Kemungkinannya lebih tinggi atau lebih besar. Teori probabilitas

Jika Anda tertarik dengan judul soal, kemungkinan besar Anda adalah seorang pelajar atau anak sekolah yang dihadapkan pada mata pelajaran baru. Masalah teori probabilitas sekarang diselesaikan oleh siswa kelas lima di sekolah lanjutan, siswa sekolah menengah sebelum Ujian Negara Bersatu, dan siswa dari semua spesialisasi - mulai dari ahli geografi hingga ahli matematika. Objek macam apa ini, dan bagaimana cara mendekatinya?

Kemungkinan. Apa ini?

Teori probabilitas, seperti namanya, berhubungan dengan probabilitas. Kita dikelilingi oleh banyak hal dan fenomena yang, betapapun majunya ilmu pengetahuan, mustahil untuk membuat prediksi yang akurat.

Kami tidak tahu kartu mana yang akan kami ambil dari tumpukan secara acak atau berapa hari akan turun hujan di bulan Mei, namun kami memiliki beberapa informasi tambahan, kita dapat membuat perkiraan dan menghitung probabilitas kejadian acak ini.

Dengan demikian, kita dihadapkan pada konsep dasar peristiwa acak- fenomena yang perilakunya tidak dapat diprediksi, eksperimen yang hasilnya tidak dapat dihitung sebelumnya, dll. Ini adalah probabilitas kejadian yang dihitung dalam masalah tipikal.

Kemungkinan- ini adalah suatu fungsi, sebenarnya, yang mengambil nilai dari 0 hingga 1 dan mencirikan peristiwa acak tertentu. 0 - peristiwa tersebut praktis tidak mungkin, 1 - peristiwa tersebut hampir pasti, 0,5 (atau "50 hingga 50") - dengan probabilitas yang sama peristiwa itu akan terjadi atau tidak.

Algoritma untuk memecahkan masalah probabilitas

Anda dapat mempelajari lebih lanjut tentang dasar-dasar teori probabilitas, misalnya di buku teks online.

Sekarang jangan bertele-tele, tapi mari kita rumuskan diagram, yang harus digunakan untuk menyelesaikan standar tujuan pembelajaran untuk menghitung probabilitas kejadian acak, dan kemudian di bawah Mari kita ilustrasikan dengan contoh penerapannya.

• Bacalah tugas dengan cermat dan pahami apa yang sebenarnya terjadi (apa yang dikeluarkan dari kotak mana, apa yang tergeletak di mana, berapa banyak perangkat yang berfungsi, dll.)
• Temukan pertanyaan utama dari suatu masalah seperti "menghitung kemungkinan itu, itu..." dan tuliskan elipsis ini dalam bentuk suatu kejadian, yang probabilitasnya harus dicari.
• Peristiwa tersebut direkam. Sekarang kita perlu memahami "skema" teori probabilitas mana yang termasuk dalam masalah tersebut untuk memilih rumus solusi yang tepat. Membalas ke pertanyaan tes jenis:
  • ada satu tes (misalnya melempar dua dadu) atau beberapa (misalnya memeriksa 10 perangkat);
  • jika terdapat beberapa pengujian, apakah hasil yang satu bergantung pada pengujian yang lain (ketergantungan atau independensi peristiwa);
  • suatu peristiwa terjadi dalam satu situasi atau suatu tugas berbicara tentang beberapa situasi hipotesis yang mungkin(misalnya, bola diambil dari salah satu dari tiga kotak, atau dari kotak tertentu).
  Semakin banyak pengalaman yang Anda miliki dalam memecahkan masalah, maka akan semakin mudah dalam menentukan rumus mana yang sesuai.
• Sebuah formula (atau beberapa) telah dipilih untuk solusinya. Kami menuliskan semua data tugas dan menggantinya ke dalam rumus ini.
• Voila, kemungkinannya telah ditemukan.

Cara Menyelesaikan Masalah: Probabilitas Klasik

Contoh 1. Dalam kelompok yang terdiri dari 30 siswa, pada tes tersebut, 6 siswa mendapat nilai “5”, 10 siswa mendapat nilai “4”, 9 siswa mendapat nilai “3”, sisanya mendapat nilai “2”. Tentukan peluang bahwa 3 siswa yang dipanggil ke papan tulis mendapat nilai “2” pada ujian tersebut.

Kami memulai solusinya sesuai dengan poin yang dijelaskan di atas.

• Dalam masalahnya yang sedang kita bicarakan tentang memilih 3 siswa dari suatu kelompok yang memenuhi syarat tertentu.
• Masuk ke acara utama $X$ = (Ketiga siswa yang dipanggil ke papan menerima nilai “2” pada ujian).
• Karena hanya satu tes yang terjadi dalam tugas dan ini terkait dengan seleksi/pilihan dalam kondisi tertentu, kita berbicara tentang definisi klasik tentang probabilitas. Mari kita tulis rumusnya: $P=m/n$, dimana $m$ adalah banyaknya hasil yang menguntungkan terjadinya kejadian $X$, dan $n$ adalah banyaknya semua kemungkinan yang sama hasil dasar.
• Sekarang kita perlu mencari nilai $m$ dan $n$ untuk soal ini. Pertama, mari kita cari jumlah semua hasil yang mungkin - banyaknya cara untuk memilih 3 siswa dari 30. Karena urutan pilihan tidak menjadi masalah, ini adalah jumlah kombinasi 30 kali 3: $$n=C_(30 )^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
• Kita mendapatkan probabilitas: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0,002.$$ Masalah terpecahkan.

Tidak ada waktu untuk memutuskan? Temukan masalah yang terpecahkan

Solusi siap pakai untuk masalah untuk setiap bagian teori probabilitas, lebih dari 10.000 contoh! Temukan tugas Anda.

Pada Saat menilai probabilitas terjadinya suatu peristiwa acak, sangat penting untuk memiliki pemahaman yang baik tentang apakah probabilitas () terjadinya peristiwa yang kita minati bergantung pada bagaimana peristiwa lain berkembang.

Dalam kasus skema klasik, ketika semua hasil memiliki kemungkinan yang sama, kita sudah dapat memperkirakan nilai probabilitas dari peristiwa individu yang kita minati secara mandiri. Kita dapat melakukan hal ini meskipun kejadian tersebut merupakan kumpulan kompleks dari beberapa hasil dasar. Bagaimana jika beberapa kejadian acak terjadi secara bersamaan atau berurutan? Bagaimana hal ini mempengaruhi kemungkinan terjadinya peristiwa yang kita minati?

Jika saya melempar dadu beberapa kali dan menginginkan angka enam yang muncul, namun saya terus-menerus tidak beruntung, apakah itu berarti saya harus meningkatkan taruhan saya karena, menurut teori probabilitas, saya akan mendapatkan keberuntungan? Sayangnya, teori probabilitas tidak menyatakan hal seperti ini. Tanpa dadu, tanpa kartu, tanpa koin tidak dapat mengingatnya apa yang mereka tunjukkan kepada kita terakhir kali. Tidak masalah bagi mereka sama sekali apakah ini pertama kalinya atau yang kesepuluh kalinya saya menguji keberuntungan saya hari ini. Setiap kali saya mengulang lemparan, saya hanya tahu satu hal: dan kali ini kemungkinan mendapatkan angka enam lagi-lagi seperenam. Tentu saja bukan berarti nomor yang saya butuhkan tidak akan pernah muncul. Ini hanya berarti bahwa kekalahan saya setelah lemparan pertama dan setelah lemparan lainnya adalah peristiwa yang independen.

Peristiwa A dan B disebut mandiri, jika penerapan salah satunya tidak mempengaruhi kemungkinan kejadian lainnya. Misalnya, peluang mengenai suatu sasaran dengan senjata pertama dari dua senjata tidak bergantung pada apakah sasaran tersebut terkena senjata yang lain, sehingga kejadian “senjata pertama mengenai sasaran” dan “senjata kedua mengenai sasaran” adalah mandiri.

Jika dua kejadian A dan B saling bebas dan peluang masing-masing kejadian diketahui, maka peluang terjadinya kejadian A dan kejadian B secara bersamaan (dilambangkan AB) dapat dihitung dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas

Contoh.Peluang mengenai sasaran ketika menembakkan senjata pertama dan kedua masing-masing sama: p 1 =0,7;

hal 2 =0,8. Temukan peluang terjadinya serangan dengan satu tembakan oleh kedua senjata secara bersamaan. Larutan:

seperti yang telah kita lihat, kejadian A (pukulan senjata pertama) dan B (pukulan senjata kedua) adalah saling bebas, yaitu. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Contoh.Apa yang terjadi pada estimasi kami jika kejadian awal tidak independen? Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya. Dua penembak menembak sasaran di sebuah kompetisi, dan jika salah satu dari mereka menembak dengan akurat, lawan mulai gugup dan hasilnya memburuk. Bagaimana mengubah situasi sehari-hari ini menjadi masalah matematika dan menguraikan cara untuk mengatasinya? Secara intuitif jelas bahwa kita perlu memisahkan kedua opsi tersebut perkembangan , pada dasarnya buat dua skenario, dua. Dalam kasus pertama, jika lawan meleset, skenarionya akan menguntungkan bagi atlet yang gugup dan akurasinya akan lebih tinggi. Dalam kasus kedua, jika lawan memanfaatkan peluangnya dengan baik, kemungkinan atlet kedua mengenai sasaran berkurang.

Untuk pemisahan skenario yang mungkin(sering disebut hipotesis) untuk perkembangan peristiwa, kita sering menggunakan diagram “pohon probabilitas”. Diagram ini memiliki arti yang mirip dengan pohon keputusan yang mungkin pernah Anda tangani. Setiap cabang mewakili skenario terpisah untuk perkembangan peristiwa, hanya sekarang yang memilikinya nilai eigen yang disebut bersyarat

probabilitas (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Skema ini sangat cocok untuk menganalisis kejadian acak berurutan. Masih perlu diperjelas satu pertanyaan penting lagi: dari mana nilai awal probabilitas berasal? situasi nyata

Contoh.? Lagi pula, teori probabilitas tidak bekerja hanya dengan koin dan dadu? Biasanya perkiraan ini diambil dari statistik, dan bila informasi statistik tidak tersedia, kami melakukan penelitian sendiri. Dan seringkali kita harus memulainya bukan dengan pengumpulan data, namun dengan pertanyaan tentang informasi apa yang sebenarnya kita butuhkan. Katakanlah kita perlu memperkirakan di sebuah kota yang berpenduduk seratus ribu jiwa, volume pasar untuk produk baru yang bukan merupakan barang penting, misalnya balsem untuk perawatan rambut diwarnai. Mari kita perhatikan diagram "pohon probabilitas". Dalam hal ini, kita perlu memperkirakan secara kasar nilai probabilitas pada setiap “cabang”.

Jadi, perkiraan kami mengenai kapasitas pasar:

1) dari seluruh penduduk kota, 50% adalah perempuan,

2) dari seluruh wanita, hanya 30% yang sering mewarnai rambutnya,

3) dari jumlah tersebut, hanya 10% yang menggunakan balsem untuk rambut diwarnai,

4) dari mereka, hanya 10% yang berani mencoba produk baru,

hal 2 =0,8. Temukan peluang terjadinya serangan dengan satu tembakan oleh kedua senjata secara bersamaan. 5) 70% dari mereka biasanya membeli semuanya bukan dari kita, tapi dari pesaing kita.

Menurut hukum perkalian peluang, kita menentukan peluang kejadian yang kita minati A = (seorang penduduk kota membeli balsem baru ini dari kita) = 0,00045.

Mari kalikan nilai probabilitas ini dengan jumlah penduduk kota. Alhasil, calon pelanggan kami hanya memiliki 45 orang, dan mengingat satu botol produk ini bisa bertahan beberapa bulan, maka perdagangannya tidak terlalu ramai.

Namun ada beberapa manfaat dari penilaian kami.

Pertama, kita dapat membandingkan perkiraan ide bisnis yang berbeda; mereka akan memiliki “garpu” yang berbeda dalam diagram, dan, tentu saja, nilai probabilitasnya juga akan berbeda. Kedua, seperti yang telah kami katakan, Tidak disebut acak karena tidak bergantung pada apapun sama sekali. Hanya dia akurat maknanya tidak diketahui sebelumnya. Kita tahu bahwa rata-rata jumlah pembeli dapat ditingkatkan (misalnya dengan mengiklankan produk baru). Jadi masuk akal untuk memfokuskan upaya kita pada “percabangan” yang distribusi probabilitasnya tidak sesuai dengan kita, pada faktor-faktor yang dapat kita pengaruhi.

Mari kita lihat satu lagi contoh kuantitatif penelitian tentang perilaku pembelian.

Contoh. Rata-rata, 10.000 orang mengunjungi pasar makanan per hari. Kemungkinan pengunjung pasar memasuki paviliun produk susu, sama dengan 1/2.

Diketahui, paviliun ini rata-rata menjual 500 kg berbagai produk per harinya.

Bisakah kita mengatakan bahwa rata-rata pembelian di paviliun beratnya hanya 100 g? Diskusi.

Tentu saja tidak. Jelas tidak semua orang yang memasuki paviliun akhirnya membeli sesuatu di sana.

Seperti terlihat pada diagram, untuk menjawab pertanyaan tentang rata-rata berat suatu pembelian, kita harus menemukan jawaban atas pertanyaan, berapa peluang seseorang yang memasuki paviliun akan membeli sesuatu di sana. Jika kami tidak memiliki data tersebut, tetapi kami membutuhkannya, kami harus mendapatkannya sendiri dengan mengamati pengunjung paviliun selama beberapa waktu. Katakanlah pengamatan kami menunjukkan bahwa hanya seperlima pengunjung paviliun yang membeli sesuatu. Setelah kita memperoleh perkiraan ini, tugasnya menjadi sederhana. Dari 10.000 orang yang datang ke pasar, 5.000 orang akan pergi ke paviliun produk susu; hanya 1.000 orang yang akan membeli. Berat rata-rata pembelian setara dengan 500 gram. Menarik untuk dicatat bahwa untuk membangun gambar penuh

terjadi, logika “percabangan” bersyarat harus didefinisikan pada setiap tahap penalaran kita sejelas seolah-olah kita sedang bekerja dengan situasi “konkret”, dan bukan dengan probabilitas.

Tugas tes mandiri 1. Biarkan saja rangkaian listrik

, terdiri dari n elemen yang terhubung seri, yang masing-masing beroperasi secara independen satu sama lain.

Probabilitas p kegagalan setiap elemen diketahui. Tentukan peluang berfungsinya seluruh bagian rangkaian (peristiwa A). 2. Siswa mengetahui 20 dari 25 soal ujian

3. Produksi terdiri dari empat tahap yang berurutan, pada masing-masing tahap peralatan beroperasi, yang probabilitas kegagalannya pada bulan berikutnya masing-masing sama dengan p 1, p 2, p 3 dan p 4. Temukan probabilitas bahwa dalam sebulan tidak akan ada penghentian produksi karena kegagalan peralatan.

Mari kita bicara tentang masalah di mana frasa “setidaknya satu” muncul. Pasti Anda pernah menjumpai tugas seperti itu di rumah dan tes, dan sekarang Anda akan belajar cara menyelesaikannya. Pertama yang akan saya bicarakan aturan umum, lalu pertimbangkan kasus khusus dan tuliskan rumus dan contoh untuk masing-masing kasus.

Metodologi umum dan contohnya

Teknik umum untuk menyelesaikan permasalahan yang mengandung frasa “setidaknya satu” adalah sebagai berikut:

Kebutuhan untuk bertindak berdasarkan probabilitas muncul ketika probabilitas suatu peristiwa diketahui, dan probabilitas peristiwa lain yang terkait dengan peristiwa tersebut perlu dihitung.

Penjumlahan probabilitas digunakan ketika Anda perlu menghitung probabilitas kombinasi atau jumlah logis dari kejadian acak.

Jumlah peristiwa A Dan B menunjukkan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu kejadian terjadi. Artinya A + B– suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika peristiwa itu terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau secara bersamaan A Dan B.

Jika peristiwa A Dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, maka probabilitas terjadinya salah satu kejadian tersebut sebagai akibat dari satu percobaan dihitung dengan menggunakan penjumlahan probabilitas.

Teorema penjumlahan probabilitas. Kemungkinan terjadinya salah satu dari dua hal saling eksklusif acara bersama, sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian berikut:

Misalnya, saat berburu, dua tembakan dilepaskan. Peristiwa A– memukul bebek dengan tembakan pertama, acara DI DALAM– pukulan dari tembakan kedua, event ( A+ DI DALAM) – pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi, jika dua peristiwa A Dan DI DALAM – kejadian yang tidak kompatibel, Itu A+ DI DALAM– terjadinya setidaknya satu atau dua peristiwa ini.

Contoh 1. Ada 30 bola dalam sebuah kotak ukuran yang sama: 10 merah, 5 biru dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat.

Larutan. Mari kita asumsikan peristiwa itu A- “bola merah diambil”, dan acaranya DI DALAM- "Bola biru telah diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Mari kita cari peluang kejadiannya A:

dan acara DI DALAM:

Acara A Dan DI DALAM– saling tidak cocok, karena jika diambil satu bola, maka tidak mungkin mengambil bola yang berbeda warna. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas:

Teorema penjumlahan probabilitas untuk beberapa kejadian yang tidak kompatibel. Jika suatu kejadian merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah probabilitasnya sama dengan 1:

Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1:

Kejadian yang berlawanan membentuk himpunan kejadian lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian lengkap adalah 1.

Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya ditunjukkan dengan huruf kecil P Dan Q. Secara khusus,

apa yang berikut ini rumus berikut kemungkinan kejadian yang berlawanan:

Contoh 2. Target dalam jarak tembak dibagi menjadi 3 zona. Peluang penembak tertentu akan menembak sasaran di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua – 0,23, di zona ketiga – 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran.

Solusi: Tentukan peluang penembak mengenai sasaran:

Mari kita cari peluang penembaknya meleset dari sasaran:

Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".

Penambahan peluang kejadian yang saling simultan

Dua peristiwa acak disebut gabungan jika terjadinya suatu peristiwa tidak mengecualikan terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya saat melempar dadu peristiwa A Angka 4 dianggap sebagai peluncuran dan acara DI DALAM- kehilangan bilangan genap. Karena 4 bilangan genap, kedua kejadian ini kompatibel. Dalam prakteknya, terdapat permasalahan dalam menghitung peluang terjadinya salah satu kejadian yang saling simultan.

Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan. Peluang terjadinya salah satu kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut, yang kemudian dikurangi peluangnya. serangan umum kedua kejadian tersebut, yaitu hasil kali probabilitas. Rumus peluang kejadian gabungan berbentuk sebagai berikut:

Sejak peristiwa A Dan DI DALAM kompatibel, acara A+ DI DALAM terjadi jika salah satu dari ketiganya terjadi peristiwa yang mungkin terjadi: atau AB. Berdasarkan teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel, kita menghitung sebagai berikut:

Peristiwa A akan terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Akan tetapi, peluang terjadinya suatu kejadian dari beberapa kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua kejadian tersebut:

Juga:

Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kita memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan:

Saat menggunakan rumus (8), kejadian harus diperhitungkan A Dan DI DALAM Mungkin:

• saling mandiri;
• saling bergantung.

Rumus peluang kejadian yang saling bebas:

Rumus peluang kejadian saling bergantung:

Jika peristiwa A Dan DI DALAM tidak konsisten, maka kebetulan keduanya adalah hal yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah:

Contoh 3. Dalam balap mobil, saat Anda mengendarai mobil pertama, Anda memiliki peluang menang lebih besar, dan saat Anda mengendarai mobil kedua. Menemukan:

• kemungkinan kedua mobil menang;
• kemungkinan paling sedikit satu mobil akan menang;

1) Peluang menangnya mobil pertama tidak bergantung pada hasil mobil kedua, begitu pula kejadiannya A(mobil pertama menang) dan DI DALAM(mobil kedua akan menang) – acara independen. Mari kita cari peluang kedua mobil menang:

2) Tentukan peluang salah satu dari dua mobil tersebut menang:

Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".

Selesaikan sendiri soal penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Dua buah uang logam dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Temukan probabilitas suatu peristiwa C = A + B .

Mengalikan Probabilitas

Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas suatu produk logis dari suatu kejadian harus dihitung.

Pada saat yang sama peristiwa acak harus mandiri. Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Peluang terjadinya dua kejadian yang saling bebas secara bersamaan A Dan DI DALAM sama dengan produk probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus:

Contoh 5. Koin tersebut dilempar tiga kali berturut-turut. Tentukan peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali.

Larutan. Peluang munculnya lambang negara pada pelemparan uang logam pertama, kedua, dan ketiga. Mari kita cari peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali:

Selesaikan sendiri soal perkalian probabilitas, lalu lihat solusinya

Contoh 6. Ada sekotak sembilan bola tenis baru. Untuk bermain, tiga bola diambil, dan setelah pertandingan dimasukkan kembali. Saat memilih bola, bola yang dimainkan tidak dibedakan dengan bola yang belum dimainkan. Berapa probabilitas setelahnya tiga pertandingan Apakah masih ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7. 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak satu demi satu dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf tersebut membentuk kata "akhir".

Contoh 8. Dari setumpuk kartu yang penuh (52 lembar), dikeluarkan empat kartu sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang berbeda.

Contoh 9. Tugasnya sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu setelah dikeluarkan dikembalikan ke dek.

Masalah yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa kejadian, dapat ditemukan di halaman "Berbagai masalah yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".

Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian yang saling bebas dapat dihitung dengan mengurangkan 1 hasil kali peluang kejadian yang berlawanan, yaitu dengan menggunakan rumus:

Contoh 10. Kargo dikirimkan melalui tiga moda transportasi: angkutan sungai, kereta api, dan jalan raya. Kemungkinan kargo akan dikirimkan transportasi sungai, adalah 0,82, dengan kereta api 0,87, melalui angkutan bermotor 0,90. Temukan probabilitas bahwa kargo akan dikirimkan oleh setidaknya satu dari tiga jenis mengangkut.

Jelas bahwa setiap peristiwa mempunyai tingkat kemungkinan terjadinya (implementasinya) yang berbeda-beda. Untuk membandingkan secara kuantitatif peristiwa-peristiwa yang satu dengan yang lain menurut tingkat kemungkinannya, tentu saja perlu dikaitkan dengan setiap peristiwa. nomor tertentu, yang lebih besar, semakin besar kemungkinan kejadiannya. Angka ini disebut peluang suatu kejadian.

Kemungkinan kejadian– adalah ukuran derajat numerik kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa ini.

Perhatikan eksperimen stokastik dan kejadian acak A yang diamati dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi percobaan ini sebanyak n kali dan misalkan m(A) adalah banyaknya percobaan yang terjadi kejadian A.

Hubungan (1.1)

ditelepon frekuensi relatif kejadian A pada rangkaian percobaan yang dilakukan.

Sangat mudah untuk memverifikasi validitas properti:

jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Frekuensi relatif ditentukan hanya setelah serangkaian percobaan dan, secara umum, dapat bervariasi dari seri ke seri. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi relatifnya mendekati angka tertentu. Fakta stabilitas frekuensi relatif ini telah berulang kali diverifikasi dan dapat dianggap ditetapkan secara eksperimental.

Contoh 1.19.. Jika Anda melempar satu koin, tidak ada yang bisa memprediksi sisi mana koin itu akan mendarat. Tetapi jika Anda melempar dua ton koin, maka semua orang akan mengatakan bahwa sekitar satu ton akan jatuh bersama lambang, yaitu frekuensi relatif jatuhnya lambang adalah sekitar 0,5.

Jika, dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif kejadian ν(A) cenderung ke bilangan tertentu yang tetap, maka dikatakan bahwa peristiwa A stabil secara statistik, dan bilangan ini disebut peluang kejadian A.

Kemungkinan kejadian tersebut A suatu bilangan tetap P(A) disebut, yang frekuensi relatifnya ν(A) dari kejadian ini cenderung seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan, yaitu,

Definisi ini disebut definisi statistik probabilitas .

Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruangnya peristiwa dasar terdiri dari himpunan kejadian dasar yang berhingga atau tak terhingga (tetapi dapat dihitung) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita asumsikan bahwa setiap peristiwa dasar ω i diberi nomor tertentu - р i , yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa dasar tertentu dan memuaskan properti berikut:

Nomor p i ini disebut probabilitas suatu kejadian dasarωi.

Misalkan A adalah kejadian acak yang diamati dalam percobaan ini, dan misalkan A berkorespondensi dengan himpunan tertentu

Dalam pengaturan ini kemungkinan suatu peristiwa A sebutkan jumlah peluang kejadian-kejadian dasar yang mendukung A(termasuk dalam set A yang sesuai):

(1.4)

Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, yaitu:

Dan jika AB = (A dan B tidak kompatibel),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Memang, menurut (1.4)

Dalam hubungan terakhir kita mengambil keuntungan dari kenyataan bahwa tidak ada satu peristiwa dasar pun yang dapat mendukung dua peristiwa yang tidak kompatibel pada waktu yang sama.

Kami secara khusus mencatat bahwa teori probabilitas tidak menunjukkan metode untuk menentukan pi; metode tersebut harus dicari untuk alasan praktis atau diperoleh dari eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, pertimbangkan skema klasik teori probabilitas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang kejadian elementer yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga (n). Mari kita asumsikan juga bahwa semua kejadian elementer ini sama-sama mungkin terjadi, yaitu probabilitas kejadian elementer sama dengan p(ω i)=p i =p. Oleh karena itu

Contoh 1.20. Saat melempar koin simetris, kemungkinan mendapatkan kepala dan ekor sama, probabilitasnya sama dengan 0,5.

Contoh 1.21. Pada pelemparan sebuah dadu simetris, semua muka mempunyai kemungkinan yang sama, peluangnya sama dengan 1/6.

Sekarang misalkan kejadian A diunggulkan oleh m kejadian dasar, biasa disebut demikian hasil yang menguntungkan bagi peristiwa A. Kemudian

Diterima definisi klasik tentang probabilitas: peluang P(A) kejadian A sama dengan rasio banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A dengan jumlah total hasil

Contoh 1.22. Guci tersebut berisi m bola putih dan n bola hitam. Berapa probabilitas untuk mengeluarkannya? bola putih?

Larutan. Banyaknya kejadian dasar adalah m+n. Semua kemungkinannya sama. Peristiwa yang menguntungkan A dimana m. Karena itu, .

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

Properti 1. Kemungkinan acara yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil dasar dari tes tersebut akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini t=p, karena itu,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Properti 2. Peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini T= 0, oleh karena itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Properti 3.Ada kemungkinan terjadinya kejadian acak angka positif, diapit antara nol dan satu.

Memang benar, kejadian acak hanya disukai oleh sebagian orang saja jumlah total hasil tes dasar. Artinya, 0≤m≤n, yang berarti 0≤m/n≤1, oleh karena itu, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan definisi probabilitas (1.5) dan frekuensi relatif (1.1), kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian untuk dilakukan pada kenyataannya; definisi frekuensi relatif mengasumsikan hal itu tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi relatif - setelah percobaan.

Namun, menghitung probabilitas memerlukan adanya informasi awal tentang jumlah atau probabilitas yang menguntungkan acara ini hasil dasar. Dengan tidak adanya informasi awal tersebut, data empiris digunakan untuk menentukan probabilitas, yaitu frekuensi relatif kejadian ditentukan berdasarkan hasil eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Departemen kontrol teknis ditemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif kemunculan suku cadang non-standar r(A)= 3/80.

Contoh 1.24. Sesuai dengan tujuannya, diproduksi 24 ditembak, dan 19 pukulan dicatat. Tingkat pencapaian target relatif. r(A)=19/24.

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup banyak, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah apa yang ada di dalamnya berbagai pengalaman frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata ini angka konstan dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas.

Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih detail dan tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun menurut bulan, dimulai dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuensi relatifnya berfluktuasi di sekitar angka 0,481 yang dapat diambil sebagai nilai perkiraan kemungkinan mempunyai anak perempuan.

Perhatikan bahwa data statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.

Contoh 1.26. Eksperimen pelemparan koin dilakukan berkali-kali, di mana jumlah kemunculan “lambang” dihitung. Hasil beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.