ચેબીશેવની રચનામાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો ખ્યાલ

કાયદાનો અર્થ મોટી સંખ્યામાંચેબીશેવ નીચે મુજબ છે. જ્યારે વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો તેના કરતા ખૂબ દૂર લઈ શકે છે ગાણિતિક અપેક્ષા, એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ એ મૂલ્ય લે છે જે તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશથી થોડો અલગ હોય છે.
મોટી સંખ્યામાં ચેબીશેવના કાયદાનો વિશેષ કેસ. દો - પેરવાઇઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ જે સંયુક્ત રીતે મર્યાદિત ભિન્નતા ધરાવે છે, એટલે કે. અને સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ . પછી, તે ગમે તે હોઈ શકે , સંબંધ માન્ય છે

આ ફોર્મ્યુલા (), ત્યારથી સીધા જ અનુસરે છે

ટિપ્પણી.તેઓ કહે છે કે રેન્ડમ ચલ સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છેનંબર સુધી એ, જો વધતી જતી અસમાનતાની મનસ્વી રીતે નાની સંભાવના માટે nમર્યાદા વિના એકતા સુધી પહોંચે છે. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સનો અર્થ એ નથી. ખરેખર, માં બાદમાં કેસઅસમાનતા દરેક માટે પર્યાપ્ત રીતે ધરાવે છે મોટા મૂલ્યો n. સંભાવનામાં સંપાતના કિસ્સામાં, વ્યક્તિગત મનસ્વી રીતે મોટા મૂલ્યો માટે આ અસમાનતા nકદાચ ચલાવવામાં આવ્યો નથી. જો કે, મોટા મૂલ્યો માટે અસમાનતાને સંતોષવામાં નિષ્ફળતા nખૂબ જ દુર્લભ (અસંભવિત) ઘટના છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, ખાસ કેસમોટી સંખ્યામાં ચેબીશેવનો કાયદો નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે.
અંકગણિત સરેરાશ pairwise સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ , સંયુક્ત રીતે મર્યાદિત ભિન્નતા અને સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ધરાવે છે , એ સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે.
ચાલો ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાના વિશેષ કેસનો અર્થ સમજાવીએ. ધારો કે આપણે સાચી કિંમત શોધવા માંગીએ છીએ એકેટલાક ભૌતિક જથ્થો(ઉદાહરણ તરીકે, અમુક ભાગનું કદ). આ કરવા માટે, અમે એકબીજાથી સ્વતંત્ર માપનની શ્રેણી બનાવીશું. દરેક માપન કેટલીક ભૂલ () સાથે છે. તેથી, દરેક સંભવિત માપન પરિણામ રેન્ડમ ચલ છે (ઇન્ડેક્સ i- માપન નંબર). ચાલો ધારીએ કે દરેક પરિમાણમાં ના છે પદ્ધતિસરની ભૂલ, એટલે કે માંથી વિચલનો સાચો અર્થ એબંને દિશામાં માપેલ જથ્થા સમાન સંભવિત છે. આ કિસ્સામાં, તમામ રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન અને માપેલ મૂલ્યની સમાન હોય છે. એ, એટલે કે
ચાલો આપણે છેલ્લે માની લઈએ કે માપ કેટલીક બાંયધરીકૃત ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ માપ માટે. આમ, આપણે ચેબીશેવના મોટી સંખ્યાના કાયદાની સ્થિતિમાં છીએ, અને તેથી, જો પરિમાણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો વ્યવહારિક નિશ્ચિતતા સાથે આપણે કહી શકીએ કે ગમે તે હોય, સરેરાશ અંકગણિત પરિણામોમાપન સાચા મૂલ્યથી અલગ છે એકરતાં ઓછું

કોર્સની શરૂઆતમાં અમે પહેલાથી જ તે હકીકત વિશે વાત કરી હતી ગાણિતિક કાયદાસંભાવના સિદ્ધાંતો સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનામાં અંતર્ગત વાસ્તવિક આંકડાકીય પેટર્નને અમૂર્ત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ પેટર્નની હાજરી ઘટનાના સામૂહિક સ્વભાવ સાથે ચોક્કસ રીતે સંકળાયેલી છે, એટલે કે, મોટી સંખ્યામાં સજાતીય પ્રયોગો કરવામાં આવે છે અથવા મોટી સંખ્યામાં સંચિત રેન્ડમ પ્રભાવો સાથે, જે તેમની સંપૂર્ણતામાં એક રેન્ડમ ચલ પેદા કરે છે જે આધિન છે. સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કાયદો. સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાની સ્થિરતાની મિલકત પ્રાચીન સમયથી માનવજાત માટે જાણીતી છે. ગમે તે ક્ષેત્રમાં તે પોતાને પ્રગટ કરે છે, તેનો સાર નીચે મુજબ ઉકળે છે: ચોક્કસ લક્ષણોદરેક વ્યક્તિગત અવ્યવસ્થિત ઘટનાની જનતાના સરેરાશ પરિણામ અને આવી ઘટના પર લગભગ કોઈ અસર થતી નથી; સરેરાશથી રેન્ડમ વિચલનો, દરેક વ્યક્તિગત ઘટનામાં અનિવાર્ય, પરસ્પર રદ કરવામાં આવે છે, સમતળ કરવામાં આવે છે, સમૂહમાં સમતળ કરવામાં આવે છે. તે સરેરાશની આ સ્થિરતા છે જે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" ની ભૌતિક સામગ્રીને રજૂ કરે છે, જે શબ્દના વ્યાપક અર્થમાં સમજાય છે: ઘણી મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ઘટના સાથે, તેમનું સરેરાશ પરિણામ વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે અને તેની આગાહી કરી શકાય છે. ઉચ્ચ ડિગ્રી નિશ્ચિતતા સાથે.

IN સંકુચિત અર્થમાંસંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" શબ્દનો અર્થ શ્રેણી છે ગાણિતિક પ્રમેય, જેમાંથી દરેકમાં, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકત છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકોનો સંપર્ક કરે છે.

2.3 માં અમે પહેલાથી જ આ પ્રમેયમાંથી સૌથી સરળ - જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય ઘડ્યું છે. તેણી દાવો કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, ઘટનાની આવર્તન આ ઘટનાની સંભાવના સુધી પહોંચે છે (વધુ ચોક્કસ રીતે, સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે). અન્ય લોકો સાથે, વધુ સામાન્ય સ્વરૂપોઅમે આ પ્રકરણમાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો રજૂ કરીશું. તે બધા ચોક્કસ રેન્ડમ ચલોની સતત, બિન-રેન્ડમ ચલોની સંભાવનામાં કન્વર્જન્સની હકીકત અને શરતો સ્થાપિત કરે છે.

મોટી સંખ્યામાં કાયદો મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે વ્યવહારુ કાર્યક્રમોસંભાવના સિદ્ધાંત. રેન્ડમ ચલોની મિલકત, અમુક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, લગભગ બિન-રેન્ડમની જેમ વર્તે છે, તે વ્યક્તિને આ જથ્થાઓ સાથે વિશ્વાસપૂર્વક કાર્ય કરવાની અને લગભગ સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાના પરિણામોની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સામૂહિક રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાના ક્ષેત્રમાં આવી આગાહીઓની શક્યતાઓ મર્યાદા પ્રમેયના અન્ય જૂથની હાજરી દ્વારા વધુ વિસ્તૃત થાય છે, જે રેન્ડમ ચલોના મર્યાદિત મૂલ્યોથી સંબંધિત નથી, પરંતુ વિતરણના મર્યાદિત નિયમોની ચિંતા કરે છે. તે વિશે છે"કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" તરીકે ઓળખાતા પ્રમેયના જૂથ વિશે. અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે જ્યારે પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરવાળોનો વિતરણ કાયદો અમુક શરતોને આધીન, અનિશ્ચિત રૂપે સામાન્ય સુધી પહોંચે છે. આ શરતો, જે ગાણિતિક રીતે વિવિધ રીતે ઘડી શકાય છે - વધુ કે ઓછા સામાન્ય સ્વરૂપમાં - આવશ્યકપણે જરૂરી છે કે વ્યક્તિગત પદોના સરવાળા પરનો પ્રભાવ એકસરખો ઓછો હોય, એટલે કે, રકમમાં સભ્યોનો સમાવેશ થતો નથી. રકમના વિક્ષેપ પરના તેમના પ્રભાવ અનુસાર બાકીની સંપૂર્ણતા પર સ્પષ્ટપણે પ્રભુત્વ ધરાવે છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના વિવિધ સ્વરૂપો એકબીજાથી અલગ પડે છે તે પરિસ્થિતિઓમાં કે જેના માટે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની આ મર્યાદિત મિલકત સ્થાપિત થાય છે.

સાથે મોટી સંખ્યામાં કાયદાના વિવિધ સ્વરૂપો વિવિધ સ્વરૂપોકેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સંભાવના સિદ્ધાંતના કહેવાતા મર્યાદા પ્રમેયનો સમૂહ બનાવે છે. મર્યાદા પ્રમેય માત્ર અવ્યવસ્થિત ઘટનાના ક્ષેત્રમાં વૈજ્ઞાનિક આગાહીઓ કરવાનું શક્ય બનાવે છે, પણ આ આગાહીઓની સચોટતાનું મૂલ્યાંકન પણ કરે છે.

આ પ્રકરણમાં આપણે ફક્ત કેટલાક સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લઈશું સરળ આકારોપ્રમેય મર્યાદિત કરો. પ્રથમ, આપણે "મોટી સંખ્યાના કાયદા" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું, પછી "કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" જૂથ સાથે સંબંધિત પ્રમેય.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" એ ગાણિતિક પ્રમેયની શ્રેણી તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકતને સ્થાપિત કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકો સુધી પહોંચે છે.

તે ચેબીશેવની અસમાનતા પર આધારિત છે:

ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ Xનું વિચલન ઓછું હોવાની સંભાવના હકારાત્મક સંખ્યાε, આનાથી ઓછું નહીં:

સ્વતંત્ર અને સતત r.v માટે માન્ય.

53. ચેબીશેવનું પ્રમેય.

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અનંત ક્રમ રહેવા દો સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા અને સમાન સ્થિર C દ્વારા મર્યાદિત તફાવતો સાથે:

પછી, ધન સંખ્યા ગમે તે હોય, ઘટનાની સંભાવના એક તરફ વળે છે.

54. બર્નૌલીનું પ્રમેય.

n ઉત્પન્ન થવા દો સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જેમાં દરેક ઘટના A ની સંભાવના p ની બરાબર છે.

55. લ્યાપુનોવના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની વિભાવના.

ખૂબ જ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓ હેઠળ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ સામાન્ય વિતરણની નજીક છે.

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે વિતરિત કરવા માટે જાણીતા છે. કેન્દ્રમાં એ.એમ. લાયપુનોવ દ્વારા આ અંગેની સમજૂતી આપવામાં આવી હતી મર્યાદા પ્રમેય: જો રેન્ડમ ચલ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાનો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેકનો પ્રભાવ સમગ્ર સરવાળા પર નજીવો છે, તો તેનું વિતરણ સામાન્યની નજીક છે.

56. સામાન્ય વસ્તી અને નમૂના: મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ખ્યાલો.

ગાણિતિક આંકડા એ એક વિજ્ઞાન છે જે રેન્ડમ સામૂહિક ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રાયોગિક ડેટા મેળવવા, વર્ણન અને પ્રક્રિયા કરવા માટેની પદ્ધતિઓના વિકાસ સાથે કામ કરે છે.

ગાણિતિક આંકડાની સમસ્યાઓ:

માપન પરિણામોના આધારે અજાણ્યા વિતરણ કાર્યનો અંદાજ.

ગ્રેડ અજાણ્યા પરિમાણોવિતરણો

સ્થિર પૂર્વધારણા પરીક્ષણ.

ચાલો અમુક માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા xનો અભ્યાસ કરીએ.

પછી હેઠળ સામાન્ય વસ્તીતેના તમામ સંભવિત અર્થોનો સમૂહ સમજી શકાય છે.

ગુણધર્મો અભ્યાસ કરવા માટે આ લાક્ષણિકતાસામાન્ય વસ્તીમાંથી, તત્વોનો એક ભાગ અવ્યવસ્થિત રીતે Xi વેરિયન્ટ્સ દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે, જે નમૂનાની વસ્તી અથવા નમૂના બનાવે છે.

સંગ્રહના ઘટકોની સંખ્યાને તેનો પદાર્થ n કહેવામાં આવે છે.

નમૂના: 1) પુનરાવર્તિત નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ (આગલું પસંદ કરતા પહેલા) સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

2) બિન-પુનરાવર્તન નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

અમને રુચિ ધરાવતી સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતા વિશે પૂરતા વિશ્વાસ સાથે નિર્ણય કરવા માટે નમૂનાના ડેટાનો ઉપયોગ કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે નમૂના પ્રતિનિધિ હોય)

મોટી સંખ્યાના કાયદાના આધારે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જો નમૂનો અવ્યવસ્થિત રીતે હાથ ધરવામાં આવે તો તે પ્રતિનિધિ હશે: વસ્તીમાંના દરેક પદાર્થને નમૂનામાં સમાવવાની સમાન સંભાવના હોવી જોઈએ.

જો વસ્તીનો પદાર્થ પૂરતો મોટો હોય, અને નમૂના આ વસ્તીનો માત્ર એક નાનો ભાગ બનાવે છે, તો પુનરાવર્તિત અને બિન-પુનરાવર્તિત નમૂનાઓ વચ્ચેનો તફાવત ભૂંસી નાખવામાં આવે છે.

ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા વિકલ્પોની સૂચિને વિવિધતા શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

આપેલ વિકલ્પના અવલોકનોની સંખ્યાને તેની આવર્તન ni કહેવામાં આવે છે, અને નમૂનાના પદાર્થ માટે આવર્તન ni નો ગુણોત્તર n-રિલેટિવ ફ્રીક્વન્સી wi છે.

જો સ્થિરતાની ઘટના સરેરાશવાસ્તવિકતામાં થાય છે, પછી માં ગાણિતિક મોડેલજેની સાથે આપણે અભ્યાસ કરીએ છીએ અવ્યવસ્થિત ઘટના, આ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરતું પ્રમેય હોવું જોઈએ.
આ પ્રમેયની શરતો હેઠળ, અમે રેન્ડમ ચલો પર પ્રતિબંધો રજૂ કરીએ છીએ એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ એન:

a) દરેક રેન્ડમ ચલ X iગાણિતિક અપેક્ષા છે

એમ(X i) = a;

b) દરેકનો તફાવત રેન્ડમ ચલમર્યાદિત છે અથવા, આપણે કહી શકીએ કે તફાવતો ઉપરથી સમાન સંખ્યા દ્વારા બંધાયેલા છે, ઉદાહરણ તરીકે સાથે, એટલે કે

ડી(X i) < C, i = 1, 2, …, n;

c) અવ્યવસ્થિત ચલો પેરવાઈઝ સ્વતંત્ર છે, એટલે કે કોઈપણ બે X iઅને એક્સજેખાતે i¹ jસ્વતંત્ર

પછી દેખીતી રીતે

ડી(એક્સ 1 + એક્સ 2 + … + એક્સ એન)=ડી(એક્સ 1) +ડી(એક્સ 2) + ... + ડી(એક્સ એન).

ચાલો ચેબીશેવ સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યાનો કાયદો ઘડીએ.

ચેબીશેવનું પ્રમેય:સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો " અવ્યવસ્થિત ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે ", એટલે કે કોઈપણ હકારાત્મક માટે ε

આર(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)

અભિવ્યક્તિનો અર્થ "અંકગણિત સરેરાશ = સંભાવનામાં એક" તે સંભાવના છે થી શક્ય તેટલું ઓછું અલગ હશે a, સંખ્યા વધે તેમ મર્યાદા વિના 1 સુધી પહોંચે છે n.

પુરાવો.માટે મર્યાદિત સંખ્યા nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો, અમે રેન્ડમ ચલ માટે ચેબીશેવની અસમાનતા લાગુ કરીએ છીએ = :

આર(|- એમ()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

a – b ને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે ગણતરી કરીએ છીએ એમ( ) અને ડી( ):

એમ( ) = = = = = = એ;

ડી( ) = = = = = = .

અવેજીમાં એમ( ) અને ડી( ) અસમાનતામાં (4.1.2), આપણે મેળવીએ છીએ

આર(| –a| < ε )≥1 – .

જો અસમાનતામાં (4.1.2) તો આપણે મનસ્વી રીતે નાનું લઈએ છીએ ε >0i n® ¥, પછી આપણને મળે છે

= 1,

જે ચેબીશેવના પ્રમેયને સાબિત કરે છે.

માનવામાં આવેલ પ્રમેયમાંથી એક મહત્વપૂર્ણ અનુસરે છે વ્યવહારુ નિષ્કર્ષ: અમને રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાના અજાણ્યા મૂલ્યને સરેરાશ સાથે બદલવાનો અધિકાર છે અંકગણિત મૂલ્ય, પર્યાપ્ત દ્વારા પ્રાપ્ત મોટી સંખ્યામાંપ્રયોગો તદુપરાંત, ગણતરી માટે જેટલા વધુ પ્રયોગો છે, તેટલા વધુ વધુ શક્યતા(વિશ્વસનીયતા) અમે અપેક્ષા રાખી શકીએ છીએ કે આ રિપ્લેસમેન્ટ સાથે સંકળાયેલ ભૂલ ( - એ) ઉલ્લેખિત મૂલ્ય કરતાં વધી જશે નહીં ε .

વધુમાં, તમે અન્ય હલ કરી શકો છો વ્યવહારુ સમસ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના (વિશ્વસનીયતા) મૂલ્યો અનુસાર આર=આર(| – a|< ε ) અને મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ભૂલ ε પ્રયોગોની જરૂરી સંખ્યા નક્કી કરો n; દ્વારા આરઅને nવ્યાખ્યાયિત કરો ε; દ્વારા ε અને nઘટનાની સંભાવના મર્યાદા નક્કી કરો | – a |< ε.

ખાસ કેસ. ખાતે દો nપરીક્ષણો જોવા મળે છે nરેન્ડમ ચલ મૂલ્યો X,ગાણિતિક અપેક્ષા રાખવી એમ(એક્સ) અને તફાવત ડી(એક્સ). પ્રાપ્ત મૂલ્યોને રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય એક્સ 1 ,એક્સ 2 ,એક્સ 3 , ... ,એક્સએન,. આને નીચે પ્રમાણે સમજવું જોઈએ: ની શ્રેણી nપરીક્ષણો વારંવાર હાથ ધરવામાં આવે છે, પરિણામે i-મી કસોટી i= l, 2, 3, ..., n, પરીક્ષણોની દરેક શ્રેણીમાં રેન્ડમ ચલની એક અથવા બીજી કિંમત દેખાશે એક્સ, અગાઉથી જાણીતું નથી. આથી, i-e મૂલ્ય x iમાં મેળવેલ રેન્ડમ ચલ i-મી કસોટી, જો તમે પરીક્ષણોની એક શ્રેણીમાંથી બીજી શ્રેણીમાં ખસેડો તો રેન્ડમલી બદલાય છે. તેથી દરેક મૂલ્ય x iરેન્ડમ ચલ ગણી શકાય ક્ઝી.

ચાલો ધારીએ કે પરીક્ષણો નીચેની આવશ્યકતાઓને સંતોષે છે:

1. ટેસ્ટ સ્વતંત્ર છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિણામો એક્સ 1 , એક્સ 2 ,
એક્સ 3 , ..., એક્સએનપરીક્ષણો - સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો.

2. પરીક્ષણો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે - આનો અર્થ છે, સંભાવના સિદ્ધાંતના દૃષ્ટિકોણથી, દરેક રેન્ડમ ચલ એક્સ 1 ,એક્સ 2 ,એક્સ 3 , ... ,એક્સએનમૂળ મૂલ્ય જેટલો જ વિતરણ કાયદો ધરાવે છે એક્સ, એટલે જ એમ(X i) = એમ(એક્સ) અને ડી(X i) = ડી(એક્સ), i = 1, 2, .... પી.

ઉપરોક્ત શરતોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ

આર(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)

ઉદાહરણ 4.1.1. એક્સ 4 ની બરાબર છે. કેટલા સ્વતંત્ર પ્રયોગો જરૂરી છે જેથી ઓછામાં ઓછી 0.9 ની સંભાવના સાથે કોઈ અપેક્ષા રાખી શકે કે આ રેન્ડમ ચલનું અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય 0.5 કરતા ઓછા ગાણિતિક અપેક્ષાથી અલગ હશે?

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર ε = 0,5; આર(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. રેન્ડમ ચલ માટે ફોર્મ્યુલા (4.1.3) લાગુ કરવું એક્સ, અમને મળે છે

પી(|- એમ(એક્સ)| < ε ) ≥ 1 – .

સંબંધમાંથી

1 – = 0,9

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ

n= = = 160.

જવાબ આપો: 160 સ્વતંત્ર પ્રયોગો જરૂરી છે.

જો આપણે ધારીએ કે અંકગણિતનો અર્થ થાય છે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, અમને મળે છે:

આર(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

જ્યાંથી, લેપ્લેસ ફંક્શનના ટેબલનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ ≥
≥ 1.645, અથવા ≥ 6.58, એટલે કે. n ≥49.

ઉદાહરણ4.1.2.રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા એક્સબરાબર D( એક્સ) = 5. 100 સ્વતંત્ર પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેમાંથી તેની ગણતરી કરવામાં આવી હતી . ગાણિતિક અપેક્ષાના અજાણ્યા મૂલ્યને બદલે એસ્વીકાર્યું . ઓછામાં ઓછી 0.8 ની સંભાવના સાથે મંજૂર મહત્તમ ભૂલ મૂલ્ય નક્કી કરો.

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર n= 100, આર(| –a|< ε ) ≥0.8. ચાલો ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ (4.1.3)

આર(| –a|< ε ) ≥1 – .

સંબંધમાંથી

1 – = 0,8

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ ε :

ε 2 = = = 0,25.

આથી, ε = 0,5.

જવાબ આપો: મહત્તમ ભૂલ મૂલ્ય ε = 0,5.

4.2. બર્નૌલી સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો

જો કે તમામ આંકડાકીય અનુમાનનો આધાર સંભાવનાનો ખ્યાલ છે, ત્યાં માત્ર થોડા જ કિસ્સાઓ છે જેમાં આપણે ઘટનાની સંભાવના સીધી રીતે નક્કી કરી શકીએ છીએ. કેટલીકવાર આ સંભાવનાને સમપ્રમાણતા, સમાન તકો, વગેરેની વિચારણાઓના આધારે સ્થાપિત કરી શકાય છે, પરંતુ એવી કોઈ સાર્વત્રિક પદ્ધતિ નથી કે જે કોઈને મનસ્વી ઘટના માટે તેની સંભાવના દર્શાવવાની મંજૂરી આપે. બર્નૌલીનું પ્રમેય આપણને રુચિની ઘટના માટે અંદાજિત સંભાવનાને શક્ય બનાવે છે. એપુનરાવર્તિત સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. તેને ઉત્પન્ન થવા દો nસ્વતંત્ર ટ્રાયલ, જેમાંના દરેકમાં અમુક ઘટના બનવાની સંભાવના એસતત અને સમાન છે આર.

બર્નૌલીનું પ્રમેય.સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે nઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એસંભાવનામાં સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે પીઘટનાની ઘટના એ,ટી. ઇ.

પી(½ - પી½≤ ε) = 1, (4.2.1)

જ્યાં ε - મનસ્વી રીતે નાની સકારાત્મક સંખ્યા.

ફાઈનલ માટે nતે પ્રદાન કર્યું , રેન્ડમ ચલ માટે ચેબીશેવ અસમાનતાનું સ્વરૂપ હશે:

પી(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

પુરાવો.ચાલો ચેબીશેવના પ્રમેયને લાગુ કરીએ. દો X i- ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી i-મી કસોટી, i= 1, 2, . . . , n. દરેક જથ્થામાં X iફક્ત બે મૂલ્યો લઈ શકે છે:

X i= 1 (ઘટના એઆવી) સંભાવના સાથે પી,

X i= 0 (ઘટના એનથી થયું) સંભાવના સાથે q= 1-પી.

દો Yn= સરવાળો એક્સ 1 + એક્સ 2 + … + એક્સ એનસંખ્યા જેટલી mઘટનાની ઘટનાઓ એવી nપરીક્ષણો (0 m n), જેનો અર્થ થાય છે Yn= - ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એવી nપરીક્ષણો અપેક્ષા અને ભિન્નતા X iઅનુક્રમે સમાન છે:

એમ( ) = 1∙પી + 0∙q = પી,