Pemodelan matematika. Penentuan ciri klasifikasi dominan dan pengembangan model matematika gambar ekspresi wajah

Model matematika- deskripsi perkiraan objek pemodelan, dinyatakan dengan menggunakan simbol matematika.

Model matematika muncul bersamaan dengan matematika berabad-abad yang lalu. Munculnya komputer memberikan dorongan besar bagi perkembangan pemodelan matematika. Penggunaan komputer telah memungkinkan untuk menganalisis dan menerapkan dalam praktik banyak model matematika yang sebelumnya tidak dapat dilakukan penelitian analitis. Model matematika yang diimplementasikan komputer ditelepon model matematika komputer, A melakukan perhitungan yang ditargetkan menggunakan model komputer ditelepon eksperimen komputasi.

Tahapan pemodelan matematika komputer ditunjukkan pada gambar. Tahap pertama- penentuan tujuan pemodelan. Sasaran ini bisa berbeda-beda:

1) model diperlukan untuk memahami bagaimana suatu objek tertentu terstruktur, apa strukturnya, sifat-sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksi dengan dunia luar (pemahaman);

2) suatu model diperlukan untuk mempelajari bagaimana mengendalikan suatu objek (atau proses) dan menentukan cara terbaik manajemen dengan tujuan dan kriteria tertentu (manajemen);

3) model diperlukan untuk memprediksi akibat langsung dan tidak langsung dari penerapan metode dan bentuk pengaruh tertentu terhadap objek (forecasting).

Mari kita jelaskan dengan contoh. Misalkan objek kajiannya adalah interaksi aliran zat cair atau gas dengan benda yang menghambat aliran tersebut. Pengalaman menunjukkan bahwa gaya resistensi terhadap aliran pada suatu bagian benda meningkat seiring bertambahnya kecepatan aliran, namun pada kecepatan yang cukup tinggi, gaya ini berkurang secara tiba-tiba dan meningkat lagi seiring dengan peningkatan kecepatan lebih lanjut. Apa yang menyebabkan penurunan kekuatan resistensi? Pemodelan matematis memungkinkan kita memperoleh jawaban yang jelas: pada saat resistensi menurun secara tiba-tiba, pusaran yang terbentuk dalam aliran cairan atau gas di belakang benda ramping mulai melepaskan diri darinya dan terbawa oleh aliran.

Contoh dari wilayah yang sama sekali berbeda: populasi dua spesies individu yang hidup berdampingan secara damai dengan jumlah yang stabil dan memiliki persediaan makanan yang sama, “tiba-tiba” mulai mengubah jumlah mereka secara drastis. Dan di sini pemodelan matematika memungkinkan (dengan tingkat keandalan tertentu) untuk menetapkan penyebabnya (atau setidaknya menyangkal hipotesis tertentu).

Mengembangkan konsep untuk mengelola suatu objek adalah kemungkinan tujuan pemodelan lainnya. Mode penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan tersebut aman dan paling menguntungkan secara ekonomi? Bagaimana menjadwalkan ratusan jenis pekerjaan pada pembangunan suatu fasilitas besar agar selesai secepat mungkin jangka pendek? Banyak masalah seperti ini yang secara sistematis muncul di hadapan para ekonom, perancang, dan ilmuwan.

Terakhir, memprediksi konsekuensi dampak tertentu pada suatu objek dapat menjadi hal yang relatif sederhana sistem fisik, dan sangat kompleks - di ambang kelayakan - dalam sistem biologis, ekonomi, dan sosial. Meskipun relatif mudah untuk menjawab pertanyaan tentang perubahan cara distribusi panas pada batang tipis akibat perubahan paduan penyusunnya, namun jauh lebih sulit untuk melacak (memprediksi) konsekuensi lingkungan dan iklim dari konstruksi bangunan besar. pembangkit listrik tenaga air atau konsekuensi sosial dari perubahan undang-undang perpajakan. Mungkin di sini juga, metode pemodelan matematika akan memberikan bantuan yang lebih signifikan di masa depan.

Tahap kedua: penentuan parameter masukan dan keluaran model; pembagian parameter masukan menurut tingkat pentingnya pengaruh perubahannya terhadap keluaran. Proses ini disebut pemeringkatan, atau pemisahan berdasarkan peringkat (lihat . “Formalisasi dan pemodelan”).

Tahap ketiga: konstruksi model matematika. Pada tahap ini terjadi peralihan dari rumusan model yang abstrak ke rumusan yang mempunyai representasi matematis tertentu.

Model matematika- ini adalah persamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, persamaan diferensial atau sistem persamaan tersebut, dll.

Tahap keempat: memilih metode untuk mempelajari model matematika. Paling sering, metode numerik digunakan di sini, yang cocok untuk pemrograman. Biasanya, beberapa metode cocok untuk memecahkan masalah yang sama, berbeda dalam akurasi, stabilitas, dll. Dari pilihan yang tepat Metode seringkali bergantung pada keberhasilan seluruh proses pemodelan.

Tahap kelima: pengembangan suatu algoritma, kompilasi dan debugging program komputer adalah proses yang sulit untuk diformalkan. Di antara bahasa pemrograman, banyak profesional lebih memilih FORTRAN untuk pemodelan matematika: baik karena tradisi maupun karena efisiensi kompiler (untuk pekerjaan perhitungan) yang tak tertandingi dan ketersediaan perpustakaan program standar yang besar, di-debug dengan cermat, dan dioptimalkan untuk metode matematika yang ditulis di dalamnya. . Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, tergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pemrogram.

Tahap keenam: pengujian program. Pengoperasian program diuji pada soal tes dengan jawaban yang telah diketahui sebelumnya. Ini hanyalah permulaan dari prosedur pengujian yang sulit dijelaskan secara formal dan mendalam. Biasanya, pengujian berakhir ketika pengguna, berdasarkan karakteristik profesionalnya, menganggap program tersebut benar.

Tahap ketujuh: eksperimen komputasi aktual, yang selama itu ditentukan apakah model tersebut sesuai dengan objek (proses) nyata. Suatu model cukup memadai untuk proses nyata jika beberapa karakteristik proses yang diperoleh di komputer sesuai dengan karakteristik yang diperoleh secara eksperimental dengan tingkat akurasi tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenarnya, kita kembali ke salah satu tahapan sebelumnya.

Klasifikasi model matematika

Klasifikasi model matematika dapat didasarkan pada berbagai prinsip. Anda dapat mengklasifikasikan model berdasarkan cabang ilmu pengetahuan (model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll). Dapat diklasifikasikan menurut peralatan matematika yang digunakan (model berdasarkan penggunaan biasa persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial, metode stokastik, diskrit transformasi aljabar dll.). Akhirnya, berdasarkan tugas-tugas umum pemodelan dalam berbagai ilmu, terlepas dari peralatan matematikanya, klasifikasi yang paling alami adalah:

· model deskriptif (deskriptif);

· model optimasi;

· model multikriteria;

· model permainan.

Mari kita jelaskan ini dengan contoh.

Model deskriptif (deskriptif).. Misalnya, pemodelan gerak komet yang menginvasi tata surya dilakukan untuk memprediksi jalur penerbangannya, jarak tempuhnya dari Bumi, dll. Dalam hal ini, tujuan pemodelan bersifat deskriptif, karena tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apapun di dalamnya.

Model optimasi digunakan untuk menggambarkan proses yang dapat dipengaruhi dalam upaya mencapai tujuan tertentu. Dalam hal ini model mencakup satu atau lebih parameter yang dapat dipengaruhi. Misalnya, ketika mengubah rezim termal di lumbung, Anda dapat menetapkan tujuan untuk memilih rezim yang akan mencapai keamanan biji-bijian maksimum, yaitu. mengoptimalkan proses penyimpanan.

Model multikriteria. Seringkali diperlukan untuk mengoptimalkan suatu proses pada beberapa parameter secara bersamaan, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif. Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan seseorang akan pangan, Anda perlu mengatur makan kelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas anak-anak, dll.) secara fisiologis benar dan, pada saat yang sama, semurah mungkin. Jelas bahwa tujuan-tujuan ini tidak bersamaan sama sekali, yaitu. Saat melakukan pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, di antaranya harus dicari keseimbangannya.

Model permainan mungkin berhubungan tidak hanya dengan permainan komputer, tetapi juga untuk hal-hal yang sangat serius. Misalnya, sebelum pertempuran, seorang komandan, jika tidak ada informasi yang lengkap tentang pasukan lawan, harus mengembangkan rencana: bagaimana cara memasukkan unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mempertimbangkan kemungkinan reaksi musuh. Ada cabang khusus matematika modern - teori permainan - yang mempelajari metode pengambilan keputusan dalam kondisi informasi yang tidak lengkap.

Pada mata kuliah ilmu komputer sekolah, siswa memperoleh pemahaman awal tentang pemodelan matematika komputer sebagai bagian dari mata kuliah dasar. Di sekolah menengah, pemodelan matematika dapat dipelajari secara mendalam kursus pendidikan umum untuk kelas fisika dan matematika, serta dalam kerangka mata kuliah pilihan khusus.

Bentuk utama pengajaran pemodelan matematika komputer di sekolah menengah adalah ceramah, laboratorium dan kelas tes. Biasanya, pekerjaan membuat dan mempersiapkan studi setiap model baru membutuhkan 3-4 pelajaran. Dalam penyampaian materi, ditetapkan masalah-masalah yang harus diselesaikan siswa secara mandiri di kemudian hari, dan cara penyelesaiannya diuraikan secara umum. Pertanyaan dirumuskan, jawabannya harus diperoleh ketika menyelesaikan tugas. Diindikasikan bacaan lebih lanjut, yang memungkinkan Anda memperoleh informasi tambahan untuk penyelesaian tugas yang lebih berhasil.

Bentuk penyelenggaraan kelas pada saat mempelajari materi baru biasanya berupa ceramah. Setelah menyelesaikan pembahasan model berikutnya, siswa memiliki informasi teoritis yang diperlukan dan serangkaian tugas untuknya pekerjaan lebih lanjut. Dalam persiapan menyelesaikan tugas, siswa memilih metode yang cocok solusi, menggunakan beberapa solusi pribadi terkenal untuk menguji program yang dikembangkan. Jika ada kemungkinan kesulitan dalam menyelesaikan tugas, konsultasi diberikan, dan proposal dibuat untuk mempelajari bagian ini secara lebih rinci dalam sumber-sumber literatur.

Paling relevan dengan bagian praktis dari pelatihan pemodelan komputer adalah metode proyek. Tugas dirumuskan untuk siswa dalam bentuk proyek pendidikan dan dilaksanakan dalam beberapa pembelajaran, dan bentuk organisasi utamanya adalah komputer. pekerjaan laboratorium. Pelatihan pemodelan menggunakan metode proyek pendidikan dapat diimplementasikan pada tingkat yang berbeda.
Pertama- presentasi bermasalah tentang proses penyelesaian proyek, dipimpin oleh guru.
Kedua- pelaksanaan proyek oleh siswa di bawah bimbingan guru.
Ketiga- implementasi mandiri oleh siswa dari proyek penelitian pendidikan.

Hasil pekerjaan harus disajikan dalam bentuk numerik, berupa grafik dan diagram. Jika memungkinkan, proses disajikan di layar komputer secara dinamis. Setelah menyelesaikan perhitungan dan menerima hasilnya, mereka dianalisis dan dibandingkan fakta yang diketahui dari teori tersebut, keandalan dikonfirmasi dan interpretasi yang bermakna dilakukan, yang kemudian tercermin dalam laporan tertulis.

Apabila hasilnya memuaskan siswa dan guru, maka pekerjaan dianggap selesai, dan tahap terakhirnya adalah penyusunan laporan. Laporan tersebut memuat informasi teoritis singkat tentang topik yang diteliti, rumusan masalah matematis, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, hasil program, analisis hasil dan kesimpulan, serta daftar referensi.

Setelah semua laporan telah disusun, siswa mempresentasikan laporannya pesan singkat tentang pekerjaan yang dilakukan, pertahankan proyek mereka. Ini bentuk yang efektif laporan kelompok yang melaksanakan proyek di depan kelas, termasuk menetapkan masalah, membangun model formal, memilih metode untuk bekerja dengan model, mengimplementasikan model di komputer, mengerjakan model yang sudah jadi, menafsirkan hasil, meramalkan. Hasilnya, siswa dapat menerima dua nilai: yang pertama - untuk elaborasi proyek dan keberhasilan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimalitas algoritma, antarmuka, dll. Siswa juga menerima nilai selama kuis teori.

Pertanyaan penting adalah alat apa yang digunakan dalam kursus ilmu komputer sekolah untuk pemodelan matematika? Implementasi model komputer dapat dilakukan:

· menggunakan prosesor spreadsheet (biasanya MS Excel);

· dengan membuat program dalam bahasa pemrograman tradisional (Pascal, BASIC, dll.), serta versi modernnya (Delphi, Visual Basic for Application, dll.);

· menggunakan paket aplikasi khusus untuk memecahkan masalah matematika (MathCAD, dll).

Di tingkat sekolah dasar, cara pertama tampaknya lebih disukai. Namun, di sekolah menengah atas Ketika pemrograman, bersama dengan pemodelan, merupakan topik utama dalam ilmu komputer, maka diinginkan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Selama proses pemrograman, rincian prosedur matematika tersedia bagi siswa; Selain itu, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini juga berkontribusi terhadap pendidikan matematika. Sedangkan untuk penggunaan paket perangkat lunak khusus, hal ini sesuai dalam kursus ilmu komputer khusus sebagai pelengkap alat lainnya.

PERKENALAN

Objek dunia materi kompleks dan beragam. Mencerminkan semua propertinya dalam gambar yang dibuat, dipelajari, dan digunakan sangatlah sulit, dan tidak perlu. Yang penting gambar suatu benda memuat ciri-ciri yang paling penting untuk penggunaannya. Metode pemodelan adalah penggantian benda asli dengan benda pengganti yang mempunyai kemiripan tertentu dengan aslinya, untuk memperoleh hasil yang diinginkan informasi baru tentang aslinya. Model adalah suatu benda pengganti benda aslinya, yang dirancang untuk memperoleh informasi tentang benda aslinya.

Model matematika termasuk dalam model simbolik dan mewakili gambaran suatu benda dalam bentuk simbol matematika, rumus, ekspresi. Jika Anda memiliki model matematika yang cukup akurat, Anda dapat menggunakan perhitungan matematis untuk memprediksi hasil fungsi suatu objek dalam berbagai kondisi, dan memilih dari berbagai kemungkinan opsi yang memberikan hasil terbaik.

Makalah ini memberikan jenis klasifikasi metode pemodelan matematika dan menjelaskan beberapa metode:

Pemrograman linier adalah metode pemodelan matematika yang digunakan untuk menemukan distribusi optimal sumber daya terbatas antara pekerjaan yang bersaing.

Pemodelan simulasi. Tujuan pemodelan simulasi adalah untuk mereproduksi perilaku sistem yang diteliti berdasarkan hasil analisis hubungan yang paling signifikan antar elemen-elemennya atau dengan kata lain untuk mengembangkan simulator dari sistem yang diteliti. bidang subjek untuk melakukan berbagai percobaan.

Klasifikasi metode pemodelan matematika

Karena beragamnya model matematika yang digunakan, mereka klasifikasi umum sulit. Dalam literatur, klasifikasi biasanya diberikan berdasarkan pendekatan yang berbeda dan prinsip.

Menurut tingkat hierarki model matematika dibagi menjadi model tingkat mikro, tingkat makro, dan tingkat meta. Model matematika pada proses tingkat mikro mencerminkan proses fisik yang terjadi, misalnya saat memotong logam. Mereka menggambarkan proses pada tingkat transisi (bagian).

Model matematika pada tingkat makro proses menggambarkan proses teknologi.

Model matematika pada tingkat meta proses menggambarkan sistem teknologi (bagian, bengkel, perusahaan secara keseluruhan).

Berdasarkan sifat properti objek yang ditampilkan model dapat diklasifikasikan menjadi struktural dan fungsional

Model struktural adalah jika dapat diwakili oleh struktur data atau struktur data dan hubungan di antara mereka, pada gilirannya, model struktural dapat berupa hierarki atau jaringan.

Modelnya bersifat hierarkis (seperti pohon), - jika dapat diwakili oleh beberapa struktur hierarki (pohon); misalnya untuk menyelesaikan masalah pencarian rute pada pohon pencarian, Anda dapat membuat model pohon seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1 - Model struktur hierarki.

Modelnya adalah jaringan - jika diwakili oleh beberapa struktur jaringan. Misalnya pembangunan rumah baru mencakup berbagai operasi yang dapat direpresentasikan dalam bentuk model jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2 - Model struktur jaringan.

Suatu model dikatakan fungsional jika dapat direpresentasikan dalam bentuk suatu sistem hubungan fungsional. Misalnya hukum Newton dan model produksi barang bersifat fungsional.

Dengan cara merepresentasikan properti objek model dibagi menjadi analitis, numerik, algoritmik dan simulasi.

Model matematika analitik adalah ekspresi matematika eksplisit dari parameter keluaran sebagai fungsi dari parameter masukan dan internal dan memiliki solusi unik untuk semua hal kondisi awal. Misalnya, proses pemotongan (pembubutan) ditinjau dari gaya-gaya yang bekerja merupakan model analitis. Selain itu, persamaan kuadrat yang memiliki satu atau lebih solusi akan menjadi model analitik. Model akan bersifat numerik jika memiliki solusi pada kondisi awal tertentu (persamaan diferensial dan integral).

Suatu model dikatakan algoritmik jika dijelaskan oleh suatu algoritma atau sekumpulan algoritma yang menentukan fungsi dan perkembangannya. Perkenalan dari jenis ini model (memang, tampaknya model apa pun dapat diwakili oleh algoritma untuk mempelajarinya) cukup beralasan, karena tidak semua model dapat dipelajari atau diimplementasikan secara algoritmik. Misalnya, model penghitungan jumlah deret bilangan menurun tak terhingga dapat berupa algoritma penghitungan jumlah akhir seri sampai tingkat akurasi tertentu. Model algoritmik akar kuadrat suatu bilangan X dapat menjadi algoritme untuk menghitung perkiraan nilai akuratnya menggunakan rumus berulang yang diketahui.

Model simulasi adalah jika dimaksudkan untuk menguji atau mempelajari kemungkinan jalur perkembangan dan perilaku suatu objek dengan memvariasikan beberapa atau seluruh parameter model, misalnya model sistem perekonomian produksi dua jenis barang. Model seperti itu dapat digunakan sebagai model simulasi untuk menentukan dan memvariasikan total biaya tergantung pada nilai tertentu dari volume barang yang diproduksi.

Berdasarkan metode penerimaan model dibagi menjadi teoritis dan empiris.Model matematika teoritis dibuat sebagai hasil mempelajari objek (proses) pada tingkat teoritis. Misalnya, terdapat ekspresi gaya potong yang diperoleh berdasarkan generalisasi hukum fisika. Tapi mereka tidak bisa diterima penggunaan praktis, karena sangat rumit dan tidak sepenuhnya disesuaikan dengan proses nyata. Model matematika empiris dibuat sebagai hasil dari melakukan eksperimen (mempelajari manifestasi eksternal dari sifat-sifat suatu benda dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan mengolah hasilnya menggunakan metode statistik matematika.

Menurut bentuk penyajian properti suatu objek model dibagi menjadi logis, teori himpunan dan grafik. Suatu model dikatakan logis jika dapat diwakili oleh predikat dan fungsi logis; misalnya, sekumpulan dua fungsi logis dapat berfungsi sebagai model matematika dari penambah satu bit. Suatu model disebut teori himpunan jika model tersebut dapat direpresentasikan menggunakan himpunan tertentu dan hubungan keanggotaan terhadap himpunan tersebut dan di antara himpunan tersebut. Model graf adalah model yang dapat direpresentasikan dengan graf atau graf dan hubungan antar keduanya.

Menurut tingkat stabilitasnya. model dapat dibagi menjadi stabil dan tidak stabil. Sistem yang stabil adalah sistem yang, setelah dikeluarkan dari keadaan awalnya, cenderung ke sana. Ia dapat berosilasi selama beberapa waktu di sekitar titik awal, seperti pendulum biasa yang bergerak, namun gangguan di dalamnya memudar seiring berjalannya waktu dan menghilang nilai-nilai variabel yang sesuai atau fluktuasinya dengan meningkatnya amplitudo

Sehubungan dengan faktor eksternal model dapat dibagi menjadi terbuka dan tertutup. Model tertutup adalah model yang beroperasi tanpa adanya hubungan dengan variabel luar (eksogen). Dalam model tertutup, perubahan nilai variabel dari waktu ke waktu ditentukan oleh interaksi internal dari variabel itu sendiri. Model loop tertutup dapat mengungkapkan perilaku suatu sistem tanpa memasukkan variabel eksternal. Contoh: sistem informasi dengan masukan adalah sistem tertutup. Mereka adalah sistem yang dapat menyesuaikan diri dan karakteristiknya diperoleh dari struktur internal dan interaksi yang mencerminkan masukan informasi eksternal. Model yang berhubungan dengan variabel luar (eksogen) disebut terbuka.

Sehubungan dengan faktor waktu model dibagi menjadi dinamis dan statis. Suatu model disebut statis jika tidak ada parameter waktu di antara parameter yang terlibat dalam deskripsinya. Suatu model disebut model dinamis jika di antara parameternya terdapat parameter waktu, yaitu menampilkan sistem (proses dalam sistem) dalam waktu. serentak.

Pemrograman linier

Di antara tugas-tugas tersebut pemrograman matematika yang paling sederhana (dan paling baik dipelajari) adalah apa yang disebut masalah pemrograman linier. Ciri khasnya adalah:

a) indikator efisiensi (fungsi tujuan) W bergantung linier pada elemen solusi x 1, x 2, ....., x n dan

b) pembatasan yang dikenakan pada unsur-unsur penyelesaian berupa persamaan atau pertidaksamaan linier terhadap x 1, x 2, ..., x n

Masalah seperti ini cukup sering ditemui dalam praktik, misalnya ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi sumber daya, perencanaan produksi, pengorganisasian transportasi, dll. Hal ini wajar, karena dalam banyak masalah praktis “pengeluaran” dan “pendapatan” bergantung secara linier pada jumlah barang yang dibeli atau dibuang (misalnya, total biaya kiriman barang bergantung secara linier pada jumlah unit yang dibeli; pembayaran pengangkutan dilakukan secara proporsional dengan berat barang yang diangkut, dll.).

Setiap masalah program linier dapat direduksi menjadi bentuk standar, yang disebut “masalah pemrograman linier dasar” (OBLP), yang dirumuskan sebagai berikut: carilah nilai non-negatif dari variabel x 1, x 2, .. ., x n yang memenuhi syarat persamaan (1).

Kasus ketika f harus diubah bukan menjadi maksimum, tetapi menjadi c. nilai minimum dapat dengan mudah diturunkan ke nilai sebelumnya jika kita mengubah tanda f menjadi kebalikannya (bukan maksimalkan f, tetapi f" = - f). Selain itu, dari kondisi pertidaksamaan apa pun kita dapat berpindah ke kondisi kesetaraan dengan biaya memperkenalkan variabel tambahan baru.

Tergantung pada jenis fungsi tujuan dan batasannya, beberapa jenis masalah program linier atau model linier dapat dibedakan: masalah linier umum, masalah transportasi, masalah penugasan.

Tugas transportasi(Masalah Monge-Kantorovich) adalah masalah pemrograman linier matematis jenis khusus tentang menemukan distribusi optimal benda-benda homogen dari akumulator ke penerima sambil meminimalkan biaya pergerakan. Untuk memudahkan pemahaman, dianggap sebagai permasalahan tentang rencana pengangkutan barang yang optimal dari titik pemberangkatan ke titik konsumsi, dengan biaya pengangkutan yang minimal.

Masalah penugasan dirumuskan sebagai berikut:

Ada sejumlah karya dan sejumlah pemain tertentu. Setiap pelaku dapat ditugaskan untuk melakukan pekerjaan apa pun (tetapi hanya satu), tetapi dengan biaya yang tidak sama. Pendistribusian pekerjaan perlu dilakukan sedemikian rupa sehingga dapat menyelesaikan pekerjaan dengan biaya yang minimal. Jika jumlah pekerjaan dan pelakunya sama, maka masalahnya disebut masalah penugasan linier.

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah program linier, khususnya metode grafis dan metode simpleks. Metode grafis didasarkan pada interpretasi geometri dari masalah program linier dan digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam ruang dua dimensi. Masalah ruang tiga dimensi sangat jarang terpecahkan, karena membangun solusi mereka tidak nyaman dan kurang jelas. Mari kita pertimbangkan metode ini dengan menggunakan contoh masalah dua dimensi.

Temukan solusi X = (x 1,x 2) yang memenuhi sistem pertidaksamaan (3)

dimana nilai fungsi tujuan F = 2x 1 x 2 mencapai maksimum.

Mari kita buat suatu daerah pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian x 1 Ox 2 solusi yang dapat diterima tugas.

Setiap garis lurus yang dibangun membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Koordinat titik-titik pada setengah bidang memenuhi pertidaksamaan awal, tetapi setengah bidang lainnya tidak. Untuk menentukan setengah bidang yang diinginkan, Anda perlu mengambil suatu titik yang termasuk dalam salah satu setengah bidang tersebut dan memeriksa apakah koordinatnya memenuhi pertidaksamaan ini. Jika koordinat suatu titik memenuhi pertidaksamaan ini, maka setengah bidang yang diinginkan adalah setengah bidang tempat titik tersebut berada. Jika tidak, setengah bidang lagi.

Mari kita cari setengah bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan x 1 -x 2 ≥-3. Untuk melakukannya, setelah membuat garis lurus (I) x 1 -x 2 = -3, kita ambil suatu titik milik salah satu dari dua setengah bidang yang dihasilkan, misalnya titik O(0,0). Koordinat titik ini memenuhi pertidaksamaan x 1 -x 2 ≥-3. Artinya setengah bidang tempat titik O(0,0) berada ditentukan oleh pertidaksamaan x 1 -x 2 ≥-3.

Sekarang mari kita cari setengah bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan 6x1+7x 2 ≤42.

Kita membangun baris II 6x 1 +7x 2 =42. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan 6x 1 + 7x 2 ≤42, artinya setengah bidang yang diperlukan adalah setengah bidang kedua.

Sekarang kita mencari setengah bidang untuk pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Oleh karena itu, setengah bidang tempat titik O(0,0) berada ditentukan oleh pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (Garis III).

Dan setengah bidang untuk pertidaksamaan x 1 + x 2 ≥4. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan x 1 + x 2 ≥4 (Lurus IV). Jadi garis lurus x 1 + x 2 =4 ditentukan oleh setengah bidang pertama.

Pertidaksamaan x 1 ≥0 dan x 2 ≥0 berarti daerah penyelesaian terletak di sebelah kanan sumbu ordinat dan di atas sumbu absis. Dengan demikian, wilayah ABCD yang diarsir pada Gambar 3 akan menjadi wilayah solusi layak yang ditentukan oleh batasan permasalahan. Fungsi tujuan mengambil alih nilai maksimal di salah satu titik sudut gambar ABCD. Untuk menentukan titik sudut ini, kita buat sebuah vektor C (2; -1) dan sebuah garis lurus 2x 1 -x 2 =p, dimana p adalah suatu konstanta sehingga garis lurus 2x 1 -x 2 =p mempunyai titik-titik yang sama dengan titik tersebut. poligon solusi. Misalkan p=1/2 dan buatlah garis lurus 2 x 1 -x 2 =1/2. Selanjutnya, kita akan memindahkan garis yang dibangun searah dengan vektor hingga melewati titik persekutuan terakhirnya dengan poligon solusi. Koordinat titik tertentu menentukan rencana optimal untuk tugas ini.

Gambar 3 menunjukkan bahwa titik persekutuan terakhir dari garis lurus 2x 1 -x 2 =p dengan poligon solusi adalah titik A. Titik tersebut merupakan perpotongan garis lurus II dan III, sehingga dicari koordinatnya sebagai solusi sistem. persamaan yang mendefinisikan garis lurus ini:

Dalam hal ini, nilai fungsi tujuan F = 2 x 1 -x 2 = 2* 5.25 – 1 *1.5 = 9.

Titik B akan menjadi solusi optimal dari permasalahan X opt = (x 1 opt, x 2 opt) dan koordinatnya akan sama dengan x 1 opt = 5.25, x 2 opt = 1.5.

Gambar 3 - Wilayah solusi yang layak untuk masalah tersebut

Simpleks - metode

Metode ini adalah metode enumerasi yang disengaja dari solusi referensi untuk masalah program linier. Dia mengizinkan nomor akhir langkah-langkah untuk menemukan solusi optimal atau menetapkan bahwa tidak ada solusi optimal.

1) Tunjukkan metode untuk menemukan solusi referensi yang optimal.

2) Tunjukkan metode transisi dari satu solusi referensi ke solusi referensi lainnya, di mana nilai fungsi tujuan akan mendekati nilai optimal, yaitu. menunjukkan cara untuk meningkatkan solusi referensi.

3) Tetapkan kriteria yang memungkinkan Anda untuk segera berhenti mencari solusi pendukung pada solusi optimal atau menarik kesimpulan tentang tidak adanya solusi optimal.

Untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode simpleks, Anda harus melakukan hal berikut:

1) Membawa masalah ke bentuk kanonik.

2) Temukan solusi dukungan awal dengan “basis unit” (jika tidak ada solusi dukungan, maka masalah tidak memiliki solusi karena ketidakcocokan sistem kendala).

3) Hitung perkiraan dekomposisi vektor berdasarkan solusi referensi dan isi tabel metode simpleks.

4) Jika kriteria keunikan solusi optimal terpenuhi, maka penyelesaian masalah berakhir. Jika syarat adanya himpunan solusi optimal terpenuhi, maka semua solusi optimal dicari dengan enumerasi sederhana.

Efisiensi komputasi metode matematika biasanya dinilai menggunakan dua parameter:

1) Banyaknya iterasi yang diperlukan untuk memperoleh solusi;

2) Konsumsi waktu komputer.

Dari hasil percobaan numerik diperoleh hasil sebagai berikut untuk metode simpleks:

1) Banyaknya iterasi pada penyelesaian masalah program linier dalam bentuk standar dengan batasan dan variabel adalah antara dan . Jumlah rata-rata iterasi. Batas atas jumlah iterasi adalah .

2) Waktu mesin yang dibutuhkan sebanding dengan .

Jumlah kendala memiliki dampak yang lebih besar terhadap efisiensi komputasi daripada jumlah variabel, oleh karena itu, ketika merumuskan masalah program linier, seseorang harus berusaha untuk mengurangi jumlah kendala, bahkan dengan menambah jumlah variabel.

Konsep dasar metode simulasi.

Istilah "pemodelan simulasi" ("model simulasi") biasanya berarti menghitung nilai dari beberapa karakteristik suatu proses yang berkembang dari waktu ke waktu dengan mereproduksi aliran proses ini pada komputer menggunakan model matematisnya, dan hal ini tidak mungkin atau sangat mustahil. sulit untuk mendapatkan hasil yang diperlukan dengan metode lain. Mereproduksi alur suatu proses pada komputer dengan menggunakan model matematika biasa disebut eksperimen simulasi.

Model simulasi termasuk dalam kelas model yang merupakan suatu sistem hubungan antara karakteristik proses yang dijelaskan. Karakteristik ini dibagi menjadi internal (“endogen”, “variabel fase”) dan eksternal (“eksogen”, “parameter”). Sekitar karakteristik internal- ini adalah nilai-nilai yang dimaksudkan untuk ditentukan dengan menggunakan alat pemodelan matematika; eksternal - karakteristik yang secara signifikan bergantung pada karakteristik internal, tetapi ketergantungan terbalik (dengan akurasi yang dapat diterima secara praktis) tidak terjadi.

Suatu model yang mampu memprediksi nilai-nilai karakteristik internal harus tertutup (“model tertutup”), dalam arti bahwa hubungannya memungkinkan seseorang untuk menghitung karakteristik internal dengan mempertimbangkan karakteristik eksternal yang diketahui. Prosedur untuk menentukan karakteristik eksternal suatu model disebut identifikasi, atau kalibrasi. Model matematika dari kelas yang dijelaskan (termasuk model simulasi) menentukan pemetaan yang memungkinkan seseorang memperolehnya nilai-nilai yang diketahui karakteristik eksternal dan nilai-nilai internal. Selanjutnya, pemetaan ini disebut pemetaan yang terkait dengan model.

Model kelas yang dipertimbangkan didasarkan pada postulat tentang independensi karakteristik eksternal dari karakteristik internal, dan relasi model merupakan bentuk pencatatan pemetaan yang terkait dengannya. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4, selama proses simulasi, peneliti menangani empat elemen utama:

sistem nyata;

Model logika-matematis dari objek yang disimulasikan;

Model simulasi (mesin);

Komputer tempat simulasi dilakukan adalah eksperimen komputasi terarah.

Peneliti mempelajari sistem nyata, mengembangkan model logis-matematis dari sistem nyata. Sifat simulasi penelitian mengandaikan adanya model logis atau logis-matematis yang menggambarkan proses yang sedang dipelajari. Di atas, sistem nyata didefinisikan sebagai sekumpulan elemen yang berinteraksi dan beroperasi sepanjang waktu. Karakter komposit sistem yang kompleks menggambarkan representasi modelnya dalam bentuk tiga himpunan: A, S, T, dimana
A adalah sekumpulan elemen (termasuk lingkungan eksternal);
S – kumpulan koneksi yang diperbolehkan antar elemen (struktur model);
T adalah himpunan titik waktu yang dipertimbangkan.

Gambar 4 Proses simulasi

Fitur pemodelan simulasi adalah model simulasi memungkinkan Anda mereproduksi objek yang disimulasikan:

Sambil mempertahankan struktur logisnya;

Dengan pelestarian sifat-sifat perilaku (urutan pergantian waktu peristiwa yang terjadi dalam sistem), mis. dinamika interaksi.

Dalam pemodelan simulasi, struktur sistem yang disimulasikan ditampilkan secara memadai dalam model, dan proses fungsinya dimainkan (disimulasikan) pada model yang dibangun. Oleh karena itu, konstruksi model simulasi terdiri dari penggambaran struktur dan proses fungsi objek atau sistem yang dimodelkan.

Ada model simulasi:

Kontinu;

Diskrit;

Diskrit kontinu.

Dalam model simulasi kontinu, variabel berubah terus menerus, keadaan sistem yang disimulasikan berubah sebagai fungsi waktu yang kontinu, dan biasanya perubahan ini dijelaskan oleh sistem persamaan diferensial. Oleh karena itu, kemajuan waktu model bergantung pada metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam model simulasi diskrit, variabel-variabel berubah secara diskrit pada momen-momen waktu simulasi tertentu (terjadinya peristiwa).

Dinamika model diskrit mewakili proses peralihan dari momen terjadinya peristiwa berikutnya ke momen terjadinya peristiwa berikutnya. Karena dalam sistem nyata, proses kontinu dan proses diskrit seringkali tidak dapat dipisahkan, model diskrit kontinu telah dikembangkan yang menggabungkan karakteristik mekanisme kemajuan waktu dari kedua proses ini.

Metode simulasi memungkinkan Anda memecahkan masalah kompleksitas tinggi, memberikan simulasi proses yang kompleks dan beragam dengan sejumlah besar elemen. Ketergantungan fungsional individu dalam model tersebut dapat dijelaskan dengan hubungan matematis yang rumit. Oleh karena itu, pemodelan simulasi efektif digunakan dalam masalah mempelajari sistem dengan struktur yang kompleks untuk memecahkan permasalahan tertentu. Model simulasi mengandung unsur tindakan kontinu dan diskrit, oleh karena itu digunakan untuk mempelajari sistem dinamis ketika diperlukan analisis kemacetan, studi tentang dinamika fungsi, bila diinginkan untuk mengamati kemajuan suatu proses pada model simulasi selama waktu tertentu.

Pemodelan simulasi adalah alat yang efektif untuk mempelajari sistem stokastik, ketika sistem yang diteliti dapat dipengaruhi oleh banyak faktor acak yang bersifat kompleks. Penelitian dapat dilakukan dalam kondisi ketidakpastian, dengan data yang tidak lengkap dan tidak akurat. Pemodelan simulasi merupakan faktor penting dalam sistem pendukung keputusan karena... memungkinkan Anda menjelajah jumlah besar alternatif (pilihan solusi), memainkan berbagai skenario untuk setiap masukan data.

Keuntungan utama dari pemodelan simulasi adalah peneliti dapat menguji strategi baru dan mengambil keputusan ketika belajar situasi yang mungkin terjadi, selalu bisa mendapatkan jawaban atas pertanyaan “Apa yang terjadi jika?” Model simulasi memungkinkan untuk membuat prediksi ketika menyangkut sistem yang sedang dirancang atau ketika proses pengembangan sedang dipelajari (yaitu, dalam kasus di mana sistem sebenarnya belum ada). Model simulasi dapat memberikan berbagai macam tingkat tinggi rincian proses yang disimulasikan. Dalam hal ini, model dibuat selangkah demi selangkah, secara evolusioner.

REFERENSI

1. Blinov, Yu.F. Metode pemodelan matematika [Teks]: Elektronik panduan pelatihan/ Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. Serbia – Taganrog: TTI SFU, 2012. – 42 hal.

2. Ventzel, ES. Riset Operasi. Tujuan, prinsip, metodologi. [Teks]: Buku Teks / E.S. Ventzel - M.: KNORUS, 2010. - 192 hal.

3. Getmanchuk, A.V. Ekonomi metode matematika dan model [Teks]: Buku teks untuk bujangan. / A.V. Getmanchuk - M.: Perusahaan penerbitan dan perdagangan "Dashkov and Co", 2013. -188 hal.

4. Zamyatina, O.M. Pemodelan sistem. [Teks]: Panduan pelatihan. / O.M. Zamyatin - Tomsk: Rumah Penerbitan TPU, 2009. - 204 hal.

5. Pavlovsky, Yu.N. Pemodelan simulasi. [Teks]: buku teks untuk mahasiswa / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.

Kompleks pendidikan Yalta “Sekolah-Lyceum No.9”

Wakil Direktur SDMRomanova A.N.

“Pemodelan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar»

Seminar praktis

Matematika harus diajarkan di sekolah

Tetapkan juga tujuan Anda agar mendapat pengetahuan

siapa yang sampai di sini

cukup untuk yang biasa

kebutuhan dalam hidup.

M.Lobachevsky

Rencana laporan

Pedoman baru dalam pendidikan matematika.

Landasan metodologis pemodelan. Model matematika.

Menggunakan metode pemodelan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar.

Memperkenalkan siswa pada teknik pemodelan matematika.

Penerapan pemodelan dalam menyelesaikan persamaan.

Pemodelan sambil memecahkan masalah cerita.

Menggunakan simulasi untuk mempelajari penomoran, penjumlahan dan pengurangan bilangan, serta mengerjakan satuan panjang.

Pedoman baru dalam pendidikan matematika. (5 menit)

Diketahui bahwa model adalah bahasa matematika, dan pemodelan adalah ucapannya. Keberhasilan penguasaan matematika ditentukan, pertama-tama, oleh seberapa baik anak belajar “berbicara” dalam bahasanya. Hal ini ditentukan tidak hanya oleh keberhasilan akademis siswa dalam menyelesaikan tugas-tugas ilmiah dan kognitif, tetapi lebih jauh lagi kesuksesan dalam hidup kepribadian - terima kasihkemampuan untuk melamar metode matematika untuk memecahkan masalah praktis, tugas nyata siapa yang memerlukannya. Setuju, ini juga merupakan hasil belajar matematika yang baik di sekolah.

Apakah kita mengajarkan bahasa matematika kepada siswa kita? Atau mungkin kita berpikir begitu tugas yang sulit untuk sekolah dasar? Atau apakah kita hanya berharap bahwa dalam menyelesaikan contoh dan masalah sehari-hari, anak-anak sendiri secara bertahap akan belajar menggunakannya?

Menurut data pemantauan di sekolah-sekolah di Kiev, serta data pemantauan seluruh Ukraina, menunjukkan bahwa mayoritas siswa (masing-masing 60% dan 53%) tidak mengetahui cara bekerja dengan model grafis yang sudah jadi, melakukan tugas-tugas kreatif, atau menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam situasi baru untuk memecahkan masalah.

Keadaan pendidikan matematika yang demikian menyebabkan perlunya adanya revisi yang signifikan persyaratan negara dalam mengajarkan matematika kepada anak sekolah. Edisi baru “Standar Kedaulatan…”, yang mulai berlaku tahun ini. Dari sudut pandang pendekatan yang berorientasi pada kepribadian dan berbasis kompetensi, sebenarnya melakukan reorientasi terhadap aktivitas guru.Kompetensi - ketersediaan pengetahuan dan pengalaman yang diperlukan untuk aktivitas efektif dalam bidang studi tertentu . Mari kita bandingkan . Belumsaat ini Standar negara bagian menyatakan: “Mempelajari matematika di sekolah dasar memastikan bahwa siswa memperoleh pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperlukan untuk studi lebih lanjut matematika dan mata pelajaran lainnya... Mempelajari matematika berkontribusi pada perkembangan kemampuan kognitif anak sekolah yang lebih muda - ingatan, logis dan berpikir kreatif, imajinasi, pidato matematika."Dalam standar negara edisi baru tujuan dalam bidang pendidikan “Matematika” telah didefinisikan sebagai “pembentukan mata pelajaran matematika dan kompetensi utama diperlukan untuk realisasi diri siswa di dunia yang berubah dengan cepat.” Kompetensi matematika mata pelajaran dianggap sebagai “ pendidikan pribadi, yang mencirikan kemampuan siswa untuk menciptakan model matematika dari proses di dunia sekitarnya, untuk menerapkan pengalaman aktivitas matematika sambil memecahkan masalah pendidikan, kognitif, dan berorientasi praktis.”

Oleh karena itu, penguasaan pidato matematika—kemampuan membangun model matematika—menjadi tujuan utama pengajaran matematika, yang diwujudkan melalui pembentukan “kemampuan menggunakan terminologi matematika, informasi simbolik dan grafik” pada siswa.

Pengalaman positif dalam mengajar siswa pemodelan (dan tidak hanya dalam pelajaran matematika) dikumpulkan oleh sistem pendidikan perkembangan oleh D.B. Elkonina - V.V. Davydov, bertujuan untuk mengembangkan kegiatan pendidikan siswa secara utuh, salah satunya adalah modeling.

Membentuk kemampuan memberi contoh pada siswa merupakan salah satu tujuan pendidikan perkembangan, dan model yang dibuat dan digunakan anak, pertama-tama, merupakan salah satu cara untuk mengembangkan keterampilan belajar (dan bukan sekedar metode kejelasan).

Tujuan dari seminar kami hari ini adalah untuk memahami isu-isu pemodelan, untuk menunjukkan bagaimana model dapat digunakan untuk mengajar anak-anak sekolah dasar memecahkan persamaan dan masalah, sifat matematika, teknik penjumlahan dan pengurangan bilangan.

2. Landasan metodologis pemodelan. (8 menit)

Pemodelan merupakan salah satu sarana untuk memahami realitas. Model digunakan untuk mempelajari suatu objek (fenomena, proses), memecahkan berbagai masalah dan memperoleh informasi baru. Oleh karena itu, model adalah suatu objek (sistem) tertentu yang kegunaannya berfungsi untuk memperoleh pengetahuan tentang objek lain (asli).

Penggunaan pemodelan dipertimbangkan dalam dua aspek:

pertama, modeling berfungsi sebagai konten yang harus dipelajari anak sebagai hasilnya proses pedagogis;

kedua, pemodelan adalah tindakan dan alat pendidikan yang tanpanya pembelajaran penuh tidak mungkin terjadi.

Visibilitas model didasarkan pada pola penting berikut: pembuatan model dilakukan atas dasar pembuatan awal model mental - gambaran visual dari objek yang dimodelkan, yaitu subjek menciptakan gambaran mental tentang benda tersebut, kemudian (bersama anak) membangun suatu materi atau model figuratif (visual). Model mental diciptakan oleh orang dewasa dan dapat diubah menjadi visual dengan bantuan tindakan praktis tertentu (di mana anak-anak juga dapat berpartisipasi) dengan model visual yang sudah dibuat.

Saat bekerja dengan anak-anak, Anda dapat menggunakan substitusi objek: simbol dan tanda, model planar (rencana, peta, gambar, diagram, grafik), model tiga dimensi, tata letak.

Menggunakan metode pemodelan sangat membantu memecahkan masalah yang rumit tugas-tugas penting:

pengembangan kreativitas produktif anak;

pengembangan bentuk-bentuk yang lebih tinggi pemikiran imajinatif;

penerapan pengetahuan yang diperoleh sebelumnya dalam memecahkan masalah praktis;

konsolidasi pengetahuan matematika yang diperoleh anak sebelumnya;

menciptakan kondisi kerjasama bisnis;

aktivasi kosakata matematika anak;

perkembangan keterampilan motorik halus tangan;

perolehan ide dan keterampilan baru dalam proses kerja;

pemahaman terdalam anak-anak tentang prinsip pengoperasian dan struktur dokumen asli dengan bantuan model.

Sebuah model tidak hanya memberi kita kesempatan untuk membuat gambar visual dari objek yang dimodelkan, tetapi juga memungkinkan kita untuk membuat gambar dari properti paling penting yang tercermin dalam model. Semua properti tidak penting lainnya dibuang saat mengembangkan model. Jadi, kami membuat gambaran visual umum dari objek yang dimodelkan.

Landasan ilmiah pemodelan adalah teori analogi, yang konsep utamanya adalah konsep analogi – kemiripan benda menurut sifat kualitatif dan kuantitatifnya. Semua tipe ini disatukan oleh konsep analogi umum - abstraksi. Analogi mengungkapkan jenis korespondensi khusus antara objek yang dibandingkan, antara model dan aslinya.

Pemodelan bersifat multifungsi, yaitu digunakan dalam berbagai cara untuk tujuan yang berbeda pada tingkat (tahapan) penelitian atau transformasi yang berbeda. Dalam hal ini, praktik penggunaan model yang telah berlangsung selama berabad-abad telah memunculkan banyak sekali bentuk dan jenis model.

Mari kita perhatikan klasifikasi yang diajukan oleh L.M. Friedman. Dilihat dari tingkat kejelasannya, ia membagi semua model menjadi dua kelas:

langkah 1. 1-2

· bahan (nyata, nyata);

· sempurna.

Untuk materi Model mencakup model yang dibangun dari objek material apa pun.

Langkah 2

Model material, pada gilirannya, dapat dibagi menjadistatis (stasioner) dandinamis (saat ini).

Langkah 3

Jenis model dinamis selanjutnya adalahanalog dan simulasi , yang mereproduksi fenomena ini atau itu dengan bantuan fenomena lain, dalam arti lebih nyaman. Misalnya, model seperti itu - ginjal buatan - berfungsi dengan cara yang sama seperti ginjal alami (hidup), mengeluarkan racun dan produk metabolisme lainnya dari tubuh, tetapi, tentu saja, dirancang dengan cara yang sangat berbeda dari ginjal hidup.

Ideal Model biasanya dibagi menjadi tiga jenis:

Langkah 4

· kiasan (ikon);

· ikonik (tanda-simbolis);

· mental (mental).

Model dapat diklasifikasikan menurut berbagai tanda:

1) berdasarkan sifat model (yaitu melalui pemodelan);

2) berdasarkan sifat objek yang dimodelkan;

3) berdasarkan bidang penerapan pemodelan (pemodelan dalam teknologi, ilmu fisika, kimia, pemodelan proses kehidupan, pemodelan jiwa, dll.)

4) berdasarkan tingkat (“kedalaman”) pemodelan.

Yang paling terkenal adalahklasifikasi menurut sifat modelnya .

Langkah 5.

Menurut dia, ada yang berikut ini:jenis pemodelan :

Langkah 6.

1. Pemodelan subjek , di mana model mereproduksi karakteristik geometris, fisik, dinamis, atau fungsional suatu objek. Misalnya model jembatan, bendungan, model sayap pesawat terbang, dan lain-lain.

Langkah 7

2. Pemodelan Analog , di mana model dan aslinya dijelaskan oleh hubungan matematis tunggal. Contohnya adalah model kelistrikan yang digunakan untuk mempelajari fenomena mekanik, hidrodinamik dan akustik.

Langkah 8

3. Pemodelan ikonik , di mana modelnya berada formasi ikonik jenis apa pun: diagram, grafik, gambar, rumus, grafik, kata, dan kalimat.

Langkah 9

4. Berkaitan erat dengan ikoniksimulasi mental , di mana model memperoleh karakter mental visual.

Langkah 10

5. Eksperimen simulasi – jenis pemodelan khusus yang tidak menggunakan objek itu sendiri, melainkan modelnya.

Tujuan utama pemodelan adalah untuk menyoroti dan mencatat hubungan yang paling umum dalam suatu subjek untuk dipelajari.

Metode pemodelan merupakan pendidikan yang kompleks dan integratif. Menurut klasifikasi metode didaktik oleh N.G. Kazansky dan T.S. Nazarova, metode pemodelan memiliki struktur tiga komponen

Langkah 11(lihat diagram). Jadi, dalam struktur metode pemodelansisi luar merupakan bentuk interaksi khusus antara guru dan siswa.Sisi dalam – ini adalah seperangkat teknik pendidikan umum (analisis, sintesis, generalisasi, dll.) dan metode pekerjaan pendidikan.Sisi teknologi – ini adalah seperangkat teknik khusus dari metode ini (analisis awal, membangun model, mengerjakannya, mentransfer informasi dari model ke objek yang diinginkan - aslinya).

Sisi luar

Sisi dalam

Sisi teknologi

Bentuk:

presentasi

percakapan

pekerjaan mandiri

Esensi psikologis:

cara kerja pendidikan yang dogmatis;

cara heuristik pekerjaan pendidikan

metode penelitian pekerjaan pendidikan

Entitas logis:

analitis;

sintetis;

induktif;

deduktif;

analitis-sintetis

Teknik membangun model;

teknik transformasi model;

metode untuk menentukan model

Model matematika. Pemodelan matematika.

Model matematika adalah deskripsi perkiraan suatu kelas fenomena dunia luar menggunakan simbolisme matematika. Misalnya, hubungan antara elemen A, B, C dinyatakan dengan rumus A+B=C - model matematika.

Proses pemodelan matematika, yaitu. mempelajari fenomena dengan menggunakan model matematika dapat dibagi menjadi empat tahap.

Langkah 12

Tahap pertama – mengisolasi fitur-fitur penting obyek.

13.

Tahap kedua – membangun model.

14 .

Tahap ketiga – mempelajari model.

15 .

Tahap keempat – transfer informasi yang diperoleh dari model ke objek yang dipelajari.

Keunikan pemodelan adalah visibilitasnya bukan sekedar demonstrasi benda-benda alam, tetapi merangsang kemandirian kegiatan praktis anak-anak. Kemampuan siswa untuk bekerja dengan model, transformasinya untuk pembelajaran sifat umum konsep yang diajarkan merupakan salah satu tujuan utama pembelajaran di semua mata pelajaran.

Berbagai model digunakan untuk pemodelanobjek matematika: rumus numerik, tabel numerik, rumus huruf, fungsi, persamaan aljabar, deret, bangun geometri, berbagai diagram graf, diagram Euler-Venn, grafik.

3. Menggunakan metode pemodelan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar. (1,5 menit)

Perlunya penguasaan metode modeling sebagai metode kognisi pada anak sekolah menengah pertama dalam proses pembelajaran dapat dibenarkan dari berbagai sudut pandang.

Langkah 16

Pertama , hal ini berkontribusi pada pembentukan pandangan dunia dialektis-materialistis.

17.

Kedua , seperti yang ditunjukkan oleh percobaan, pengenalan konsep model dan simulasi ke dalam isi pembelajaran secara signifikan mengubah sikap siswa terhadap mata pelajaran, menjadikan kegiatan pendidikannya lebih bermakna dan produktif.

18.

Ketiga , pelatihan yang tepat sasaran dan sistematis dalam metode pemodelan mendekatkan anak-anak sekolah yang lebih muda dengan metode tersebut pengetahuan ilmiah, memastikan perkembangan intelektual mereka. Untuk “membekali” siswa dengan pemodelan sebagai cara kognisi, guru tidak cukup hanya menunjukkan model ilmiah yang berbeda dan menunjukkan proses pemodelan fenomena individu. Anak sekolah perlu membangun model sendiri, mempelajari sendiri objek atau fenomena apa pun dengan menggunakan pemodelan. Ketika siswa, ketika memecahkan masalah matematika praktis (plot), memahami bahwa itu adalah model simbolis dari suatu model situasi nyata, menyusun rangkaian berbagai modelnya, kemudian mempelajari (menyelesaikan) model-model tersebut dan terakhir menerjemahkan solusi yang dihasilkan ke dalam bahasa masalah aslinya, kemudian anak sekolah menguasai metode pemodelan.

Memperkenalkan siswa pada teknik pemodelan matematika. (10 menit)

Psikolog terkenal P. Galperin dan rekan-rekannya mengembangkan teori tentang pembentukan tindakan mental selangkah demi selangkah. Menurut teori ini, proses belajar dianggap sebagai penguasaan anak terhadap suatu sistem tindakan mental, yang terjadi dalam proses internalisasi (transisi ke dalam) sebagai respon terhadap aktivitas praktis eksternal.

Anak melakukan tindakan praktis dengan objek (pertama dengan objek nyata, dan kemudian dengan objek imajiner) - tindakan objektif. Dari mereka dia, pertama-tama mengandalkan gambar salinan, dan seterusnya model subjek, beralih ke model grafis. Setelah memperkenalkan simbol dan huruf matematika untuk menyatakan besaran, siswa menggunakan rumus untuk mendeskripsikan tindakan, yaitu. model simbol-huruf, dan kemudian model verbal (definisi, aturan).

Misalnya, anak diberi tugas praktik tertentu yang mengharuskan mereka menemukan dua bejana yang volumenya sama (berbeda bentuk).Foto langkah 19

Setelah itu, anak-anak (dan bukan guru) melakukan tindakan praktis: menuangkan air ke dalam satu toples, menuangkannya ke toples lain. Jika semua air dari toples pertama masuk ke dalam toples lain, maka volume toples-toples tersebut adalah sama. Dianjurkan untuk mengajak anak-anak mengambil dua strip ini, yang dengannya mereka dapat mengkomunikasikan hubungan antara volume dan bentuk - apakah keduanya sama atau berbeda. Jika volume kaleng sama, anak harus mengangkat dua buah kaleng yang panjangnya sama, dan jika berbeda maka panjangnya berbeda.Foto

langkah 20

Untuk mengarahkan anak-anak menggunakan model grafis, sekali lagi perlu menetapkan tugas praktis tertentu: dengan menggunakan gambar, tunjukkan bahwa volume satu kaleng lebih besar dari yang lain. Pengalaman menunjukkan bahwa anak-anak mulai menggambar bentuk kaleng, yaitu. membuat gambar salinan, atau menggambar garis-garis, yang dengannya mereka menunjukkan rasio volume kaleng.

Setelah membahas gambar-gambar tersebut, kami menyimpulkan: menggambar kaleng adalah cara yang gagal (gambar tidak akurat, perbandingan volume kaleng tidak tergambar, pengerjaan memakan banyak waktu). Namun garis-garis anak juga berbeda lebar dan panjangnya, dan ini juga memakan banyak waktu.

Hasilnya, kami sampai pada kesimpulan bahwa lebih mudah untuk tidak menggambar lebar strip sama sekali, tetapi hanya menggambar panjang strip (yaitu segmen). Jika besaran-besaran (panjang, luas, massa, volume, dan lain-lain) sama, maka mereka mempunyai segmen-segmen yang panjangnya sama, dan jika tidak sama, maka panjangnya harus berbeda.Foto di buku catatan. langkah 21.

Dengan cara ini, gambaran besaran diperkenalkan menggunakan segmen. Anak-anak belajar menentukan besaran secara skematis dan kemudian membangun model grafis (linier).

Dianjurkan juga untuk memperkenalkan konsep "keseluruhan" dan "bagian" di kelas 1 dan mengembangkan keterampilan siswa dalam membangun hubungan antara konsep-konsep ini. Bagaimana kita dapat menulis dalam bahasa matematika bahwa, misalnya, sebuah apel terdiri dari bagian-bagian yang terpisah? Jika apel utuh, kita nyatakan dengan lingkaran, dan tumpukan apel dilambangkan dengan segitiga, dan kita mendapatkan model grafis berikut.

Langkah 22Geser 7

+ + + =

Mari kita sederhanakan dan kita akan mendapatkannya model dasar:

langkah 23. + =

Keseluruhan dan bagian-bagiannya adalah konsep relatif. Properti utama dari relasi ini (di set bilangan asli): keseluruhan tidak boleh lebih kecil dari bagiannya, dan bagiannya tidak boleh lebih besar dari keseluruhannya; keseluruhan sama dengan jumlah bagian-bagiannya, dan bagian sama dengan selisih antara keseluruhan dan bagian lainnya

Langkah 24 = -

Setiap orang mengetahui sinar yang secara tradisional digunakan untuk menggambarkan komposisi angka.Langkah 25Geser 8

Jadi hubungan antara bagian-bagian dan keseluruhannya dapat ditunjukkan dengan menggunakan notasi grafik tanda:

DENGANlangkah 26

SEBUAH |____________|_____________|

B A B

Diagram yang menjelaskan tindakan penjumlahan juga menjelaskan tindakan sebaliknya - pengurangan:

Langkah 27geser 9

Konsep bagian dan keseluruhan memungkinkan untuk memperkenalkan sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan besaran.Geser 10, 11 (2 langkah), 12

Langkah 28, 29, 30

Sama seperti pembelajaran penjumlahan dan pengurangan, simulasi juga dapat digunakan untuk mempelajari perkalian dan pembagian.

Secara tradisional, perkalian dipandang sebagai penjumlahan suku-suku yang identik. Misalkan nilai A ditambah B kali:geser 13.

langkah 31.A+A+A+A+A = AxB

Rumus A x B berbunyi seperti ini: “ambil B kali dari A” atau “ambil B kali dari A”,

Langkah 32dimana A adalah bagian (pengukuran) yang dilambangkan dengan segitiga.

B – jumlah bagian yang sama (jumlah pengukuran), dapat kita nyatakan dengan persegi.

Untuk menunjuk keseluruhan, kami menggunakan ikon yang sama - lingkaran.

Keseluruhan dikarakterisasi sebagai hasilnya tindakan aritmatika mengalikan bilangan A dan B.

X = A x B = C Skema yang menjelaskan tindakan ini:

|____|__A___|_____________|

Jelas bahwa jika kita menganggap pembagian sebagai suatu tindakan obyektif yang bertujuan untuk membagi menurut isi atau menjadi bagian-bagian yang sama, maka akan dimungkinkan untuk menjalin hubungan antara perkalian dan pembagian. Nah, selain rumus perkalianLangkah 33Ax B = C, kita mendapatkan dua invers pembagianlangkah 34.C: A = B danlangkah 35. C: B = A (dengan bentuk geometris). Artinya rangkaian perkalian merupakan rangkaian pembagian.

Penerapan pemodelan dalam menyelesaikan persamaan. (10 menit)

Untuk memilih metode penyelesaian persamaan yang tepat, Anda harus dapat menemukan hubungan antara keseluruhan dan bagian. Ketika konsep ini terbentuk, anak memperoleh kemampuan untuk mengungkapkan keseluruhan melalui bagian dan bagian melalui keseluruhan. Membangun hubungan antara penjumlahan dan pengurangan besaran berdasarkan konsep bagian dan keseluruhan memungkinkan untuk membandingkan keseluruhan dengan jumlah dan minuend, bagian dengan penjumlahan atau pengurang dan selisihnya dan melihat bahwa tindakan yang berbeda: A+B=C, C-A=B, atau C-B=A – mencirikan hubungan yang sama antar besaran.

Menemukan hal yang tidak diketahui saat menyelesaikan persamaan tidak hanya membantu aturan, tetapi juga hubungan antara bagian dan keseluruhan, yang disajikan dalam bentuk model grafis.Geser 14 langkah 36.

Algoritma untuk mengajarkan cara menyelesaikan persamaan adalah sebagai berikut:

Mari kita menggambar diagram persamaannya. X +5 = 12langkah 37.

Kita temukan keseluruhan dan bagiannya terlebih dahulu di diagram, lalu di persamaan (kita garis bawahi)

Kami memberi nama komponen yang tidak diketahui. Mari kita cari tahu apa itu: keseluruhan atau sebagian.

Kami menganalisis bagaimana kami menemukan kuantitas yang tidak diketahui.

Kami menemukanX. langkah 38, 39

Sirkuit yang dibangun dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan pengurangan. 12 – x = 5, karena rangkaian yang menggambarkan aksi penjumlahan juga merupakan rangkaian pengurangan. Contoh foto dari buku catatan

Slide 15,16 (+1 langkah ), 17, 18.

Langkah, 40, 41, 41-a, 42,43

Tugasnya adalah membagi persamaan ini menjadi diagram dan membuat ekspresi

geser 19 langkah 44, 45. 44-a, 45-b

Pemodelan digunakan dengan cara yang sama ketika memecahkan persamaan untuk menemukan pengganda yang tidak diketahui, pembagi dan dividen.

Geser 20( 8 langkah ) langkah 46.

Saat membangun hubungan antara perkalian dan pembagian, disarankan untuk memperkenalkan konsep luas, rumus mencari luas persegi panjang, dan mencari sisi yang tidak diketahui.Geser 21 (1 langkah)

Contoh persamaan. Geser 22 ( 4 langkah)

Algoritma untuk menyelesaikan persamaanGeser 23 .

Karena skema perkalian merupakan skema pembagian, maka dua persamaan pembagian dapat dibuat dari satu persamaan. Luasnya adalah keseluruhan, dan panjang serta lebar sisinya adalah bagian-bagian.

Selain itu, pemodelan memungkinkan untuk melakukan diversifikasi karya kreatif atas persamaan. Jadi, guru dapat menawarkan jenis tugas berikut:

Geser 24

Dengan menggunakan diagram, buat dan selesaikan persamaan.Langkah 48

Geser 25 ( putuskan dengan para tamu )

(beberapa persamaan dan diagram diberikan) Persamaan manakah yang cocok dengan diagram ini? Temukan dan putuskan.Langkah 49

Geser 26, 27. 28, 29.

Selesaikan persamaan sambil menghitung secara mental. Langkah 50, 51, 52,53

Geser 30 (10 langkah), 31

Menyusun kondisi masalah menurut diagram persamaan.

Presentasi baru. (Seminar 2)

Pemodelan sambil memecahkan masalah cerita (18 menit)

Geser 1

Kita pasti setuju dengan pendapat bahwa pendidikan modern adalah kemampuan siswa untuk melihat kenyataan, situasi kehidupan dari kedudukan seorang fisikawan, ahli kimia, sejarawan, ahli geografi, sama sekali bukan untuk menjadi peneliti di bidang tersebut, tetapi untuk selanjutnya menemukan solusi dalam situasi kehidupan tertentu.

Seorang siswa junior dapat menjadi peneliti sejati dengan memecahkan masalah cerita ketika mengajar matematika kepada anak sekolah menengah pertama.

Satu Salah satu pendekatan tersebut adalah mengembangkan kemampuan siswa untuk memecahkan masalah jenis tertentu (misalnya, memecahkan masalah perbandingan perbedaan, dll., saat berlatih tipe tertentu tugas).Lain didasarkan pada penggunaan analisis semantik dan matematis terhadap masalah teks, ketika masalah dianalisis dari data ke tujuan (metode sintetik) dan dari tujuan ke data (analitis).Pendekatan ketiga berdasarkan metode penyelesaian tugas pendidikan. Pembentukan tindakan pemodelan mengandaikan pembentukan kemampuan memecahkan masalah cerita yang berbeda secara kualitatif.

Aritmatika dan masalah aljabar dalam sastra disebut juga alur cerita, karena mereka selalu berisi deskripsi verbal tentang suatu peristiwa, fenomena, tindakan, proses. Teks dari masalah plot apa pun dapat dibuat ulang dengan cara yang berbeda (berdasarkan subjek, secara grafis, menggunakan tabel, rumus, dll.), dan ini adalah transisi dari pemodelan verbal ke bentuk pemodelan lainnya. Oleh karena itu, ketika mengerjakan masalah, kami memberikan perhatian besar pada konstruksi model skema dan simbolik, serta kemampuan untuk bekerja dengan segmen, memodelkan masalah teks secara grafis dengan bantuan mereka, mengajukan pertanyaan, menentukan algoritma untuk memecahkan dan menemukan. sebuah jawaban. Siswa yang lebih muda, seperti diketahui, tidak memiliki tingkat yang memadai berpikir abstrak. Dan tugas kita justru mengajarinya secara progresif untuk merepresentasikan objek tertentu dalam bentuk model simbolik, membantunya belajar menerjemahkan suatu soal teks ke dalam bahasa matematika. Kami percaya bahwa pemodelan grafis dari masalah tekslah yang, paling penting, memberikannya peluang nyata melihat dengan jelas dan menentukan algoritma penyelesaiannya, dan melakukan refleksi mandiri terhadap tugas yang telah diselesaikan.

Namun tidak setiap rekaman akan menjadi model tugas. Untuk membangun suatu model, untuk transformasi lebih lanjut, perlu dilakukan seleksi masalahtujuan, jumlah tertentu, semua hubungan, sehingga berdasarkan model ini, analisis dapat dilanjutkan, sehingga kita dapat bergerak maju dalam mencari solusi dan mencari solusi optimal. Pemecahan masalah apa pun dengan menggunakan metode aritmatika dikaitkan dengan pilihan operasi aritmatika, sehingga seseorang dapat menjawab pertanyaan yang diajukan. Untuk memudahkan pencarian model matematika maka perlu digunakan model bantu.Geser 2 (keakraban dengan komponen-komponen di kelas 1 SD).

Untuk menciptakan kembali situasi dalam kondisi tugas, Anda dapat menggunakan gambar skema, yang akan memberikan transisi dari teks masalah ke korelasi operasi aritmatika tertentu pada angka, yang berkontribusi pada pembentukan asimilasi yang sadar dan kuat dari metode umum mengerjakan tugas. Model ini memungkinkan siswa mengembangkan kemampuan menjelaskan bagaimana ia menerima jawaban atas pertanyaan permasalahan. Namun model skema hanya efektif jika dapat dipahami oleh setiap siswa dan kemampuan menerjemahkan model verbal ke dalam bahasa diagram telah dikembangkan. Saat belajar menyelesaikan soal penjumlahan dan pengurangan sederhana, konsep-konsep berikut diperkenalkan: keseluruhan, bagian dan hubungannya.Geser 3. (2 langkah)

Untuk menemukan suatu bagian, Anda perlu mengurangi bagian lain dari keseluruhan.

Untuk menemukan keseluruhannya, Anda perlu menambahkan bagian-bagiannya.

Saat belajar memecahkan masalah perkalian dan pembagian sederhana, diagram dan aturan terkait diusulkan:

Untuk mencari bilangan bulat, Anda perlu mengalikan takaran dengan banyaknya takaran.

Untuk mencari suatu besaran, kita perlu membagi bilangan bulat tersebut dengan banyaknya besaran.

Untuk mencari banyaknya takaran, Anda perlu membagi keseluruhannya dengan takaran.

Geser 4. (3 langkah)

Pendekatan pengajaran ini memungkinkan kita untuk menjauh dari klasifikasi lama tentang tugas-tugas sederhana. Penting untuk menggambarkan data dan apa yang dicari sedemikian rupa sehingga hubungan antar kuantitas cukup jelas. Dipertimbangkan dalam masalah, dan hubungan mereka.

Sebagai contoh, saya akan memberikan beberapa soal teks dan cara penyelesaiannya menggunakan model grafis.

Masalah 1Geser 5. (5 langkah)

Ada 4 ikan besar dan 5 ikan kecil di akuarium. Berapa jumlah ikan seluruhnya di akuarium?

Latihan menyusun soal dan ekspresi dari gambar (soal terbalik)Geser 6. ( 8 langkah)Geser 7.

Masalah 2Geser 8

Lena punya 5 buah pir. Dan Misha memiliki 4 lebih banyak dari Lena. Berapa banyak buah pir yang dimiliki Misha?

Contoh tugas menyusun masalah berdasarkan gambar dan menuliskan penyelesaiannya.Geser 9.

Masalah 3Geser 10. (5 langkah)

Lena punya 10 buah pir. Ini 3 lebih banyak dari buah persik. Berapa banyak buah persik yang dimiliki Lena?

Tugas 4.Geser 11 (4 langkah).

Sasha membeli 5 buku catatan seharga 8 UAH dan sebuah buku sketsa seharga 33 UAH. Berapa banyak uang yang Sasha bayarkan untuk pembelian tersebut?

Harga satu notebook adalah 8 UAH – ini dia segmen satuan(pengukuran). Jumlah segmen satuan (5) menunjukkan jumlah buku catatan. Bagian kedua dari segmen mencerminkan harga (33 UAH) dan kuantitas (1) album.

Tugas 5.Geser 12 (7 langkah).Dua cara untuk membuat diagram. Dua solusi

Pabrik membutuhkan 90 pekerja: 50 turner, 10 mekanik, sisanya loader. Berapa banyak penggerak yang dibutuhkan?

Geser 13 (3 langkah)kompilasi masalah terbalik. BERHENTI

Teknik mengerjakan tugas.

Pada tahap pengenalan saya menggunakan teknik berikut:

Penjelasan setiap bagian komponen model.

Petunjuk untuk membuat model.

Pemodelan menggunakan pertanyaan panduan dan implementasi skema langkah demi langkah.

Pada tahap memahami gambar skema, saya menggunakan teknik berikut:

Merumuskan teks soal sesuai alur dan diagram segmental yang diusulkan.

Korelasi antara diagram dan ekspresi numerik.

Mengisi template dengan data tugas.

Menemukan kesalahan dalam pengisian diagram.

Memilih skema untuk masalah tersebut.

Memilih tugas untuk diagram.

Penambahan kondisi tugas.

Mengubah skema.

Mengubah kondisi masalah.

Mengubah teks tugas.

Hasil belajar menyusun dan memahami gambar skema adalah siswa mampu memodelkan masalah secara mandiri.

Saat memecahkan masalah cerita, kita berupaya mengembangkan tindakan pemodelan, dan sebaliknya, semakin baik anak menguasai tindakan pemodelan, semakin mudah dia memecahkan masalah.

Siswa harus diperkenalkan dengan berbagai metode pemecahan masalah cerita: aritmatika, aljabar, geometri, logika dan praktis; Dengan berbagai jenis model matematika yang mendasari setiap metode; serta dengan berbagai solusi dalam metode yang dipilih. Memecahkan masalah cerita memberikan materi yang kaya untuk pengembangan dan pendidikan siswa. Catatan singkat kondisi soal cerita - contoh model yang digunakan dalam kursus awal matematika. Metode pemodelan matematika memungkinkan Anda untuk mengajar anak sekolah:

a) analisis (pada tahap memahami masalah dan memilih cara untuk mengimplementasikan solusi);

b) membangun hubungan antar objek masalah, membangun skema solusi yang paling tepat;

c) interpretasi solusi yang diperoleh untuk masalah awal;

d) menyusun tugas menggunakan model yang sudah jadi, dll.

Presentasi mengerjakan tugasSlide15-22 .

Kombinatorik pada model dari kelas 1 SD

kelas 2

Susunlah angka 4, 6, 8 dengan berbagai cara:

Di kelas 3-4

"Pohon" (36 makan siang)

Foto dari buku catatan

Menggunakan simulasi untuk mengajarkan penomoran, penjumlahan dan pengurangan bilangan, dan mengerjakan satuan panjang (5 menit)

Kemampuan untuk mengubah bilangan menjadi satuan hitung dan satuan pengukuran paling sering menimbulkan beberapa kesulitan. Dan di sini disarankan untuk menggunakan metode pemodelan untuk membantu. Dengan mempelajari konsentrasi “Sepuluh”, anak-anak belajar menggambarkan unit secara skematis menggunakan titik.Geser 25. Belajar menambah dan mengurangi menggunakan model.Geser 26. (7 langkah)Geser 27.

Saat mempelajari “Seratus”, anak-anak menggambarkan puluhan menggunakan segitiga kecil. Mereka belajar mengubah angka menjadi satuan hitung (des. dan satuan) dan pada saat yang sama, anak menjadi akrab dengan sentimeter dan desimeter. Hal ini memungkinkan kita untuk menggambar analogi dalam konversi satuan panjang. Mereka juga mengajarkan teknik penjumlahan. angka dua digit pada diagram numerik.Geser 28

Saat mempelajari “Seribu”, anak-anak akan belajar bahwa kita secara konvensional akan menyatakan 10 segitiga (puluhan) dengan satu segitiga besar (seratus). Pada saat yang sama, anak-anak mempelajari satuan panjang baru - meter. Saat mengubah angka menjadi satuan hitung, kami melakukan pekerjaan serupa dengan satuan panjang.Geser 29 contoh untuk nomor 342Geser 30 (5 langkah)

Contoh angka 320Geser 31 (6 langkah)

Contoh angka 302Geser 32 (8 langkah)

Algoritma.Slide 33 dan 34(7 langkah)

Rekomendasi penggunaan metode pemodelan dalam pembelajaran matematika (3 menit)

Perlu dipahami bahwa pemodelan dalam pengajaran tidak diinginkan, tetapi perlu, karena menciptakan kondisi bagi siswa untuk menguasai metode kognisi dan metode kegiatan pendidikan secara utuh dan tegas.

Tujuan utama pemodelan dalam pembelajaran adalah:

membangun model sebagai cara untuk membangun cara tindakan baru.

pelatihan membangun model berdasarkan analisis prinsip dan metode konstruksinya.

Ingatlah bahwa pelajaran pertama berkaitan dengan pemodelan, sebenarnya itu adalah pelajaran dalam menyiapkan tugas pendidikan dan praktis. Masalah yang dihadapi anak-anak adalah mereka tidak mempunyai cukup cara untuk menampilkan sikap-sikap umum. Setiap kali situasi praktis baru muncul, anak-anak mendefinisikan hubungan baru - dan muncul pertanyaan lagi tentang bagaimana menyampaikannya secara grafis.

“Tugas abstrak” seperti menggambar diagram menggunakan rumus, menetapkan hubungan antara besaran yang merupakan bagian dari beberapa rumus, dll. ditawarkan ketika hubungan dieksplorasi, diinformasikan dan ditampilkan dalam tanda dan diagram berulang kali. Di balik model tersebut, setiap anak harus memiliki tindakan dengan objek nyata, yang kini dapat ia lakukan dalam imajinasinya (tindakan mental).

Tempat model untuk anak ditentukan tergantung pada tugasnya

Tindakan tersebut dapat disertai dengan seorang model. Misalnya, jika lebih mudah untuk membangun suatu metode pada suatu model, sebagai tahapan mengerjakan masalah teks (hubungan antar besaran selama pembacaan ditampilkan secara skematis).

Model dibangun setelah tindakan selesai. Untuk memahami tindakan yang dilakukan, perlu dibuat diagram hubungan yang terpisah. Pembuatan diagram dimotivasi oleh pertanyaan seperti: “Bagaimana Anda melakukannya?”, “Bagaimana Anda mengajari orang lain untuk melakukan tugas seperti itu?

Dan beberapa tip lagi.

Anda harus mulai dengan mempelajari literatur khusus. Misalnya, ini adalah metode pengajaran matematika sekolah dasar dan buku teks oleh E. Alexandrova, L. Peterson.

Pada pertemuan orang tua Pastikan untuk memperkenalkan orang tua pada metode mengajar anak-anak mereka. Saran dan instruksi Anda mungkin berguna bagi mereka.

Manfaatkan setiap kesempatan untuk mengambil bagian dalam kelas master pemodelan matematika.

Dimana aku mengundangmu.

Tugas

Subjek

Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama perlu mengatur fitur sistem untuk memodifikasi tugas mendeteksi wajah dengan kamera video, dan kemudian melakukan lokalisasi gerakan bibir.

Adapun tugas pertama, ada dua jenis di antaranya yang harus dibedakan:
Lokalisasi wajah;
Pelacakan wajah.
Karena kita dihadapkan pada tugas mengembangkan algoritma pengenalan ekspresi wajah, maka masuk akal untuk mengasumsikan hal itu sistem ini akan digunakan oleh satu pengguna yang tidak akan terlalu aktif menggerakkan kepalanya. Oleh karena itu, untuk mengimplementasikan teknologi pengenalan gerak bibir, perlu diambil dasar masalah pendeteksian versi sederhana, dimana hanya ada satu wajah dalam gambar.

Artinya pencarian wajah dapat dilakukan secara relatif jarang (sekitar 10 frame/detik atau bahkan kurang). Pada saat yang sama, gerakan bibir pembicara selama percakapan cukup aktif, oleh karena itu penilaian konturnya harus dilakukan dengan intensitas yang lebih besar.

Tugas menemukan wajah dalam suatu gambar dapat diselesaikan dengan menggunakan alat yang ada. Saat ini terdapat beberapa metode untuk mendeteksi dan melokalisasi wajah pada suatu gambar, yang dapat dibagi menjadi 2 kategori:
1. Pengakuan empiris;
2. Pemodelan gambar wajah. .

Kategori pertama mencakup metode pengenalan top-down berdasarkan fitur invarian pada gambar wajah, berdasarkan asumsi bahwa terdapat beberapa tanda keberadaan wajah dalam gambar yang invarian terhadap kondisi pengambilan gambar. Metode ini dapat dibagi menjadi 2 subkategori:
1.1. Deteksi elemen dan fitur yang menjadi ciri khas suatu gambar wajah (tepi, kecerahan, warna, bentuk yang khas fitur wajah, dll.).;
1.2. Analisis fitur yang terdeteksi, pengambilan keputusan tentang jumlah dan lokasi wajah (algoritma empiris, statistik posisi relatif tanda, pemodelan proses gambar visual, penggunaan templat yang kaku dan dapat dideformasi, dll.), .

Agar algoritma dapat bekerja dengan benar, perlu dibuat database fitur wajah dengan pengujian selanjutnya. Untuk implementasi yang lebih akurat metode empiris model yang mempertimbangkan kemungkinan transformasi wajah dapat digunakan, dan, oleh karena itu, memiliki kumpulan data dasar yang diperluas untuk pengenalan, atau mekanisme yang memungkinkan pemodelan transformasi pada elemen dasar. Kesulitan dalam membangun database pengklasifikasi yang menargetkan berbagai macam pengguna karakteristik individu, fitur wajah, dan sebagainya, membantu mengurangi keakuratan pengenalan metode ini.

Kategori kedua mencakup metode statistik matematika dan pembelajaran mesin. Metode dalam kategori ini didasarkan pada alat pengenalan gambar, dengan mempertimbangkan tugas deteksi wajah sebagai kasus khusus dari tugas pengenalan. Gambar diberi vektor fitur tertentu, yang digunakan untuk mengklasifikasikan gambar menjadi dua kelas: wajah/non-wajah. Cara paling umum untuk mendapatkan vektor fitur adalah dengan menggunakan gambar itu sendiri: setiap piksel menjadi komponen vektor, mengubah gambar n×m menjadi vektor dalam ruang R^(n×m), di mana n dan m adalah positif bilangan bulat. . Kerugian dari representasi ini adalah dimensi ruang fitur yang sangat tinggi. Keuntungan dari metode ini adalah tidak termasuk pembuatan pengklasifikasi partisipasi manusia dari keseluruhan prosedur, serta kemungkinan melatih sistem itu sendiri untuk pengguna tertentu. Oleh karena itu, penggunaan metode pemodelan gambar untuk membangun model matematika lokalisasi wajah adalah pilihan yang optimal untuk memecahkan masalah kita.

Sedangkan untuk mensegmentasi profil wajah dan melacak posisi titik bibir pada rangkaian bingkai, metode pemodelan matematika juga harus digunakan untuk memecahkan masalah ini. Ada beberapa cara untuk mengetahui pergerakan ekspresi wajah, yang paling terkenal adalah dengan menggunakan model matematika berdasarkan model kontur aktif:

Lokalisasi area ekspresi wajah berdasarkan model matematika model kontur aktif

Untuk menyesuaikan kontur aktif dengan gambar ekspresi wajah, perlu dilakukan binarisasi yang sesuai terhadap objek yang diteliti, yaitu transformasinya menjadi jenis gambar raster digital, dan kemudian penilaian yang sesuai terhadap parameter gambar. kontur aktif dan perhitungan vektor fitur harus dilakukan.

Model kontur aktif didefinisikan sebagai:
Kumpulan poin N;
Istilah energi elastis internal;
Istilah energi berbasis tepi eksternal.

Untuk meningkatkan kualitas pengenalan, dibedakan dua kelas warna: kulit dan bibir. Fungsi keanggotaan kelas warna mempunyai nilai yang berkisar antara 0 sampai 1.

Persamaan model kontur aktif (ular) direpresentasikan dengan rumus v(s) sebagai:

Dimana E adalah energi ular (model kontur aktif). Dua istilah pertama menggambarkan keteraturan energi model kontur aktif (ular). Dalam sistem koordinat kutub kita v(s) = , s dari 0 hingga 1. Suku ketiga adalah energi yang berhubungan dengan kekuatan eksternal, diperoleh dari gambar, yang keempat - dengan gaya tekanan.

Kekuatan luar ditentukan berdasarkan karakteristik yang dijelaskan di atas. Ia mampu menggeser titik kendali ke nilai intensitas tertentu. Ini dihitung sebagai:

Pengganda gradien (turunan) dihitung pada titik-titik ular sepanjang titik-titik tersebut garis radial. Gaya bertambah jika gradiennya negatif dan berkurang sebaliknya. Koefisien sebelum gradien merupakan faktor bobot yang bergantung pada topologi gambar. Gaya tekan hanyalah sebuah konstanta, menggunakan ½ dari faktor berat minimum. Bentuk terbaik ular diperoleh dengan meminimalkan fungsi energi setelah sejumlah iterasi tertentu.

Mari kita lihat operasi pemrosesan gambar dasar secara lebih rinci. Untuk mempermudah, mari kita asumsikan bahwa kita telah memilih area mulut pembicara. Dalam hal ini, operasi utama untuk memproses gambar yang dihasilkan yang perlu kita lakukan disajikan pada Gambar. 3.

Kesimpulan

Daftar sumber yang digunakan

Untuk dilanjutkan