Dviejų atsitiktinių argumentų pavyzdžių funkcija. Atsitiktinių dydžių funkcijų pasiskirstymo dėsniai

Kiekvienas atsitiktinis kintamasis yra visiškai nulemtas jo paskirstymo funkcija.

Jei x yra atsitiktinis dydis, tada funkcija F(x) = F x(x) = P(x< x) vadinamas paskirstymo funkcija atsitiktinis dydis x. Čia P(x<x) – tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis x įgaus reikšmę, mažesnę nei x.

Svarbu suprasti, kad paskirstymo funkcija yra atsitiktinio dydžio „pasas“: joje yra visa informacija apie atsitiktinį dydį, todėl atsitiktinio dydžio tyrimas susideda iš jo pasiskirstymo funkcijos tyrimo, kuri dažnai vadinama tiesiog paskirstymas.

Bet kurio atsitiktinio dydžio paskirstymo funkcija turi šias savybes:

dviejų funkcija atsitiktiniai argumentai: Jeikiekviena galimų verčių pora atsitiktiniai dydžiai ir atitinka vieną galimą atsitiktinio dydžio reikšmę, tada ji vadinama dviejų atsitiktinių argumentų funkcija ir parašyk:

Jei ir yra diskretūs nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tai norėdami rasti funkcijos pasiskirstymą, turime rasti visus galimas vertes, kuriai pakanka pridėti kiekvieną galimą reikšmę su visomis galimomis reikšmėmis; rastų reikšmių tikimybės yra lygios tikimybių, suvestų iš reikšmių, sandaugoms Ir.

19. Didžiųjų skaičių dėsnis. Didelių skaičių dėsnio teoremos nustato ryšį tarp atsitiktinumo ir būtinybės.

Didelių skaičių dėsnis yra apibendrintas kelių teoremų pavadinimas, iš kurio išplaukia, kad neribotai padidėjus testų skaičiui, vidutinės vertės linkusios į tam tikras konstantas.

Čebyševo nelygybė.

Lemma: Jei atsitiktinis kintamasis X turi baigtinį lūkestį M(X) ir dispersiją D(X), tada bet kokiai teigiamai e nelygybė yra teisinga

Čebyševo teorema: Pakankamai dideliam nepriklausomų atsitiktinių dydžių X 1, X 2, X 3, ..., X n skaičiui, kurių kiekvieno dispersija neviršija to paties pastovaus skaičiaus B, savavališkam mažam skaičiui e galioja ši nelygybė:

Iš teoremos išplaukia, kad atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis, didėjant jų skaičiui, turi stabilumo savybę, t.y., tikėtina, linksta į neatsitiktinę reikšmę, kuri yra šių dydžių matematinių lūkesčių aritmetinis vidurkis, t.y. nukrypimo tikimybė pagal absoliuti vertė atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis nuo jų matematinių lūkesčių aritmetinio vidurkio yra mažesnis nei e kadangi n didėja neribotai, jis linkęs į 1, t.y. tampa beveik tikru įvykiu.

ypatingas Čebyševo teoremos atvejis: Tegu n bandymų stebima n atsitiktinio dydžio reikšmių X, turintis matematinį lūkestį M(X) ir dispersija D(X). Gautos reikšmės gali būti laikomos atsitiktiniais dydžiais X 1, X 2, X 3, ..., X n,. Tai turėtų būti suprantama taip. Serija iš n bandymai atliekami pakartotinai. Todėl, atlikus i-ąjį testą, i=l, 2, 3, ..., p, kiekvienoje testų serijoje atsiras viena ar kita atsitiktinio dydžio reikšmė X, iš anksto nežinoma. Vadinasi, i-e i-tuoju testu gauto atsitiktinio dydžio xi reikšmė keičiasi atsitiktinai, pereinant iš vienos bandymų serijos į kitą. Taigi kiekvieną reikšmę x i galima laikyti atsitiktiniu dydžiu Xi.

Bernulio teorema. Bernoulli teorema: Jei įvykio A tikimybė kiekviename iš n nepriklausomų bandymų yra pastovi ir lygi p, tada esant pakankamai dideliam n savavališkam e>0 nelygybė yra tiesa

Peržengiame ribą, turime Bernulio teorema nustato ryšį tarp įvykio tikimybės ir jo santykinis dažnis išvaizda ir leidžia nuspėti apytiksliai, kokiame bus šis dažnis n bandymai. Iš teoremos aišku, kad santykis t/n turi stabilumo savybę neribotai didėjant bandymų skaičiui.

Kartais (spręsdamas praktines problemas) reikia įvertinti tikimybę, kad įvykio atsiradimo skaičiaus m nuokrypis per n bandymų nuo laukiamo rezultato pr neviršys tam tikras skaičius e. Šiam įvertinimui nelygybė perrašoma kaip

20. Centrinės ribos teoremos (C.L.T.)- tikimybių teorijos teoremų klasė, teigianti, kad sumos pakanka didelis kiekis silpnai priklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių skalės yra maždaug vienodos (nė vienas terminas nedominuoja ir nedaro lemiamo indėlio į sumą), pasiskirstymas artimas normaliajam.

Kadangi daugelis atsitiktinių dydžių programose susidaro veikiant keletui silpnai priklausomų atsitiktinių veiksnių, jų pasiskirstymas laikomas normaliu. Šiuo atveju turi būti įvykdyta sąlyga, kad nė vienas iš veiksnių nėra dominuojantis. Centrinė ribines teoremasšiais atvejais normalaus skirstinio naudojimas yra pagrįstas.

Konvoliucijos formulė. Normaliojo pasiskirstymo stabilumas.

o Jei kiekviena galimų atsitiktinių dydžių X ir Y reikšmių pora atitinka vieną galimą atsitiktinio dydžio Z reikšmę, tada Z vadinama dviejų atsitiktinių argumentų X ir Y funkcija:

Kiti pavyzdžiai parodys, kaip rasti funkcijos skirstinį pagal žinomus terminų skirstinius. Ši problema dažnai iškyla praktikoje. Pavyzdžiui, jei X yra matavimo prietaiso rodmenų paklaida (paskirstyta tolygiai), tada kyla užduotis rasti paklaidų sumos pasiskirstymo dėsnį.

1 atvejis. Tegu X ir Y- diskretieji nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Norint sudaryti funkcijos Z=X+Y pasiskirstymo dėsnį, reikia rasti visas galimas Z reikšmes ir jų tikimybes. Kitaip tariant, sudaroma atsitiktinio dydžio Z pasiskirstymo eilutė.

1 pavyzdys. Diskretieji nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y, nurodyti skirstiniais

Sukurkite atsitiktinio dydžio Z=X+Y skirstinį.

Galimos Z reikšmės yra kiekvienos galimos X reikšmės su visomis galimomis X reikšmėmis suma.

Raskime šių galimų verčių tikimybę. Kad Z=4, pakanka, kad reikšmė X įgautų reikšmes x 1 =1, o reikšmė Y – y 1 =3. Šių galimų reikšmių tikimybės, kaip matyti iš šių pasiskirstymo dėsnių, yra atitinkamai lygios 0,4 ir 0,2.

Kadangi atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, įvykiai X=1 ir Y=3 yra nepriklausomi, taigi ir jų bendro atsiradimo tikimybė (t.y. įvykio Z=1+3=4 tikimybė) pagal dauginimą teorema lygi 0,4 0, 2=0,08.

Panašiai galime rasti

Parašykime reikiamą skirstinį, pirmiausia sudėjus tikimybes nesuderinami įvykiai Z = z 2 ir Z = z 3. (0,32+0,12=0,44)

Kontrolė: 0,08+0,44+0,48=1.

Pasvarstykime bendras atvejis:

Tegul X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurie įgauna reikšmes. Pažymėkime ,.

Z=X+H. Pažymėkime pagal

Taigi, - konvoliucijos formulė.

2 atvejis. Tegu X ir Y yra nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai.

Teorema. Jei X ir Y yra nepriklausomi nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai, tai atsitiktinis dydis Z=X+Y taip pat yra tolydis, o atsitiktinio dydžio Z pasiskirstymo tankis yra konvoliucijos formulė.

o Sumos pasiskirstymo tankis vadinami nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai kompozicija.

komentuoti. Jei galimos X ir Y reikšmės yra neneigiamos, tada konvoliucijos formulė .

o Tikimybių pasiskirstymo dėsnis vadinamas tvarus , jei tokių dėsnių sudėtis yra ta pati pasiskirstymo dėsnis (skiriasi, paprastai tariant, parametrais). Normalus dėsnis turi stabilumo savybių, t.y. normalių dėsnių sudėtis taip pat turi normalusis pasiskirstymas, o šios kompozicijos matematinis lūkestis ir dispersija yra lygūs atitinkamai terminų matematinių lūkesčių ir dispersijų sumoms:

Tiksliau, jei X~N(0,1) ir Y~N(0,1), tai Z = X+Y~N(0,2).

2 pavyzdys. Tegul atsitiktiniai dydžiai X 1,...,X k yra nepriklausomi ir turi eksponentinis pasiskirstymas su parametru λ>0, t.y. .

Raskite pasiskirstymo tankį.

Jei x≤0, tada.

Atlikdami panašius samprotavimus, gauname:

Skaitmeninės sistemos charakteristikos

Du atsitiktiniai dydžiai.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemai apibūdinti, be matematinių lūkesčių ir dispersijų, naudojamos ir kitos charakteristikos. Tai apima kovariaciją ir korekcijos koeficientą.

o Kovariacija tarp atsitiktinių dydžių X ir Y vadinamas skaičiumi, kur.

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams X ir Y naudokite formulę.

Parodykime, kad jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tada. Tegu X ir Y yra nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

o Koreliacijos koeficientas tarp atsitiktinių dydžių X ir Y vadinamas skaičiumi.

Koreliacinės savybės.

1 nuosavybė. Absoliuti koreliacijos koeficiento reikšmė neviršija vieneto, t.y. .

2 nuosavybė. Tam, kad atsitiktinius dydžius X ir Y būtų būtina ir pakakti susieti tiesiniu ryšiu. Tie. su 1 tikimybe.

3 nuosavybė. Jeigu atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jie nekoreliuoja, t.y. r = 0.

Tegu X ir Y yra nepriklausomi, tada pagal matematinio lūkesčio savybę

o Iškviečiami du atsitiktiniai dydžiai X ir Y koreliuoja, jei jų koreliacijos koeficientas skiriasi nuo nulio.

o Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuojančiais jei jų koreliacijos koeficientas yra 0.

komentuoti. Dviejų atsitiktinių dydžių koreliacija reiškia jų priklausomybę, tačiau priklausomybė dar nereiškia koreliacijos. Iš dviejų atsitiktinių dydžių nepriklausomumo matyti, kad jie nekoreliuoja, tačiau iš nekoreliacijos vis tiek neįmanoma daryti išvados, kad šie kintamieji yra nepriklausomi.

Koreliacijos koeficientas apibūdina atsitiktinių dydžių tendenciją tiesinė priklausomybė. Kuo didesnė koreliacijos koeficiento absoliuti reikšmė, tuo didesnė tiesinės priklausomybės tendencija.

Jei kiekviena galimų atsitiktinių dydžių reikšmių pora X Ir Y atitinka vieną galimą atsitiktinio dydžio reikšmę Z, Tai Z paskambino dviejų atsitiktinių argumentų X funkcija Ir Y:

Z= j ( X, Y).

Kiti pavyzdžiai parodys, kaip rasti funkcijos pasiskirstymą Z = X + Y pagal žinomus terminų skirstinius. Ši problema dažnai iškyla praktikoje. Pavyzdžiui, jei X- matavimo prietaiso rodmenų paklaida (įprastai paskirstyta), Y- paklaida suapvalinant rodmenis iki artimiausios skalės padalos (tolygiai paskirstyta), tada iškyla užduotis - rasti klaidų sumos pasiskirstymo dėsnį Z=X+Y.

1. Leiskite X Ir Y-diskretieji nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Norint sudaryti funkcijos pasiskirstymo dėsnį Z = X + Y, turime rasti visas įmanomas vertybes Z ir jų tikimybės.

1 pavyzdys. Diskretūs nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai nurodomi skirstiniais:

Sukurkite atsitiktinio dydžio skirstinį Z = X+Y.

Sprendimas. Galimos vertės Z yra kiekvienos galimos vertės sumos X su visomis įmanomomis vertybėmis Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Raskime šių galimų reikšmių tikimybes. Tam, kad Z= 4, pakanka, kad reikšmė Xįgavo prasmę x 1 = 1 ir vertė Y- prasmė y 1 = 3. Šių galimų reikšmių tikimybės, kaip matyti iš šių pasiskirstymo dėsnių, yra atitinkamai lygios 0,4 ir 0,2.

Argumentai X Ir Y yra nepriklausomi, todėl įvykiai X= 1i Y= 3 yra nepriklausomi, taigi ir jų bendro atsiradimo tikimybė (t. y. įvykio tikimybė Z= 1+3 = 4) pagal daugybos teoremą yra lygus 0,4*0,2 = 0,08.

Panašiai randame:

P(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Parašykime reikiamą skirstinį, pirmiausia sudėjus tikimybes nesuderinami įvykiai Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Kontrolė: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Leiskite X Ir Y- nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Įrodyta: jei X Ir Y nepriklausomas, tada pasiskirstymo tankis g(z) sumos Z = X + Y(su sąlyga, kad bent vieno argumento tankis intervale() nurodytas viena formule) galima rasti naudojant lygybę

(*)

arba naudojant lygiavertę lygybę

(**)

Kur f 1 ,f 2 - argumentų pasiskirstymo tankiai.

Jei galimos argumentų reikšmės yra neneigiamos, tada g(z) randami naudojant formulę

(***)

arba pagal lygiavertę formulę

(****)

Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo tankis vadinamas kompozicija.

Tikimybių pasiskirstymo dėsnis vadinamas tvarus, jei tokių dėsnių sudėtis yra ta pati dėsnis (skiriasi, paprastai tariant, parametrais). Normalusis dėsnis turi stabilumo savybę: normaliųjų dėsnių sudėtis taip pat turi normalųjį skirstinį (šios sudėties matematinis lūkestis ir dispersija yra lygūs atitinkamai matematinių lūkesčių ir terminų dispersijų sumoms). Pavyzdžiui, jei X Ir Y- nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, paskirstyti normaliai su atitinkamais matematiniais lūkesčiais ir dispersijomis A 1 = Z, a 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, tada šių dydžių sudėtis (t. y. sumos Z = tikimybės tankis X+ Y) taip pat yra normaliai pasiskirstęs, o kompozicijos matematinis lūkestis ir dispersija yra atitinkamai vienodi A = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5.

2 pavyzdys. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami pasiskirstymo tankiais:

f(x)= ;

f(y)= .

Raskite šių dėsnių sudėtį, ty atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį Z = X+Y.

Sprendimas. Galimos argumentų reikšmės yra neneigiamos, todėl naudosime formulę (***)

Atkreipkite dėmesį, kad čia z 0 nes Z=X+Y ir, atsižvelgiant į sąlygą, galimas vertes X Ir Y neneigiamas.

Chi kvadrato pasiskirstymas

Leiskite X i(aš = 1, 2, ..., p) yra normalūs nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, ir kiekvieno iš jų matematinis lūkestis lygus nuliui, o standartinis nuokrypis – vienetas. Tada šių dydžių kvadratų suma

paskirstytas pagal chi kvadrato dėsnį su k = n laisvės laipsniai; jei šie dydžiai yra susiję, pavyzdžiui, vienu tiesiniu ryšiu , tada laisvės laipsnių skaičius k=n- 1.

Šio skirstinio tankis

Kur - gama funkcija; ypač

(n+ 1)=n!.

Tai rodo, kad chi kvadrato skirstinį lemia vienas parametras – laisvės laipsnių skaičius k.

Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, pasiskirstymas pamažu artėja prie normalaus.

Studentų paskirstymas

Leiskite Z yra normalus atsitiktinis dydis, ir M(Z) = 0, s( Z)= 1, a V- nepriklausomas nuo Z kiekis, kuris paskirstomas pagal įstatymą su k laisvės laipsnių. Tada vertė

turi paskirstymą, vadinamą t- platinimas arba Studentų skirstymas (anglų statistiko W. Gosseto pseudonimas), su k laisvės laipsnių.

Taigi, normalizuotas santykis normalaus dydžioĮ kvadratinė šaknis iš nepriklausomo atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal chi kvadrato dėsnį su k laisvės laipsniai padalinti iš k, platinamas pagal Studento įstatymą su k laisvės laipsnių.

Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, Studento pasiskirstymas greitai artėja prie normalaus. Daugiau informacijos apie šį paskirstymą pateikiami toliau (žr. XVI skyrių, § 16).

§ 15. Paskirstymas F Fišeris – Snedecor

Jeigu U Ir V-nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, paskirstyti pagal dėsnį su laisvės laipsniais k 1 ir k 2 , tada vertė

turi paskirstymą, vadinamą paskirstymu F Fischer-Snedecor su laisvės laipsniais k 1 ir k 2 (kartais žymimas V 2).

Šio skirstinio tankis

Matome, kad paskirstymas F lemia du parametrai – laisvės laipsnių skaičius. Papildoma informacija apie šį platinimą pateikiama toliau (žr. XIX skyriaus 8 punktą).

Užduotys

1. Raskite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją X,žinant jo pasiskirstymo tankį:

A) kitoms vertybėms x;

b) f(x)= 1/ 2l adresu A- l x a+l, f(x)= 0 kitoms reikšmėms X.

Rep. a)M(X)= 0, D(X) = l/2; b) M(X)= a, D(X)= l 2 / 3.

2. Atsitiktinis kintamasis X paprastai paskirstytas. Šios reikšmės matematinis lūkestis ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai lygūs 6 ir 2. Raskite tikimybę, kad atlikus testą X ims reikšmę, esančią intervale (4,8).

Rep. 0,6826.

3. Atsitiktinis dydis paprastai yra paskirstytas. Šios vertės standartinis nuokrypis yra 0,4. Raskite tikimybę, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte bus mažesnis nei 0,3.

Rep. 0,5468.

4. Atsitiktinės matavimo paklaidos taikomos normalus įstatymas su vidutiniu kvadratinis nuokrypis s=1 mm ir matematinis lūkestis A= 0. Raskite tikimybę, kad iš dviejų nepriklausomų stebėjimų bent vieno iš jų paklaida absoliučia verte neviršys 1,28 mm.

Rep. 0,96.

5. Automatine mašina pagaminti volai laikomi standartiniais, jei ritinėlio skersmens nuokrypis nuo projektinio dydžio neviršija 2 mm. Atsitiktiniai nukrypimai ritinėlių skersmenys atitinka įprastą dėsnį su standartiniu nuokrypiu s = 1,6 mm ir matematiniais lūkesčiais a = 0. Kiek procentų standartinių ritinėlių gamina mašina?

Rep. Maždaug 79 proc.

6. Diskretus atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatyme nurodyta: