Kur yra Odzas Funkcija: apibrėžimo sritis ir funkcijų reikšmių diapazonas

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pateikiami pagrindiniai nelygybių tipai, tarp jų Bernulio, Koši – Bunyakovskio, Minkovskio, Čebyševo nelygybės. Nagrinėjamos nelygybių savybės ir veiksmai joms. Pateikiami pagrindiniai nelygybių sprendimo metodai.

Pagrindinės nelygybės formulės

Visuotinių nelygybių formulės

Visuotinės nelygybės tenkinamos bet kokioms į jas įtrauktų kiekių vertėms. Pagrindiniai tipai išvardyti žemiau visuotinės nelygybės.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Lygybė atsiranda tik tada, kai a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Koši-Buniakovskio nelygybė

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai α a k = β b k visiems k = 1, 2, ..., n ir kai kuriems α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkovskio nelygybė, kai p ≥ 1

Patenkinamų nelygybių formulės

Patenkinamos nelygybės tenkinamos tam tikroms į jas įtrauktų kiekių vertėms.

1) Bernulio nelygybė:
.
Daugiau bendras vaizdas:
,
kur , skaičiai to paties ženklo ir didesni už -1 : .
Bernulio lema:
.
Žr. „Nelygybių ir Bernulio lemos įrodymai“.

2)
jei a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebyševo nelygybė
adresu 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Apibendrintos Čebyševo nelygybės
adresu 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ir k natūralus
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ir b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Nelygybių savybės

Nelygybių savybės yra taisyklių rinkinys, kurios tenkinamos jas transformuojant. Žemiau pateikiamos nelygybių savybės. Suprantama, kad pradinės nelygybės tenkinamos x i reikšmėms (i = 1, 2, 3, 4), priklausančioms tam tikram iš anksto nustatytam intervalui.

1) Pasikeitus kraštinių tvarkai, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą.
Jei x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Jei x 1 ≤ x 2, tai x 2 ≥ x 1.
Jei x 1 ≥ x 2, tai x 2 ≤ x 1.
Jei x 1 > x 2, tai x 2< x 1 .

2) Viena lygybė yra lygi dviem silpnoms nelygybėms skirtingas ženklas.
Jei x 1 = x 2, tai x 1 ≤ x 2 ir x 1 ≥ x 2.
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 1 ≥ x 2, tai x 1 = x 2.

3) Tranzityvumo savybė
Jei x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir x 2 ≤ x 3, tai x 1 ≤ x 3.

4) Prie abiejų nelygybės pusių galima pridėti (atimti) tą patį skaičių.
Jei x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jei x 1 ≤ x 2, tai x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jei x 1 ≥ x 2, tai x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jei x 1 > x 2, tai x 1 + A > x 2 + A.

5) Jei yra dvi ar daugiau nelygybių su tos pačios krypties ženklu, tuomet galima pridėti jų kairę ir dešinę puses.
Jei x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, tai x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Panašios išraiškos taikomos ir ženklams ≥, >.
Jei pradinėse nelygybėse yra negriežtų nelygybių ženklų ir bent vienas griežta nelygybė(bet visi ženklai turi tą pačią kryptį), tada pridėjus gaunama griežta nelygybė.

6) Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš teigiamo skaičiaus.
Jei x 1< x 2 и A >0, tada A x 1< A · x 2 .
Jei x 1 ≤ x 2 ir A > 0, tai A x 1 ≤ A x 2.
Jei x 1 ≥ x 2 ir A > 0, tai A x 1 ≥ A x 2.
Jei x 1 > x 2 ir A > 0, tai A · x 1 > A · x 2.

7) Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš neigiamo skaičiaus. Tokiu atveju nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Jei x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Jei x 1 ≤ x 2 ir A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jei x 1 ≥ x 2 ir A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jei x 1 > x 2 ir A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jei yra dvi ar daugiau nelygybių su teigiamais nariais, su tos pačios krypties ženklu, tai jų kairiąją ir dešinę puses galima padauginti viena iš kitos.
Jei x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tada x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jei x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, tada x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Panašios išraiškos taikomos ir ženklams ≥, >.
Jei pradinėse nelygybėse yra negriežtos nelygybės ženklų ir bent viena griežta nelygybė (tačiau visi ženklai turi tą pačią kryptį), tada dauginant gaunama griežta nelygybė.

9) Tegul f(x) yra monotoniškai didėjanti funkcija. Tai yra, jei x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Jei x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Tada šią funkciją galima pritaikyti abiem nelygybės pusėms, o tai nepakeis nelygybės ženklo.
Jei x 1 ≤ x 2, tada f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jei x 1 ≥ x 2, tada f(x 1) ≥ f(x 2) .

Jei x 1 > x 2, tai f(x 1) > f(x 2).< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jei x 1< x 2 , то f(x 1) >10) Tegul f(x) yra monotoniškai mažėjanti funkcija, ty bet kurio x 1 > x 2 atveju f(x 1)
f(x 2) .
Jei x 1 ≤ x 2, tada f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jei x 1 > x 2, tada f(x 1)< f(x 2) .

Nelygybių sprendimo būdai

Nelygybių sprendimas intervalų metodu

Intervalų metodas taikomas, jei nelygybė apima vieną kintamąjį, kurį žymime x, ir turi tokią formą:
f(x) > 0
kur f(x) - nuolatinė funkcija, turintys galutinis skaičius lūžio taškai. Nelygybės ženklas gali būti bet koks: >, ≥,<, ≤ .

Intervalų metodas yra toks.

1) Raskite funkcijos f(x) apibrėžimo sritį ir pažymėkite ją intervalais skaičių ašyje.

2) Raskite funkcijos f(x) nenutrūkstamumo taškus.

Pavyzdžiui, jei tai trupmena, tada randame taškus, kuriuose vardiklis eina į nulį. Šiuos taškus pažymime skaičių ašyje.
3) Išspręskite lygtį
f(x) = 0 .

Šios lygties šaknis pažymime skaičių ašyje.

4) Dėl to skaičių ašis bus padalinta į intervalus (segmentus) taškais. Kiekviename intervale, įtrauktame į apibrėžimo sritį, pasirenkame bet kurį tašką ir šiuo metu apskaičiuojame funkcijos reikšmę. Jei ši reikšmė didesnė už nulį, tada virš segmento (intervalo) dedame ženklą „+“.
Jei ši reikšmė mažesnė už nulį, tada virš segmento (intervalo) dedame ženklą „-“.
5) Jei nelygybė yra tokia: f(x) > 0, tada intervalus pasirinkite su „+“ ženklu.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Nelygybės sprendimas yra sujungti šiuos intervalus, kurie neapima jų ribų.

Jei nelygybė turi tokią formą: f(x) ≥ 0, tai prie sprendinio pridedame taškus, kuriuose f(x) = 0.

Tai yra, kai kurie intervalai gali turėti uždaras ribas (riba priklauso intervalui). kita dalis gali turėti atviras ribas (riba nepriklauso intervalui). Panašiai, jei nelygybė turi tokią formą: f(x) Jei nelygybė yra tokia: f(x) ≤ 0, tai prie sprendinio pridedame taškus, kuriuose f(x) = 0.

Nelygybių sprendimas naudojant jų savybes
Šis metodas taikomas bet kokio sudėtingumo nelygybėms. Jį sudaro savybių (pateiktų aukščiau) taikymas, siekiant padidinti nelygybę

paprastas vaizdas ir gauti sprendimą. Visai gali būti, kad dėl to susidarys ne viena, o nelygybių sistema. Tai universalus metodas. Tai taikoma bet kokiai nelygybei. Naudota literatūra: I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m. Matematikoje

begalinis rinkinys funkcijas. Ir kiekvienas turi savo charakterį.) Norint dirbti su įvairiausiomis funkcijomis, kurių jums reikia viengungis požiūris. Kitaip, kokia čia matematika?!) Ir yra toks požiūris! Dirbdami su bet kokia funkcija, ją pristatome su standartinis rinkinys klausimus. Ir pirmasis, labiausiai priimtinos vertės argumentas, funkcijos specifikacijos sritis ir kt.

Kas yra funkcijos sritis? Kaip jį rasti? Šie klausimai dažnai atrodo sudėtingi ir nesuprantami... Nors iš tikrųjų viskas be galo paprasta. Tuo galite įsitikinti perskaitę šį puslapį. Eime?)

Na, ką aš galiu pasakyti... Tik pagarba.) Taip! Natūrali funkcijos sritis (kuri čia aptariama) degtukų Su ODZ išraiškosįtraukta į funkciją. Atitinkamai, jų ieškoma pagal tas pačias taisykles.

Dabar pažvelkime į ne visiškai natūralią apibrėžimo sritį.)

Papildomi funkcijos apimties apribojimai.

Čia kalbėsime apie apribojimus, kuriuos nustato užduotis. Tie. užduotyje yra keletas papildomos sąlygos, kuriuos išrado kompiliatorius. Arba apribojimai kyla iš paties funkcijos apibrėžimo metodo.

Kalbant apie užduoties apribojimus, viskas paprasta. Dažniausiai nieko ieškoti nereikia, viskas jau pasakyta užduotyje. Priminsiu, kad užduoties autoriaus parašyti apribojimai neatšaukiami esminiai matematikos apribojimai. Tik reikia nepamiršti atsižvelgti į užduoties sąlygas.

Pavyzdžiui, ši užduotis:

Raskite funkcijos domeną:

teigiamų skaičių aibėje.

Aukščiau radome natūralią šios funkcijos apibrėžimo sritį. Ši sritis:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN žodinis būdas Nurodydami funkciją, turite atidžiai perskaityti sąlygą ir rasti X apribojimus. Kartais akys ieško formulių, bet žodžiai švilpia pro sąmonę taip...) Pavyzdys iš ankstesnės pamokos:

Funkcija nurodoma sąlyga: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma.

Čia reikia pažymėti, kad mes kalbame tik O gamtos vertybes X. Tada D(f) iš karto įrašyta:

D(f): x ∈ N

Kaip matote, funkcijos apimtis nėra tokia sudėtinga koncepcija. Norint rasti šią sritį, reikia ištirti funkciją, parašyti nelygybių sistemą ir išspręsti šią sistemą. Žinoma, yra visokių sistemų, paprastų ir sudėtingų. Bet...

aš atidarysiu maža paslaptis. Kartais funkcija, kuriai reikia rasti apibrėžimo sritį, atrodo tiesiog bauginanti. Noriu išbalti ir verkti.) Bet kai tik užsirašau nelygybių sistemą... Ir, staiga, sistema pasirodo elementari! Be to, dažnai kuo baisesnė funkcija, tuo paprastesnė sistema...

Moralas: akys bijo, galva sprendžia!)

Mokslinis vadovas:

1. Įvadas 3

2. Istorinis eskizas 4

3. ODZ „vieta“ sprendžiant lygtis ir nelygybes 5-6

4. ODZ 7 savybės ir pavojai

5. ODZ – yra sprendimas 8-9

6. ODZ paieška yra papildomas darbas. Perėjimų lygiavertiškumas 10-14

7. ODZ vieningo valstybinio egzamino 15-16

8. 17 išvada

9. Literatūra 18

1. Įvadas

Problema: lygtys ir nelygybės, kuriose reikia rasti ODZ, nerado vietos algebros kurse sistemingam pristatymui, tikriausiai todėl mes su bendraamžiais dažnai darome klaidas spręsdami tokius pavyzdžius, praleisdami daug laiko juos spręsdami, pamiršdami. apie ODZ.

Tikslas: gebėti analizuoti situaciją ir daryti logiškai teisingas išvadas pavyzdžiuose, kur būtina atsižvelgti į DL.

Užduotys:

1. Studijų teorinė medžiaga;

2. Išspręskite daugybę lygčių, nelygybių: a) trupmeninę-racionaliąją; b) neracionalus; c) logaritminis; d) turinčios atvirkštines trigonometrines funkcijas;

3. Pritaikyti studijuotas medžiagas situacijoje, kuri skiriasi nuo standartinės;

4. Sukurkite darbą tema „Priimtinų vertybių sritis: teorija ir praktika“

Darbas prie projekto: Pradėjau dirbti prie projekto kartodamas man žinomas funkcijas. Daugelio iš jų taikymo sritis yra ribota.

ODZ atsiranda:

1. Sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis ir nelygybės

2. Sprendžiant neracionalios lygtys ir nelygybės

3. Sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybės

4. Sprendžiant lygtis ir nelygybes, turinčias atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

Išsprendęs daugybę pavyzdžių iš įvairių šaltinių(vieningi valstybinių egzaminų vadovai, vadovėliai, žinynai), susisteminau pavyzdžių sprendimą pagal vadovaujantis principais:

· galite išspręsti pavyzdį ir atsižvelgti į ODZ (labiausiai paplitęs metodas)

· galima išspręsti pavyzdį neatsižvelgiant į ODZ

· priimti teisingą sprendimą galima tik atsižvelgiant į ODZ.

Darbe naudojami metodai: 1) analizė; 2) statistinė analizė; 3) atskaita; 4) klasifikacija; 5) prognozavimas.

Išstudijavo analizę Vieningo valstybinio egzamino rezultatai per pastaruosius metus. Pavyzdžiuose buvo padaryta daug klaidų, kuriose reikia atsižvelgti į DL. Tai dar kartą pabrėžia aktualumą mano tema.

2. Istorinis eskizas

Kaip ir kitos matematikos sąvokos, funkcijos sąvoka išsivystė ne iš karto, o nuėjo ilgą raidos kelią. P. Fermat veikale „Introduction and Study of Flat and Solid Places“ (1636, išleista 1679) rašoma: „Kada tik galutinė lygtis Yra du nežinomi kiekiai, yra vieta. Iš esmės mes kalbame apie funkcinę priklausomybę ir ją grafinis vaizdas(„vieta“ Fermat kalba reiškia liniją). Tiesių tyrimas pagal jų lygtis R. Descarteso „Geometrijoje“ (1637) taip pat rodo aiškų abiejų tarpusavio priklausomybės supratimą. kintamieji. I. Barrow („Geometrijos paskaitos“, 1670 m.) in geometrine forma nustatomas diferenciacijos ir integracijos veiksmų abipusis atvirkštinis pobūdis (žinoma, nevartojant pačių šių terminų). Tai jau rodo visiškai aiškų funkcijos sampratos įsisavinimą. Geometrinėse ir mechaninė formaŠią sąvoką randame ir pas I. Newtoną. Tačiau terminas „funkcija“ pirmą kartą pasirodė tik 1692 m. pas G. Leibnizą ir, be to, ne visai šiuolaikiniu supratimu. Įvairius segmentus, susijusius su kreive (pavyzdžiui, jos taškų abscisėmis), G. Leibnicas vadina funkcija. Pirmajame spausdintame kurse „Begalinių mažų mažumų analizė kreivinių linijų pažinimui“, kurį sukūrė L'Hopital (1696), terminas „funkcija“ nevartojamas.

Pirmasis funkcijos apibrėžimas tam tikra prasme, artima šiuolaikinei, yra I. Bernoulli (1718): „Funkcija yra dydis, sudarytas iš kintamojo ir konstantos“. Šis ne visai aiškus apibrėžimas pagrįstas funkcijos nurodymo idėja analitinė formulė. Ta pati mintis išplaukia ir L. Eulerio apibrėžime, kurį jis pateikė savo „Įvade į begalybių analizę“ (1748): „Funkcija kintamas kiekis yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamojo dydžio ir skaičių arba pastovūs kiekiai“ Tačiau L. Euler jau nesvetimas šiuolaikinis supratimas funkcija, nesiejanti funkcijos sąvokos su jokia analitine jos išraiška. jo " Diferencialinis skaičiavimas“ (1755) sako: „Kai vieni dydžiai priklauso nuo kitų taip, kad pastariesiems pasikeitus jie patys gali keistis, tada pirmieji vadinami antrųjų funkcijomis“.

SU pradžios XIXšimtmečius, jie vis dažniau apibrėžia funkcijos sąvoką neminėdami jos analitinės reprezentacijos. „Traktate apie diferencialą ir integralinis skaičiavimas"(1797-1802) S. Lacroix sako: "Kiekvienas dydis, kurio vertė priklauso nuo vieno ar daugelio kitų dydžių, vadinamas šių pastarųjų funkcija." Į " Analitinė teorijašiluma“ J. Fourier (1822) yra frazė: „Funkcija f(x)žymi visiškai savavališką funkciją, tai yra nurodytų reikšmių seką, pavaldžių ar ne bendroji teisė ir atitinkantis visas vertybes x yra nuo 0 iki tam tikros reikšmės x“ N. I. Lobačevskio apibrėžimas artimas šiuolaikiniam: „... Bendra koncepcija funkcija reikalauja, kad funkcija iš x nurodykite numerį, kuris suteikiamas kiekvienam x ir kartu su x palaipsniui keičiasi. Funkcijos reikšmė gali būti pateikta arba analitinė išraiška, arba sąlyga, kuri suteikia galimybę patikrinti visus skaičius ir pasirinkti vieną iš jų, arba, galiausiai, priklausomybė gali egzistuoti ir likti nežinoma. Taip pat sakoma šiek tiek žemiau: „Platus teorijos požiūris leidžia egzistuoti priklausomybę tik ta prasme, kad skaičiai vienas su kitu yra suprantami taip, tarsi jie būtų pateikti kartu“. Taigi, šiuolaikinis apibrėžimas funkcijos, be nuorodų į analitinė užduotis, dažniausiai priskiriamas P. Dirichlet (1837), ne kartą buvo pasiūlytas prieš jį.

Funkcijos y apibrėžimo sritis (leistinos reikšmės) yra nepriklausomo kintamojo x, kuriam ši funkcija yra apibrėžta, reikšmių rinkinys, t.y. nepriklausomo kintamojo (argumento) kitimo sritis.

3. Priimtinų verčių diapazono „vieta“ sprendžiant lygtis ir nelygybes

1. Sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis ir nelygybes vardiklis neturi būti lygus nuliui.

2. Iracionaliųjų lygčių ir nelygybių sprendimas.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

IN šiuo atveju nereikia rasti ODZ: iš pirmosios lygties išplaukia, kad gautos x reikšmės tenkina šią nelygybę: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src=" > yra sistema:

Kadangi jie įeina į lygtį vienodai, vietoj nelygybės galite įtraukti nelygybę https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimas.

3.1. Logaritminės lygties sprendimo schema

Tačiau pakanka patikrinti tik vieną ODZ būklę.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrinės lygtys malonus yra lygiaverčiai sistemai (vietoj nelygybės į sistemą galite įtraukti nelygybę https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> yra lygiaverčiai prie lygties

4. Leistinų verčių diapazono ypatybės ir pavojai

Matematikos pamokose kiekviename pavyzdyje turime rasti DL. Tuo pačiu metu matematinė esmėŠiuo atveju ODZ rasti visai nėra privaloma, dažnai nebūtina, o kartais neįmanoma – ir visa tai nepažeidžiant pavyzdžio sprendimo. Kita vertus, dažnai nutinka taip, kad išsprendę pavyzdį moksleiviai pamiršta atsižvelgti į DL, užrašo jį kaip galutinį atsakymą ir atsižvelgia tik į kai kurias sąlygas. Ši aplinkybė gerai žinoma, bet „karas“ tęsiasi kiekvienais metais ir, rodos, tęsis dar ilgai.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę:

Čia ieškoma ODZ ir išsprendžiama nelygybė. Tačiau spręsdami šią nelygybę moksleiviai kartais mano, kad visai galima išsiversti ir neieškojus DL, o tiksliau – galima ir be sąlygos.

Tiesą sakant, norint gauti teisingą atsakymą, būtina atsižvelgti ir į nelygybę , ir į .

Bet, pavyzdžiui, lygties sprendimas: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

kuris prilygsta darbui su ODZ. Tačiau šiame pavyzdyje toks darbas yra nereikalingas – užtenka patikrinti tik dviejų iš šių nelygybių išsipildymą ir bet kurių dviejų.

Leiskite jums priminti, kad bet kurią lygtį (nelygybę) galima redukuoti iki formos . ODZ yra tiesiog funkcijos apibrėžimo sritis kairėje pusėje. Tai, kad ši sritis turi būti stebima, išplaukia iš šaknies apibrėžimo kaip skaičiaus iš tam tikros funkcijos apibrėžimo srities, taigi iš ODZ. Čia juokingas pavyzdysšioje temoje..gif" width="20" height="21 src="> turi teigiamų skaičių rinkinio apibrėžimo sritį (tai, žinoma, yra susitarimas apsvarstyti funkciją, bet pagrįsta), ir tada -1 nėra šaknis.

5. Priimtinų verčių diapazonas – yra sprendimas

Ir galiausiai, daugelyje pavyzdžių ODZ radimas leidžia gauti atsakymą be didelių maketų, ar net žodžiu.

1. OD3 yra tuščias rinkinys, o tai reiškia, kad originalus pavyzdys neturi sprendimų.

1) 2) 3)

2. B ODZ randamas vienas ar keli skaičiai, o paprastas pakeitimas greitai nustato šaknis.

1) , x=3

2)Čia ODZ yra tik skaičius 1, o po pakeitimo aišku, kad tai nėra šaknis.

3) ODZ yra du skaičiai: 2 ir 3, ir abu tinka.

4) > ODZ yra du skaičiai 0 ir 1, ir tinka tik 1.

ODZ gali būti veiksmingai naudojamas kartu su pačios išraiškos analize.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только teigiami skaičiai, todėl paliekame x=2. Tada 2 pakeičiame į nelygybę.

6) Iš ODZ matyti, kad ten, kur turime ..gif" width="143" height="24"> Iš ODZ turime: . Bet tada ir . Kadangi sprendimų nėra.

Iš ODZ turime: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, o tai reiškia . Išspręsdami paskutinę nelygybę, gauname x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . Nuo tada

Kita vertus, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Apsvarstykite lygtį intervale [-1; 0).

Jis atitinka šias nelygybes https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24" src="> ir sprendimų nėra. Su funkcija ir https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" aukštis ="45 src="> Raskime ODZ:

Sveikasis skaičius galimas tik tada, kai x=3 ir x=5. Patikrinus nustatome, kad šaknis x=3 netelpa, o tai reiškia, kad atsakymas yra x=5.

6. Priimtinų verčių diapazono radimas yra papildomas darbas. Perėjimų lygiavertiškumas.

Galite pateikti pavyzdžių, kai situacija aiški ir neradus DZ.

1.

Lygybė neįmanoma, nes atimant didesnę išraišką iš mažesnės, rezultatas turi būti neigiamas skaičius.

2. .

Dviejų neneigiamų funkcijų suma negali būti neigiama.

Taip pat pateiksiu pavyzdžių, kai ODZ rasti sunku, o kartais tiesiog neįmanoma.

Galiausiai, ODZ paieškos labai dažnai yra tik papildomas darbas, be kurio galite apsieiti, taip įrodydami, kad suprantate, kas vyksta. Čia galima pateikti labai daug pavyzdžių, todėl pasirinksiu tik tipiškiausius. Pagrindinis sprendimo būdas šiuo atveju yra ekvivalentinės transformacijos pereinant nuo vienos lygties (nelygybės, sistemos) į kitą.

1.. ODZ nereikia, nes radę x reikšmes, kurioms x2 = 1, negalime gauti x = 0.

2. . ODZ nereikia, nes mes sužinome, kada radikalinė išraiška lygi teigiamam skaičiui.

3. . ODZ nereikia dėl tų pačių priežasčių, kaip ir ankstesniame pavyzdyje.

4.

ODZ nereikia, nes radikali išraiška yra lygi kokios nors funkcijos kvadratui, todėl negali būti neigiama.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Norint išspręsti, pakanka tik vieno radikalios išraiškos apribojimo. Iš tikrųjų iš rašytinės mišrios sistemos išplaukia, kad kita radikali išraiška yra neneigiama.

8. DZ nereikia dėl tų pačių priežasčių, kaip ir ankstesniame pavyzdyje.

9. ODZ nereikia, nes pakanka, kad dvi iš trijų po logaritmo ženklų išraiškų būtų teigiamos, kad būtų užtikrintas trečiosios pozityvumas.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ nereikia dėl tų pačių priežasčių, kaip ir ankstesniame pavyzdyje.

Tačiau verta paminėti, kad sprendžiant lygiaverčių transformacijų metodu padeda žinios apie ODZ (ir funkcijų savybes).

Štai keletas pavyzdžių.

1. . OD3, o tai reiškia, kad išraiška dešinėje yra teigiama, ir galima parašyti lygtį, lygiavertę šiai formai https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" plotis ="112" height="27 "> ODZ: Bet tada, ir sprendžiant šią nelygybę, nereikia svarstyti atvejo, kai dešinėje pusėje mažiau nei 0.

3. . Iš ODZ matyti, kad, taigi ir atvejis, kai https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Perėjimas apskritai atrodo taip :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Galimi du atvejai: 0 >1.

Tai reiškia, kad pradinė nelygybė yra lygi tokiai nelygybių sistemų rinkiniui:

Pirmoji sistema neturi sprendinių, bet iš antrosios gauname: x<-1 – решение неравенства.

Norint suprasti lygiavertiškumo sąlygas, reikia žinoti kai kurias subtilybes. Pavyzdžiui, kodėl šios lygtys yra lygiavertės:

Arba

Ir galiausiai, ko gero, svarbiausia. Faktas yra tas, kad lygiavertiškumas garantuoja atsakymo teisingumą, jei atliekamos kai kurios pačios lygties transformacijos, bet nenaudojamos transformuojant tik vieną iš dalių. Santrumpos ir skirtingų formulių naudojimas vienoje iš dalių nėra aprėpiamos ekvivalentiškumo teoremose. Jau pateikiau keletą tokio tipo pavyzdžių. Pažvelkime į dar keletą pavyzdžių.

1. Šis sprendimas yra natūralus. Kairėje pusėje prie nuosavybės logaritminė funkcija pereikime prie išraiškos ..gif" width="111" height="48">

Išsprendę šią sistemą, gauname rezultatą (-2 ir 2), tačiau tai nėra atsakymas, nes skaičius -2 nėra įtrauktas į ODZ. Taigi, ar mums reikia įdiegti ODS? Žinoma, kad ne. Bet kadangi sprendime panaudojome tam tikrą logaritminės funkcijos savybę, privalome pateikti sąlygas, kurioms esant ji tenkinama. Tokia sąlyga yra posakių po logaritmo ženklu pozityvumas..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> skaičiai gali būti pakeisti tokiu būdu . Kas nori daryti tokius varginančius skaičiavimus?.gif" width="12" height="23 src="> pridėkite sąlygą ir iškart pamatysite, kad tik skaičius https://pandia.ru/text/78/083 / atitinka šią sąlygą images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) parodė 52 % testą atlikusių asmenų. Viena iš tokių žemų rodiklių priežasčių yra ta, kad daugelis abiturientų nepasirinko šaknų, gautų iš lygties, ją sudėlioję kvadratu.

3) Apsvarstykite, pavyzdžiui, vienos iš uždavinių C1 sprendimą: „Rasti visas x reikšmes, kurių funkcijos grafiko taškai guli virš atitinkamų funkcijos grafiko taškų." Užduotį reikia išspręsti trupmeninė nelygybė kuriuose yra logaritminė išraiška. Žinome tokių nelygybių sprendimo būdus. Dažniausias iš jų yra intervalinis metodas. Tačiau jį naudodami testuotojai daro įvairių klaidų. Pažvelkime į dažniausiai daromas klaidas, naudodamiesi nelygybės pavyzdžiu:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Išvada

Apibendrinant galime pasakyti, kad nėra universalaus lygčių ir nelygybių sprendimo metodo. Kaskart, norint suprasti, ką darai, o ne veikti mechaniškai, iškyla dilema: kokį sprendimą rinktis, konkrečiai – ieškoti ODZ ar ne? Manau, kad sukaupta patirtis padės man išspręsti šią dilemą. Nustosiu daryti klaidas išmokęs teisingai naudoti ODZ. Ar aš galiu tai padaryti, parodys laikas, o tiksliau vieningas valstybinis egzaminas.

9. Literatūra

Ir kiti „Algebra ir analizės pradžia 10-11“ probleminė knyga ir vadovėlis, M.: „Prosveshchenie“, 2002. „Vadovas. elementarioji matematika“ M.: „Nauka“, 1966. Laikraštis „Matematika“ Nr. 46, Laikraštis „Matematika“ Nr. Laikraštis „Matematika“ Nr. „Matematikos istorija mokyklos VII-VIII klasėse“. M.: „Apšvietos“, 1982. ir tt „Išsamiausias variantų leidimas tikros užduotys Vieningas valstybinis egzaminas: 2009/FIPI" - M.: "Astrel", 2009. ir kt. "Vieningas valstybinis egzaminas. Matematika. Universali medžiaga studentams ruošti/FIPI" - M.: "Žvalgybos centras", 2009. kt. "Algebra ir analizės pradžia 10-11." M.: „Nušvitimas“, 2007. , „Problemų sprendimo seminaras mokyklinė matematika(algebros dirbtuvės). M.: Švietimas, 1976. „25 000 matematikos pamokų“. M.: „Švietimas“, 1993. „Ruošimasis matematikos olimpiadoms“. M.: „Egzaminas“, 2006. „Enciklopedija vaikams „MATEMATIKA““ 11 tomas, M.: Avanta +; 2002. Medžiaga iš svetainių www. *****, www. *****.