Pembuktian dan penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma basis a. Contoh perhitungan turunan ln 2x, ln 3x dan ln nx. Pembuktian rumus turunan logaritma orde ke-n menggunakan metode induksi matematika.

Penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma ke basis a

Turunan logaritma natural dari x sama dengan satu dibagi x:
(1) (lnx)′ =.

Turunan logaritma ke basis a sama dengan satu dibagi variabel x dikalikan logaritma natural dari:
(2) (log ax)′ =.

Bukti

Biarlah ada beberapa angka positif, Bukan sama dengan satu. Pertimbangkan suatu fungsi yang bergantung pada variabel x, yang merupakan logaritma ke basis:
.
Fungsi ini didefinisikan pada .
(3) .

Mari kita cari turunannya terhadap variabel x. Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut: Mari kita ubah ungkapan ini untuk mereduksinya menjadi ungkapan yang diketahui
sifat matematika dan aturan. Untuk melakukan ini kita perlu mengetahui fakta-fakta berikut:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Sifat-sifat logaritma. Kita membutuhkan rumus berikut:
(7) .
B)
Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu: Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
(8) .

DI DALAM)
.
Arti dari batas luar biasa kedua:

.

Mari kita terapkan fakta-fakta ini pada batas kemampuan kita. Pertama kita mengubah ekspresi aljabar Untuk melakukan ini, kami menerapkan properti (4) dan (5). (8):
.

Mari kita gunakan properti (7) dan yang kedua
.
batas yang luar biasa Dan terakhir, kami menerapkan properti (6): Logaritma ke basis e ditelepon
.
logaritma natural
.

. Ini ditetapkan sebagai berikut:

Kemudian ;

Jadi, kita memperoleh rumus (2) untuk turunan logaritma.
.
Turunan dari logaritma natural
(1) .

Sekali lagi kita tuliskan rumus turunan logaritma ke basis a: Rumus ini memiliki bentuk paling sederhana untuk logaritma natural, yaitu , . Kemudian
.

Karena kesederhanaannya ini, logaritma natural sangat banyak digunakan dalam analisis matematika dan cabang matematika lain yang berkaitan dengan kalkulus diferensial.
.

Cara lain untuk membuktikan turunan logaritma

Di sini kita berasumsi bahwa kita mengetahui rumus turunan eksponensial:
(9) .
Kemudian kita dapat menurunkan rumus turunan logaritma natural, mengingat logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial.

Mari kita buktikan rumus turunan logaritma natural, menerapkan rumus turunan fungsi invers:
.
Dalam kasus kami.
.
Fungsi kebalikan dari logaritma natural adalah eksponensial:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (9). Variabel dapat dilambangkan dengan huruf apa saja. Pada rumus (9), ganti variabel x dengan y:
.
Sejak itu
.
Kemudian

Rumusnya terbukti. Sekarang kita buktikan rumus turunan logaritma natural menggunakan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks
.
. Karena fungsinya dan saling berbanding terbalik, maka
(10) .
Mari kita bedakan persamaan ini terhadap variabel x:
.
Turunan dari x sama dengan satu:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Di Sini . Mari kita substitusikan ke (10):
.

Dari sini

Contoh Temukan turunan dari dalam 2x, dalam 3x Dan.

lnnx

Larutan Fungsi aslinya miliki tampilan serupa . Oleh karena itu kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut y = log nx . Kemudian kita substitusikan n = 2 dan n = 3. Dan dengan demikian, kita memperoleh rumus turunan dari dalam 2x dalam 2x, .

Dan
. Oleh karena itu kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut .
Jadi, kita mencari turunan dari fungsi tersebut
1) Bayangkan fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang terdiri dari dua fungsi:
2) Fungsi bergantung pada variabel: ;
Fungsi bergantung pada variabel: .
.

Maka fungsi aslinya terdiri dari fungsi dan :
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel x:
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel:
.
Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.

Di sini kami mengaturnya.
(11) .
Jadi kami menemukan:
.
Kita melihat bahwa turunannya tidak bergantung pada n.
.

Hasil ini cukup wajar jika kita mengubah fungsi aslinya menggunakan rumus logaritma hasil kali:

; ; .

- ini adalah sebuah konstanta. Turunannya adalah nol. Kemudian, menurut aturan diferensiasi jumlah, kita mendapatkan:

Menjawab Turunan dari logaritma modulus x Mari kita cari turunan dari yang lain
(12) .

fungsi penting
.
- logaritma natural modulus x:
.

Mari kita pertimbangkan kasusnya.
,
Maka fungsinya terlihat seperti:
Turunannya ditentukan dengan rumus (1):
.
Sejak itu
.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasusnya.
.

Maka fungsinya terlihat seperti:
.

Di mana .

Namun kami juga menemukan turunan dari fungsi ini pada contoh di atas. Itu tidak bergantung pada n dan sama dengan
.
Kami menggabungkan kedua kasus ini menjadi satu rumus:
(13) .

Oleh karena itu, agar logaritma berbasis a, kita mempunyai:
.
Mari kita cari turunan orde ketiga:
.
Mari kita cari turunan orde keempat:
.

Anda dapat melihat bahwa turunan orde ke-n berbentuk:
(14) .
Mari kita buktikan dengan induksi matematika.

Bukti

Mari kita substitusikan nilai n = 1 ke dalam rumus (14):
.
Sejak , maka ketika n = 1 , rumus (14) valid.

Mari kita asumsikan rumus (14) terpenuhi untuk n = k. + 1 .

Mari kita buktikan bahwa ini berarti rumus tersebut valid untuk n = k
.
Memang, untuk n = k kita punya:

.
Diferensialkan terhadap variabel x:
.
Jadi kami mendapat: 1 Rumus ini sama dengan rumus (14) untuk n = k + 1 .

.

Jadi, dari asumsi rumus (14) valid untuk n = k, maka rumus (14) valid untuk n = k +

Oleh karena itu, rumus (14), untuk turunan orde ke-n, berlaku untuk sembarang n.
.
Turunan dari orde logaritma yang lebih tinggi ke basis a
.

Untuk mencari turunan ke-n dari suatu logaritma ke basis a, Anda perlu menyatakannya dalam logaritma natural:

Menerapkan rumus (14), kita menemukan turunan ke-n:
(1) Pembuktian dan turunan rumus turunan eksponensial (e pangkat x) dan fungsi eksponensial (a pangkat x). Contoh penghitungan turunan e^2x, e^3x dan e^nx. Rumus turunan orde yang lebih tinggi..

Turunan suatu eksponen sama dengan eksponen itu sendiri (turunan e pangkat x sama dengan e pangkat x):
(2) .

(ex )′ = ex

Turunan fungsi eksponensial dengan basis a sama dengan fungsi itu sendiri dikalikan logaritma natural dari a:
.
Penurunan rumus turunan eksponensial e pangkat x Eksponensial adalah fungsi eksponensial yang basisnya sama dengan bilangan e yang mempunyai limit sebagai berikut: Di sini bisa alami dan

bilangan real

. Selanjutnya kita turunkan rumus (1) untuk turunan eksponensial.
Penurunan rumus turunan eksponensial
Pertimbangkan eksponensial, e pangkat x:
(3) .

kamu = e x .
sifat matematika Fungsi ini ditentukan untuk semua orang.
(4) ;
A) Mari kita cari turunannya terhadap variabel x.
(5) ;
Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu: Sifat-sifat logaritma. Kita membutuhkan rumus berikut:
(6) .
B)
Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut: Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
(7) .

Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita memerlukan fakta-fakta berikut:
;
.

Properti eksponen:
Properti logaritma:
.
G)
.

Mari kita terapkan fakta ini pada batas kita (3). Kami menggunakan properti (4):
.

Mari kita melakukan substitusi.
Kemudian ; .
.

Karena kontinuitas eksponensial,
.
Di sini kami juga menggunakan batas luar biasa kedua (7). Kemudian
.

Jadi, kita memperoleh rumus (1) untuk turunan eksponensial.

Penurunan rumus turunan fungsi eksponensial

Sekarang kita turunkan rumus (2) untuk turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a.
(8)
Kami percaya itu dan .

Kemudian fungsi eksponensial Didefinisikan untuk semua orang. Mari kita ubah rumus (8). Untuk ini kami akan menggunakan
;
.
sifat-sifat fungsi eksponensial
.

dan logaritma.

Jadi, kami mengubah rumus (8) menjadi bentuk berikut:
(14) .
(1) .

Turunan orde tinggi dari e pangkat x
;
.

Sekarang mari kita cari turunan dari orde yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponennya terlebih dahulu:
.

Kita melihat bahwa turunan dari fungsi (14) sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membedakan (1), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:

Hal ini menunjukkan bahwa turunan orde ke-n juga sama dengan fungsi aslinya: Turunan dari orde yang lebih tinggi dari fungsi eksponensial Sekarang mari kita pertimbangkan
.
Kami menggabungkan kedua kasus ini menjadi satu rumus:
(15) .

fungsi eksponensial
;
.

dengan basis kekuatan a:
.

Membedakan (15), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
Kita melihat bahwa setiap diferensiasi menghasilkan perkalian fungsi aslinya dengan .

Oleh karena itu, turunan orde ke-n memiliki bentuk sebagai berikut:

Turunan kompleks. Turunan logaritmik. Turunan dari fungsi eksponensial pangkat Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Pada pembelajaran kali ini kita akan memantapkan materi yang telah kita bahas, melihat turunan yang lebih kompleks, serta mengenal teknik dan trik baru dalam mencari turunan, khususnya turunan logaritma. Bagi para pembaca yang memilikinya tingkat rendah persiapannya, Anda harus mengacu pada artikel tersebut Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi , yang memungkinkan Anda meningkatkan keterampilan hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman tersebut dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks , memahami dan memecahkan Semua contoh yang saya berikan. Pelajaran ini

logisnya yang ketiga, dan setelah menguasainya Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk mengambil posisi “Di mana lagi? Ya, cukup! ”, karena semua contoh dan solusi diambil dari nyata persiapannya, Anda harus mengacu pada artikel tersebut tes dan sering ditemui dalam praktek.– Anda harus sering membedakannya, dan tidak selalu mudah (dan tidak selalu perlu) untuk menjelaskan contoh-contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kita akan berlatih mencari turunannya secara lisan. “Kandidat” yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Saat mempelajari topik matan lainnya di masa depan, ini entri terperinci paling sering hal ini tidak diperlukan; diasumsikan bahwa siswa mengetahui cara menemukan turunan tersebut dengan autopilot. Bayangkan saja pada jam 3 pagi ada a panggilan telepon, Dan suara yang menyenangkan ditanya: “Berapakah turunan garis singgung dua buah X?” Ini harus diikuti dengan tanggapan yang segera dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan keputusan independen.

Contoh 1

Temukan turunan berikut secara lisan, dalam satu tindakan, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika Anda belum mengingatnya). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan membaca kembali pelajaran ini persiapannya, Anda harus mengacu pada artikel tersebut.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan fungsi bersarang 3-4-5 tidak akan terlalu menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika Anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua contoh lainnya ada di dalamnya kalkulus diferensial Ini akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti yang telah disebutkan, ketika mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, hal pertama yang perlu dilakukan adalah Benar PAHAMI investasi Anda. Jika ada keraguan, saya ingatkan Anda trik yang berguna: kita mengambil nilai eksperimen “x”, misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk menggantinya nilai yang diberikan menjadi "ekspresi yang mengerikan".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, yang berarti jumlah tersebut adalah penyematan terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian pangkatkan kosinusnya:

5) Pada langkah kelima perbedaannya:

6) Dan terakhir, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks akan digunakan di urutan terbalik, dari fungsi terluar hingga terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan...

(1) Kita ambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kita ambil turunan selisihnya dengan menggunakan aturan

(3) Turunan rangkap tiga adalah nol. Pada suku kedua kita ambil turunan derajat (kubus).

(4) Ambil turunan dari kosinus.

(5) Ambil turunan dari logaritma.

(6) Dan terakhir, kita ambil turunan dari penyematan terdalam.

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tapi ini bukanlah contoh yang paling brutal. Ambil contoh, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa dalam ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami cara mencari turunan fungsi kompleks atau tidak.

Contoh berikutnya untuk keputusan independen.

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Tidak jarang sebuah contoh menunjukkan hasil perkalian bukan dua, tapi tiga fungsi. Cara mencari turunan dari produk dari tiga pengganda?

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Pertama kita lihat, mungkinkah mengubah hasil kali tiga fungsi menjadi hasil kali dua fungsi? Misalnya, jika kita mempunyai dua polinomial dalam hasil perkaliannya, maka kita dapat membuka tanda kurung. Namun dalam contoh yang dibahas, semua fungsinya berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, hal itu diperlukan secara berurutan menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah dengan “y” kita menyatakan hasil kali dua fungsi: , dan dengan “ve” kita menyatakan logaritma: . Mengapa hal ini bisa dilakukan? Apakah mungkin – ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan tersebut untuk kedua kalinya untuk mengurung:

Anda masih bisa menjadi sesat dan mengambil sesuatu di luar tanda kurung, tapi masuk dalam hal ini Lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh yang dipertimbangkan dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi tersebut benar-benar setara.

Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh solusi independen; dalam sampel diselesaikan menggunakan metode pertama.

Mari kita pertimbangkan contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Ada beberapa cara yang bisa Anda lakukan di sini:

Atau seperti ini:

Namun penyelesaiannya akan ditulis lebih ringkas jika kita terlebih dahulu menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , ambil seluruh pembilangnya:

Prinsipnya contoh sudah terselesaikan, dan jika dibiarkan apa adanya tidak akan terjadi error. Namun jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa drafnya untuk melihat apakah jawabannya bisa disederhanakan? Mari kita kurangi ekspresi pembilangnya menjadi penyebut yang sama dalam 3x mari kita singkirkan pecahan tiga lantai:

dikurangi penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunannya, tetapi selama transformasi sekolah yang dangkal. Di sisi lain, guru seringkali menolak tugas tersebut dan meminta untuk “mengingatnya” turunannya.

Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Kami terus menguasai metode mencari turunannya, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukan lebih banyak hal, menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Namun langkah pertama segera membuat Anda putus asa - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan kekuatan pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Itu sebabnya sebelum cara mengambil turunan dari logaritma “canggih”, disederhanakan terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat sekolah yang sudah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku latihan, salin rumus ini langsung ke sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, salinlah ke selembar kertas, karena contoh pelajaran selanjutnya akan berkisar pada rumus-rumus ini.

Solusinya sendiri dapat ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Menemukan turunannya:

Pra-konversi fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusinya. Jadi, ketika logaritma serupa diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk “memecahnya”.

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk Anda pecahkan sendiri:

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban ada di akhir pelajaran.

Turunan logaritma

Jika turunan logaritma adalah musik yang begitu manis, maka timbul pertanyaan: apakah mungkin dalam beberapa kasus mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Temukan turunan suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh serupa. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi secara berurutan, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda akan mendapatkan pecahan tiga lantai yang sangat besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Namun dalam teori dan praktik, ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritma. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan “menggantungnya” di kedua sisi:

Sekarang Anda perlu “memecah” logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian di bawah bilangan prima:

Turunan dari ruas kanan cukup sederhana; Saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda seharusnya bisa menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita punya fungsi yang kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: “Mengapa, ada satu huruf “Y” di bawah logaritma?”

Faktanya adalah "permainan satu huruf" ini - ADALAH FUNGSI SENDIRI(jika kurang jelas, lihat artikel Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan “y” adalah fungsi dalaman. Dan kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks :

Di sisi kiri, seolah-olah disihir tongkat ajaib kami memiliki turunan. Selanjutnya, sesuai aturan proporsi, kita pindahkan “y” dari penyebut ruas kiri ke atas ruas kanan:

Dan sekarang mari kita ingat fungsi “pemain” seperti apa yang kita bicarakan selama diferensiasi? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Contoh contoh desain dari jenis ini di akhir pelajaran.

Dengan menggunakan turunan logaritma, salah satu contoh No. 4-7 dapat diselesaikan, hal lainnya adalah fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritma tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial pangkat adalah fungsi yang baik derajat maupun alasnya bergantung pada “x”. Contoh klasik, yang akan diberikan kepada Anda di buku teks mana pun atau di kuliah mana pun:

Bagaimana cara mencari turunan fungsi eksponensial pangkat?

Penting untuk menggunakan teknik yang baru saja dibahas - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, di sisi kanan derajat diambil dari bawah logaritma:

Hasilnya, di sisi kanan kita memiliki hasil kali dua fungsi yang akan dibedakan rumus standar .

Kami menemukan turunannya; untuk melakukan ini, kami menyertakan kedua bagian di bawah garis:

Langkah selanjutnya sederhana:

Akhirnya:

Jika ada konversi yang kurang jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh #11 dengan cermat.

DI DALAM tugas-tugas praktis Fungsi eksponensial pangkat akan selalu lebih kompleks daripada contoh yang dibahas dalam kuliah.

Contoh 13

Temukan turunan suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritma.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat melakukan diferensiasi, seingat kita, sebaiknya segera keluarkan konstanta dari tanda turunannya agar tidak mengganggu; dan, tentu saja, kami menerapkan aturan yang sudah lazim :

Seperti yang Anda lihat, algoritme untuk menggunakan turunan logaritmik tidak mengandung trik atau trik khusus, dan mencari turunan fungsi eksponensial pangkat biasanya tidak dikaitkan dengan “siksaan”.

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, muncullah tabel turunan dan tepatnya aturan tertentu diferensiasi. Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.

Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Turunan lebih lanjut fungsi dasar kita temukan di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil perkalian, jumlah dan hasil bagi ada pada aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan “X” sama dengan satu, dan turunan sinus sama dengan kosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita bedakan sebagai turunan dari suatu penjumlahan yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah mengetahui tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan dari akar kuadrat
6. Turunan dari sinus
7. Turunan dari kosinus
8. Turunan dari garis singgung
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arccosine
12. Turunan dari arctangen
13. Turunan dari kotangen busur
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih
2. Turunan dari produk
2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu.

Aturan 2.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.

Akibat wajar 1. Pengganda konstan dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3.Jika fungsinya

dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan

itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.

Di mana mencari sesuatu di halaman lain

Saat mencari turunan suatu produk dan hasil bagi di masalah nyata Oleh karena itu, selalu perlu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus lebih banyak contoh untuk turunan ini - di artikel"Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".

Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini kesalahan tipikal, yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, rata-rata siswa tidak lagi membuat kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).

Lainnya kesalahan umum - solusi mekanis turunan fungsi kompleks sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunannya fungsi sederhana.

Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar dalam 3x Operasi dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya , lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.

Jika Anda memiliki tugas seperti , selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.

Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:

Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar suatu fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami mengerti nilai-nilai berikut turunan:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kami mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh saat ini, diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, , lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .

Jika anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu, ketika fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Menurut aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan dari akar kuadrat kita peroleh:

Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Dalam pelajaran ini kita akan belajar menerapkan rumus dan aturan diferensiasi.

Contoh. Temukan turunan fungsi.

1. kamu=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menerapkan aturan SAYA, rumus 4, 2 dan 1. Kami mendapatkan:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. kamu=3x 6 -2x+5. Kami menyelesaikannya dengan cara yang sama, menggunakan rumus dan rumus yang sama 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Menerapkan aturan SAYA, rumus 3, 5 dalam 3x 6 dalam 3x 1.

Menerapkan aturan IV, rumus 5 dalam 3x 1 .

Pada contoh kelima, sesuai aturan SAYA turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari turunannya, dan kita baru saja menemukan turunan suku pertama (contoh 4 ), oleh karena itu, kita akan mencari turunannya ke-2 Dan ke-3 istilah, dan untuk tanggal 1 summand kita bisa langsung menuliskan hasilnya.

Mari kita bedakan ke-2 dalam 3x ke-3 ketentuan sesuai rumus 4 . Untuk melakukan ini, kita ubah akar pangkat ketiga dan keempat pada penyebut menjadi pangkat c indikator negatif, dan kemudian, oleh 4 rumusnya, kita menemukan turunan pangkat.

Lihat contoh ini dan hasil yang diperoleh. Apakah Anda menangkap polanya? Bagus. Artinya kita sudah menerima rumus baru dan kita bisa menambahkannya ke tabel turunan kita.

Mari kita selesaikan contoh keenam dan mendapatkan rumus lainnya.

Mari kita gunakan aturannya IV dan rumus 4 . Mari kita kurangi pecahan yang dihasilkan.

Mari kita lihat fungsi ini dan turunannya. Anda tentunya sudah memahami polanya dan siap menyebutkan rumusnya:

Pelajari formula baru!

Contoh.

1. Temukan pertambahan argumen dan pertambahan fungsi y= x 2, Jika nilai awal argumennya setara 4 , dan baru - 4,01 .

Larutan.

Nilai argumen baru x=x 0 +Δx. Mari kita substitusikan datanya: 4,01=4+Δх, maka argumennya bertambah Δx=4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan selisih antara nilai baru dan nilai sebelumnya dari fungsi tersebut, yaitu. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Karena kita mempunyai fungsi kamu=x2, Itu kamu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Menjawab: peningkatan argumen Δx=0,01; peningkatan fungsi kamu=0,0801.

Peningkatan fungsi dapat ditemukan secara berbeda: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu=f(x) pada intinya x 0, Jika f "(x 0) = 1.

Larutan.

Nilai turunannya pada titik singgung x 0 dan merupakan nilai garis singgung sudut singgung ( makna geometris turunan). Kami memiliki: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Karena tg45°=1.

Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox sama dengan 45°.

3. Turunkan rumus turunan fungsi tersebut kamu=xn.

Diferensiasi adalah tindakan mencari turunan suatu fungsi.

Saat mencari turunan, gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, sama seperti kita menurunkan rumus derajat turunan: (x n)" = nx n-1.

Ini adalah rumusnya.

Tabel turunan Akan lebih mudah menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:

1. Turunan nilai konstan sama dengan nol.

2. X bilangan prima sama dengan satu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

4. Turunan suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen derajat tersebut dengan derajat yang basisnya sama, tetapi eksponennya lebih kecil satu.

5. Turunan suatu akar sama dengan satu dibagi dua akar yang sama besar.

6. Turunan satu dibagi x sama dengan dikurangi satu dibagi x kuadrat.

7. Turunan sinus sama dengan cosinus.

8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.

9. Turunan garis singgung sama dengan satu dibagi kuadrat cosinus.

10. Turunan kotangen sama dengan minus satu dibagi kuadrat sinus.

Kami mengajar aturan diferensiasi.

1. Turunan suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar turunan suku-suku tersebut.

2. Turunan suatu hasil kali sama dengan hasil kali turunan faktor pertama dan faktor kedua ditambah hasil kali faktor pertama dan turunan faktor kedua.

3. Turunan dari “y” dibagi “ve” sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah “y prima dikalikan “ve” dikurangi “y dikalikan ve prime”, dan penyebutnya adalah “ve kuadrat”.

4. Kasus khusus rumus 3.

Mari kita belajar bersama!

Halaman 1 dari 1 1