Mungil dan cantik tugas sederhana dari kategori yang berfungsi sebagai penyelamat bagi siswa terapung. Ini sifatnya pertengahan Juli, jadi inilah waktunya untuk bersantai dengan laptop Anda di pantai. Pagi pagi mulai bermain kelinci cerah teori agar segera fokus pada praktik, yang meskipun diklaim mudah, mengandung pecahan kaca di pasir. Dalam hal ini, saya menganjurkan agar Anda dengan cermat mempertimbangkan beberapa contoh di halaman ini. Untuk memecahkan tugas-tugas praktis harus bisa menemukan turunan dan memahami materi artikel Interval monotonisitas dan ekstrem fungsi.
Pertama, secara singkat tentang hal yang utama. Dalam pelajaran tentang kelangsungan fungsi Saya memberikan definisi kontinuitas pada suatu titik dan kontinuitas pada suatu interval. Perilaku teladan suatu fungsi pada suatu segmen dirumuskan dengan cara yang sama. Suatu fungsi kontinu pada suatu interval jika:
1) kontinu pada interval tersebut ;
2) kontinu pada suatu titik Kanan dan pada intinya kiri.
Di paragraf kedua kita berbicara tentang apa yang disebut kontinuitas sepihak berfungsi pada suatu titik. Ada beberapa pendekatan untuk mendefinisikannya, tetapi saya akan tetap berpegang pada kalimat yang saya mulai sebelumnya:
Fungsi tersebut kontinu pada suatu titik Kanan, jika didefinisikan pada suatu titik tertentu dan limit kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada suatu titik tertentu: 
. Hal ini berkesinambungan pada intinya kiri, jika ditentukan pada suatu titik tertentu dan batas sisi kirinya sama dengan nilainya pada titik ini: 
Bayangkan itu titik-titik hijau- ini adalah paku tempat karet gelang ajaib dipasang:
Secara mental ambil garis merah di tangan Anda. Jelasnya, seberapa jauh kita meregangkan grafik ke atas dan ke bawah (sepanjang sumbu), fungsinya akan tetap ada terbatas– pagar di atas, pagar di bawah, dan produk kami merumput di paddock. Dengan demikian, suatu fungsi kontinu pada suatu interval dibatasi padanya. Dalam analisis matematis, fakta yang tampaknya sederhana ini dinyatakan dan dibuktikan dengan tegas. Teorema pertama Weierstrass....Banyak orang merasa kesal karena pernyataan-pernyataan dasar secara membosankan dibuktikan dalam matematika, namun hal ini mempunyai arti yang penting. Misalkan seorang penghuni Abad Pertengahan terry menarik grafik ke langit di luar batas jarak pandang, ini dimasukkan. Sebelum penemuan teleskop, keterbatasan fungsi di ruang angkasa sama sekali tidak terlihat jelas! Sungguh, bagaimana Anda tahu apa yang menanti kita di depan mata? Lagipula, Bumi dulunya dianggap datar, jadi saat ini teleportasi biasa pun memerlukan bukti =)
Menurut Teorema kedua Weierstrass, kontinu pada suatu segmenfungsi mencapainya tepat tepi atas dan milikmu tepi bawah yang tepat .
Nomornya juga dipanggil nilai maksimum fungsi pada segmen tersebut dan dilambangkan dengan , dan bilangan tersebut adalah nilai minimum fungsi pada segmen tersebut ditandai.
Dalam kasus kami: 
Catatan
: secara teori, rekaman adalah hal biasa 
.
Secara kasar, nilai tertinggi terletak di tempat yang paling banyak titik tinggi grafis, dan yang terkecil – di mana yang paling banyak titik rendah.
Penting! Seperti yang sudah ditekankan pada artikel tentang ekstrem dari fungsi tersebut, nilai fungsi terbesar Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa fungsi maksimal Dan fungsi minimal. Jadi, dalam contoh yang dibahas, bilangan adalah nilai minimum dari fungsi tersebut, tetapi bukan nilai minimum.
Ngomong-ngomong, apa yang terjadi di luar segmen tersebut? Ya, meski banjir, dalam konteks masalah yang sedang kita pertimbangkan, hal ini sama sekali tidak menarik bagi kita. Tugasnya hanya melibatkan menemukan dua angka 
dan itu saja!
Oleh karena itu, solusinya murni analitis tidak perlu membuat gambar!
Algoritmenya terletak di permukaan dan muncul dari gambar di atas:
1) Temukan nilai fungsi di poin kritis, milik mana segmen ini .
Tangkap roti lagi: di sini tidak perlu memeriksa kondisi cukup ekstrem, karena, seperti yang baru saja ditunjukkan, adanya minimum atau maksimum belum menjamin, berapa minimum atau nilai maksimum. Fungsi demonstrasi mencapai maksimum dan, atas kehendak takdir, bilangan yang sama merupakan nilai terbesar dari fungsi tersebut pada segmen tersebut. Namun tentu saja kebetulan seperti itu tidak selalu terjadi.
Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan mudah untuk menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis yang termasuk dalam segmen tersebut, tanpa mempermasalahkan apakah ada ekstrem di dalamnya atau tidak.
2) Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen.
3) Di antara nilai fungsi yang terdapat pada paragraf 1 dan 2, pilih yang terkecil dan terbesar jumlah besar, tuliskan jawabannya.
Kami duduk di tepi pantai laut biru dan menghantam perairan dangkal dengan tumit kita:
Contoh 1
Temukan yang terhebat dan nilai terkecil fungsi pada suatu interval
Larutan:
1) Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik kritis milik segmen ini:
Mari kita hitung nilai fungsi pada detik titik kritis:
2) Mari kita hitung nilai fungsi di ujung-ujung ruas: 
3) Hasil “tebal” diperoleh dengan eksponen dan logaritma, yang secara signifikan mempersulit perbandingannya. Oleh karena itu, mari bekali diri kita dengan kalkulator atau Excel dan hitung nilai perkiraannya, jangan lupa bahwa: 
Sekarang semuanya sudah jelas.
Menjawab:
Contoh rasional pecahan untuk keputusan independen:
Contoh 6
Temukan maksimum dan nilai minimum fungsi pada suatu interval
Studi tentang objek semacam itu analisis matematis sebagai fungsinya sangat bagus arti dan di bidang ilmu lainnya. Misalnya, di analisis ekonomi perilaku terus-menerus perlu dinilai fungsi keuntungan, yaitu menentukan sebesar-besarnya arti dan mengembangkan strategi untuk mencapainya.
instruksi
Studi tentang perilaku apa pun harus selalu dimulai dengan pencarian domain definisi. Biasanya dengan syarat tugas tertentu perlu untuk menentukan yang terbesar arti fungsi baik di seluruh wilayah ini, atau pada interval tertentu dengan batas terbuka atau tertutup.
Berdasarkan , yang terbesar adalah arti fungsi y(x0), yang mana untuk titik mana pun dalam domain definisi, pertidaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) berlaku. Secara grafis, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai argumen ditempatkan pada sumbu absis, dan fungsi itu sendiri ditempatkan pada sumbu ordinat.
Untuk menentukan yang terbesar arti fungsi, ikuti algoritma tiga langkah. Harap dicatat bahwa Anda harus bisa mengerjakan satu sisi dan , serta menghitung turunannya. Jadi, misalkan suatu fungsi y(x) diberikan dan Anda perlu mencari fungsi terbesarnya arti pada interval tertentu dengan nilai batas A dan B.
Cari tahu apakah interval ini termasuk dalam cakupan definisi fungsi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukannya dengan mempertimbangkan semua kemungkinan batasan: keberadaan pecahan dalam ekspresi, akar kuadrat dll. Domain definisi adalah himpunan nilai argumen yang fungsinya masuk akal. Tentukan apakah interval tertentu merupakan bagian dari interval tersebut. Jika ya, lanjutkan ke langkah berikutnya.
Temukan turunannya fungsi dan selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan menyamakan turunannya dengan nol. Dengan cara ini Anda akan mendapatkan nilai yang disebut titik stasioner. Evaluasi apakah paling sedikit salah satunya termasuk dalam interval A, B.
Pada tahap ketiga, pertimbangkan titik-titik ini dan substitusikan nilainya ke dalam fungsi. Tergantung pada jenis interval, lakukan langkah tambahan berikut. Jika ada segmen berbentuk [A, B], titik batasnya termasuk dalam interval; Hitung Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika intervalnya terbuka (A, B), nilai batasnya tertusuk, yaitu. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan limit satu sisi untuk x→A dan x→B. Interval gabungan berbentuk [A, B) atau (A, B), yang salah satu batasnya termasuk dalam interval tersebut, sedangkan batas lainnya tidak termasuk dalam interval tersebut. Tentukan limit satu sisi karena x cenderung ke nilai yang tertusuk, dan substitusikan yang lain ke dalam fungsi. Interval dua sisi tak hingga (-∞, +∞) atau interval tak hingga satu sisi yang bentuknya: , (-∞, B). Untuk limit real A dan B, lanjutkan sesuai prinsip yang telah dijelaskan, dan untuk tak terhingga, carilah limit masing-masing x→-∞ dan x→+∞.
Tugas pada tahap ini
Dan untuk mengatasinya, Anda memerlukan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Yang berikutnya berakhir tahun akademik, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya akan langsung ke intinya:
Mari kita mulai dengan areanya. Daerah yang dimaksud dalam kondisi tersebut adalah terbatas tertutup kumpulan titik pada suatu bidang. Misalnya himpunan titik-titik yang dibatasi oleh suatu segitiga, termasuk segitiga SELURUH (jika dari perbatasan“tusuk” minimal satu titik, maka wilayah tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga area yang berbentuk persegi panjang, melingkar, dan sedikit lebih besar. bentuk yang kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis definisi yang ketat diberikan keterbatasan, isolasi, batasan, dll., tapi menurut saya semua orang mengetahui konsep ini pada tingkat intuitif, dan sekarang tidak diperlukan lagi.
Daerah datar secara standar dilambangkan dengan surat itu , dan, sebagai suatu peraturan, ditentukan secara analitis - dengan beberapa persamaan (belum tentu linier); lebih jarang kesenjangan. Khas pergantian frase: "area tertutup, dibatasi oleh garis ».
Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi suatu area dalam gambar. Bagaimana cara melakukan ini? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang dicari biasanya diberi sedikit bayangan, dan batasnya ditandai dengan garis tebal: 
Area yang sama juga dapat diatur kesenjangan linier: , yang karena alasan tertentu sering kali ditulis sebagai daftar yang disebutkan, bukan sistem.
Karena batas itu milik daerah, maka segala ketimpangan tentu saja tidak ada. longgar.
Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan sumbunya keluar lurus ke arah Anda dari titik asal. Pertimbangkan fungsi itu kontinu di masing-masing titik daerah. Grafik fungsi ini mewakili beberapa permukaan, Dan sedikit kebahagiaan adalah untuk memecahkan masalah saat ini kita tidak perlu mengetahui seperti apa permukaannya. Letaknya bisa lebih tinggi, lebih rendah, melintasi bidang - semua ini tidak masalah. Dan yang berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu V terbatas tertutup dimana fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya (paling atas") dan yang paling sedikit (“yang “terendah”) nilai-nilai yang perlu ditemukan. Nilai-nilai seperti itu tercapai atau V titik stasioner, milik wilayah tersebutD , atau di titik-titik yang terletak di perbatasan daerah ini. Hal ini mengarah pada algoritma solusi yang sederhana dan transparan:
Contoh 1
Secara terbatas daerah tertutup
Larutan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis hal itu sulit untuk saya lakukan model interaktif tugas, oleh karena itu saya akan segera menyajikan ilustrasi akhir, yang menggambarkan semua poin “mencurigakan” yang ditemukan selama penelitian. Mereka biasanya dicantumkan satu demi satu saat ditemukan: 
Berdasarkan pembukaan, keputusan tersebut dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin:
I) Temukan titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang kami lakukan berulang kali di kelas. tentang ekstrem dari beberapa variabel:
Ditemukan titik stasioner milik bidang: (tandai pada gambar), yang berarti kita harus menghitung nilai fungsi pada suatu titik tertentu:
- seperti di artikel Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen, hasil penting Saya akan menebalkannya. Lebih mudah untuk menjiplaknya di buku catatan dengan pensil.
Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya memeriksanya kondisi cukup untuk ekstrem. Mengapa? Bahkan jika suatu titik fungsi tersebut tercapai, misalnya, minimum lokal , maka ini BUKAN BERARTI nilai yang dihasilkan akan seperti itu minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .
Apa yang harus dilakukan jika titik stasioner BUKAN termasuk dalam area tersebut? Hampir tidak ada apa-apa! Perlu diperhatikan hal itu dan lanjutkan ke poin berikutnya.
II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah.
Karena batasnya terdiri dari sisi-sisi segitiga, maka akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subbagian. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, akan lebih menguntungkan jika mempertimbangkan segmen secara paralel terlebih dahulu sumbu koordinat, dan pertama-tama, mereka yang berbaring di kapak itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir cerita “dalam satu tarikan napas”:
1) Mari kita lihat sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, substitusikan langsung ke dalam fungsi:
Alternatifnya, Anda dapat melakukannya seperti ini: 
Secara geometris hal ini berarti demikian bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" dari permukaan parabola "spasial", yang puncaknya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia berada:
– nilai yang dihasilkan “jatuh” ke dalam area tersebut, dan mungkin saja terjadi pada titik tersebut (ditandai pada gambar) fungsinya mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh wilayah. Dengan satu atau lain cara, mari kita lakukan perhitungan:
“Kandidat” lainnya, tentu saja, adalah ujung dari segmen tersebut. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik 
(ditandai pada gambar):
Di sini, omong-omong, Anda dapat melakukan pemeriksaan kecil lisan menggunakan versi yang “dipreteli”: 
2) Untuk penelitian sisi kanan kita mengganti segitiga ke dalam fungsi dan “menertibkan”:
Di sini kita akan segera melakukan pemeriksaan kasar, “membunyikan” ujung segmen yang sudah diproses:
, Besar.
Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:
– nilai yang dihasilkan juga “masuk ke dalam lingkup kepentingan kita”, yang berarti kita perlu menghitung berapa fungsi pada titik yang muncul sama dengan:
Mari kita periksa ujung kedua segmen ini:
Menggunakan fungsi 
, mari kita lakukan pemeriksaan kontrol: 
3) Mungkin semua orang bisa menebak bagaimana cara menjelajahi sisi yang tersisa. Kami menggantinya ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:
Ujung segmen 
sudah diteliti, namun pada draftnya masih kami cek apakah sudah menemukan fungsinya dengan benar 
:
– bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-1;
– bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-2.
Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen tersebut:
- Ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari “ketertarikan” ini:
Kami menandai suatu titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:
Mari kita periksa perhitungannya menggunakan versi “anggaran”. 
:
, memesan.
Dan langkah terakhir: Kami dengan HATI-HATI memeriksa semua angka yang “tebal”, saya sarankan agar para pemula membuat satu daftar saja: 
dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab Mari kita tuliskan sesuai gaya masalah penemuannya nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen:
Untuk jaga-jaga, saya akan berkomentar lagi makna geometris hasil:
– inilah titik tertinggi permukaan di wilayah tersebut;
– ini adalah titik terendah dari permukaan di area tersebut.
Dalam tugas yang dianalisis, kami mengidentifikasi 7 poin yang “mencurigakan”, tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "kumpulan penelitian" minimum terdiri dari tiga poin. Ini terjadi ketika suatu fungsi, misalnya, menentukan pesawat– jelas sekali bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi tersebut hanya dapat mencapai nilai maksimum/terkecilnya pada titik sudut segitiga. Tetapi hanya ada satu atau dua contoh serupa - biasanya Anda harus berurusan dengan beberapa contoh permukaan orde ke-2.
Jika Anda mencoba menyelesaikan tugas-tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda pusing, dan itulah mengapa saya mempersiapkannya untuk Anda contoh yang tidak biasa sehingga menjadi persegi :))
Contoh 2
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi 
pada suatu area tertutup yang dibatasi oleh garis
Contoh 3
Temukan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dalam luas tertutup terbatas.
Perhatian khusus Perhatikan tatanan rasional dan teknik mempelajari batas wilayah, serta rantai pemeriksaan perantara, yang hampir sepenuhnya menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya pada Contoh 2, ada kemungkinan membuat hidup Anda jauh lebih sulit. Sampel perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.
Mari kita mensistematisasikan algoritme solusinya, jika tidak, dengan ketekunan saya sebagai laba-laba, algoritme tersebut entah bagaimana akan hilang dalam rangkaian panjang komentar pada contoh pertama:
– Pada langkah pertama kita membangun suatu area, disarankan untuk mengarsirnya dan menyorot batasnya dengan garis tebal. Selama penyelesaian, akan muncul titik-titik yang perlu ditandai pada gambar.
– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsinya hanya pada mereka yang termasuk dalam wilayah tersebut. Kami menyorot nilai yang dihasilkan dalam teks (misalnya, lingkari dengan pensil). Jika suatu titik stasioner BUKAN milik wilayah tersebut, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kita menarik kesimpulan tertulis bahwa titik tersebut tidak ada. Bagaimanapun, poin ini tidak boleh dilewati!
– Kami sedang menjelajahi perbatasan wilayah. Pertama, memahami garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat akan bermanfaat (jika ada sama sekali). Kami juga menyoroti nilai fungsi yang dihitung pada titik “mencurigakan”. Banyak yang telah dikatakan di atas tentang teknik solusi dan hal lain akan dikatakan di bawah - baca, baca ulang, selidiki!
– Dari bilangan yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawabannya. Terkadang suatu fungsi mencapai nilai tersebut di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua poin ini harus tercermin dalam jawabannya. Misalkan, 
dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Lalu kami menuliskannya
Contoh terakhir didedikasikan untuk orang lain ide-ide yang berguna yang akan berguna dalam praktik:
Contoh 4
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup 
.
Saya tetap mempertahankan rumusan penulis, yang luasnya diberikan dalam bentuk pertidaksamaan ganda. Kondisi ini dapat ditulis sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk tugas ini: 
Saya mengingatkan Anda bahwa dengan nonlinier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari notasi tersebut, mohon jangan menunda dan memperjelas situasinya sekarang ;-)
Larutan, seperti biasa, dimulai dengan membangun area yang mewakili semacam “satu-satunya”: 
Hmm, terkadang Anda tidak hanya harus mengunyah granit ilmu pengetahuan saja...
I) Temukan titik stasioner: 
Sistem ini adalah impian orang bodoh :) 
Suatu titik stasioner termasuk dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya.
Jadi, tidak apa-apa... pelajarannya berjalan dengan baik - inilah arti minum teh yang benar =)
II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:
1) Jika , maka
Mari kita cari letak titik puncak parabola:
– hargai momen-momen seperti itu – Anda telah “mencapai” titik di mana semuanya sudah jelas. Namun kami tetap tidak lupa memeriksa: 
Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen: 
2) Mari kita berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu kesempatan" - tanpa kerumitan apa pun, kita substitusikan ke dalam fungsi, dan kita hanya akan tertarik pada segmennya:
Kontrol:
Hal ini sudah membawa keseruan dalam berkendara monoton di sepanjang jalur knurled. Mari kita temukan poin-poin penting:
Mari kita putuskan persamaan kuadrat, apakah kamu ingat hal lain tentang ini? ...Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan masuk desimal(yang, omong-omong, jarang terjadi), maka yang biasa menunggu kita di sini pecahan biasa. Kami menemukan akar “X” dan menggunakan persamaan tersebut untuk menentukan koordinat “permainan” yang sesuai dari titik “kandidat”: 
Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemukan: 
Periksa sendiri fungsinya.
Sekarang kami mempelajari dengan cermat piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:
Ini adalah “kandidat”, ini adalah “kandidat”!
Untuk mengatasinya sendiri:
Contoh 5
Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
di area tertutup 
Rekaman dari kurung kurawal berbunyi seperti ini: “seperangkat titik sedemikian rupa.”
Terkadang masuk contoh serupa menggunakan Metode pengali Lagrange, tapi sepertinya tidak ada kebutuhan nyata untuk menggunakannya. Jadi, misalnya, jika suatu fungsi dengan luas “de” yang sama diberikan, maka setelah disubstitusikan ke dalamnya – dengan turunannya tidak ada kesulitan; Apalagi semuanya disusun dalam “satu garis” (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja masih ada lagi kasus yang kompleks, dimana tanpa fungsi Lagrange (di mana, misalnya, persamaan lingkarannya sama) Sulit untuk bertahan hidup – sama seperti sulitnya bertahan hidup tanpa istirahat yang cukup!
Selamat bersenang-senang semuanya dan sampai jumpa musim depan!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2: Larutan: Mari kita gambarkan luas pada gambar:
Nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi adalah nilai ordinat terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan.
Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, Anda perlu:
- Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen tertentu.
- Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari poin 3
- Pilih nilai terbesar atau terkecil dari hasil yang diperoleh.
Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:
- Temukan turunan dari fungsi $f"(x)$
- Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
- Faktorkan turunan suatu fungsi.
- Gambarlah garis koordinat, letakkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan, menggunakan notasi pada langkah 3.
- Carilah titik maksimum atau minimum sesuai aturan: jika suatu titik turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka ini adalah titik maksimumnya (jika dari minus ke plus, maka ini adalah titik minimum). Dalam praktiknya, lebih mudah menggunakan gambar panah pada interval: pada interval yang turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.
Tabel turunan beberapa fungsi dasar:
| Fungsi | Turunan |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(dosa^2x)$ |
| $karena^2x$ | $-dosa2x$ |
| $dosa^2x$ | $dosa2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Aturan dasar diferensiasi
1. Turunan jumlah dan selisih sama dengan turunan masing-masing suku
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Cari turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Turunan jumlah dan selisihnya sama dengan turunan masing-masing suku
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Turunan dari produk.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Cari turunan $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Turunan dari hasil bagi
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Temukan turunan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Turunan fungsi yang kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalam
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Tentukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Ayo temukan fungsi ODZ: $x+11>0; x>-11$
2. Tentukan turunan dari fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol
$(2x+21)/(x+11)=0$
Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol, dan penyebutnya bukan nol
$2x+21=0; x≠-11$
4. Mari kita menggambar garis koordinat, menempatkan titik-titik diam di atasnya dan menentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan. Untuk melakukannya, substitusikan bilangan apa pun dari daerah paling kanan ke dalam turunannya, misalnya nol.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Pada titik minimum, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga titik $-10.5$ adalah titik minimum.
Jawaban: $-10,5$
Temukan nilai terbesar dari fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$
1. Temukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$
2. Samakan turunannya dengan nol dan temukan titik stasionernya
$30x^4-270x^2=0$
Kami akan mengeluarkannya pengganda umum$30x^2$ dalam tanda kurung
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Mari kita samakan setiap faktor dengan nol
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Pilih titik stasioner yang termasuk dalam segmen $[-5;1]$ tertentu
Poin stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita
4. Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung segmen dan pada titik-titik stasioner dari langkah 3
