Sistemų sprendimas Gauso eliminacijos metodu. Gauso metodas: tiesinių lygčių sistemos sprendimo algoritmo aprašymas, pavyzdžiai, sprendimai

Mes ir toliau svarstome sistemas tiesines lygtis. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jei jaučiatės kaip arbatinukas, rekomenduoju pradėti nuo pagrindų puslapyje Kitas, naudinga studijuoti pamoką.

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas sulaukė pripažinimo per savo gyvenimą didžiausias matematikas visų laikų genijus ir netgi pravardžiuojamas „matematikos karaliumi“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, pinigų gauna ne tik siurbtukai, bet ir genijai – Gauso portretas buvo ant 10 Vokietijos markių banknoto (prieš euro įvedimą), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įsisavinti PAKAKAN PENKTOS KLASĖS MOKINIO ŽINIŲ. Jūs turite žinoti, kaip pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų išskyrimo metodą mokykliniuose matematikos pasirenkamuosiuose dalykuose. Paradoksas, bet studentams Gauso metodas atrodo sunkiausias. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o apie metodo algoritmą pabandysiu pakalbėti prieinama forma.

Pirma, susisteminkime šiek tiek žinių apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėti vienintelis sprendimas. 2) Turėkite be galo daug sprendimų. 3) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Ir nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas Šiaip ar taip nuves mus prie atsakymo! Įjungta šią pamoką Dar kartą apsvarstysime Gauso metodą 1 atveju (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas punktų Nr. 2-3 situacijoms. Pastebiu, kad paties metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Grįžkime prie pati paprasčiausia sistema iš klasės Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – užsirašyti išplėstinė sistemos matrica: . Manau, kiekvienas mato, kokiu principu rašomi koeficientai. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tiesiog perbraukta, kad būtų lengviau kurti.

Nuoroda : Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis šiuo atveju: . Trumpumui bet kurią matricą galima tiesiog pavadinti matrica.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Egzistuoja šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos Gali pertvarkyti kai kuriose vietose. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matrica turi (arba atsirado) proporcinga (pvz ypatingas atvejis– identiškos) eilutės, tada seka ištrinti Visos šios eilutės yra iš matricos, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti ištrinti. Aš, žinoma, nebraižysiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje visi nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš –3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas labai naudinga, nes supaprastina tolimesnes matricos transformacijas.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą praktinis pavyzdys: . Pirmiausia labai išsamiai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš –2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –2: . Dabar pirmąją eilutę galima padalyti „atgal“ iš –2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Visada pasikeičia eilutė, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie to nerašo taip išsamiai, bet parašo trumpai: Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Paprastai eilutė padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protinio skaičiavimo procesas vyksta maždaug taip:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Pirmoji kolona. Apačioje man reikia gauti nulį. Todėl viršuje esantį padauginu iš –2: , o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (–2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra kolona. Viršuje padauginu -1 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Ir trečia kolona. Viršuje padauginu -5 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: –7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome atidžiai suprasti šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai jūsų kišenėje. Bet, žinoma, mes vis tiek dirbsime ties šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negalima naudoti, jei jums bus pasiūlyta užduotis, kai matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su „klasika“ operacijos su matricomis Jokiu būdu neturėtumėte nieko pertvarkyti matricų viduje! Grįžkime prie mūsų sistemos. Jis praktiškai suardomas į gabalus.

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš –2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – sumažinti matricą į laipsnišką formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiog pažymi "laiptus" paprastu pieštuku, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant "laiptų". Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomoji literatūra jis dažnai vadinamas trapecijos vaizdas arba trikampis vaizdas.

Dėl elementarių transformacijų mes gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „išvynioti“ priešinga kryptimi - iš apačios į viršų, šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą: .

Panagrinėkime pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskime ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai Gauso metodu reikia išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo metu: Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laipsnišką formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks –1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Jau lengviau.

Vienetas kairėje viršutinis kampas organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Mes gauname nulius naudodami „sudėtingą“ transformaciją. Pirmiausia susiduriame su antrąja eilute (2, –1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –2: (–2, –4, 2, –18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš –2:

Rezultatą rašome antroje eilutėje:

Su trečiąja eilute elgiamės taip pat (3, 2, –5, –1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –3: (–3, –6, 3, –27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –3:

Rezultatą rašome trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų tvarka ir rezultatų „įvedimas“. nuoseklus o dažniausiai būna taip: iš pradžių perrašome pirmą eilutę ir po truputį pučiamės ant savęs - nuosekliai ir DĖMESINGAI:
O pačių skaičiavimų protinį procesą aš jau aptariau aukščiau.

IN šiame pavyzdyje Tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalinkite iš –5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš –2, nes kuo mažesni skaičiai, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementarių transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –2:
Pabandykite patys išsiaiškinti šį veiksmą – mintyse padauginkite antrą eilutę iš –2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė tiesinių lygčių sistema: Kietas.

Dabar pradedamas naudoti atvirkštinis Gauso metodas. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . Žodžio „zet“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Igrek“ ir „zet“ yra žinomi, tai tik smulkmenos:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai lengva ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų sprendimo eiga gali nesutapti su mano sprendimo procesu, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmą ir antrą eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra „minusas vienas“, kuris mums visai tinka. Visi norintys gauti +1 gali atlikti papildomą judesį: padauginkite pirmąją eilutę iš –1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ mes turėjome reikiamą vienetą.

