Alasan terjadinya redaman adalah bahwa dalam sistem osilasi apa pun, selain gaya pemulih, selalu ada berbagai jenis, hambatan udara

dll., yang memperlambat gerakan. Dengan setiap ayunan, sebagian dihabiskan untuk bekerja melawan gaya gesekan. Pada akhirnya, pekerjaan ini menghabiskan seluruh pasokan energi yang awalnya disuplai ke sistem osilasi.

Saat mempertimbangkan , kita berhadapan dengan osilasi alami yang ideal dan periodik. Dengan menggunakan model seperti itu untuk mendeskripsikan osilasi nyata, kami sengaja membiarkan ketidakakuratan dalam deskripsi. Namun penyederhanaan serupa cocok karena dalam banyak sistem osilasi, redaman osilasi yang disebabkan oleh gesekan sangat kecil: sistem berhasil membuat banyak osilasi sebelum berkurang secara nyata.

Grafik osilasi teredam

Dengan adanya redaman, osilasi alami (Gbr. 1) tidak lagi harmonis. Selain itu, osilasi teredam tidak lagi menjadi proses periodik - gesekan tidak hanya mempengaruhi amplitudo osilasi (yaitu menyebabkan redaman), tetapi juga durasi ayunan. Ketika gesekan meningkat, waktu yang dibutuhkan sistem untuk menyelesaikan satu osilasi penuh juga meningkat. Grafik osilasi teredam ditunjukkan pada Gambar. 2.

Gambar.1. Jadwal bebas getaran harmonis

Gambar.2. Grafik osilasi teredam

Ciri khas sistem osilasi adalah bahwa sedikit gesekan mempengaruhi periode osilasi pada tingkat yang jauh lebih kecil daripada amplitudo. Keadaan ini memainkan peran besar dalam peningkatan jam tangan. Jam pertama dibuat oleh fisikawan dan matematikawan Belanda Christiaan Huygens pada tahun 1673. Tahun ini dapat dianggap sebagai tanggal lahirnya mekanisme jam modern. Pergerakan jam dengan pendulum sedikit sensitif terhadap perubahan akibat gesekan, yaitu kasus umum bergantung pada banyak faktor, sedangkan kecepatan jam tanpa pendulum sebelumnya sangat bergantung pada gesekan.

Dalam praktiknya, terdapat kebutuhan untuk mengurangi dan meningkatkan redaman osilasi. Misalnya, saat merancang mesin jam, mereka berupaya mengurangi redaman osilasi penyeimbang jam tangan. Untuk melakukan ini, sumbu penyeimbang dilengkapi dengan ujung tajam, yang bertumpu pada bantalan berbentuk kerucut yang dipoles dengan baik yang terbuat dari batu keras (batu akik atau rubi). Sebaliknya, pada banyak alat ukur, sangat diinginkan agar bagian alat yang dapat digerakkan dipasang selama proses pengukuran dengan cepat, namun tetap membuat jumlah besar keraguan. Untuk meningkatkan redaman dalam hal ini, berbagai peredam digunakan - perangkat yang meningkatkan gesekan dan, secara umum, kehilangan energi.

Semua sistem osilasi nyata bersifat disipatif. Energi getaran mekanis dari sistem semacam itu secara bertahap dihabiskan untuk bekerja melawan gaya gesekan, oleh karena itu getaran bebas selalu padam - amplitudonya berkurang secara bertahap. Dalam banyak kasus, ketika tidak ada gesekan kering, sebagai perkiraan pertama kita dapat berasumsi bahwa pada kecepatan gerak rendah, gaya-gaya yang menyebabkan redaman getaran mekanis, sebanding dengan kecepatan. Kekuatan-kekuatan ini, terlepas dari asal usulnya, disebut kekuatan perlawanan.

Mari kita tulis ulang persamaan ini sebagai berikut:

dan menunjukkan:

di mana mewakili frekuensi terjadinya osilasi bebas sistem tanpa adanya hambatan lingkungan, yaitu. pada r = 0. Frekuensi ini disebut frekuensi alami osilasi sistem; β adalah koefisien atenuasi. Kemudian

(7.19)

Kita akan mencari solusi persamaan (7.19) dalam bentuk

dimana U adalah suatu fungsi dari t.

Mari kita bedakan ekspresi ini dua kali terhadap waktu t dan, dengan mensubstitusikan nilai turunan pertama dan kedua ke dalam persamaan (7.19), kita memperoleh

Penyelesaian persamaan ini sangat bergantung pada tanda koefisien di U. Mari kita perhatikan kasus ketika koefisien ini positif. Mari kita perkenalkan notasi tersebut. Dengan ω real, solusi persamaan ini, seperti yang kita ketahui, adalah fungsinya

Jadi, dalam kasus resistansi medium yang rendah, solusi persamaan (7.19) adalah fungsinya

(7.20)

Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar. 7.8. Garis putus-putus menunjukkan batas perpindahan titik osilasi. Ukuran disebut frekuensi osilasi siklik alami sistem disipatif. Osilasi teredam mewakili osilasi non-periodik, karena tidak pernah berulang, misalnya nilai maksimum perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Besaran tersebut biasanya disebut periode osilasi teredam, atau lebih tepatnya periode kondisional osilasi teredam,

Logaritma natural Perbandingan amplitudo perpindahan yang mengikuti satu sama lain melalui selang waktu yang sama dengan periode T disebut penurunan redaman logaritmik.

Mari kita nyatakan dengan τ periode waktu di mana amplitudo osilasi berkurang sebanyak e kali. Kemudian

Di mana

Oleh karena itu, koefisien atenuasinya adalah kuantitas fisik, berbanding terbalik dengan periode waktu τ, di mana amplitudonya berkurang sebesar faktor e. Besaran τ disebut waktu relaksasi.

Misalkan N adalah banyaknya osilasi yang setelahnya amplitudonya berkurang sebesar faktor e, Maka

Akibatnya, penurunan redaman logaritmik δ adalah besaran fisis, kebalikan dari suatu bilangan osilasi N, setelah itu amplitudo berkurang e kali

Hingga saat ini, kita telah mempertimbangkan osilasi harmonik yang timbul, sebagaimana telah disebutkan, dengan adanya gaya tunggal dalam sistem - gaya elastis atau gaya kuasi-elastis. Di alam sekitar kita, sebenarnya fluktuasi seperti itu tidak ada. DI DALAM sistem nyata Selain gaya elastis atau kuasi-elastis, selalu ada gaya lain yang sifat kerjanya berbeda dari gaya elastis - ini adalah gaya yang timbul selama interaksi benda-benda dalam sistem dengan lingkungan - kekuatan disipatif. Hasil akhirnya Tindakan mereka adalah mengubah energi mekanik benda yang bergerak menjadi panas. Dengan kata lain terjadi hamburan atau menghilangnya energi mekanik. Proses disipasi energi tidak murni mekanis dan untuk mendeskripsikannya memerlukan penggunaan pengetahuan dari cabang fisika lain. Dalam kerangka mekanika, kita dapat menggambarkan proses ini dengan memperkenalkan gaya gesekan atau hambatan. Akibat disipasi energi, amplitudo osilasi berkurang. Dalam hal ini, biasanya dikatakan bahwa getaran suatu benda atau sistem benda meredam. Osilasi teredam tidak lagi harmonis, karena amplitudo dan frekuensinya berubah seiring waktu.

Osilasi yang terjadi karena disipasi energi dalam sistem osilasi dengan amplitudo yang terus menurun disebut kabur. Jika suatu sistem osilasi, yang dipindahkan dari keadaan setimbang, hanya berosilasi karena pengaruhnya kekuatan internal, tanpa hambatan dan pemborosan (dissipation) energi, maka osilasi yang terjadi di dalamnya disebut bebas(atau sendiri) osilasi yang tidak teredam. Secara nyata sistem mekanis dengan disipasi energi, osilasi bebas selalu teredam. Frekuensinya co berbeda dengan frekuensi co 0 osilasi sistem tanpa redaman (semakin besar pengaruh gaya hambatan, semakin besar pengaruh gaya hambatan.

Mari kita perhatikan osilasi teredam dengan menggunakan sebuah contoh pendulum pegas. Mari kita batasi diri kita untuk mempertimbangkan fluktuasi kecil. Pada kecepatan osilasi rendah, gaya hambatan dapat diambil sebanding dengan besarnya tingkat perpindahan osilasi

Di mana v = 4 - kecepatan osilasi; G - faktor proporsionalitas yang disebut koefisien drag. Tanda minus pada persamaan (2,79) untuk gaya hambatan disebabkan oleh gaya tersebut diarahkan ke arah kecepatan berlawanan gerakan benda yang berosilasi.

Mengetahui persamaan gaya kuasi elastis i^p = - dan gaya hambatan Fc= memperhitungkan tindakan bersama gaya-gaya ini, kita dapat menuliskan persamaan gerak dinamis suatu benda yang melakukan osilasi teredam

Dalam persamaan ini, kita ganti koefisien (3 sesuai rumus (2.49) dengan Anda], setelah itu kita membagi persamaan terakhir dan mendapatkan

Kita akan mencari solusi persamaan (2.81) sebagai fungsi waktu dari bentuk

Di sini masih belum pasti konstan kamu. Untuk mempermudah, tahap awal dalam pertimbangan kami akan diasumsikan sama dengan nol, yaitu. kita dapat “menghidupkan” stopwatch ketika perpindahan osilasi melewati posisi setimbang (koordinat nol).

Kita dapat menentukan nilai y dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan diferensial osilasi teredam (2,81) dari solusi yang diusulkan (2,82), serta kecepatan yang diperoleh darinya

dan akselerasi

Mengganti (2.83) dan (2.84) bersama dengan (2.82) menjadi (2.81) menghasilkan Setelah dikurangi dengan /1 () e": " dan dikalikan dengan “-1” kita peroleh Menyelesaikan ini persamaan kuadrat relatif terhadap y, kita punya

Mengganti y ke (2.82), kita menemukan bagaimana perpindahan bergantung pada waktu selama osilasi teredam. Mari kita perkenalkan notasinya

dimana simbol c menunjukkan frekuensi sudut osilasi teredam dan coo menunjukkan frekuensi sudut getaran bebas tanpa redaman. Terlihat bahwa untuk S > 0 frekuensi osilasi teredam selalu lebih kecil dari frekuensinya

Dengan demikian, dan, oleh karena itu, perpindahan selama osilasi teredam dapat dinyatakan sebagai

Pilihan tanda “+” atau “-” pada eksponen kedua bersifat arbitrer dan berhubungan dengan pergeseran fasa osilasi sebesar l. Kita akan menuliskan osilasi teredam dengan mempertimbangkan pilihan tanda “+”, maka ekspresi (2.90) akan menjadi

Ini adalah ketergantungan perpindahan yang diinginkan terhadap waktu. Itu juga dapat ditulis ulang bentuk trigonometri(terbatas pada bagian nyata)

Ketergantungan amplitudo yang diinginkan Pada) dari waktu ke waktu dapat direpresentasikan sebagai

Di mana A(,- amplitudo pada waktu t = 0.

Konstanta 8, sama dengan (2,88) dengan rasio koefisien resistansi G untuk menggandakan massa T benda yang berosilasi disebut koefisien peredam getaran. Mari kita cari tahu arti fisik koefisien ini. Mari kita cari waktu t selama amplitudo osilasi teredam akan berkurang e (basis logaritma natural e = 2,72) kali. Untuk melakukan ini, mari kita taruh

Dengan menggunakan relasi (2.93), kita peroleh: atau

dari mana berikut ini

Karena itu, koefisien atenuasi 8 adalah kebalikan dari waktu t, setelah itu amplitudo osilasi teredam akan berkurang sebanyak e kali. Besaran m yang berdimensi waktu disebut konstanta waktu dari proses osilasi teredam.

Selain koefisien 8, yang disebut penurunan redaman logaritmik X, sama dengan logaritma natural perbandingan dua amplitudo getaran yang dipisahkan satu sama lain dalam jangka waktu tertentu, sama dengan periodenya T

Ekspresi di bawah logaritma, ditunjukkan dengan simbol D, disebut dengan sederhana penurunan fluktuasi (penurunan redaman).

Menggunakan ekspresi amplitudo (2,93), kita memperoleh:

Mari kita cari tahu arti fisiknya penurunan logaritmik redaman. Biarkan amplitudo osilasi berkurang e kali setelah N osilasi. Waktu t di mana tubuh akan selesai N osilasi dapat dinyatakan melalui periode t = N.T. Mengganti nilai m ini ke (2,97), kita peroleh 8NT= 1. Sejak 67" = A., maka NX = 1, atau

Karena itu, penurunan redaman logaritmik adalah kebalikan dari jumlah osilasi yang selama itu amplitudo osilasi teredam akan berkurang sebanyak e kali.

Dalam beberapa kasus, ketergantungan amplitudo osilasi terhadap waktu Pada) Lebih mudah untuk menyatakannya dalam penurunan redaman logaritmik A. Eksponen 6 1 Ekspresi (2.93) dapat ditulis menurut (2.99) sebagai berikut:

Kemudian ekspresi (2.93) mengambil bentuk

dimana kuantitasnya, sama dengan nomornya N osilasi yang dilakukan oleh sistem selama waktu t.

Tabel 2.1 menunjukkan nilai perkiraan (dalam urutan besarnya) penurunan redaman logaritmik dari beberapa sistem osilasi.

Tabel 2.1

Nilai penurunan atenuasi beberapa sistem osilasi

Sekarang mari kita menganalisis pengaruh gaya resistensi terhadap frekuensi osilasi. Ketika sebuah benda bergerak dari posisi setimbang dan kembali ke posisi setimbang, gaya hambatan akan bekerja padanya sepanjang waktu, menyebabkan benda tersebut melambat.

Artinya, bagian lintasan yang sama pada osilasi teredam akan ditutupi oleh benda dalam selang waktu yang lebih lama dibandingkan pada osilasi bebas. Periode osilasi teredam T, oleh karena itu akan ada periode yang lebih lama getaran bebasnya sendiri. Dari ekspresi (2.89) jelas bahwa perbedaan frekuensi menjadi lebih besar koefisien yang lebih tinggi redaman b. Untuk b besar (b > coo), osilasi teredam berubah menjadi proses aperiodik (non-periodik), di mana, bergantung pada kondisi awal, sistem segera kembali ke posisi setimbang tanpa melewatinya, atau sebelum berhenti, sistem melewati posisi setimbang satu kali (hanya melakukan satu osilasi) - lihat Gambar. 2.16.

Beras. 2.16. Osilasi teredam:

Pada Gambar 2.16, A menunjukkan grafik ketergantungan %(T) Dan Pada)(pada 5 > co 0 dan fase awal coo, osilasi sama sekali tidak mungkin terjadi (kasus ini sesuai dengan nilai imajiner frekuensi yang ditentukan dari persamaan (2.89). Sistem menjadi redaman, dan proses osilasi- aperiodik (Gbr. 2.16, b).

• Notasi exp(x) setara dengan e*. Kami akan menggunakan kedua bentuk tersebut.
• Melihat osilasi secara umum makna penuh fase osilasi diatur kondisi awal, yaitu. besarnya perpindahan 4(0 dan kecepatan 4(0) pada momen waktu awal (t = 0) dan termasuk suku

Dalam sistem osilasi nyata, selain gaya kuasi-elastis, terdapat gaya resistensi medium. Kehadiran gaya gesekan menyebabkan disipasi energi dan penurunan amplitudo getaran. Dengan memperlambat gerak, gaya gesekan menambah periode, yaitu. mengurangi frekuensi osilasi. Getaran seperti itu tidak akan harmonis.

Osilasi dengan amplitudo yang terus menurun seiring waktu karena disipasi energi disebut kabur . Pada kecepatan yang cukup rendah, gaya gesekan sebanding dengan kecepatan benda dan berlawanan dengan gerak

di mana r adalah koefisien gesekan, bergantung pada sifat medium, bentuk dan ukuran benda yang bergerak. Persamaan diferensial osilasi teredam dengan adanya gaya gesekan akan berbentuk:

atau
(21)

Di mana
- koefisien atenuasi,

- frekuensi melingkar alami dari getaran bebas tanpa adanya gaya gesekan.

Solusi umum persamaan (21) dalam kasus redaman kecil (
) adalah:

Berbeda dengan harmonik (8) karena amplitudo osilasinya adalah:

(23)

adalah fungsi penurunan waktu dan frekuensi melingkar berhubungan dengan frekuensi natural dan koefisien atenuasi perbandingan:

. (24)

Periode osilasi teredam sama dengan:

. (25)

Ketergantungan perpindahan X pada osilasi teredam ditunjukkan pada Gambar 4.

C derajat penurunan amplitudo ditentukan oleh koefisien atenuasi .

Selama ini
amplitudo (23) berkurang e ≈ 2,72 kali. Sudah waktunya redaman alami disebut waktu relaksasi. Oleh karena itu, koefisien redaman adalah kebalikan dari waktu relaksasi:

.(26)

Laju penurunan amplitudo osilasi ditandai dengan penurunan redaman logaritmik. Misalkan A(t) dan A(t+T) adalah amplitudo dari dua osilasi berturut-turut yang berhubungan dengan momen dalam waktu yang berbeda satu periode. Maka hubungannya:

(27)

ditelepon penurunan redaman, yang menunjukkan berapa kali amplitudo osilasi berkurang dalam waktu yang sama dengan periode. Logaritma natural dari rasio ini adalah:

(28)

disebut penurunan redaman logaritmik. Di sini, N e adalah jumlah osilasi yang dilakukan selama amplitudo berkurang e kali, yaitu. selama waktu relaksasi.

Jadi, penurunan redaman logaritmik adalah kebalikan dari jumlah osilasi, setelah itu amplitudo osilasi berkurang beberapa kali e.

Laju penurunan energi sistem osilasi dicirikan oleh faktor kualitas Q. Faktor kualitas sistem osilasi - nilai yang sebanding dengan rasio energi total E(t) sistem osilasi terhadap energi (- E), hilang selama periode T:

(29)

Energi total sistem osilasi pada waktu tertentu dan untuk setiap nilai X berbentuk:

(30)

Karena energi sebanding dengan kuadrat amplitudo, energi osilasi teredam berkurang sebanding dengan besarnya
, Anda dapat menulis:

. (31)

Maka menurut definisinya, persamaan faktor kualitas sistem osilasi akan berbentuk:

Di sini diperhitungkan bahwa untuk redaman kecil (1): 1 -2   ​​​​2.

Oleh karena itu, faktor kualitas sebanding dengan jumlah osilasi N e yang dilakukan oleh sistem selama waktu relaksasi.

Faktor kualitas sistem osilasi bisa sangat bervariasi, misalnya faktor kualitas bandul fisis adalah Q~ 10 2, dan faktor kualitas atom yang juga merupakan sistem osilasi mencapai Q~ 10 8.

Kesimpulannya, kita perhatikan bahwa dengan koefisien redaman β = ω 0, periode menjadi tak terhingga T = ∞ (redaman kritis). Dengan peningkatan lebih lanjut, periode T menjadi imajiner, dan redaman gerak terjadi tanpa osilasi, seperti yang mereka katakan, secara aperiodik. Kasus gerak ini digambarkan pada Gambar 5. Redaman kritis (menenangkan) terjadi dalam waktu yang minimal dan penting dalam alat ukur, misalnya pada galvanometer balistik .

DI DALAM DIPAKSA OSILASI DAN RESONANSI

Jika suatu benda bermassa m ditindaklanjuti kekuatan elastis F y = -kX, gaya gesek
dan gaya periodik eksternal
, lalu ia melakukan osilasi paksa. Dalam hal ini persamaan diferensial gerak berbentuk:

Di mana
,
- koefisien atenuasi,
- frekuensi alami gratis osilasi terus menerus benda, F 0 – amplitudo, ω – frekuensi gaya periodik.

Pada saat awal, kerja gaya luar melebihi energi yang dikeluarkan untuk gesekan (Gbr. 6). Energi dan amplitudo getaran benda akan meningkat hingga semua energi yang diberikan oleh gaya luar seluruhnya dihabiskan untuk mengatasi gesekan, yang sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu, kesetimbangan terbentuk di mana jumlah kinetik dan energi potensial ternyata konstan. Kondisi ini mencirikan keadaan stasioner sistem.

Dalam keadaan ini, gerak benda akan harmonis dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi eksitasi eksternal, tetapi karena inersia benda, osilasinya akan bergeser satu fase terhadap nilai sesaat periodik eksternal. memaksa:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Berbeda dengan osilasi bebas, amplitudo A dan fase  osilasi paksa tidak bergantung pada kondisi awal gerak, tetapi hanya ditentukan oleh sifat-sifat sistem osilasi, amplitudo dan frekuensi gaya penggerak:

, (35)

. (36)

Terlihat bahwa amplitudo dan pergeseran fasa bergantung pada frekuensi gaya penggerak (Gbr. 7, 8).

Ciri khas osilasi paksa adalah adanya resonansi. Gejala peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami osilasi bebas tak teredam pada benda ω 0 disebut resonansi mekanis . Amplitudo osilasi benda pada frekuensi resonansi
mencapai nilai maksimumnya:

(37)

Mengenai kurva resonansi (lihat Gambar 7), kami membuat komentar berikut. Jika ω→ 0, maka semua kurva (lihat juga (35)) mempunyai nilai batas bukan nol yang sama
, yang disebut penyimpangan statistik. Jika ω→ ∞, maka semua kurva cenderung asimtotik ke nol.

Dalam kondisi redaman rendah (β 2 ‹‹ω 0 2), amplitudo resonansi (lihat (37))

(37a)

Dalam kondisi ini, kami mengambil rasio perpindahan resonansi terhadap deviasi statis:

dari sini jelas bahwa peningkatan relatif amplitudo osilasi pada resonansi ditentukan oleh faktor kualitas sistem osilasi. Di sini, faktor kualitas pada dasarnya adalah faktor perolehan respons
sistem dan dengan redaman rendah dapat mencapai nilai yang besar.

Keadaan ini menentukan betapa pentingnya fenomena resonansi dalam fisika dan teknologi. Ini digunakan jika mereka ingin memperkuat getaran, misalnya, dalam akustik - untuk memperkuat suara alat musik, dalam teknik radio - untuk mengisolasi sinyal yang diinginkan dari banyak sinyal lain yang berbeda frekuensinya. Jika resonansi dapat menyebabkan peningkatan osilasi yang tidak diinginkan, gunakan sistem dengan faktor kualitas rendah.

OSILASI TERKAIT

Sumber gaya periodik eksternal dapat berupa sistem osilasi kedua, yang terhubung secara elastis dengan sistem osilasi pertama. Kedua sistem osilasi dapat bekerja satu sama lain. Jadi, misalnya, kasus dua pendulum yang dihubungkan (Gbr. 9).

Sistem dapat melakukan osilasi dalam fase (Gbr. 9b) dan anti-fase (Gbr. 9c). Osilasi seperti itu disebut tipe normal atau mode osilasi normal dan dicirikan oleh frekuensi normalnya sendiri. Pada osilasi sefasa, perpindahan bandul setiap saat X 1 = X 2, dan frekuensi ω 1 sama persis dengan frekuensi bandul tunggal
. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa pegas cahaya berada dalam keadaan bebas dan tidak berpengaruh apapun terhadap pergerakan. Dengan osilasi antifase setiap saat - X 1 = X 2. Frekuensi osilasi tersebut lebih besar dan sama
, karena pegas yang mempunyai kekakuan k dan melaksanakan penyambungan selalu dalam keadaan memanjang atau terkompresi.

L
negara bagian kita mana pun sistem terhubung, termasuk perpindahan awal X (Gbr. 9a), dapat direpresentasikan sebagai superposisi dari dua mode normal:

Jika Anda menggerakkan sistem dari keadaan awal X 1 = 0,
, X 2 = 2A,
,

maka perpindahan bandul akan dijelaskan dengan persamaan:

Pada Gambar. Gambar 10 menunjukkan perubahan perpindahan masing-masing pendulum terhadap waktu.

Frekuensi osilasi pendulum sama dengan frekuensi rata-rata dua mode normal:

, (39)

dan amplitudonya berubah menurut hukum sinus atau kerucut dengan frekuensi yang lebih rendah sama dengan setengah perbedaan frekuensi mode normal:

. (40)

Perubahan amplitudo yang lambat dengan frekuensi sama dengan setengah perbedaan frekuensi mode normal disebut “ ketukan ” dua osilasi dengan frekuensi yang hampir sama. Frekuensi “ketukan” sama dengan perbedaan frekuensi ω 1 – ω 2 (dan bukan setengah dari perbedaan ini), karena amplitudo maksimum 2A dicapai dua kali selama periode yang sesuai dengan frekuensi tersebut

Oleh karena itu periode ketukannya ternyata sama dengan:

(41)

Saat memukul, terjadi pertukaran energi antar pendulum. Namun, pertukaran energi yang lengkap hanya mungkin terjadi jika kedua massanya sama dan rasio (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) sama dengan bilangan bulat. Satu hal yang perlu diperhatikan poin penting: Meskipun masing-masing pendulum dapat bertukar energi, tidak ada pertukaran energi antara mode normal.

Kehadiran sistem osilasi yang berinteraksi satu sama lain dan mampu mentransfer energinya satu sama lain membentuk dasar gerak gelombang.

Suatu benda material yang berosilasi yang ditempatkan dalam medium elastis membawa serta menggerakkan partikel-partikel medium yang berdekatan dengannya ke dalam gerak osilasi. Karena adanya ikatan elastis antar partikel, getaran merambat dengan kecepatan yang khas dari medium tertentu ke seluruh medium.

Proses perambatan getaran pada medium elastis disebut melambai .

Ada dua jenis gelombang utama: memanjang dan melintang. Pada gelombang longitudinal partikel medium berosilasi sepanjang arah rambat gelombang, dan secara melintang– tegak lurus terhadap arah rambat gelombang. Perambatan gelombang transversal tidak mungkin terjadi pada setiap medium elastis. Gelombang elastis transversal hanya mungkin terjadi pada media di mana terjadi deformasi geser elastis. Misalnya, hanya gelombang elastis longitudinal (suara) yang merambat dalam gas dan cairan.

Letak geometri titik-titik dalam medium yang telah dicapai osilasi pada suatu titik waktu tertentu disebut gelombang depan . Muka gelombang memisahkan bagian ruang yang sudah terlibat di dalamnya proses gelombang, dari daerah yang belum terjadi osilasi. Tergantung pada bentuk depannya, gelombang dibagi menjadi bidang, bola, silinder, dll.

Persamaan gelombang bidang yang merambat tanpa rugi-rugi lingkungan yang homogen, memiliki bentuk:
, (42)

dimana ξ(X,t) adalah perpindahan partikel medium dengan koordinat X dari posisi setimbang pada waktu t, A adalah amplitudo,
- fase gelombang,
- frekuensi melingkar osilasi partikel medium, v - kecepatan rambat gelombang.

Panjang gelombang λ adalah jarak antar titik yang berosilasi dengan beda fasa 2π, dengan kata lain panjang gelombang adalah lintasan yang dilalui oleh sembarang fasa gelombang selama satu periode osilasi:

kecepatan fase, yaitu kecepatan propagasi fase ini:

/T (44)

Nomor gelombang – jumlah panjang gelombang yang sesuai dengan panjang 2π satuan:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Mengganti notasi ini ke (42), persamaan bidang yang merambat gelombang monokromatik dapat direpresentasikan sebagai:

(46)

Perhatikan bahwa persamaan gelombang (46) menunjukkan periodisitas ganda dalam koordinat dan waktu. Memang, fase-fase osilasi bertepatan ketika koordinat berubah sebesar λ dan ketika waktu berubah berdasarkan periode T. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menggambarkan gelombang secara grafis pada suatu bidang. Seringkali waktu t dicatat dan ketergantungan perpindahan pada koordinat X disajikan pada grafik, yaitu. distribusi sesaat perpindahan partikel medium sepanjang arah rambat gelombang (Gbr. 11). Beda fasa Δφ osilasi titik-titik dalam medium bergantung pada jarak ΔХ = Х 2 – Х 1 antara titik-titik ini:

(47)

Jika gelombang merambat berlawanan dengan arah X, maka persamaan gelombang mundur akan ditulis sebagai:

ξ (X,t) = АCos(ωt + kX). (48)

GELOMBANG BERDIRI adalah hasilnya tipe khusus interferensi gelombang. Mereka terbentuk oleh superposisi dua gelombang berjalan yang merambat satu sama lain dengan frekuensi dan amplitudo yang sama.

Persamaan dua gelombang pesawat, merambat sepanjang sumbu X dengan arah berlawanan, berbentuk:

ξ 1 =ASos(ωt – kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Menambahkan persamaan ini menggunakan rumus jumlah kosinus dan memperhitungkan k = 2π / λ, kita memperoleh persamaan gelombang berdiri:

. (50)

Pengganda Cos ωt menunjukkan bahwa pada titik-titik medium terjadi osilasi dengan frekuensi yang sama ω dengan amplitudo
, bergantung pada koordinat X titik yang bersangkutan. Pada titik-titik di lingkungan di mana:
, (51)

amplitudo osilasi mencapai nilai maksimum 2A. Poin-poin ini disebut antinode.

Dari ekspresi (51) Anda dapat menemukan koordinat antinode:
(52)

Pada titik dimana
(53) amplitudo osilasi menjadi nol. Poin-poin ini disebut node.

Koordinat simpul:
. (54)

R Jarak antara antinode tetangga dan node tetangga adalah sama dan sama dengan λ/2. Jarak antara sebuah node dengan antinode yang berdekatan adalah λ / 4. Saat melewati sebuah node, pengalinya
berubah tanda, sehingga fase osilasi pada sisi berlawanan dari simpul berbeda sebesar π, yaitu. titik-titik yang terletak pada sisi berlawanan dari simpul berosilasi dalam antifase. Titik-titik antara dua node yang berdekatan berosilasi dengan amplitudo berbeda, tetapi dengan fase yang sama.

Distribusi node dan antinode di gelombang berdiri tergantung pada kondisi yang terjadi pada antarmuka antara dua media tempat terjadinya refleksi. Jika gelombang dipantulkan dari medium yang lebih padat, maka fase osilasi di tempat gelombang dipantulkan berubah menjadi sebaliknya atau, seperti yang mereka katakan, separuh gelombang hilang. Oleh karena itu, akibat penambahan osilasi dalam arah yang berlawanan, perpindahan pada batas adalah nol, yaitu. terjadi simpul (Gbr. 12). Ketika gelombang dipantulkan dari batas medium yang kurang rapat, fase osilasi di tempat pemantulan tetap tidak berubah dan osilasi dengan fase yang sama bertambah pada batas - diperoleh antinode.

Pada gelombang berdiri tidak ada pergerakan fasa, tidak ada perambatan gelombang, tidak ada perpindahan energi, itulah sebabnya nama jenis gelombang ini dikaitkan.

INFORMASI UMUM

Osilasi gerakan atau proses yang dicirikan oleh pengulangan tertentu dari waktu ke waktu disebut. Osilasi disebut bebas, jika hal tersebut tercapai karena energi yang dikomunikasikan pada awalnya dan kemudian tidak ada pengaruh eksternal ke sistem osilasi. Jenis osilasi yang paling sederhana adalah osilasi harmonik - osilasi di mana besaran osilasi berubah seiring waktu menurut hukum sinus atau kosinus.

Persamaan diferensial osilasi harmonik berbentuk:

di mana adalah besaran osilasi dan frekuensi siklik.

adalah solusi persamaan ini. Ini amplitudonya, - fase awal.

Fase osilasi.

Amplitudo - nilai maksimum ukuran yang berfluktuasi.

Periode osilasi adalah periode waktu yang dilalui oleh gerakan benda yang berulang. Fase osilasi meningkat selama periode tersebut. . , - jumlah osilasi.

Frekuensi osilasi adalah jumlah osilasi lengkap yang dilakukan per satuan waktu. . . Diukur dalam Hertz (Hz).

Frekuensi siklik adalah jumlah osilasi yang dilakukan per detik. . Satuan pengukuran.

Fase osilasi adalah besaran di bawah tanda kosinus dan mencirikan keadaan sistem osilasi pada suatu waktu.

Fase awal - fase osilasi pada momen awal waktu. Fase dan fase awal diukur dalam radian ().

Osilasi teredam bebas- osilasi, yang amplitudonya menurun seiring waktu karena hilangnya energi oleh sistem osilasi nyata. Mekanisme paling sederhana untuk mengurangi energi getaran adalah konversinya menjadi panas akibat gesekan pada sistem osilasi mekanis, serta rugi-rugi ohmik dan radiasi energi elektromagnetik dalam sistem osilasi listrik.

- penurunan redaman logaritmik.

Besarnya Tidak adalah jumlah osilasi yang dilakukan selama amplitudo berkurang e sekali. Penurunan redaman logaritmik adalah nilai konstan untuk sistem osilasi tertentu.

Untuk mengkarakterisasi sistem osilasi, digunakan konsep faktor kualitas Q, yang untuk nilai kecil penurunan logaritmik sama dengan

.

Faktor kualitas sebanding dengan jumlah osilasi yang dilakukan sistem selama waktu relaksasi.

MENENTUKAN KOEFISIEN GESEKAN MENGGUNAKAN PENDULUM INTLIED

Pembuktian teoritis metode penentuan koefisien gesekan

Pendulum miring adalah bola yang digantung pada seutas benang panjang dan terletak pada bidang miring.

Jika bola dipindahkan dari posisi setimbangnya (sumbu OO 1) membentuk sudut a, kemudian dilepaskan, maka bandul akan berosilasi. Dalam hal ini, bola akan menggelinding sepanjang bidang miring mendekati posisi setimbang (Gbr. 1, a). Antara bola dan bidang miring gaya gesek gelinding akan bekerja. Akibatnya osilasi pendulum akan berangsur-angsur memudar, yaitu akan terjadi penurunan amplitudo osilasi seiring berjalannya waktu.

Dapat diasumsikan bahwa gaya gesek dan koefisien gesek gelinding dapat ditentukan dari besarnya redaman getaran.

Mari kita turunkan rumus yang menghubungkan penurunan amplitudo osilasi dengan koefisien gesekan menggelinding m. Ketika sebuah bola menggelinding sepanjang bidang, gaya gesekan melakukan kerja. Usaha ini mengurangi energi total bola. Energi total terdiri dari energi kinetik dan energi potensial. Pada posisi di mana pendulum dibelokkan secara maksimal dari posisi setimbang, kecepatannya, dan energi kinetiknya, adalah nol.

Titik-titik ini disebut titik balik. Di dalamnya, pendulum berhenti, berputar dan bergerak mundur. Pada saat berputar, energi bandul sama dengan energi potensial, oleh karena itu penurunan energi potensial bandul ketika bergerak dari satu titik balik ke titik balik lainnya sama dengan kerja gaya gesekan pada lintasan. antara titik balik.

Membiarkan A- titik balik (Gbr. 1, a). Pada posisi ini benang pendulum membentuk sudut a dengan sumbu OO 1. Jika tidak ada gesekan, maka setelah setengah periode bandul akan berada di titik N, dan sudut defleksinya sama dengan a. Namun karena adanya gesekan, bola tidak akan mencapai titik sedikit pun N dan berhenti di suatu titik DI DALAM.Inilah yang akan terjadi titik baru berbelok. Pada titik ini sudut benang Dengan sumbu OO 1 akan sama dengan . Selama setengah periode, sudut putaran pendulum berkurang sebesar . Dot DI DALAM terletak sedikit lebih rendah dari titik tersebut A, dan oleh karena itu energi potensial pendulum pada titik tersebut DI DALAM kurang dari pada saat itu A. Akibatnya pendulum kehilangan ketinggian ketika bergerak dari suatu titik A langsung ke intinya DI DALAM.

Mari kita cari hubungan antara hilangnya sudut dan hilangnya ketinggian. Untuk melakukan ini, kami memproyeksikan poin-poinnya A Dan B per sumbu OO 1 (lihat Gambar 1, a). Ini akan menjadi titik-titiknya A 1 dan B 1 masing-masing. Jelas sekali, panjang ruasnya A 1 DI DALAM 1

di mana panjang benangnya.

Sejak sumbu OO 1 dimiringkan membentuk sudut terhadap vertikal, proyeksi ruasnya aktif sumbu vertikal dan terjadi penurunan ketinggian (Gbr. 1, b):

Dalam hal ini, perubahan energi potensial bandul ketika bergerak dari suatu posisi A ke posisi DI DALAM sama dengan:

, (3)

Di mana M- massa bola;

G- percepatan jatuh bebas.

Mari kita hitung usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan.

Gaya gesekan ditentukan dengan rumus:

Jarak yang ditempuh bola selama setengah periode osilasi bandul adalah sama dengan panjangnya busur AB:

.

Usaha yang dilakukan oleh gaya gesek pada lintasan:

Tapi, oleh karena itu, dengan memperhitungkan persamaan (2), (3), (4) ternyata

. (6)

Ekspresi (6) disederhanakan secara signifikan dengan mempertimbangkan fakta bahwa sudutnya sangat kecil (sekitar 10 -2 radian). Jadi, . Tetapi . Itu sebabnya.

Jadi, rumus (6) berbentuk:

,

. (7)

Dari rumus (7) jelas bahwa hilangnya sudut selama setengah periode ditentukan oleh koefisien gesekan m dan sudut a. Namun, kita dapat menemukan kondisi di mana a tidak bergantung pada sudut. Mari kita perhatikan bahwa koefisien gesekan guling kecil (sekitar 10 -3). Jika kita memperhitungkan amplitudo osilasi pendulum a yang cukup besar, sedemikian rupa sehingga , maka suku pada penyebut rumus (7) dapat diabaikan dan kemudian:

.

Sebaliknya, misalkan sudut a cukup kecil sehingga kita dapat mengasumsikan bahwa . Maka hilangnya sudut selama setengah periode osilasi akan ditentukan dengan rumus:

. (8)

Rumus (8) berlaku jika:

. (9)

Karena m berorde 10 -2, pertidaksamaan (9) dipenuhi oleh sudut a berorde 10 -2 -10 -1 radian.

Jadi, dalam satu kali osilasi penuh, sudut yang hilang adalah:

,

dan untuk N fluktuasi - .

Rumus (10) memberi cara yang nyaman penentuan koefisien gesekan guling. Hal ini diperlukan untuk mengukur penurunan sudut Da N untuk 10-15 osilasi, lalu hitung m menggunakan rumus (10).

Pada rumus (10), nilai Da dinyatakan dalam radian. Untuk menggunakan nilai Da dalam derajat, rumus (10) harus diubah:

. (11)

Mari kita cari tahu arti fisis dari koefisien gesekan guling. Mari kita lihat dulu lebih lanjut tugas umum. Massa bola M dan momen inersia saya c relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa, ia bergerak sepanjang permukaan halus (Gbr. 2).

Beras. 2

Menuju pusat massa C gaya yang diterapkan diarahkan sepanjang sumbu sapi dan yang merupakan fungsi koordinat X. Gaya gesekan bekerja pada benda dari permukaan F TR. Biarkan momen gaya gesekan terhadap sumbu melewati pusat C bola, sama M TR.

Persamaan gerak bola dalam hal ini berbentuk:

; (12)

, (13)

Di mana - kecepatan pusat massa;

w - kecepatan sudut.

Ada empat hal yang tidak diketahui dalam persamaan (12) dan (13): ,w, F TR, M TR . Secara umum, tugasnya tidak ditentukan.

Mari kita asumsikan bahwa:

1) badan menggelinding tanpa terpeleset. Kemudian:

Di mana R- radius bola;

2) benda dan bidangnya benar-benar kaku, yaitu. benda tidak berubah bentuk, tetapi menyentuh bidang pada satu titik TENTANG(titik kontak), maka ada hubungan antara momen gaya gesek dengan gaya gesek:

. (15)

Dengan memperhatikan rumus (14) dan (15) dari persamaan (12) dan (13), kita memperoleh ekspresi gaya gesekan:

. (16)

Ekspresi (16) tidak mengandung koefisien gesekan m, yang ditentukan sifat fisik permukaan kontak bola dan bidang, seperti kekasaran, atau jenis bahan pembuat bola dan bidang. Hasil ini adalah konsekuensi langsung idealisasi yang diterima, tercermin dalam koneksi (14) dan (15). Selain itu, mudah untuk menunjukkan bahwa dalam model yang diadopsi, gaya gesekan tidak bekerja. Mari kita kalikan persamaan (12) dengan , dan persamaan (13) - pada w. Mengingat bahwa

Dan

dan menambahkan ekspresi (12) dan (13), kita dapatkan

Di mana W(X) - energi potensial bola dalam medan gaya F(X). Perlu dicatat bahwa

Jika kita memperhitungkan rumus (14) dan (15), maka sisi kanan kesetaraan (17) hilang. Di sisi kiri persamaan (17) adalah turunan waktu dari energi total sistem yang terdiri dari energi kinetik gerakan maju bola , energi kinetik gerak rotasi dan energi potensial W(X). Artinya energi total sistem - nilai konstan, mis. Gaya gesekan tidak berfungsi.

Tentu saja, hasil yang agak aneh ini juga merupakan konsekuensi dari idealisasi yang diterima. Hal ini menunjukkan bahwa idealisasi yang dianut tidak terpenuhi realitas fisik. Padahal, dalam proses geraknya bola berinteraksi dengan bidang, begitulah energi mekanik harus berkurang, yang berarti bahwa hubungan (14) dan (15) hanya berlaku jika disipasi energi dapat diabaikan.

Sangat jelas bahwa di dalam hal ini Idealisasi seperti itu tidak dapat diterima, karena tujuan kita adalah menentukan koefisien gesekan dari perubahan energi pendulum. Oleh karena itu, kami akan menganggap asumsi kekakuan absolut bola dan permukaan adalah wajar, dan oleh karena itu sambungan (15) juga adil. Namun, mari kita tinggalkan asumsi bahwa bola bergerak tanpa tergelincir. Kami akan berasumsi bahwa ada sedikit selip.

Misalkan kecepatan titik kontak (titik O pada Gambar 2) bola (kecepatan geser):

. (19)

Kemudian, substitusikan ke persamaan (17) dan dengan mempertimbangkan kondisi (15) dan (20), kita sampai pada persamaan:

, (21)

dari sini jelas bahwa laju disipasi energi sama dengan kekuatan gaya gesekan. Hasilnya cukup natural, karena... sebuah benda meluncur sepanjang permukaan dengan kecepatan Dan, gaya gesekan bekerja padanya, melakukan usaha, akibatnya energi total sistem berkurang.

Melakukan diferensiasi pada persamaan (21) dan memperhatikan relasi (18), kita memperoleh persamaan gerak pusat massa bola:

. (22)

Hal ini mirip dengan persamaan gerak poin materi massa:

, (23)

di bawah pengaruh kekuatan eksternal F dan gaya gesek gelinding:

.

Lebih-lebih lagi, F TP adalah gaya gesekan geser biasa. Akibatnya, ketika sebuah bola menggelinding, gaya gesekan efektif, yang disebut gaya gesekan menggelinding, hanyalah gaya gesekan geser biasa dikalikan dengan perbandingan kecepatan geser dengan kecepatan pusat massa benda. Dalam praktiknya, sering terjadi kasus ketika gaya gesekan menggelinding tidak bergantung pada kecepatan benda.

Rupanya, dalam hal ini slip rate Dan sebanding dengan kecepatan benda: