Kaip rasti didžiausią sveikąjį funkcijos reikšmę. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie tai, kaip rasti įgūdį pritaikyti funkcijos tyrimui: rasti didžiausią ar mažiausią jos reikšmę. Ir tada mes išspręsime keletą problemų iš užduoties B15 nuo Atidarykite banką užduotys .

Kaip įprasta, pirmiausia prisiminkime teoriją.

Bet kurio funkcijos tyrimo pradžioje mes ją randame

Norėdami rasti didžiausią arba nai mažesnė vertė funkciją, turite ištirti, kokiais intervalais funkcija didėja, o kuriais mažėja.

Norėdami tai padaryti, turime rasti funkcijos išvestinę ir ištirti jos pastovaus ženklo intervalus, tai yra intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą.

Intervalai, per kuriuos funkcijos išvestinė yra teigiama, yra didėjančios funkcijos intervalai.

Intervalai, kurių funkcijos išvestinė yra neigiama, yra mažėjančios funkcijos intervalai.

1. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245184)

Norėdami tai išspręsti, vadovausimės tokiu algoritmu:

a) Raskite funkcijos apibrėžimo sritį

b) Raskime funkcijos išvestinę.

c) Prilyginkime nuliui.

d) Raskime funkcijos pastovaus ženklo intervalus.

e) Raskite tašką, kuriame veikia funkcija didžiausia vertė.

f) Raskite funkcijos reikšmę šiame taške.

Išsamų šios užduoties sprendimą paaiškinu VAIZDO PAMOKAJE:

Jūsų naršyklė tikriausiai nepalaikoma. Norėdami naudotis treniruokliu " Vieninga valstybinių egzaminų valanda“, pabandykite atsisiųsti
Firefox

2. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 282862)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente

Akivaizdu, kad funkcija įgauna didžiausią atkarpos reikšmę didžiausiame taške, kai x=2. Raskime funkcijos reikšmę šiame taške:

Atsakymas: 5

3. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245180):

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Kadangi pagal pradinės funkcijos apibrėžimo sritį title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Skaitiklis lygus nuliui adresu . Patikrinkim ar priklauso ODZ funkcijos. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar sąlyga title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

tai reiškia, kad taškas priklauso ODZ funkcijai

Panagrinėkime išvestinės taško dešinėje ir kairėje ženklą:

Matome, kad funkcija įgauna didžiausią reikšmę taške . Dabar suraskime funkcijos reikšmę:

Pastaba 1. Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje neradome funkcijos apibrėžimo srities: fiksavome tik apribojimus ir patikrinome, ar taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui, priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Paaiškėjo, kad to pakanka šiai užduočiai atlikti. Tačiau taip būna ne visada. Tai priklauso nuo užduoties.

Pastaba 2. Tiriant elgesį sudėtinga funkcija galite naudoti šią taisyklę:

• jei kompleksinės funkcijos išorinė funkcija didėja, tada funkcija įgyja didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija užima didžiausią vertę. Tai išplaukia iš didėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija didėja intervale I, jei didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
• jei kompleksinės funkcijos išorinė funkcija mažėja, tada funkcija įgauna didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija įgauna mažiausią reikšmę . Tai išplaukia iš mažėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija mažėja I intervale, jei didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Mūsų pavyzdyje išorinė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Po logaritmo ženklu yra išraiška - kvadratinis trinaris, kuris su neigiamu pirmaujančiu koeficientu taške įgyja didžiausią reikšmę . Toliau šią x reikšmę pakeičiame funkcijos lygtimi ir atrasti didžiausią jo vertę.

Daugelyje gyvenimo sričių galite susidurti su poreikiu ką nors išspręsti naudojant skaičius, pavyzdžiui, ekonomikoje ir apskaitoje, optimizuodami galite sužinoti tik kai kurių rodiklių minimumą ir maksimumą. duotus parametrus. Ir tai yra ne kas kita, kaip didžiausių ir mažiausių reikšmių radimas tam tikrame funkcijos segmente. Dabar pažiūrėkime, kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę.

Didžiausios vertės radimas: instrukcijos

1. Sužinokite, kuriame funkcijos segmente reikia apskaičiuoti reikšmę, pažymėkite jį taškais. Šis intervalas gali būti atviras (kai funkcija lygi segmentui), uždaras (kai funkcija yra segmente) ir begalinis (kai funkcija nesibaigia).
2. Raskite išvestinę funkciją.
3. Raskite funkcijos segmento taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, ir viskas kritinius taškus. Tada apskaičiuokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose ir išspręskite lygtį. Raskite didžiausią tarp gautų verčių.
4. Atskleiskite funkcijų reikšmes pabaigos taškai, nustatykite didesnį iš jų
5. Palyginkite duomenis su didžiausia verte ir pasirinkite didžiausią. Tai bus didžiausia funkcijos reikšmė.

Kaip rasti didžiausią sveikąjį funkcijos reikšmę? Turite apskaičiuoti, ar funkcija lygi, ar nelyginė, ir tada išspręsti konkretus pavyzdys. Jei skaičius gaunamas su trupmena, neatsižvelgti į tai, kad funkcijos didžiausios sveikosios reikšmės rezultatas bus tik sveikasis skaičius.

Tokio matematinės analizės objekto kaip funkcijos tyrimas turi didelę reikšmę prasmė ir kitose mokslo srityse. Pavyzdžiui, į ekonominė analizė elgesį reikia nuolat vertinti funkcijas pelną, būtent nustatyti jo didžiausią prasmė ir sukurti strategiją, kaip tai pasiekti.

Instrukcijos

Bet kokio elgesio tyrimas visada turėtų prasidėti apibrėžimo srities paieška. Paprastai pagal sąlygas konkreti užduotis būtina nustatyti didžiausią prasmė funkcijas arba per visą šią sritį, arba per tam tikrą jos intervalą su atviromis arba uždaromis sienomis.

Remiantis , didžiausias yra prasmė funkcijas y(x0), kuriame bet kuriam apibrėžimo srities taškui galioja nelygybė y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafiškai šis taškas bus didžiausias, jei argumentų reikšmės bus išdėstytos išilgai abscisių ašies, o pati funkcija – išilgai ordinačių ašies.

Norėdami nustatyti didžiausią prasmė funkcijas, vadovaukitės trijų žingsnių algoritmu. Atkreipkite dėmesį, kad turite mokėti dirbti su vienpusiais ir , taip pat apskaičiuoti išvestinę. Taigi, tebūnie duota funkcija y(x) ir reikia rasti jos didžiausią prasmė tam tikru intervalu su ribinėmis vertėmis A ir B.

Sužinokite, ar šis intervalas patenka į apibrėžimo sritį funkcijas. Norėdami tai padaryti, turite jį rasti, atsižvelgdami į visus galimus apribojimus: trupmenos buvimą išraiškoje, kvadratinė šaknis ir tt Apibrėžimo sritis yra argumentų reikšmių rinkinys, kuriam funkcija turi prasmę. Nustatykite, ar duotas intervalas yra jo poaibis. Jei taip, pereikite prie kito žingsnio.

Raskite išvestinę funkcijas ir išspręskite gautą lygtį prilygindami išvestinę nuliui. Tokiu būdu gausite vadinamųjų stacionarių taškų reikšmes. Įvertinkite, ar bent vienas iš jų priklauso intervalui A, B.

Trečiame etape apsvarstykite šiuos taškus ir pakeiskite jų reikšmes į funkciją. Atsižvelgdami į intervalo tipą, atlikite šiuos papildomus veiksmus. Jei yra [A, B] formos atkarpa, ribos taškai įtraukiami į intervalą, tai nurodoma skliausteliuose. Apskaičiuokite vertes funkcijas jei x = A ir x = B. Jei intervalas atviras (A, B), ribinės reikšmės yra pradurtos, t.y. į jį neįtraukti. Išspręskite x→A ir x→B vienpuses ribas. Kombinuotas [A, B) arba (A, B) formos intervalas, kurio viena riba priklauso, o kita ne. Raskite vienpusę ribą, nes x linksta į pradurtą reikšmę, ir pakeiskite kita begalinis dvipusis intervalas (-∞, +∞) arba formos vienpusis begalinis intervalas: , (-∞, B) Realiosioms riboms A ir B elkitės pagal jau aprašytus principus begaliniai, ieškokite atitinkamai x→-∞ ir x→+∞ ribų.

Užduotis šiame etape

Metodinės rekomendacijos studijuojant temą „Kelių funkcijos reikšmės. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Pačioje matematikoje pagrindinė priemonė

pasiekti tiesą – indukcija ir analogija.

Duota: - funkcija. Pažymėkime
- funkcijos apibrėžimo sritis.

Funkcijos reikšmių rinkinys (domenas) yra visų tų verčių, kurias funkcija gali užimti, rinkinys
.Geometriškai tai reiškia funkcijos grafiko projekciją į ašį
.

Jei yra taškas toks, kad bet kam aibės yra nelygybė
, tada jie sako, kad rinkinio funkcija atlieka savo funkciją mažiausia vertė

Jei yra taškas, kad bet kuriai iš aibės galioja nelygybė
, tada jie sako, kad rinkinio funkcija atlieka savo funkciją didžiausia vertė .

Funkcija vadinama apribota žemiau rinkinyje, jei toks numeris yra
. Geometriškai tai reiškia, kad funkcijos grafikas nėra žemesnis už tiesę
.

Funkcija vadinama apribota aukščiau rinkinyje, jei toks numeris yra , kad bet kuriai aibei nelygybė yra teisinga
. Geometriškai tai reiškia, kad funkcijos grafikas nėra aukštesnis už tiesę

Funkcija vadinama ribotas rinkinyje, jei jis yra apribotas šiuo rinkiniu iš apačios ir viršaus. Funkcijos ribotumas reiškia, kad jos grafikas yra tam tikroje horizontalioje juostoje.

Koši nelygybė apie aritmetinį vidurkį ir geometrinį vidurkį
:

>,>0) Pavyzdys:

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės intervale

(segmentas, intervalas, spindulys)

Funkcijų, nuolatinių intervale, savybės.

1. Jei funkcija yra ištisinė atkarpoje, tada ji pasiekia ir didžiausią, ir mažiausią reikšmes.

2. Nepertraukiama funkcija gali pasiekti didžiausias ir minimalias reikšmes tiek atkarpos galuose, tiek jos viduje

3. Jei didžiausia (arba mažiausia) reikšmė pasiekiama atkarpos viduje, tai tik stacionariame arba kritiniame taške.

Algoritmas ieškant didžiausių ir mažiausių verčių nuolatinė funkcija segmente

1. Raskite išvestinę
.

2. Raskite stacionarius ir kritinius taškus, esančius atkarpos viduje .

3. Raskite funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose ir kritiniuose taškuose bei atkarpos galuose, t.y.
Ir
.

4. Tarp rastų reikšmių pasirinkite mažiausią (tai bus
) ir didžiausias (tai bus
)

Nuolatinių funkcijų, kurios yra monotoniškos intervale, savybės:

Nuolat didėjantis segmente funkcija pasiekia didžiausią reikšmę
, mažiausias – ties
.

Nuolatinis segmento mažėjimas funkcija pasiekia didžiausią reikšmę , o mažiausia - .

Jei funkcijos reikšmė
neneigiamas tam tikru intervalu, tada ši funkcija ir funkcija
, kur n yra natūralusis skaičius, tame pačiame taške įgauna didžiausią (mažiausią) reikšmę.

Didžiausių ir mažiausių verčių radimas nuolatinė funkcija ant intervalo
arba ant sijos

(optimizavimo problemos).

Jei ištisinė funkcija turi vieną ekstremumo tašką intervale arba spindulyje ir šis ekstremumas yra didžiausias arba mažiausias, tada šiame taške pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė ( arba ).

Funkcijų monotoniškumo savybės taikymas.

1. Sudėtinga funkcija, sudaryta iš dviejų didėjančių funkcijų, didėja.

2.Jei funkcija padidėja ir funkcija
sumažėja, tada funkcija
- mažėja.

3. Dviejų didėjančių (mažėjančių) funkcijų suma, didėjančios (mažėjančios) funkcijos.

4. Jei lygtyje.
kairioji pusė yra didėjanti (arba mažėjanti) funkcija, tada lygtis turi daugiausia vieną šaknį.

5.Jei funkcija didėja (mažėja), o funkcija mažėja (didėja), tada lygtis
turi daugiausiai vieną sprendimą.

6. Lygtis
turi bent vieną šaknį tada ir tik tada

priklauso kelioms reikšmėms
funkcijas .

Ribinių funkcijų savybės taikymas.

1. Jei lygties kairėje pusėje (nelygybė) (
mažesnis arba lygus tam tikram skaičiui (
), A dešinėje pusėje yra didesnis arba lygus šiam skaičiui (), tada sistema galioja
kurios sprendimas yra pačios lygties (nelygybės) sprendimas.

Savikontrolės užduotys

Taikymas:

3. Raskite visas reikšmes, kurioms taikoma lygtis
turi sprendimą.

Namų darbai

1. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę:

, Jei
.

2. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

.

3. Raskite didžiausią sveikąjį funkcijos reikšmę:

. tuos, kurie atitinka didžiausias. Idealus -...

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie tai, kaip aiškiai rasti didžiausias ir mažiausias vertes suteikta funkcija vienas kintamasis y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kai funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu.

Kodėl ieškant didžiausių ir mažiausių verčių reikia stacionarių taškų? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija turi ekstremumą ( vietinis minimumas arba vietinis maksimumas) tam tikrame taške, tada šis taškas yra nejudantis. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose pirmoji šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne, ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė stacionarus taškas, o didžiausias – taške, kurio abscisė atitinka dešinę intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Kai x=2 artėja iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios į minus begalybę (tiesė x=2 yra vertikali asimptota), ir kadangi abscisė linkusi padidinti begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, skirtas rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (paprastai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir galios funkcijos su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa rinkinys realūs skaičiai, išskyrus nulį, tai yra . Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):