(4) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 2.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimų klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į , žemiau ir atitinkamai , tada su didelė dalis tikimybė, galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Mes apmokestiname atvirkščiai, kurdami pavyzdžius jie dažnai neperrašo pačios sistemos, o lygtys yra „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis potėpis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo.

Paskutinėje dalyje apžvelgsime kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie tai jau kalbėjau klasėje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: Beje, tai gražu lengvas pavyzdys, nes pirmame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių konversijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose ant „žingsnių“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar ten gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Viršutiniame kairiajame „žingsnyje“ turime du. Bet mes pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be liekanos - o kitas yra du ir šeši. Ir du viršuje kairėje mums tiks! Pirmame žingsnyje reikia atlikti tokias transformacijas: į antrą eilutę pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Taip pirmajame stulpelyje gausime reikiamus nulius.

Arba kažkas panašaus sąlyginis pavyzdys: . Čia mums tinka ir trys antrojo „žingsnio“, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: į trečią eilutę pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –4, todėl bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Užtikrintai išmoksite spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) galite tiesiogine prasme pirmą kartą – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, reikėtų „susikalti“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių skaičiavimuose gali kilti painiavos ir klaidų, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras.... Todėl visiems, kas nori daugiau sudėtingas pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, net arbatinukas, gerai išstudijavęs šį puslapį, intuityviai supras tokios sistemos sprendimo algoritmą. Iš esmės viskas taip pat – tik veiksmų daugiau.

Pamokoje aptariami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą.
Atliktos elementarios transformacijos: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. Dėmesio! Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės. Labai rekomenduoju jos neatimti – klaidos rizika labai padidėja. Tiesiog sulenkite! (2) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. Atkreipkite dėmesį , kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir –1, o tai dar patogiau. (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 5. (4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkščiai:

Atsakymas : .

4 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta antra eilutė. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“. (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

Su antruoju "žingsniu" viskas blogėja , „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba –1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. (4) Trečia eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3. Antrame žingsnyje reikalinga prekė gauta . (5) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 6. (6) Antroji eilutė padauginta iš –1, trečioji – iš –83.

Atvirkščiai:

Atsakymas :

5 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Pirmoji ir antroji eilutės buvo pakeistos. (2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –3. (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 4. Antroji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –1. (4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta į trečiąją eilutę. (5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –5.

Atvirkščiai:

Atsakymas :

Gauso metodas puikiai tinka tiesinėms sistemoms spręsti algebrines lygtis(SLAU). Jis turi daug privalumų, palyginti su kitais metodais:

• pirma, nebūtina iš pradžių nagrinėti lygčių sistemos nuoseklumui;
• antra, Gauso metodu galima išspręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra ne vienaskaita, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičius arba pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui;
• trečia, Gauso metodas duoda rezultatų su santykinai mažas kiekis skaičiavimo operacijos.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia duokime būtinus apibrėžimus ir įveskite užrašą.

Toliau aprašysime Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, tai yra tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir pagrindinės sistemos matricos determinantas yra nelygu nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė, kuri yra nuosekli atskirtis nežinomi kintamieji. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Mes jums parodysime detalūs sprendimai keli pavyzdžiai.

Apibendrinant, mes apsvarstysime tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba vienaskaita, sprendimą Gauso metodu. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias mes išsamiai išnagrinėsime naudodami pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimai.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n):

Kur yra nežinomi kintamieji, skaičiai (tikrieji arba kompleksiniai) ir laisvieji terminai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų, kuriems visos sistemos lygtys tampa tapatybėmis, reikšmių rinkinys vadinamas SLAU sprendimą.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama jungtis, kitaip - ne sąnarių.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Jie sako, kad sistema yra įrašyta koordinačių forma , jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos forma įrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų terminų matrica.

Jei prie matricos A pridėsime laisvųjų terminų matricą-stulpelį kaip (n+1) stulpelį, gausime vadinamąjį. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis yra atskirtas vertikali linija iš likusių stulpelių, ty

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs, jei jo determinantas yra nulis. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei atliksite šiuos veiksmus su tiesinių algebrinių lygčių sistema

• sukeisti dvi lygtis,
• padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
• prie abiejų bet kurios lygties pusių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališkas skaičius k,

tada gausite lygiavertę sistemą, kuri turi tuos pačius sprendimus (arba, kaip ir pirminė, neturi sprendimų).

Išplėstinei tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricai šie veiksmai reikš elementariųjų transformacijų atlikimą su eilutėmis:

• sukeisti dvi eilutes,
• padauginus visus bet kurios matricos T eilutės elementus iš nulinio skaičiaus k,
• prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k.

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra nevienskaita.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą? .

Kai kurie tai padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridedant prie antrosios lygties kairės pusės kairėje pusėje pirmiausia, o dešinėje - dešinėje, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 =1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties puses padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 = 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeisime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis iš jų neįtrauktų:

Dabar išspręskime antrąją x 2 sistemos lygtį ir gautą rezultatą pakeiskime trečiąja lygtimi, kad pašalintume iš jos nežinomą kintamąjį x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties aišku, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo metodas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmasis x 1, kitame etape x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Atlikome eliminavimą, kol paskutinėje lygtyje liko tik vienas nežinomas kintamasis. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Atlikę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį, rastą paskutinėje lygtyje. Jos pagalba randame kitą nežinomą kintamąjį iš priešpaskutinės lygties ir pan. Procesas nuoseklus radinys Nežinomi kintamieji, kai pereinama nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3 pirmoje lygtyje, o gautą išraišką pakeičiame į antrąją ir trečiąją lygtis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia pašalinti nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo naudojant Gauso metodą niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, prieš jį esantis koeficientas lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios x 1 sistemos lygties, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš likusių lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada yra lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdžiui pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 nebėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Tarkime, kad turime išspręsti n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomųjų formos kintamieji , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti sukeisdami sistemos lygtis. Pašalinkime nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradėdami nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje būtume išreiškę x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeitę visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtosios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Tada pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, o panašiai elgiamės su paveikslėlyje pažymėta sistemos dalimi

Taigi mes tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš pirmosios lygties .

Pažvelkime į algoritmą naudodami pavyzdį.

Pavyzdys.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 yra ne nulis, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo progresijos, tai yra, neįtraukdami nežinomo kintamojo x 1 iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, į kairę ir į dešinę dalis antrosios, trečiosios ir ketvirtoji lygtis sudėkime pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, atitinkamai padaugintas iš , Ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie x 2 pašalinimo. Prie trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių kairės ir dešinės pusės pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties puses, padaugintą atitinkamai iš Ir :

Norėdami užbaigti Gauso metodo progresavimą, turime pašalinti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės pridėkime atitinkamai trečiosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš :

Galite pradėti atvirkštinį Gauso metodą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname,
nuo antrojo,
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai rodo, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

Dabar pateiksime sprendimą to paties pavyzdžio naudojant Gauso metodą matricos žymėjime.

Pavyzdys.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Kiekvieno stulpelio viršuje yra nežinomi kintamieji, atitinkantys matricos elementus.

Tiesioginis Gauso metodo požiūris čia apima išplėstinės sistemos matricos sumažinimą iki trapecijos formos, naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų pašalinimą, kurį atlikome su sistema koordinačių pavidalu. Dabar tai pamatysite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antrosios, trečiosios ir ketvirtosios eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 pašalinimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš atitinkamai Ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, eikite į elementus paskutinė eilutė iš gautos matricos pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po ėjimo į priekį.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricos žymėjime atvirkštinis Gauso metodo metodas apima gautos matricos transformavimą taip, kad matrica pažymėta paveiksle

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodo tiesiogines transformacijas, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , ir toliau atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus trečiosios eilutės elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame atvirkštinio Gauso metodo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš:

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kur randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

ATKREIPKITE DĖMESĮ.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti visiškai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau nuo po kablelio eiti į paprastosios trupmenos.

Pavyzdys.

Gauso metodu išspręskite trijų lygčių sistemą .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1, x 2, x 3, o x, y, z). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Išskirkime nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje nežinomo kintamojo y antrojoje lygtyje nėra, o y yra trečioje lygtyje, todėl sukeiskime antrąją ir trečiąją lygtis:

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo progresavimą (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Pradėkime atvirkštinį judėjimą.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės


iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba kvadratinė vienaskaita, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendinius (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai išnagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio etapo.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema, atlikus Gauso metodo eigą pirmyn, įgauna formą ir nebuvo redukuota nei viena lygtis (tokiu atveju darytume išvadą, kad sistema nesuderinama). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Užrašykime nežinomus kintamuosius, kurie yra pirmieji visose gautos sistemos lygtyse:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1, x 4 ir x 5. Kairiosiose sistemos lygčių pusėse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra įrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusieji nariai perkeliami į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Nežinomiems kintamiesiems, esantiems dešiniosiose lygčių pusėse, suteikime savavališkas reikšmes, kur - savavališki skaičiai:

Po to visų mūsų SLAE lygčių dešiniosiose pusėse yra skaičiai ir galime pereiti prie Gauso metodo atvirkštinės pusės.

Iš paskutinės mūsų turimos sistemos lygties, iš priešpaskutinės lygties, kurią randame, iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Suteikti skaičius skirtingos reikšmės, gausime įvairių sprendimų lygčių sistemos. Tai yra, mūsų lygčių sistemoje yra be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

Kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Nuspręskite vienalytė sistema tiesinės algebrinės lygtys Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, kairėje ir dešinėje antrosios lygties pusėse atitinkamai pridedame pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties puses pridedame kairę ir dešinę pirmosios lygties dešinės pusės, padaugintos iš:

Dabar išskirkime y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę:

Panagrinėkime vieną iš labiausiai paplitusių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdų – Gauso metodą. Šis metodas (dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu) įvairiomis versijomis žinomas daugiau nei 2000 metų.

Skaičiavimai naudojant Gauso metodą susideda iš dviejų pagrindinių etapų, vadinamų judėjimu pirmyn ir judėjimu atgal (pakeitimas atgal). Tiesioginis Gauso metodo metodas yra nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš sistemos (5.1), kad ji būtų transformuota į lygiavertė sistema su viršutine trikampe matrica. Nežinomų reikšmių skaičiavimai atliekami atvirkštine stadija.

