Statistik menggunakan peristiwa. Definisi probabilitas klasik, statistik dan geometris

Konsep dasar. Teorema penjumlahan dan perkalian.

Rumus kemungkinan penuh, Bayes, Bernoulli. teorema Laplace.

Pertanyaan

1. Subyek teori probabilitas.
2. Jenis acara.
3. Definisi klasik tentang probabilitas.
4. Definisi statistik probabilitas.
5. Definisi geometris probabilitas.
6. Teorema penjumlahan probabilitas Bukan acara bersama.
7. Teorema perkalian probabilitas tidak peristiwa yang bergantung.
8. Probabilitas bersyarat.
9. Mengalikan kejadian-kejadian dependen.
10. Penambahan acara bersama.
11. Rumus probabilitas total.
12. rumus Bayes.

13. Hukum distribusi binomial dan polinomial.

1. Subyek teori probabilitas. Konsep dasar.

Suatu peristiwa dalam teori probabilitas adalah setiap fakta yang dapat terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman (tes).

Misalnya: Penembak menembak sasaran. Tembakan adalah sebuah ujian, mengenai sasaran adalah sebuah peristiwa. Acara biasanya ditentukan

Sebuah peristiwa acak tunggal merupakan akibat dari banyak sebab acak, yang sering kali tidak dapat diperhitungkan. Namun, jika kita mempertimbangkan peristiwa homogen massal (diamati berkali-kali selama percobaan dalam kondisi yang sama), maka peristiwa tersebut ternyata memiliki pola tertentu: jika Anda melempar koin dalam kondisi yang sama berkali-kali, Anda dapat memprediksi dengan kesalahan kecil bahwa jumlah kemunculan lambang akan sama dengan setengah jumlah lemparan.

Pokok bahasan teori probabilitas adalah studi tentang pola probabilistik dari kejadian acak homogen massal. Metode teori probabilitas banyak digunakan dalam teori reliabilitas, penembakan, kontrol otomatis, dll. Teori probabilitas berfungsi sebagai dasar matematika dan statistik terapan, yang selanjutnya digunakan dalam perencanaan dan pengorganisasian produksi, dalam analisis proses teknologi dll.

Definisi.

1. Jika peristiwa itu akibat pengalaman

a) akan selalu terjadi, maka itu adalah peristiwa yang dapat diandalkan,

b) tidak akan pernah terjadi, maka - suatu peristiwa yang mustahil,

c) bisa saja terjadi, bisa juga tidak terjadi, maka itu adalah peristiwa yang acak (mungkin).

2. Peristiwa-peristiwa disebut sama mungkinnya jika ada alasan untuk meyakini bahwa tidak satu pun dari peristiwa-peristiwa ini yang terjadi lebih banyak peluang muncul dari pengalaman dibandingkan yang lain.

3. Peristiwa-peristiwa dan bersifat gabungan (tidak sesuai), apabila terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak meniadakan (mengecualikan) terjadinya peristiwa yang lain.

4. Sekelompok acara kompatibel jika setidaknya dua acara dari grup ini kompatibel, jika tidak maka tidak kompatibel.

5. Sekelompok peristiwa disebut lengkap apabila salah satu di antaranya pasti terjadi akibat pengalaman.

Contoh 1. Tiga tembakan dilepaskan ke sasaran: Let - hit (miss) pada tembakan pertama - pada tembakan kedua - pada tembakan ketiga. Kemudian

a) - sekelompok peristiwa yang kemungkinannya sama.

b) - sekelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel. - peristiwa yang sebaliknya.

c) - sekelompok acara yang lengkap.

Klasik dan probabilitas statistik

Cara klasik penentuan probabilitas diterapkan pada sekelompok peristiwa yang sama-sama mungkin tidak kompatibel.

Setiap peristiwa dalam kelompok ini akan disebut sebagai kasus atau hasil dasar. Sehubungan dengan setiap peristiwa, kasus dibagi menjadi menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Definisi 2. Peluang suatu kejadian adalah kuantitasnya

dimana adalah jumlah kasus yang mendukung terjadinya suatu peristiwa, adalah jumlah total kemungkinan yang sama pengalaman ini kasus.

Contoh 2. Dua dilempar dadu. Misalkan kejadian - jumlah poin yang dijatuhkan sama dengan . Menemukan .

a) Keputusan yang salah. Hanya ada 2 kemungkinan kasus: dan - sekelompok lengkap kejadian yang tidak kompatibel. Hanya satu kasus yang menguntungkan, yaitu.

Ini adalah kesalahan, karena kemungkinannya tidak sama.

b) Jumlah kasus yang sama kemungkinannya. Kasus yang menguntungkan: prolaps

Kelemahan definisi klasik adalah:

1. - jumlah kasus terbatas.

2. Hasil suatu percobaan seringkali tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk himpunan kejadian-kejadian dasar (kasus).

3. Sulit untuk menunjukkan alasan mengapa kasus-kasus tersebut dianggap sama mungkinnya.

Biarkan serangkaian tes dilakukan.

Definisi 3. Frekuensi relatif suatu peristiwa adalah kuantitas

di mana adalah jumlah percobaan di mana peristiwa muncul dan jumlah percobaan.

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan hal itu berbagai pengalaman dalam jumlah yang cukup besar

Berubah sedikit, berfluktuasi pada kisaran tertentu angka konstan, yang kami sebut probabilitas statistik.

Kemungkinannya sudah properti berikut:

Aljabar peristiwa

7.3.1 Definisi.

8. Penjumlahan atau gabungan beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri atas sekurang-kurangnya salah satu peristiwa tersebut.

9. Hasil kali beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.

Dari contoh 1. - setidaknya satu pukulan dengan tiga tembakan, - pukulan dengan tembakan pertama dan kedua dan satu pukulan dengan tembakan ketiga.

Tepat satu pukulan.

Setidaknya dua pukulan.

10. Dua kejadian disebut bebas (dependent) jika peluang salah satu kejadian tidak bergantung (tergantung) pada terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang lain.

11. Beberapa peristiwa disebut bebas kolektif jika masing-masing peristiwa tersebut dan kombinasi linier dari peristiwa-peristiwa lainnya merupakan peristiwa-peristiwa bebas.

12. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa yang dihitung berdasarkan asumsi bahwa peristiwa itu terjadi.

7.3.2 Teorema perkalian probabilitas.

Probabilitas terjadinya bersama (produksi) beberapa peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu peristiwa tersebut dengan probabilitas bersyarat peristiwa-peristiwa yang tersisa dihitung berdasarkan asumsi bahwa seluruh peristiwa-peristiwa sebelumnya telah terjadi

Akibat wajar 1. Jika - independen bersama, maka

Memang: sejak .

Contoh 3. Ada 5 bola putih, 4 hitam dan 3 bola biru di dalam guci. Setiap tes terdiri dari pengambilan satu bola secara acak dari sebuah guci. Berapa peluang bahwa pada pengujian pertama akan ada bola putih, dengan yang kedua - bola hitam, dengan yang ketiga - bola biru, jika

a) setiap kali bola kembali ke guci.

- di dalam guci setelah pengujian bola pertama, 4 diantaranya berwarna putih. . Dari sini

b) bola tidak kembali ke guci. Kemudian - mandiri secara agregat dan

7.3.3 Teorema penjumlahan probabilitas.

Peluang terjadinya paling sedikit satu peristiwa sama dengan

Akibat wajar 2. Jika kejadian-kejadian tersebut tidak kompatibel secara berpasangan, maka

Memang benar dalam hal ini

Contoh 4. Tiga tembakan dilepaskan ke satu sasaran. Peluang terjadinya pukulan pada tembakan pertama adalah , pada tembakan kedua - , dan pada tembakan ketiga - . Temukan probabilitas setidaknya satu pukulan.

Larutan. Biarlah ada pukulan pada tembakan pertama, pada tembakan kedua, pada tembakan ketiga, dan setidaknya satu pukulan pada tiga tembakan. Lalu, dimanakah gabungan independen secara agregat. Kemudian

Akibat wajar 3. Jika peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan terbentuk kelompok penuh, Itu

Akibat wajar 4. Untuk kejadian sebaliknya

Terkadang ketika memecahkan masalah, lebih mudah untuk menemukan kemungkinan kejadian sebaliknya. Misalnya, dalam contoh 4 - meleset dengan tiga tembakan. Sejak mandiri secara agregat, lalu

Sebagaimana dinyatakan di atas, definisi klasik probabilitas mengasumsikan bahwa semua hasil dasar sama-sama mungkin terjadi. Kesetaraan hasil eksperimen disimpulkan karena pertimbangan simetri. Masalah dimana pertimbangan simetri dapat digunakan jarang terjadi dalam praktek. Dalam banyak kasus, sulit untuk memberikan alasan untuk meyakini bahwa semua hasil dasar adalah sama-sama mungkin terjadi. Dalam hal ini, perlu diperkenalkan definisi lain tentang probabilitas, yang disebut statistik. Mari kita perkenalkan dulu konsep frekuensi relatif.

Frekuensi relatif kejadian tersebut, atau frekuensi, adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa ini terjadi dengan jumlah semua percobaan yang dilakukan. Mari kita nyatakan frekuensi kejadiannya A melalui W(A), Kemudian

Di mana N– jumlah total percobaan; M– jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi A.

Dengan jumlah eksperimen yang sedikit, frekuensi kejadian sebagian besar bersifat acak dan dapat sangat bervariasi dari satu kelompok eksperimen ke kelompok eksperimen lainnya. Misalnya, dengan sepuluh pelemparan koin, sangat mungkin lambang akan muncul 2 kali (frekuensi 0,2), dengan sepuluh pelemparan berikutnya kita mungkin mendapatkan 8 lambang (frekuensi 0,8). Namun, seiring bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi kejadian semakin kehilangan karakter acaknya; keadaan acak yang melekat pada masing-masing pengalaman individu hilang secara keseluruhan, dan frekuensinya cenderung stabil, mendekati rata-rata tertentu dengan sedikit fluktuasi. nilai konstan. Konstanta ini, yang objektif karakteristik numerik fenomena dianggap sebagai kemungkinan suatu peristiwa tertentu.

Definisi statistik dari probabilitas: probabilitas peristiwa menyebutkan bilangan di mana nilai frekuensi suatu peristiwa tertentu dalam rangkaian berbeda dikelompokkan jumlah besar tes.

Sifat stabilitas frekuensi, yang berulang kali diuji secara eksperimental dan dikonfirmasi oleh pengalaman umat manusia, adalah salah satu pola paling khas yang diamati peristiwa acak. Ada hubungan yang mendalam antara frekuensi suatu peristiwa dan probabilitasnya, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: ketika kita mengevaluasi tingkat kemungkinan suatu peristiwa, kita mengasosiasikan penilaian ini dengan frekuensi kejadian serupa yang lebih besar atau lebih kecil dalam praktiknya. .

Probabilitas geometris

Definisi klasik tentang probabilitas mengasumsikan bahwa bilangan tersebut hasil dasar Tentu. Dalam praktiknya, ada eksperimen yang himpunan hasil-hasilnya tidak terbatas. Untuk mengatasi kelemahan definisi klasik tentang probabilitas, yaitu tidak dapat diterapkan pada pengujian dengan jumlah hasil yang tak terhingga, mereka memperkenalkan probabilitas geometris – probabilitas suatu titik jatuh ke suatu area.

Mari kita asumsikan bahwa suatu wilayah kuadrat diberikan pada bidang tersebut G, yaitu. daerah yang mempunyai luas S G. Di daerah G berisi luas G daerah Sg. Ke wilayah tersebut G Sebuah titik dilempar secara acak. Kita asumsikan bahwa titik yang dilempar dapat mengenai suatu bagian dari area tersebut G dengan probabilitas sebanding dengan luas bagian tersebut dan tidak bergantung pada bentuk dan lokasinya. Biarkan acaranya A– “titik yang dilempar mengenai area tersebut G", Kemudian probabilitas geometris peristiwa ini ditentukan dengan rumus:

DI DALAM kasus umum Konsep probabilitas geometri diperkenalkan sebagai berikut. Mari kita nyatakan ukuran luasnya G(panjang, luas, volume) melalui mis g, dan ukuran luasnya G- melalui mes G ; biarkan juga A– event “titik lemparan mengenai area tersebut G, yang terdapat di daerah tersebut G" Kemungkinan mengenai area tersebut G poin yang dilemparkan ke area tersebut G, ditentukan oleh rumus

.

Tugas. Sebuah persegi ditulis dalam lingkaran. Sebuah titik dilempar ke dalam lingkaran secara acak. Berapa peluang terambilnya titik tersebut ke dalam kotak?

Larutan. Biarkan jari-jari lingkaran menjadi R, maka luas lingkarannya adalah . Diagonal persegi adalah , kemudian sisi persegi adalah , dan luas persegi adalah . Peluang terjadinya kejadian yang diinginkan didefinisikan sebagai perbandingan luas persegi dengan luas lingkaran, yaitu. .

Pertanyaan keamanan

1. Apa yang disebut dengan ujian (pengalaman)?

2. Apa yang dimaksud dengan peristiwa?

3. Peristiwa apa yang disebut a) dapat diandalkan? b) acak? c) tidak mungkin?

4. Peristiwa apa yang disebut a) tidak sesuai? b) bersama?

5. Peristiwa apa yang disebut kebalikannya? Apakah a) tidak kompatibel b) kompatibel atau acak?

6. Apa yang disebut kumpulan kejadian acak lengkap?

7. Jika peristiwa-peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan sebagai hasil dari pengujian, apakah peristiwa-peristiwa tersebut tidak dapat digabungkan secara berpasangan?

8. Buatlah bentuk acara A dan kelompok penuh?

9. Hasil dasar apa yang menguntungkan? acara ini?

10. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?

11. Berapakah batas kemungkinan suatu kejadian?

12. Dalam kondisi apa hal ini berlaku? probabilitas klasik?

13. Dalam kondisi apa probabilitas geometrik diterapkan?

14. Definisi probabilitas apa yang disebut geometris?

15. Berapa frekuensi suatu kejadian?

16. Definisi probabilitas apa yang disebut statistik?

Tugas tes

1. Satu huruf dipilih secara acak dari huruf-huruf pada kata “konservatorium”. Tentukan peluang terambilnya huruf vokal. Tentukan peluang terambilnya huruf "o".

2. Huruf “o”, “p”, “s”, “t” ditulis pada kartu yang sama. Tentukan peluang munculnya kata “kabel” pada kartu yang diletakkan secara acak berturut-turut.

3. Ada 4 perempuan dan 3 laki-laki dalam tim. 4 tiket teater diundi di antara anggota brigade. Berapa peluang terambilnya 2 orang perempuan dan 2 laki-laki di antara pemegang tiket?

4. Dua buah dadu dilempar. Tentukan peluang munculnya jumlah poin pada kedua dadu lebih besar dari 6.

5. Huruf l, m, o, o, t ditulis pada lima kartu yang identik. Berapa peluang bahwa, dengan mengeluarkan kartu-kartu itu satu per satu, kita akan mendapatkan kata “palu” sesuai urutan kemunculannya?

6. Dari 10 tiket, 2 tiket menang. Berapakah peluang di antara lima tiket yang diambil secara acak, satu tiket menang?

7. Berapa peluang terambilnya secara acak angka dua digit angka-angkanya sedemikian rupa sehingga hasil kali mereka sama dengan nol.

8. Suatu bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Tentukan peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30.

9. Sebuah bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Tentukan peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3.

10. Sebuah bilangan yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Tentukan peluang terambilnya bilangan prima.

Indikator korelasi peringkat Kendall, menguji hipotesis yang sesuai tentang signifikansi hubungan tersebut.

2.Definisi klasik tentang probabilitas. Sifat-sifat probabilitas.
Probabilitas adalah salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi tentang konsep ini. Mari kita berikan definisi yang disebut klasik. Selanjutnya kami tunjukkan kelemahan definisi ini dan memberikan definisi lain yang memungkinkan kita mengatasi kekurangan definisi klasik.

Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan guci berisi 6 bola identik yang tercampur rata, dan 2 di antaranya berwarna merah, 3 berwarna biru, dan 1 berwarna putih. Jelasnya, kemungkinan terambilnya bola berwarna (yaitu merah atau biru) dari sebuah guci secara acak lebih besar daripada kemungkinan terambilnya bola putih. Bisakah peluang ini diukur? Ternyata hal itu mungkin saja terjadi. Angka ini disebut peluang suatu kejadian (munculnya bola berwarna). Jadi, probabilitas adalah suatu bilangan yang mencirikan derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Mari kita tentukan sendiri tugas memberi hitungan kemungkinan terambilnya bola secara acak berwarna. Munculnya bola berwarna dianggap sebagai kejadian A. Setiap kemungkinan hasil tes (tes terdiri dari mengeluarkan bola dari guci) disebut hasil dasar (peristiwa dasar). Kami menyatakan hasil dasar dengan w 1, w 2, w 3, dst. Dalam contoh kita, 6 hasil dasar berikut mungkin terjadi: w 1 - bola putih muncul; w 2, w 3 - bola merah muncul; w 4, w 5, w 6 - bola biru muncul. Sangat mudah untuk melihat bahwa hasil-hasil ini membentuk sekelompok kejadian berpasangan yang tidak kompatibel (hanya satu bola yang akan muncul) dan kemungkinannya sama (bola diambil secara acak, bola-bola tersebut identik dan tercampur rata).

Kami akan menyebut hasil-hasil dasar di mana peristiwa yang menarik bagi kami terjadi baik acara ini. Dalam contoh kita, 5 hasil berikut mendukung kejadian A (munculnya bola berwarna): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.

Jadi, peristiwa A diamati jika salah satu hasil dasar yang mendukung A muncul dalam tes tersebut, tidak peduli yang mana; dalam contoh kita, A diamati jika w 2, atau w 3, atau w 4, atau w 5, atau w 6 muncul. Dalam pengertian ini, kejadian A dibagi menjadi beberapa kejadian dasar (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); suatu peristiwa dasar tidak dapat dibagi lagi menjadi peristiwa-peristiwa lain. Inilah perbedaan antara kejadian A dan kejadian dasar (hasil dasar).

Rasio jumlah hasil dasar yang mendukung peristiwa A dengan hasil tersebut jumlah total disebut peluang kejadian A dan dilambangkan dengan P (A). Dalam contoh yang dibahas, ada 6 hasil dasar; 5 diantaranya mendukung kejadian A. Oleh karena itu, peluang terambilnya bola berwarna sama dengan P(A) = 5/6. Angka ini memberikan penilaian kuantitatif terhadap derajat kemungkinan munculnya bola berwarna yang kita ingin menemukan. Sekarang mari kita berikan definisi probabilitas.

Peluang kejadian A mereka menyebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Jadi, peluang kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah jumlah hasil dasar yang menguntungkan A; n adalah jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.

Di sini diasumsikan bahwa hasil-hasil dasar tidak kompatibel, sama-sama mungkin dan membentuk kelompok yang lengkap. Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

Dengan sekitar s t sekitar 1. Kemungkinan acara yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil dasar dari tes tersebut akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini m = n, oleh karena itu,

P (A) = m / n = n / n = 1.

S sekitar dengan t sekitar 2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini m = 0, oleh karena itu,

P (A) = m / n = 0 / n = 0.

Dengan sekitar dengan t sekitar 3. Kemungkinan peristiwa acak Ada angka positif, diapit antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Dalam hal ini 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Jadi, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda

Catatan: Kursus modern yang ketat dalam teori probabilitas dibangun berdasarkan teori himpunan. Mari kita batasi diri kita untuk menyajikan dalam bahasa teori himpunan konsep-konsep yang dibahas di atas.

Misalkan satu dan hanya satu kejadian w i, (i = 1, 2, ..., n) terjadi sebagai akibat dari pengujian tersebut. Acara yang saya dipanggil peristiwa dasar (hasil dasar). Oleh karena itu, peristiwa-peristiwa dasar tidak kompatibel secara berpasangan. Himpunan semua kejadian dasar yang dapat terjadi dalam suatu pengujian disebut ruang acara dasar W, dan peristiwa dasar itu sendiri adalah titik ruang W.

Peristiwa A diidentifikasi dengan himpunan bagian (ruang W), yang elemen-elemennya merupakan hasil dasar yang menguntungkan A; kejadian B adalah himpunan bagian dari W yang elemen-elemennya merupakan hasil yang menguntungkan B, dan seterusnya. Jadi, himpunan semua kejadian yang dapat terjadi dalam suatu pengujian adalah himpunan semua himpunan bagian dari W. W sendiri terjadi untuk setiap hasil tes, oleh karena itu W adalah kejadian yang dapat diandalkan; subset kosong dari ruang W adalah kejadian yang mustahil (tidak terjadi pada hasil pengujian apa pun).

Perhatikan bahwa kejadian dasar dibedakan dari semua kejadian karena masing-masing kejadian hanya mengandung satu elemen W.

Setiap hasil dasar w i diberi bilangan positif P saya adalah probabilitas hasil ini, dan

Menurut definisi, peluang P(A) kejadian A sama dengan jumlah peluang hasil-hasil dasar yang menguntungkan A. Dari sini mudah untuk mengetahui bahwa peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, kejadian yang mustahil adalah sama dengan nol, dan kejadian sembarang berada di antara nol dan satu.

Mari kita pertimbangkan hal yang penting kasus khusus ketika semua hasil sama-sama mungkin terjadi. Banyaknya hasil adalah n, jumlah peluang semua hasil sama dengan satu; oleh karena itu, peluang setiap hasil adalah 1/n. Misalkan kejadian A disukai oleh m hasil. Peluang kejadian A sama dengan jumlah peluang kejadian yang menguntungkan A:

P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Mengingat banyaknya suku sama dengan m, kita punya

P(A) = m/n.

Definisi klasik tentang probabilitas diperoleh.

