આપણે વેક્ટર વિશ્લેષણમાં એક અભિન્ન વેક્ટર ઓપરેટરનો પરિચય આપીએ જે વેક્ટરના વ્યુત્પન્નને નહીં, પરંતુ વેક્ટરના રોટરમાંથી વેક્ટરને પુનઃસ્થાપિત કરે છે (ચાલો પરંપરાગત રીતે આવા ઑપરેટરને ઇન્વર્સ રોટર કહીએ, અથવા " સડો-1 "), તો આવા ઓપરેટરે, વ્યસ્ત વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે, એક સાથે એકીકરણ કામગીરી કરવી જોઈએ.

જો કે, એકીકરણની ગાણિતિક કામગીરીની અસ્પષ્ટતાને લીધે, ઓપરેટર સંપૂર્ણપણે "રોટર" થી વિપરીત છે. સડો-1 અનન્ય વ્યસ્ત વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશન કરતું નથી.

2.5. વેક્ટર ઓપરેટરની અરજી "ઉલટાવી શકાય તેવું" રોટર" ભૌતિક ક્ષેત્રો માટે

ભૌતિક વેક્ટર ક્ષેત્રોમાં "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" વેક્ટર ઓપરેટર લાગુ કરતી વખતે, ચલોના ક્રમચયને કારણે સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુના પરિમાણમાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે. x, y, ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધરી, ક્યાં tરૂપાંતર કરતી વખતે. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિમાણ દર્શાવીએ - મીટર ( એલ), અને સમય બીજો છે ( ટી).

વ્યાખ્યા 2. ભૌતિક વેક્ટર ક્ષેત્રો માટે, વેક્ટર ઓપરેટર "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

અને ;

(6)

, ક્યાં . (6*)

પરિમાણીય સંબંધ સૂચવે છે એલ/ટી, સતત તરીકે વિ, ઝડપનું પરિમાણ ધરાવતા, [m/s], સમીકરણો (6.4) અને (6.4*) આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

, ક્યાં ;

(7)

, ક્યાં .

(7*)

2.6. ભૌતિક ક્ષેત્રોમાં "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" ઓપરેટરની એપ્લિકેશન

ચાલો આપણે વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" લાગુ કરીએ, જે સમીકરણો (7), (7*), સમીકરણ (4), વાસ્તવિક ભૌતિક ક્ષેત્રોને જોડતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ઇ , ક્યાં બી ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં:

;

, જે ફોર્મમાં પરિવર્તિત થાય છે:

ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક કોન્સ્ટન્ટ " વિ» ક્ષેત્રોની તીવ્રતા અથવા તેમના પરિવર્તનના દર પર આધાર રાખતું નથી અને તરંગ સમીકરણમાંથી નીચે મુજબ, તરંગ પ્રસારની ગતિને અનુરૂપ છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા, c" 2.99792458H 10 8 m/s, જેને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ પણ કહેવામાં આવે છે.

એટલે કે, "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશનની મદદથી, સમીકરણ (4), જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનનો ફેરાડેનો નિયમ છે, ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત સમીકરણોમાંનું એક કુદરતી રીતે અનુસરે છે - મેક્સવેલનું સમીકરણ (8), જે ક્યાં તો અનુસરતું નથી. પ્રયોગમાંથી અથવા જાણીતા ભૌતિક નિયમોમાંથી. સમીકરણો (4) અને (8) એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે, વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે, જે તેમની ભૌતિક સમાનતાને અનુરૂપ છે. તેથી, ફોર્મમાં સ્થાપિત આ સમીકરણોમાંથી એકની માન્યતા ભૌતિક કાયદો(વી આ કિસ્સામાં- આ ફેરાડેનો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનનો નિયમ છે (4%) છે પૂરતી સ્થિતિસમકક્ષ ભૌતિક કાયદા તરીકે બીજા સમીકરણ (મેક્સવેલનું સમીકરણ (8)) ની માન્યતા પર ભાર મૂકવો.

2.7. વેક્ટર ક્ષેત્રોનું પરિવર્તન

જો આપણે "રોટર" ઓપરેટરની વ્યાખ્યાથી આગળ વધીએ, તો "રિવર્સ રોટર" વેક્ટર ઓપરેટરની ક્રિયા, એવું લાગે છે કે, ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે. 2, જ્યાં વેક્ટર ક્ષેત્રોની કેટલીક ઓળખ વિભેદક વેક્ટર ઓપરેટર "રોટર" દ્વારા વેક્ટર રૂપાંતરણ પહેલાં અને પછી ધારવામાં આવે છે.

ચાલો આ ધારણા તપાસીએ. ચાલો સમીકરણમાં "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" ઓપરેટર લાગુ કરીએ:

, જેમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

પરિણામી સમાનતા વિભેદક વેક્ટર ઓપરેટર "રોટર" ની મૂળ વ્યાખ્યામાં વેક્ટરની દિશા બદલી નાખે છે, જે અસ્વીકાર્ય છે.

તેથી જ .

વેક્ટર ઓપરેટર "રિવર્સિબલ રોટર" ની સમાન વેક્ટર ફિલ્ડના ડેરિવેટિવ્ઝ માટે એપ્લિકેશન એપ્લિકેશન પહેલાંના વેક્ટર ક્ષેત્ર અને "રોટર" ઑપરેટરની અરજી પછી વેક્ટર ક્ષેત્ર વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત દર્શાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની જરૂરિયાત એ અને વેક્ટર ક્ષેત્ર સડો( એ) એકબીજામાં રૂપાંતરિત, પરંતુ અલગ વેક્ટર ક્ષેત્રો.

મૂળ વેક્ટર ક્ષેત્ર જે વેક્ટર દ્વારા રજૂ થાય છે એ , અમે પ્રાથમિક (કારણ) ને ધ્યાનમાં લઈશું અને "રોટર" ઓપરેટરના વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા રચાયેલ ક્ષેત્રને ગૌણ ક્ષેત્ર ("રોટર" ઓપરેટરની ક્રિયાનું પરિણામ) ગણવામાં આવશે અને તેને એક ક્ષેત્ર તરીકે દર્શાવવામાં આવશે. વેક્ટર b .

ચોખા. 2. "રોટર" વેક્ટર રૂપાંતરણ પહેલાં અને પછી વેક્ટર ક્ષેત્રોને ઓળખવાનું પરિણામ. ફીલ્ડની દિશા ફિગમાં બતાવેલ "રોટર" ઓપરેટરની મૂળ વ્યાખ્યાને અનુરૂપ નથી. 1, "જમણો સ્ક્રૂ" "ડાબે સ્ક્રૂ" માં ફેરવાય છે.

પછી વ્યસ્ત રૂપાંતરવેક્ટર ક્ષેત્રો, જે ભિન્નતાના સંચાલનને અસર કરતા નથી, આ રીતે રજૂ કરાયેલ નોટેશનમાં ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મ હશે. 3.

ચોખા. 3. વેક્ટર ટ્રાન્સફોર્મેશનની વ્યાખ્યા, વિપરીત કામગીરી"રોટર", જે ભિન્નતાના સંચાલનને અસર કરતું નથી. વેક્ટર ક્ષેત્રોનું વિભાજન કારણ-અને-અસર સંબંધોના આધારે હાથ ધરવામાં આવે છે. મૂળ ક્ષેત્ર વેક્ટર દ્વારા રજૂ થાય છે એ (કારણ), અને "રોટર" ઓપરેશન દ્વારા જનરેટ થયેલ ક્ષેત્ર વેક્ટર દ્વારા રજૂ થાય છે b (પરિણામ).

ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં, કેટલાક સરળ કિસ્સાઓમાં, ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં સંક્રમણ, જેની અંદર પરિભ્રમણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના દળોની ગેરહાજરી તરફ દોરી જાય છે, અને બળની ક્રિયા ફક્ત ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના બળ દ્વારા જ રજૂ કરી શકાય છે. પરંતુ આ કોઈપણ રીતે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જતું નથી કે ત્યાં કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નથી અથવા તે હંમેશા ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર દ્વારા બદલી શકાય છે. ખાસ કેસવેક્ટર ફીલ્ડને અલગમાં લેવામાં આવે છે અલગ સિસ્ટમસંદર્ભ, ફક્ત આ પસંદ કરેલ સિસ્ટમ સાથે સંબંધિત છે, જેમાં ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જની હિલચાલ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીમાં મર્યાદિત છે.

કારણ કે બંને રેક્ટિલિનિયર વેક્ટર ક્ષેત્રો અને ફરતા બંધ વેક્ટર ક્ષેત્રો અવકાશમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને તે એક જ સમયે બે સંદર્ભ પ્રણાલીઓમાં હોવું અશક્ય છે, તો સામાન્ય કિસ્સામાં, સંકલન પ્રણાલી પસંદ કરીને એક ક્ષેત્રને બીજામાં ઘટાડવાનું અશક્ય છે. આ ક્ષેત્રોનો એક જ સ્ત્રોત છે - વિદ્યુત શુલ્ક. ઈલેક્ટ્રિક ચાર્જ પોતાની આસપાસ એક ઈલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ બનાવે છે (ઓમ્નિડાયરેક્શનલ વેક્ટર ફિલ્ડ), અને ઈલેક્ટ્રિક ચાર્જની હિલચાલ ચુંબકીય ફિલ્ડ (બંધ ગોળાકાર વેક્ટર ફિલ્ડ) બનાવે છે. તે જ સમયે, કુદરતી રીતે રેક્ટીલીનિયર ચળવળઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ તેમની આસપાસ એક ગોળાકાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે, અને ગોળાકાર પરિભ્રમણઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ (તેમજ ઇલેક્ટ્રિકલી ચાર્જ થયેલા કણોનું પરિભ્રમણ પોતાની ધરી) અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેક્ટિલિનિયર બનાવે છે, જે પરિભ્રમણની ત્રિજ્યા દ્વારા મર્યાદિત વોલ્યુમમાં સમાયેલ છે.

2.8. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રસારની ગતિ

વેક્ટર ક્ષેત્રોના એકબીજામાં રૂપાંતરનો દર ક્યાં તો ક્ષેત્રોની તીવ્રતા અથવા તેમના પરિવર્તનના દર પર આધારિત નથી અને, તરંગ સમીકરણમાંથી નીચે મુજબ, મુક્ત જગ્યામાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના તરંગના પ્રસારની ગતિને અનુરૂપ છે. (વેક્યુમ), c" 2.99792458Х 10 8 m/s, અને આ મૂલ્યને યોગ્ય રીતે ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે.

આમ, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા, વેક્ટરના પરસ્પર પરિવર્તનની મિલકત ધરાવે છે, અને ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં આ ગુણધર્મ ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના કાયદા દ્વારા અનુભવાય છે. જો આપણે આવા પરિવર્તનને પ્રત્યક્ષ માનીએ, તો વેક્ટર ક્ષેત્રોનું વ્યસ્ત રૂપાંતરણ મેક્સવેલ દ્વારા મેળવેલા સમીકરણનો સાહજિક રીતે ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, અને જે "ઉલટાવી શકાય તેવું રોટર" વેક્ટર ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું પરસ્પર પરિવર્તન, જે ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જના સ્ત્રોતો વિના કરવામાં આવે છે, તેમાંથી એક છે ખાસ પ્રકારોતરંગ ગતિ - એક ટ્રાંસવર્સ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ જે મુક્ત જગ્યામાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જાને સ્થાનાંતરિત કરે છે સંપૂર્ણ ગતિક્ષેત્ર રૂપાંતરણો. પરંતુ તે જ સમયે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની ઊર્જાનો સ્ત્રોત હંમેશા ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે.

3. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રોના સ્ત્રોતોના સમીકરણો.

મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમના ચાર મૂળભૂત સમીકરણોમાંથી બાકીના બે માત્ર ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જની પ્રકૃતિમાં હાજરીની હકીકતને સ્થાપિત કરે છે જે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર બનાવે છે (ગૌસનું પ્રમેય, જે સીધા જ કુલોમ્બના કાયદાનું અનુસરણ કરે છે):

અને હકીકત એ છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ ચુંબકીય શુલ્ક નથી:

સાહિત્ય

1. સોકોલ-કુટિલોવ્સ્કી ઓ.એલ. ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક દળો. એકટેરિનબર્ગ, 2005.
2. સોકોલ-કુટિલોવ્સ્કી ઓ.એલ. રશિયન ભૌતિકશાસ્ત્ર. એકટેરિનબર્ગ, 2006.
3. બ્રોન્શટેઈન આઈ.એન., સેમેન્દ્યાયેવ કે.એ. ટેકનિકલ કોલેજોના એન્જિનિયરો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક (જી. ગ્રોશે અને વી. ઝિગલર દ્વારા સંપાદિત), એમ., “નૌકા”, 1980.

સોકોલ-કુટિલોવ્સ્કી ઓ.એલ., ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ // “એકેડેમી ઑફ ટ્રિનિટેરિયનિઝમ”, એમ., એલ નંબર 77-6567, પબ 13648, 08/11/2006

વિભેદક સમીકરણોનું જૂથ. વિભેદક સમીકરણો, જે દરેક ફીલ્ડ વેક્ટરે અલગથી સંતોષવા જોઈએ, બાકીના વેક્ટરને બાદ કરીને મેળવી શકાય છે. એક ક્ષેત્ર વિસ્તાર માટે કે જેમાં સમાવતું નથી મફત શુલ્કઅને પ્રવાહો ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), $\overrightarrow(B)$ અને $\overrightarrow(E)$ વેક્ટર માટેના સમીકરણો ફોર્મ ધરાવે છે:

સમીકરણો (1) અને (2) તરંગ ગતિના સામાન્ય સમીકરણો છે, જેનો અર્થ થાય છે પ્રકાશ તરંગો($v$) જેટલી ઝડપે માધ્યમમાં પ્રચાર કરો:

નોંધ 1

એ નોંધવું જોઇએ કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની ગતિની વિભાવનાનો ચોક્કસ અર્થ ફક્ત તરંગોના સંબંધમાં છે. સરળ પ્રકાર, ઉદાહરણ તરીકે ફ્લેટ. ઝડપ $v$ એ કિસ્સામાં તરંગ પ્રસારની ગતિ નથી મનસ્વી નિર્ણયસમીકરણો (1) અને (2), કારણ કે આ સમીકરણો સ્થાયી તરંગોના સ્વરૂપમાં ઉકેલોને સ્વીકારે છે.

ગમે ત્યારે તરંગ સિદ્ધાંતપ્રકાશને પ્રાથમિક પ્રક્રિયા ગણવામાં આવે છે હાર્મોનિક તરંગઅવકાશ અને સમયમાં. જો આ તરંગની આવર્તન $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1) માં હોય તો ) (c)$, આવી તરંગ વ્યક્તિમાં ચોક્કસ રંગની શારીરિક સંવેદનાનું કારણ બને છે.

માટે પારદર્શક પદાર્થોડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક $\varepsilon $ સામાન્ય રીતે એકતા કરતા વધારે હોય છે, $\mu $ માધ્યમની ચુંબકીય અભેદ્યતા લગભગ એકતા જેટલી હોય છે, તે તારણ આપે છે કે, સમીકરણ (3) અનુસાર, ઝડપ $v$ કરતાં ઓછી છે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ. વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પાણીમાં પ્રકાશના પ્રસારના કેસ માટે પ્રથમ વખત પ્રાયોગિક રીતે શું બતાવવામાં આવ્યું હતું ફૌકોલ્ટ, ક્યાં ફિઝેઉ.

સામાન્ય રીતે તે વેગ મૂલ્ય પોતે જ નક્કી થતું નથી ($v$), પરંતુ ગુણોત્તર $\frac(v)(c)$, જેના માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે રીફ્રેક્શનનો કાયદો . આ કાયદા અનુસાર, જ્યારે પ્લેન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ બેને અલગ કરતી પ્લેન બાઉન્ડ્રી પર પડે છે સજાતીય માધ્યમો, એંગલ $(\theta )_1$ ની સાઈન અને રીફ્રેક્શન એંગલની સાઈનનો ગુણોત્તર $(\theta )_2$ (ફિગ. 1) સ્થિર અને તરંગના વેગના ગુણોત્તર સમાન છે. બે માધ્યમોમાં પ્રચાર ($v_1\ અને (\v)_2$):

અભિવ્યક્તિના સ્થિર ગુણોત્તરનું મૂલ્ય (4) સામાન્ય રીતે $n_(12)$ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. તેઓ કહે છે કે $n_(12)$ એ પ્રથમના સંબંધમાં બીજા પદાર્થનો સાપેક્ષ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ છે, જે પ્રથમ માધ્યમથી બીજામાં પસાર થતી વખતે તરંગ આગળ (તરંગ) અનુભવે છે.

આકૃતિ 1.

વ્યાખ્યા 1

સંપૂર્ણ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ(માત્ર રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ) $n$ માધ્યમનું શૂન્યાવકાશ સંબંધિત પદાર્થનું રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ છે:

એક પદાર્થ જે ધરાવે છે ઉચ્ચ દરરીફ્રેક્શન ઓપ્ટીકલી ગાઢ છે. સંબંધિત સૂચકબે પદાર્થોનું રીફ્રેક્શન ($n_(12)$) તેમની સાથે સંકળાયેલું છે સંપૂર્ણ શબ્દોમાં($n_1,n_2$) પસંદ:

મેક્સવેલનું સૂત્ર

વ્યાખ્યા 2

મેક્સવેલે જોયું કે માધ્યમનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ તેના ડાઇલેક્ટ્રિક અને પર આધાર રાખે છે ચુંબકીય ગુણધર્મો. જો આપણે સમીકરણ (3) થી સૂત્ર (5) માં પ્રકાશના પ્રસારની ગતિ માટે અભિવ્યક્તિને બદલીએ, તો આપણને મળશે:

\ \

અભિવ્યક્તિ (7) કહેવાય છે મેક્સવેલનું સૂત્ર. મોટાભાગના બિન-ચુંબકીય પારદર્શક પદાર્થો કે જેને ઓપ્ટિક્સમાં ગણવામાં આવે છે, તે પદાર્થની ચુંબકીય અભેદ્યતા અંદાજે ગણી શકાય. એક સમાન, તેથી સમાનતા (7) નો વારંવાર સ્વરૂપમાં ઉપયોગ થાય છે:

ઘણીવાર એવું માનવામાં આવે છે કે $\varepsilon$ છે સતત મૂલ્ય. જો કે, અમે પ્રકાશના વિઘટન પર પ્રિઝમ સાથેના ન્યુટનના પ્રયોગોથી સારી રીતે વાકેફ છીએ, આ પ્રયોગોના પરિણામ સ્વરૂપે, તે સ્પષ્ટ બને છે કે રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ પ્રકાશની આવર્તન પર આધારિત છે. તેથી, જો આપણે ધારીએ કે મેક્સવેલનું સૂત્ર માન્ય છે, તો આપણે તે સ્વીકારવું જોઈએ પરવાનગીપદાર્થ ક્ષેત્રની આવર્તન પર આધાર રાખે છે. $\varepsilon$ અને ફીલ્ડ ફ્રિકવન્સી વચ્ચેનું જોડાણ ફક્ત ત્યારે જ સમજાવી શકાય જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ અણુ માળખુંપદાર્થો

જો કે, એવું કહેવું જ જોઇએ કે પદાર્થના સતત ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક સાથે મેક્સવેલનું સૂત્ર કેટલાક કિસ્સાઓમાં સારા અંદાજ તરીકે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે. એક ઉદાહરણ સરળ સાથે ગેસ હશે રાસાયણિક માળખું, જેમાં પ્રકાશનું કોઈ નોંધપાત્ર વિક્ષેપ નથી, જેનો અર્થ રંગ પર ઓપ્ટિકલ ગુણધર્મોની નબળી અવલંબન છે. ફોર્મ્યુલા (8) પ્રવાહી હાઇડ્રોકાર્બન માટે પણ સારી રીતે કામ કરે છે. બીજી તરફ બહુમતી ઘન, ઉદાહરણ તરીકે, કાચ અને મોટાભાગના પ્રવાહી ફોર્મ્યુલા (8) થી મજબૂત વિચલન દર્શાવે છે, જો આપણે $\varepsilon$ સ્થિર ગણીએ.

ઉદાહરણ 1

વ્યાયામ:એકાગ્રતા શું છે મફત ઇલેક્ટ્રોનઆયનોસ્ફિયરમાં, જો તે જાણીતું હોય કે રેડિયો તરંગો માટે $\nu$ આવર્તન સાથે તેનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ $n$ બરાબર છે.

ઉકેલ:

ચાલો સમસ્યાને ઉકેલવા માટેના આધાર તરીકે મેક્સવેલના સૂત્રને લઈએ:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\left(1.2\જમણે),\]

જ્યાં $\varkappa$ એ ડાઇલેક્ટ્રિક સંવેદનશીલતા છે, P એ તાત્કાલિક ધ્રુવીકરણ મૂલ્ય છે. (1.1) અને (1.2) માંથી તે નીચે મુજબ છે:

જો આયનોસ્ફિયરમાં અણુઓની સાંદ્રતા $n_0,$ હોય તો ધ્રુવીકરણનું ત્વરિત મૂલ્ય બરાબર છે:

(1.3) અને (1.4) અભિવ્યક્તિઓમાંથી અમારી પાસે છે:

જ્યાં $\omega $ એ ચક્રીય આવર્તન છે. પ્રતિકારક બળને ધ્યાનમાં લીધા વિના ઇલેક્ટ્રોનના દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\જમણે),\]

જ્યાં $m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે, $q_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ છે. સમીકરણ (1.7) નો ઉકેલ એ અભિવ્યક્તિ છે:

\ \

આપણે રેડિયો તરંગોની આવર્તન જાણીએ છીએ, તેથી આપણે ચક્રીય આવર્તન શોધી શકીએ છીએ:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\જમણે).\]

ચાલો અવેજી કરીએ (1.5) જમણી બાજુ$x_(મહત્તમ)$ ને બદલે અભિવ્યક્તિ (1.9) અને (1.10) નો ઉપયોગ કરો, અમને મળે છે:

જવાબ:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\left(1-n^2\જમણે).$

ઉદાહરણ 2

વ્યાયામ:શા માટે મેક્સવેલનું સૂત્ર કેટલાક પ્રાયોગિક ડેટાનો વિરોધાભાસ કરે છે તે સમજાવો.

ઉકેલ:

ક્લાસિકમાંથી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સિદ્ધાંતમેક્સવેલ તે અનુસરે છે કે માધ્યમના રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

જ્યાં મોટાભાગના પદાર્થો માટે સ્પેક્ટ્રમના ઓપ્ટિકલ પ્રદેશમાં આપણે ધારી શકીએ કે $\mu \અંદાજે 1$. તે તારણ આપે છે કે પદાર્થ માટે રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ એક સ્થિર મૂલ્ય હોવો જોઈએ, કારણ કે $\varepsilon $ - માધ્યમનો ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક સ્થિર છે. જ્યારે પ્રયોગ દર્શાવે છે કે રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ આવર્તન પર આધાર રાખે છે. માં મેક્સવેલના સિદ્ધાંત પહેલાં ઊભી થયેલી મુશ્કેલીઓ આ મુદ્દો, દૂર કરે છે ઇલેક્ટ્રોન સિદ્ધાંતલોરેન્ઝ. લોરેન્ત્ઝે ચાર્જ કરેલા કણો સાથે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પરિણામે પ્રકાશના વિક્ષેપને ગણવામાં આવે છે જે પદાર્થનો ભાગ છે અને કાર્ય કરે છે. દબાણયુક્ત ઓસિલેશનવૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રમાં પ્રકાશ તરંગો. તેમની પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરીને, લોરેન્ટ્ઝે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની આવર્તન સાથે રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સને લગતું સૂત્ર મેળવ્યું (ઉદાહરણ 1 જુઓ).

જવાબ:મેક્સવેલના સિદ્ધાંતની સમસ્યા એ છે કે તે મેક્રોસ્કોપિક છે અને પદાર્થની રચનાને ધ્યાનમાં લેતા નથી.