1. Vieno padalijimo schema.

Pirmiausia pasvarstykime paprasčiausias variantas Gauso metodas, vadinamas vieno padalijimo schema.

Judėjimas į priekį susideda iš pašalinimo žingsnių.

1 žingsnis. Šio žingsnio tikslas yra pašalinti nežinomąjį iš lygčių su skaičiais. Tarkime, kad koeficientą vadinsime pagrindiniu (arba pagrindiniu) 1-ojo žingsnio elementu.

Raskime kiekius

vadinami 1 žingsnio daugikliais. Iš antrosios, trečiosios sistemos (5.1) lygčių paeiliui atimkime pirmąją lygtį, padaugintą iš atitinkamai Tai leis paversti į

nuliniai koeficientai visose lygtyse, išskyrus pirmąją. Dėl to gauname lygiavertę sistemą

kurioje jie apskaičiuojami naudojant formules

2 žingsnis. Šio žingsnio tikslas yra pašalinti nežinomąjį iš lygčių su skaičiais. Tegul kur yra koeficientas, vadinamas pagrindiniu (arba pagrindiniu) žingsnio elementu. Apskaičiuokime 2 žingsnio veiksnius

ir iš sistemos (5.30) trečiosios ir ketvirtosios lygčių paeiliui atimkite antrąją lygtį, atitinkamai padaugintą iš . Kaip rezultatas, mes gauname sistemą

Čia koeficientai apskaičiuojami naudojant formules

Likę veiksmai atliekami panašiai. Apibūdinkime kitą žingsnį.

k-tas žingsnis. Darant prielaidą, kad pagrindinis (pirmaujantis) žingsnio elementas nėra nulis, apskaičiuojame žingsnio daugiklius

ir paeiliui atimkite iš ankstesniame žingsnyje gautų sistemos lygčių lygtį, padaugintą iš

Po eliminavimo žingsnio gauname lygčių sistemą

kurios matrica yra viršutinė trikampė. Tai užbaigia išankstinius skaičiavimus.

Atvirkštinis judėjimas. Iš paskutinės sistemos lygties (5.33) randame rastą reikšmę į priešpaskutinę lygtį

Metodo sudėtingumas. Įvertinkime aritmetinių operacijų skaičių, reikalingą vieno padalijimo schemai įgyvendinti.

1-ojo eliminavimo žingsnio skaičiavimai naudojant (5.29), (5.31) formules reikalauja dalybos, daugybos ir atimties, t.y. bendras skaičius aritmetinės operacijos yra Panašiai žingsniui reikia operacijų, o žingsniui – operacijų.

Dabar apytiksliai apskaičiuokime bendrą išankstinių aritmetinių operacijų skaičių, laikant sistemos matmenį pakankamai dideliu:

Kaip nesunku suprasti, norint įgyvendinti atvirkštinį eigą pagal (5.34) formules, reikia iš viso operacijų, o tai didelėms yra nereikšminga, palyginti su eigos į priekį operacijų skaičiumi.

Taigi, norint įgyvendinti Gauso metodą, reikalingos apytiksliai aritmetinės operacijos, o didžioji dauguma šių operacijų atliekamos tiesioginiame etape.

5.7 pavyzdys. Gauso metodu išsprendžiame sistemą

Tiesioginis judėjimas. 1 žingsnis. Apskaičiuokime veiksnius, iš antrosios, trečiosios ir ketvirtosios sistemos (5.35) lygčių atėmus pirmąją lygtį, padaugintą iš atitinkamai, gauname.

2 žingsnis. Apskaičiuokime veiksnius, iš trečiosios ir ketvirtosios sistemos (5.36) lygčių atėmus antrą lygtį, padaugintą iš atitinkamai, gauname sistemą.

3 žingsnis. Apskaičiavę koeficientą ir iš ketvirtosios sistemos (5.37) lygties atėmę trečiąją lygtį, padaugintą iš, sistemą sumažiname į trikampę formą:

Atvirkštinis judėjimas. Iš paskutinės sistemos lygties, pakeisdami reikšmę į trečiąją lygtį, randame

Skaičiavimo rezultatus galima apibendrinti šioje lentelėje.

5.2 lentelė (žr. nuskaitymą)

Būtinybė pasirinkti pagrindinius elementus. Atkreipkite dėmesį, kad faktorių skaičiavimas, taip pat atvirkštinis pakeitimas, reikalauja padalijimo iš pagrindinių elementų. Sveikas protas rodo, kad situacijoje, kai visi pagrindiniai elementai skiriasi nuo nulio, bet tarp jų yra ir artimų nuliui, galimas nekontroliuojamas paklaidos padidėjimas.

5.8 pavyzdys. Gauso metodu sprendžiame lygčių sistemą

Kompiuteryje su bitu dešimtainiu tikslumu.

Tiesioginis judėjimas. 1 žingsnis. Apskaičiuojame veiksnius ir transformuojame sistemą į formą

Visi šio žingsnio skaičiavimai atliekami be apvalinimo.

2 žingsnis. Apskaičiavus daugiklį, paskutinę sistemos lygtį reikia konvertuoti į formą, kur Tačiau naudojamame kompiuteryje lygtis bus gauta

Iš tiesų koeficientas nustatomas tiksliai, nes jį skaičiuojant nėra skaičių, kurių mantisose būtų daugiau nei 6 skaitmenys. Tuo pačiu metu skaičiuojant koeficientą 3,0001 padauginus iš gaunamas 7 skaitmenų skaičius 105003,5, suapvalinus iki 6 skaitmenų gaunamas 105004. Skaičiavimas 62) baigiamas atliekant atimties operaciją: . Po apvalinimo paskutinė data iki 6 mantisos skaitmenų gauname lygtį (5.41).

Atvirkštinis judėjimas. Iš (5.41) lygties taip pat randame 1.00001. Palyginimas su tikrąja verte rodo, kad ši vertė buvo gauta labai tiksliai naudojant kompiuterį. Tolimesni skaičiavimai duoda

Po apvalinimo turime .

Kaip nesunku pastebėti, rastos nežinomųjų vertybės turi mažai ką bendro tikrosios vertybės sprendimus

Kokia yra tokios reikšmingos klaidos priežastis? Apie apvalinimo klaidų kaupimąsi nereikia kalbėti, nes iš viso buvo atlikti 28 aritmetiniai veiksmai ir tik 4 atvejais prireikė apvalinimo. Prielaida, kad sistema yra blogai kondicionuota, nepasitvirtina; apskaičiavimas suteikia reikšmę ir 100.

Iš tikrųjų priežastis yra mažo pagrindinio elemento naudojimas žingsnyje. To pasekmė buvo didelio elemento atsiradimas

daugiklis ir reikšmingas koeficiento padidėjimas paskutinėje sistemos lygtyje.

Taigi aukščiau pateikta Gauso metodo versija (vieno padalijimo schema) pasirodė esanti neteisinga ir todėl netinkama kompiuteriniams skaičiavimams. Šis metodas gali sukelti avarinį sustabdymą (jei dėl kokių nors priežasčių ir skaičiavimai naudojant jį gali pasirodyti nestabilūs.

2. Gauso metodas su pagrindinio elemento parinkimu pagal stulpelį (dalinės atrankos schema).

Metodo aprašymas. Žingsnyje į priekį sistemos lygčių su skaičiais koeficientai paverčiami pagal formules

Intuityviai aišku, kad norint išvengti didelio sistemos koeficientų padidėjimo ir susijusių klaidų, neturėtų būti leidžiama atsirasti didelių daugiklių.

Taikant Gauso metodą, kai pagrindinis elementas pasirenkamas pagal stulpelį, garantuojama, kad visiems k Skirtumas tarp šios Gauso metodo versijos ir vieno padalijimo schemos yra tas, kad eliminacijos žingsnyje koeficientas a, kuris turi didžiausią. absoliuti vertė, pasirenkama kaip pagrindinis elementas. Nežinomajam lygtyse su skaičiais Tada lygtis su skaičiumi, atitinkančiu pasirinktą koeficientą, pakeičiama sistemos lygtimi. pagrindinis elementas užėmė koeficiento vietą

Po šios permutacijos atliekama nežinomo pašalinimas, kaip ir vieno padalijimo schemoje.

5.9 pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą (5.39) Gauso metodu, pasirinkdami pagrindinį elementą stulpeliu -bitų dešimtainiame kompiuteryje.

Tiesioginis judėjimas. 1 žingsnis. Maksimalus matricos elementas pirmajame stulpelyje yra pirmoje eilutėje, todėl lygčių pertvarkyti nereikia. Čia 1-as žingsnis atliekamas lygiai taip pat, kaip 5.8 pavyzdyje.

2 žingsnis. Iš sistemos (5.40) matricos elementų didžiausias priklauso trečiajai lygčiai. Sukeitę antrąją ir trečiąją lygtis, gauname sistemą

Po skaičiavimo paskutinė sistemos lygtis transformuojama į formą

Atvirkštinis judėjimas. Iš paskutinės lygties randame Be to, turime Šiuo atveju atsakymas pasirodė tikslus.

Atkreipkite dėmesį, kad papildomo darbo pagrindinių elementų parinkimas dalinės atrankos schemoje reikalauja veiksmų eilės, kuri praktiškai neturi įtakos bendram metodo sudėtingumui.

Dalinės atrankos schemos skaičiavimo stabilumas. Išsamus Gauso metodo tyrimas rodo, kad tikroji vieno padalijimo schemos nestabilumo priežastis yra neriboto tarpinių matricų elementų augimo galimybė judėjimo į priekį procese. Kadangi dalinės atrankos schemos 1 žingsnyje elementams, apskaičiuotiems pagal (5.42) formules, galioja toks įvertis: Todėl maksimali absoliuti matricos elementų vertė vienu žingsniu padidėja ne daugiau kaip 2 kartus ir nepalankiausiu atveju. atveju, žingsnis į priekį duos augimo koeficientą

Garantija, kad matricos elementų augimas yra ribotas, dalinės atrankos schemą daro skaičiavimo požiūriu stabilią. Be to, jam tinka toks klaidų įvertinimas:

Čia yra kompiuterizuotas sistemos sprendimas; jo santykinė klaida; matricos sąlygos numeris em - mašinos epsilonas; galiausiai ir kai kurios lėtai augančios funkcijos, priklausomai nuo sistemos tvarkos (pvz., galios funkcija su nedideliu rodikliu), augimo tempas.

Daugiklio buvimas įvertyje (5,43) rodo, kad esant dideliam dalinio pasirinkimo schema gali pasirodyti netinkama ir galimas didelis tikslumo praradimas. Tačiau praktika matriciniai skaičiavimai rodo, kad reikšmingas matricos elementų augimas vyksta itin retai. Didžioji dauguma atvejų tikroji vertė augimo faktorius neviršija 8-10. Jei sistema yra gerai kondicionuota, tada apskaičiuoto sprendimo paklaida, kaip taisyklė, yra maža.

Kartais patikrinti apytikslio sprendimo x kokybę

Jie apskaičiuoja neatitikimą ir bando spręsti apie apytikslio sprendinio artumo laipsnį tiksliam pagal tai, koks yra neatitikimas. Šis metodas yra nepatikimas dalinio pasirinkimo schemos atžvilgiu, nes yra žinoma, kad jis garantuoja nedidelius gedimus. Tiksliau šį teiginį galima suformuluoti taip: sąmata teisinga

kur yra toks pat kaip sąmatoje (5.43). Atkreipkite dėmesį, kad nelygybė (5.44) neapima sąlygos skaičiaus.

3. Gauso metodas su pagrindinio elemento pavyzdžiais visoje matricoje (visa atrankos schema).

Ši schema leidžia pažeisti natūralią nežinomųjų pašalinimo tvarką.

1-ame metodo žingsnyje tarp elementų nustatomas elementas su didžiausia absoliučia verte Pirmoji sistemos lygtis ir lygtis su skaičiumi. Tada nežinomas x standartiniu būdu pašalinamas iš visų lygčių, išskyrus pirmąją. (kuri yra žymiai mažesnė už atitinkamą dalinės atrankos schemos vertę). Pabrėžiame, kad dar nerasta matrica, kuriai pilnas pasirinkimas suteiktų vertę Taigi gerai kondicionuotoms sistemoms ši Gauso metodo versija yra gerai kondicionuojama.

Tačiau geros sąlygos garantija čia pasiekiama didelių pagrindinių elementų parinkimo išlaidų kaina. Tam, be to aritmetinės operacijos Būtina atlikti apytiksliai palyginimo operacijas, kurios gali žymiai sulėtinti problemos sprendimo procesą kompiuteryje. Todėl daugeliu atvejų praktikoje vis tiek pirmenybė teikiama dalinio pasirinkimo schemai. Kaip jau minėta, situacijos, kai naudojant šią Gauso metodo versiją žymiai padidėja elementų skaičius, yra labai retos. Be to, šias situacijas galima lengvai nustatyti naudojant integruotą modernios programos veiksmingi metodai matricos elementų augimo sekimas.

4. Atvejai, kai pagrindinių elementų parinkimas nebūtinas.

Yra žinoma, kad kai kurioms matricų klasėms, naudojant vieno padalijimo schemą, pagrindiniai elementai yra pagrindinėje įstrižainėje, todėl nereikia naudoti dalinio pasirinkimo. Taip yra, pavyzdžiui, sistemoms su teigiamomis apibrėžtosiomis matricomis, taip pat matricoms su toliau nurodyta nuosavybėįstrižainės dominavimas:

Sąlygą (5.45) tenkinančios matricos yra tokios, kad kiekvienoje eilutėje elemento, esančio pagrindinėje įstrižainėje, modulis yra didesnis už visų kitų eilutės elementų modulių sumą.

5. Mastelio keitimas.

Prieš pradedant sprendimą, patartina pakeisti sistemos mastelį, kad jos koeficientai būtų vienybės tvarka.

Yra du natūralus būdas sistemos mastelio keitimas Pirmasis susideda iš kiekvienos lygties padauginimo iš tam tikro mastelio koeficiento. Antrasis susideda iš kiekvieno matricos stulpelio padauginimo iš mastelio koeficiento, kuris atitinka kintamųjų pakeitimą (iš tikrųjų tai yra vienetų pakeitimas). matavimas). IN realias situacijas Dažniausiai mastelio keitimas gali būti atliktas be didelių sunkumų. Tačiau pabrėžiame, kad bendras atvejis patenkinamas mastelio keitimo metodas dar nerastas.

Praktiškai mastelio keitimas paprastai atliekamas kiekvieną lygtį padalijus iš didžiausio dydžio koeficiento. Tai visiškai patenkinamas metodas daugeliui realaus gyvenimo problemų.

Šiandien mes žiūrime į Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti. Apie tai, kas yra šios sistemos, galite perskaityti ankstesniame straipsnyje, skirtame tiems patiems SLAE išspręsti naudojant Cramer metodą. Gauso metodas nereikalauja jokių specifinių žinių, reikia tik atidumo ir nuoseklumo. Nepaisant to, kad matematikos požiūriu užtenka ją pritaikyti pasiruošimas mokyklai, studentams dažnai sunku įsisavinti šį metodą. Šiame straipsnyje mes stengsimės juos sumažinti iki nieko!

Gauso metodas

M Gauso metodas– universaliausias SLAE sprendimo būdas (išskyrus labai didelės sistemos). Skirtingai nei buvo aptarta anksčiau, jis tinka ne tik sistemoms, kurios turi vieną sprendimą, bet ir sistemoms, kurios turi begalinį sprendimų skaičių. Čia yra trys galimi variantai.

1. Sistema turi unikalų sprendimą (sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui);
2. Sistema turi begalinį sprendimų skaičių;
3. Sprendimų nėra, sistema nesuderinama.

Taigi mes turime sistemą (tegul ji turi vieną sprendimą) ir ketiname ją išspręsti Gauso metodu. Kaip tai veikia?

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų – į priekį ir atvirkštinio.

Tiesioginis Gauso metodo smūgis

Pirmiausia užsirašykime išplėstinę sistemos matricą. Šiuo tikslu į pagrindinė matrica pridėti laisvų narių stulpelį.

Visa Gauso metodo esmė yra elementarių transformacijų dėka ši matricaį laiptuotą (arba kaip dar sakoma trikampę) išvaizdą. Šioje formoje po (arba aukščiau) pagrindinės matricos įstrižainės turėtų būti tik nuliai.

Ką galite padaryti:

1. Galite pertvarkyti matricos eilutes;
2. Jei matricoje yra lygių (arba proporcingų) eilučių, galite pašalinti visas jas, išskyrus vieną;
3. Eilutę galite padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus (išskyrus nulį);
4. Nulinės eilutės pašalinamos;
5. Prie eilutės galite pridėti eilutę, padaugintą iš kito skaičiaus nei nulis.

Atvirkštinis Gauso metodas

Po to, kai mes transformavome sistemą tokiu būdu, vienas nežinomas Xn tampa žinoma, ir jūs galite atvirkštine tvarka raskite visus likusius nežinomuosius, pakeisdami jau žinomus x į sistemos lygtis, iki pirmojo.

Kai internetas visada yra po ranka, galite išspręsti lygčių sistemą naudodami Gauso metodą internete. Jums tereikia įvesti koeficientus į internetinę skaičiuotuvą. Tačiau reikia pripažinti, kad daug maloniau suvokti, kad pavyzdys neišspręstas kompiuterine programa, bet su savo smegenimis.

Lygčių sistemos sprendimo Gauso metodu pavyzdys

O dabar – pavyzdys, kad viskas taptų aišku ir suprantama. Pateikite tiesinių lygčių sistemą, kurią reikia išspręsti Gauso metodu:

Pirmiausia parašome išplėstinę matricą:

Dabar atlikime transformacijas. Prisimename, ką turime pasiekti trikampio išvaizdos matricos. Padauginkime 1 eilutę iš (3). Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkite 2-ąją eilutę prie 1-osios ir gaukite:

Tada padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3 eilutę prie 2:

Padauginkime 1 eilutę iš (6). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Voila - sistema įvedama į atitinkamą formą. Belieka surasti nežinomuosius:

Šiame pavyzdyje pateikta sistema turi unikalų sprendimą. Sistemų sprendimas su begalinis skaičius Sprendimus apžvelgsime atskirame straipsnyje. Galbūt iš pradžių nežinosite, nuo ko pradėti transformuoti matricą, bet po tinkamos praktikos susigausite ir gauso metodu kaip riešutus sulaužysite SLAE. Ir jei staiga susidursite su SLAE, kuris pasirodo esąs per kietas riešutas, susisiekite su mūsų autoriais! galite palikę prašymą korespondencijos skyriuje. Kartu mes išspręsime bet kokią problemą!

(SLAE), sudarytas iš lygčių su nežinomaisiais:

Daroma prielaida, kad yra unikalus sistemos sprendimas, ty.

Šiame straipsnyje bus aptariamos klaidos, atsirandančios sprendžiant sistemą Gauso metodu, priežastys, šios klaidos identifikavimo ir pašalinimo (sumažinimo) būdai.

Metodo aprašymas

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo procesas

pagal Gauso metodą susideda iš 2 etapų:

• Tada iš kiekvienos likusios lygties atimama pirmoji, padauginta iš atitinkamo koeficiento. Dėl to sistema transformuojama į formą: 2. Darant prielaidą, kad , antrą lygtį padaliname iš koeficiento ir iš visų vėlesnių lygčių neįtraukiame nežinomybės ir t.t. 3. Gauname lygčių sistemą su trikampe matrica: Atvirkščiai

nežinomas

1. Iš sistemos lygties nustatome 2. Iš lygties nustatome ir kt. Metodo analizėŠis metodas priklauso tiesioginių lygčių sistemos sprendimo metodų klasei, o tai reiškia, kad galutinis skaičius veiksmus, galite gauti tikslų sprendimą, jei įvesties duomenys (matrica ir

dešinėje pusėje

lygtys - ) yra tiksliai nurodytos ir skaičiavimas atliekamas be apvalinimo. Norint gauti sprendimą, reikia daugybos ir dalybos, tai yra, operacijų tvarka.

Sąlygos, kuriomis metodas pateikia tikslų sprendimą, praktiškai neįgyvendinamos – neišvengiamos ir įvesties duomenų klaidos, ir apvalinimo klaidos. Tada kyla klausimas: kiek tikslus sprendimas gali būti gautas naudojant Gauso metodą, kiek teisingas yra metodas? Nustatykime sprendimo stabilumą įvesties parametrų atžvilgiu. Kartu su pradine sistema apsvarstykite sutrikusią sistemą:

Tegul įveda kokia nors norma. - vadinamas matricos sąlyginiu numeriu.

Galimi 3 atvejai:

Matricos sąlygos numeris visada yra . Jei ji yra didelė (), sakoma, kad matrica yra blogai kondicionuota. Tokiu atveju sistemos sprendimui reikšmingai įtakoja nedideli sutrikimai dešiniosiose sistemos pusėse, atsiradę arba dėl netikslumo nurodant pradinius duomenis, arba dėl skaičiavimo klaidų. Grubiai tariant, jei dešiniųjų pusių paklaida yra , tada sprendimo klaida bus .

Gautus rezultatus iliustruosime tokiu skaitiniu pavyzdžiu: Duota sistema

Ji turi sprendimą.

Dabar apsvarstykite sutrikusią sistemą: Tokios sistemos sprendimas bus vektorius. Su labai mažu dešinės pusės trikdymu gavome nepalyginamai

didelis pasipiktinimas

sprendimus. Šį sprendimo „nepatikimumą“ galima paaiškinti tuo, kad matrica yra beveik viena: dvi lygtis atitinkančios tiesės beveik sutampa, kaip matyti iš grafiko:

Tokį rezultatą buvo galima nuspėti dėl prasto matricos sąlygų:

Sudarome valdymo stulpelį, kurį sudaro sistemos valdymo elementai:

Transformuojant lygtis su valdymo elementais atliekamos tos pačios operacijos kaip ir su nemokami nariai Lyg. Dėl to valdymo elementas kiekvienos naujos lygties turi būti lygus šios lygties koeficientų sumai. Didelis neatitikimas tarp jų rodo skaičiavimų klaidas arba skaičiavimo algoritmo nestabilumą skaičiavimo paklaidos atžvilgiu.

2) Žinomo sprendimo santykinė klaida leidžia be didelių papildomų išlaidų gauti sprendimą dėl sprendimo klaidos.

Tam tikras vektorius nurodomas komponentais, kurie, jei įmanoma, turi tokią pačią tvarką ir ženklą kaip ir norimo sprendimo komponentai. Apskaičiuojamas vektorius, o sistema išsprendžiama kartu su pradine lygčių sistema.

Tegu ir bus realiai gauti šių sistemų sprendimai. Sprendimą apie norimo sprendimo klaidą galima gauti remiantis hipoteze: santykinės klaidos sprendžiant eliminavimo metodu sistemas su ta pačia matrica ir skirtingomis dešiniosiomis pusėmis, kurios atitinkamai yra dydžiai ir , labai nesiskiria didelis skaičius vieną kartą.

3) Keičiasi svarstyklės - metodas, naudojamas norint suprasti tikrąjį klaidos, atsirandančios dėl skaičiavimų apvalinimo, dydį.

Kartu su originalia sistema sistema išsprendžiama tuo pačiu metodu

Jei apvalinimo paklaidos nebūtų, tai lygybė galiotų pradinės ir mastelio sistemos sprendiniams: . Todėl ir , kurie nėra dviejų laipsniai, vektorių palyginimas suteikia supratimą apie skaičiavimo paklaidos dydį

Gauso eliminacijos metodo tobulinimas

Gauso metodo modifikacijos, aptartos toliau, gali sumažinti rezultato paklaidą.

Pagrindinio elemento pasirinkimas

Pagrindinis metodo klaidos padidėjimas įvyksta judant pirmyn, kai pirmaujanti -oji eilutė padauginama iš koeficientų Sukaupti, siekiant to išvengti, taikomas metodo modifikavimas, pasirenkant pagrindinį elementą. maksimalus elementas pagal stulpelį taip:

Tegul lygčių sistema gaunama pašalinus nežinomuosius:

Raskime taip, kad sukeistume -e ir -e lygių pozicijas.

Daugeliu atvejų tokia transformacija žymiai sumažina sprendimo jautrumą skaičiavimų apvalinimo klaidoms.

Iteratyvus rezultato gerinimas

Jei yra įtarimas, kad gautas tirpalas yra labai iškraipytas, galite pagerinti rezultatą taip. Kiekis vadinamas likučiu. Klaida tenkina lygčių sistemą

Išspręsdami šią sistemą, gauname aproksimaciją ir darome prielaidą

Jei šio aproksimavimo tikslumas yra nepatenkinamas, šią operaciją kartojame.

Procesą galima tęsti tol, kol visi komponentai bus pakankamai maži. Šiuo atveju negalite sustabdyti skaičiavimų vien dėl to, kad visi liekamojo vektoriaus komponentai tapo pakankamai maži: tai gali būti prasto koeficiento matricos kondicionavimo rezultatas.

Skaitinis pavyzdys

Apsvarstykite, pavyzdžiui, 7x7 Vandermonde matricą ir 2 skirtingas dešiniąsias puses:

Šios sistemos buvo išspręstos dviem būdais. Duomenų tipas – float. Dėl to gavome šiuos rezultatus: