Vieno atsitiktinio argumento funkcija ir jos skirstinys. Atsitiktinių argumentų funkcijos

Funkcijos apibrėžimas atsitiktiniai dydžiai. Diskretinė atsitiktinių argumentų funkcija ir jos skaitinės charakteristikos. Ištisinio atsitiktinio argumento funkcija ir jos skaitinės charakteristikos. Dviejų funkcijos atsitiktiniai argumentai. Dviejų atsitiktinių argumentų funkcijos tikimybių skirstinio funkcijos ir tankio nustatymas.

Vieno atsitiktinio dydžio funkcijos tikimybių skirstinio dėsnis

Sprendžiant problemas, susijusias su tikslumo vertinimu įvairių automatinės sistemos, gamybos tikslumas atskiri elementai sistemos ir pan., dažnai reikia atsižvelgti į vieno ar kelių atsitiktinių dydžių funkcijas. Tokios funkcijos taip pat yra atsitiktiniai dydžiai. Todėl sprendžiant uždavinius būtina žinoti uždavinyje atsirandančių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnius. Šiuo atveju dažniausiai žinomas atsitiktinių argumentų sistemos pasiskirstymo dėsnis ir funkcinė priklausomybė.

Taigi iškyla problema, kurią galima suformuluoti taip.

Duota atsitiktinių dydžių sistema (X_1,X_2,\ltaškai,X_n), kurio pasiskirstymo dėsnis yra žinomas. Kai kurie atsitiktiniai dydžiai Y yra laikomi šių atsitiktinių dydžių funkcija:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Reikia nustatyti atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo dėsnį, žinant funkcijų formą (6.1) ir dėsnį bendras paskirstymas jos argumentai.

Panagrinėkime vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnio problemą

Y=\varphi(X).

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(masyvas)

Tada Y=\varphi(X) taip pat yra diskretusis atsitiktinis dydis su galimomis reikšmėmis. Jei visos vertybės y_1,y_2,\ldots,y_n yra skirtingi, tada kiekvienam k=1,2,\ldots,n įvykiai \(X=x_k\) ir \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) yra identiški. Vadinasi,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(masyvas)

Jei tarp skaičių y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) yra identiški, tada kiekviena grupė identiškos vertės y_k=\varphi(x_k) reikia paskirstyti vieną lentelės stulpelį ir pridėti atitinkamas tikimybes.

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams uždavinys keliamas taip: žinant atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankį f(x), randame atsitiktinio dydžio Y=\varphi(X) pasiskirstymo tankį g(y). Spręsdami problemą, svarstome du atvejus.

Pirmiausia darykime prielaidą, kad funkcija y=\varphi(x) yra monotoniškai didėjanti, tolydi ir diferencijuojama intervale (a;b), kuriame yra visos galimos X reikšmės. Tada atvirkštinė funkcija x=\psi(y) egzistuoja, tačiau taip pat yra monotoniškai didėjantis, nenutrūkstamas ir diferencijuojamas. Šiuo atveju gauname

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

1 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X, paskirstytas pagal tankį

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Raskite atsitiktinio dydžio Y, susieto su reikšme X, pasiskirstymo pagal priklausomybę Y=X^3 dėsnį.

Sprendimas. Kadangi funkcija y=x^3 yra monotoniška intervale (-\infty;+\infty), galime taikyti formulę (6.2). Atvirkštinė funkcija funkcijos \varphi(x)=x^3 atžvilgiu yra \psi(y)=\sqrt(y) , jos išvestinė \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Vadinasi,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Panagrinėkime nemonotoninės funkcijos atvejį. Tegul funkcija y=\varphi(x) yra tokia, kad atvirkštinė funkcija x=\psi(y) yra dviprasmiška, t. y. viena dydžio y reikšmė atitinka kelias argumento x reikšmes, kurias žymime. x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), kur n yra sekcijų, kuriose funkcija y=\varphi(x) kinta monotoniškai, skaičius. Tada

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

2 pavyzdys. 1 pavyzdžio sąlygomis raskite atsitiktinio dydžio Y=X^2 skirstinį.

Sprendimas. Atvirkštinė funkcija x=\psi(y) yra dviprasmiška. Viena argumento y reikšmė atitinka dvi funkcijos x reikšmes

\begin(surinkta)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\pabaiga(surinkta)

Dviejų atsitiktinių dydžių funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Tegu atsitiktinis dydis Y yra dviejų atsitiktinių dydžių, sudarančių sistemą (X_1;X_2), funkcija, t.y. Y=\varphi(X_1;X_2). Užduotis – naudojant žinomą sistemos skirstinį (X_1;X_2), rasti atsitiktinio dydžio Y skirstinį.

Tegul f(x_1;x_2) yra atsitiktinių dydžių sistemos (X_1;X_2) pasiskirstymo tankis. Įveskime į naują dydį Y_1, lygų X_1, ir panagrinėkime lygčių sistemą

Darysime prielaidą, kad ši sistema yra vienareikšmiškai išsprendžiama x_1,x_2 atžvilgiu

Atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo tankis

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\dalinis(y))\right|dx_1.

Atkreipkite dėmesį, kad argumentai nesikeičia, jei įvesta nauja reikšmė Y_1 yra lygi X_2.

Atsitiktinių dydžių funkcijos matematinis lūkestis

Praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai nėra ypatingo poreikio visiškai nustatyti atsitiktinių dydžių funkcijos pasiskirstymo dėsnį, užtenka tik nurodyti jos skaitines charakteristikas. Taigi, be šių funkcijų pasiskirstymo dėsnių, iškyla ir atsitiktinių dydžių funkcijų skaitinių charakteristikų nustatymo problema.

Tegul atsitiktinis kintamasis Y yra atsitiktinio argumento X funkcija duota įstatymo paskirstymas

Y=\varphi(X).

Reikalaujama, nerandant dydžio Y pasiskirstymo dėsnio, jį nustatyti matematinis lūkestis

M(Y)=M[\varphi(X)].

Tegu X yra diskretinis atsitiktinis kintamasis, turintis pasiskirstymo eilutę

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(masyvas)

Padarykime Y reikšmės ir šių verčių tikimybių lentelę:

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(masyvas)

Ši lentelė nėra atsitiktinio kintamojo Y pasiskirstymo eilutė, nes in bendras atvejis Kai kurios reikšmės gali būti tokios pačios, o viršutinėje eilutėje esančios reikšmės nebūtinai yra didėjimo tvarka. Tačiau atsitiktinio dydžio Y matematinį lūkestį galima nustatyti pagal formulę

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

Formulėje (6.4) nėra aiškiai pačios funkcijos \varphi(X) skirstymo dėsnio, o yra tik argumento X skirstymo dėsnis. Taigi, norint nustatyti funkcijos Y=\varphi(X) matematinį lūkestį, visai nebūtina žinoti funkcijos \varphi(X) pasiskirstymo dėsnį, o reikia žinoti argumento X pasiskirstymo dėsnį.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui matematinis lūkestis apskaičiuojamas naudojant formulę

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Panagrinėkime atvejus, kai, norint rasti atsitiktinių argumentų funkcijos matematinį lūkestį, nereikia žinoti net argumentų pasiskirstymo dėsnių, o pakanka žinoti tik kai kurias jų skaitines charakteristikas. Suformuluokime šiuos atvejus teoremų forma.

6.1 teorema. Priklausomų ir nepriklausomų dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus šių kintamųjų matematinių lūkesčių sumai:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

6.2 teorema. Dviejų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai ir koreliacijos momentui:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Išvada 6.1. Dviejų nesusijusių atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.

Išvada 6.2. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.

Atsitiktinių dydžių funkcijos dispersija

Pagal dispersijos apibrėžimą mes turime D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Vadinasi,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Kur.

Duokim skaičiavimo formules tik nuolatinių atsitiktinių argumentų atveju. Vieno atsitiktinio argumento Y=\varphi(X) funkcijos dispersija išreiškiama formule

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Kur M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- funkcijos \varphi(X) matematinis lūkestis;

f(x) – reikšmės X pasiskirstymo tankis.

Formulė (6.5) gali būti pakeista taip:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) Pasvarstykime dispersijos teoremos kurie žaidžia svarbus vaidmuo

tikimybių teorijoje ir jos taikymuose. 6.3 teorema. Atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi šių kintamųjų dispersijų sumai plius dvigubai sumai

koreliacijos momentai

kiekvienas iš sumuojamų kiekių su visais šiais dalykais:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i Išvada 6.3.

Nekoreliuotų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi terminų dispersijų sumai:

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). koreliacijos momento ir koreliacijos koeficiento savybės.

Savybė 1. Konstantų pridėjimas prie atsitiktinių dydžių nekeičia koreliacijos momento ir koreliacijos koeficiento.

Savybė 2. Bet kokių atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momento absoliuti reikšmė neviršija šių reikšmių dispersijų geometrinio vidurkio:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

16.1. Vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis.

Yra nuolatinis atsitiktinis dydis X su pasiskirstymo tankiu f(x) . Kitas atsitiktinis kintamasis Y su juo sieja funkcinė priklausomybė: .

Reikia rasti kiekio pasiskirstymo tankį Y. Panagrinėkime abscisių ašies atkarpą, kurioje yra visos galimos dydžio reikšmės X, t.y.

Problemos sprendimo būdas priklauso nuo funkcijos elgsenos srityje: ar ji monotoniška, ar ne.

Šiame skyriuje aptarsime atvejį, kai segmento funkcija yra monotoniška. Šiuo atveju atskirai analizuosime du atvejus: monotoninį funkcijos padidėjimą ir monotoninį sumažėjimą.

1. Funkcija srityje didėja monotoniškai (6.1.1 pav.). Kai vertė Xįgauna skirtingas vertybes

sritis, atsitiktinis taškas ( X, Y) juda tik išilgai kreivės; šio atsitiktinio taško ordinatę visiškai lemia jo abscisė.

Pažymime kiekio pasiskirstymo tankį Y. Norėdami nustatyti, pirmiausia randame kiekio pasiskirstymo funkciją Y: .

Padarykime tiesioginį AB, lygiagrečiai x ašiai per atstumą y iš jo (6.1.1 pav.). Kad sąlyga būtų įvykdyta, atsitiktinis taškas (X, Y) turi nukristi į tą kreivės atkarpą, kuri yra žemiau tiesės AB; Tam būtina ir pakanka atsitiktinio dydžio X nukrito ant x ašies atkarpos nuo aį x, Kur x- kreivės ir tiesės susikirtimo taško abscisė AB. Vadinasi,

(6.1.1) Kadangi atkarpoje ji yra monotoniška, yra atvirkštinė vienos reikšmės funkcija. Tada

(6.1.2) Integralo (6.1.2) diferencijavimas kintamojo atžvilgiu adresuįtraukta į viršutinę ribą, gauname:

(6.1.3) 2. Funkcija atkarpoje mažėja monotoniškai (6.1.2 pav.). Šiuo atveju

(6.1.4) iš kur

(6.1.5) Lyginant (6.1.3) ir (6.1.5) formules, pastebime, kad jas galima sujungti į vieną:

(6.1.6)

Iš tiesų, kai jis didėja, jo išvestinė (ir todėl) yra teigiama. Mažėjančios funkcijos išvestinė yra neigiama, bet prieš ją formulėje (6.1.5) yra minusas. Vadinasi, formulė (6.1.6), kurioje išvestinė imama modulo, yra teisinga abiem atvejais.

3. Apsvarstykite atvejį, kai funkcija skyriuje galimas vertes argumentas nėra monotoniškas (6.1.3 pav.).

Raskime paskirstymo funkciją G(y) kiekiai Y. Norėdami tai padaryti, dar kartą nubrėžkime tiesią liniją AB, lygiagrečiai x ašiai, atstumu adresu iš jo ir pasirinkite tas kreivės atkarpas, kuriose tenkinama sąlyga. Tegul šios atkarpos atitinka abscisių ašies dalis: .

Įvykis prilygsta atsitiktinio kintamojo smūgiui Xį vieną iš svetainių – nesvarbu, kurią. Štai kodėl

(6.1.7) Taigi kiekio paskirstymo funkcijai turime formulę:

(6.1.8) Intervalų ribos priklauso nuo adresu ir turint tam tikrą formą, funkcijos gali būti išreikštos kaip aiškios funkcijos adresu. Diferencijuojantis G(y) dydžio adresu, įtrauktas į integralų ribas, gauname kiekio pasiskirstymo tankį Y:

(6.1.9) Pavyzdys. Didumas X yra taikomas vienodo tankio aikštelėje įstatymas.

Raskite kiekio pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Sudarome funkcijos grafiką (6.1.4 pav.). Akivaizdu, kad funkcija taip pat yra nemonotoniška intervale. Taikydami formulę (6.1.8), turime:

Išreikškime ribas per adresu: ; . Tada

.(6.1.10) Norėdami rasti tankį g(adresu) atskirti šią išraišką kintamojo atžvilgiu adresu, įtraukiami į integralų ribas, gauname:

Turint omenyje tai , gauname:

(6.1.11) Nurodant už Y paskirstymo dėsnį (6.1.11), pažymėtina, kad jis galioja tik intervale nuo 0 iki 1, t.y. tose ribose, kurioms ji keičiasi su argumentu X, įtrauktas į intervalą nuo, iki. Už šių ribų tankis g(adresu) yra lygus nuliui.

Funkcijos grafikas g(adresu) pateikta 6.1.5 pav. At adresu=1 kreivė g(y) turi šaką, einanti į begalybę.

26.2. Dviejų atsitiktinių dydžių funkcijos pasiskirstymo dėsnis.

Yra dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sistema (X, Y) su pasiskirstymo tankiu f(x, y) . Atsitiktinis kintamasis Z susijęs su X Ir Y funkcinė priklausomybė:

Reikia rasti reikšmės Z pasiskirstymo dėsnį.

Norėdami išspręsti problemą, naudosime geometrinę interpretaciją. Funkcija nebebus vaizduojama kaip kreivė, o kaip paviršius (6.2.1 pav.).

Raskime reikšmės Z skirstymo funkciją:

(6.2.1) Nubrėžkime plokštumai lygiagrečią plokštumą Q xOy, per atstumą z nuo jos. Ši plokštuma susikirs su paviršiumi išilgai tam tikros kreivės KAM. Sukurkime kreivę KAMį lėktuvą xOy. Ši projekcija, kurios lygtis padalins plokštumą xOyį dvi sritis; vienam iš jų – paviršiaus aukštis virš plokštumos xOy bus mažiau, o kitam – daugiau z. Pažymėkime D plotas, kuriam šis aukštis mažesnis z. Kad nelygybė (6.2.1) galiotų, atsitiktinis taškas (X, Y) aišku, turėtų patekti į sritį D; vadinasi,

(6.2.2) Išraiškoje (6.2.2) kiekis zįeina netiesiogiai, per integracijos ribas.

Diferencijuojantis G(z) Autorius z, gauname kiekio pasiskirstymo tankį Z:

(6.2.3) Žinodami specifinę funkcijos formą, integracijos ribas galime išreikšti z ir parašykite išraišką g(z) aiškiai.

36.3. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis. Paskirstymo dėsnių sudėtis.

Regionas Dšiuo atveju – apatinė kairioji plokštumos dalis xOy, užtamsintas pav. 6.3.1. Pagal formulę (6.3.2) turime:

Šios išraiškos diferencijavimas kintamojo atžvilgiu z, įtrauktas į viršutinę vidinio integralo ribą, gauname:

(6.3.1) Tai yra bendroji dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo tankio formulė.

Dėl problemos simetrijos priežasčių X Ir Y Galite parašyti kitą tos pačios formulės versiją:

(6.3.2), kuris yra lygiavertis pirmajam ir gali būti naudojamas vietoj jo.

Pavyzdys kompozicijos normalus įstatymus . Apsvarstykite du nepriklausomus atsitiktinius dydžius X Ir Y, pagal įprastus įstatymus:

Reikia sudaryti šių dėsnių sudėtį, tai yra, rasti kiekio pasiskirstymo dėsnį: .

Taikykime bendrąją paskirstymo dėsnių sudėties formulę:

(6.3.3) Jei atversime skliaustus integrando eksponente ir pateikiame panašius terminus, gausime:

Pakeičiant šias išraiškas į formulę, su kuria jau susidūrėme

(6.3.4) po transformacijų gauname:

(6.3.5) ir tai yra ne kas kita, kaip normalus dėsnis su sklaidos centru

(6.3.6) ir standartinis nuokrypis

(6.3.7) Tą pačią išvadą galima padaryti daug lengviau, naudojant šiuos kokybinius samprotavimus.

Neatverdami skliaustų ir neatlikdami jokių transformacijų integrande (6.3.3), iš karto darome išvadą, kad eksponentas yra kvadratinis trinaris. X malonus

kur koeficientu A dydžio z iš viso neįskaičiuotas į koeficientą IN yra įtrauktas į pirmą laipsnį ir į koeficientą SU- kvadratu. Turėdami tai omenyje ir pritaikę formulę (6.3.4), darome išvadą, kad g(z) yra eksponentinė funkcija, kurios rodiklis yra kvadratinis trinaris z, ir pasiskirstymo tankis; Šis tipas atitinka įprastą dėsnį. Taigi mes; darome grynai kokybinę išvadą: reikšmės z pasiskirstymo dėsnis turi būti normalus. Norėdami rasti šio dėsnio parametrus - ir - naudosime matematinių lūkesčių sudėjimo ir dispersijų sudėjimo teoremą. Pagal matematinių lūkesčių sudėjimo teoremą. Nuokrypių sudėjimo teorema arba iš kurios išplaukia (6.3.7) formulė.

Nuo standartinių nuokrypių pereidami prie jiems proporcingų tikėtinų nuokrypių, gauname: .

Taigi priėjome prie tokios taisyklės: jungiant normaliuosius dėsnius vėl gaunamas normalus dėsnis, sumuojami matematiniai lūkesčiai ir dispersijos (arba tikėtinų nuokrypių kvadratai).

Normalių dėsnių sudarymo taisyklę galima apibendrinti savavališko skaičiaus nepriklausomų atsitiktinių dydžių atveju.

Jei yra n nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai: kuriems taikomi normalūs dėsniai su dispersijos centrais ir standartiniais nuokrypiais, tada reikšmei taip pat galioja normalus dėsnis su parametrais

(6.3.8) (6.3.9) Vietoj formulės (6.3.9) galite naudoti lygiavertę formulę:

Jei atsitiktinių dydžių sistema (X, Y) paskirstytas pagal įprastą dėsnį, bet vertybes X, Y yra priklausomi, tada nesunku, kaip ir anksčiau, remiantis bendra formule (6.3.1), įrodyti, kad dydžio pasiskirstymo dėsnis taip pat yra normalus dėsnis. Sklaidos centrai vis dar pridedami algebriškai, tačiau standartiniams nuokrypiams taisyklė tampa sudėtingesnė: , kur, r- dydžių koreliacijos koeficientas X Ir Y.

Sudėjus kelis priklausomus atsitiktinius dydžius, kuriems galioja normalusis dėsnis, sumos pasiskirstymo dėsnis taip pat pasirodo esantis normalus su parametrais

(6.3.10)(6.3.11) arba tikėtini nukrypimai

kur yra dydžių koreliacijos koeficientas X i , X j, o sumavimas apima visus skirtingus dydžių porinius derinius.

Įsitikinome labai svarbiu turtu normalus įstatymas: su normaliųjų dėsnių sudėtimi vėl gaunamas normalus dėsnis. Tai vadinamoji „stabilumo savybė“. Pasiskirstymo dėsnis vadinamas stabiliuoju, jei dviejų tokio tipo dėsnių sudėtis vėl lemia to paties tipo dėsnį. Aukščiau parodėme, kad įprastas įstatymas yra stabilus. Labai nedaug paskirstymo dėsnių turi stabilumo savybę. Vienodo tankio dėsnis nestabilus: sujungę du vienodo tankio dėsnius atkarpose nuo 0 iki 1, gavome Simpsono dėsnį.

Normalios dėsnio stabilumas yra viena iš esminių sąlygų plačiam jo naudojimui praktikoje. Tačiau, be įprasto, stabilumo savybę turi ir kai kurie kiti skirstymo dėsniai. Normalaus dėsnio ypatybė yra ta, kad sujungus pakankamai daug praktiškai savavališkų pasiskirstymo dėsnių, suminis dėsnis pasirodo esantis tiek artimas normaliajam, kiek norima, nepaisant to, kokie buvo terminų pasiskirstymo dėsniai. Tai galima iliustruoti, pavyzdžiui, sudarant tris vienodo tankio dėsnius srityse nuo 0 iki 1. Gautas pasiskirstymo dėsnis g(z) parodyta pav. 6.3.1. Kaip matyti iš brėžinio, funkcijos grafikas g(z) labai primena įprastą dėsnių grafiką.

46.4. Produktų platinimas.

(6.4.1)

Fig. įvykis rodomas šešėliavimu. Dabar tai aišku

5(6.4.2) (6.4.3) 6.5. Atsitiktinio dydžio kvadrato pasiskirstymas.

(6.5.1) (6.5.2) Ypatingu atveju, kai turime:

(6.5.3) Jei šiuo atveju, tai

6(6.5.4) 6.6. Privačių platinimas.

(6.6.1)

Fig. 6.6.1 aišku, kad įvykis vaizduojamas tamsesnėmis sritimis. Štai kodėl

(6.6.2) (6.6.3) Jei; ; nepriklausomas, tada lengva gauti:

(6.6.4) Paskirstymas (6.6.4) pavadintas Koši vardu. Pasirodo, šis skirstinys neturi matematinių lūkesčių ir dispersijos.

76.7. Atsitiktinių dydžių funkcijų skaitinės charakteristikos.

(6.7.1) Sužinokime argumentų sistemos pasiskirstymo dėsnį, kad rastume skaitines kiekio charakteristikas Y, visų pirma, matematinis lūkestis ir dispersija.

Įsivaizduokime, kad mums pavyko rasti paskirstymo dėsnį g y) kiekiai Y. Tada skaitinių charakteristikų nustatymo užduotis tampa paprasta; jie randami pagal formules:

(6.7.2) (6.7.3) Tačiau užduotis rasti paskirstymo dėsnį g(y) kiekiai Y dažnai pasirodo gana sunku. Norėdami išspręsti problemą, raskite kiekio pasiskirstymo dėsnį Y nebūtina: rasti tik skaitines kiekio charakteristikas Y, nereikia žinoti jo paskirstymo dėsnio; Pakanka žinoti argumentų pasiskirstymo dėsnį.

Taigi iškyla atsitiktinių dydžių funkcijų skaitinių charakteristikų nustatymo problema, nenustačius šių funkcijų pasiskirstymo dėsnių.

Panagrinėkime funkcijos skaitinių charakteristikų nustatymo tam tikram argumentų pasiskirstymo dėsniui problemą. Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – vieno argumento funkcijos.

Yra atsitiktinis kintamasis X su nurodytu platinimo įstatymu; kitas atsitiktinis kintamasis Y susijęs su X funkcinė priklausomybė: Y= (X).

Reikalaujama nerandant kiekio pasiskirstymo dėsnio Y, nustatykite jo matematinį lūkestį:

(6.7.4) Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai X yra diskretinis atsitiktinis kintamasis su pasiskirstymo eilute:

x i X 1 x 2 …x n p i P 1 p 2 …p n Užrašykime galimas kiekio reikšmes lentelės pavidalu Y ir šių verčių tikimybės:

(x i ) (x 1 ) (x 2 ) …(x n )p i P 1 P 2 …p n 6.7.2 lentelė nėra kiekio paskirstymo eilutė Y, kadangi bendruoju atveju kai kurios vertybės

(6.7.5) gali sutapti tarpusavyje. Norėdami pereiti nuo lentelės (6.7.1) prie tikrosios vertės pasiskirstymo serijos Y, reiktų reikšmes (6.7.5) išdėstyti didėjimo tvarka, sujungti vienodas reikšmes atitinkančius stulpelius Y, ir sudėkite atitinkamas tikimybes. Matematinis vertės lūkestis Y galima nustatyti pagal formulę

(6.7.6) Akivaizdu, kad kiekis T adresu - M((X)), nustatoma pagal (6.7.6) formulę, negali keistis, jei po sumos ženklu kai kurie terminai sujungiami iš anksto, keičiama terminų eilė.

Funkcijos matematinio lūkesčio formulėje (6.7.6) aiškiai nėra pačios funkcijos pasiskirstymo dėsnio, o tik argumento pasiskirstymo dėsnį. Taigi, UžapibrėžimaimatematinėslūkesčiusfunkcijasišvisNereikalaujamažinotiįstatymaspaskirstymastaifunkcijas, Apakankamai­ tiksliaižinotiįstatymaspaskirstymasargumentas.

Sumos formulėje (6.7.6) pakeitimas integralu ir tikimybe r i- tikimybės elementas, gauname panašią nuolatinio atsitiktinio dydžio formulę:

(6.7.7) kur f(x) X.

Panašiai galima nustatyti ir funkcijos matematinį lūkestį adresu(X, Y) iš dviejų atsitiktinių argumentų X Ir Y. Dėl atskirų kiekių

(6.7.8) kur - tikimybė, kad sistema ( X, Y) paims vertes (x i y j). Nepertraukiamiems kiekiams

(6.7.9) kur f(x, adresu) - sistemos pasiskirstymo tankis ( X, Y).

Panašiai nustatomas ir funkcijos matematinis lūkestis iš savavališko skaičiaus atsitiktinių argumentų. Pateikiame atitinkamą formulę tik nuolatiniams dydžiams:

(6.7.10) kur - sistemos pasiskirstymo tankis.

Tokios formulės kaip (6.7.10) labai dažnai sutinkamos praktiškai taikant tikimybių teoriją, kai kalbama apie bet kokių dydžių, kurie priklauso nuo daugybės atsitiktinių argumentų, vidurkį.

Taigi, be funkcijos pasiskirstymo dėsnio, galima rasti bet kokio atsitiktinių argumentų skaičiaus funkcijos matematinį lūkestį. Panašiai galima rasti ir kitų skaitinių funkcijos charakteristikų – įvairios eilės momentų. Kadangi kiekvienas momentas atspindi tam tikros tiriamojo atsitiktinio dydžio funkcijos matematinį lūkestį, bet kurio momento apskaičiavimas gali būti atliktas naudojant metodus, visiškai panašius į tuos, kurie aprašyti aukščiau. Čia pateikiamos tik dispersijos skaičiavimo formulės ir tik nuolatinių atsitiktinių argumentų atveju.

Vieno atsitiktinio argumento funkcijos dispersija išreiškiama formule

(6.7.11) kur T= M[(x)] – funkcijos matematinis lūkestis ( X);f(X) - kiekio pasiskirstymo tankis X.

Dviejų atsitiktinių argumentų funkcijos dispersija išreiškiama panašiai:

(6.7.12) kur yra funkcijos matematinis lūkestis (X, Y); f(x, y) – sistemos pasiskirstymo tankis (X, Y). Galiausiai, jei yra savavališkas atsitiktinių argumentų skaičius, panašiu žymėjimu.

Ankstesniame skyriuje susipažinome su funkcijų skaitinių charakteristikų nustatymo metodais c. V. ir parodė, kad norint juos rasti nebūtina žinoti šių funkcijų pasiskirstymo dėsnius, o pakanka žinoti argumentų pasiskirstymo dėsnius. Kaip buvo parodyta, daugeliu inžinerinės praktikos atvejų, surandant funkcijų skaitines charakteristikas c. V. jūs netgi galite apsieiti be argumentų pasiskirstymo dėsnių – pakanka žinoti tik šių argumentų skaitines charakteristikas.

Tačiau dažnai inžinerinėse programose iškyla funkcijos c pasiskirstymo dėsnių nustatymo problema. V. Paprastai to reikia nustatant tikimybę, kad šios funkcijos pateks į įvairias galimų reikšmių sritis.

Šiuo metu mes išspręsime šią problemą. Yra nuolatinis s. V. Xs tankis/(x); Su. V. T išreiškiamas per s. V. X funkcinė priklausomybė

Būtina rasti paskirstymo dėsnį c. V. Y

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai funkcija cp(A) yra griežtai monotoniška, tolydi ir diferencijuojama intervale ( A, b) visos galimos c reikšmės. V. X Paskirstymo funkcija G(y)s. V. ^nustatyta pagal formulę

Jei funkcija φ(x) monotoniškai didėja per visą galimų c reikšmių diapazoną. V. ^(9.1.1 pav.), tada įvykis (T(X f (y)), kur z(y) = x yra funkcija, kuri yra atvirkštinė funkcijai

Šios išraiškos diferencijavimas pagal vertę y,įtraukta į viršutinė riba integralas, gauname p.r. atsitiktinis kintamasis Y:

Jei funkcija žr (X) vietoje (a, b) galimos vertės c. V. X mažėja monotoniškai (9.1.2 pav.), tada įvykis (T |/ (y)). Vadinasi,

Ryžiai. 9.1.1

Diferencijuodami C(y) kintamojo y, įtraukto į apatinę ribą, atžvilgiu, gauname p.r. atsitiktinis kintamasis Y:

Kadangi tankis negali būti neigiamas, formules (9.1.4) ir (9.1.6) galima sujungti į vieną:

1 (9.1.3) ir (9.1.5) formulėse galimų c reikšmių diapazonas. V. Tai gali būti (- ao, oo), t.y. A= - oo; b - oo tada galimos reikšmės U- f (A) nustatomi iš išraiškos y, - - φ (x;) (/= 1,2,..., p)šiuo atveju yra lygybė

1 uždavinys. Paskirstymo dėsnis tiesinė funkcija vienas atsitiktinis argumentas. Ypatingas monotoninės funkcijos atvejis yra tiesinė funkcija adresu = Oi + b, Kur a, b - neatsitiktiniai kiekiai. Būkime tolydžios c tiesinė funkcija. V. Xs tankis/(x):

Naudodami (9.1.7) formulę suraskime pasiskirstymo tankį g y) atsitiktinis dydis U.Šiuo atveju atvirkštinė funkcija φ (y) = (y - b)/a; jo išvestinė f" (y) = 1 /A išvestinės 1/|i| modulis. Formulė (9.1.7) suteikia

1 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį

Atsitiktinis dydis išreiškiamas tiesiškai per X:

Jei s. V. LG yra diskretiškas ir turi daugybę paskirstymų

Sprendimas. Šiuo atveju atvirkštinė funkcija φ (y) = (2 - y)/3. Sąlyga x > 0 formulėje (*), skirta y, tampa sąlyga y = 2 - 3x

Tankio grafikas g(y) parodyta fig. 9.1.3.

2 pavyzdys. Rasti p.r. tiesinė funkcija Y= aX+ b normaliai paskirstytas argumentas X su savybėmis t x ir o*.

Sprendimas. Pagal formulę (9.1.7) turime

ir tai yra normalus dėsnis su savybėmis kad = ties x + b , D y = = a 2 o 2 x; a y = a o x. Taigi, dėl normaliai paskirstyto c tiesinės transformacijos. V. X gauname s. V. Y, taip pat platinami pagal įprastą dėsnį. ?

3 pavyzdys. Nepertraukiamas s. V. X paskirstytas pagal Koši dėsnį paprasčiausia (kanonine) forma:

Su. V. Su juo susijusi priklausomybė:

Raskite pasiskirstymo tankį c. V. Y.

Sprendimas. Nuo funkcijos adresu= 1 - x 2 yra monotoniška (monotoniškai mažėjanti) per visą atkarpą (-oo, oo), taikome formulę (9.1.7). Parašykime sprendimą dviejų stulpelių pavidalu; kairėje bus pateiktos funkcijų, priimtų sprendžiant bendrą problemą, žymėjimai; pirmoje – specifinės šį pavyzdį atitinkančios funkcijos.

4 pavyzdys S.v. X pasiskirsto pagal tą patį Koši dėsnį/(x) = = 1/[i (1 + x 2)]; Su. V. Testo vertė, abipusė X:

Raskite jo tankį g(y).

Sprendimas. Funkcijos grafikas adresu= 1/x parodyta fig. 9.1.4. Šiai funkcijai būdingas antrojo tipo nenutrūkstamumas (peršoka iš - oo į + oo), kai x = 0; bet atvirkštinė funkcija yra x = 1 /y yra nedviprasmiškas, todėl galite naudoti tą pačią formulę (9.1.7), kuri buvo gauta monotoninei funkcijai. Dar kartą suformuluosime sprendimą dviejų stulpelių pavidalu (kairėje - bendras atvejis, dešinėje - specialus atvejis):

y., abipusis Y = 1/X toks pat kaip X, turi Koši pasiskirstymą. ?

5 pavyzdys. Molekulinio susidūrimo greitis X paskirstytas pagal Rayleigh dėsnį su parametru o;

Išleidžiamos energijos kiekis Y susidūrus molekulėms nustatoma pagal formulę

Rasti p.r. Su. V. Y.

Sprendimas. Jei x > O, funkcija (X) yra monotoniška. Pavyzdžio sprendimas vėl išdėstytas dviejų stulpelių pavidalu (kairėje yra bendras atvejis, dešinėje - konkretus konkretus atvejis):

6 pavyzdys. Apskritimo spindulys X paskirstytas pagal Rayleigh dėsnį su parametru a:

Raskite platinimo įstatymą p. V. Y- apskritimo plotas.

Sprendimas. S.v. Y = nX 2 -funkcija yra monotoniška, kai X> 0 m (y) =

= (^/l) 1/2; k"OOl=-t=, iš kur 2 u)pu

todėl s. V. Turi eksponentinį skirstymo dėsnį su pa- 1

metras--. ?

2co g

7 pavyzdys. Per tašką A, guli ant ašies Arba nubrėžkite tiesią liniją ab kampu Hk ašis Ar (žr. 9.1.5 pav.). Kampas ^ pasiskirsto tolygiai

intervale + yj. ^ a ^ ti paskirstymo dėsnis c. V. U- tiesės susikirtimo taško abscisė ab su ašis 0%.

8 pavyzdys. Įtampa ^paskirstyta pagal normalųjį dėsnį su parametrais t x, st x; stabilizuota įtampa U nustatoma pagal formulę

U Sprendimas. S.v. U- mišrus:

kur Ф(X) yra Laplaso funkcija. Paskirstymo funkcija r.v. U turi formą:

Fig. 9.1.6 rodomas grafikas G(y). Apskritai, jei paskirstymo funkcija c. V. Hest F(x), Tai

9 pavyzdys. Įtampos stabilizatorius veikia taip, kad riboja įtampą iš viršaus:

Raskite paskirstymo funkciją c. V. U, jei paskirstymo funkcija c pateikta. V. X- F(x).

Sprendimas. Analogiškai su ankstesnio pavyzdžio sprendimu gauname

10 pavyzdys. Įtampos stabilizatorius X veikia taip, kad apribotų įtampą iš apačios:

Raskite paskirstymo funkciją c. V. Y, jei nurodyta F(x) – paskirstymo funkcija c. V. X.

Sprendimas. Pagal 8 pavyzdžio sprendimą gauname

Dabar panagrinėkime atvejį, kai funkcija y - A, b) galimos vertės c. V. ne monotoniškas (9.1.7 pav.). Šiuo atveju atvirkštinė funkcija x = |/ (y) yra dviprasmiška.

Atvirkštinės funkcijos c/ reikšmių skaičius (y) priklauso nuo kokios vertės adresu mes paėmėme; pažymėkime šias reikšmes |/i (y), |/2 (y),..., ugh), ... . Renginys Y yra tolygus smūgiui c. V. Xį vieną iš nepersidengiančių segmentų, pažymėtų stora linija pav. 9.1.7, kur atitinkama kreivės dalis y = φ (x) yra žemiau tiesės y; mūsų atveju šie segmentai bus: nuo Aį aš x(y); nuo ts/2 (y) D° Fz (y), nuo v|/ 4 (y) iki |/ 5 (y) it. d.; paskutinis segmentas gali baigtis tašku b, ir galbūt vienas iš taškų y, (y) (tai nesvarbu). Taškiniai smūgiai Hvšie segmentai yra nesuderinami įvykiai; pagal tikimybių sudėjimo taisyklę

Atsižvelgiant į integralo diferencijavimo taisyklę, atsižvelgiant į kintamąjį, įtrauktą į jo ribas (būtent: integralo išvestinė tokio kintamojo atžvilgiu yra lygi viršutinės ribos integrando vertei, padaugintai iš viršutinė riba atėmus apatinės ribos integrando vertę, padaugintą iš apatinės ribos išvestinės), mūsų atveju gauname:

Tuose taškuose, kur cp(x), kertantis tiesę y, mažėja (atitinkamos x ašies atkarpos pradžia, kuriai Y išvestinė y" (y) yra neigiama; ji taip pat įtraukiama į sumą (9.1.11) su minuso ženklu; tuose taškuose, kur φ (x) didėja, φ" (y) (skyrio pabaiga) turi pliuso ženklą. Konstantų išvestinės A Ir b yra lygūs nuliui, todėl nesvarbu, ar taškai atsiranda A Ir b skirsnio pradžios arba pabaigos forma. Visi (9.1.11) formulės terminai yra teigiami ir turi labai paprastą formą:

Kur Į- atvirkštinės funkcijos reikšmių skaičius, atitinkantis nurodytą y, φ! (y); f 2 (y);...; f ^ (y) - atvirkštinės funkcijos reikšmės, atitinkančios nurodytą y.

2 uždavinys. Atsitiktinio dydžio modulio pasiskirstymo dėsnis. Problema nurodoma taip: duotas tęstinis s. V. Xс tankis/(x) plote (- oo, + oo); Atsitiktinis kintamasis K yra susijęs su juo santykiu:

Raskite pasiskirstymo tankį c. V. Y.

Sprendimas. Funkcija adresu= |x| nėra monotoniškas; jo grafikas parodytas fig. 9.1.8. Atvirkštinė funkcija duotam adresu turi dvi reikšmes: ?i (y) = - y; Fg (y) = Y- Naudodami formulę (9.1.12) gauname:

(neigiamas atsitiktinis kintamasis Y negali būti). Visų pirma, jei tankis /(x) yra simetriškas nuo pradžios, t. y. /(-x) =/(x), formulė (9.1.13) duos:

3 uždavinys. Atsitiktinio dydžio kvadrato pasiskirstymo dėsnis. Tegu nuolatinis s. V. X turi tankį /(x); Raskite jo kvadrato pasiskirstymo tankį.

Sprendimas. Funkcija adresu= x 2 nėra monotoniškas (9.1.9 pav.); f, (y) = -y [y;

adresu 2 (y) = 4 m.

Formulė (9.1.12) suteikia

Ypatingu atveju, kai s. V. X turi normalų pasiskirstymą

su parametrais t x = 0; a x = 1; / (x) = e ~ x^/l/2l, p. V. Turi platinimą

Šio skirstinio kreivė parodyta fig. 9.1.10. ?

Ryžiai. 9.1.9

Iki šiol nagrinėjome tik atvejį, kai funkcijos argumentas Y= f (X)- nuolatinis atsitiktinis dydis. Dabar panagrinėkime paprastesnį iš esmės, bet sudėtingesnį raštu atvejį, kai argumentas X- diskretieji s. V. su paskirstymo diapazonu:

Tam tikras platinimo serijos „panašumas“ c. V. Lentelėje bus parodyta:

Norėdami iš jo sudaryti paskirstymo seriją, pirmiausia turite išdėstyti reikšmes viršutinėje eilutėje didėjančia tvarka ir, antra, sujungti tas iš jų, kurios yra lygios (dėl neaiškumo). atvirkštinė funkcija) ir pridėkite atitinkamas tikimybes. Tokiu būdu gautos serijos bus paskirstymo serijos c. V. Y.

11 pavyzdys. Diskretieji s. V. X turi platinimo seriją:

Sukurkite jos kvadrato paskirstymo seriją

Sprendimas. „Netvarkinga“ platinimo serija yra tokia:

Sudėkime c reikšmes. V. Y didėjimo tvarka sujungiame vienodus ir sumuojame jų tikimybes; gauname paskirstymo eilutes c. V. Y

12 pavyzdys. Gedimų skaičius aukštos įtampos linijos atkarpoje per metus turi Puasono skirstinį su parametru A. Bendra materialinė žala dėl šių gedimų yra proporcinga jų skaičiaus kvadratui:

kur c > 0 yra neatsitiktinė reikšmė. Raskite šios žalos pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Paskirstymo diapazonas X turi formą:

Kadangi vertybės Y didinti su vertybėmis X ir tarp jų nėra sutapimų (atvirkštinė funkcija srityje 0, 1, T,... yra nedviprasmiškas), tada Timet paskirstymo serija yra tokia:

6 DALIS

ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

11 paskaita

1. PASKIRSTYMO DĖSNIS IR ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJŲ SKAITINĖS CHARAKTERISTIKOS

PASKAITOS TIKSLAS: supažindinti su atsitiktinio dydžio funkcijos samprata ir klasifikuoti šiuo atveju kylančias problemas; išveskite vieno atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnį ir dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnį; paaiškinti paskirstymo dėsnių sudėties sampratą.

Atsitiktinio dydžio funkcijos samprata

Tarp praktinių tikimybių teorijos pritaikymų ypatinga vieta užima užduotis, kurioms reikia rasti pasiskirstymo dėsnius ir (arba) atsitiktinių dydžių funkcijų skaitines charakteristikas. Paprasčiausiu atveju problema keliama taip: techninio įrenginio įėjime gaunamas atsitiktinis poveikis
; prietaisas yra veikiamas
tam tikra funkcinė transformacija o išvestyje duoda atsitiktinį dydį
(žr. 6.1 pav.). Mes žinome atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį
, ir reikia rasti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį ir (arba) skaitines charakteristikas .

Galima išskirti tris pagrindinius kylančius iššūkius:

1. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio žinojimas
(arba atsitiktinis vektorius
), raskite išvesties atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį
(arba
).

2. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio žinojimas
, raskite tik išvesties atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas.

3. Kai kuriais atvejais (su specialiomis transformacijos rūšimis ) norint rasti skaitines išvesties charakteristikas, nebūtina žinoti įvesties atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio
, bet pakanka žinoti tik jo skaitines charakteristikas.

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį , funkciškai priklausomai nuo atsitiktinio dydžio
, t.y.
. Tegul atsitiktinis dydis
yra diskreti, o jo paskirstymo serija yra žinoma:

Kur
.

Kai į įvestį pateikiama atsitiktinio dydžio reikšmė
išvestyje, kurią gauname
su tikimybe . Ir taip toliau visoms galimoms atsitiktinio dydžio reikšmėms
. Taigi gauname stalą. 6.1.

6.1 lentelė

Gauta lentelė 6.1 bendruoju atveju gali nebūti šalia esančio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo , nes vertės viršutinėje lentelės eilutėje gali būti išdėstytos ne didėjimo tvarka, o kai kurios
gali net sutapti.

Norėdami konvertuoti lentelę. 6.1 atsitiktinio dydžio skirstinio eilutėje būtina užsakyti galimas vertes
didėjimo tvarka ir sutapimo verčių tikimybes
reikia sulankstyti.

Rasti atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas nereikia (6.1) transformuoti į skirstinių eilutes, nes jas galima apskaičiuoti pagal (6.1) lentelę. Iš tiesų, rasti atsitiktinio dydžio galimų verčių sandaugų sumą apie jų tikimybes gauname

. (6.1)

Taigi žinant tik argumento pasiskirstymo dėsnį
, galite rasti atsitiktinio dydžio funkcijos matematinį tikėjimą.

Panašiai randame atsitiktinio dydžio dispersiją :

Panašiai nustatome bet kurios atsitiktinio dydžio eilės pradinius ir centrinius momentus
:

Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio
, turintis pasiskirstymo tankį
, gauname

;

;

Matome, kad norėdami rasti funkcijos skaitines charakteristikas
nereikia žinoti jo pasiskirstymo dėsnio – pakanka žinoti argumento pasiskirstymo dėsnį
.

Atsitiktinių dydžių funkcijų skaitinių charakteristikų teoremos

Kai kuriose problemose atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos
gali būti apibrėžtos kaip atsitiktinių dydžių sistemos skaitinių charakteristikų funkcijos
. Šiuo atveju net nereikia žinoti argumento pasiskirstymo dėsnio, pavyzdžiui, bendro pasiskirstymo tankio
, bet pakanka turėti tik skaitines šios atsitiktinių dydžių sistemos charakteristikas. Norint išspręsti tokias problemas, suformuluotos šios atsitiktinių dydžių funkcijų skaitinių charakteristikų teoremos:

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

Kur yra neatsitiktinis dydis.

5. bet kokiam skaičiui terminų, tiek nepriklausomų, tiek priklausomų, koreliuojančių ir nekoreliuojančių.

6. Matematinis lūkestis iš atsitiktinių dydžių tiesinės kombinacijos
yra lygi tai pačiai tiesinei nagrinėjamų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių funkcijai:

.

7. Atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi visų koreliacinės matricos elementų sumai.
šie atsitiktiniai dydžiai

.

Kadangi koreliacijos matrica
yra simetriškas pagrindinės įstrižainės, kurioje yra dispersijos, atžvilgiu, tada paskutinę formulę perrašome į formą

.

Jei atsitiktiniai dydžiai
nekoreliuoja, tada galioja dispersijų pridėjimo teorema:

.

8. Atsitiktinių dydžių tiesinės funkcijos dispersija nustatoma pagal formulę

.

9. Dviejų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus matematinių lūkesčių sandaugai plius kovariacija

Matematinė sandauga iš dviejų nekoreliuoja atsitiktiniai dydžiai yra lygūs jų matematinių lūkesčių sandaugai

10. Produkto dispersija nepriklausomas atsitiktiniai dydžiai

išreikšta formule

Jei atsitiktiniai dydžiai
nepriklausomas ir sutelktas, gauname

.

Atsitiktinio argumento funkcijos pasiskirstymo dėsnis

Yra nuolatinis atsitiktinis dydis
su pasiskirstymo tankiu
susietas su atsitiktiniu dydžiu funkcinė priklausomybė
. Būtina rasti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį .

Panagrinėkime atvejį, kai
griežtai monotoniškas, nuolatinis ir diferencijuojamas intervale
visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės
.

Paskirstymo funkcija
atsitiktinis kintamasis pagal apibrėžimą yra
. Jei funkcija
monotoniškai didėja visų galimų atsitiktinio dydžio verčių diapazone
, tada įvykis
yra lygiavertis įvykiui
, Kur
yra funkcija, kuri yra atvirkštinė funkcijai
. Kai atsitiktinis dydis
priima vertybes svetainėje
, tada atsitiktinis taškas
juda išilgai kreivės
(ordinatę visiškai lemia abscisė) (žr. 6.2 pav.). Nuo griežtos monotonijos
seka monotonija
, taigi ir atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija galima parašyti taip:

.

Skiriant šią išraišką įtrauktas į integralo viršutinę ribą, gauname atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį formoje

Jei funkcija
vietoje
galimos atsitiktinio dydžio reikšmės
monotoniškai mažėja, tada, atlikę panašius skaičiavimus, gauname

. (6.3)

Atsitiktinio dydžio galimų reikšmių diapazonas
gali būti išraiškose (6.2) ir (6.3) iš
į
.

Kadangi pasiskirstymo tankis negali būti neigiamas, formules (6.2) ir (6.3) galima sujungti į vieną

. (6.4)

Pavyzdys . Tegul veikia atsitiktinis dydis
yra linijinis, t.y.
, Kur
. Nuolatinis atsitiktinis dydis
turi pasiskirstymo tankį
, o tada, naudodami (6.4) išraišką, randame pasiskirstymo dėsnį
, atsižvelgiant į tai, kad atvirkštinė funkcija yra
, o jo išvestinės modulis lygus
,

. (6.5)

Jei atsitiktinis dydis
turi normalų pasiskirstymą

,

tada pagal (6.5) gauname

.

Tai vis dar yra įprastas paskirstymo dėsnis su matematiniais lūkesčiais
, dispersija
ir vidutinis kvadratinis nuokrypis
.

Dėl normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio tiesinės transformacijos
gauname atsitiktinį kintamąjį , taip pat platinamas pagal įprastą dėsnį.

Dviejų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis. Paskirstymo dėsnių sudėtis

Turime dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sistemą
o jų suma yra atsitiktinis dydis
. Būtina rasti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį , jei žinomas sistemos bendras pasiskirstymo tankis
.

Paskirstymo funkcija yra regiono plotas
lėktuve
, kur galioja nelygybė
(žr. 6.3 pav.), t.y.

.

P diferencijuojant šią išraišką atsižvelgiant į , gauname atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankį

.

Atsižvelgdami į terminų simetriją, galime parašyti panašų ryšį

.

Jei atsitiktiniai dydžiai Ir
yra nepriklausomi, ty lygybė tenkinama, tada paskutinės dvi formulės bus tokios formos:

; (6.6)

. (6.7)

Tuo atveju, kai pridedami nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai Ir
tada jie kalba apie paskirstymo dėsnių kompozicijos. Norint nurodyti paskirstymo dėsnių sudėtį, kartais naudojamas šis simbolinis žymėjimas:
.

Pasiskirstymo dėsnis vadinamas atsparus kompozicijai, jei tokio tipo pasiskirstymo dėsnių sudėtis vėl lemia tą patį dėsnį, bet su skirtingomis parametrų reikšmėmis. Pavyzdžiui, jei pridėsite du nepriklausomus normaliuosius atsitiktinius dydžius, gautas atsitiktinis kintamasis turės normalųjį pasiskirstymo dėsnį, ty normalus dėsnis yra atsparus kompozicijai. Be įprasto dėsnio, Erlango, dvinario ir Puasono pasiskirstymo dėsniai yra atsparūs kompozicijai.