Konstruksi secara logis teori penuh probabilitas berdasarkan definisi aksiomatik kejadian acak dan probabilitasnya. Dalam sistem aksioma yang dikemukakan oleh A. N. Kolmogorov, terdapat konsep-konsep yang tidak dapat didefinisikan acara dasar dan probabilitas. Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:

1. Setiap kejadian A diasosiasikan dengan non-negatif bilangan real R (A). Bilangan ini disebut peluang kejadian A.

2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu:

3. Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian berpasangan yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Berdasarkan aksioma-aksioma ini, sifat-sifat probabilitas dan ketergantungan di antara keduanya diturunkan sebagai teorema.

3. Penentuan probabilitas statis, frekuensi relatif.

Definisi klasik tidak memerlukan eksperimen. Meskipun nyata masalah yang diterapkan memiliki jumlah yang tak terbatas hasil, dan definisi klasik dalam hal ini tidak dapat memberikan jawaban. Oleh karena itu, dalam soal seperti itu kami akan menggunakannya definisi statis probabilitas, yang dihitung setelah percobaan atau percobaan.

Probabilitas statis w(A) atau frekuensi relatif adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah total pengujian yang sebenarnya dilakukan.

w(A)=nm

Frekuensi relatif acara punya properti stabilitas:

batas N→∞P(∣ ∣ nm−P∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4. Probabilitas geometri.

Pada pendekatan geometris ke definisi probabilitas himpunan sembarang dianggap sebagai ruang kejadian dasar ukuran Lebesgue terbatas pada suatu garis, bidang, atau ruang. Peristiwa disebut segala macam terukur himpunan bagian dari himpunan tersebut.

Peluang kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana menunjukkan Ukuran Lebesgue dari himpunan A. Dengan definisi kejadian dan probabilitas ini, semuanya Aksioma Kolmogorov terpenuhi.

Dalam tugas-tugas khusus yang bermuara pada hal di atas skema probabilistik, tes diartikan sebagai pemilihan acak suatu titik di suatu daerah, dan peristiwa A– bagaimana titik yang dipilih mencapai titik tertentu sub-wilayah A wilayah tersebut. Dalam hal ini semua titik di wilayah tersebut wajib memilikinya kesempatan yang sama untuk dipilih. Persyaratan ini biasanya diungkapkan dengan kata-kata “secara acak”, “secara acak”, dll.

Konsep probabilitas suatu peristiwa mengacu pada konsep dasar teori probabilitas. Probabilitas adalah ukuran kuantitatif kemungkinan terjadinya suatu kejadian acak A. Dilambangkan dengan P(A) dan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

Probabilitas adalah bilangan positif yang berkisar dari nol hingga satu:

Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol

Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu

Definisi klasik tentang probabilitas. Misalkan = (1, 2,…, n) adalah ruang kejadian-kejadian elementer yang mendeskripsikan semua kemungkinan hasil elementer dan membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel dan sama-sama mungkin terjadi. Misalkan kejadian A berhubungan dengan himpunan bagian dari m hasil dasar

hasil-hasil ini disebut menguntungkan bagi peristiwa A. Dalam definisi klasik tentang probabilitas, diyakini bahwa probabilitas dari setiap hasil dasar

dan peluang kejadian A yang disukai oleh m adalah sama dengan

Oleh karena itu definisinya:

Probabilitas kejadian A adalah rasio jumlah hasil yang mendukung kejadian ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Probabilitas diberikan oleh rumus

dimana m adalah jumlah hasil dasar yang mendukung kejadian A, dan merupakan jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes tersebut.

Definisi klasik tentang probabilitas memungkinkan dalam beberapa masalah untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa secara analitis.

Biarkan suatu percobaan dilakukan sebagai akibat dari peristiwa-peristiwa tertentu yang dapat terjadi. Jika peristiwa-peristiwa ini membentuk suatu kelompok lengkap peristiwa-peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel dan sama-sama mungkin terjadi, maka pengalaman dikatakan memiliki kemungkinan hasil yang simetris dan direduksi menjadi “skema kasus”. Untuk eksperimen yang direduksi menjadi skema kasus, rumus probabilitas klasik dapat diterapkan.

Contoh 1.13. Lotere menarik 1000 tiket, termasuk 5 tiket pemenang. Tentukan peluang bahwa ketika Anda membeli satu tiket lotre, Anda akan menang

Peristiwa dasar dari pengalaman ini adalah pembelian tiket. Setiap tiket lotre adalah unik karena memiliki nomornya sendiri dan tiket yang dibeli tidak dapat dikembalikan. Acara A adalah tiket pemenang dibeli. Saat membeli salah satu dari 1000 tiket, semua kemungkinan hasil percobaan ini adalah = 1000, hasil tersebut membentuk kelompok lengkap kejadian yang tidak kompatibel. Banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A akan sama dengan =5. Maka peluang menang dengan membeli satu tiket adalah sama dengan

P(A) = = 0,005

Untuk menghitung probabilitas secara langsung, akan lebih mudah untuk menggunakan rumus kombinatorik. Mari kita tunjukkan hal ini dengan menggunakan contoh masalah kontrol sampling.

Contoh 1.14 Misalkan ada sekumpulan produk, beberapa di antaranya cacat. Sebagian produk dipilih untuk dikontrol. Berapa probabilitas bahwa di antara produk yang dipilih terdapat produk yang benar-benar cacat?

Peristiwa dasar dalam percobaan ini adalah pemilihan subset unsur dari himpunan unsur asli. Pemilihan bagian mana pun dari produk dari sekumpulan produk dapat dianggap sebagai peristiwa yang mungkin terjadi, sehingga pengalaman ini direduksi menjadi skema kasus. Untuk menghitung peluang kejadian A = (di antara produk cacat, jika dipilih dari sekumpulan produk cacat), Anda dapat menerapkan rumus probabilitas klasik. Banyaknya semua kemungkinan hasil percobaan adalah banyaknya cara produk dapat dipilih dari suatu batch, sama dengan banyaknya kombinasi unsur-unsur dengan: . Peristiwa yang menguntungkan peristiwa A terdiri dari hasil kali dua peristiwa dasar: (dari produk cacat _ dipilih (dari _ produk standar _ dipilih). Banyaknya kejadian tersebut, sesuai dengan aturan perkalian kombinatorik, adalah

Maka probabilitas yang diinginkan

Misal =100, =10, =10, =1. Maka peluang bahwa di antara 10 produk yang dipilih terdapat tepat satu produk cacat adalah sama dengan

Definisi statistik probabilitas. Untuk menerapkan definisi klasik probabilitas dalam kondisi eksperimen tertentu, eksperimen tersebut perlu sesuai dengan pola kasus, dan untuk sebagian besar masalah nyata, persyaratan ini secara praktis tidak mungkin dipenuhi. Namun, probabilitas suatu peristiwa merupakan realitas objektif yang ada terlepas dari apakah definisi klasik dapat diterapkan atau tidak. Terdapat kebutuhan akan definisi probabilitas yang lain, yang dapat diterapkan ketika pengalaman tidak sesuai dengan pola kasus.

Misalkan percobaan tersebut terdiri dari serangkaian pengujian yang mengulangi percobaan yang sama, dan biarkan kejadian A terjadi satu kali dalam serangkaian percobaan. Frekuensi relatif kejadian W(A) adalah perbandingan jumlah percobaan yang terjadinya peristiwa A dengan jumlah seluruh percobaan yang dilakukan.

Telah dibuktikan secara eksperimental bahwa frekuensi mempunyai sifat kestabilan: jika jumlah percobaan dalam suatu rangkaian cukup besar, maka frekuensi relatif kejadian A dalam rangkaian berbeda dari percobaan yang sama sedikit berbeda satu sama lain.

Probabilitas statistik suatu peristiwa adalah jumlah kecenderungan frekuensi relatif jika jumlah eksperimen bertambah tanpa batas.

Berbeda dengan probabilitas klasik apriori (dihitung sebelum eksperimen), probabilitas statistik bersifat a posteriori (diperoleh setelah eksperimen).

Contoh 1.15 Pengamatan meteorologi selama 10 tahun di suatu daerah menunjukkan bahwa banyaknya hari hujan pada bulan Juli pada tahun yang berbeda adalah: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Tentukan peluang suatu hari tertentu di bulan Juli akan turun hujan

Peristiwa A adalah akan turun hujan pada hari tertentu di bulan Juli, misalnya tanggal 10 Juli. Statistik yang diberikan tidak memuat informasi tentang hari-hari tertentu di bulan Juli yang turun hujan, jadi kita dapat berasumsi bahwa semua hari memiliki kemungkinan yang sama untuk peristiwa ini. Biarkan satu tahun menjadi satu rangkaian ujian dari 31 satu hari. Ada total 10 rangkaian. Frekuensi relatif rangkaian tersebut adalah:

Frekuensinya berbeda, tetapi diamati mengelompok di sekitar angka 0,1. Angka ini dapat diambil sebagai peluang kejadian A. Jika kita mengambil semua hari di bulan Juli selama sepuluh tahun sebagai satu rangkaian pengujian, maka peluang statistik kejadian A akan sama dengan

Definisi geometris dari probabilitas. Definisi probabilitas ini menggeneralisasi definisi klasik pada kasus ketika ruang hasil elementer mencakup sekumpulan kejadian elementer yang tak terhitung jumlahnya, dan terjadinya setiap kejadian sama-sama mungkin terjadi. Peluang geometrik suatu kejadian A adalah perbandingan ukuran (A) suatu wilayah yang menguntungkan terjadinya peristiwa tersebut dengan ukuran () seluruh wilayah.

Jika luas mewakili a) panjang ruas, b) luas bangun, c) volume bangun ruang, maka peluang geometrinya masing-masing adalah sama

Contoh 1.16. Iklan dipasang dengan jarak 10 meter di sepanjang barisan perbelanjaan. Beberapa pelanggan memiliki lebar tampilan 3 meter. Berapa peluang dia tidak akan melihat iklan tersebut jika dia bergerak tegak lurus terhadap barisan perbelanjaan dan dapat melewati barisan tersebut kapan saja?

Bagian baris belanja yang terletak di antara dua iklan dapat direpresentasikan sebagai segmen lurus AB (Gbr. 1.6). Kemudian agar pembeli dapat memperhatikan iklan tersebut, ia harus melewati ruas lurus AC atau DV sebesar 3 m. Jika dia melintasi barisan pertokoan di salah satu titik ruas SD yang panjangnya 4 m, maka dia tidak akan melihat iklan tersebut. Kemungkinan kejadian ini adalah

Keacakan terjadinya peristiwa dikaitkan dengan ketidakmungkinan memprediksi terlebih dahulu hasil tes tertentu. Namun, jika kita perhatikan, misalnya, sebuah tes: pelemparan koin berulang kali, ω 1, ω 2, ..., ω n, maka ternyata kira-kira setengah dari hasilnya ( N / 2) ditemukan pola tertentu yang sesuai dengan konsep probabilitas.

Di bawah kemungkinan acara A dipahami sebagai karakteristik numerik tertentu dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A. Mari kita nyatakan karakteristik numerik ini R(A). Ada beberapa pendekatan untuk menentukan probabilitas. Yang utama adalah statistik, klasik dan geometris.

Biarkan itu diproduksi N tes dan pada saat yang sama beberapa acara A itu telah tiba N Suatu kali. Nomor N A dipanggil frekuensi absolut(atau sekadar frekuensi) peristiwa tersebut A, dan relasinya disebut frekuensi relatif terjadinya peristiwa A. Frekuensi relatif dari suatu peristiwa dicirikan oleh sifat-sifat berikut:

Dasar penerapan metode teori probabilitas dalam mempelajari proses nyata adalah keberadaan objektif peristiwa acak yang memiliki sifat stabilitas frekuensi. Berbagai uji coba dari peristiwa yang sedang dipelajari A menunjukkan bahwa untuk besar N frekuensi relatif ( A) tetap kira-kira konstan.

Definisi statistik dari probabilitas adalah bahwa probabilitas kejadian A dianggap sebagai nilai konstan p(A), di mana nilai frekuensi relatif berfluktuasi. (A) dengan peningkatan jumlah tes yang tidak terbatasN.

Catatan 1. Perhatikan bahwa batas perubahan peluang suatu kejadian acak dari nol menjadi satu dipilih oleh B. Pascal untuk kemudahan penghitungan dan penerapannya. Dalam korespondensi dengan P. Fermat, Pascal menunjukkan bahwa interval apa pun dapat dipilih sebagai interval yang ditunjukkan, misalnya, dari nol hingga seratus dan interval lainnya. Dalam soal-soal di bawah panduan ini, probabilitas terkadang dinyatakan dalam persentase, yaitu. dari nol hingga seratus. Dalam hal ini, persentase yang diberikan dalam soal harus diubah menjadi pembagian, yaitu. bagi dengan 100.

Contoh 1. Ada 10 rangkaian pelemparan koin, masing-masing 1000 pelemparan. Besaran ( A) pada setiap deretnya sama dengan 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Frekuensi-frekuensi ini dikelompokkan R(A) = 0,5.

Contoh ini menegaskan bahwa frekuensi relatif ( A) kira-kira sama R(A), yaitu